intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

SKKN: Một số bài toán về tính đơn điệu của hàm số ẩn

Chia sẻ: Trần Thị Ta | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:32

Thêm vào BST
Báo xấu
117
lượt xem 7
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuyên đề: “Một số bài toán về tính đơn điệu của hàm số ẩn” với mục đích trao đổi, học tập kinh nghiệm để công tác bồi dưỡng học sinh ôn thi THPT quốc gia ngày càng đạt hiệu quả hơn, đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: SKKN: Một số bài toán về tính đơn điệu của hàm số ẩn

  1. Nguyễn Thị Quyên                            THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. LỜI GIỚI THIỆU Trong các đề  thi THPTQG mấy năm gần đây (kể  từ  khi môn Toán thi trắc nghiệm)  đã xuất hiện khá nhiều các bài toán về hàm ẩn. Lớp bài toán hàm ẩn khá rộng nhưng   trong chuyên đề này tôi chỉ nghiên cứu một phần nhỏ về sự biến thiên của hàm ẩn.   Trước hết giúp bản thân hệ thống được các dạng cơ bản của bài toán xét tính đồng   biến nghịch biến, qua  đó phục vụ  tốt hơn cho tác giảng dạy, nâng cao trình độ  chuyên môn. Vì vậy tôi viết chuyên đề: ““MỘT SỐ  BÀI TOÁN VỀ  TÍNH ĐƠN  ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ẨN” với mục đích trao đổi, học tập kinh nghiệm để công tác   bồi dưỡng học sinh ôn thi THPT quốc gia ngày càng đạt hiệu quả hơn, đáp ứng yêu   cầu đổi mới giáo dục. 2. TÊN SÁNG KIẾN “MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ẨN” 3. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN Họ và tên: Nguyễn Thị Quyên   Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Tam Đảo 2­Tam Đảo­ Vĩnh Phúc Số ĐT: 0984870862; E­Mail: nguyenthiquyen.gvtamdao2@vinhphuc.edu.vn 4. CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN: là bản thân tác giả 5. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Xây dựng chuyên đề  môn Toán: áp dụng để cung cấp mẳng kiến thức cũng  như  rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải các dạng toán liên quan đến tính đồng   biến­nghịch biến của hàm ẩn có trong đề thi THPTQG.  6. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC ÁP DỤNG THỬ Tháng 9 năm 2019,  môn Toán lớp 12. 7. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN Sáng kiến chia làm 2 phần  Phần 1. Kiến thức cơ sở Phần 2. Một số dạng toán thường gặp PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 3
  2. Nguyễn Thị Quyên                            THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= 1.1 Tính đơn điệu của hàm số. 1.1.1   Định   nghĩa:  Gọi   K   là   khoảng   ( a;b)   hoặc   đoạn   � �  hoặc   nửa   khoảng  �a;b� a;b) , ( a;b� � � �và hàm số  f ( x )  xác định trên K. Hàm số   y = f ( x )   đồng biến  (tăng)  trên   K   nếu ∀ x1 ,x 2 �K : x 1 < x 2 � f ( x 1 ) < f ( x 2 )     Hàm   số   y = f ( x )   nghịch   biến(giảm)  trên   K   nếu   : ∀ x1 ,x 2 �K : x 1 < x 2   � f ( x1 ) > f ( x 2 ) . Hàm số  đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi là hàm số đơn điệu trên  K. 1.1.2 Định lí 1: Cho hàm số  y = f ( x )  có đạo hàm trên  ( a;b) . Nếu  f ( x ) > 0 ,∀ x ( a;b)  thì hàm số  f ( x )  đồng biến trên  ( a;b) . Nếu  f ( x ) < 0 , ∀ x ( a;b)  thì hàm số  f ( x )  nghịch biến trên  ( a;b) . 1.1.3 Định lí 2: (Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu trên  K  ) Cho hàm số  y = f ( x )  có đạo hàm trên  ( a;b) . Hàm   số   f ( x )   đồng   biến  trên   ( a;b) f ( x ) 0 ,∀ x ( a;b)   và   phương   trình  f ( x ) = 0  có hữu hạn nghiệm thuộc  ( a;b) . Hàm   số   f ( x )   nghịch   biến  trên   ( a;b) ∀�f ( x ) 0 , x ( a;b)   và   phương   trình  f ( x ) = 0  có hữu hạn nghiệm thuộc  ( a;b) . (Chú ý:  Dấu bằng chỉ xảy ra tại các điểm “rời nhau”) 1.1.4 Định lí 3: (Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu trên  K  ) Nếu hàm  f ( x )  đồng biến(hoặc nghịch biến) trên khoảng  ( a;b)  và  f ( x )  liên  tục trên nửa đoạn   a;b)   thì   f ( x )   sẽ  đồng biến(hoặc nghịch biến) trên nửa  đoạn  a;b) . Nếu hàm  f ( x )  đồng biến(hoặc nghịch biến) trên khoảng  ( a;b)  và  f ( x )  liên  tục trên nửa đoạn   ( a;b   thì   f ( x )   sẽ  đồng biến(hoặc nghịch biến) trên nửa  đoạn  ( a;b . 4
  3. Nguyễn Thị Quyên                            THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= Nếu hàm  f ( x )  đồng biến(hoặc nghịch biến) trên khoảng  ( a;b)  và  f ( x )  liên  tục trên đoạn  � � � thì  f ( x )  sẽ đồng biến(hoặc nghịch biến) trên đoạn  � a;b� a;b� � �. 1.2 Đạo hàm của hàm hợp 1.2.1 Hàm số hợp Cho hàm số   y = f ( x)  có tập xác định  X , tập giá trị   T  và hàm số   y = g (u )  có  tập xác định  Y  chứa tập  T . Khi đó với mỗi giá trị   x X  ta có một giá trị xác định  y   cho bởi  g . Khi đó  y = g (u ) = g ( f ( x ))  và ta nói  y  là một hàm số  h  theo biến số  x   với  h( x) = g ( f ( x )) . Hàm số  h( x)  gọi là hàm số hợp của hàm số  f  và  g  theo thứ tự này. 1.2.2 Đạo hàm của hàm số hợp u = f ( x) Cho hàm số  y = g ( f ( x)) . Đặt   khi đó  yx ' = y 'u .u 'x   y = f (u ) Ví dụ minh họa 1:  �f ( 1 − 2 x 2 ) �= f ( 1 − 2 x 2 ) . ( 1 − 2 x 2 ) = −4 x. f ( 1 − 2 x 2 ) � � �f ( x ) �= � 2 f ( x) . f ( x) . Ví dụ minh họa 2:  � 2          ­ Lưu ý khi giải các bài toán hàm hơp. x=a � u ( x) = a � � � +) Nếu  f ( x ) = 0 � � x = b � f ( u ( x) ) = 0 � � u ( x) = b .  x=c � � u ( x) = c � � x =1 x = −1 � 1 − 2 x = −1 � � 1 x = 0 � f ( 1− 2x ) = 0 � � Ví dụ minh họa 3:  f ( x ) = 0 � � 1 � − 2 x = 0 � x = 2 � x � = 3 1− 2x = 3 � � x = −1 PHẦN 2:  CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 2.1     XÁC ĐỊNH ĐƯỢC KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ   y = f ( x)   DỰA  VÀO BẢNG BIẾN THIÊN HOẶC ĐỒ THỊ CỦA HÀM  f '( x )   Phương pháp giải Cho đồ thị  f '( x ) , hỏi tính đơn điệu của hàm  y = f ( x )  Tìm nghiệm của  f '( x ) = 0  (hoành độ giao điểm với trục hoành); 5
  4. Nguyễn Thị Quyên                            THPT Tam Đảo 2 ======================================================== =========  Xét dấu  f '( x )  (phần trên  Ox  mang dấu dương; phần dưới  Ox mang dấu âm);  Lập bảng biến thiên của hàm số  y = f ( x ) , suy ra kết quả tương ứng. Bài 2.1. Cho hàm số  f ( x )  có đạo hàm liên tục trên  ﾡ  và có đồ thị của hàm  y = f ( x )   như hình vẽ. Mênh đê nao d ̣ ̀ ̀ ươi đây  ́ sai? ̀ ́ f ( x )  nghich biên trên  A. Ham sô  ̣ ́ ( −1; 0 ) .  ́ f ( x )  đông biên trên  B. Ham sô  ̀ ̀ ́ ( 1; + ) C. Ham sô ̀ ́f ( x ) nghich biên trên  ̣ ́ ( − ; 2 ) .  ́ f ( x )  đông biên trên  D. Ham sô  ̀ ̀ ́ ( 2; + ) Lời giải Từ đồ thị  y = f ( x )  ta thấy  f ( x ) �0, ∀x �( −�; 2]  (Phần đồ thị ứng với  x �( −�; 2]  nằm phía dưới  Ox ) và  f ( x ) > 0, ∀x �( 2; +�) (Phần đồ thị ứng với  x �( 2; +�)  nằm phía trên  Ox ).  Từ đó suy ra mệnh đề  A, C, D đúng và B sai. Cách khác: Để  thuận lợi cho một số  bài tập phía sau tôi xin đưa ra môt cách giải   khác x = −1 Dựa vào đồ thị có f ( x ) = 0 .(Trong đó  x = −1  là nghiệm kép) x=2 Chọn  f '( x) = ( x + 1) ( x − 2 )   2 Bảng biến thiên x  −   ­1 2                +   f '( x )   ­ 0         ­ 0       + f ( x)   f (2) Từ bảng biến thiên ta chọn đáp án B Bình luận:   Khi quan sát đồ  thị  hàm số  trong khi làm bài hấp tấp các em học sinh có   thể  nhầm tính đồng biến­nghịch biến của hàm số   y = f ( x )   với tính đồng biến   6
  5. Nguyễn Thị Quyên                            THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= nghịch biến của hàm số   y = f '( x )   vì vậy giáo viên nên lập bảng biến thiên để   học sinh TRÁNH NHẦM LẪN.   Với bài toán cho đồ thị của hàm  y = f '( x) . Phần đồ thị nằm phía trên trục   hoành  ứng với  f '( x) > 0  khi đó hàm y = f ( x )  đồng biến; phần đồ  thị  phía dưới   trục hoành ứng với  f '( x ) < 0  khi đó hàm số  y = f ( x ) nghịch biến. Bài 2.2.  Cho hàm số   f ( x )  có đạo hàm liên tục trên  ﾡ  và có đồ thị hàm số   f ( x )  là  đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số  f ( x )  nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .      B. Hàm số  f ( x )  đồng biến trên khoảng  ( 1;  2 ) . C. Hàm số  f ( x )  đồng biến trên khoảng  ( −2;1) .          D. Hàm số  f ( x )  nghịch biến trên khoảng  ( 0;  2 ) . Lời giải Từ đồ thị hàm  y = f '( x)  ta có  f '( x) < 0 �� x ( −�; −2 ) �( 0; 2 )                                                    f '( x) > 0 �� x ( −2;0 ) �( 2; +�)   Ta có bảng biến thiên x  −              ­2 0   2                +   f '( x) ­ 0 + 0 ­ 0 + f ( x) Từ bảng biến thiên ta chọn đáp án   D  Bài 2.3. Cho hàm số  y = f ( x )  có bảng xét dấu đạo hàm như sau x − ­2 ­1  2  4           +   f '( x) + 0 ­ 0 + 0 ­ 0 + Hàm số  y = −2 f ( x) + 2019  nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A.  (−1; 2)   B.  (−2; −1)   C.  (2; 4)   D.  (−4; 2)   Lời giải Tính đạo hàm  y ' = −2 f '( x)   Hàm số  y = −2 f ( x) + 2019  nghịch biến khi  −2 f '( x) < 0 � f '( x) > 0 7
  6. Nguyễn Thị Quyên                            THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy  f '( x) > 0 �� x ( −�; −2 ) �( −1; 2 ) �( 4; +�) Vậy ta chọn đáp án A 2.2.  XÁC ĐỊNH ĐƯỢC KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ   y = f (u ( x ))  DỰA  VÀO BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM  f '( x) Phương pháp giải Cho đồ thị hàm số  y = f '( x)  hỏi tính đơn điệu của hàm hợp  y = f (u )    Đọc đồ thị hàm số  y = f '( x )  đề cho và xác định f '( x) > 0 �� x ...   f '( x) < 0 �� x ... Suy ra  f '(u ) > 0 �� u ...   f '(u ) < 0 �� u ...  Tính đạo hàm  y '( x ) = u '( x ). f '(u )  ;  Giải   bất   phương   trình   f '(u ).u '( x) > 0 ...   (Quan   sát   đồ   thị   suy   ra   miền  nghiệm);  Lập bảng biến thiên của  y = f (u ) , suy ra kết quả tương ứng. (Có thể  thay thế  bước 2 bằng giải phương trình   f '(u ).u '( x) = 0 và dựa vào  bảng biến thiên hoặc đồ thị hàm  f '( x )  đã cho để xét dấu trực tiếp biểu thức  y') Bài 2.4 (THPTQG­2019, Mã đề 101) Cho  hàm số   f ( x)  có bảng xét dấu  f '( x)  như  hình bên dưới x −               ­3                ­1                     1                      +   f '( x) ­        0      + 0 ­ 0 + Hàm số  y = f (3 − 2 x )  nghịch biến trên khoảng A.  (4; + )   B.  (−2;1)   C.  (2; 4)   D.  (1; 2)   Lời giải −3 < x < −1 Bước 1. Từ bảng biến thiên cho ta  f '( x) > 0   x >1 x < −3                                                           f '( x) < 0   −1 < x < 1 Bước 2. Tính đạo hàm của hàm  y ' = ( −2) f '(3 − 2 x) . Bước 3. Giải bất phương trình  y ' > 0 � (−2). f '(3 − 2 x) > 0 � f '(3 − 2 x) < 0   8
  7. Nguyễn Thị Quyên                            THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= 3 − 2 x < −3 � x>3 �                                                       � � � � −1 < 3 − 2 x < 1 � 2 > x >1 � Bước 4. Lập bảng biến thiên  x −               1                    2                      3                   +   y' ­        0      + 0 ­ 0 + y Kết luận từ bảng biến thiên suy ra đáp án  B.  (−2;1) Cách khác: Bạn đọc có thể xem thêm một cách giải khác khá thú vị sau x = −3 Bước 1.  Dựa vào bảng biến thiên có f ( x ) = 0 � x = −1   (các nghiệm của phương  x =1 trình đều là nghiệm bội lẻ vì  f '( x)  đổi dấu liên tiếp khi qua các môc  x = 1, x = 2, x = 3 ) Chọn  f ( x ) = ( x + 3) ( x + 1) ( x − 1) . Bước 2. Tính đạo hàm của hàm  y ' = ( −2) f '(3 − 2 x) . � g ( x ) = −2 ( 3 − 2 x + 3) ( 3 − 2 x + 1) ( 3 − 2 x − 1) = −2(6 − 2 x)(4 − 2 x)(2 − 2 x) . x=3 � g ( x) = 0 � x = 2 x =1 Bảng xét dấu  g ( x ) x −                     1            +   2 3 g '( x )  ­             0      +               0 −  0   + g ( x) Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f (3 − 2 x) nghịch biến trên các khoảng  (−2;1) Bình luận:  9
  8. Nguyễn Thị Quyên                            THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= Ví dụ  1 có thể  cho bảng biên thiên hay cho đồ  thị  hàm   f '( x )   thì đều có   cách giải như  nhau. Từ  bảng biến thiên hoặc từ  đồ  thị  suy ra miền âm hay   dương của hàm  f '( x)  để từ đó suy ra miền âm hay dương của  f '(u ) . Bài  2.5.  Cho  hàm   số   y = f ( x)   có   đạo   hàm   f ( x )   trên   ﾡ   và   đồ   thị   của   hàm   số  y ' = f ( x )  như hình vẽ. Hàm số  g ( x ) = f ( x 2 − 2 x − 1)  đồng biến trên khoảng nào dưới  đây? A.  ( − ;1) .              B.  ( 1; + ). C.  ( 0; 2 ) .               D.  ( −1;0 ) . Lời giải Bước 1. Từ đồ thị hàm số  f '( x )  ta thấy  f '( x) �0 x 2  và  f '( x) > 0 � x > 2   Bước 2. Ta có: g ' ( x ) = (2 x − 2). f '( x 2 − 2 x − 1) . Bước   3.  Tìm   x   sao   cho   f '( x 2 − 2 x − 1) �� 0 x 2 − 2 x − 1 �� 2 x 2 − 2 x − 3 �0 � −1 �x �3 Bước 4. Lập bảng biến thiên x −               ­ 1                   1 3               +   2x − 2             ­  ­              0            +    + f '( x 2 − 2 x − 1) +  ­              0 −  0    + 0 g '( x)   ­  +  0 ­ 0    + 0 g ( x) Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án D.  ( −1;0 ) . Cách 2.  x = −1 Bước 1. Dựa vào đồ thị có f ( x ) = 0 .(Trong đó  x = −1  là nghiệm kép) x=2 Chọn  f '( x) = ( x + 1) ( x − 2 )   2 Bước 2. Tinh đạo hàm  g ' ( x ) = (2 x − 2). f '( x − 2 x − 1) 2                                                 = (2 x − 2) ( x 2 − 2 x − 1 + 1) (x − 2x − 1 − 2)   2 2 10
  9. Nguyễn Thị Quyên                            THPT Tam Đảo 2 ======================================================== =========                                                 = ( 2 x − 2 ) ( x 2 − 2 x ) (x − 2 x − 3)   2 2 x =1 x=0 Cho  g '( x) = 0 � x = 2  (Trong đó có  x = 0; x = 2  là nghiệm kép) x = −1 x=3 Bước 3. Lập bảng biến thiên x −   ­1 0 1 2 3           +   g '( x) ­ 0 + 0 + 0 ­ 0 ­ 0 + g ( x) Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án  D.  ( −1;0 ) . Bình luận:  Căn cứ vào đồ thị hàm số  y = f '( x)  có dạng như đồ thị hàm đa thức bậc 3   cắt trục  hoành tại  điểm   x = 2   và  tiếp xúc tại  điểm   x = −1    nên ta chọn hàm  f '( x) = ( x + 1) ( x − 2 ) . Khi đó hàm số   y = g '( x) = 2 f '( x 2 − 2 x − 1)   là một hàm đa thức   ta có thể xét dấu dựa vào quy tắc xét dấu của hàm dạng tích thương các đa thức. Bài 2.6.  Cho hàm số  y = f ( x ) .  Đồ thị hàm số  y = f ﾡ( x )  như hình bên dưới                                                 Hàm số  g ( x ) = f ( x 2 + 2x + 2 )  nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A.  ( - ﾡ ) ; - 1 - 2 2 .           B.  ( - ﾡ ;1) . C.  ( 1;2 2- 1 . )    D.  ( 2 2 - 1; +ﾡ ). Lời giải. NX:  x 2 + 2 x + 2 > 0, ∀x   11
  10. Nguyễn Thị Quyên                            THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= ﾡx = - 1 ﾡ Bước 1.  Dựa vào đồ thị, suy ra  f ﾡ( x ) = 0 � ﾡx = 1 . ﾡ ﾡx = 3 ﾡ x +1 Bước 2. Tính đạo hàm  gﾡ( x ) = 2 x + 2x + 2 fﾡ ( x 2 + 2x + 2 ;) Bước 3. Giải phương trình ﾡx + 1 = 0 ﾡx = - 1  ( nghiem boi ba ) ﾡx + 1 = 0 ﾡ ﾡ ﾡ theo do thi f '( x ) ﾡ 2 ﾡ g ﾡ( x ) =ﾡ����� 0 ﾡ ++= �=-- ﾡ x 2x 2 1 ﾡx 1 2 2 . ﾡ 2 ( ﾡf ﾡ x + 2 x + 2 = 0 ) ﾡ ﾡ x 2 + 2x + 2 = 3 ﾡ ﾡx = - 1 + 2 2 ﾡ ﾡ Lập bảng biến thiên  x − −1 − 2 2 −1    −1 + 2 2              +   x +1 ­ ­ 0 + + f '( x 2 + 2 x + 2) + 0 ­ 0 ­ 0 + g '( x) ­ 0 + 0 ­ 0 + g ( x) và ta chọn A.  ( - ﾡ ;- 1- 2 2 . ) Bình luận:   Với  g ( x ) = f ( x 2 + 2x + 2 )  có chứa căn nên ta chỉ chọn cách giải thứ 2 vì cách   giải thứ nhất giải nhiều bất phương trình chứa căn khá phức tạp.  Hàm   f '( x 2 + 2 x + 2)  không phải là hàm dạng tích thương các đa thức  vậy   làm thế nào để xét dấu các biểu thức  trên các khoảng cụ thể? Cách xét dấu  gﾡ( x )   như   sau:   Ví   dụ   xét   trên   khoảng   ( - 1;- 1 + 2 2 )   ta   chọn   x = 0.   Khi   đó  1 g ﾡ( 0 ) = 2 fﾡ( 2 ) < 0  vì dựa vào đồ thị  f ﾡ( x )  ta thấy tại  x = 2 ﾡ ( 1;3)  thì  f ﾡ( ) 2 < 0.  Các   nghiệm của phương trình   gﾡ( x ) = 0   là nghiệm bội lẻ  nên qua nghiệm đổi dấu   hoặc hàm phức tạp ta nên thử tương tự ở tất cả các khoảng.. Bài 2.7. Cho hàm số  y = f ( x)   có bảng xét dấu của  f '( x)   như sau: x − ­2 0  2            +   f '( x) ­ 0 + 0 ­ 0 + ( ) Hàm số  y = g ( x ) = f x 2 − 1 + 1 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?   12
  11. Nguyễn Thị Quyên                            THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= −6 A.  ( −1;1) . � � B.  � ; − 1�. �5 � ( C.  − ; − 2 . ) ( D.  0; 2 . ) Lời giải Bước   1.  Tính   đạo   hàm   của   hàm   số  � 2 x 1 f(x ) khi ( y = g ( x ) = f x2 − 1 + 1 = ) x −1 . f ( 2 − x 2 ) khi − 1 < x < 1 � x >1 2 x. f (x ) , 2 khi Ta có:  g ( x ) = x < −1 . −2 x. f ( 2 − x 2 ) khi − 1 < x < 1 Bước 2. Giải bất phương trình  �x > 1 x >1 f (x ) >0 2 x2 > 2 x < −1 x < −1 x> 2 f ( x2 ) < 0 1 < x2 < 2 g ( x ) > 0 ��� − 2 < x < −1. −1 < x < 0 −1 < x < 0, ( 2 − x 2 > 1) 0 < x 0 �2 − x 2 > 2 0 < x 1) f ( 2 − x2 ) < 0 1 < 2 − x2 < 2 Hoặc ta có thể chọn phương pháp lập bảng biến thiên để thay thế x=0 x=0 x 2 = −2 Giải phương trình  g ( x ) = 0 �� 2 . x= 2 x =2 x=− 2 2 − x2 = 0 � −   x  − 2 ­1 0 1  2        +   g '( x )   ­ 0 + ­ 0 + ­ + g ( x)   Bước 3. Kết luận 13
  12. Nguyễn Thị Quyên                            THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= � −6� Chọn đáp án B.  � ; − 1�. �5 � Bình luận:  � x >1 2 x. f (x ) , 2 khi   Vì hàm số  g ( x ) = x < −1 . −2 x. f ( 2 − x ) khi − 1 < x < 1 2 2 xf '( x 2 ) = 0, x �( −�; −1) �( 1; +�) Khi cho  g '( x) = 0     −2 xf '(2 − x 2 ) = 0, x �(−1;1) 2 x. f '( x 2 ) = 0, x �( −�; −1) �( 1; +�) , kết hợp bảng xét dấu  f '( x)  ta có  x2 = 2 x= 2   x 2 = −2( L) x=− 2 −2 x. f '(2 − x 2 ) = 0, x �( −1;1) ,   kết   hợp   bảng   xét   dấu   f '( x)   ta   có  x=0 x=0   2 − x2 = 0 x= 2 (x = 2  không phải là nghiệm kép của phương trình  g '( x) = 0 ) Cách xét dấu của hàm  g '( x)  ví dụ xét khoảng  ( 2; + )  ta chọn  x = 2  thay  g '( x) ta  được   g '(2) = 2.2. f '(22 ) = 4. f '(4) > 0 ,   vì   theo   bảng   xét   dấu   f '(4) > 0   nên  ( ) g '( x) > 0, x � 2; +�  Ta thực hiện các khoảng còn lại tương tự. 2.3. XÁC ĐỊNH ĐƯỢC KHOẢNG  ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ   y = f ( x) − h( x)   DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN HOẶC ĐỒ THỊ CỦA HÀM  f '( x )                                        Tìm khoảng đơn điệu khi biết đồ thị của hàm  f '( x ) Phương pháp giải Cho đồ  thị  hàm số   y = f '( x) , hỏi tính đơn điệu của hàm số   y = g ( x) , trong đó  g ( x ) = f ( x ) − h( x )    Tính  y ' = g '( x)  ;  Căn cứ đồ  thị  hàm  y = f '( x)  Các điểm cực trị của hàm  g '( x) . Xét phần đồ  thị  hàm  f '( x )  và  h '( x) . Nếu  f '( x)  nằm trên  h '( x )  thì hàm số  đồng biến, nếu  f '( x)  nằm dưới  h '( x )  thì hàm số nghịch biến.    Lập bảng biến thiên của hàm số   y = g ( x)   hoặc trực tiếp xác định khoảng  đồng biến nghịch biến dựa vào đồ thị và suy ra kết quả bài toán. 14
  13. Nguyễn Thị Quyên                            THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= Bài 2.8. Cho hàm số  y = f ( x )  với đạo hàm  f ( x )  có đồ thị như hình vẽ. Hàm số   g ( x ) = 3 f ( x ) − x + 3x − 3x + 2019 . Chọn mệnh đề  đúng trong các mệnh đề  3 2 sau?                                               A. Hàm số  y = g ( x )  đồng biến trên khoảng  ( 1; 2 ) . B. Hàm số  y = g ( x )  đồng biến trên khoảng  ( −1;0 ) . C. Hàm số  y = g ( x )  đồng biến trên khoảng  ( 0;1) . D. Hàm số  y = g ( x )  nghịch biến trên khoảng  ( 2; + ) Lời giải Bước 1. Ta có: g ( x ) = 3 f ( x ) − 3x 2 + 6 x − 3 Bước 2. Giải phương trình  g ( x ) = 0 � 3 f ( x ) − 3x 2 + 6 x − 3 = 0 � f ( x ) = x 2 − 2 x + 1 15
  14. Nguyễn Thị Quyên                            THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= Xét   tương   giao   của   hai   đồ   thị   hàm   số:   y = f ( x )   và   y = x 2 − 2 x + 1   Quan sát đồ  thị  ta thấy: đồ  thị  hàm số   y = f ( x ) và đồ  thị  hàm số   y = x 2 − 2 x + 1  cắt  nhau tại ba điểm phân biệt  A, B, C  có hoành độ lần lượt là  x = 0; x = 1; x = 2 x=0 �f ( x) = x 2 − 2x + 1 � x = 1 x=2 Ta có bảng biến thiên: x  −   0 1 2             + g '( x)   ­ 0 + 0 ­ 0 + g ( x)   +   g (1)              +   g (0) g (2) Từ bảng biến thiên suy ra: chọn đáp án  C.   ( 0;1) Bình luận: Khi vẽ  đồ  thị  ta để  ý đến các điểm đặc biệt mà đồ  thị  ban đầu cho   tọa độ cụ thể.. Bài   2.9.  Cho   f ( x )   mà   đồ   thị   hàm   số   y = f ( x )   như   hình   bên.  Hàm   số  y = f ( x − 1) + x 2 − 2 x  đồng biến trên khoảng 16
  15. Nguyễn Thị Quyên                            THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= A.  ( 1; 2 ) . B.  ( −1;0 ) . C.  ( 0;1) . D.  ( −2; −1) . Lời giải Bước 1. Tính đạo hàm của hàm  y = f ( x − 1) + x 2 − 2 x Bước 2. Khi đó  y = f ( x − 1) + 2 x − 2 .  Hàm số đồng biến khi  y 0� f ( x − 1) + 2 ( x − 1) �0 ( 1) Đặt  t = x − 1  thì  ( 1)  trở thành:  f ( t ) + 2t 0 ۳ f ( t ) −2t . Bước 3. Quan sát đồ  thị  hàm số   y = f ( t )  và  y = −2t  trên cùng một hệ  trục tọa độ  như hình vẽ.                                                                    Khi đó ta thấy với  t ( 0;1)  thì đồ  thị  hàm số   y = f ( t )  luôn nằm trên đường thẳng  y = −2t Suy ra  f ( t ) + 2t > 0, ∀t ( 0;1) .  Với   0 < t < 1 � 0 < x − 1 < 1 � 1 < x < 2 .   Do   đó   ∀x ( 1; 2 )   thì   hàm   số  y = f ( x − 1) + x 2 − 2 x  đồng biến. Chọn đáp án A Bài 2.10. (ĐỀ  THAM KHẢO CỦA BGD&ĐT NĂM 2018­2019) Cho hàm số   f ( x)   có bảng xét dấu đạo hàm như sau x − 1 2  3  4           +   f '( x) ­ 0     + 0     + 0     ­ 0  + Hàm số  y = 3 f ( x + 2) − x 3 + 3 x  đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 17
  16. Nguyễn Thị Quyên                            THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= A.  ( − ; −1) . B.  ( −1; 0 ) . C.  ( 0; 2 ) . D.  ( 1; + ). Lời giải Bước 1. Tính đạo hàm  y ' = 3 � �f '( x + 2) − ( x − 1) � 2 � Bước 2. Ta có  y ' > 0 � 3 f ' ( x + 2 ) − 3x 2 + 3 > 0 � f ' ( x + 2 ) > x 2 − 1.   Đặt   t = x + 2,   bất phương trình trở  thành:   f '(t ) > (t − 2) 2 − 1 � f '(t ) − (t 2 − 4t + 3.) > 0   Không thể giải trực tiếp bất phương trình: Bước 3. Ta sẽ chọn t thỏa mãn  t  − 1 2  3  4         +   f '(t ) ­ 0 + 0 + 0 ­ 0 + t 2 − 4t + 3 + 0 ­ ­ 0 + + Quan sát bảng biến thiên  f '(t ) > 0 Xét với  t �( 1;3) � � f '(t ) − ( t 2 − 4t + 3) > 0   t − 4t + 3 < 0 2 Với  1 < t < 3 � 1 < x + 2 < 3 � −1 < x < 1   Khi   x �( −1;1)   thì   y ' = 3 � �f '( x + 2) − ( x − 1) � �> 0   tức   là  hàm số  y = 3 f ( x + 2) − x + 3 x   2 3 đồng biến. Từ đó chọn đáp án B Bài 2.11.  Cho hàm số  f ( x)  có bảng xét dấu đạo hàm như sau x  − −4 −1 2 4          + f '( x) + 0 ­ 0 ­ 0 + 0 ­ 2 Hàm số  y = f (2 x + 1) + x 2 − 8x + 5  nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 3 � � 1 A.  ( 1; + ) .                  B.  �−1; �.            C.  ( − ; −2 ) .          D.  ( −1; 7 ) .   � 2 � Lời giải 4 Bước 1. Ta có  y ' = 2 f '(2 x + 1) + x − 8   3 4 Bước 2. Giải bất phương trình:   2 f '(2 x + 1) + x − 8 0 3 18
  17. Nguyễn Thị Quyên                            THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= t 13 Đặt  t = 2 x + 1 � f '(t ) + − �0   3 3 Bước 3. Ta có bảng xét dấu t − −4 −1 2 4          1        + 3 f '(t ) + 0 ­ 0 ­ 0 + 0 ­ ­ t 13 ­ ­ ­ ­ ­ 0 + − 3 3 y' ­ ­ ­ f '(t ) < 0 t �(−4; 2) t 13 Từ bảng biến thiên ta  thấy   thì  t 13    � f '(t ) + − < 0   t (4;13) −
  18. Nguyễn Thị Quyên                            THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= (hoặc f '( x, m) 0, ∀x ( a; b) )   về   dạng   g ( x ) h ( m)   (hoặc  g ( x) h( m), ∀x ( a; b) ).                Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số  g ( x )  trên khoảng  ( a; b ) .                Bước 3: Từ bảng biến thiên ta suy ra các giá trị cần tìm của tham số m. Bài 2.12. [VD] Cho hàm số  y = f ( x )  có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị của  tham số  m  để hàm số  y = f ( 3x 2 + 2 x + m )  nghịch biến trên khoảng  ( 0;1) .   Hướng dẫn giải: + Từ đồ thị hàm số  y = f ( x )  ta có dấu của  y ' = f ' ( x ) . Cụ thể là đồ thị có dáng đi  xuống trên khoảng  ( −1;1) , đi lên trên hai khoảng  ( − ; −1) ; ( 1; + )  nên  f ' ( x ) < 0 �� ( −1;1) ;  f ' ( x ) > 0 �� x x ( −�; −1) �( 1; +�) . + Tính đạo hàm của hàm  y = f ( 3x 2 + 2 x + m ) :  y ' = ( 6 x + 2 ) f ' ( 3x 2 + 2 x + m ) . + Sử dụng điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước và kỹ thuật  cô lập m, giải bài toán tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi  x ( 0;1) . Lời giải Từ đồ thị hàm số  y = f ( x )  ta có  f ' ( x ) �0 � −1 �x �1 . y ' = ( 6 x + 2 ) f ' ( 3x 2 + 2 x + m ) .   Dễ thấy  y '  có hữu hạn nghiệm, nên hàm số  y = f ( 3x 2 + 2 x + m )  nghịch biến trên  ( 0;1)   ∀�y ' 0  x ( 0;1)   � f ' ( 3x 2 + 2 x + m ) �0, ∀x �( 0;1) 3x 2 + 2 x −m − 1, ∀x ( 0;1) � −1 �3x + 2 x + m �1, ∀x �( 0;1) � 2 3 x 2 + 2 x 1 − m, ∀x ( 0;1) Hàm số  g ( x ) = 3x 2 + 2 x  đồng biến trên  [0;1]  nên hệ trên tương đương  −m − 1 g ( 0 ) = 0 m −1 � �� � m ��. 1 − m g ( 1) = 5 m −4 Vậy không có  m  thỏa mãn yêu cầu bài toán.  20
  19. Nguyễn Thị Quyên                            THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= Binh luận: + Từ đồ thị hàm số  y = f ( x ) , ta thấy bất phương trình  f ' ( x ) �0 � x �[ −1;1]  và suy ra  nghiệm của  f ' ( 3 x 2 + 2 x + m ) 0. + Ta có thể tương tự hóa dạng bài này khi học sinh học đến bài hàm mũ, logarit,… + Nếu hàm số  y = f ( x )  có  f ' ( x ) 0 ∀x ( a; b ) , dấu bằng xảy ra tại hữu hạn  x ( a; b )  thì hàm số  y = f ( x )  đồng biến trên khoảng đó. Bài 2.13.  Cho hàm số  y = f ( x )  có đạo hàm trên  ﾡ  và bảng xét dấu của đạo hàm  như hình vẽ sau: Tìm tất cả các giá trị của tham số  m  để hàm số  g ( x ) = f ( x − x + m )  nghịch biến trên  2 khoảng  ( −1; 0 ) ? Lời giải g ( x ) = ( 2 x − 1) . f ( x 2 − x + m ) . Hàm số  g ( x )  nghịch biến trên khoảng  ( −1;0 ) g ( x) 0   ∀x �( −1;0 ) � ( 2 x − 1) . f ( x 2 − x + m ) �0   ∀x �( −1;0 ) . x 2 − x + m �4, ∀x �( −1;0 ) � f ( x − x + m ) �0 ∀x �( −1; 0 )   2 x 2 − x + m �1, ∀x �( −1;0 ) m �− x 2 + x + 4, ∀x �( −1;0 ) m �− x 2 + x + 4, ∀x �( −1;0 ) m 4 . m �− x 2 + x + 1, ∀x �( −1;0 ) m �− x 2 + x + 1, ∀x �( −1; 0 ) m −1 m 4 Vậy  m −1 Bài 2.14.  Cho hàm số  y = f ( x )  có đạo hàm  f ' ( x ) = 3x 2 + 2 x − 5, ∀x ﾡ .  Tìm tất cả các  giá   trị   của   tham   số   m   để   hàm   số   g ( x ) = f ( x ) − ( m + 1) x − 2019   nghịch   biến   trên  khoảng  ( 0; 2 ) Hướng tiếp cận: Với dạng bài tập này ta thực hiện theo các bước sau:      + Tính đạo hàm của  g ( x ) = f ( x ) − ( m + 1) x − 2019 � g ' ( x ) = f ' ( x ) − ( m + 1)   f ' ( x ) = 3x + 2 x − 5   2           +   Thay   giả   thiết ta   có  g ' ( x ) = 3x 2 + 2 x − 5 − ( m + 1) = 3x 2 + 2 x − 6 − m       + Sử  dụng điều kiện đủ  để  hàm số  đơn điệu trên một khoảng cho trước và kỹ  21
  20. Nguyễn Thị Quyên                            THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= thuật cô lập  m,  giải bài toán tìm  m  để  bất phương trình nghiệm đúng với mọi  x ( 0; 2 ) . Lời giải Ta có  g ( x ) = f ( x ) − ( m + 1) x − 2019 � g ' ( x ) = f ' ( x ) − ( m + 1) . Hàm số nghịch biến trên khoảng  ( 0; 2 )   ∀�g ' ( x ) 0, x ( 0; 2 )  (dấu  '' = ''  xảy ra tại hữu hạn điểm trên khoảng  ( 0; 2 )  ­ luôn  đúng)  � f ' ( x ) − ( m + 1) �0, ∀x �( 0; 2 ) � 3 x 2 + 2 x �m + 6, ∀x �( 0; 2 ) ( *) Xét hàm số  h ( x ) = 3x + 2 x, x ( 0; 2 ) . Ta có  h ' ( x ) = 6 x + 2 > 0, ∀x ( 0; 2 ) . 2 Bảng biến thiên: 016 Từ bảng biến thiên ta có  ( *)   �+m�۳6 16 m 10 .  Bàn luận: + Vì hàm số liên tục và đơn điệu trên đoạn  [ 0; 2]  nên khi không lập bảng biến  thiên,   ta   có   thể   diễn   đạt:  m + 6 �3x 2 + 2 x = h ( x ) , ∀x �� ( 0; 2 ) m + 6 �max h ( x ) = g ( 2 ) = 16. [ 0;2] + Ta có thể tương tự hóa dạng bài này khi học sinh học đến bài hàm mũ,  logarit. Bài 2.15.  Cho hàm số   y = f ( x )   có đạo hàm   f ' ( x ) = ( x + 1) e x .   Tìm tất cả  các giá trị  của tham số  m  để hàm số  y = g ( x ) = f ( ln x ) − mx + mx − 2  nghịch biến trên  ( 1; e3 ) . 2 Lời giải 1 Trên  ( 1;e3 )  ta có  g ' ( x ) = . f ' ( ln x ) − 2mx + m = ln x + 1 − ( 2 x − 1) m. x Hàm số y = g ( x )  nghịch biến trên  ( 1;e3 )   � g ' ( x ) = ln x + 1 − ( 2 x − 1) m �0, ∀x �( 1; e3 ) � ln x + 1 �( 2 x − 1) m, ∀x �( 1; e3 )                                                          ln x + 1 ∀� 2x −1 m, x ( 1; e ) (*) 3 22
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.06: Bộ 240 Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2023
240 tài liệu
1111 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2