Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phương pháp định hướng, tìm lời giải cho bài toán xác định công thức tổng quát của dãy số, tìm giới hạn tổng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:30

Thêm vào BST

Báo xấu

19
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến "Phương pháp định hướng, tìm lời giải cho bài toán xác định công thức tổng quát của dãy số, tìm giới hạn tổng" nhằm trình bày các ý tưởng, cách suy nghĩ để tìm lời giải cho bài toán xác định số hạng tổng quát của dãy số, giúp học sinh tiếp cận các cách giải khác nhau, so sánh chúng từ đó tìm ra lời giải tối ưu nhất cho bài toán. Qua đó, giúp các em không còn “ sợ” khi đối mặt với các bài toán dãy số.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phương pháp định hướng, tìm lời giải cho bài toán xác định công thức tổng quát của dãy số, tìm giới hạn tổng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT TƯƠNG DƯƠNG 2 ------------------- SÁNG KIẾN PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH HƯỚNG, TÌM LỜI GIẢI CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ, TÌM GIỚI HẠN TỔNG LĨNH VỰC: TOÁN NHÓM TÁC GIẢ: 1. TRẦN VĂN KHÁNH- PHÓ HIỆU TRƯỞNG 2. NGUYỄN VĂN HUẤN- GIÁO VIÊN TOÁN. SĐT: 0968632555 Năm học: 2021-2022 1
A - PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Dãy số và giới hạn của dãy số là một phần kiến thức vô cùng quan trọng trong chương trình toán học phổ thông, xuất hiện rất nhiều trong các đề thi học sinh giỏi Olympic, học sinh giỏi tỉnh, và trong các đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia. Trong rất nhiều bài toán, đôi khi “chiếc chìa khóa” chính là phải xác định được số hạng tổng quát của dãy số, tuy vậy công việc này cũng không hề dễ dàng với các em học sinh. Mặc dù có rất nhiều tài liệu hướng dẫn cách xác định công thức của số hạng tổng quát nhưng vấn đề ở chổ khi đối mặt với một bài toán dãy số các em chưa có một định hướng, tư duy chính xác để giải quyết được vấn đề. Qua thực tế giảng dạy bồi dưỡng học sinh khá, giỏi ở lớp 11 tại trường, tôi thấy các em học sinh rất khó khăn trong việc xác định số hạng tổng quát của dãy số. Vì thế tôi đã áp dụng một số biện pháp nhằm giúp các em có thể tiếp cận, tư duy định hướng và giải được các bài tập về dãy số tốt hơn. Để rút ra bài học cần thiết, tôi đã lựa chọn học sinh của lớp 11 qua bài kiểm tra và phần điều tra tôi đã phân loại chất lượng học tập và tìm nguyên nhân, từ đó thực hiện các biện pháp thích hợp trong quá trình giảng dạy. 2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài Trình bày các ý tưởng, cách suy nghĩ để tìm lời giải cho bài toán xác định số hạng tổng quát của dãy số, giúp học sinh tiếp cận các cách giải khác nhau, so sánh chúng từ đó tìm ra lời giải tối ưu nhất cho bài toán. Qua đó, giúp các em không còn “ sợ” khi đối mặt với các bài toán dãy số. Định hướng cho học sinh tính giới hạn của tổng thông qua việc thu gọn tổng đó bằng cách phân tích hạng tử tổng quát thành hiệu các hạng tử nối tiếp nhau để các hạng tử có thể triệt tiêu, cuối cùng đưa tổng đó về biểu thức chỉ còn chứa xn , sau đó tìm limxn. 3. Đối tượng nghiên cứu Các bài toán về xác định công thức tổng quát của dãy số và áp dụng tính giới hạn. Các bài toán tìm giời hạn của tổng. 4. Giới hạn của đề tài 2
Giới hạn của đề tài chỉ dừng lại ở việc định hướng tìm lời giải cho các bài toán xác định công thức tổng quát của một số dãy số, từ đó áp dụng vào một số bài toán cụ thể. Qua đó, người đọc có thể trang bị thêm cho mình phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số. Đặc biệt áp dụng các công thức lượng giác và lý thuyết về sai phân tuyến tính để giải quyết vấn đề. 5. Phương pháp nghiên cứu Để áp dụng được một phần đề tài “ Phương pháp định hướng, tìm lời giải cho bài toán xác định công thức tổng quát của dãy số, tìm giới hạn tổng’’ tôi kết hợp sử dụng phương pháp phép thế lượng giác, lý thuyết về phương trình sai phân tuyến tính cấp một và cấp hai qua một số chuyên đề mà bản thân tôi đã được học. Nội dung của đề tài nhằm cung cấp một số phương pháp cơ bản xác định công thức tổng quát của dãy số và có sự phân loại ở một số bài toán. Đây cũng là đề tài mà tôi đã dạy cho học sinh, đặc biệt là học sinh khá giỏi và lớp chọn và là tài liệu cho học sinh và đồng nghiệp tham khảo. Trong đề tài này tôi đã sử dụng một số kết quả có tính hệ thống của “ Lý thuyết phương trình sai phân” tuy nhiên những vấn đề áp dụng kiến thức toán học hiện đại chỉ dừng lại ở một số trường hợp đặc biệt và giới hạn trong trường số thực. B - PHẦN NỘI DUNG 1. Cơ sở lý luận Dựa trên công thức lượng giác dự đoán công thức của số hạng tổng quát của dãy số và chứng minh công thức bằng phương pháp quy nạp toán học. Dựa vào lý thuyết của phương trình sai phân tuyến tính để xác định số hạng tổng quát của dãy. Dựa vào phương pháp đặt ẩn phụ để đưa dãy chưa xác định được về cấp số nhân thông qua một dãy phụ để xác định số hạng tổng quát của dãy cần tìm. 2. Thực trạng việc dạy và học chuyên đề dãy số ở trường trung học phổ thông + Về phía giáo viên Trong những năm gần đây, hầu hết các giáo viên ở trường đã tích cực đổi mới phương pháp giảng dạy và chuyên đề dãy số cũng không phải ngoại lệ. Tất cả các thầy cô giáo của tổ đều nhận thấy được tầm quan trọng của việc giúp học sinh xác định được công thức của số hạng tổng quát của dãy số khi dãy số cho bằng công thức truy hồi. Các thầy cô đều nắm rất vững các phương pháp xác định công thức của số hạng tổng quát của dãy số và luôn cố gắng truyền đạt cho học sinh. Tuy nhiên, qua thăm dò ý kiến thì hầu hết các thầy cô đều cho rằng đây là một phần kiến thức “quá khó, vượt tầm” với hầu hết học sinh, các em có cố gắng nhưng vẫn 3
không thể hiểu nổi. Một bộ phận thầy cô tỏ ra chán nản và dạy qua loa đại khái cho xong, hiệu quả mang lại chưa cao, học sinh không tiếp cận được. + Về phía học sinh: Phần lớn các em đều ý thức được tầm quan trọng của dãy số, tuy nhiên các em thừa nhận rằng học phần dãy số quá khó khăn, đặc biệt là các cách xác định công thức của số hạng tổng quát. Các em có nắm phương pháp cũng không thể áp dụng được với những bài khác nhau. 3. Nội dung và hình thức của giải pháp 3.1 Mục tiêu của giải pháp Trang bị cho các em học sinh những kiến thức căn bản về các cách xác định công thức của số hạng tổng quát, giúp học sinh định hướng tư duy và tìm tòi lời giải. Giới thiệu cho học sinh các cách giải khác nhau trên một số bài toán để các em có cái nhìn đa chiều, so sánh và đánh giá chúng để tìm ra cách giải tối ưu. 3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp 3.2.1 Sử dụng phép thế lượng giác  1 u1  2 Ví dụ 1: Xác định số hạng tổng quát của dãy số sau:  u  2u 2  1  n n1 Cách giải 1: Ý tưởng: Dựa vào công thức truy hồi ta kiểm tra một vài số hạng của dãy 1 u1  2 1 1 u2  2 1   4 2 2  1 1 u3  2     1    2 2 1 u4   2 ............... 1  un   2 4
Từ những kết quả có được ta có thể dự đoán và chứng minh công thức của số hạng tổng quát bằng phương pháp quy nạp. Nhưng không phải bài nào cũng đẹp như vậy, do đó ta có cách giải thứ 2 Cách giải 2: Ý tưởng: Từ hệ thức truy hồi ta liên tưởng đến công thức: cos2 x  2cos 2 x 1 Do đó:  2 u1  cos , u2  2cos 2 x 1  cos 3 3 4 8 2n1 u3  cos , u4  cos ...  un  cos 3 3 3 Bằng phương pháp chứng minh quy nạp ta được: 2n1 1 un  cos  3 2  1 u1  2 Ví dụ 2: Xác định số hạng tổng quát của dãy số sau:   2  2 1  u 2n1 un   2 Ý tưởng: Ta liên tưởng đến công thức sin x  cos x  1 2 2    2  2 1  sin 2 2  2cos 2 1  cos  1  6  6   6  u   sin , u   sin 1 2 6 2 2 2 2 2.6     u1  sin , u2  sin , u  sin ,..., un  sin n1 6 2.6 3 4.6 2 .6 Bằng phương pháp chứng minh quy nạp ta dễ dàng chứng minh được  un  sin n1 2 .6 u  3  1 Ví dụ 3: Cho dãy số ( un ) xác định bởi  un1  2 1 . Tính u2021  n u  n  2  1  (1  2)un1 5
Ý tưởng: un1  tan   8 Ta có: tan  2  1  un  8  1  tan un1 8 tan   tan   3 8  tan(   ) Mà u1  3  tan  u2  3   3 8 1  tan tan 3 8   Bằng quy nạp ta chứng minh được u n  tan[  (n 1) ] 3 8  2020 Vậy u 2021  tan(  ) 3 8 Ví dụ 4: Cho dãy số ( un ) xác định bởi  3 u1   2  n  2;  1  1  u 2 n 1 un   2 Đặt: Sn  u  u  u  ...  un 1 2 3 Chứng minh: lim Sn  2,095 . Đây là một bài toán tìm giới hạn, tuy nhiên ta phải xác định được công thức tổng của dãy mới tìm được giới hạn 3  Ý tưởng: Ta có u   sin 1 2 3    1  1  u12 1  1  sin 2 1  cos 2sin 2 u   3  3  3.2  sin  2 2 2 2 2 3.221    1  1  u22 1  1  sin 2 1  cos 2sin 2 2 u   3.2  3.2  3.2  sin  3 2 2 2 2 3.231 6
 Dự đoán un  sin n1 . Chứng minh bằng quy nạp 3.2 lim Sn  u  u  ...  un  u  ... 1 1 n1      sin  sin  ...  sin  sin  ... 3 3.2 3.2n1 3.2n  Do sinx  x, x  (0; ) nên 2  1 1 1 1  lim Sn  1    ...  n   ... 3  2 22 2 2n1     1  2      2.095 3  1 1  3  2 Bài tập áp dụng:  2 u1  Bài 1. Cho dãy số xác định bởi  2  2 un  2 1  1  un 2 Xác đinh biểu thức un theo n u  v  2  0 0  Bài 2. Cho hai dãy số (un ) và (v n ) được xác định bởi u 2u v  n n  n1 un  vn  vn1  un1vn Hãy xác định u n ; v n theo n.  1 u1  2 2n Bài 3. Cho hai dãy số (un )  . Tìm lim . u  2u 2  1, n  2 n  n n1 7
u  3  1  Bài 4. Cho hai dãy số (un )  u n 1 n  2 . Tìm lim 2n.un . un   1 1 u2  n1  1 u1  2  Bài 5. Cho hai dãy số (un )    n  1 . Tìm limun . u  1  u  u 2  1 ,  n 2  n n 4n    u u ...un Bài 6. Cho dãy un  2  2  2  ... 2 ( n dấu căn) lim 1 2n 2 3.2.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình sai phân có dạng u1   , a.un1  b.un  f n , n  N * Trong đó a, b,  là các hằng số, a  0 và f n là đa thức theo n. Dạng 1 Tìm un thỏa mãn điều kiện u1   , a.un1  b .un  0 (1.1) Trong đó a, b,  cho trước n  N * Ý tưởng 1: Đây là một cấp số nhân n1   un , q   , u    un  u q n1      b b  b u n1 a a 1 1  a Ý tưởng 2: b Giải phương trình đặc trưng a.  b  0 để tìm    , khi đó un  q n (q a là hằng số), trong đó q được xác định khi biết u1   . Ví dụ 1: Xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân, biết số hạng đầu tiên bằng 1 và công bội bằng 2. 8
Bài giải : ta có u  1, q  2  un  2n1 1 Hoặc giải như sau: un1  2 un , u1  1 (1.2) 1 Phương trình đặc trưng có nghiệm   2 vậy un  c.2n . Từ u1  1 suy ra c  do đó un  2n1 2 Dạng 2 Tìm un thỏa mãn điều kiện u1   , aun1  bun  f n , n  N * (2 .1) Trong đó f n là đa thức theo n Ý tưởng 1: b f Ta có u  un  n Đặt vn  un  a để chuyển về cấp số nhân, sau đó tìm dãy n1 a a vn rồi suy ra dãy un Ý tưởng 2: Giải phương trình đặc trưng a.  b  0 ta tìm được  ta có un  un0  un* trong đó un0 là nghiệm của phương trình thuần nhất (1.1) và un* là nghiệm riêng tùy ý của phương trình không thuần nhất (2.1) Vậy un0  q. n q là hằng số sẽ được xác định như sau: Ta xác định un* như sau: 1) Nếu   1 thì un* là đa thức cùng bậc với f n 2) Nếu  1 thì un*  n.g n với g n là đa thức cùng bậc với f n Thay un* vào phương trình, đồng nhất các hệ số ta tính được các hệ số của un* Ví dụ 2: Tìm un thỏa mãn điều kiện u  2 1  un  3u n1 1 9
Cách giải 1: Đặt vn  un  a  un  vn  a 1 u v  a  vn  a  3v  3a 1 . Để đây là cấp số nhân thì a   n1 n1 n1 2 vn  3v , v  u   vn   3n1 1 5 1 n1 1 1 2 2 Vậy vn  un  thay vào hệ thức truy hồi  un  vn       3n1  2  1 5 1  2 2 2 Cách giải này rất dài dòng nên ta dùng phương pháp sai phân tuyến tính như cách giải sau sẽ nhanh hơn Cách giải 2: Nghiệm   3, un  c.3n  u*n mà u*n  B  u B n1 vì vậy ta có 5 B  3B 1  B   un  c.3n  , u  2  c   Vậy un  .3n1  1 1 5 1 2 2 1 6 2 2 Và những bài toán dạng sau thì dùng phương pháp sai phân tuyến tính sẽ nhanh hơn u  10 Tìm un thỏa mãn điều kiện  1 - un1  5un  8n  3n 2 u  5 Tìm un thỏa mãn điều kiện  1 - un1  un  4n  7 2 Ví dụ 3: Tìm un thỏa mãn điều kiện u1  2; un1  un  2n, n  N * (2.2) Ý tưởng 1: 10
u u 2 2 1 u  u  2.2 3 2 u  u  2.3 4 3 . . . un  u  2.(n  1) n1 cộng vế theo vế ta tìm được un  u  2(1  2  ...  n 1)  un  n2  n  2 1 Tuy nhiên để đưa về số hạng tổng quát đối với các bài toán khác nhau là rất khó nên dùng phương pháp sai phân tuyến tính sẽ dễ dàng hơn Ý tưởng 2: Phương trình đặc trưng   1  0 có nghiệm   1 ta có un  un0  un* trong đó un0  c.1n  c, un*  n  an  b  thay un* vào phương trình (2.2) ta được  n  1  a  n  1  b   n  an  b   2n (2.3) thay n  1 và n  2 vào (2.3) ta được hệ phương trình sau: 3a  b  2 a  1   5a  b  4 b  1 Do đó un*  n  n 1 Ta có un  un0  un*  c  n  n  1 Vì u1  2 nên 2  c  11  1  c  2 Vậy un  2  n  n  1 , hay un  n 2  n  2 Ví dụ 4: Tìm un thỏa mãn điều kiện u  2  1  un  2un1  3n  1 Ý tưởng 1: 11
Đặt vn  un  an  b  un  vn  an  b, u v  a(n  1)  b thay vào hệ thức n1 n1 truy hồi ta được: vn  2vn  2an  2a  2b+an+b+3n 1 để dãy trở thành cấp số nhân thì a = 3, b = 5, vn  un  3n  5, v  10,  vn  10.2n1  5.2n  un  5.2n  3n  5 1 Ý tưởng 2: Nghiệm   2, un  c.2n  un* mà un*  an  b  u  an  a  b vì vậy ta có n1 a  3  0  a  3 an  b  2an  2a  2b  3n 1    b  2a  1 b  5  un  c.2n  3n  5, u  2  c  5 1 Vậy un  5.2n  3n  5 Bài tập áp dụng u  2 Bài 1: Cho dãy un xác định bởi  1 u Tìm lim n2 un1  un  2n n u  10 Bài 2: Tìm un thỏa mãn điều kiện  1 un1  5un  8n  4 u  5 Bài 3: Tìm un thỏa mãn điều kiện  1 un1  un  4n  7 Dạng 3 Tìm un thỏa mãn điều kiện u1   , a.un1  bun  v.n , n  N * (3.1) Trong đó f n là đa thức theo n Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a.  b  0 ta tìm được  ta có un  un0  un* Trong đó un0  c. n , c là hằng số chưa xác định, un* được xác định như sau: 12
1) Nếu    thì un*  A. n 2) Nếu    thì un*  A.n. n Thay un* vào phương trình (3.1) đồng nhất các hệ số ta tình được các hệ số của un* . Biết u1 , từ hệ thức un  un0  un* , ta tính được c. Ví dụ 5: Tìm un thoả mãn điều kiện u1  1; un1  3.un  2n , n  N * (3.2) Ý tưởng 1: Đặt vn  un  a.2n  un  vn  a.2n , u v  a.2.2n thay vào hệ thức truy n1 n1 v n  3vn  a.2  2 n n1 hồi ta được:  a  1, vn  un  2n , v  5, vn  3.3n1  3n 1 n  un  3  2 n Ý tưởng 2: Phương trình đặc trưng   3  0 có nghiệm   3 Ta có un  un0  un* trong đó un0  c.3n , un*  a.2n Thay un*  a.2n vào phương trình (3.2), ta thu được a.2n1  3a.2n  2n  2a  3a  1  a  1 Suy ra un  2n . Do đó un  c.3n  2n vì u1  1 nên c =1 vậy un  3n  2n Dạng 4 Tìm un thỏa mãn điều kiện u1   , a.un1  bun  f1n  f 2 n , n  N * (4.1) Trong đó f1n là đa thức theo n và f 2 n  v. n Phương pháp giải Ta có un  un0  u1*n  u2*n trong đó un0 là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất aun1  bun  0 , un* là nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất 13
a.un1  b.un  f1n , u2n * là nghiệm riêng bất kì của phương trình không thuần nhất a.un1  b.un  f 2 n Ví dụ 6: Tìm un thỏa mãn điều kiện u1  1; un1  2un  n2  3.2n , n  N * (4.2) Đối với bài này nếu ta dùng cách giải 1 như các bài trên thì bài toán trở nên dài dòng và phức tạp nên tôi xin trình bày theo 1 cách giải như sau: Giải Phương trình đặc trưng   2  0 có nghiệm   2 ta có un  un0  u1*n  u2*n trong đó un0  c.2n , un*  a.n2  b.n  c , u2*n  An.2n Thay un* vào phương trình un1  2.un  n2 , ta được a  n  1  b  n  1  c  2an2  2bn  2c  n 2 2 Cho n = 1, n = 2 ta thu được hệ phương trình  2a  c  1 a  1   a  b  c  4  b  2 2a  2b  c  9 c  3   Vậy u1*n  n2  2n  3 thay u2n * vào phương trình un1  2.un  3.2n , ta được 3 A  n  1 2n1  2 An.2n  3.2n  2 A  n  1  2 An  3  A  2 3 Vậy u2*n  n.2n  3n.2n1 2 Do đó un  c.2n   n 2  2n  3  3n.2n1 . ta có u1  1 nên 1  2c  2  3  c  0 vậy un  3n.2n1  n2  2n  3 Bài tập áp dụng: u  2  1 Bài 1: Cho dãy số  n  n Tìm công thức tổng quát của dãy un . u  n  2u  3 n1 14
u  1 Bài 2: Cho dãy số  1 n Tìm công thức tổng quát của dãy un . un  3un1  2 u  2 Bài 3: Cho dãy số  1 n n Tìm công thức tổng quát của dãy un  5un1  2.3  6.7  12 un . u  1 Bài 4: Cho dãy số  1 n Tìm công thức tổng quát của dãy un . un  2un1  3  n 3.2.3. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai là phương trình sai phân dạng: u1   , u2   , a.un1  bun  c.un1  f n , n  N * Trong đó a, b, c,  ,  là các hằng số, a  0 và f n là biểu thức của n cho trước (Nhận xét: Phương trình đặc trưng của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai luôn có hai nghiệm kể cả nghiệm phức, song nội dung của đề tài chỉ dừng lại trong trường hợp số thực, tức là chỉ xét nghiệm thực) Dạng 1 Tìm un thỏa mãn điều kiện u1   , u2   , aun1  bun  c.un1  0, n  N * (5.1) Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a. 2  b.  c  0 tìm  khi đó nếu 1 , 2 là hai nghiệm thực khác nhau thì un  A.1n  B.2n , trong đó A và B được xác định khi biết u1 , u2 Nếu 1 , 2 là hai nghiệm kép 1  2   thì un   A  Bn  . n , trong đó A và B được xác định khi biết u1 , u2 Ví dụ 7: Tìm un thỏa mãn điều kiện u0  1, u1  16, un2  8.un1  16.un (5.1) 15
Giải Phương trình đặc trưng  2  8  16  0 có nghiệm kép   4 Ta có un   A  B.n  .4n (5.2) Cho n=0 , n=1 thay vào (5.2) ta thu được hệ phương trình u0  1  A  A 1   u1  1  B .4  16  B  3  Vậy un  1  3n .4n Dạng 2 Tìm un thỏa mãn điều kiện u1   , u2   , a.un1  b.un  c.un1  f n , n  2, (6.1) Trong đó a  0, f n là đa thức theo n cho trước Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a. 2  b.  c  0 để tìm  . Khi dó ta có un  un0  un* , trong đó un0 là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất a.un1  b.un  c.un1  0 và un* là một nghiệm tùy ý của phương trình a.un1  b.un  c.un1  f n Theo dạng 1 ta tìm được un0 , trong đó hệ số A, B chưa được xác định , un* được xác định như sau: 1) Nếu   1 thì un* là đa thức cùng bậc với f n 2) Nếu   1 là nghiệm đơn thì un*  n.g n , g n là đa thức cùng bậc với f n 3) Nếu   1 là nghiệm kép thì un*  n.2 g n , g n là đa thức cùng bậc với f n , Thay un* vào phương trình đồng nhất các hệ số ta tính được các hệ số của un* . Biết u1 , u2 từ hệ thức un  un0  un* tính được A, B Ví dụ 8: Tìm un thỏa mãn điều kiện u1  1; u2  0, un1  2un  un1  n  1, n  2 (6.2) 16
Giải Phương trình đặc trưng  2  2  1  0 có nghiệm kép   1 ta có un  un0  un* trong đó un0   A  B.n  .1n  A  Bn, un*  n 2  a.n  b  thay un* vào phương trình (6,2), ta được  n  1 a  n  1  b   2n2  a.n  b    n  1 a  n  1  b   n  1 2 2 Cho n = 1, n = 2 ta thu được hệ phương trình  1 4  2a  b   2  a  b   2  a   6   9  3a  b   8  2a  b    a  b   3 b  1  2 n 1 Vậy un*  n 2    6 2 n 1 Do đó un  un0  un*  A  Bn  n 2    6 2 Mặt khác  1 1  A  B   1 A  4 6 2    11  1 1   A  2 B  4     0  B  3  3 2 11 n 1 Vậy un  4  n  n2    3 6 2 Dạng 3 Tìm un thỏa mãn điều kiện u1   , u2   , aun1  bun  c.un1  d . n , n  2 (7.1) Phương pháp giải 17
Giải phương trình đặc trưng a. 2  b.  c  0 để tìm  Khi đó ta có un  un0  un* , trong đó un0 được xác định như dạng 2 và hệ số A, B chưa được xác định, un* được xác định như sau 1) Nếu    thì un*  k . n 2) Nếu    là nghiệm đơn thì un*  k.n n 3) Nếu    là nghiệm kép thì un*  k .n.2  n Thay un* vào phương trình, dùng phương pháp đồng nhất thức các hệ số sẽ tính được hệ số k. Biết u1 , u2 từ hệ thức un  un0  un* tính được A, B. Ví dụ 9: Tìm un thỏa mãn điều kiện u1  0; u2  0, un1  2un  un1  3.2n , n  2 Giải Phương trình đặc trưng  2  2  1  0 có nghiệm kép   1 ta có un  un0  u1*n trong đó un0   A  B.n .1n  A  Bn, un*  k .2n Thay un* vào phương trình ta được k .2n1  2k .2n  k .2n 1  3.2n  k  6 Vậy un*  6.2n  3.2n1 .Do đó un  un0  un*  A  bn  3.2n1 (1) thay u1  1, u2  0 vào phương trình ta thu được hệ 1  A  B  12 A  2   0  A  2 B  24  B  13 Vậy un  2  13n  3.2n1 Dạng 4 Tìm un thỏa mãn điều kiện u1   , u2   , aun1  bun  c.un1  f n  g n , n  2 (8.1) Trong đó a  0, f n là đa thức theo n và g n  v. n Phương pháp giải 18
Ta có un  un0  u1*n  u2*n trong đó un0 là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất aun1  bun  c.un1  0 , u1n* là nghiệm riêng tùy ý của phương trình không thuần nhất aun1  bun  c.un1  f n , u2n * là nghiệm riêng tùy ý của phương trình không thuần nhất aun1  bun  c.un1  g n Ví dụ 10: Tìm un thỏa mãn điều kiện u1  0; u2  0, un1  2un  3un1  n  2n , n  2 (8.2) Giải Phương trình đặc trưng  2  2  3  0 có nghiệm 1  1, 2  3 ta có un  un0  u1*n  u2*n trong đó un0  A  1  B.3n , u1*n  a  bn, u2*n  k .2n n Thay u1n* vào phương trình un1  2un  3un1  n , ta được a  n  1  b  2  an  b   3  a  n  1  b   n   4a  1 n  4  a  b   0 1 Vậy a  b   4 1 Do đó un*   n  1 4 * Thay u2n vào phương trình un1  2un  3un1  2n , ta được 2 k .2n1  2.k .2n  3.k .2n1  2n  k   3 2 1 Do đó u2*n   .2n   .2n1 3 3 1 1 Vậy un  un0  u1*n  u2*n  A  1  B.3n   n  1  .2n1 (8.3) n 4 3 Ta thay u1  1, u2  0 vào (8.3) ta được hệ phương trình 19
 1 4  61   A  3 B    1  A   2 3 48     A  9B  3  8  0  B  25  4 3  48 61 25 1 1 Vậy un   . 1  .3n  . n  1  .2n1 n 48 48 4 3 Bài tập áp dụng: uO  1, u  16 Bài 1: Cho dãy số  1 u Tìm lim n1 un2  8un1 16un un n u  1, u  0  uk Bài 2: Cho dãy số  1 2 Tìm lim k 12 un1  2un  un1  n  1, n2 n u  0, u  0 Bài 3: Cho dãy số  1 2 un n Tìm lim un1  2un  un1  3.2 , n2 2n 3.2.4. Giới hạn của tổng Các bài toán về tìm giới hạn của tổng ta thu gọn tổng đó bằng cách phân tích hạng tử tổng quát thành hiệu các hạng tử nối tiếp nhau để các hạng tử có thể triệt tiêu, cuối cùng đưa tổng đó về biểu thức chỉ còn chứa xn , sau đó tìm limxn. Ví dụ 1. (Đề thi HSG Nghệ An 2018) un2  n  un  1  n 2 Cho dãy số  un  , biết u1  6, un1  với n  1. n 1 1 1 Tính giới hạn: lim    ...   .  u1 u2 un  Ý tưởng: un2  n  un  1  n 2 Từ giả thiết un1  phân tích biến đổi thành hiệu các hạng n 1 1 1 1 1 1 tử.   . Sau đó ta sẽ thu gọn tổng    ...   uk uk  k uk 1   k  1  u1 u2 un  20