zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Sáng kiến kinh nghiệm

SKKN: Phân dạng một số bài Toán về hàm số để ôn thi tốt nghiệp

Chia sẻ: Nguyễn Lê Huy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Báo xấu

178
lượt xem 29
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Dưới đây là sáng kiến kinh nghiệm về phân dạng một số bài toán về hàm số để ôn thi tốt nghiệp giúp các em học sinh khối 12 nắm được các dạng toán cơ bản về hàm số và biết vận dụng phương pháp giải tốt nhất và đạt điểm cao.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: SKKN: Phân dạng một số bài Toán về hàm số để ôn thi tốt nghiệp

Phân dạng một số bài toán về hàm số để ôn thi tốt nghiệp – Ngô Thị Lan - THPT số 4 Văn Bàn Mục lục Trang Phần mở đầu 2 I/ Lí do chọn đề tài – mục đích nghiên cứu. 2 II/ Đối tượng, phạm vi nghiên cứu của đề tài. 3 Phần nội dung 4 I/ Tình trạng vấn đề hiện tại. 4 II/ Nội dung của giải pháp. 4 1. Cơ sở lý luận 2. Phân dạng bài, phương pháp giải và bài tập vận dụng. 5-14 * Loại 1. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số 5-6 * Loại 2. Bài toán về tính đơn điệu của hàm số 7 * Loại 3. Bài toán về cực trị của hàm số 8-9 * Loại 4. Bài toán về sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số 10 * Loại 5. Bài toán về ứng dụng của tích phân 11 * Loại 6. Giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng thức liên quan đến đạo hàm 12 * Loại 7. Bài toán tìm GTLN-GTNN của hàm số trên [a;b] 13-14 III/ Kiểm nghiệm 14 Phần kết luận 14 Danh mục tài liệu tham khảo 15 1
Phân dạng một số bài toán về hàm số để ôn thi tốt nghiệp – Ngô Thị Lan - THPT số 4 Văn Bàn PHẦN MỞ ĐẦU I/ Lý do chọn đề tài- Mục đích nghiên cứu 1. Lí do chọn đề tài Trường THPT số 4 Văn Bàn được thành lập vào năm 2007, trường đang bước sang tuổi thứ 4, hiện đang được đóng nhờ trên địa bàn của trường THCS khánh hạ với một không gian hết sức khiêm tốn với 13 lớp trong đó có 4 lớp 12, với đội ngũ giáo viên rất trẻ. Năm 2009-2010 là năm đầu tiên trường có học sinh khối 12 tham gia thi tốt nghiệp, điều đó đồng nghĩa với việc đội ngũ giáo viên của trường nói chung, của nhóm toán nói riêng lần đầu tiên được tiếp cận ôn thi tốt nghiệp. Với kết quả thi tốt nghiệp môn toán rất thấp so với mặt bằng chung của tỉnh (38,01%) điều đó đã làm cho bản thân tôi trăn trở: Làm thế nào để môn toán sẽ đạt được kết quả cao hơn trong kỳ thi tốt nghiệp năm nay và trong các năm khác? Điều đầu tiên mà tôi băn khoăn nhất là bản thân tôi và các thầy cô trong nhóm toán của trường đã xây dựng cho học sinh của mình một đề cương như vậy đã hợp lý chưa, có dễ học không….? Trước một thực trạng như vậy, tôi đã mạnh dạn chọn đề tài: ''Phân dạng một số bài toán về hàm số để ôn thi tốt nghiệp''. Tôi hy vọng qua đề tài này sẽ giúp cho các em học sinh khối 12 nắm được các dạng bài cơ bản về hàm số và biết vận dụng phương pháp giải tốt nhất để lấy được điểm . Mặt khác tôi hy vọng sẽ nhận được nhiều sự góp ý quý báu từ những đồng nghiệp có nhiều kinh nghiệm để bản thân tôi và nhóm toán của nhà trường có một hướng đi đúng đắn cho những năm tiếp theo. 2. Mục đích nghiên cứu. Xuất phát từ tình hình thực tế tại nhà trường, do điều kiện thời gian không cho phép, do khả năng nghiên cứu còn hạn hẹp, chuyên đề sáng kiến kinh nghiệm này chỉ nhằm tới hai mục đích cơ bản: + Giúp cho học sinh 12 ôn thi tốt nghiệp nắm được các dạng bài cơ bản về hàm số 2
Phân dạng một số bài toán về hàm số để ôn thi tốt nghiệp – Ngô Thị Lan - THPT số 4 Văn Bàn + Giúp học sinh nắm được các phương pháp giải dễ nhất để lấy được điểm. II/ Đối tượng , phạm vi nghiên cứu. 1. Đối tượng nghiên cứu. Xuất phát từ lý do và mục đích nghiên cứu trên, chuyên đề sáng kiến kinh nghiệm này hướng tới những đối tượng nghiên cứu sau: - Thực trạng chất lượng học sinh thời gian trước khi thực hiện đề tài. - Các giải pháp đưa ra nhằm nâng cao kết quả học tập, thi cử của học sinh. - Kết quả đạt được sau khi thực hiện đề tài. 2. Phạm vi nghiên cứu. Xuất phát từ những vấn đề trên, chuyên đề sáng kiến kinh nghiệm này tự giới hạn trong phạm vi nghiên cứu: Phân dạng một số bài toán về hàm số để ôn thi tốt nghiệp. Chuyên đề gồm những nội dung chính sau: Phần mở đầu I/ Lí do chọn đề tài – mục đích nghiên cứu. II/ Đối tượng, phạm vi nghiên cứu của đề tài. Phần nội dung I/ Thực trạng chung II/ Nội dung của giải pháp. 1. Cơ sở lý luận 2. Phân dạng bài, phương pháp giải và bài tập vận dụng. * Loại 1. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số * Loại 2. Bài toán về tính đơn điệu của hàm số * Loại 3. Bài toán về cực trị của hàm số * Loại 4. Bài toán về sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số * Loại 5. Bài toán về ứng dụng của tích phân 3
Phân dạng một số bài toán về hàm số để ôn thi tốt nghiệp – Ngô Thị Lan - THPT số 4 Văn Bàn * Loại 6. Giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng thức liên quan đến đạo hàm * Loại 7. Bài toán tìm GTLN-GTNN của hàm số trên [a;b] III/ Kiểm nghiệm VI/ Bài học kinh nghiệm PHẦN NỘI DUNG I/ Tình trạng vấn đề hiện tại Trường THPT số 4 huyện Văn Bàn thành lập ngày 12/7/2007 theo quyết định số 1604/QĐ-UBND của UBND tỉnh Lào Cai. Trường đóng tại trung tâm xã Khánh Yên Hạ, phục vụ nhu cầu học tập cho con em nhân dân 5 xã phía đông nam huyện Văn Bàn. Tuy nhiên, đến ngày 4/9/2007, trường mới chính thức được công bố thành lập. Đây là một trong những đơn vị trường học non trẻ. Trong 5 xã thuộc vùng tuyển của nhà trường thì có 4 xã thuộc dự án 135. Đó là những xã đặc biệt khó khăn, mức sống và thu nhập của nhân dân rất thấp, có nhiều hộ thuộc diện đói nghèo, thường xuyên cần đến sự cứu trợ của nhà nước. Trường có 13 lớp học. Tất cả đều là nhà tạm (Nhà gỗ, lợp prô ximăng) giá lạnh về mùa đông, nóng bức về mùa hè. Tập thể sư phạm giáo viên còn quá trẻ, nhiệt tình song lại thiếu kinh nghiệm giảng dạy và quản lí, giáo dục học sinh. Đa số các em học sinh đều có ý thức học tập song ý chí vượt khó, khắc phục khó khăn trở ngại trong học tập chưa cao, dễ bị hoàn cảnh khách quan tác động. Nhiều học sinh bị rỗng kiến thức từ những lớp dưới, thiếu hiểu biết về xã hội . II/ Nội dung của giải pháp 1. Cơ sở lý luận 4
Phân dạng một số bài toán về hàm số để ôn thi tốt nghiệp – Ngô Thị Lan - THPT số 4 Văn Bàn Xuất phát từ thực trạng tại địa phương: Hoàn cảnh mới thành lập của nhà trường, mức sống và trình độ nhận thức của nhân dân, thực trạng ý thức, học lực của học sinh trong thời điểm hiện tại. Từ thực trạng của nhà trường: Đội ngũ cán bộ giáo viên trẻ, thừa nhiệt tình song lại thiếu kinh nghiệm trong ôn luyện cho học sinh thi tốt nghiệp. Tôi đã mạnh dạn đưa ra đề tài nhằm góp phần nâng cao tỷ lệ bộ môn trong kỳ thi tốt nghiệp. 2. Phân dạng bài, phương pháp giải và bài tập vận dụng. */ Loại 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số a. Kiến thức liên quan Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số y= f(x) tại M(x0;y0): Y =f’(x0)(x-x0)+y0 (1) với y0=f(x0) M(x0;y0) ∈ (C): Tọa độ tiếp điểm f '(xo): Hệ số góc của tiếp tuyến xo: Hoành độ tiếp điểm yo: Tung độ tiếp điểm. b. Dạng bài 1.1. Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số y=f(x) tại : Điểm Điểm M có Điểm M có M(xo;y0) hoành độ xo tung độ yo PP: + Tính y' ⇒ Hệ số góc f'(xo) PP: + Thay xo, yo, f'(xo) + Xác định yo (hoặc xo) từ vào PTTT (1) phương trình: yo=f(xo). + Tính y' ⇒ Hệ số góc f'(xo) 5 + Thay xo, yo, f'(xo) vào PTTT (1)
Phân dạng một số bài toán về hàm số để ôn thi tốt nghiệp – Ngô Thị Lan - THPT số 4 Văn Bàn 1.2. Dạng 2. Lập phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc: Biết hệ số Biết tiếp tuyến Biết TT vuông góc k song song ĐT góc với ĐT y=ax+b y=ax+b Xác định hệ số Xác định hệ số góc góc k=a 1 k= a PP: + Tính y' + Giả sử M(x0; y0) là tiếp điểm, khi đó hoành độ x0 là nghiệm của phương trình f’(x0)=k + Giải phương trình tìm được x0 (Bài toán có dạng 1.1 (Lưu ý: HS khá có thể giới thiệu cách 2 sử dụng hệ điều kiện). c. Bài tập vận dụng Bài 1. (TN 2007) Cho hàm số y=x3-3x+2. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm A(2;4). Giải + x0=2, y0=4 + f’(x)=3x2-3 → f’(x0)=f’(2)=9. + Phương trình tiếp tuyến là: y=9(x-2)+4 hay y=9x-14 Bài 2. (TN 2004-PB) Cho y= x3-6x2+9x. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y’’=0. Giải + y’=3x2-12x, y’’=6x-12 Hoành độ tiếp tuyến thỏa mãn PT: 6x0-12=0 → x0=2, y0=f(x0)=4 + Hệ số góc của tiếp tuyến: f’(x0)=-12 PTTT: y=-12(x-2)+4 hay y= -12x+28 Bài 3. (TN 2008) Cho y=x4-2x2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x=-2. 6
Phân dạng một số bài toán về hàm số để ôn thi tốt nghiệp – Ngô Thị Lan - THPT số 4 Văn Bàn Giải + x0=-2 → y0=8 + f’(x)=4x3-4x → f’(x0)=-24 PTTT: y=-24x-48 x +1 Bài 4. Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y= tại giao điểm của đồ x −1 thị hàm số với trục oy. Bài 5. (TN 2009) 2x + 1 Cho y= , viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số, biết hệ số góc của x−2 tiếp tuyến bằng -5. Giải + Hệ số góc của tiếp tuyến k=-5 −5 + y’= ( x − 2 )2 + Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm, khi đó hoành độ x0 là nghiệm của phương trình f’(x0)=-5 −5 Hay =-5 → x0=3 và x0=1 ( x 0 − 2 )2 + Với x0=3 → y0=7, PTTT: y=-5x+23 + Với x0=1, → y0=-3, PTTT: y=-5x+2 2. Loại 2. Bài toán về tính đơn điệu của hàm số ( Chỉ xét bài toán liên quan tới hàm bậc ba và hàm bậc nhất/ bậc nhất) a. Kiến thức liên quan Dấu của tam thức bậc hai b. Dạng bài Tìm tham số để hàm số luôn đồng biến( nghịch biến) trên tập xác định. Phương pháp: + TXĐ + Tính y’ + Để hàm số luôn đồng biến (nghịch biến) trên TXĐ thì y’ ≥ 0 ∀x ∈ TXĐ(y’ ≤ 0 ∀x ∈ TXĐ) (Lưu ý: dấu = chỉ xảy ra tại hữu hạn giá trị x). + Giải bất phương trình trên. + KL c. Bài tập vận dụng x3 Bài 1. Tìm m để hàm số y= -(m+1)x2+4x-5 luôn đồng biến trên tập xác định. 3 Giải TXĐ: D=R 7
Phân dạng một số bài toán về hàm số để ôn thi tốt nghiệp – Ngô Thị Lan - THPT số 4 Văn Bàn Y’= x2-2(m-1)x+4. Để hàm số luôn đồng biến trên R thì y’ ≥ 0 ∀x ∈ R. Hay x2-2(m-1)x+4 ≥ 0 ⎧Δ ≤ 0 ⎧− 1 ≤ m ≤ 3 ∀x ∈ R → ⎨ ↔⎨ ⎩a > 0 ⎩a = 1 > 0∀m KL: -1 ≤ m ≤ 3 x−m Bài 2. Cho y= , tìm m để hàm số luôn nghịch biến trên hai khoảng xác định. x +1 Giải TXĐ: D=R\{-1} 1+ m Y’= (x + 1)2 Để hàm số luôn nghịch biến trên hai khoảng xác định thì y’
Phân dạng một số bài toán về hàm số để ôn thi tốt nghiệp – Ngô Thị Lan - THPT số 4 Văn Bàn + Hàm số y=f(x) có n cực trị trên D khi và chỉ khi y’=0 có n nghiệm phân biệt trên D. 3.2. Tìm tham số để hàm số y=f(x) đạt cực trị tại điểm x0: Phương pháp: Cách 1: + TXĐ + Tính y' + Hàm số đạt cực trị tại xo thì y'(xo)=0 ⇒ Tìm được tham số ( giả sử tham số là m) + Thay m vào y' và lập bảng dấu y' ( để chứng tỏ y' đổi dấu qua x0). Cách 2: Dành cho học sinh khá ⎧ y ' ( x0 ) = 0 Hàm số đạt cực trị tại x0 ↔ ⎪⎨ ⎪⎩ y '' ( x0 ) ≠ 0 3.3. Dạng: Tìm tham số để hàm số đạt cực đại (cực tiểu ) tại x0. Phương pháp: Cách 1. + TXĐ + Tính ý + Hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại xo thì y'(xo) =0 ⇒ Tìm được tham số m + Thay tham số m vào y' và lập bảng dấu y' . Kết luận y' đổi dấu từ + sang – ( y' đổi dấu từ - sang dương) Cách 2: Dành cho học sinh khá + Điều kiện để hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại x0: ⎧⎪ y ' ( x0 ) = 0 ⎧⎪ y ' ( x 0 ) = 0 ⎨ '' ( ⎨ '' ) ⎪⎩ y ( x 0 ) < 0 ⎪⎩ y ( x 0 ) > 0 c. Bài tập vận dụng 9
Phân dạng một số bài toán về hàm số để ôn thi tốt nghiệp – Ngô Thị Lan - THPT số 4 Văn Bàn x3 Bài 1. Tìm m để hàm số sau có cực trị y= − mx 2 + (m + 2) x − 1 3 Giải TXĐ: D=R Y’=x2-2mx+m+2 Để hàm số cực trị thì y’=0 có hai nghiệm phân biệt Hay Δ' >0 ↔ m2-m-2>0 → m2 Bài 2. Cho hàm số y= -x3-(2m-1)x2+(m-5)x+1. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại điểm x=1 Giải TXĐ: D=R Y’=-3x2-2(2m-1)x+m-5 Y’’=-6x-4m+2 ⎧ y ' (1) = 0 ⎧−3m − 6 = 0 ⎧m = −2 Để hàm số đạt cực trị tại x=1 ⇔ ⎨ ⇔⎨ →⎨ ⎩ y ' ' (1) ≠ 0 ⎩−4m − 4 ≠ 0 ⎩m ≠ −1 KL: m=-2 Bài 3. Tìm m để hàm số y=x3-3mx2+(m-1)x+2 đạt cực tiểu tại x=2 Giải TXĐ: D=R Y’=3x2-6mx+m-1 Y’’=6x-6m ⎧ y '(2) = 0 ⎧−11m + 11 = 0 ⎧m = 1 Để hàm số đạt cực tiểu tại x=2 ⇔ ⎨ ⇔⎨ →⎨ ⎩ y ''(2) > 0 ⎩12 − 6m > 0 ⎩m < 2 KL: m=1 Bài 4. Cho y= x4+(m-1)x2-1. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Giải 10
Phân dạng một số bài toán về hàm số để ôn thi tốt nghiệp – Ngô Thị Lan - THPT số 4 Văn Bàn TXĐ: D=R Y'=4x3+2x(m-1). Để hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y'=0 có 3 nghiệm thuộc R Hay 4x3+2x(m-1) =0 (*)có 3 nghiệm thuộc R ⇔ 2x(2x2+m-1)=0 ⎡x = 0 ⇔ ⎢ ⎣ g ( x) = 2 x + m − 1 = 0 2 Để (*) có 3 nghiệm phân biệt thì g(x)=0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 . ⎧Δ > 0 ĐK ⎨ ⎩ g (0) ≠ 0 KL: m
Phân dạng một số bài toán về hàm số để ôn thi tốt nghiệp – Ngô Thị Lan - THPT số 4 Văn Bàn 5.1.3. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y=f(x), y=g(x). Phương pháp: + Giải phương trình f(x)-g(x)=0, giả sử có nghiệm: x1 < x2 < ... < xn xn + Diện tích của hình phẳng là: S= ∫x1 f ( x) − g ( x) dx + Tính tích phân trên. c. Bài tập vận dụng Bài 1. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường: a. y= x4-2x2+1, x=-1, x=0, trục hoành x +1 b. y= , x=2, y=0. x+3 c. y= ex, y=2, đường thẳng x=1 (TN 2006) 2x +1 d. y= , trục tung, trục hoành ( TN 2004) x +1 5.2. Dạng 2: Tính thể tích của khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành, đường thẳng x=a, x=b (a
Phân dạng một số bài toán về hàm số để ôn thi tốt nghiệp – Ngô Thị Lan - THPT số 4 Văn Bàn ⇔ cosx(-4 2 sinx+4)=0 ⎡ π ⎢ x = 2 + kπ ⎢ ⎡cos x = 0 π ⇔ ⎢ ⇔ ⎢ x = + k 2π (k ∈ Z) ⎢ ⎣− 4 2 sin x + 4 = 0 ⎢ 4 ⎢ x = 3π + k 2π ⎢⎣ 4 KL: Phương trình có 3 họ nghiệm. x −1 b. Cho f(x)= .cos2x. Giải phương trình f(x)-(x-1).f’(x)=0 2 1 + f’(x)= cos2x-(x-1)cosxsinx 2 x −1 1 + f(x)-(x-1).f’(x)=0 ⇔ .cos2x-(x-1).[ cos2x-(x-1)cosxsinx]=0 2 2 2 ⇔ (x-1) .cosx.sinx=0 ⎡x = 1 ⎡x −1 = 0 ⎢ π ⇔ ⎢⎢cos x = 0 ⇔ ⎢ x = + kπ (k ∈ Z) ⎢ 2 ⎢⎣sin x = 0 ⎢ x = kπ ⎣ KL: Phương trình có nghiệm Bài 2. Giải bất phương trình(Đề thi TN 2010) 3x + 1 Bài 3. Cho y= chứng minh thỏa mãn hệ thức (y-3)y’’= 2(y’)2 x −1 Giải ĐK: x ≠ 1 −4 8 + y’= , y’’= (x − 1)2 (x − 1)3 3x + 1 8 32 + Xét VT=(y-3)y’’=( -3) . = x −1 (x − 1) (x − 1)4 3 −4 2 32 + Xét VP=2(y’)2=2( )= (x − 1)2 (x − 1)4 Vậy, VT=VP → (đpcm). 7. Loại 7. Bài toán tìm GTLN-GTNN của hàm số trên [a;b] a. Kiến thức liên quan - Giải phương trình( bậc , trùng phương, lượng giác…..) 13
Phân dạng một số bài toán về hàm số để ôn thi tốt nghiệp – Ngô Thị Lan - THPT số 4 Văn Bàn b. Phương pháp + TXĐ + Tính y’ + Giải y’=0, chỉ lấy nghiệm xi thuộc (a;b) + Tính f(a), f(b), f(xi) + So sánh các giá trị vừa tính trên để KL GTLN, GTNN c. Bài tập vận dụng Bài 1. Tìm GTLN-GTNN của hàm số sau a. y= 3x3-x2-7x+1 trên [0;2] 4 b. y= -x+1- trên đoạn [-1;2] x+2 4 c. y= 2sinx- sin3x trên [0; π ] 3 d. y=1+ 9 − x 2 trên [-3;3] III. Kiểm nghiệm Khi áp dụng đề tài này trong lớp 12a1 năm học 2010-2011,tôi đã thu được kết quả như sau ( Tính từ TB trở lên): Lớp Số lượng KQ khảo sát đầu KQ HK I KQ HKII Dự kiến HS năm KQ thi TN 12a1 36 13/36 (36%) 21/36 28/36 30/36 (58,3%) (77,7%) (83,3%) PHẦN KẾT LUẬN Nâng cao tỷ lệ đỗ tốt nghiệp môn toán là góp phần nâng cao tỷ lệ đỗ tốt nghiệp chung của nhà trường. Đó là một nhiệm vụ quan trọng, trọng tâm của tổ Toán-Lý-Hóa trong năm học 2010-2011. 14
Phân dạng một số bài toán về hàm số để ôn thi tốt nghiệp – Ngô Thị Lan - THPT số 4 Văn Bàn Có nhiều nhân tố liên quan tới tỷ lệ đỗ tốt nghiệp của bộ môn song bản thân tôi thiết nghĩ trước hết là mỗi thầy cô giáo phải tìm tòi những phương pháp, cách thức, tìm bài tập phong phú đa dạng để tổng hợp truyền tải cho học sinh một cách dễ học nhất có thể. Trên đây là một số kinh nghiệm về phân dạng một số bài toán về hàm số để ôn thi tốt nghiệp của tôi, chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được sự đóng góp của các đồng nghiệp./. Danh mục tài liệu kham khảo 1. Sách giáo khoa Giải tích lớp 12 (Nhà XBGD) 2. Sách bài tập Giải tích lớp 12 (Nhà XB GD) 3. Chuẩn kiến thức kỹ năng ( Nhà XB GD) 4. Tài liệu hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp THPT năm học 2009-2010 (Nhà XBGD) 5. Ôn luyện kiến thức theo cấu trúc đề thi năm 2009 (Nhà XBGD) 15

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.04: Bộ 290+ Đề Thi Vào Lớp 10 Năm 2020

290 tài liệu

511 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.