Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phương pháp giải nhanh chiều biến thiên và cực trị của hàm ẩn trong kì thi THPT QG

Chia sẻ: Behodethuonglam | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:40

Thêm vào BST

Báo xấu

25
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của sáng kiến là giúp các em học sinh THPT tiếp thu tốt các kiến thức cơ bản về chiều biến thiên và cực trị của hàm ẩn, đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt kiến thức đó để giải toán và áp dụng trong thực tiễn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phương pháp giải nhanh chiều biến thiên và cực trị của hàm ẩn trong kì thi THPT QG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT NAM ĐÀN 2 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN Tên đề tài: PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH CHIỀU BIẾN THIÊN VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM ẨN TRONG KÌ THI THPT QG. Giáo viên: Nguyễn Văn Hạnh Tổ: Toán – Tin ĐT: 0386283566 1
NĂM HỌC 20202021 I. Đặt vấn đề Theo chủ trương của Bộ giáo dục & đào tạo, kì thi THPT quốc gia môn toán đã và đang sử dụng hình thức thi trắc nghiệm, đây là một sự thay đổi lớn trong việc kiểm tra đánh giá đối với bộ môn toán. Khi thi trắc nghiệm, đòi hỏi học sinh phải có sự hiểu biết thật sâu sắc về kiến thức và phải biết sắp xếp trình tự tư duy logic hơn, nhanh hơn để đáp ứng thời gian hoàn thành một câu trắc nghiệm trung bình khoảng 1,8 phút. Trong đó câu dễ khoảng 3 phút, câu khó khoảng 1 phút, nhanh hơn nhiều so với yêu cầu đánh giá cũ. Trong chương trình toán THPT, chiều biến thiên và cực trị của hàm số được hoàn thiện trong SGK lớp 12 chương I, thông qua bài toán đạo hàm. Nội dung này là bài toán “ cứng” trong đề thi THPT quốc gia, đặc biệt chiều biến thiên và cực trị của hàm ẩn là một trong những câu khó của đề thi. Với mong muốn giúp các em học sinh THPT tiếp thu tốt các kiến thức cơ bản về chiều biến thiên và cực trị của hàm ẩn, đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt kiến thức đó để giải toán và áp dụng trong thực tiễn, tôi đã chọn đề tài " Phương pháp giải nhanh chiều biến thiên và cực trị của hàm ẩn trong kì thi THPT QG". Bằng kiến thức cơ bản về đạo hàm, việc xét dấu của đạo hàm giúp học sinh phát triển khả năng phân tích tổng hợp về chiều biến thiên và cực trị của hàm ẩn, từ đó học sinh hiểu bài, nhớ lâu, thay cho ghi nhớ dưới dạng thuộc lòng, học tủ, phù hợp với tâm sinh lí học sinh, đơn giản dễ hiểu thay cho việc ghi nhớ lí thuyết hàn lâm. II. Giải quyết vấn đề 1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 1.1. Quy tắc tính đạo hàm của hàm số, đạo hàm của hàm hợp Định lí 1 a) Hàm số y = x n ( n �ﾢ , n > 1) có đạo hàm tại mọi x ﾢ và ( x ) ' = nx n n −1 . b) Hàm số y = x có đạo hàm tại mọi x dương và ( x ) ' = 21x . Định lí 2 2
Giả sử u = u ( x ) , v = v ( x ) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc tập xác định. Ta có ( u + v ) = u '+ v ' ( u − v ) ' = u '− v ' ( uv ) ' = u ' v + uv ' �u � u ' v − uv ' �� '= v2 ( v = v( x) 0 ) �v � Định lí 3 Nếu hàm số u = g ( x ) có đạo hàm tại x là u 'x và hàm số y = f ( x ) đạo hàm tại u là y 'u thì hàm hợp y = f ( g ( x ) ) có đạo tại x là y 'x = y 'u .u 'x 1.2. Các định lý về điều kiện đủ của chiều biến thiên của hàm số. Định lí 1 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên K a) f ' ( x ) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số đồng biến trên K . b) f ' ( x ) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K . Quy tắc + Tính f ' ( x ) , giải phương trình f ' ( x ) = 0 tìm nghiệm. + Lập bảng xét dấu f ' ( x ) > 0 . + Dựa vào bảng xét dấu và kết luận. Định lí 2. Tìm m để hàm số y = f ( x, m ) đơn điệu trên khoảng (a,b) a) Để hàm số đồng biến trên khoảng ( a, b ) thì f ' ( x ) 0, ∀x ( a, b ) . b) Để hàm số nghịch biến trên khoảng ( a, b ) thì f ' ( x ) 0, ∀x ( a, b ) 1.3. Các định lý về điều kiện đủ về cực trị của hàm số Định lí 1 a) Nếu f ' ( x ) = 0 hoặc f ' ( x ) không xác định tại x và f ' ( x ) đổi 0 0 dấu từ dương sang âm khi x qua x0 thì x0 là điểm cực đại của hàm sô. 3
b) Nếu f ' ( x ) = 0 hoặc f ' ( x ) không xác định tại x và f ' ( x ) đổi 0 0 dấu từ âm sang dương khi x qua x0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm sô. Quy tắc +) Tính f ' ( x ) +) Tìm các điểm tới hạn của hàm số (tại đó f ' ( x0 ) = 0 hoặc f ' ( x ) không xác định) +) Lập bảng xét dấu f ' ( x ) dựa vào bảng xét dấu và kết luận. 2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Chiều biến thiên và cực trị của hàm ẩn là một nội dung mới lạ đối với học sinh THPT. Học sinh còn bở ngỡ, lúng túng và mất khá nhiều thời gian khi gặp dạng toán này. 3. Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm Bài toán 1. Xét chiều biến thiên của hàm ẩn 1.1. Cho biểu thức f ' ( x ) . Tìm khoảng đơn điệu của hàm số f � u ( x) � � �. 1.2. Cho bảng biến thiên của f ' ( x ) . Tìm khoảng đơn điệu của hàm số u ( x) � f� � �. 1.3. Cho đồ thị f ' ( x ) Tìm khoảng đơn điệu của hàm số f � u ( x) � � �. 1.4. Cho đồ thị f ' ( x ) . Tìm khoảng đơn điệu của hàm số u ( x) � f� � �+ g ( x ) . 1.5. Cho biểu thức f ' ( x, m ) . Tìm m để hàm số f � u ( x) � � � đơn điệu trên khoảng K . Bài toán 2. Xét cực trị của hàm ẩn 2.1. Cho bảng biến thiên của hàm số f ( x ) . Hỏi số điểm cực trị của u ( x) � hàm số f � � � 2.2. Cho đồ thị của hàm số f ( x ) . Hỏi số điểm cực trị của hàm số u ( x) � f� � � 4
2.3. Cho biểu thức f ' ( x ) . Hỏi số điểm cực trị của hàm số f � u ( x) � � � 2.4. Cho đồ thị của hàm số f ' ( x ) . Hỏi số điểm cực trị của hàm số u ( x) � f� � � 2.5. Cho biểu thức f ( x, m ) . Tìm m để hàm số f � u ( x) � � � có k điểm cực trị. 2.6. Cho biểu thức f ' ( x, m ) . Tìm m để hàm số f � u ( x) � có k điểm � � cực trị. 2.7. Cho đồ thị f ( x ) . Hỏi số điểm cực trị của hàm số f � u ( x, m ) � � �. 4. Các bài toán minh họa Bài toán 1 . xét chiều biến thiên của hàm ẩn 1.1. Cho biểu thức f ' ( x ) . Tìm khoảng đơn điệu của hàm số f � u ( x) � � � Bài tập 1 . Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = ( x − 1) ( x 2 − 2 x ) với 2 ( ) ∀x ﾢ . Hỏi hàm số g ( x ) = f x − x + 2 đồng biến trên khoảng nào sau 2 đây A. ( −2; −1) . B. ( −1;0 ) . C. ( 0;3) . D. ( 3;+ ). Hướng dẫn Tính đạo hàm của hàm hợp g ( x ) Biểu thị g ' ( x ) qua công thức của f ' ( x ) Xét dấu g ' ( x ) Đối chiếu các đáp án và kết luận. Giải Ta có g ' ( x ) = 2 ( x − 1) f ' ( x 2 − 2 x + 2 ) = 2 ( x − 1) ( x 2 − 2 x + 2 − 1) 2 (( x 2 − 2x + 2) − 2( x2 − 2x + 2) 2 ) = 2 ( x − 1) 3 ( ( x − 1) − 1) 4 5
0 < x
Bảng biến thiên Vậy hàm số g ( x ) đồng biến trên các khoảng ( −2;0 ) và ( 2;+ ) . Do ( 2;4 ) �( 2;+�) nên ta Chọn C Bài tập 3 . Cho hàm số có đạo hàm f ' ( x ) = x 2 − 2 x . Hàm số � x� g ( x) = f � 1 − �+ 4 x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? � 2� A. ( − ; −6 ) . ( B. ( −6;6 ) . C. −6 2;6 2 . ) D. ( 6;+ ) . Hướng dẫn Tính đạo hàm của hàm hợp g ( x ) Biểu thị g ' ( x ) qua công thức của f ' ( x ) Tìm nghiệm của g ' ( x ) Xét dấu g ' ( x ) Đối chiếu các đáp án và kết luận Giải 2 1 � x� 1� � x� � x� � 9 x2 Ta có ( ) g ' x = − f ' 1 − � � + 4 = − �1 − � � � � − 2 1 − �+ 4 = − 2 � 2� 2� 2 � � � � 2 � 2 8 9 x2 g '( x ) = 0 � − = 0 � x = �6 2 8 Dấu của g ' ( x ) : x − 6 6 + g '( x ) 0 + 0 7
Vậy hàm số g ( x ) đồng biến trên khoảng ( −6;6 ) . Chọn B. 1.2. Cho bảng biến thiên của f ' ( x ) . Tìm khoảng đơn điệu của hàm số f� �u ( x) � � Bài tập 4 . Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu của đạo hàm f ' ( x ) như sau x − 1 0 1 2 + f '( x ) 0 + 0 0 + 0 + Hàm số g ( x ) = f ( 1 − 2 x ) Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây A. � 1 � . B. ( − ;0 ) . C. �1 � . D. � 1� �− ;0 � � ;+ � 0; �. � �2 � �2 � � 2� Hướng dẫn Nhận xét về các khoảng dấu của f ' ( x ) Tính đạo hàm của hàm hợp g ( x ) Xét dấu g ' ( x ) ( dựa vào dấu của f ' ( x ) ) Đối chiếu các đáp án và kết luận. Giải x < −1 Từ bảng biến thiên suy ra : f ' ( x ) < 0 0 < x 0 � f ' ( 1 − 2 x ) < 0 �� 1 0 < 1 − 2x < 1 0< x< 2 � 1� Vậy g ( x ) đồng biến trên các khoảng � 0; � và ( 1;+ ) . Chọn D � 2� Bài tập 5 . Cho hàm số y = f ( x) có bảng xét dấu của đạo hàm f ' ( x ) như sau x − 1 2 + 8
f '( x ) + 0 0 + ( ) Hàm số g ( x ) = f x − x 2 Hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây: �1 � A. ( − ;0 ) . B. ( − ;2 ) . C. ( 1;2 ) . D. � ; + �. �2 � Hướng dẫn Tìm nghiệm của f ' ( x ) Tính đạo hàm của hàm hợp g ( x ) Xét dấu g ' ( x ) Đối chiếu các đáp án và kết luận. Giải x =1 Từ bảng xét dấu suy ra f ' ( x ) = 0 x=2 Ta có g ' ( x ) = ( 1 − 2 x ) f ' ( x − x 2 ) ; 1 − 2x = 0 1 − 2x = 0 1 g ' ( x ) = 0 �� x − x2 = 2 � x = f '( x − x2 ) = 0 2 x − x2 = 1 Dấu của g ' ( x ) : x 1 − + 2 g '( x ) + 0 �1 � Vậy hàm số g ( x ) nghịch biến trên khoảng � ; + � . Chọn D �2 � Bài tập 6 . Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau 9
� 5 3� Hàm số g ( x ) = f �2x2 − x − �nghịch biến trên khoảng nào sau đây � 2 2� � 1� �1 � �5� �9 � A�−1; �. B � ;1�. 1; �. C� D� ;+ � . � 4� �4 � � 4� �4 � Hướng dẫn Tìm nghiệm của f ' ( x ) Tính đạo hàm của hàm hợp g ( x ) Tìm nghiệm của g ' ( x ) Xét dấu g ' ( x ) Đối chiếu các đáp án và kết luận. Giải x = −2 Từ bảng xét dấu suy ra f ' ( x ) = 0 x=3 � 5� � 2 5 3� Ta có g ' ( x ) = �4x − � .f �2x − x − � � 2� � 2 2�; 5 5 4x − =0 x= 2 8 5 3 1 g ' ( x ) = 0 � 2 x 2 − x − = −2 � x = 1; x = 2 2 4 5 3 9 2 x2 − x − = 3 x = −1; x = 2 2 4 Dấu của g ' ( x ) : 10
x 1 5 9 − 1 1 + 4 8 4 g '( x ) 0 + 0 0 + 0 0 + Từ bảng xét dấu của g ' ( x ) suy ra hàm số g ( x ) nghịch biến trên các khoảng �1 5 � 9� �9� �5� (− ; −1) , � ; � và � 1; � . Do � � 1; � . Chọn C 1; � � �4 8 � � 4 � �4� �4� Bài tập 7 . Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu của đạo hàm f ' ( x ) như sau: � x� Hàm số g ( x ) = f � 1 − �+ x nghịch biến trên khoảng nào sau đây � 2� A. ( 0;2 ) . B. ( 2;4 ) . C. ( −4; −2 ) . D. ( −2;0 ) . Hướng dẫn Tính đạo hàm của hàm hợp g ( x ) Xét dấu g ' ( x ) (dựa vào dấu của f ' ( x ) ) Đối chiếu các đáp án và kết luận. Giải 1 � x� Ta có g ' ( x ) = − 1 − �+ 1 f '� 2 � 2� � x� � x� Hàm số g ( x ) = f � 1 − �+ x nghịch biến � g ' ( x ) < 0 � f ' � 1 − �> 2 � 2� � 2� � x� x Nếu f ' �1 − �> 2 � 2 < 1 − < 3 � −4 < x < −2 . Do đó hàm số nghịch biến � 2� 2 trên khoảng ( −4; −2 ) 11
� x� x 1 − �> 2 � −1 < 1 − < a < 0 � 2 < 2 − 2a < x < 4 . Hàm số nghịch Nếu f ' � � 2� 2 biến trên khoảng ( 2 − 2a;4 ) . Loại A, B, D và chọn C. Bài tập 8 . Minh họa 2019 Cho hàm số f ( x ) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau Hàm số g ( x ) = 3 f ( x + 2 ) − x + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 3 A. ( 1;+ ). B. ( − ; −1) . C. ( −1;0 ) . D. ( 0;2 ) . Hướng dẫn Tính đạo hàm của hàm hợp g ( x ) Xét dấu f ' ( x + 2 ) (dựa vào dấu của f ' ( x ) . Suy ra dấu của g ' ( x ) Đối chiếu các đáp án và kết luận. Giải Cách 1 Xét g ( x ) = 3 f ( x + 2 ) − x 3 + 3 x . Ta có g ' ( x ) = 3. � �f ( x + 2 ) + 1(− x ) 2 � � 1 x+2 3 � −1 x 1 � Ta có f ( x + 2 ) �� 0 � � . �x+2 4 x � 2 f ( x + 2 ) �0, ∀x �( −1;1) Suy ra � y > 0, ∀x �( −1;1) . 1 − x 2 > 0, ∀x �( −1;1) Vậy ta chọn đáp án C. Cách 2. Phương pháp thử Xét y = 3 f ( x + 2 ) − x3 + 3 x . Ta có y = 3. � ( �f ( x + 2 ) + 1 − x � 2 � ) �3 � � �7 � 5 � Ta có y � �= 3. �f � �− �< 0 nên loại đáp án A, D. �2 � � �2 � 4 � y ( −2 ) = 3. � �f ( 0 ) − 3� �< 0 nên loại đáp án B. Vậy ta chọn đáp án C. 1.3. Cho đồ thị của f ' ( x ) . Tìm khoảng đơn điệu của hàm số f � u ( x) � � � 12
Bài tập 9 . Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ﾢ và có đồ thị f ' ( x ) như hình vẽ bên. Hàm số g ( x ) = f ( 1 − 2 x ) đồng biến trên khảng nào sau đây? �1 � A. ( 0;1) B. �− ;0 � . � 2 � C. ( − ;0 ) D. ( 0;+ ) Hướng dẫn Tính đạo hàm của hàm hợp g ( x ) Nhận xét về dấu của f ' ( x ) Xét dấu g ' ( x ) (dựa vào dấu của f ' ( x ) ) Đối chiếu các đáp án và kết luận. Giải Ta có g ' ( x ) = −2 f ' ( 2 − x ) x < −1 Dựa vào đồ thị, ta có f ' ( x ) < 0 1< x < 2 Hàm số g ( x ) = f ( 1 − 2 x ) đồng biến khi và chỉ khi g ' ( x ) = −2 f ' ( 2 − x ) > 0 � f ' ( 2 − x ) < 0 x >1 1 − 2 x < −1 � � 1 1 < 1 − 2x < 2 − < x
Hướng dẫn Tìm nghiệm của f ' ( x ) Tính đạo hàm của hàm hợp g ( x ) Tìm nghiệm của g ' ( x ) Xét dấu g ' ( x ) (dựa vào dấu của f ' ( x ) ) Đối chiếu các đáp án và kết luận. Giải x = −6 Từ đồ thị suy ra f ' ( x ) = 0 � x = −1 x=2 Ta có g ' ( x ) = −2 xf ' ( 3 − x ) ; 2 x=0 x=0 x=0 3 − x 2 = −6 x= 3 g ' ( x ) = 0 �� f '( 3 − x2 ) = 0 3 − x 2 = −1 x= 2 3 − x2 = 2 x= 1 Dấu của g ' ( x ) : x − 3 2 1 0 1 2 3 + g '( x ) 0 + 0 0 + 0 0 + 0 0 + Từ bảng xét dấu và đối chiếu các đáp án, ta chọn D Bài tập 11 . Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ﾢ và có đồ thị f ' ( x ) như hình vẽ bên. Hàm số g ( x ) = f ( ) x 2 + 2 x + 2 đồng biến trên khảng nào? ( ) A. − ; −1 − 2 2 B. ( − ; −1) ( ) ( C. −1;2 2 − 1 D. 2 2 − 1; + ) Hướng dẫn Tìm nghiệm của f ' ( x ) Tính đạo hàm của hàm hợp g ( x ) 14
Tìm nghiệm của g ' ( x ) Xét dấu g ' ( x ) (dựa vào dấu của f ' ( x ) ) Đối chiếu các đáp án và kết luận. Giải x = −1 Từ đồ thị suy ra f ' ( x ) = 0 � x = 1 x=3 Ta có g ' ( x ) = x +1 x2 + 2 x + 2 f' ( ) x 2 + 2 x + 2 ; x +1= 0 x = −1( nghiem boi le ) g '( x ) = 0 � x 2 + 2 x + 2 = 1 � x = −1 − 2 2 x2 + 2 x + 2 = 3 x = −1 + 2 2 Dấu của g ' ( x ) : x − −1 − 2 2 −1 −1 + 2 2 + f '( x ) 0 + 0 0 + Từ bảng xét dấu và đối chiếu các đáp án, ta chọn D 1.4. Cho đồ thị của f ' ( x ) . Tìm khoảng đơn điệu của hàm số u ( x) � f� � �+ g ( x ) Bài tập 12 . Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ﾢ và có đồ thị hàm số f ' ( x ) như hình vẽ . Hàm số g ( x ) = 2 f ( x ) − x đồng biến trên 2 khoảng nào sau đây : A. ( − ; −2 ) B. ( −2;2 ) C. ( 2;4 ) D. ( 2;+ ) Hướng dẫn Tính đạo hàm của hàm hợp g ( x ) Nhận xét về số nghiệm của g ' ( x ) dựa vào sự tương giao của các đồ thị Xét dấu g ' ( x ) 15
Đối chiếu các đáp án và kết luận. Giải Ta có g ' ( x ) = 2 f ' ( x ) − 2 x ; g '( x ) = 0 � f '( x ) = x Số nghiệm của phương trình g ' ( x ) = 0 bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ' ( x ) và đường thẳng d : y = x . Đường thẳng d : y = x cắt đồ thị hàm số y = f ' ( x ) tại các điểm ( −2; −2 ) , ( 2;2 ) và ( 4;4 ) Ta thấy trên khoảng ( −2;2 ) đồ thị hàm số y = f ' ( x ) nằm phía trên đường thẳng d : y = x nên g ' ( x ) > 0 suy ra hàm số g ( x ) = 2 f ( x ) − x 2 đồng biến trên khoảng ( −2;2 ) . Chọn D Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số g ' ( x ) = 2 f ' ( x ) − 2 x và kết luận. Bài tập 13 . Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ﾢ và có đồ thị hàm số f ' ( x ) như hình vẽ bên. x2 − 2x Hàm số g ( x ) = f ( x − 1) + 2 nghịch biến trên khoảng nào sau đây : A. ( −3;1) B. ( −2;0 ) 3� C. � �−1; � D. ( 1;3) � 2� Hướng dẫn Tính đạo hàm của hàm hợp g ( x ) Nhận xét về dấu của g ' ( x ) dựa vào sự tương giao của các đồ thị Đối chiếu các đáp án và kết luận. 16
Giải Ta có g ' ( x ) = − f ' ( 1 − x ) − ( 1 − x ) . x2 − 2 x Để hàm số g ( x ) = f ( 1 − x ) + 2 nghịch biến ta phải có g ' ( x ) < 0 � f '( 1 − x ) > − ( 1 − x ) . Đặt t = 1 − x , bất phương trình trở thành f ' ( t ) > −t Kẻ đường thẳng d : y = − x cắt đồ thị hàm số f ' ( x ) tại các điểm ( −3;3) , ( 1; −1) , ( 3; −3) t < −3 Quan sát đồ thi ta thấy bất phương trình f ' ( t ) > −t 1< t < 3 1 − x < −3 � x>4 � Từ đó � f ' ( 1 − x ) > − ( 1 − x ) � � �� 1 � < 1 − x < 3 − � 2 < x < 0 Đối chiếu đáp án ta chọn B. 1.5. Cho biểu thức f ' ( x, m ) . Tìm m hàm số f � u ( x) � � � đơn điệu trên khoảng K Bài tập 14 . Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = x ( x − 1) 2 (x 2 + mx + 9 ) với ∀x ﾢ . Có bao nhiêu số nguyên m < 100 để hàm số g ( x ) = f ( 3 − x ) đồng biến trên khoảng ( 3;+ ) A. 8 . B. 7 . C. 6 . D. 5 . Hướng dẫn Tính đạo hàm của hàm hợp g ( x ) Biểu thị g ' ( x ) qua công thức của f ' ( x ) Xét dấu g ' ( x ) Đối chiếu các đáp án và kết luận. Giải Ta có g ' ( x ) = − f ' ( 3 − x ) = − ( 3 − x ) ( 2 − x ) �( 3 − x ) + m ( 3 − x ) + 9� 2 2 � � 17
Hàm số g ( x ) = f ( 3 − x ) đồng biến trên khoảng ( 3;+ ) phải có g '( x ) 0, ∀x > 3 . � f ' ( 3 − x ) �0, ∀x > 3 � ( 3 − x ) ( 2 − x ) �(�3 − x ) + m ( 3 − x ) + 9 � 2 2 �0, ∀x > 3 � ( x − 3) 2 +9 m min h ( x ) m = h ( x ) , ∀x > 3 (3;+ ) x−3 ( x − 3) 2 +9 9 9 Ta có h ( x ) = = x −3+ 2 ( x − 3) =6 x −3 x −3 x−3 m= min h ( x ) 6 . Do m �Z � m �{ 1,2,3,4,5,6} . Chọn C . ( 3;+ ) Bài tập 15 . Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = ( x − 1) 2 (x 2 − 2 x ) với ∀x ﾢ . Có bao nhiêu số nguyên m < 100 để hàm số g ( x ) = f ( x 2 − 8 x + m ) đồng biến trên khoảng ( 4;+ ) A. 18 . B. 82 . C. 83 . D. 100 . Hướng dẫn Tính đạo hàm của hàm hợp g ( x ) Biểu thị g ' ( x ) qua công thức của f ' ( x ) Xét dấu g ' ( x ) Đối chiếu các đáp án và kết luận. Giải x 4 � ( 2 x − 8) f ' ( x 2 − 8 x + m ) �0, ∀x > 4 x 2 − 8 x + m 0, ∀x > 4 ( x∀>8�۳ �−+f '� 2 x m) 0, x 4 x 2 − 8 x + m 2, ∀x > 4 m 18 Vậy 18 m < 100 . Chọn B Bài toán 2. Xét cực trị của hàm ẩn. 18
2.1. Cho bảng biến thiên của hàm số f ( x ) . Hỏi số điểm cực trị của u ( x) � hàm số f � � � Bài tập 16 . Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ﾢ và có bảng biến thiên như sau � 5 3� Hàm số g ( x ) = f �2x2 − x − �có bao nhiêu điểm cực trị? � 2 2 � A3 . B4 . C5 . D 6 . Hướng dẫn Tìm nghiệm của f ' ( x ) Tính đạo hàm của hàm hợp g ( x ) Tìm nghiệm của g ' ( x ) Xét dấu g ' ( x ) (dựa vào dấu của f ' ( x ) ) Đối chiếu các đáp án và kết luận. Giải x = −2 Từ bảng biến thiên suy ra f ' ( x ) = 0 x=3 � 5� � 2 5 3� Ta có g ' ( x ) = �4x − �.f �2x − x − � ; � 2 � � 2 2 � 19
5 5 4x − =0 x= 2 8 5 3 1 g ' ( x ) = 0 � 2 x 2 − x − = −2 � x = 1; x = 2 2 4 5 3 9 2 x2 − x − = 3 x = −1; x = 2 2 4 Dấu của g ' ( x ) : x 1 5 9 − 1 1 + 4 8 4 g '( x ) 0 + 0 0 + 0 0 + � 2 5 3� Từ bảng xét dấu suy ra hàm số g ( x ) = f �2 x − x − �có 5 điểm cực trị. � 2 2� Chọn C Bài tập 17 . Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ﾢ và có bảng biến thiên như sau Hàm số g ( x ) = f ( x ) có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị? A.5 . B. 7 . C.9 . D.11 . Hướng dẫn Nhận xét về tính chẵn, lẻ của các hàm số y = f ( x ) , g ( x ) = f ( x ) và đồ thị tương ứng của chúng. Nhận xét về số giao điểm nhiều nhất của đồ thị hàm số y = f ( x ) với trục hoành ứng với phần bên phải trục tung. Suy ra số giao điểm nhiều nhất của đồ thị hàm số y = f ( x ) với trục hoành và số cực trị tương ứng. 20