SKKN: Sử dụng một số kết quả đẹp của hàm số và tích phân liên kết để tính tích phân

Chia sẻ: Trần Thị Ta | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:25

Thêm vào BST

Báo xấu

22
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu đề tài là tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh vùng cao và tạo cho học sinh có hứng thú học tích phân, đặc biệt giúp học sinh chủ động khi đứng trước những loại tích phân kiểu này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: SKKN: Sử dụng một số kết quả đẹp của hàm số và tích phân liên kết để tính tích phân

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT MƯỜNG LÁT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG MỘT SỐ KẾT QUẢ “ĐẸP” CỦA HÀM SỐ VÀ TÍCH PHÂN LIÊN KẾT ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN Họ và tên: Đỗ Đình Bằng Chức vụ: Giáo viên Toán Đơn vị: Trường THPT Mường Lát Sáng kiến kinh nghiệm thuộc lĩnh vực: Toán học
THANH HÓA NĂM 2016
Phụ lục 1. Mở đầu 1.1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................2 1.2. M ục đích nghiên cứu .....................................................................................2 1.3. Đối tượng nghiên cứu ....................................................................................2 1.4. Phương pháp nghiên cứu ...............................................................................2 2. Nội dung sáng kiến 2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến.............................................................................2 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến.............................................3 2.3. Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề...................................................3 2.3.1. Sử dụng một số kết quả “đẹp” của hàm số để tính tích phân ...................................3 Kết quả 1 ..................................................................................................................................3 Kết quả 2 ..................................................................................................................................5 Kết quả 3 ..................................................................................................................................7 Kết quả 4 ..................................................................................................................................8 Kết quả 5 ................................................................................................................................10 Kết quả 6 ................................................................................................................................12 Kết quả 7 ................................................................................................................................13 Bài tập tương tự ................................................................................................................... ..14 2.3.2. Sử dụng tích phân liên kết để tính tích phân .............................................15 Bài tập tương tự ................................................................................................................... ..18 2.4. Hiệu quả của sáng kiến ................................................................................19 1
3. Kết luận 3.1. Kết luận .......................................................................................................19 3.2. Kiến nghị .....................................................................................................20 1. Mở đầu 1.1. Lí do chọn đề tài Phép tính tích phân và vi phân đã được hai nhà toán học nổi tiếng I. Newton (1643 – 1727) người Anh và G. Leibniz (1646 – 1716) người Đức, sáng tạo ra đồng thời và độc lập với nhau và họ đã giải quyết khối lượng lớn các bài toán quan trọng trong lĩnh vực toán học, đặc biệt là các bài toán về tích phân. 2
Cho đến ngày nay tích phân rất quan trọng trong bộ môn Giải tích toán học, nó có nhiều ứng dụng như: Tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể, thể tích khối tròn xoay..., chính vì quan trọng như vậy đã đưa vào giảng dạy chương trình Giải tích lớp 12. Hơn thế nữa, trong một số đề thi Đại học và đề thi học sinh giỏi toán có những bài tích phân không dễ dàng chút nào, để làm được nó chúng ta phải có một cái nhìn thật khéo léo và tinh tế cộng với sự hiểu biết của mình về một số tính chất của hàm số thì bài toán được giải quyết một cách nhẹ nhàng. Với hy vọng giúp học sinh học tốt hơn phần tích phân, nhất là học sinh ôn thi Đại học và thi học sinh giỏi toán, tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến của mình “Sử dụng một số kết quả “đẹp” của hàm số và tích phân liên kết để tính tích phân” 1.2. Mục đích nghiên cứu Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh vùng cao và tạo cho học sinh có hứng thú học tích phân, đặc biệt giúp học sinh chủ động khi đứng trước những loại tích phân kiểu này 1.3. Đối tượng nghiên cứu Sử dụng một số kết quả “đẹp” của hàm số và tích phân liên kết để tính tích phân 1.4. Phương pháp nghiên cứu Trong quá trình nghiên cứu sáng kiến tôi đã sử dụng những phương pháp sau: +) Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo và một số tài liệu khác có liên quan đến đề tài +) Phương pháp sư phạm: Thông qua các tiết giảng dạy trên lớp +) Phương pháp quan sát: Quan sát dạy và học ở Trường THPT Mường lát 2. Nôi dung sáng kiến 2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến Trình bày một số kết quả của hàm số như: Hàm số chẳn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn..., mà tôi gọi đó là kết quả “đẹp’’ vào tính một số bài toán tích phân là rất cần thiết, sở dỉ trong chương trình Giải tích 12 không trình bày những kết quả nêu trên vào việc tính tích phân, đôi khi ta gặp những bài toán tích phân mà hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ và cận lấy tích phân trên một đoạn là tập đối xứng, hay khi gặp hàm tuần hoàn mà cận lấy tích phân quá 3
sức tưởng tượng (cận quá lớn) và bạn giải quyết tích phân đó cũng phải mất vài trang giấy, lời giải cồng kềnh chắc gì đã thành công. Hơn nữa việc trình bày những kết quả nêu trên là việc rất cần thiết trong lúc này nó giúp chúng ta tiết kiệm được thời gian để có thể giải những bài toán đó một cách nhanh chóng và ngắn ngọn 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến Khi dạy bài Nguyên hàm tích phân tôi thấy phần lớn học sinh nắm bài chưa sâu, lí do ở đây các em học phần đạo hàm ở lớp dưới chưa thành thạo. Hơn nữa đề tài này có rất ít tài liệu viết về nó và tôi đã quan tâm với hy vọng không những có thêm tài liệu tham khảo cho hoc sinh mà còn được giảng dạy ở Trường THPT Trong quá trình dạy và học tôi luôn quan tâm dạy làm sao cho học sinh hiểu bài tốt nhất, với sự đam mê và nổ lực của mình đề tài này đã được các em học sinh khá giỏi nồng nhiệt hưởng ứng, đó cũng là bước đầu thành công của tôi. 2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 2.3.1. Sử dụng một số kết quả “đẹp” của hàm số để tính tích phân a Kết quả 1: Nếu hàm số f x liên tục và là hàm lẻ trên a, a thì f x dx 0 a a 0 a Chứng minh: Ta có I f x dx f x dx f x dx 1 a a 0 0 Với tích phân f x dx, ta đổi biến x t dx dt a 0 0 a a Khi đó f x dx f t dt f t dt f x dx 2 (do f x là hàm lẻ) a a 0 0 a a a Thay (2) vào (1) ta được I f x dx f x dx f x dx 0. a 0 0 Chú ý: Hàm số f x xác định trên a, a và là hàm số lẻ trên a, a nếu như với mọi x a, a ta có f x f x. 1 Ví dụ 1.1: Cho f x dx 2016, nếu f x là hàm lẻ trên đoạn 1;1 . Tính 0 0 f x dx 1 Giải: Vì f x là hàm lẻ trên 1;1 nên x 1;1 ta có: f x f x. Bằng phép đổi biến x t dx dt 0 0 1 1 1 Khi đó f x dx f t dt f t dt f t dt f x dx 2016 1 1 0 0 0 4
1 Ví dụ 1.2: Tính tích phân I ln x x 2 1 dx 1 0 1 Giải: Ta có I ln x x 2 1 dx ln x x 2 1 dx 1 1 0 0 Với tích phân J ln x x 2 1 dx , ta đổi biến x t dx dt. 1 0 1 2 t2 1 t2 Khi đó J ln t t 1 dt ln dt 1 0 t2 1 t 1 1 t2 1 t2 1 ln dt ln dt 0 t2 1 t 0 t2 1 t 1 1 2 ln t 1 t dt ln x 2 1 x dx 2 0 0 Thay (2) vào (1), ta được I 0. 1 1 Chú ý: ln t 2 1 t dt ln x 2 1 x dx 0 0 Nghĩa là tích phân không phụ thuộc vào cách kí hiệu biến là x hay t... Nhận xét: Hàm số f x ln x x 2 1 xác định trên R 1 x R , ta có f x ln x 2 1 x ln ln x 2 1 x f x. 2 x 1 x Do đó f x là hàm lẻ trên R nói riêng là lẻ trên đoạn 1;1 . Theo Kết quả 1, suy ra I 0. 1 2 x Ví dụ 1.3: Tính tích phân I cos x ln dx 1 2 x 0 1 2 x 2 x Giải: Ta có I cos x ln dx cos x ln dx 1 1 2 x 0 2 x 0 2 x Với tích phân J cos x ln dx , ta đổi biến x t dx dt. 1 2 x 0 1 1 2 t 2 t 2 x Khi đó J cos t ln dt cos t ln dt cos x ln dx 2 1 2 t 0 2 t 0 2 x Thay (2) vào (1), ta được I 0. 2 x Nhận xét: Hàm số f x cos x ln liên tục trên đoạn 1;1 và x 1;1 , 2 x 2 x 2 x ta có f x cos x ln cos x ln f x f x là hàm số lẻ trên 1;1 2 x 2 x Theo Kết quả 1, suy ra I 0. 4 Ví dụ 1.4: Tính tích phân I x 2016 sin 2016 x dx 4 5
Giải: Đặt f x x 2016 sin 2016 x , x ; , ta có 4 4 f x x 2016 sin 2016 x x 2016 sin 2016 x f x f x là hàm số lẻ trên ; 4 4 Theo Kết quả 1, ta được I 0 Nhận xét: Với bài toán trên nếu ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần thì đây quả là một bài toán rất khó chịu. 2 Ví dụ 1.5: Chứng minh rằng I sin sin x nx dx 0 n 0 Giải: Đổi biến x t dx dt 2 n Khi đó I sin sin x nx dx sin sin t nt n dt 1 sin sin t nt dt 0 Hàm số f t sin sin t nt liên tục trên ; và f t sin sin t nt sin sin t nt sin sin t nt f t f t là hàm lẻ trên ; nhờ Kết quả 1 suy ra I 0 Nhận xét: Rõ ràng sự tiện lợi của Kết quả 1 mà ta có thể áp dụng cho một số bài toán tích phân mà cận của nó không đối xứng. Kết quả 2: Nếu hàm số f x liên tục và là hàm chẵn trên a, a thì a a f x dx 2 f x dx. a 0 a 0 a Chứng minh: Ta có I f x dx f x dx f x dx 1 a a 0 0 Với tích phân f x dx, ta đổi biến x t dx dt a 0 0 a a a Khi đó f x dx f t dt f t dt f t dt f x dx 2 (do f x là hàm lẻ) a a 0 0 0 a a Thay (2) vào (1) I f x dx 2 f x dx. a 0 Chú ý: Hàm số f x xác định trên a, a và là hàm số chẵn trên a, a nếu như với mọi x a, a , ta có f x f x. 1 Ví dụ 2.1: Cho f x dx 2016 và f x là hàm chẵn trên đoạn 1;1 . Tính 0 0 f x dx 1 Giải: Vì f x là hàm chẵn trên 1;1 nên x 1;1 ta có: f x f x. Bằng phép đổi biến x t dx dt 6
0 0 1 1 1 Khi đó f x dx f t dt f t dt f t dt f x dx 2016 1 1 0 0 0 3 Ví dụ 2.2: Tính tích phân I cos 5 xdx 3 Giải: Hàm số f x cos 5 x liên tục trên ; và x ; , ta có 3 3 3 3 f x là hàm chẵn trên 5 f x cos x cos 5 x f x ; 3 3 3 3 3 2 Theo Kết quả 2, ta có I cos 5 xdx 2 cos 5 xdx 2 cos 2 x cos xdx 0 0 3 3 3 2 1 sin 2 x 2 d sin x 2 1 2 sin 2 x sin 4 x d sin x 0 0 2 3 1 5 3 3 3 9 3 17 3 2 sin x sin x sin x 2 3 5 0 2 4 32 16 3 2 x 5 3x 3 x 1 Ví dụ 2.3: Tính tích phân I dx cos 2 x 3 3 2 x 5 3x 3 x 3 dx Giải: Ta có I dx cos 2 x cos 2 x 3 3 5 3 2x 3x x Đặt f x , x ; , ta có cos 2 x 3 3 2 x 5 3x 3 x 2 x 5 3x 3 x f x f x f x là hàm số lẻ trên ; cos 2 x cos 2 x 3 3 3 2 x 5 3x 3 x Theo Kết quả 1, ta được dx 0 cos 2 x 3 3 dx 3 Khi đó I tan x 2 3 cos 2 x 3 3 1 3 Nhận xét: Hàm f x chẵn trên đoạn ; I 2 tan x 2 3 cos 2 x 3 3 0 1 x 4 tan x Ví dụ 2.4: Tính tích phân I dx 1 x2 1 7
1 1 1 x 4 tan x x4 tan x Giải: Ta có I dx = dx dx 1 x2 1 1 x2 1 1 x2 1 1 tan x Xét I1 dx 1 x2 1 tan x Do hàm f x lẻ trên đoạn 1;1 nên từ Kết quả 1 ta có I1 0 x2 1 1 x4 Xét I 2 dx 1 x2 1 x4 Do hàm f x chẵn trên đoạn 1;1 nên từ Kết quả 2 ta có x2 1 1 x4 I2 2 dx 0 x2 1 1 1 1 x4 x4 1 1 1 Khi đó I I 2 2 2 dx 2 dx 2 x2 1 dx 0 x 1 0 x2 1 0 x 2 1 1 1 1 1 1 x3 1 1 4 1 2 x 2 1 dx 2 2 dx 2 x 2 2 dx 2 2 dx 0 0 x 1 3 0 0 x 1 3 0 x 1 Đổi biến x tan t dx 1 tan t dt 2 4 Khi đó I 4 4 2 dt 3 0 2 3 Nhận xét: Từ Kết quả 1 và Kết quả 2 dẫn đến một kết quả “chung” sau đây a a Kết quả 3: Nếu f x là hàm liên tục trên a; a thì f x dx f x f x dx a 0 a 0 a Chứng minh: Ta có f x dx f x dx f x dx a a 0 Đổi biến x t dx dt 0 0 a a Khi đó f x dx f t dt f t dt f x dx a a 0 0 a 0 a a a a Vậy f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x f x dx. a a 0 0 0 0 3 Ví dụ 3.1: Tính tích phân I f x dx, nếu f x f x 2 x tan x 3 3 0 3 Giải: Ta có f x dx f x dx f x dx 0 3 3 Đổi biến x t dx dt 8
0 0 3 3 Khi đó f x dx f t dt f t dt f x dx 0 0 3 3 3 3 3 3 sin x Vậy f x dx f x f x dx 2 x tan x dx 2x dx 0 0 0 cos x 3 3 3 2 d cos x 3 2 xdx x2 ln cos x ln 2 0 0 cos x 0 9 Ví dụ 3.2: Cho hàm số f x liên tục trên R thỏa mãn f x f x 2 2 cos 2 x . 3 2 Tính I f x dx (ĐHSP Hà Nội 2, 1998) 3 2 Giải: Nhờ Kết quả 3, ta có f x f x 2 2 cos 2 x 3 3 3 3 2 2 2 2 Khi đó I f x dx 2 2 cos 2 x dx 2 1 cos 2 x dx 2 sin x dx 3 0 0 0 2 3 3 2 2 2 sin xdx sin xdx 2 cos x cos x 6 0 0 Nhận xét: Nếu chúng ta không biết đến Kết quả 3 thì việc tính tích phân trên vô cùng khó khăn vì giả thiết chưa đủ để xác định được hàm số f x . a Hơn nữa sự tiện lợi của nó là tính f x dx mà không cần biết đến hàm f x . a Kết quả 4: Nếu hàm số f x liên tục và là hàm chẵn trên a, a thì a a f x I dx f x dx k 0 a kx 1 0 a 0 a f x f x f x Chứng minh: Ta có I dx dx dx 1 a kx 1 a kx 1 0 kx 1 0 f x Với tích phân dx, ta đổi biến x t dx dt a kx 1 0 0 a a a f x f t f t kt f t kx f x Khi đó a k x 1dx dt dt dt dx 2 k t 1 1 kt 1 kx 1 (do f x là a 0 1 0 0 kt hàm chẵn) a a a a f x kx f x f x Thay (2) vào (1) I dx dx dx f x dx. (đpcm) a kx 1 0 kx 1 0 kx 1 0 9
1 x2 Ví dụ 4.1: Tính tích phân I dx 1 3x 1 1 0 1 x2 x2 x2 Giải: Ta có I dx dx dx 1 1 3x 1 1 3x 1 0 3x 1 0 x2 Với tích phân x dx, ta đổi biến x t dx dt 1 3 1 0 0 1 1 1 x2 t2 t2 3t t 2 3x x 2 dx dt dt dt dx 2 Khi đó 1 3 x 1 3 t 1 1 3t 1 3x 1 ( f x là hàm 1 0 1 0 0 3t chẵn) 1 1 1 1 x2 3x x 2 x2 x3 1 1 Thay (2) vào (1), ta được I x dx dx dx x 2 dx . 1 3 1 0 3x 1 0 3 x 1 0 3 0 3 Nhận xét: Hàm f x x liên tục và là hàm số chẵn trên 2 1;1 nên từ Kết 1 x3 1 1 quả 4 suy ra I x 2 dx 0 3 0 3 2 x 2 sin x Ví dụ 4.2: Tính tích phân I dx 2016 x 1 2 Giải: Hàm f x x 2 sin x liên tục và là hàm chẵn trên ; nên từ Kết quả 2 2 2 2 4 suy ra I x 2 sin x dx x 2 sin xdx 0 0 u x 2 du 2 xdx Đặt dv sin xdx v cos x 2 2 2 Khi đó I x 2 cos x 2 x cos xdx 2 x cos xdx 0 0 0 u x du dx Đặt dv cos xdx v sin x 2 2 2 Khi đó I 2 x sin x 2 sin xdx 2 cos x 2 0 0 0 4 sin 6 x cos 6 x Ví dụ 4.3: Tính tích phân I dx 6x 1 4 10
Giải: Hàm f x sin 6 x cos 6 x liên tục và là hàm chẵn trên ; nên từ Kết 4 4 4 4 quả 4 suy ra I sin 6 x cos 6 x dx sin 2 x cos 2 x 3 3 sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x dx 0 0 4 4 3 2 3 1 cos 4 x 1 sin 2 x dx 1 dx 0 4 0 4 2 4 3 5 3 5 4 5 cos 4 x dx sin 4 x x 0 8 8 32 8 0 32 Nhật xét: Rõ ràng sự tiện lợi của Kết quả 4 làm cho bài toán trở nên nhẹ nhàng hơn 2 sin x sin 2 x cos 5 x Ví dụ 4.4: Tính tích phân I dx (ĐH Bách Khoa, 1999) ex 1 2 Giải: Hàm f x sin x sin 2 x cos 5 x liên tục và là hàm chẵn trên ; nên từ 2 2 2 Kết quả 4 suy ra I 12 sin x sin 2 x cos 5 xdx cos x cos 3 x cos 5 xdx 0 20 2 2 1 cos x cos 5 x cos 3x cos 5 x dx 1 cos 4 x cos 6 x cos 2 x cos 8 x dx 20 40 1 1 1 1 1 2 sin 4 x sin 6 x sin 2 x sin 8 x 0 4 4 6 2 8 0 Kết quả 5: Nếu hàm f x liên tục trên đoạn a; b thỏa mãn f x f a b x b b a b thì xf x dx f x dx a 2 a Chứng minh: Đổi biến x a b t dx dt b a b Khi đó xf x dx a b t f a b t dt a b t f t dt a b a b b b b a b f t dt tf t dt a b f x dx xf x dx a a a a b b b b a b 2 xf x dx a b f x dx xf x dx f x dx. a a a 2 a Nhận xét: Nếu ta chọn a 0, b và f x là f sin x thỏa mãn f sin x f sin 0 x thì ta nhận được kết quả xf sin x dx f sin x dx 1 0 2 0 11
2 Ta có f sin x dx f sin x dx f sin x dx 0 0 2 Đổi biến x t dx dt 2 2 Khi đó f sin x dx f sin x dx f sin x dx 2 f sin x dx 2 0 0 0 2 2 2 Bằng phép đổi biến x t , ta lại có f sin x dx f cos x dx 3 2 0 0 Ví dụ 5.1: Tính tích phân I x sin 3 xdx 0 Giải: Hàm f x sin x liên tục trên đoạn 0; 3 Ta có f a b x f x sin 3 x sin 3 x f x Theo kết quả 5 suy ra I x sin 3 xdx sin 3 xdx 1 cos 2 x sin xdx 0 20 2 0 1 2 1 cos 2 x d cos x cos x cos 3 x 2 0 2 3 0 3 Ví dụ 5.2: Tính tích phân I 2 sin 2016 x dx 0 sin 2016 x cos 2016 x Giải: Đổi biến x t dx dt 2 0 sin 2016 t 2 2 cos 2016 t Khi đó I dt 2016 2016 dt sin t cos t sin 2016 t cos 2016 t 0 2 2 2 2 cos 2016 x dx 0 sin 2016 x cos 2016 x 2 sin 2016 x cos 2016 x 2 2I dx dx I 0 sin 2016 x cos 2016 x 0 2 4 Nhận xét: Nhờ đẳng thức (3) ta dễ dàng chứng minh bài toán tổng quát sau 2 cos n x 2 sin n x I dx dx n R 0 sin n x cos n x 0 sin n x cos n x 4 Ví dụ 5.3: Tính tích phân I x sin x cos 2 xdx (Học viện Ngân hàng, 1998) 0 12
Giải: Ta có I x sin x cos 2 xdx x sin x 1 sin 2 x dx 0 0 Xem hàm f sin x sin x 1 sin x nhờ đẳng thức (1) ta nhận được 2 I x sin x cos 2 xdx cos 2 x sin xdx cos 2 xd cos x cos 3 x 0 2 0 2 0 6 0 3 2 2 Ví dụ 5.4: Chứng minh rằng sin n xdx cos n xdx n 0 0 Giải: Đổi biến x t dx dt 2 2 0 2 2 Khi đó sin n xdx sin n t dt cos n tdt cos n xdx. 0 2 0 0 2 b b Kết quả 6: Nếu hàm f x liên tục trên đoạn a; b thì f x dx f a b x dx a a Chứng minh: Đổi biến x a b t dx dt b a b b Khi đó f x dx f a b t dt f a b t dt f a b x dx a b a a 4 Ví dụ 6.1: Tính tích phân I ln tan x 1 dx 0 Giải: Đổi biến x t dx dt 4 0 4 4 1 tan t 2 Khi đó I ln tan t 1 dt ln 1 dt ln dt 4 0. 1 tan t 0. 1 tan t 4 4 4 4 4 ln 2dt ln tan t 1 dt ln 2dt I 2I t ln 2 ln 2 I ln 2 0 0 0 0 4 8 2 Ví dụ 6.2: Tính tích phân I 5 sin x 4 cos x (Đại học GTVT, 2001) 3 dx 0 sin x cos x Giải: Đổi biến x t dx dt 2 0 2 2 5 cos t 4 sin t 5 cos t 4 sin t 5 cos x 4 sin x Khi đó I 3 dt 3 dt 3 dx sin t cos t 0 sin t cos t 0 sin x cos x 2 2 2 2 Suy ra 2 I 5 sin x 4 cos x 5 cos x 4 sin x sin x cos x 3 dx 3 dx 3 dx 0 sin x cos x 0 sin x cos x 0 sin x cos x 13
2 2 dx dx 1 2 1 2 tan x 1 I sin x cos x 2 4 0 2 0 0 2 cos 2 x 4 Nhận xét: Bằng phép đổi biến x t và làm tương tự Ví dụ trên ta dễ 2 2 2 dàng chứng minh được a sin x b cos nx dx a cos x b sin x dx n 0 sin x cos x 0 sin x cos x 2 Ví dụ 6.3: Tính tích phân I cos x dx 0 sin x cos x Giải: Đổi biến x t dx dt 2 0 cos t 2 2 2 sin t sin x Khi đó I dt dt dx 0 cos t sin t 0 cos x sin x 2 sin t cos t 2 2 2 2 2 Suy ra 2 I cos x sin x dx dx dx I 0 sin x cos x 0 cos x sin x 0 2 4 Kết quả 7: Nếu hàm số f x liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì a T T f x dx f x dx a R a 0 a T 0 T a T Chứng minh: Ta có I f x dx f x dx f x dx f x dx 1 a a 0 T Đổi biến x t T dx dt a T a a a Khi đó f x dx f t T dt f t dt f x dx 2 T 0 0 0 0 T a T Thay (2) vào (1) suy ra I f x dx f x dx f x dx f x dx. a 0 0 0 4 Ví dụ 7.1: Tính tích phân I 1 sin x dx 0 Giải: Ta có f x 1 sin x là hàm liên tục và tuần hoàn với chu kì T 2 nên 2 4 theo Kết quả 7 ta có: f x dx f x dx 0 2 4 2 4 2 2 I f x dx f x dx f x dx 2 f x dx 2 1 sin x dx 0 0 2 0 0 14
2 2 2 2 x x x x x 2 sin cos dx 2 sin cos dx 2 2 sin dx 0 2 2 0 2 2 0 2 4 3 2 2 x x 2 2 sin dx sin dx 0 2 4 3 2 4 2 3 x 2 x 2 2 2 2 cos 2 cos 8 2 2 4 0 2 4 3 2 2016 Ví dụ 7.2: Tính tích phân I 1 cos 2 x dx 0 Giải: Ta có f x 1 cos 2 x là hàm số liên tục và tuần hoàn với chu kì T 2 2015 2016 nên theo kết quả 7 ta có: f x dx f x dx ... f x dx f x dx 0 2014 2015 2016 2 2015 2016 I f x dx f x dx f x dx ... f x dx f x dx 2016 f x dx 0 0 2014 2015 0 2016 1 cos 2 x dx 2016 2 sin 2 x dx 2016 2 sin xdx 0 0 0 2016 2 cos x 4032 2 0 4 sin 9 x cos10 x Ví dụ 7.3: Chứng minh rằng I dx 0 2 1 cos 8 16 x 9 10 sin x cos x Giải: Ta có f x là hàm tuần hoàn với chu kì T 2 nên từ Kết 1 cos 8 16 x 4 2 sin 9 x cos10 x sin 9 x cos10 x sin 9 x cos10 x quả 7 suy ra I dx dx dx 2 1 cos 8 16 x 0 1 cos 8 16 x 1 cos 8 16 x Ngoài ra f x là hàm số lẻ trên đoạn ; nên từ Kết quả 1 suy ra I 0. Bài tập tương tự: Tính các tích phân sau 1 2 x 1) I x 4 ln dx Đs: I 0 1 2 x 2 2) I cos x ln x 2 x 2 1 dx (HVKT Mật mã, 1999) 2 15
Hướng dẫn: Dễ thấy f x cos x là hàm chẵn trên ; và 2 2 ln x x 2 1 là hàm lẻ trên ; nên cos x ln x x 2 1 là hàm lẻ trên 2 2 ; 2 2 Theo Kết quả 1, ta được I 0 1 2 x 1 x 3) I cos 2 x sin x sin ln dx Đs: I 0 1 2 1 x 2 4 4) I tan 2015 2 x sin 2017 x dx Đs: I 0 4 a 5) I x 2 sin x a2 x 2 dx a 0 a a4 Hướng dẫn: Sử dụng Kết quả 1 và Kết quả 2 suy ra I 8 2 4 6) I cos x cos x cos 3 x dx (ĐH Mỏ Địa Chất, 1999) Đs: I 5 2 3 9 7) I f x dx, nếu f x f x 9 x 2 Đs: I 3 2 4 dx 8) I 2 2x Đs: I 1 cos x 1 e 4 1 x 1 9) I x dx Đs: I 1 10 1 2 x sin x ln 3 10) I dx Đs: I 0 3 sin 2 x 8 2 1 11) I 2 tan 2 sin x dx (Toán học tuổi trẻ 1/2008) Đs: I 2 0 cos cos x 2 1 sin x 12) I 1 cos x ln dx Đs: I 2 ln 2 1 0 1 sin x 5 6 sin x 3 13) I dx Đs: I x 2 6 1 9 2 16
2020 14) I sin 2019 xdx Đs: I 0 0 2.3.2. Sử dụng tích phân liên kết để tính tích phân b Nhiều khi việc tính tích phân I f x dx gặp nhiều khó khăn, ta đi tìm một a b tích phân J g x dx sao cho việc tính hai tích phân 1 I 1 J và 2 I 2 J đơn a 1 I 1 J 1 giản. Khi đó việc tính I hoặc J bằng cách giải hệ 2 I 2 J 2 Người ta nói I và J là hai tích phân liên kết với nhau 4 Ví dụ 1: Tính tích phân I sin x dx 0 sin x cos x 4 Giải: Xét tích phân J cos x dx 0 sin x cos x 4 4 Ta có I J sin x cos x dx dx 1 0 sin x cos x 0 4 4 4 sin x cos x d sin x cos x 4 I J dx ln sin x cos x 0 sin x cos x 0 sin x cos x 0 ln 2 ln 2 2 2 ln 2 Từ (1) và (2) suy ra I 8 4 ln 2 Nhận xét: Nếu bài toán yêu cầu tính tích phân J ta cũng có J 8 4 1 x e Ví dụ 2: Tính tích phân I x x dx 0 e e 1 x e Giải: Xét tích phân J dx 0 ex e x 1 1 ex e x Ta có I J dx dx 1 1 0 ex e x 0 1 1 ex e x d ex e x 1 e2 1 I J dx ln e x e x ln 2 0 ex e x 0 ex e x 0 2e 1 e2 1 Từ (1) và (2) suy ra I ln 2 2 17
Ví dụ 3: Tính tích phân I 3 sin 2 x dx 0 sin x 3 cos x Giải: Xét tích phân J 3 cos 2 x dx 0 sin x 3 cos x Ta có I 3J 3 sin 2 x 3 cos 2 x 3 sin x 3 cos x sin x 3 cos x dx dx 0 sin x 3 cos x 0 sin x 3 cos x 3 3 sin x 3 cos x dx cos x 3 sin x 1 1 0 0 sin 2 x cos 2 x 3 13 dx 13 dx I J dx 20 1 20 0 sin x 3 cos x 3 sin x sin x cos x 2 2 3 x 3 3 d tan 1 dx 1 2 6 2 x x 2 x 0 tan cos 2 0 tan 2 6 2 6 2 6 1 x 3 1 ln tan ln 3 2 2 2 6 0 2 3 ln 3 1 Từ (1) và (2) suy ra I 8 4 2 sin x cos 2 x Nhận xét: I dx và J dx là hai tích phân liên a sin x b cos x a sin x b cos x kết với nhau 4 Ví dụ 4: Tính tích phân I cos 2 x cos 2 xdx 0 4 Giải: Xét tích phân J sin 2 x cos 2 xdx 0 4 4 sin 2 x 4 1 Ta có I J sin 2 x cos 2 x cos 2 xdx cos 2 xdx 1 0 0 2 0 2 18