SKKN: Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hình học lớp 9

Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> MỤC LỤC<br /> Nội dung Trang<br /> I. PHẦN MỞ ĐẦU<br /> 1. Lý do chọn đề tài 2<br /> 2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài 2<br /> 3. Đối tượng nghiên cứu 3<br /> 4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu 3<br /> 5. Phương pháp nghiên cứu 3<br /> I. PHẦN NỘI DUNG<br /> 1. Cơ sở lí luận 4<br /> 2. Thực trạng<br />    2.1 Thuận lợi – khó khăn 5<br />    2.2 Thành công – hạn chế 5<br />    2.3 Mặt mạnh – mặt yếu 6<br />    2.4 Các nguyên nhân, các yếu tố tác động ... 7<br />    2.5 Phân tích, đánh giá các vấn đề  về  thực trạng mà đề  tài đặt  7<br /> ra.<br /> 3. Giải pháp, biện pháp<br />    3.1 Mục tiêu của giải pháp, biện pháp 8<br />    3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp 8<br />    3.3 Điều kiện để thực hiện giải pháp, biện pháp 26<br />    3.4 Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp    26<br /> 4. Kết quả  thu được qua khảo nghiệm, giá trị  khoa học của vấn   27<br /> đề nghiên cứu<br /> I. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ<br /> 1. Kết luận 28<br /> 2. Kiến nghị 29<br /> <br /> <br /> I. PHẦN MỞ ĐẦU<br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     1<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> 1. Lý do chọn đề tài:<br /> Tri thức nhân loại nói chung và kiến thức toán học nói riêng là vô tận. <br /> Để  chiếm lĩnh, nắm bắt kiến thức toán học một cách hiệu quả, tích cực thì <br /> cần phải có phương pháp nghiên cứu, học tập đúng đắn, phù hợp. Một trong <br /> những phương pháp tích cực đó là khám phá, tìm tòi từ  kết quả  của các bài  <br /> toán đã có. Trong quá trình dạy học Toán nói chung, người giáo viên phải biết <br /> lựa chọn phương pháp thích hợp để kích thích tính tích cực, tư duy  sáng tạo ở <br /> học sinh. Trong thực tế hiện nay, mỗi khi học xong bài học, giáo viên đưa ra <br /> các bài tập trong sách giáo khoa và cho học sinh giải các bài tập đó, nếu chỉ <br /> dừng lại các bài tập đơn lẻ sẽ gây cho học sinh sự nhàm chán trong học Toán <br /> đặc biệt là môn Hình học. Nếu áp dụng cách học này sẽ  không kích thích  <br /> được tính tò mò, tư duy sáng tạo cho học sinh. Qua nhiều năm giảng dạy và <br /> bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 9, bản thân tôi nhận thấy việc suy luận,  <br /> mở rộng và phát triển các bài toán từ một bài toán cơ bản trong sách giáo khoa <br /> sẽ  kích thích cho học sinh tính sáng tạo và phát triển tư duy, học sinh sẽ kết  <br /> nối các kiến thức lại với nhau. Với cách học và cách dạy như thế sẽ luôn tạo  <br /> cho học sinh tình huống có vấn đề, bắt buộc học sinh phải tìm tòi, suy nghĩ <br /> để giải quyết các vấn đề đặt ra.<br /> Với những lý do trên, tôi chọn đề  tài nghiên cứu: “Suy luận và phát  <br /> triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hình học lớp 9” với mong muốn <br /> góp phần nâng cao chất lượng bộ  môn Toán nói chung và môn Hình học nói  <br /> riêng ở trường THCS, giúp học sinh lớp 9 biết suy luận và phát triển được các  <br /> bài toán từ cơ bản đến nâng cao, đồng thời tôi cũng mong muốn được chia sẻ <br /> một vài kinh nghiệm giảng dạy của mình để đồng nghiệp tham khảo, rất mong <br /> được sự đóng góp chân thành để đề tài được phát huy hiệu quả.<br /> <br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     2<br />  Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> 2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài:<br /> Đề tài: “Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản <br /> Hình học lớp 9” giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn  bản chất  của bài toán, tạo <br /> cho các em phong cách học tập chủ  động và sáng tạo. Từ  việc  suy luận  và <br /> phát triển bài toán sẽ  có nhiều bài toán hay được hình thành, góp phần làm <br /> cho kho tàng toán học ngày càng phong phú.<br /> Giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, chủ động trong học tập để <br /> các em luôn có thể  tự học và tự  sáng tạo, tạo cho mình một thói quen là sau <br /> khi đã tìm được lời giải bài toán Hình học, dù là đơn giản hay phức tạp, từ bài <br /> toán đã có cần tiếp tục suy luận, đặc biệt hóa một số điều kiện hay thay đổi <br /> một số  điều kiện trong giả  thiết và áp dụng kiến thức vốn có của mình để <br /> phát triển các bài toán mới. Từng bước giúp các em học sinh chủ  động sang  <br /> tạo trong việc tiếp thu kiến thức, làm chủ  tình huống, từ  đó càng yêu thích <br /> môn Hình học hơn.<br /> Phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh, tạo động lực thúc đẩy <br /> giúp các em học sinh có được sự  tự tin trong học tập, hình thành phẩm chất  <br /> sáng tạo khi giải toán và niềm đam mê bộ môn.<br /> Góp phần nâng cao chất lượng giáo dục và hiệu quả  giảng dạy,chất <br /> lượng bồi  dưỡng học sinh giỏi và phụ đạo học sinh yếu kém; phát huy được <br /> tính tích cực, chủ động và sáng tạo của giáo viên cũng như của học sinh trong  <br /> quá trình dạy ­ học môn Hình học cấp THCS.<br /> 3. Đối tượng nghiên cứu:<br />   Một số  suy luận từ  bài toán Hình học đã giải, phát triển thêm các bài <br /> toán mới, từng bước hình thành cho học sinh sự  tự  tin và niềm đam mê bộ <br /> môn.<br /> <br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     3<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> 4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu:<br /> Đề tài này được nghiên cứu trong khuôn khổ suy luận và phát triển các <br /> bài toán mới từ một bài toán Hình học cơ bản lớp 9.<br /> Đối tượng khảo sát: học sinh lớp 9A3, 9A4   trường THCS Lê Đình <br /> Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk.<br /> Thời gian: Năm học 2015 ­ 2016<br /> 5. Phương pháp nghiên cứu:<br /> ­ Nghiên cứu lí thuyết.<br /> ­ Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết quả học tập của học sinh.<br /> ­ Đưa ra tập thể tổ chuyên môn thảo luận<br /> ­ Thực nghiệm giảng dạy cho học sinh lớp 9A3, 9A4   trường THCS Lê Đình <br /> Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krông Ana<br /> ­ Điều tra, đánh giá kết quả  học tập của học sinh sau khi thực nghiệm giảng  <br /> dạy.<br /> II. PHẦN NỘI DUNG<br /> 1. Cơ sở lí luận:<br />   Qua nhiều năm giảng dạy môn Toán cấp THCS tôi nhận thấy đa số <br /> học sinh sợ học môn Hình học, nhiều em chưa có phương pháp học phù hợp  <br /> với đặc thù bộ  môn, những em khá, giỏi cũng ít hứng thú với môn Hình học. <br /> Có rất nhiều nguyên nhân, trong đó  có thể  xem xét một số  nguyên nhân cơ <br /> bản sau:<br /> ­ Đặc thù của môn Hình học là mọi suy luận đều có căn cứ, để  có kĩ <br /> năng này học sinh không chỉ phải nắm vững kiến thức cơ bản mà còn phải có <br /> kĩ năng trình bày suy luận một cách logic, kĩ năng này đối với học sinh là <br /> <br /> <br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     4<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> tương đối khó. Đứng trước một bài toán Hình học các em thường không biết <br /> bắt đầu từ đâu, trình bày chứng minh như thế nào. <br /> ­ Trong quá trình dạy học, giáo viên đôi khi còn xem nhẹ hoặc chưa chú  <br /> trọng việc nâng cao, mở  rộng, phát triển các bài toán đơn giản  ở  sách giáo  <br /> khoa hoặc chưa thực sự đầu tư vào lĩnh vực này. Vì thế, chưa tạo được hứng  <br /> thú cho học sinh qua việc phát triển vấn đề từ bài toán cơ bản.<br /> Để giải quyết vấn đề trên, trong quá trình giảng dạy giáo viên cần chú <br /> trọng các bài toán  ở  sách giáo khoa, biết phát triển các bài toán đơn giản đã  <br /> gặp để tăng vốn kinh nghiệm vừa phát triển năng lực tư duy toán học vừa có <br /> điều kiện để tăng khả  năng nhìn nhận vấn đề  mới từ  cái đơn giản đã có, từ <br /> đó hình thành phẩm chất sáng tạo khi giải toán sau này. Việc phát triển một  <br /> bài toán phù hợp với từng đối tượng học sinh là rất cần thiết và quan trọng, <br /> nó vừa đảm bảo tính vừa sức và là giải pháp có hiệu quả cao trong việc giải <br /> toán vì nó không tạo cho học sinh sự  nhụt chí mà là động lực thúc đẩy giúp <br /> cho học sinh có sự  tự  tin trong quá trình học tập, bên cạnh đó còn  phát huy <br /> được khả năng sáng tạo, phát triển khả năng tự  học, hình thành cho học sinh <br /> tư  duy tích cực, độc lập, kích thích tò mò ham tìm hiểu và đem lại niềm vui  <br /> cho các em, từ đó các em yêu thích và đam mê bộ môn hơn.<br /> 2. Thực trạng:<br />  2.1 Thuận lợi, khó khăn:<br />     Thuận lợi:<br /> Điều kiện kinh tế  của địa phương ngày càng phát triển,  nhiều cha mẹ <br /> học sinh đa có s<br /> ̃ ự đâu t<br /> ̀ ư, quan tâm nhiều đến viêc hoc cua h<br /> ̣ ̣ ̉ ọc sinh . Môn Toán <br /> ̀ ̣<br /> la môt trong nh ưng môn h<br /> ̃ ọc ngày càng được hoc sinh va cha me h<br /> ̣ ̀ ̣ ọc sinh quan  <br /> tâm nhiều hơn. <br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     5<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> Nội dung  ở  sách giáo khoa Toán 9 được biên soạn khá công phu, hệ <br /> thống kiến thức trình bày khoa học, phù hợp với đối tượng học sinh. Đặc biệt  <br /> hệ  thống bài tập  trong  sách giáo khoa  phong phú  và hết sức cơ  bản, được <br /> chọn lọc kĩ, có nhiều bài tập được viết dưới dạng mở chứa nhiều vấn đề để <br /> suy luận, khai thác và phát triển, tạo điều kiện thuận lợi để  học sinh và giáo <br /> viên khai thác, tìm tòi thêm các bài toán mới nhằm phát huy sự sáng tạo trong  <br /> giảng dạy và học tập.<br />     Khó khăn: <br /> Một số  gia đình học sinh hoàn cảnh còn khó khăn, chưa thực sự  quan <br /> tâm đến việc học của con em mình dẫn đến ảnh hưởng không nhỏ đến việc  <br /> đầu tư thời gian, vật chất, tinh thần cho con em học tập. <br /> Đa số  học sinh chưa hứng thú khi học Hình học, bởi vì  các bài toán <br /> trong phân môn Hình học rất đa dạng và khá trừu tượng, mỗi bài toán có thể <br /> có nhiều cách giải khác nhau, để chứng minh được bài toán Hình học thì học  <br /> sinh phải vận dụng các định lí, các tiên đề  đã được học một cách linh hoạt.  <br /> Thế nhưng, tất cả kiển thức cơ bản đã học hầu như các em đã bị  quên ngay <br /> từ ở lớp dưới. <br /> 2.2  Thành công, hạn chế:<br />         Thành công:<br /> Chất lượng đại trà môn Toán tương đối tốt, tăng từng năm, có nhiều <br /> học sinh tham gia thi học sinh giỏi văn hóa, thi giải toán qua mạng internet đạt <br /> kết quả cao. <br /> Công nghệ  thông tin ngày một thịnh hành,  thuận lợi cho học sinh tìm <br /> tòi, nghiên cứu và mở rộng kiến thức.<br />         Hạn chế:<br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     6<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> Trước khi chưa áp dụng đề  tài vào giảng dạy tôi nhận thấy đa số  học  <br /> sinh<br /> còn bộc lộ hạn chế sau đây:<br /> ­ Đa số học sinh chưa thực sự hứng thú học tập môn Hình học, sau khi <br /> tìm được lời giải đúng cho một bài toán thì các em hài lòng và dừng lại mà <br /> không tư  duy tìm ra cách giải khác và cũng không khai thác thêm bài toán, <br /> không có sự sáng tạo gì thêm trong quá trình học tập bộ môn Hình học. Do đó <br /> tính tích cực, chủ động, sáng tạo của bản thân còn nhiều hạn chế và hiệu quả <br /> học tập chưa cao. <br /> ­ Học sinh còn yếu về  kỹ  năng phân tích đa chiều một bài toán, chưa  <br /> biết khai thác và tổng quát hóa bài toán đã cho. <br />  2.3  Mặt mạnh, mặt yếu:<br />         Mặt mạnh:<br /> Công nghệ  thông tin ngày một  phát triển, có nhiều phần mềm trình <br /> chiếu phục vụ cho tiết dạy khiến tiết dạy sinh động hơn sẽ  kích thích trí tò <br /> mò và tăng hứng thú học tập cho học sinh.<br /> Nhiều cuộc thi Toán học được tổ chức hàng năm như: cuộc thi học sinh  <br /> giỏi văn hoá môn Toán, giải toán trên máy tính cầm tay CasiO, giải toán trên <br /> mạng Internet, ... là những sân chơi bổ ích góp phần rất lớn trong việc thu hút <br /> và lôi cuốn học sinh đến với Toán học.  <br />     Mặt yếu: <br /> Nhiều học sinh bị mất kiến thức ngay từ lớp dưới, chưa nắm được kiến thức <br /> cơ  bản của hình học nên rất khó khăn trong việc phân tích tìm lời giải, khả <br /> năng tư <br /> duy, kỹ năng vẽ hình và trình bày bài giải chưa tốt<br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     7<br />  Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> Học sinh còn thụ động khi tiếp thu kiến thức, khả năng tư duy toán học  <br /> ở  học sinh còn mờ  nhạt, nhiều  em  học không đi đôi với hành, làm cho bản <br /> thân ít được củng cố, khắc sâu kiến thức, ít được rèn luyện kĩ năng để  làm <br /> nền tảng tiếp thu kiến thức mới, do đó năng lực cá nhân không được phát huy <br /> hết.<br />  2.4  Các nguyên nhân, các yếu tố tác động:<br /> ­ Học sinh còn yếu về khả năng phân tích bài toán để tìm lời giải.<br /> ­ Học sinh không nhớ những kiến thức Hình học đã được lĩnh hội ở các <br /> lớp dưới nên khả  năng vận dụng kiến thức vào giải một bài toán còn hạn <br /> chế.<br /> ­ Sự hứng thú, tính tích cực của học sinh với môn Hình học chưa cao.<br /> ­ Đa số  học sinh chưa có thói quen khai thác bài toán đã giải , chưa có <br /> tính sáng tạo trong giải toán, khả  năng vận dụng kiến thức còn chưa linh  <br /> hoạt.<br />   ­ Do thời lượng luyện tập giờ chính khóa còn ít, vì vậy học sinh chưa  <br /> có thời gian để ôn tập, giải bài tập nhiều. <br />  2.5 Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đặt ra:<br /> Hình học là một môn học khó đối với học sinh, đặc biệt là học sinh  <br /> trung bình, yếu, kém. Đa số học sinh sợ học  môn Hình học, khả năng tư duy, <br /> phân tích tổng hợp của học sinh còn hạn chế, nhiều học sinh không xác định <br /> được bài toán, không vẽ được hình hoặc vẽ hình không chính xác nên rất khó <br /> khăn trong quá trình chứng minh. Với đặc thù của phân môn Hình học là mọi <br /> suy luận đều phải có căn cứ, đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng trình bày suy <br /> luận một cách logic. Kĩ năng này đối với học sinh  thì tương đối khó, vì mức <br /> độ ghi nhớ các kiến thức Hình học từ những lớp dưới của nhiều học sinh còn <br /> <br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     8<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> hạn chế. Do đó khi gặp một bài toán Hình học học sinh thường không biết <br /> bắt đầu từ đâu, trình bày chứng minh như thế nào. Chính vì thế mà việc giúp <br /> HS nắm vững kiến thức, hiểu một vấn đề  theo nhiều khía cạnh khác nhau,  <br /> vận dụng linh hoạt các kiến thức vào làm bài tập, tạo niềm say mê, hứng thú <br /> học Toán nói chung và Hình học nói riêng cho  các em học sinh  là  rất  quan <br /> trọng đối với người giáo viên. <br /> Để giúp học sinh học tập tốt môn Hình học, hãy bắt đầu bằng những <br /> bài tập trong sách giáo khoa và đừng quên khai thác bài toán sau khi giải. Với <br /> đề tài nghiên cứu: “Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ <br /> bản Hình học lớp 9” sẽ đáp ứng được phần nào yêu cầu này, bên cạnh đó còn <br /> góp phần nâng cao kiến thức, tư duy toán học, khả năng phân tích và suy luận <br /> cho học sinh, đồng thời khơi dậy cho các em sự tự tin trong học tập và niềm <br /> đam mê bộ môn.<br /> Mỗi  bài toán đưa  ra trong đề  tài đều có phân tích cụ  thể, định hướng <br /> chứng minh, chỉ ra được kiến thức cần vận dụng để chứng minh bài toán, sau <br /> khi trình bày lời giải đều có những nhận xét từ  các kết quả có được của bài <br /> toán và đề xuất các bài toán mới. Qua đó, củng cố, khắc sâu, mở rộng và nâng <br /> cao kiến thức cho học sinh, giúp học sinh phát triển tư duy, phát huy tính tích  <br /> cực, chủ  động, sáng tạo trong giải Toán, đồng thời giúp học sinh tự  tin hơn, <br /> thích thú hơn với phân môn Hình học <br /> Đề tài này được lồng ghép vào các tiết luyện tập, ôn tập chương, các <br /> tiết ôn tập học kì , các tiết phụ đạo học sinh yếu kém và bồi dưỡng học sinh <br /> giỏi.<br /> Sau khi áp dụng đề  tài nhìn chung học sinh nắm vững kiến thức cơ <br /> bản, các em đã hứng thú hơn trong học tập, nhìn nhận bài toán một cách rộng <br /> <br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     9<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> hơn, yêu thích bộ  môn hơn và đặc biệt nhiều em đã có phương pháp tự  học <br /> tốt, biết cách phát triển bài toán và tự tin hơn khi học Hình học.<br /> 3. Giải pháp, biện pháp:<br />  3.1 Mục tiêu của giải pháp, biện pháp:<br /> Đề  tài: “Suy luận và phát triển các bài toán mới từ  một bài toán Hình  <br /> học cơ  bản lớp 9” nhằm mục đích giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn  bản chất <br /> của bài toán, tạo cho các em phong cách học tập chủ  động và sáng tạo.  Từ <br /> việc suy luận và phát triển bài toán sẽ có nhiều bài toán hay được hình thành,  <br /> góp phần làm cho kho tàng toán học ngày càng phong phú.<br />  3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp:<br />            Việc suy luận và phát triển một bài toán Hình học có thể  theo nhiều <br /> hướng <br /> khác nhau. Tuy nhiên, trong phạm vi đề  tài này tôi chỉ  nghiên cứu việc khai <br /> thác thêm các kết quả có thể có được của bài toán và đề xuất các bài toán mới <br /> nhằm rèn luyện khả  năng sáng tạo cho học sinh, giúp học sinh phát triển tư <br /> duy, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo trong giải toán, đồng thời giáo <br /> dục lòng say mê học Toán cho học sinh. Đề tài này không đề  cập nhiều đến <br /> việc hình thành kĩ năng giải toán cho học sinh mà quan tâm đến hướng khai  <br /> thác, suy luận để  phát triển bài toán. Bắt đầu từ  bài toán cơ  bản và quen <br /> thuộc sau:<br /> a) Bài toán 1: ( Bài tập 11 trang 104 ­ SGK Toán 9 tập 1)<br />    Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB. Gọi <br /> H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng <br /> minh rằng: CH = DK. Gợi ý: Kẻ OM vuông góc với CD.<br /> Giải:<br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     10<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> GT Đường   tròn   (O)   đường   kính   AB;   dây  H<br /> C<br /> M<br /> CD; CD  AB = ;  D<br /> K<br /> <br /> AH ⊥ CD (H CD);<br /> A B<br /> O<br />  BK ⊥ CD (K CD)<br /> KL CH = DK<br /> <br /> Hướng dẫn chứng minh: Kẻ OM  ⊥  CD (M  CD)<br /> Hướng dẫn học sinh phân tích theo sơ đồ sau:  CH = DK<br />                                    <br />                                     MH – MC =  MK – MD<br />                                   <br />                                    MH = MK ;  MC = MD<br /> Ta có: MH = MK vì AHKB là hình thang, hình thang này có O   AB, OA = OB, <br /> OM//AH//BK<br /> Ta cũng có:  MC = MD vì OM  ⊥  CD (Quan hệ vuông góc giữa đường kính và <br /> dây).<br /> Chứng minh:  <br /> AH ⊥ CD và BK  ⊥  CD (gt)  AH // BK  AHKB là hình thang<br /> Kẻ OM  ⊥  CD (M  CD)   MC = MD (1) (Quan hệ giữa đường kính và <br /> dây)<br /> Xét hình thang AHKB có O   AB, OA = OB (Bán kính); OM//AH//BK (cùng <br /> vuông góc với CD)   MH = MK (2)<br /> Từ (1 ) và (2) ta có: MH – MC = MK – MD hay CH = DK<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ bài toán 1:<br /> * Nhận xét 1.1:  Từ việc vẽ OM  ⊥  CD ta có MH = MK ta nhận thấy rằng:<br /> <br /> <br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     11<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> S∆OMH = S∆OMA =S∆OMK =S∆OMB H<br /> C<br /> <br /> M<br /> <br /> S∆OMH +S∆OMK = S∆OMA +S∆OMB D<br /> K<br /> <br /> Hay  S∆HOK = S∆AMB B<br /> A C' O M' D'<br /> <br /> Kẻ MM’  ⊥  AB (M’   AB)<br /> Vì  S∆ HOK = S∆ AMB  nên HK.OM = AB.MM’ (1)<br /> <br /> Mặt khác, ta có OM là đường trung bình của hình thang AHBK nên <br /> AH + KB AH + KB<br /> OM =    � HK.OM = HK. = SAHKB    (2)<br /> 2 2<br /> Từ (1 ) và (2) ta có:  SAHKB = AB.MM '    <br /> Vẽ thêm CC’ ⊥ AB, DD’ ⊥ AB (C’, D’   AB), ta có: <br /> CC '+ DD '<br /> MM’ là đường trung bình của hình thang CDD’C’ � MM ' =  <br /> 2<br /> CC'+ DD' 1 1 1<br />   � SAHKB = AB. = AB ( CC'+ DD' ) = AB.CC'+ AB.DD' = S∆ACB +S∆ADB<br /> 2 2 2 2<br /> Qua nhận xét 1.1, ta có bài toán khó hơn bài toán 1 như sau:<br /> Bài toán 1.1:  Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường <br /> kính AB. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B <br /> <br /> đến CD. Chứng minh rằng:  SAHKB = S∆ACB + S∆ADB<br /> * Nhận xét 1.2:<br /> Từ bài toán 1, nếu giả thiết dây CD không  C<br /> H<br /> cắt đường kính AB được thay thế bằng <br /> giả thiết dây CD cắt đường kính AB thì  I<br /> <br /> kết luận CH = DK vẫn đúng.  A<br /> B<br /> O<br /> <br /> Thật vậy, để chứng minh CH = DK ta  F<br /> K<br /> chứng minh CD và HK có chung trung  D<br /> <br /> <br /> điểm.<br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     12<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> Qua O vẽ đường thẳng song song với BK <br /> và AH, cắt CD và AK lần lượt tại I và F.<br /> Vì OI // BK mà BK  ⊥  CD nên OI  ⊥ CD<br />  IC = ID (1) (Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây)<br /> ∆AKB  có O   AB, OA = OB và OF // BK   FK = FA<br /> ∆KAH  có F   KA, FK = FA (chứng minh trên) và FI // AH  IH = IK (2) <br /> Từ (1 ) và (2) ta có: IC – IH = ID – IK hay CH = DK<br />  Từ nhận xét 1.2 ta có bài toán 1.2 như sau:<br /> Bài toán 1.2:  Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD cắt AB tại G. Gọi <br /> H và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên CD. Chứng minh: CH = DK.<br /> * Nhận xét 1.3:<br /> Từ bài toán 1, nếu sử dụng phương pháp  H<br /> C<br /> H'<br /> phản chứng ta sẽ chứng minh được H và K ở <br /> D<br /> bên ngoài đường tròn (O). Thật vậy, giả sử  K<br /> <br /> <br /> chân đường vuông góc hạ từ A đến đường  A O<br /> B<br /> <br /> <br /> thẳng CD là H’, H’ là điểm nằm giữa 2 điểm <br /> C và D.<br /> Xét  ∆ACH ' ta có:  ACH'<br /> ﾷ ﾷ<br /> = ACB ﾷ = 900 +BCD<br /> + BCD ﾷ<br /> <br /> ﾷ<br /> ACH' ﾷ<br /> > 900 Mà  AH'C = 900 (theo giả sử) <br />  Tổng các góc trong của  ∆ACH '  lớn hơn 1800 . Điều này vô lí.<br /> Vậy H’ phải nằm ngoài đường tròn (O)   H nằm ngoài đường tròn (O)<br /> Chứng minh tương tự đối với điểm K <br /> Từ nhận xét 1.3 ta có bài toán 1.3 như sau:<br /> Bài toán 1.3: Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường <br /> kính AB. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B <br /> đến CD. Chứng minh rằng: H và K ở bên ngoài (O)<br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     13<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> * Nhận xét 1.4:  Ở bài toán 1, để chứng minh CH = DK ta chứng minh hai <br /> đoạn thẳng CD và HK có chung trung điểm bằng cách vận dụng định lí : <br /> "Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy” và <br /> định lí : "Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và <br /> song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai”. Với ý <br /> tưởng này, ta xây dựng một bài toán mà cách giải hoàn toàn tương tự như <br /> cách giải của bài toán 1: <br /> Bài toán 1.4: Cho đường tròn O đường kính AB, dây CD không cắt đường <br /> kính. Qua C và D kẻ  các đường vuông góc với CD lần lượt cắt AB tại H và  <br /> K. Chứng minh rằng AH = BK.<br /> Giải: <br /> GT Đường tròn (O) đường kính AB;  D<br /> I<br /> dây CD; CD  AB = ; C<br /> <br /> <br />  CH ⊥ CD (H AB);<br /> B<br />  DK ⊥ CD (K AB) A H O K<br /> KL AH = BK<br /> <br /> <br /> <br /> Hướng dẫn chứng minh: Hướng dẫn học sinh phân tích theo sơ đồ sau:<br /> AH = BK<br /> <br /> <br /> OA ­ OH = OB – OK <br /> <br /> <br /> OA = OB;  OH = OK<br /> Ta có OA = OB (Bán kính)<br /> <br /> <br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     14<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> Để chứng minh OH = OK ta kẻ OI  ⊥  CD(I  CD)    IC = ID  (Quan hệ <br /> vuông góc giữa đường kính và dây). Tiếp tục vận dụng định lí : "Đường <br /> thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy <br /> thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai” để có OH = OK.<br /> Chứng minh: HC ⊥ CD và KD  ⊥  CD (gt)  HC // KD  CDKH là hình thang<br /> Kẻ OI  ⊥ CD (I  CD)   IC = ID (Quan hệ vuông góc giữa đường kính và <br /> dây)<br /> Xét hình thang CDKH có IC = ID (Chứng minh trên); <br /> OI//HC//KD (cùng vuông góc với CD)  OH = OK (1) <br /> Lại có :  OA = OB (2) (Bán kính)<br /> Từ (1 ) và (2) ta có OA ­ OH = OB – OK Hay AH = BK<br /> b) Bài toán 2: ( Bài tập 30 trang 116 ­ SGK toán 9 tập 1)<br />    Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với <br /> AB (Ax, By và của đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua <br /> điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường <br /> tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng:    a)  COD<br /> ﾷ = 900      <br /> <br /> b) CD = AC + BD          <br /> c) AC.BD không đổi khi M di động trên nửa đường tròn.<br /> Giải:<br /> nửa (O;R); AB = 2R ; Ax ⊥  AB;  y<br /> <br /> <br /> <br /> By ⊥ AB; M nửa(O;R); M A, B;  D<br /> <br /> x<br /> GT Mz (O) = { M} ;  Mz Ax= { C} ;  M<br /> <br /> C<br /> Mz   By=  { D}  <br /> KL ﾷ<br /> a)  COD = 900<br /> <br /> b) CD = AC + BD A B<br /> O<br /> <br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     15<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> c) AC.BD không đổi khi M di <br /> động trên nửa đường tròn<br /> Hướng dẫn chứng minh:<br />  Ở câu a) để chứng minh  COD<br /> ﾷ  = 900  ta cần chứng minh OC và OD là các tia <br /> phân giác của hai góc kề bù AOM và BOM <br /> Ở câu b) ta nhận thấy rằng CD = CM + MD. Do đó để chứng minh CD = AC <br /> + BD ta cần chứng minh CM = AC và MD = BD.<br /> Ở câu c) ta có AC.BD = CM.MD (theo chứng minh trên). <br /> Do đó để chứng minh AC.BD không đổi khi M di động trên nửa đường tròn ta <br /> cần chứng minh CM.MD không đổi khi M di động trên nửa đường tròn<br /> Chứng minh:<br /> a) Ta có OC và OD là các tia phân giác của hai góc kề bù AOM và BOM (tính <br /> chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Do đó OC  ⊥  OD    COD<br /> ﾷ  = 900.<br /> b) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: CM = AC, DM = AD.<br /> Do đó CD = CM + DM = AC + BD.<br /> c) Ta có AC.BD = CM.MD<br /> Xét  ∆  COD vuông tại O và OM  ⊥  CD nên CM.MD = OM2 = R2 (R là bán kính <br /> của đường tròn O)  AC.BD không đổi khi M di động trên nửa đường tròn.<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ bài toán 2:<br /> * Nhận xét 2.1: <br /> Chu vi tứ giác ABDC nhỏ nhất AC + AB + BD + CD nhỏ nhất<br />  AC + BD + CD nhỏ nhất   2CD nhỏ nhất  CD nhỏ nhất<br /> CD // AB  M là giao điểm nửa đường tròn tâm O và trung trực của AB. <br /> (hay M là điểm chính giữa của cung AB)<br /> Vậy nếu M là điểm chính giữa của cung AB thì tứ giác ABDC có chu vi nhỏ <br /> nhất.<br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     16<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> Qua nhận xét 2.1, ta có bài toán 2.1:<br /> Bài toán 2.1: Thêm vào bài toán 2 câu d: Xác định vị trí của điểm M để chu vi <br /> tứ giác ABDC nhỏ nhất.<br /> * Nhận xét 2.2: <br />  Nếu gọi N là giao điểm của BC và AD, ta chứng minh được MN//AC (MN//BD)<br /> Thật vậy:<br /> y<br /> Ta có AC//BD (gt)<br /> Xét  ∆ANC  có AC//BD  D<br /> <br /> <br /> ND NB DB x<br />   = =  (1) (Định lí Talet) M<br /> NA NC AC<br /> C<br /> Vì CA, CM là tiếp tuyến của nửa (O) <br /> nên CM = CA (2)  N<br /> <br /> Tương tự ta có DB = DM (3) 2 3<br /> A 1 4 B<br /> O<br /> ND MD<br /> Từ (1), (2) và (3)  =  <br /> NA MC<br /> <br /> MN//AC (Theo định lí ta lét đảo) <br />  MN//BD (AC//BD)<br /> Qua nhận xét 2.2, ta có bài toán 2.2:<br /> Bài toán 2.2:  Thêm vào bài toán 2 câu e: Gọi N là giao điểm của BC và AD. <br /> Chứng minh rằng: MN//AC (MN//BD)<br /> * Nhận xét 2.3:<br /> Sau khi c/m được MN//AC ta có thể có thêm yêu cầu đối với học sinh trung <br /> bình là chứng minh CD.MN = CM.DB<br /> Chứng minh: Theo chứng minh trên MN//AC<br /> CD DB<br /> ∆CBD      ∆ANC =  CD.MN = CM.DB<br /> S<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> CM MN<br /> <br /> Bài toán 2.3: Thêm vào bài toán 2 câu f: Chứng minh rằng: CD.MN = CM.DB<br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     17<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> * Nhận xét 2.4:<br /> Từ bài toán 2, nếu cải tiến một chút thì ta có bài toán mới như sau:<br /> Bài toán 2.4: (Trích đề kiểm tra học kì I của phòng GD & ĐT Krông Ana năm <br /> học 2011 ­ 2012)<br />    Cho  ∆ABC  vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A; AH). Kẻ các tiếp <br /> tuyến BD, CE (D, E là các tiếp điểm).<br /> a) BC có phải là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH) hay không? Vì sao?<br /> b) Chứng minh rằng ba điểm D, A, E thẳng hàng;<br /> c) DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.<br /> Chứng minh:<br /> B<br /> a) BC là tiếp tuyến của đường tròn <br /> (A; AH) vì H BC; H (A; AH) và AH ⊥  BC (gt)<br /> ﾷ<br /> b) Ta có:  DAE ﾷ +A<br /> =A ﾷ +Aﾷ +A<br /> ﾷ   I<br /> 1 2 3 4<br /> <br /> D H<br /> ﾷ =A<br /> mà  A ﾷ ;  A<br /> ﾷ =Aﾷ  (tính chất của hai tiếp <br /> 1 2 3 4<br /> <br /> 2<br /> tuyến cắt nhau) 1<br /> 3<br /> A<br /> 4 C<br /> ﾷ =A<br /> A ﾷ = BAC<br /> ﾷ = 900 (gt)<br /> 2 3<br /> <br /> E<br /> ﾷ DAE = 2A<br /> � ﾷ + 2A<br /> ﾷ = 2(A<br /> ﾷ +Aﾷ ) = 2.900 = 1800<br /> 2 3 2 3<br /> <br /> <br /> Vậy ba điểm D, A, E thẳng hàng.<br /> c) Vì D, A, E thẳng hàng nên A   DE (1)<br /> 1<br /> Gọi O là trung điểm của BC. Ta có AO =   BC (tính chất đường trung tuyến <br /> 2<br /> <br /> BC<br /> trong tam giác vuông)   A   (O;   )  (2)<br /> 2<br /> <br /> Mặt khác, ta có: BD  ⊥  DE; CE  ⊥  DE (tính chất tiếp tuyến) BCED là hình <br /> thang<br /> Lại có: AD = AE; OB = OC  OA // BD mà BD  ⊥  DE nên OA ⊥  DE (3)<br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     18<br />  Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> Từ (1), (2), (3) ta có DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.<br /> c) Bài toán 3: ( Bài tập 39 trang 123 ­ SGK toán 9 tập 1)<br />     Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung <br /> <br /> ngoài BC  B �( O) ,C �( O') , tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung <br /> ngoài BC tại I. Chứng minh rằng:    <br /> a)  BAC<br /> ﾷ = 900            <br /> <br /> b) Tính số đo góc IOI’<br /> c) Tính độ dài BC biết OA = 9cm; OA’ = 4cm<br /> Giải:<br /> O) tiếp xúc ngoài (O’) tại A; BC  B<br /> <br /> là tiếp tuyến chung ngoài; B I<br /> C<br /> GT (O) ; C (O’); IA  là tiếp tuyến <br /> chung trong tại A; IA  BC = { I} O 9 A 4 O'<br /> <br /> ;<br /> OA = 9cm, O’A = 4cm.<br /> a)  BAC<br /> ﾷ = 90<br /> <br /> KL b)  OIO'<br /> ﾷ =?<br /> c) BC = ?<br /> Hướng dẫn chứng minh: Ở câu a) để chứng minh  BAC<br /> ﾷ   <br /> = 90 ta phân tích <br /> <br /> theo sơ đồ:           <br /> ﾷ<br /> BAC = 90<br /> <br /> <br /> <br /> ∆ ABC vuông tại A<br /> <br /> <br /> <br /> AI = BI = CI<br /> <br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     19<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> Ở câu b) vận dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và tính chất hai tia phân <br /> giác của hai góc kề bù.<br /> Ở câu c) Để tính BC trước hết ta tính IA vì BC = 2IA. Cách tính: IA2= OA.AO’ <br /> Chứng minh: a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: IB = IA và IA = <br /> IC.<br /> 1<br /> ∆ ABC có trung tuyến AI bằng  BC nên  ∆ ABC vuông tại A  ﾷ<br /> BAC = 90<br /> 2<br /> <br /> b) Ta có IO là tia phân giác góc BIA, IO’ là tia phân giác của góc AIC. (Tính <br /> chất hai tiếp tuyến cắt nhau) mà  BIA<br /> ﾷ  và  AIC<br /> ﾷ  là hai góc kề bù nên  OIO'<br /> ﾷ = 90  <br /> <br /> c) Xét  ∆ vuông OIO’ có IA  ⊥  OO’ nên IA2= OA.AO’ (hệ thức lượng trong  ∆<br /> vuông)<br /> Do đó IA2 = 9.4 = 36   IA = 6cm. Khi đó BC = 2IA = 2.6 =12cm.<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ bài toán 3:<br /> * Nhận xét 3.1:  Nếu hai đường tròn (O) và (O’) không tiếp xúc ngoài tại A mà <br /> hai đường tròn đó ở ngoài nhau thì có chứng minh được  BAC<br /> ﾷ = 90  hay không?<br /> <br /> Ta có:<br /> ﾷ 1ﾷ ﾷ 1ﾷ<br /> ABC = BOD  và  ACB = CO'E  (góc  B<br /> 2 2<br /> <br /> tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)<br /> C<br /> mà  ABC<br /> ﾷ ﾷ<br /> + CO'E = 1800  (vì OB//O’C) O<br /> <br /> <br /> ﾷ<br /> � ABC ﾷ<br /> + ACB = 1800<br /> D<br /> E<br /> A O'<br /> <br /> ∆ABC có � ABC<br /> ﾷ ﾷ<br /> + ACB ﾷ<br /> = 1800 � BAC = 900<br /> <br /> Qua nhận xét trên, ta có bài toán sau:<br />  Bài toán 3.1: Cho hai đường tròn (O) và (O’)  ở ngoài nhau. Kẻ tiếp tuyến <br /> <br /> chung ngoài BC,  B ( O) ,  C ( O') , đoạn nối tâm OO’ cắt các đường tròn (O) và <br /> <br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     20<br />  Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> (O’) lần lượt tại D và E, các đường thẳng BD và CE cắt nhau tại A. Chứng <br /> minh rằng:<br /> a)  BAC<br /> ﾷ = 900                  b) AD. AC = AE . AC          c) Tứ giác BCED nội tiếp<br /> <br /> Giải: a) Chứng minh như nhận xét 3.1<br />  b) Ta có:  ABC<br /> ﾷ ﾷ<br /> = ACO'  (vì cùng phụ với  ACB<br /> ﾷ )<br />                  ACO'<br /> ﾷ ﾷ<br /> = CEO' (vì  ∆EO'C  cân tại O’)<br />                  Mà  CEO'<br /> ﾷ ﾷ<br /> = AED  (đối đỉnh)<br />  Do đó :  AED<br /> ﾷ ﾷ<br /> = ABC<br /> <br /> ∆AED và  ∆ABC có:  AED<br /> ﾷ ﾷ<br /> = ABC  (chứng minh trên)<br />                                  A<br /> ﾷ  chung<br /> <br /> AE AD<br /> � ∆AED        ∆ABC (g.g)  � = � AE.AC=AB.AD<br /> S<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> AB AC<br /> <br /> c) Theo câu b) ta có:  AED<br /> ﾷ ﾷ<br /> = ABC   � ABC<br /> ﾷ ﾷ<br /> + DEC = 1800  Tứ giác BCED nội tiếp<br /> * Nhận xét 3.2:<br />      Nếu hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau thì kết luận  BAC<br /> ﾷ = 90  có còn đúng <br /> <br /> không?<br /> Ta có:<br /> ﾷ 1ﾷ ﾷ 1ﾷ<br /> DBC = BOD  và  ECB = CO'E B<br /> 2 2<br /> <br /> (theo tính chất của góc tạo bởi tia tiếp <br /> N C<br /> tuyến và dây cung) O A<br /> Mà  ABC<br /> ﾷ ﾷ<br /> + CO'E = 1800  (vì OB//O’C) E<br /> D O'<br /> ﾷ<br /> � DBC ﾷ<br /> + ECB = 1800  hay <br /> N<br /> ﾷ<br /> ABC ﾷ<br /> + ACB = 1800<br /> ∆ABC  có  � ABC<br /> ﾷ ﾷ<br /> + ACB ﾷ<br /> = 1800 � BAC = 900<br /> Qua nhận xét trên, ta có bài toán 3.2:<br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     21<br />  Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br />  Bài toán 3.2:  Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm M và N. <br /> <br /> Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC,  B �( O) ,C �( O') , đoạn nối tâm OO’ cắt các <br /> đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại D và E, các đường thẳng BD và CE cắt <br /> nhau tại A. Chứng minh rằng:<br /> a)  BAC<br /> ﾷ = 900               <br /> <br /> b) Tứ giác BCDE nội tiếp              <br /> c) AB.AD = AC.AE<br /> Giải:  a) Chứng minh như nhận xét 3.2<br />  b)  DBC<br /> ﾷ ﾷ<br /> = O'CE  (vì cùng phụ với  BCE<br /> ﾷ ) mà  O'CE<br /> ﾷ ﾷ<br /> = O'EC (vì  ∆EO'C  cân tại O’)<br /> ﾷ<br /> � DBC ﾷ<br /> = O'EC  hay  DBC<br /> ﾷ ﾷ<br /> = DEC<br /> <br />  Tứ giác BCDE có hai đỉnh B và E cùng nhìn cạnh CD dưới một góc bằng <br /> nhau nên nội tiếp được trong một đường tròn.<br /> c)  ∆AED và  ∆ABC có:  AED<br /> ﾷ ﾷ<br /> = ABC  (theo chứng minh câu b)<br />                                  EAD<br /> ﾷ ﾷ<br /> = BAC  (đối đỉnh)<br /> AE AD<br /> � ∆AED        ∆ABC (g.g)  � = � AE.AC=AB.AD<br /> S<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> AB AC<br /> <br /> d) Bài toán 4: ( Bài tập 95 trang 105 ­ SGK toán 9 tập 2)<br />     Các đường cao hạ từ đỉnh A và B của  ∆ABC  cắt nhau tại H ( C<br /> ﾷ 900 ) và cắt <br /> <br /> đường tròn ngoại tiếp  ∆ABC  lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:<br /> a) CD = CE                   <br />   b)  ∆BHD cân                            <br /> c) CD = CH<br /> Giải:<br /> <br /> <br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     22<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> A<br /> ﾷ 900 ; đường tròn <br /> ∆ABC ;  C E<br /> <br /> (O) ngoại tiếp  ∆ABC ;<br /> N<br /> GT AD ⊥ BC ; D  (O);<br /> H<br /> O<br /> BE ⊥ AC ; E  (O);<br /> a) CD = CE<br /> B M C<br /> KL b)  ∆BHD cân<br /> c) CD = CH D<br /> <br /> Chứng minh: <br /> Gọi M là giao điểm của AD và BC, N  là giao điểm của BE và AC<br /> a) Ta có:  DAC<br /> ﾷ ﾷ<br /> + AHN = 900  và   CBE<br /> ﾷ ﾷ<br /> + BHM = 900<br /> ﾷ<br /> � DAC ﾷ<br /> + AHN ﾷ<br /> = CBE ﾷ<br /> + BHM  mà  AHN<br /> ﾷ ﾷ<br /> = BHM  (đối đỉnh)<br /> ﾷ<br /> � DAC ﾷ<br /> = CBE ﾷ  (các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng <br /> ﾷ = DC<br /> � EC<br /> <br /> nhau)<br />  CD = CE (liên hệ giữa cung và dây)<br /> b) Ta có  EC ﾷ  (chứng minh trên) <br /> ﾷ = DC<br /> <br /> ﾷ<br /> � EBC ﾷ<br /> = CBD (hệ quả góc nội tiếp)<br /> � ∆BHD cân (vì có BM vừa là đường cao vừa là đường phân giác)<br /> <br /> c) Ta có  ∆BHD cân tại B  BC là đường trung trực của HD (vì BC chưa BM)<br /> CD = CH (tính chất đường trung trực)<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ bài toán 4:<br /> * Nhận xét 4.1:<br /> <br /> <br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     23<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> A<br /> Ta có CH là đường cao của  ∆ABC  nên ta kẻ <br /> E<br /> <br /> đường cao CH cắt AB tại Q và cắt đường <br /> tròn ngoại tiếp  ∆ABC  tại F.  F<br /> Q<br /> N<br /> <br /> H<br /> Từ câu a) ta có CD = CE    CD ﾷ  <br /> ﾷ = CE O<br /> <br /> ﾷ<br /> CFD ﾷ<br /> = CFE<br /> B<br /> FC là tia phân giác của  EFD<br /> ﾷ . M C<br /> <br /> <br />  Tương tự ta cũng có DA là tia phân giác  D<br /> <br /> của  EDF<br /> ﾷ  và EB là tia phân giác của  DEF<br /> ﾷ  <br /> H là tâm đường tròn nội tiếp  ∆DEF<br /> Từ nhận xét 4.1 ta có bài toán sau:<br /> Bài toán 4.1: <br />    Các đường cao hạ từ đỉnh A, B, C của  ∆ABC  cắt nhau tại H ( C<br /> ﾷ 900 ) và cắt <br /> <br /> đường tròn ngoại tiếp  ∆ABC  lần lượt tại D, E, F. Chứng minh rằng: H là tâm <br /> đường tròn nội tiếp  ∆DEF<br /> * Nhận xét 4.2:<br /> <br /> Từ câu b) và c) của bài toán 3 ta có BD = BH, CD = CH  ∆BDC=∆BHC ( c.c.c )<br /> <br /> Tương tự ta cũng có  ∆AFB=∆AHB ,  ∆AEC=∆AHC<br />  Các đường tròn ngoại tiếp  ∆AHB ,  ∆BHC ,  ∆AHC  có bán kính bằng bán kính <br /> của đường tròn ngoại tiếp  ∆ABC .<br /> Từ nhận xét 4.2 ta có bài toán 4.2<br /> Bài toán 4.2:  Cho  ∆ABC  có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O và H <br /> là trực tâm của  ∆ABC . Chứng minh rằng: Các đường tròn ngoại tiếp  ∆AHB , <br /> ∆BHC ,  ∆AHC  có bán kính bằng bán kính của đường tròn ngoại tiếp  ∆ABC .<br /> <br /> * Nhận xét 4.3:<br /> <br /> <br /> <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     24<br /> Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br />     Từ câu a) của bài toán 3 ta có CD = CE. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp <br /> ∆ABC  thì OC là đường trung trực của ED<br /> <br />  Dễ dàng chứng minh được tứ giác ABMN nội tiếp đường tròn đường kính <br /> AB<br /> <br /> <br /> A<br /> ﾷ<br /> BAM ﾷ<br /> = BNM (hai góc nội tiếp cùng chắn  E<br /> <br /> cung BM)<br /> F N<br /> Mặt khác, ta có:  BAD<br /> ﾷ ﾷ<br /> = BED (hai góc nội  Q<br /> H O<br /> tiếp cùng chắn cung BD) ﾷ<br /> BNM ﾷ<br /> = BED  <br />  MN//DE B M C<br /> <br /> <br /> D<br /> <br /> Từ nhận xét trên, ta có thêm bài toán sau:<br /> Bài toán 4.3: <br />       Cho  ∆ABC  có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Các đường <br /> cao AM, BN, CQ cắt nhau tại H và lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp  ∆ABC  <br /> tại D, E, F (M BC, N AC, Q AB). Chứng minh rằng: MN//DE<br /> * Nhận xét 4.4:<br /> A<br /> Từ bài toán 3, nếu gọi P là trung điểm của <br /> BC, T là điểm đối xứng với H qua P. Khi <br /> N<br /> đó tứ giác BHCT là hình bình hành    Q<br /> H O<br /> CT//BN  CT ⊥ AC (vì BN ⊥ AC) <br /> ﾷ<br /> ACT = 900 P<br /> B M C<br /> Tương tự, ta chứng minh được  ABT<br /> ﾷ = 900  <br /> <br /> Tứ giác ABTC có  ACT<br /> ﾷ ﾷ<br /> + ABT = 900 + 900 = 1800<br /> T<br /> <br /> <br /> Tứ giác ABTC nội tiếp đường tròn (O) <br /> <br />         Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana     25<br />  Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp  <br /> 9.<br /> <br /> Từ nhận xét trên, ta có thể khai thác thêm bài toán sau:<br />  Bài toán 4. 4<br />   :  <br /> Cho  ∆ABC  có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Các đường <br /> cao AM, BN, CQ cắt nhau tại H (M BC, N AC, Q AB). Gọi P là trung <br /> điểm của BC, T là điểm đối xứng với H qua P. Chứng minh rằng: Tứ giác <br /> ABTC nội tiếp được trong một đường tròn<br />  e) Một số bài toán tham khảo:<br />  Bài  1<br />    ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Đăklăk năm học 2004 – 2005):<br />     Cho tam giác ABC có AB