Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển, xây dựng một số bài toán trong sách giáo khoa Đại số & Giải tích lớp 11 về chủ đề đại số tổ hợp để nâng cao năng lực tư duy học sinh

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:36

Thêm vào BST

Báo xấu

31
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến "Phát triển, xây dựng một số bài toán trong sách giáo khoa Đại số & Giải tích lớp 11 về chủ đề đại số tổ hợp để nâng cao năng lực tư duy học sinh" nhằm giúp các em nắm vững lý thuyết về quy tắc đếm, về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và trang bị cho các em một số phương pháp giải bài toán này; Củng cố và khắc sâu các kiến thức đại số, hình học có liên quan, rèn luyện kỷ năng tính toán, lập luận.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển, xây dựng một số bài toán trong sách giáo khoa Đại số & Giải tích lớp 11 về chủ đề đại số tổ hợp để nâng cao năng lực tư duy học sinh

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài Chương trình tổ hợp xác suất được Bộ Giáo Dục và Đào Tạo đưa vào trong chương trình toán đại số và giải tích lớp 11 nhằm cung cấp kiến thức và hình thành, phát triễn kỹ năng giải các bài toán đếm, tổ hợp, xác suất thống kê cũng như phát triễn các phẩm chất tư duy khác cho học sinh. Đặc trưng của môn học là tính logic cao đem lại nhiều khó khăn thách thức cho thầy và trò nhưng cũng chứa đựng nhiều cơ hội cho quá trình rèn luyện phát triễn tư duy, trí tưởng tượng, khả năng tìm tòi, óc sáng tạo và nhiều kỹ năng khác.Trong đó hai vấn đề lớn xuyên suốt là bài toán đếm và bài toán xác suất.Học sinh để làm được bài toán xác suất thì cần làm được bài toán đếm.Như vậy bài toán đếm là bài toán cơ bản nhất và quan trọng nhất trong chương trình này. Khi nghiên cứu sách giáo khoa Đại số giải tích lớp 11 (chương trình hiện hành) tôi thấy các dạng toán đếm là tương đối đơn giản và sơ lược.Với số lượng ít như vậy làm cho giáo viên và học sinh lúng túng trong việc tiếp cận và nâng cao năng lực toán học.Đặc biệt học sinh chưa có cơ hội để phân biệt được sự khác nhau giữa các khái niệm trong quá trình áp dụng. Học sinh thiếu cơ hội để cọ xát và tiếp cận nhiều dạng toán mới đáp ứng nhu cầu tìm tòi phát triển tư duy. Bên cạnh đó, với sự đổi mới cách học và thi như hiện nay lại càng gây thêm khó khăn cho học sinh trong quá trình tự học, tự sáng tạo. Tuy nhiên khi nghiên cứu kỹ hơn tôi thấy có sự xuất hiện một số bài toán mặc dù khá đơn giản nhưng nếu tìm hiểu sâu hơn ta sẽ thấy được bản chất và chứa đựng một số nội dung cực kì quan trọng. Nếu người dạy và người học biết cách khai thác và phát triển sẽ thu được nhiều vấn đề mới mẻ. Đặc biệt đối với người học, nếu được khơi nguồn sáng tạo họ sẽ hăng say tìm tòi và cơ hội tốt để họ phát triển tư duy toán học lên một tầm cao mới. Với các ý tưởng như vậy đã thúc đẩy tôi nghiên cứu đề tài sáng kiến kinh nghiệm dạy học cho năm học 2021-2022 có tên: “ Phát triển, xây dựng một số bài toán trong sách giáo khoa đại số & giải tích lớp 11 về chủ đề đại số tổ hợp để nâng cao năng lực tư duy học sinh”. 2. Mục đích nghiên cứu Trước những hiện tượng và mâu thuẩn đang tồn tại trong thực tiễn giáo dục trên, tôi đã tìm tòi và nghiên cứu đề tài nhằm đạt được những mục đích sau: Thứ nhất: Giúp các em nắm vững lý thuyết về quy tắc đếm, về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và trang bị cho các em một số phương pháp giải bài toán này. Thứ hai: Củng cố và khắc sâu các kiến thức đại số, hình học có liên quan, rèn luyện kỷ năng tính toán, lập luận. 1
Thứ ba: Rèn luyện tư duy linh hoạt, sáng tạo, tư duy giải quyết vấn đề, tư duy biện chứng, xây dựng và phát triển lòng say mê và yêu thích toán học nói riêng và khoa học nói chung. Nâng cao năng lực tư duy, sáng tạo, năng lực tự học của học sinh khi học chủ đề đại số tổ hợp. 3. Đối tượng, phạm vi và nhiệm vụ nghiên cứu 3.1. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Học sinh khối 11 và khối 12 cấp trung học phổ thông. - Các bài toán trong sách giáo khoa, sách bài tập đại số và giải tích lớp 11, các đề thi đại học, cao đẳng thuộc chủ đề đại số tổ hợp. 3.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài sẽ làm rõ các vấn đề sau: - Cơ sở lí luận và thực tiễn về năng lực tư duy, sáng tạo, năng lực tự học của học sinh khi học chủ đề đại số tổ hợp. - Để phát triển năng lực tư duy, sáng tạo, năng lực tự học của học sinh khi học chủ đề đại số tổ hợp ta cần phải thực hiện những biện pháp nào. - Kết quả thực nghiệm ra sao? 4. Phương pháp nghiên cứu 4.1. Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về tâm lí giáo dục, tài liệu giáo dục học, các tài liệu về lí luận và giảng dạy bộ môn toán làm cơ sở để đề đề xuất các biện pháp nhằm phát triển năng lực tư duy, sáng tạo, năng lực tự học của học sinh. 4.2. Quan sát trao đổi: Thực hiện việc trao đôi với giáo viên và học sinh, tham khảo các tài liệu để đề xuất các thành tố của năng lực tư duy, sáng tạo, năng lực tự học của học sinh. 4.3. Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm trên những đối tượng học sinh cụ thể nhằm đánh giá hiệu quả của đề tài. 5. Dự báo những đóng góp mới của đề tài Đề tài đã xây dựng được các thành tố của năng lực tư duy nhằm giúp học sinh nắm được bản chất của bài toán từ đó học sinh sẻ nâng cao được năng lực tụ học và sáng tạo hơn. Đề tài đề xuất các biện pháp nhằm bồi dưỡng năng lực tư duy học sinh thông qua dạy học chủ đề đại số tổ hợp. Đề tài có thể dùng để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên trung học phổ thông. 2
PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương I. Cơ sở lí luận thực tiển I. Một số khái niệm, kiến thức cơ bản và thuật ngữ liên quan đến đề tài. 1. Năng lực toán học Theo Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể, “năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”. Thông qua chương trình môn Toán, học sinh cần hình thành và phát triển được năng lực toán học, biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính toán. Năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: Năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán. Tùy vào từng đối tượng học sinh, yêu cầu cần đạt của từng khối lớp, năng lực toán học của mỗi học sinh được biểu hiện ở các mức độ khác nhau. Dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh là chuyển đổi từ việc “học sinh cần phải biết gì” sang việc “phải biết và có thể làm gì” trong các tình huống và bối cảnh khác nhau. Do đó dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh chú trọng lấy học sinh làm trung tâm và giáo viên là người hướng dẫn, giúp các em chủ động trong việc đạt được năng lực theo yêu cầu đặt ra, phù hợp với đặc điểm cá nhân. 2. Tư duy 2.1. Khái niệm Hiện nay, tư duy còn là một khái niệm chưa thống nhất bởi chưa có một định nghĩa nào thể hiện được trọn vẹn hết các đặc điểm, tính chất, vai trò ở tư duy. Từ trước đến nay đã có nhiều công trình nghiên cứu về phát triển tư duy, xong người nghiên cứu cũng không hề đưa ra một định nghĩa tư duy cụ thể mà chỉ đưa ra cách hiểu của bản thân bởi như vậy sẽ không làm hạn chế năng lực tư duy hay gói gọn suy nghĩ trong một phạm vi cụ thể. Mỗi lĩnh vực khác nhau lại nghiên cứu tư duy dưới những góc nhìn khác nhau. Theo quan điểm của các nhà tâm lý học Mác - xít dựa trên nền tảng là chủ nghĩa duy vật biện chứng đã khẳng định: tư duy là sản phẩm của một cơ quan vật chất sống có tổ chức cao là bộ óc con người; được hình thành trong quá trình hoạt động thực tiễn của con người. Theo “Từ điển bách khoa Việt Nam”, tập 4 (Nhà xuất bản Từ điển bách khoa, Hà Nội): Tư duy là sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức một cách đặc biệt – bộ não con người. Tư duy phản ánh tích cực hiện 3
thực khách quan dưới dạng các khái niệm, sự phán đoán, lý luận… Theo Art Costa, giáo sư danh dự về giáo dục tại Đại học bang California, Sacramento và là đồng sáng lập của Viện hành vi thông minh ở El Dorado Hills, California thì cho rằng:“Tư duy là sự cảm nhận của chúng ta khi chúng ta nhận được những dữ kiện, những thông tin diễn ra trong các mối quan hệ”. Theo V.I. Lê nin: "Tư duy của người ta - đi sâu một cách vô hạn, từ giả tưởng tới bản chất, từ bản chất cấp một, nếu có thể như vậy, đến bản chất cấp hai... đến vô hạn". Tức là tư duy là sự phản ánh thế giới tự nhiên sâu sắc hơn, trung thành hơn, đầy đủ hơn, đi sâu một cách vô hạn, tiến gần đến chân lý khách quan hơn. Trong “Những khía cánh tâm lý của quản lý” Mai Hữu Khuê cho rằng: "Tư duy là quá trình tâm lý phản ánh những mối liên hệ và quan hệ giữa các đối tượng hay các hiện tượng của hiện thực khách quan". Trong “Tâm lý học đại cương” tập thể tác giả:Trần Minh Đức, Nguyễn Quang Uẩn, Ngô Công Hoàn, Hoàng Mộc Lan lại cho: "Tư duy là một quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính của bản chất, những mối liên hệ và quan hệ có tính quy luật của sự vật hiện tượng mà trước đó ta chưa biết”. Tựu chung lại, tư duy có thể hiểu là quá trình tâm lý thể hiện khả năng nhận thức bậc cao diễn ra trong não bộ con người. Quá trình này thu nhận thông tin từ xúc giác, thị giác, vị giác, khứu giác, thính giác qua các dây thần kinh đến được não bộ giúp con người có được tư duy rõ ràng, sâu sắc, trừu tượng,... về những sự vật, hiện tượng trong đời sống bằng con đường khái quát hoá, hướng sâu vào nhận thức bản chất, quy luật của đối tượng. 2.2. Đặc điểm của tư duy Tư duy ở con người chỉ xuất hiện khi gặp hoàn cảnh hay tình huống có vấn đề. Những hoàn cảnh hay tình huống này chứa đựng vấn đề đòi hỏi con người phải tư duy tìm ra cách giải quyết mới do những hiểu biết ban đầu và các phương thức giải quyết trước không thể giải quyết triệt để vấn đề vừa phát sinh. Tư duy còn mang tính gián tiếp, thể hiện thông qua việc con người sử dụng ngôn ngữ để tư duy. Không chỉ vậy, ngôn ngữ và tư duy còn có mối quan hệ khăng khít với nhau, không có ngôn ngữ con người không thể tư duy và các kết quả của tư duy cũng không thể để cả chủ thể hay bản thân người khác tiếp nhận. Ngoài ra, tư duy không thể hiện các sự vật, hiện tượng một cách riêng lẻ mà rút ra khỏi các sự vật, hiện tượng đó những gì cụ thể, cá biệt và chỉ giữ lại các thuộc tính bản chất chung rồi sắp xếp chúng thành một nhóm, một loại, một phạm trù. Tư duy dựa vào nhận thức cảm tính nhưng chính nhận thức cảm tính lại chịu sự tác động ngược lại của tư duy và các sản phẩm của quá trình này nên ta nhận thấy hoạt động tư duy còn có hiện tượng không chịu chi phối từ những kinh nghiệm cảm tính. 4
2.3. Các giai đoạn của tư duy Quá trình tư duy của con người nhằm mục đích giải quyết một nhiệm vụ cụ thể phát sinh trong quá trình nhận thức hoặc trong hoạt động thực tiễn. Đây là quá trình gồm nhiều giai đoạn, được nhà tâm lý học K.K.Platonôv sơ đồ hóa. Như vậy, các giai đoạn của quá trình tư duy bắt đầu từ việc nhận thức được vấn đề trong các tình huống có vấn đề rồi thông qua các giai đoạn khác nhau nhằm mục đích giải quyết được vấn đề để từ đó bắt đầu một hành động tư duy mới. Nhận thức vấn đề là giai đoạn đầu tiên trong các giai đoạn (quá trình) của tư duy. Nó chỉ nảy sinh trong những tình huống mà con người cho là “có vấn đề”. Nhận định về tính có vấn đề của mỗi người lại khác nhau, tùy thuộc vào góc nhìn, kinh nghiệm sống, kiến thức và nhu cầu cá nhân ở mỗi người. Trong cùng một tình huống, có người thấy có vấn đề thì quá trình tư duy băt đầu và ngược lại nếu không thấy có vấn đề thì không có quá trình tư duy. Đây là giai đoạn mở đầu và quan trọng nhất của cả quá trình tư duy. Tiếp đến là giai đoạn cá nhân người tư duy huy động những kinh nghiệm và kiến thức sẵn có của bản thân và người khác vào vấn đề vừa được nhận thức để làm xuất hiện các liên tưởng có liên quan đến vấn đề. Giai đoạn này được gọi là xuất hiện các liên tưởng. Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết là giai đoạn thu hẹp phạm vi các kinh nghiệm, kiến thức tìm được trước đó để phù hợp với nhiệm vụ giải quyết vấn đề. Từ đó, chủ thể tư duy có thể đưa ra các phương án giải quyết vấn đề một cách nhanh chóng và tiết kiệm thời gian. Kiểm tra giả thuyết là khâu kiểm tra tính khả thi và phù hợp thực tiễn của các phương án được đề xuất. Trong quá trình kiểm tra, chủ thể tư duy sẽ phát hiện được đâu là phương án đem lại hiệu quả cao nhất. Đây cũng là giai đoạn mà sau đó người kiểm tra đôi khi sẽ phát hiện nhiệm vụ mới cần giải quyết. Giai đoạn cuối cùng là giải quyết vấn đề. Bằng việc thực hiện phương án tối ưu nhất được lựa chọn trong các giả thuyết để giải quyết vấn đề thì việc giải quyết vấn đề được đặt ra lúc ban đầu sẽ có kết quả là câu trả lời hoặc đáp số. Những vấn đề mới có thể nảy sinh sau khi đã giải quyết vấn đề ban đầu nên để giải quyết vấn đề mới phát sinh thì cũng cần một quá trình tư duy mới. Những trường hợp khác nhau thì các giai đoạn của quá trình tư duy có thể đổi khác nhưng không được thay đổi thứ tự của các quá trình tư duy. 2.4. Các thao tác của tư duy - Coi quá trình tư duy là một hành động thì các giai đoạn của quá trình hành động đó mới chỉ thể hiện được cấu trúc bên ngoài của việc tư duy. Phần nội dung bên trong của từng giai đoạn lại diễn ra dựa vào cơ sở các thao tác tư duy. Đây là các thao tác trí tuệ được chủ thể thực hiện ở trong đầu, nên còn được gọi là những quy luật bên trong của tư duy, bao gồm: 5
- Phân tích: là quá trình sử dụng não bộ phân tách đối tượng nhận thức thành những bộ phận, những thành phần khác nhau để có được cái nhìn một cách chi tiết và tổng quát. Thông qua đó, xác định được đối tượng mang các đặc điểm, thuộc tính gì hoặc nhìn ra được các bộ phận của một tổng thể một cách rõ ràng, tường minh. - Tổng hợp: là quá trình sử dụng não bộ tổng hợp lại những thành phần được tách rời từ việc phân tích thành một chỉnh thể. - So sánh: là quá trình sử dụng não bộ để đối chiếu các đối tượng nhận thức nhằm tìm ra sự tương đồng, đồng nhất hay khác biệt giữa các đối tượng nhận thức đó mà rút ra những điểm chung hay khác biệt của các đối tượng nhận thức (sự vật, hiện tượng). - Trừu tượng hóa: là quá trình sử dụng não bộ làm đơn giản hóa các mặt, các liên hệ, các thuộc tính và các quan hệ thứ yếu không cần thiết đồng thời chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết sử dụng cho tư duy. - Khái quát hóa: là quá trình sử dụng não bộ để tổng hợp các đối tượng khác nhau thành một nhóm hay một loại dựa trên cơ sở phân loại là các thuộc tính, các mối liên hệ và quan hệ chung nhất định. Các thao tác tư duy không hoạt động riêng rẽ mà tác động qua lại, đan xen vào với nhau không theo một trình tự cụ thể nào. Chủ thể tư duy căn cứ vào các yếu tố về điều kiện và mục tiêu trong từng nhiệm vụ tư duy mà lựa chọn các thao tác tư duy phù hợp cũng như không cần phải sử dụng hết các thao tác tư duy trong một hoạt động tư duy. II. Thực trạng về việc dạy học các tiết về chủ đề đại số tổ hợp hiện nay 1. Mục đích điều tra. Điều tra thực trạng dạy học các tiết về đại số tổ hợp và năng lực giải các bài toán đại số tổ hợp của học sinh hiện nay như thế nào. 2. Nội dung điều tra. Điều tra về việc dạy học các tiết về chủ đề đại số tổ hợp. 3. Đối tượng điều tra. Học sinh khối 11 THPT. 4. Phương pháp điều tra. Tiến hành phát phiếu điều tra cho 157 học sinh khối 11 của THPT Đông Hiếu ( gồm các lớp 11C1, 11C2, 11C3, 11C4 ). 6
STT Lớp Số phiếu phát ra Số phiếu thu về 1 11C1 36 36 2 11C2 40 40 3 11C3 41 41 4 11C4 40 40 Phiếu điều tra gồm 2 câu hỏi, được soạn dưới hình thức trắc nghiệm cho học sinh đánh dấu. 5. Tập hợp số liệu điều tra. Câu hỏi Nội dung Số ý kiến Tỉ lệ % Em đánh giá như thế nào về việc học các tiết học chủ đề đại số tổ hợp hiện nay? A. Hệ thống lý thuyết dễ học, dễ hiểu. Làm được 8 5.10 hầu hết các bài tập trong SGK và SBT. Câu 1 B. Hệ thống lý thuyết, phương pháp giải còn hạn chế. Chỉ làm được những bài toán đơn giản và 149 94.90 thường gặp khó khăn, sai lầm trước những bài toán phức tạp hơn. Em muốn các tiết học tự chọn chủ đề đại số tổ hợp theo hướng nào ? A. Giáo viên dạy theo hướng truyền thống: Giáo 4 2.55 viên ra đề, học sinh tìm lời giải Câu 2 B. Giáo viên dạy theo định hướng phát triển năng 153 97.45 lực tư duy và lập luận Toán học của học sinh 7
* Nhận xét: Từ kết quả trên, ta thấy đa số HS (94.90%) chỉ tiếp nhận được những bài toán đếm cơ bản và thường gặp khó khăn, sai lầm trước những bài toán phức tạp hơn, một số ít giải được các bài tập nâng cao hơn. Tuy nhiên đa số (97.45) HS được hỏi đều mong muốn được học theo định hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận để có cơ hội thể hiện mình nhiều hơn, Điều này một lần nữa khẳng định vai trò quan trọng phương pháp dạy học tích cực trong dạy học Toán học. 6. Nguyên nhân của những thực trạng Đa số GV vẫn còn nặng nề về lối truyền thụ một chiều, chưa chuẩn bị tâm lý, ngại thay đổi, sợ mất thời gian thiết kế và soạn bài, chưa chú trọng dạy học theo phương pháp kích thích tính chủ động của HS, chưa khẳng định được người học sẽ vận dụng để tự thiết kế được các bài tập khi được yêu cầu. HS chưa hình thành được các phương pháp đếm, kỷ thuật đếm và tư duy giải quyết vấn đề. Đặc biệt là theo yêu cầu đổi mới, môn toán được thi dưới dạng hình thức trắc nghiệm, số câu hỏi về vận dụng thực tế cũng nhiều hơn và nội dung câu hỏi phong phú hơn. Nếu giáo viên, học sinh dạy và học qua loa phần này sẽ khiến các em học sinh gặp không ít trở ngại trong việc vận dụng toán học vào thực tế. 7. Những thuận lợi và khó khăn trong việc dạy học nhằm phát triển năng lực tư duy của học sinh trong bài toán đại số tổ hợp tại trường THPT Đông Hiếu 7.1. Thuận lợi Trong quá trình đổi mới phương pháp dạy học hiện nay, học sinh cũng học tập một cách chủ động hơn, tự tìm tòi tài liệu ở nhiều nguồn, có khả năng đánh giá, hợp tác tốt hơn và mong muốn thể hiện mình nhiều hơn. Do đó việc giáo viên tạo điều kiện để học sinh phát triển khả năng khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa, khả năng lập luận Toán học để giải bài toán và phát biểu các bài toán mới, thiết kế bài tập là một xu thế tất yếu và cần được nhân rộng. 7.2. Khó khăn Để phát biểu bài toán mới, thiết kế được bài tập, cần nhiều yêu cầu cao hơn. Học sinh phải có một hệ thống kiến thức nền đủ tốt để thiết kế được bài tập.Về phía giáo viên thì đòi hỏi người dạy phải bao quát được nội dung chương trình, kiến thức vững vàng. Đặc biệt là cần những giáo viên không ngại thay đổi bản thân, luôn hướng học sinh tìm cái mới. Điều này không phải giáo viên nào cũng dám làm. Công tác kiểm tra đánh giá hiện nay mặc dù có nhiều thay đổi nhưng vẫn nặng về đánh giá nội dung kiến thức, về điểm số, chưa đánh giá những năng lực khác của học sinh nên chưa thực sự phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh. 8
Chương II. Phát triển và xây dựng một số bài toán I. Trang bị kiến thức cơ bản 1. Kiến thức cơ bản 1.1. Quy tắc cộng a) Định nghĩa: Xét một công việc H . Giả sử H có k phương án H1 , H 2 ,..., H k thực hiện công việc H . Nếu có m1 cách thực hiện phương án H 1 , có m2 cách thực hiện phương án H 2 ,.., có mk cách thực hiện phương án H k và mỗi cách thực hiện phương án H i không trùng với bất kì cách thực hiện phương án H j ( i  j; i, j 1,2,..., k ) thì có m1 + m2 + ... + mk cách thực hiện công việc H . b) Công thức quy tắc cộng Nếu các tập A1 , A2 ,..., An đôi một rời nhau. Khi đó: A1  A2  ...  An = A1 + A2 + ... + An ( Ai là số phần tử của tập hợp Ai ) 1.2. Quy tắc nhân. a) Định nghĩa: Giả sử một công việc H bao gồm k công đoạn H1 , H 2 ,..., H k . Công đoạn H 1 có m1 cách thực hiện, công đoạn H 2 có m2 cách thực hiện,…, công đoạn H k có mk cách thực hiện. Khi đó công việc H có thể thực hiện theo m1.m2 ...mk cách. b) Công thức quy tắc nhân Nếu các tập A1 , A2 ,..., An đôi một rời nhau. Khi đó: A1  A2  ...  An = A1 . A2 ..... An . 1.3. Hoán vị 1.3.1. Hoán vị a) Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử ( n  1 ). Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự ta được một hoán vị các phần tử của tập A . Kí hiệu Pn là số hoán vị của n phần tử . b) Số hoán vị của tập n phần tử: Định lí: Ta có Pn = n! = 1.2.3...n ; chú ý: quy ước 0! = 1. 1.3.1. Hoán vị có lặp a) Khái niệm: Có n vật (n  1) được sắp vào n vị trí trong đó: 9
Có n1 vật loại 1 Có n2 vật loại 2 .......... Có nk vật loại k Ở đây n1 + n2 + ... + nk = n Mỗi cách sắp thứ tự n vật như trên vào n vị trí gọi là hoán vị có lặp của n phần tử đó. n! b) Công thức xác định: Số hoán vị có lặp của n phần tử là: . n1 !.n2 !....nk ! c) Chứng minh: Do có n1 vật giống nhau nên số phương án sắp n1 vật vào n1 vị trí chỉ là một phương án cần tìm, và ta có n1 ! phương án giống nhau Tương tự ..... pn n! Từ đó suy ra có: = số hoán vị. n1 !.n2 !....nk ! n1 !.n2 !....nk ! 1.3.2. Hoán vị vòng tròn a) Khái niệm: Có n vật được sắp vào n vị trí theo một đường tròn b) Công thức xác định: Số hoán vị vòng tròn của n phần tử là: pn−1 = (n − 1)....3.2.1 = (n − 1)! c) Chứng minh: Cố định một điểm trên đường tròn, sắp (n − 1) vật còn lại vào (n − 1) vị trí còn lại. Như vậy chúng ta có (n − 1)! số hoán vị vòng tròn. 1.4. Chỉnh hợp a) Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên k với 1  k  n . Khi lấy k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A . b) Số chỉnh hợp Kí hiệu Ank là số chỉnh hợp chập k của n phần tử n! Định lí: Ta có Ank = (n − k )! 1.5. Tổ hợp a) Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với 1  k  n . Mỗi tập con của A có phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A . 10
b) Số tổ hợp Kí hiệu Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử. n! Định lí: Ta có: Cnk = . (n − k )! k ! 2. So sánh, phân biệt, cách dùng các khái niệm Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Các sai lầm thường gặp của học sinh: 2.1. So sánh, phân biệt, cách dùng các khái niệm Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp - Tất cả n phần tử đều - Cần chọn k phần tử từ - Cần chọn k phần tử từ phải có mặt n phần tử n phần tử. - Mỗi phần tử xuất hiện - Mỗi phần tử xuất hiện - Mỗi phần tử xuất hiện một lần. một lần một lần - Có thứ tự giữa các - k phần tử đã cho được - Không quan tâm đến phần tử. sắp xếp thứ tự. thứ tự k phần tử đã chọn. 2.2. Các sai lầm thường gặp của học sinh + Đa số học sinh mắc sai lầm trong việc vận dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân. + Phân chia trường hợp riêng xẩy ra chưa đầy đủ. + Do hiểu sai khái niệm tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị. + Không biết phối hợp giữa các công thức, quy tắc. II. Phương pháp chung giải bài toán tổ hợp 1. Phương pháp đếm trực tiếp + Tùy theo bài toán chúng ta có thể chia trường hợp hay không chia trường hợp. Nội dung: Đếm các trường hợp thỏa mãn yêu cầu bài toán 2. Đếm vị trí + Bước 1: Chọn vị trí cho số thứ nhất theo yêu cầu bài toán, suy ra số vị trí cho các số tiếp theo. + Bước 2: Sắp xếp các số còn lại 3. Phương pháp đếm loại trừ Nội dung: Đếm loại trừ theo hai bước 11
+ Bước 1: Đếm số phương án xẩy ra bất kỳ ta có kết quả n1 + Bước2: Đếm số phương án xẩy ra không thỏa mãn yêu cầu bài toán ta có kết quả n2 Khi đó số phương án xẩy ra thỏa mãn yêu cầu bài toán là: n = n1 − n2 + Chú ý: Khi Phương pháp đếm trực tiếp có nhiều trường hợp quá chúng ta sữ dụng Phương pháp đếm loại trừ. 4. Phương pháp lấy trước rồi sắp xếp sau + Bước 1: Chọn ra trước cho đủ số lượng và thỏa mãn tính chất mà bài toán yêu cầu (Ví dụ như chọn tập con có k phần tử từ n phần tử ta có Cnk cách) + Bước 2: Sắp xếp + Chú ý: Thường dùng cho những bài toán có sự sắp xếp, cạnh nhau, có mặt. 5. Phương pháp tạo vách ngăn + Bước 1: Sắp xếp m đối tượng vào m vị trí sẽ tạo ra m + 1 vách ngăn . + Bước 2: Sắp xếp đối tượng khác theo yêu cầu bài toán từ m + 1 vách ngăn nói trên. 6. Phương pháp sử dụng "bài toán chia kẹo Euler" Nhận xét: + Hầu hết các bài toán tổ hợp đều sử dụng một trong các phương pháp trên, tuy nhiên sự linh hoạt của phương pháp tùy thuộc vào khả năng của từng học sinh. + Đối với bài toán mà tập ban đầu có số 0 ta xét trường hợp xem số 0 là một số có nghĩa ta được kết quả n1 , xét trường hợp số 0 đứng đầu ta được kết quả n2 , kết quả cần tìm là n1 − n2 III. Tìm tòi và phát triển một số bài toán 1. Bài toán về số tự nhiên 1.1. Cách lập số tự nhiên Bước 1: Gọi số cần tìm là x = a1...ak Bước 2: Liệt kê các tính chất của số x thỏa mãn yêu cầu. Bước 3: Dựa vào tính chất xem bài toán có chia trường hợp không. Bước 4: Thứ tự đếm (đếm ưu tiên) + Đếm các chữ số có mặt trong tính chất. + Đếm chữ số đầu tiên nếu nó chưa được đếm hoặc tập hợp ban đầu có chữ số 0 12
+ Đếm các chữ số còn lại. Bước 5: Sữ dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp tìm kết quả. - Khi lập một số tự nhiên x = a1...an ta cần lưu ý: * ai 0,1,2,...,9 và a1  0 . * x là số chẵn  an là số chẵn * x là số lẻ  an là số lẻ Chú ý: Đây là cách giải thông thường, chúng ta có thể sử dụng các phương pháp trên để bài toán có lời giải ngắn gọn hơn. 1.2. Tính chia hết của số tự nhiên Gọi số tự nhiên x = a1...an với ai 0,1,2,...,9 và a1  0 . Khi đó: * x chia hết cho 2  an là số chẵn * x chia hết cho 3  a1 + a2 + ... + an chia hết cho 3 * x chia hết cho 4  an−1an chia hết cho 4 * x chia hết cho 5  an 0,5 * x chia hết cho 6  x là số chẵn và chia hết cho 3 * x chia hết cho 8  an−2 an−1an chia hết cho 8 * x chia hết cho 9  a1 + a2 + ... + an chia hết cho 9 . * x chia hết cho 11  tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn là một số chia hết cho 11 . * x chia hết cho 25  hai chữ số tận cùng là 00,25,50,75 . 1.3. Các ví dụ Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1,2,...,9 . (Ví dụ 4, Đại số Giải tích 11, trang 50). Lời giải: + Mỗi số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy năm chữ số khác nhau từ chín chữ số đã cho và xếp chúng theo một thứ tự nhất định. + Mỗi số như vậy được coi là một chỉnh hợp chập 5 của 9 . + Vậy số các số đó là A95 = 15120 số 13
Phân tích: Đây là bài toán đưa ra với mục đích áp dụng khái niệm chỉnh hợp. Bài toán được giải khá đơn giản. Tuy nhiên, chúng ta có thể cho học sinh nhìn nhận bài toán theo nhiều khía cạnh khác: +) Có bao nhiêu số tự nhiên như vậy mà là số chẵn? +) Có bao nhiêu số tự nhiên như vậy chia hết cho 5 ? +) Có bao nhiêu số tự nhiên như vậy chia hết cho 3 ? +) Nếu ta thay tập hợp trên bằng tập hợp các chữ số 0,1,2,...,9 . Hãy giải các bài toán tương tự như trên? Hướng dẫn giải các ý đã phân tích ở trên. +) Có bao nhiêu số tự nhiên như vậy mà là số chẵn? Gọi số cần lập là n = abcde a, b, c, d , e 1,2,3,...,9; a  b  c  d  e Vì n chẵn nên hàng đơn vị phải là số chẵn, do đó e2,4,6,8 Lúc này chúng ta ưu tiên chọn e trước Có 4 cách e . Ứng với mỗi cách chọn e sẽ có A84 cách chọn a, b, c, d . Vậy có 4. A84 = 6720 số chẵn. +) Có bao nhiêu số tự nhiên như vậy chia hết cho 5 ? Theo tính chất chia hết ta có, số tự nhiên chia hết cho 5 là số có hàng đơn vị bằng 0 hoặc bằng 5 Gọi số cần lập là n = abcde a, b, c, d , e 1,2,3,...,9; a  b  c  d  e Với tập 1,2,3,...,9  e = 5 hay e có 1 cách chọn Ứng với mỗi cách chọn e sẽ có A84 cách chọn a, b, c, d . Vậy có 1. A84 = 1680 số hết cho 5 . +) Có bao nhiêu số tự nhiên như vậy chia hết cho 3 ? Ta có số tự nhiên x = a1...an chia hết cho 3  a1 + a2 + ... + an chia hết cho 3 Bước 1: Liệt kê tất cả các tập con có 5 phần tử của tập hợp 1,2,3,...,9 Bước 2: Tính tổng của các phần tử của các tập con ở bước 1, để lấy ra những tập có tổng chia hết cho 3 . Chẳng hạn tập A = 1,2,3,4,5; B = 1,2,3,4,8;... Bước 3: Giải bài toán " Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau được lập từ A = 1,2,3,4,5; B = 1,2,3,4,8;... " 14
+) Nếu ta thay tập hợp trên bằng tập hợp các chữ số 0,1,2,...,9 . Hãy giải các bài toán tương tự như trên? Vì tập hợp này có xuất hiện số 0 nên khi lập số tự nhiên chúng ta cần lưu ý chữ số đầu tiên phải khác 0 và khi lập các số chẵn hay số chia hết cho 5 chúng ta phải chia ra các trường hợp xẩy ra đối với hàng đơn vị. Để dễ hiểu hơn các nội dung trên đồng thời phát triễn một số bài toán đếm số tự nhiên, sau đây chúng ta sẽ tiếp cận với bài toán: Bài toán 1: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6} . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên a) Có 4 chữ số b) Có 4 chữ số đôi một khác nhau c) Có 4 chữ số đôi một khác nhau và là số lẻ d) Có 4 chữ số đôi một khác nhau và là số chẵn e) Có 4 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 3 f) Có 4 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5 g) Có 4 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 6 Phân tích: Trước hết ta thấy đây là bài toán lập số tự nhiên mà trong tập hợp có chứa chữ số 0, do đó khi giải HS thường hay mắc sai lầm vì không chia ra các trường hợp xẩy ra đối với hàng đơn vị. Lời giải: Gọi số cần lập là n = abcd , a) Số tự nhiên có 4 chữ số, tức là không nhất thiết khác nhau. + a có 6 cách (a  0) + b, c, d có 7.7.7 = 343 cách + Vậy có 6.343 = 2058 số. b) Gọi số cần lập là n = abcd , a 1,2,3,4,5,6; b, c, d 0,1,2,3,4,5,6; a  b  c  d + Chọn a có 6 cách (a  0) + Với mỗi cách chọn a ta có 6 cách b (b  a) + Với mỗi cách chọn a, b ta có 5 cách c (c  a; c  b) + Với mỗi cách chọn a, b, c ta có 4 cách d (d  a; d  b; d  c) + Vậy có 6.6.5.4 = 720 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.. 15
c) Gọi số cần lập là n = abcd a 1,2,3,4,5,6; b, c 0,1,2,3,4,5,6; d 1,3,5; a  b  c  d + d lẻ nên d có 3 cách chọn + Chọn a có 5 cách chọn (a  0; a  d ) + Chọn b có 5 cách chọn (b  a; b  d ) + Chọn c có 4 cách chọn (c  a; c  b; c  d ) + Vậy có 3.5.5.4 = 300 số. d) Cách giải có tương tự câu c) hay không? Dự đoán HS đưa ra cách giải: + d chẵn nên d có 4 cách chọn + Chọn a có 5 cách chọn (a  0; a  d ) + Chọn b có 5 cách chọn (b  a; b  d ) + Chọn c có 4 cách chọn (c  a; c  b; c  d ) + Vậy có 4.5.5.4 = 400 số. Sai lầm HS gặp phải: Khi đếm d là 0 thì cách đếm a phải là 6, như vậy lời giải trên là sai. Vậy cách giải như thế nào? Lời giải đúng Cách 1: Đếm loại trừ + Số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập A là 720 số + Số tự nhiên lẻ có 4 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập A là 300 số + Số tự nhiên chẵn cần tìm là 720 − 300 = 420 số Cách 2: Đếm trực tiếp Gọi số cần lập là n = abcd , a 1,2,3,4,5,6; b, c 0,1,2,3,4,5,6; d 0,2,4,6; a  b  c  d TH 1: d = 0  có 1 cách chọn d . + Với mỗi cách chọn d ta có 6 cách chọn a 1,2,3,4,5,6 + Với mỗi cách chọn a, d ta có 5 cách chọn b 1,2,3,4,5,6 + Với mỗi cách chọn a, b, d ta có 4 cách chọn c 1,2,3,4,5,6 + Suy ra trong trường hợp này có 1.6.5.4 = 120 số. 16
TH 2: d  0  d 2,4,6  có 3 cách chọn d + Với mỗi cách chọn d , do a  0 nên ta có 5 cách chọn a 1,2,3,4,5,6 \ d  + Với mỗi cách chọn a, d ta có 5 cách chọn b 0,1,2,3,4,5,6 \ a, d  + Với mỗi cách chọn a, b, d ta có 4 cách chọn c 0,1,2,3,4,5,6 \ a, b, d  + Suy ra trong trường hợp này có 3.5.5.4 = 300 số. + Vậy có tất cả 120 + 300 = 420 số cần lập. e) Ta có một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số chia hết cho 3 . + Trong tập A có các tập con có tổng các chữ số chia hết cho 3 là {0,1,2,3}, {0,1,2,6}, {0,2,3,4}, {0,3,4,5}, {1,2,4,5}, {1,2,3,6}, 1,3,5,6 . TH 1: Xét tập {0,1,2,3}, + Gọi x = abcd với a, b, c, d {0,1,2,3}, là số cần lập. + Vì a  0 nên a có 3 cách chọn. + Ứng với mỗi cách chọn a ta có: 3! cách chọn b, c, d . + Vậy có 3.3! = 18 số. + Như vậy đối với các tập {0,1,2,3}, {0,1,2,6}, {0,2,3,4}, {0,3,4,5}có 4.18 = 72 số TH 2: Xét tập {1,2,4,5} + Gọi x = abcd với a, b, c, d {1,2,4,5} là số cần lập. + Khi đó có 4! = 24 số. + Như vậy đối với các tập {1,2,4,5}, {1,2,3,6}, 1,3,5,6 .có 3.24 = 72 số + Vậy số các số cần lập là: 72 + 72 = 114 số. f). Gọi x = abcd là số cần lập, a, b, c 0,1,2,3,4,5,6; d 0,5 , a  0 TH 1: d = 0  d có 1 cách chọn, cách chọn các số a, b, c : 6.5.4 = 120 + Trường hợp này có 120 số TH 2: d = 5  d có một cách chọn, số cách chọn a, b, c là: 5.5.4 = 100 + Trường hợp này có 100 số + Vậy có 120 + 100 = 220 số thỏa mãn yêu cầu bài toán. g) Ta có một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi số đó chẵn và chia hết cho 3 . + Theo câu d) ta có các tập con có tổng các chữ số chia hết cho 3 là {0,1,2,3}, {0,1,2,6}, {0,2,3,4}, {0,3,4,5}, {1,2,4,5}, {1,2,3,6}, 1,3,5,6 . 17
• Xét các tập {0,1,2,3}, {0,3,4,5}là tập có hai chữ số chẵn trong đó có chứa số 0 + Gọi x = abcd với a, b, c {0,1,2,3}; d {0,2}; a  0 là số cần lập. TH1: d = 0  d có 1 cách chọn, khi đó a, b, c có: 3! = 6 cách chọn + Trường hợp này có 6 số TH2: d = 2  d có 1 cách chọn, khi đó a, b, c có: 2.2.1 = 4 cách chọn + Trường hợp này có 4 số + Vậy đối với hai tập {0,1,2,3}, {0,3,4,5} có 2(6+4)=20 số • Xét các tập {0,1,2,6}{0,2,3,4} là tập có ba chữ số chẵn trong đó có chứa số 0 + Gọi x = abcd với a, b, c {0,1,2,6}; d {0,2,6}; a  0 là số cần lập. TH1: d = 0  d có 1 cách chọn, khi đó a, b, c có: 3! = 6 cách chọn + Trường hợp này có 6 số TH2: d {2,6}  có 2 cách chọn, khi đó a, b, c có: 2.2.1 = 4 cách chọn + Trường hợp này có 2.4 = 8 số + Vậy đối với hai tập {0,1,2,6} {0,2,3,4} có 2(6+8)=28 số. • Xét các tập {1,2,4,5}, {1,2,3,6} là tập có hai chữ số chẵn không chứa số 0 + Gọi x = abcd với a, b, c {1,2,4,5}; d {2,4} là số cần lập. + Khi đó có d có 2 cách chọn, khi đó a, b, c có: 3! = 6 cách chọn. + Do đó có 2.6 = 12 số + Như vậy đối với các tập {1,2,4,5}, {1,2,3,6}có 2.12 = 24 số • Xét tập 1,3,5,6 là tập có một chữ số chẵn không chứa số 0 + Gọi x = abcd với a, b, c {1,3,5,6}; d = 6 là số cần lập. + Khi đó có d có 1 cách chọn; a, b, c có: 3! = 6 cách chọn. + Như vậy đối với tập 1,3,5,6 có 3! = 6 số + Vậy có 20 + 28 + 24 + 6 = 78 số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Bài toán 2: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} . Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số mà: a) Luôn có mặt 2 chữ số 2,3 b) Luôn có mặt 2 chữ số 2,3 và hai chữ số này luôn đứng kề nhau. c) Luôn có mặt 2 chữ số 2,3 và hai chữ số này không đứng kề nhau. 18
Lời giải: Gọi số cần tìm là n = a1a2 a3a4 a5 a) Cách 1: Đếm vị trí 2 3 + Chữ số 2 có 5 vị trí, suy ra chữ số 3 có 4 vị trí + Ba chữ số còn lại có A73 cách sắp xếp + Vậy ta có 5.4. A73 = 4200 số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Cách 2: Dùng phương pháp lấy trước rồi sắp xếp sau: + Lấy ra 5 số từ tập A Số 2,3 có 1 cách chọn, 3 số còn lại được lấy từ tập A \ 2,3 nên có C73 cách, suy ra có C73 cách lấy ra 5 số mà 2,3 luôn có mặt. + Sắp xếp 5 số váo 5 vị trí ta có 5! cách + Vậy ta có 5!.C73 = 4200 số thỏa mãn yêu cầu bài toán. b) Dùng phương pháp lấy trước rồi sắp xếp sau: + Lấy ra 5 số từ tập A Số 2,3 có 1 cách chọn, 3 số còn lại được lấy từ tập A \ 2,3 nên có C73 cách, suy ra có C73 cách lấy ra 5 số mà 2,3 luôn có mặt. + Sắp xếp số 2,3 kề nhau nên ta xem là một số a có 2! cách, sắp xếp số a với 3 số còn lại có 4! cách, từ đó số cách sắp xếp 5 chữ số đã cho như trên là 2!.4! cách + Vậy ta có C73.2!.4! = 1680 số thỏa mãn yêu cầu bài toán. c) Do số có các số 2,3 không đứng cạnh nhau nên ta sử dụng phương pháp loại trừ + Số các chữ số có 5 chữ số khác nhau luôn có mặt 2 chữ số 2,3 là 5!.C73 + Số các số có 5 chữ số khác nhau sao cho 2 chữ số 2,3 đứng cạnh nhau là 4!.2!.C73 + Vậy số cần tìm là: 5!C73 − C73 2!.4! = 2520 số . Bài toán 3: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt hai lần, chữ số 3 có mặt ba lần và các chữ số còn lại có mặt nhiều nhất một lần? Lời giải: Ta sử dụng phương pháp đếm loại trừ 19
Bước 1: Ta đếm các số có 7 chữ số được chọn từ các số 2,2,3,3,3, a, b với a, b0,1,4,5,6,7,8,9 , kể cả số 0 đứng đầu. + Ta có được: 7! số như vậy. + Tuy nhiên khi hoán vị hai số 2 cho nhau hoặc 3 số 3 cho nhau thì ta được số không đổi, tức là có 2!.3! lần bị lặp lại 7! + Do đó theo khái niệm hoán vị lặp ta có = 420 số. 2!.3! + Vì có C82 cách chọn a, b nên ta có tất cả là : 420.C82 = 11760 số. Bước 2: Ta đếm các số có 6 chữ số được chọn từ các số 2,2,3,3,3, x với x 1,4,5,6,7,8,9 . 6! 1 + Tương tự như trên ta tìm được C7 = 420 số 2!.3! + Vậy số các số thỏa yêu cầu bài toán: 11760 − 420 = 11340 số. Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho mười khách vào mười ghế kê thành một dãy? (Bài tập 2, Đại số Giải tích 11, trang 54). Lời giải: Mỗi cách xếp chỗ ngồi cho mười khách vào mười ghế kê thành một dãy là một hoán vị của 10 phần tử. Vậy tổng số cách xếp là: P10 = 10! cách. Phân tích: Đây cũng là một bài toán hoán vị bình thường, tất nhiên, học sinh có thể đặt câu hỏi tương tự khi: + Xếp vào bàn tròn? + Học sinh có thể phát triển bài toán thành: có 5 cặp vợ chồng được xếp thành một hàng sao cho các ông chồng và bà vợ đứng xen kẽ nhau?. Từ bài toán đó, chúng ta hướng học sinh đến khái niệm vách ngăn trong bài toán đếm. Đây là một khái niệm hay và quan trọng khi sử dụng cho các bài toán sắp xếp. Hướng dẫn giải các ý đã phân tích ở trên. + Có bao nhiêu cách xếp chỗ cho mười khách vào mười ghế kê thành một bàn tròn? * Trước hết ta xếp một người ngồi cố định vào một ghế. - Khi đó còn lại 9 cái ghế và bây giờ ta xếp 9 người còn lại vào 9 cái ghế đó. - Như vậy chúng ta có 9! cách sắp xếp. + Có bao nhiêu cách xếp 5 cặp vợ chồng thành một hàng sao cho các ông chồng và bà vợ đứng xen kẽ nhau? 20