SGK Đại số 10 Nâng cao: Phần 2

Chia sẻ: Hung Hung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:136

Thêm vào BST

Báo xấu

641
lượt xem 302
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Đại số 10 Nâng cao: Phần 2 được biên soạn nhằm giúp cho các bạn biết được bất đẳng thức và bất phương trình; thống kê; góc và các công thức lượng giác. Ngoài ra, những câu hỏi được đưa ra ở cuối bài và những hướng dẫn giải các bài tập này sẽ giúp các bạn nắm bắt kiến thức lý thuyết một cách tốt hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: SGK Đại số 10 Nâng cao: Phần 2

Chuang U. fifll f HUDTIG TRlnH Bat ding thuc va bat phuong trinh la nhung khai niem ma chung ta da lam quen 6 lop duoi. Chuong nay se hoan thien hon cac khai niem do, dong thoi cung cap cho chiing ta nhung ki^n thuc mdi nhu van de xet dau cua nhi thiic bac nhat va dau cCia tam thuc bac hai. Chung co nhieu ung dung quan trong trong viec giiii va bien lu^n cac phuong trinh va bat phuong trinh. Chung ta can nam vung cac kien thuc do, dong thdi ren luyen kl nang ap dung chiing de giai cac bai toan trong khuon kho ciHa chuong tnnh. 103
t /^_ BAT D A N G T H l / G V A C H U N G M I N H B X T D A N G THtTC 1. On tap va bo sung tmh chat cua biit dang thurc Gia sir a vab la hai sd thuc. Cac menh dd "a > b", "a < b", "a > b'\ "a < b dugc ggi la nhung bdt dang thdc. . Ciing nhu cac menh dd Idgic khac, mdt bdt dang thiic cd thd ddng hoac sai. Chiing minh mdt bdt ddng thiic la chiing minh bdt dang thiic dd diing. Dudi day la mdt sd tinh chdt da bidt ciia bdt dang thtfc. a>b va b>c ^^ a>c a>b a + o b + c Ndu c > 0 thi a > Z? «:> ac>be. Ndu cbb va c>d => a + c>b + d; a + oh b-c; a>b>0 va c>d>0 ^^ aobd; a>b>0 va neN* => a">b"; a>b>0 yfa > 4b ; a>b-^ \fa > ^fb. Vi du 1. Khdng dung bang sd hoac may tinh, hay so sanh hai sd >/2 + >/3 vd 3. Gidi. Gia suf V2 + \/3 < 3. Do hai vd ciia bdt dang thiic dd ddu dugng ndn V2 + >^
Ndu A, B la nhiing bidu thiic chiia bidn thi "A > B" la mdt menh dd chiia bidn. Chiing minh bdt dang thiic A>B (vdi dieu kien nao dd ciia cdc bidn), nghia la chiing minh menh dd chiia bidn A>B diing vdi tdt ca cac gia tri cua cac bidn (thoa man didu kien dd). Tvi nay, ta quy udc : Khi ndi ta cd bdt dang thiic A > B (trong dd A va B la nhiing bidu thute chiia bidn) ma khdng neu didu kien ddi vdi cdc bidn thi ta bidu rang bdt dang thiic dd xay ra vdi mgi gia tri cua bidn thudc R. Vi du 2. Chiing minh rang x^ > 2(x -1). Gidi. x ^ > 2 ( x - l ) o x ^ > 2 x - 2 0 o x ^ - 2 x + l + l>0 (x-l)^ + l > 0 . Hidn nhidn (x - 1) + 1 > 0 vdi mgi x nen ta cd bdt dang thiic cdn chiing minh. n Vi du 3. Chiing minh rang ndu a, b, c la dd dai ba canh cua mdt tam giac thi ib + c - a)ic + a- b)ia + b - c) < abc. Gidi. Ta cd cac bdt dang thiic hidn nhidn sau : 2 2 2 a > a -ib-c) =ia-b + c)ia + b-c) b^ >b^-ic-af = ib-c + a)ib + c-a) c^ >c^-ia-bf = ic-a + b)ic + a- b). Do a, b, c la dd ddi ba canh cua mdt tam giac ndn tdt ca cdc vd ciia cac bdt dang thiic tren ddu duong. Nhan cac vd tuong ling cua ba bdt dang thiic tren, ta duoc a V c ^ >ib + c- afic + a- hfia + b-cf. ' Ldy can bdc hai cua hai vd, ta dugc bdt dang thiic cdn chiing minh. D 2. Bat d^ng thurc ve gia tri tuyet doi Tur dinh nghia gid tti ttiyet ddi, ta suy ra cac tinh chdt sau day. - a\< a< \a\ vdi mgi a G E. |x 0). 105
Sau day la hai bdt ddng thiic quan ttgng khdc vd gia tri tuydt ddi (vidt dudi dang bdt dang thiic kep). a\ -\b\
Chitng minh. Vdi a > 0, ft > 0, ta cd ^^-4ab =]-ia + b-2y[ab) = -i4a -Sf >0. Dodd a+b > yfab. Dang thiic xay ra khi vd chi khi (Va - >/ft)^ = 0, hie la a = ft. n H2J Trong hinh 4.1, cho AH = a, BH = b. Hay tinh cdc doan OD vd HC theo a vd b. Tir dd suy ra bat ding thdc glOa trung binh edng vd trung binh nhdn cQa a vd b. Vi du 4. Chiing minh rang ndu a, ft, c Id ba sd duong bdt ki thi 'i' a + b h + c c+a + + >6. a Gidi. Ta cd Hinh 4.1 a+b b+c c+a t o o c c a + ft = — + - + — + —+- + — a c c .yfxy nen xy < — . Dang thiic xay ra khi vd chi khi x = y. Do dd, tich xy dat gid tri ldn nhdt bang — khi va chi klii x = y. 107
Gia sir hai sd duang x va y cd tich xy = P khdng ddi. Khi dd ^ ^ ^ > 4xy = yfP nen x + y > 2>/P, Dang thiic xay ra khi va chi khi x = y. Do dd, tdng x + y dat gid tri nhd nhdt bdiig 2 v P Idii va chi khi x = y. • TJNGDIJNG Trong tdt cd cdc hinh cha nhdt cd cung chu vi, hinh vudng cd dien tich Ian nhdt. Trong tdt cd cdc hinh ,chii nhdt cd cung diin tich, hinh vudng co chu vi nhd nhdt. 3 Vi du 5. Tim gid tri nho nhdt cua ham s6fix) = x H— vdi x > 0. X Gidi. Do X > 0 nen ta cd fix) = x + — > 2 Jx.— = 2yi3 va X V X fix) = 2V3 M) = 2v3. b) Doi vdi ba sd Ichdng dm flf + ft + C Ta da bidt la trung binh cdng cua ba sd a, ft, c. Ta ggi Vflftc la trung binh nhan cua ba sd dd. Ngudi ta ciing chiing minh dugc kdt qua tuong tu dinh Ii tren cho trudng hgp ba sd khdng am. Vdi mgi a > 0, ft > 0, c > 0, ta cd 3 Dang thiic xay ra khi va chi khi a = b = c. Ndi each khdc, trung binh cdng cOa ba sd khdng dm ldn han hodc bdng trung binh nhdn cua chiing. Trung binh cdng ciia ba sd'khdng dm bdng trung binh nhdn cua chiing khi vd chikhi ba sddd bdng nhau. 108
Vi du 6. Chiing minh rang ndu a,ft,c la ba sd duong thi 1 1 1 ia + b + c) — + - + - >9. a b cj Khi ndo xay ra dang thiic ? Gidi. Vi a,b,c la ba sd duong nen a + b + c > 3 ¥abc (dang thiic xay ra khi va chi khi a =ft= c) va i,i4>33-i-' dang thiic xay ra khi va chi khi — = — = — a b c V abc a b c I I I Do dd (a +ft+ c) —+ - + - >3Vaftc.3 3 / — =9. a b c \ abc a =b=c Dang thiic xay ra khi va chi khi 1-1-1 a b c Vdy dang thiic xay ra Idii va chi khi a = b = c. a H3| Phat biSu kd't qua tuong tuhd qud d phin a) cho trudng hgp ba so duang. Cau hoi va bdi tap 1. Oiling minh rang, ndu a > ft va aft > 0 thi — < — a ft 2. Chting minh rdng nira chu vi cua mdt tam gidc ldn hon dd ddi mdi canh cua tam gidc dd. 3. Chiing minh rang a^ + b^ + c^ > ab + be + ca vdi mgi sd thuc a, ft, c. Ding thiic xay ra khi va chi khi a = ft = c. 4. Hay so sdnh cdc kdt qua sau day : a) V2000 + V2005 vd V2002 + V2003 (khdng diing bang sd hoac may tinh); b) yla + 2 + yJa + A va yfa + yfa + 6 ia > 0). 109
1 1 4 5. Chiing minh rdng, ndu a > 0 v a f t > 0 t h i — + — > a ft a + b 6. Chiing minh rdng, neu a > 0 va ft > 0 thi a^ + ft^ > abia + ft). Dang thiic xay ra khi nao ? 7. a) Chiing minh rdng a^ + aft + ft^ > 0 vdi mgi sd thuc a, ft. b) Chiing minh rang vdi hai sd thuc a, ft tuy y, ta cd a^ +b^ > a^b + ab^ 8. Chiing minh rdng, ndu a, ft, c la dd dai cdc canh cua mdt tam gidc thi a^ +b^ +c^ < 2(aft + bc + ca). 9. Chiing minh rang, ndu a > 0 vd ft > 0 thi a +b a^ +b^ a^ +b^ 10. a) Chiing minh rang, ndu x > y > 0 thi ^ >^ y 1+x 1+y b) Chiing minh rdng ddi vdi hai sd tuy y a, ft, ta cd -^—!—< 1^1 .^ I I l + |a-ft| l + |a| l + |ft| 11. Chiing minh rang : a) Ndu a, ft la hai sd ciing ddu thi —+— > 2 ; ft a b) Ndu a, ft la hai sd trdi ddu thi - + - < - 2 . ft a 12. Tun gid tri ldn nhdt va gia tti nhd nhdt ciia ham sd fix) = (x + 3)(5-x) vdi -3
Bdi doc them BAT DANG THQC BU-NHI-A-C6P-XKI(^) 1. Bat dang thiic Bu-nhi-a-cop-xki doi vdi hai cap sdthi/c Vdi hai cap sd thUc (a,b) va (x,y) ta cd iax + byf < ia' + b\x- + y\ Ding thiic xdy ra khi va chi khi ay = bx. Chdna minh. D l dang chdng minh ding thdc sau : iax + by-f + iay - bxf = ia^ + b\x^ + y \ Udt Ichac, do iay - bxf > 0 nen iax + byf + iay - bxf > iax + byf. lit do suy ra bat ding thdc can chdng minh. Ding thdc x^y ra l
Luyen tap 14. Chiing minh rang ndu a, ft, c la ba sd duang thi 4 i4 4 — + — + — > 3aftc. b c a^ 15. Mdt khach hang ddn mdt cxta hang ban hoa qua mua 2 kg cam da ydu cdu cdn hai ldn. Ldn ddu, ngudi ban hang dat qua cdn 1 kg Idn dia cdn bdn phai va dat cam len dia can ben trai cho ddn khi can thdng bdng vd ldn sau, dat qua cdn 1 kg len dia can ben trai va dat cam len dia can ben phai cho ddn khi can thang bdng. Ndu cdi cdn dia dd khdng chinh xdc (do hai cdnh tay don dai, ngdn khdc nhau) nhung qua can la dung 1kg thi khach hang cd mua dugc diing 2 kg cam hay khdng ? Vi sao ? 16. Chiing minh rang vdi mgi sd nguyen duong n, ta cd : . 1 1 1 1 , a) — + — + + ... + < 1; 1.2 2.3 3.4 nin +1) Hudng ddn. Vidt — = 1 ; — = ,... 1.2 2 2.3 2 3 b) "Y + ^ + ^ + ... + ^ < 2. r 2^ 3^ n^ 17. Tim gid tri ldn nhdt va gia tri nhd nhdt ciia bidu thdc A = V x - 1 + V4-X. 18. Chiing minh rang vdi mgi sd thuc a, ft va c, ta cd (a + ft + cf < 3ia^ + ft2 + c \ A4 19. Chiing minh rang ndu a,ft,c, d la bdn sd khdng dm thi a+b+c+d > abed. 20. Chiing minh riyng : a) Neu x^ + y^ = 1 thi I x + y I < >/2 ; b) Ndu 4x - 3y = 15 thi x^ + y^ > 9. 112
DAI CLfONG v £ BXT PHLfONG TRINH 1. Khai niem bat phuong trinh mot an DINH NGHIA Cho hai hdm sdy =f(x) vdy = g(x) cd tap xdc dinh ldn lu0 la S)^ vd2)^.£>a7 2) = ® ^ n % Menh di chica biin cd mdt trong cdc dang fix) < g(x), fix) > g(x),f(x) < g(x),f(x) > g(x) dugc ggi la bdt phuang trinh mgt dn ; x ggi la dn sd (hay dn) vd 3) ggi la tap xdc dinh ciia bdt phuang trinh dd. Sd XQ e 2) ggi la mdt nghiem cua bdt phuang trinh fix) < g(x) niufixf)) < g(xQ) la menh di diing. Khdi niem "nghiem" ciing dugc dinh nghia tuong tu cho cdc bdt phuong trinh dang fix) > gix), fix) < gix) va fix) > gix). Gidi mdt bdt phuong trinh la tim tdt ca cdc nghiem (hay tim /op nghiem) cha bdt phuang trinh dd. CHU Y Trong thuc hanh, ta khdng cdn vidt rd tap xac dinh 2) cua bdt phuang ttinh ma chi cdn neu didu kidn dd x e 9). Dieu kien dd ggi la diiu kiin xdc dinh cua bdt phuang trinh, ggi tdt la dieu kien cua bdt phuang trinh. m l Bi0u dien tdp nghidm cda mdi bat phuang trinh sau bai cac kl hieu khoang ho$c doein: a)-0,5x>2; b) \x\ < 1. 8.0/!USdlO(NC)-ST^ 113
Dudi ddy, chiing ta chi ndi tdi bdt phuong ttinh dang fix) < gix). Ddi vdi cac bdt phuong ttinh dang fix) > gix), fix) < gix) vafix) > gix), ta ciing cd cdc kdt qua tuong tu. 2. Bat phuong trinh tirofng dirong DINH NGHIA Hai bdt phuang trinh (ciing dn) dugc ggi la tuang duang niu chiing cd ciing tap nghiem. Niufiix) < giix) tuang duang vdif2ix) < g2ix) thi tdviit fiix) < giix) o /2(x) < g2ix). H2| Cdc khang djnh sau ddy ddng hay sai ? Vi sao ? a) x+ Vx-2 > Vx-2 X> 0 ; b) i4x^f x-2. D 3. Bien ddi tuong duong cac bat phuong trinh Ciing nhu vdi phuang trinh, d ddy chiing ta quan tdm ddn cac phep bidp ddi khdng lam thay ddi tdp jighidm cua bdt phuofng trinh. Ta ggi chiing la cac jdiep bien doi tuang duang. Phep bie'n doi tuang duang biin mdt bdt phuang trinh thdnh mdt bdi phuang trinh tuang duang vdi nd. Chang ban, vide thuc hidn cac phep bidn ddi ddng nhdt d mdi vd cua mdt bdt phuang trinh va giii nguydn tdp xac dinh cua nd Id mdt phep bidn ddi tuofng duong. 114 8. BifUSdlO(NC)-8T-B
Dudi ddy la dinh Ii vd mdt sd phep bidn ddi tuong duang thudng diing. Cac ham sd ndi ttong dinh Ii nay ddu dugc cho bdi bidu thiic. DINH U Cho bdt phuang trinh fix) 0 vdi mgi x e 2); 3)fix)hix) > gix)hix) niu hix) < 0 vdi mgi x s9). Chicng minh. Sau day, ta chi chiing minh ket luan 3). Cac kdt luan khdc ciing dugc chiing minh tuong tu. Ndu XQ thudc 2) thi /(XQ), ^(XQ) va /i(xo) la cdc gia tri xdc dinh bang sd, hon niia, vi ft(x) ludn dm ndn /i(xo) < 0. Do dd, dp dung tinh chdt cua bdt ddng thiic sd, ta cd fiXo) < giXo) fiXo)hiXQ) > g(Xo)/l(Xo). Tii dd suy ra rdng hai bdt phuang ttinh cd ciing tap nghidm, nghia la chiing tuong duong vdi nhau. D Vidu2 a) Bdt phuong ttinh Vx > -2 tuong duong vdi bdt phuong ttinh 4x-4x>-2-4x. b) Bdt phudng ttinh x > - 2 khdng ttrong duong vdi bdt phuong trinh x-Vx>-2-Vx. D H3J ChOng minh cdc khing dinh trong vi du 2. H4| Cdc khing djnh sau ddy dOng hay sai ?Visao? a)x+ —
HE QUA Cho bdt phuang trinh fix) < gix) cd tap xdc dinh 2). 1) Quy tdc ndng lin luy thiCa bdc ba fix) — ^ x-3 x-3 x+3 x+3 24. Trong bdn cap bdt phuang trinh sau ddy, hay chgn ra cdc cap bdt phuong trinh tuong duong (ndu cd): a) X - 2 > 0 va x^(x - 2) < 0 ; b) x - 2 < 0 vd x^(x - 2) > 0 ; c) X - 2 < 0 vax^(x- 2) < 0 ; d) x - 2 > 0 vax^(x- 2) > 0. 116
BXTPHLfONG TRINH vA Hfi BXT PHLTONG TRINH BAc N H X T M 6 T X N Trudc day, chiing ta da lam quen vdi bdt phuang trinh bdc nhdt mot dn. Dd la bdt phuang trinh cd mdt ttong cdc dang ax + ft 0, trong dd a va ft la hai sd cho trudc vdi a ^t 0, x la dn. HI] Cho bit phuang trinh mx < mim + 1). a) Giii bdt phuong trinh vdi m = 2. b) Giai bdt phuong trinh vdi m = —\/2. Nhu vdy, ndu a va ft la nhiing bidu thiic chiia tham sd thi tap nghiem ciia bdt phuong trinh phu thudc vao tham sd dd. Vide tim tap nghiem ciia mdt bdt phuong trinh tu^ theo cdc gid tri cua tham sd ggi Id gidi vd biin ludn bdt phuang trinh dd. Dudi ddy, chiing ta chu ydu ndi vd each giai va bien luan bdt phuong trinh dang ax + ft < 0. Ddi vdi cac bdt phuong trinh dang cdn lai, each giai cung tuong tu. 1. Giai va bien lu^n bat phuong trinh dang ax + b
CHUY Viec bidu didn cdc tap nghidm tten true sd se rdt cd ich sau ndy, Chang ban, phdn khdng bi gach d tten hinh 4.2 bidu didn tdj nghiem cua (1) vdi a > 0. Hinh 4.2 Vi du 1. Giai va bien ludn bdt phuofng trinh mx + l>x + m . (2) Gidi. Bdt phuofng trinh (2) tuong duong vdi im-l)x>m^-l. (3) Ta cd m^ - 1 1) Ndu m > l t h i / n - l > 0 nen (3) «> x > ——- m + 1. m- -1 m^ - 1 2) Ndu m < l t h i m - l < 0 nen (3) x < 0 nen nd vd nghidm. Kit ludn : -Ndu w > 1 thi tap nghiem cua (2) la 5 = (m + 1 ; +oo). - Ndu m
1 Am-3 l ) N d u / n > - thi2m-l>0nen(5)x>-^^^—^• 2 2m-l 2) Ndu m < - thi 2m - 1 < 0 nen (5) o x < • 2 2m-l 3) Ndu m= — thi (5) ttd thanh Ox > - 1 , bdi vay nd nghidm dung vdi mgi x. Am-3 ^ Kit ludn : - Ndu m > — thi tdp nghidm ciia (4) laS = ;+co 2m - 1 y r 4 m - 3 - Ndu m< — thi tap nghiem cua (4) la 5 = - 0 0 2m-1 - Ndu m = — thi tdp nghiem cua (4) la 5 = ^ D 2. Giai he bat phuong trinh b$c nhsi't mot an Tuong tu nhu he phuang trinh, tap nghiem cua mdt hd bdt phuong trinh la giao ciia tdt ca cac tap nghiem ciia cac bdt phuong trinh ttong he. Do dd, Mudn gidi hi bdt phuang trinh mot dn, ta gidi ticng bdt phuang trinh ciia hi rdi ldy giao cua cdc tap nghiim thu dugc. Vl du 3. Giai he bdt phuang trinh '3x-5 0 (7) X + 1 > 0. (8) Gidi. Giai ldn lugt ttoig bdt phuong trinh cua he, ta dugc : Tap nghiem cua (6) la S^ = —00 3 Tdp nghiem ciia (7) la Sj — :+oo 2 T$p nghiem ciia (8) la 53 = ( - 1 ; +«) 119
vay tap nghiem cua he bdt phuong trinh da cho Id f 5] S = Si n 52 n 53 = -1 n V 3J Ta cung cd the trinh bay loi giai vi du 3 nhu sau : 3 (I) « ^ 3 , • 5 X> -l < X < — 2 3 x>-l Tap nghiem cua he bdt phuong trinh da cho la / 5] S= -1 n V 3J CHU Y Dd de xac dinh tap nghiem S, ta bidu didn cdc tdp nghiem tten true sd bdng each gach di cac didm (phdn) Ichdng thudc tdp nghidm cua tiing bdt phuang trinh ttong hd, phdn cdn lai se bidu didn tdp nghiem cdn tim (h.4.3). -1 -1 Hinh 4.3 H3| 77m cac gid tri cOa x di ddng thdi xay ra hai ding thdc: |3x + 2| = 3x + 2 v a | 2 x - 5 | = 5-2x. Hu&ng ddn.\A\ = AOva\B\ = -BB 3. Tdp nghidm ciia (10) la (3 ; +00). Vdy tap nghiem ciia he Id S = (-00 ; -m] n"(3 ; +00). Hd cd nghifim khi vd chi khi S ?!^ 0 , hie la 3 < - m hay m < - 3 . • 120
Cau lioi va bai tap 25. Giai cdc bdt phuofng trinh : X x+2 3x + 5 . ^ X + 2 a) — X + 1> X + 3 ; b ) - ^ - l < _ - . . ; c) (1 - V2)x < 3 - 2V2 ; d) (x + V3)2 > (X - V3)2 + 2. 26. Giai va bien luan cac bdt phuang ttinh a) m(x - m) < X - 1 ; b) mx + 6 > 2x + 3m ; c) (x + 1)A: + X < 3x + 4 ; d)(a+l)x + a + 3 > 4 x + l . 27. Giai cdc hd bdt phuofng ttinh : ^ r5x - 2 > 4x + 5 12x + 1 > 3x + 4 a) i b) [5x - 4 < X + 2 ; !5x + 3 > 8 x - 9 . Luyen tap 28. Giai vd bien luan cac bdt phuofng trinh a)m(x-m)>2(4-x); b)3x + m^>m(x + 3); c ) % - l ) + 4x>5; d)ft(x-l)
DAU CUA NHI THLfC BAC N H A T 1. Nhi thurc b$c nhat va d^u cua no Nhidu bai toan ddn den viec xet xem mdt bidu thvccfix)da cho nhan gid tri am (hoac duang) vdi nhiing gia tri nao cha x. Ta ggi vide lani dd la xet ddu cda biiu thdc fix). Dudi day, ta se tim bidu vd nhi thdc bac nhdt va ddu cua nd. a) Nhi thurc b^c nhat DINH NGHiA Nhi thdc bdc nhdt (dd'i vdi x) la biiu thdc dang ax + b, trong ddava ft la hai so cho trudc vdi a ^ 0. Ta da bidt, phuofng trinh ax + ft = 0 (a 9^ 0) cd mdt nghidm duy nhdt XQ= — . a Nghidm dd cung dugc ggi la nghiem ciia nhi thicc bdc nhdt fix) = ax + b. No cd vai trd rdt quan trgng trong viec xet ddu ciia nhi thiic bac nh^t fix). b) Dau cua nhi thurc bac nhdt Dat XQ = — , ta vidt nhi thdc bdc nh^t fix) = ax + b nhu sau a fix) = ax + b= aL b^ *x + — = a(x-Xo). V uj Khi X > XQ thi X - XQ > 0 nen ddu cua a(x - XQ) trung vdi ddu cua a. Khi X < XQ thi X - Xo < 0 nen ddu cua a(x - XQ) ttdi vdi ddu cua a. 122