Sử dụng các tính chất của hàm Beta để tính một số tích phân suy rộng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Sử dụng các tính chất của hàm Beta để tính một số tích phân suy rộng trình bày lại về hàm Beta, các tính chất của nó và một vài ví dụ sử dụng tính chất của hàm Beta để tính tích phân suy rộng. Qua đó, các em sinh viên có thêm một cách làm với một số bài toán tích phân suy rộng hay và khó.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sử dụng các tính chất của hàm Beta để tính một số tích phân suy rộng

KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI SỐ 58/2022 SỬ DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM BETA ĐỂ TÍNH MỘT SỐ TÍCH PHÂN SUY RỘNG ThS. Trần Thị Thùy Dung* Khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh * Email: thuydung294@gmail.com Mobile: 0975 179 741 Tóm tắt Từ khóa: Tích phân suy rộng Biến đổi; Hàm Beta; Tính 1 chất; Tích phân B(x, y)   t x 1 (1  t) y1dt 0 gọi là tích phân Ơle loại I. Ngƣời ta chứng minh đƣợc rằng tích phân này hội tụ với mọi x  0, y  0 . Khi đó B(x, y) đƣợc gọi là hàm Beta. Hàm Beta có rất nhiều tính chất quan trọng nhƣ tính đối xứng và đặc biệt là mối quan hệ chặt chẽ với hàm Gamma. Sử dụng hàm Beta cùng với các tính chất của nó giúp ta giải quyết dễ dàng một số bài toán tích phân suy rộng khó. 1 1. GIỚI THIỆU Hàm Beta là một hàm đặc biệt, còn gọi là tích B(m,n)   x m1 (1  x)n 1dx phân Euler của loại đầu tiên. Nó đóng vai trò quan 0 0 trọng trong giải tích vì nó có mối quan hệ chặt chẽ    (1  y) m1y n 1dy với hàm Gamma, bản thân hàm này hoạt động nhƣ 1 sự tổng quát hóa của hàm giai thừa. Trong giải tích 1 nhiều hàm tích phân phức tạp đƣợc rút gọn thành   x n 1 (1  x) m 1dx  B(n,m) các tích phân bình thƣờng liên quan đến hàm Beta. 0 Tích phân suy rộng là một phần kiến thức khó Tính chất 2. [2] trong học phần toán cao cấp 1 đối với các em sinh  x m1 viên trƣờng Đại học Công nghiệp Quảng Ninh. Vì B(m,n)   dx vậy, trong bài báo này tôi muốn trình bày lại về 0 (x  1)mn hàm Beta, các tính chất của nó và một vài ví dụ sử Chứng minh dụng tính chất của hàm Beta để tính tích phân suy Trƣớc hết ta đặt rộng. Qua đó, các em sinh viên có thêm một cách y y  1  2 x  dx  d( ) 1 y 1 y  làm với một số bài toán tích phân suy rộng hay và dy 1 y  khó. Ta có 2. NỘI DUNG  x m1 2.1.Định nghĩa. [1]  (x  1) 0 mn dx Hàm Beta B(m,n) m 1  (m  n) 2 1  y   y   1  Với m, n là các số thực dƣơng thì hàm   1  1  y  0 1 y      1  y  dy   B(m,n) đƣợc xác định nhƣ sau m 1  (m  n) 2 1  y   1   1    1 B(m,n)   x 1 y  1 y   1  y  dy m1 n 1 (1  x) dx 0      0 m 1  (m  n) 2 1  1   1   1  2.2. Tính chất   ym1   1 y   1  y  dy 1 y      Tính chất 1. [2] Tính chất đối xứng 0 B(m,n)  B(n,m) Chứng minh Đặt 1  x  y  dy  dx . Khi đó ta có: KH&CN QUI 1
SỐ 58/2022 KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI 1  1   n 1 B(m,n  1)  B(m  1,n)   y m1   dy 1 y  1 1 0   x m1 (1  x) n dx   x m (1  x) n 1 dx 1   y m1 (1  y) n 1dy  B(m,n) 0 0 1 0    x m1 (1  x) n 1 (1  x  x)dx Vậy B(m,n)  x m1  (x  1)mn dx 0 1 0 Tính chất 3. [2]   x m1 (1  x) n 1 dx  B(m,n)  m  0   B(m,n)  B(m  1,n) mn Tính chất 5. [2] Chứng minh  Sử dụng tính chất 1 và các phép biến đổi đại số 2 ta có B(m,n)  2  (s inx) 2m1 (cosx) 2n 1 dx 0 1 B(m  1,n)  B(n,m  1)   x n 1 (1  x) dx m Chứng minh 0 Ta đặt x  (sin y)2  dx  2sin ycos y 1  xn  Ta có   (1  x) m d   1 0  n  B(m,n)   x m1 (1  x) n 1dx 1 0 1 xn m  (1  x) m   x n (1  x) m1 dx  2 m 1 n 1 n 0 n 0   (sin y) 2    1  (sin y) 2    2sin ycos ydy 1 0 m n  x (1  x) dx m 1   2 n 0   (sin y) 2m2 (cos y) 2n 2 sin ycos ydy m  n 1  1 0   x (1  x) (1  (1  x))dx  m 1   n 0  2   (siny) 2m1 (cosy) 2n 1 dy m  n 1  1 1   x (1  x) dx   x (1  x) dx  m 1 n 1  m 0  n 0 0  2 m   (sinx) 2m1 (cosx) 2n 1 dx  (B(n,m)  B(n,m  1)) 0 n m m Tính chất 6. [1]  (1  ) B(n,m  1)  B(n,m) n n (m)(n) B(m,n)  m (m  n) ( ) B(m,n)  B(m  1,n) Chứng minh mn Đây là một tính chất có thể nói là quan trọng nhất vì nó có mối liên hệ mật thiết với Hàm Tính chất 4. [2] Gamma. B(m,n)  B(m,n  1)  B(m  1,n) Trƣớc hết ta nhắc lại định nghĩa hàm Gamma Chứng minh   Sử dụng định nghĩa và các phép biến đổi đại số  ( )  e x x 1dx với là số thực dƣơng [1] ta có: 0 Ta có 2 KH&CN QUI
KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI SỐ 58/2022    1 (m)(n)   x m1e  x dx. y n 1e  ydy  1 m  m  1   2 0 0  2  m  n  1 n  1       y n 1e y  x m1e  x dxdy  2 0 0 Kết hợp với Tính chất 6 của hàm Beta ta đƣợc 1     1 t2   y n 1e y  (yt) m1 e  yt ydt dy 1 1 1 1  x 2  1dx  2  t  1dt  2 B( 2 , 2 ) 0 0 0 0   1 1   y m n 1e y  t m1e yt dt dy ( ).( )  2 2  .    0  0 2(1) 2 2   y m n 1t m1e  y(t 1)dtdy 0 0 2.3.2.Ví dụ 2. Tính tích phân    1   t m1  y m  n 1e  y(t 1)dtdy  (x 2  1)2 dx 0 0 0 Giải   m  n 1  s   1  Đặt x  t ta có  t m 1  t 1 es  dsdt  t 1 1 0 0    1 1 t2    (x 2  1)2 2 0 (t  1)2 dt dx     t m1 (t  1)  (m n )  s m  n 1e s dsdt 0 0 0 Theo Tính chất 2 của hàm Beta ta có:   1  1 m    t m1 (t  1)(mn) (m  n)dt m  1   2   2 0 m  n  2  n  3    t m1 2  (m  n)  dt Kết hợp với Tính chất 6 của hàm Beta ta đƣợc 0 (t  1)mn 1   1 1 t2 1 1 3 Theo tính chất 2 ta có  (x 2  1)2 dx  2  (t  1)2 dt  2 B( 2 , 2 ) 0 0  t m1 1 3 ( ).( ) B(m,n)   dx 2  .    (t  1)mn  2 0 2(2) 4 4 Do đó  t m1 2.3.3.Ví dụ 3. Tính tích phân (m)(n)  (m  n)  dt  0 (t  1) m n 2  sin 2 xdx 3  (m  n)B(m,n) 0 (m)(n) Giải  B(m,n)  (m  n) Ta viết biểu thức dƣới dạng sau   2.3. Ví dụ 2 2 2   sin 2 xdx   sin 3 x.cos 0 x.dx 3 1 2.3.1.Ví dụ 1. Tính tích phân x 2 1 dx 0 0 0 Theo tính chất 3 của hàm Beta Giải  5  2m  1  3 m  4 Đặt x  t ta có    2   1 2n  1  0  n  1 1 1 t2   2  x 2  1 2 0 t  1dt 0 dx   Theo Tính chất 2 của hàm Beta ta có: KH&CN QUI 3
SỐ 58/2022 KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI   2 2 2 rộng. Từ đó ngƣời đọc có thể ứng dụng hàm Beta  sin xdx   sin x.cos x.dx 3 2 3 0 cho nhiều bài toán tích phân khác. 0 0 5 1 TÀI LIỆU THAM KHẢO    .    B( , )      1 5 1 4 2 [1]. Nguyễn Xuân Liêm (2004), Giải tích, NXB 2 4 2  7 Giáo dục. 2   4 [2]. VNMATH.COM (16/8/2013), "Kĩ thuật tích 3. KẾT QUẢ phân nângcao", http://www.vnmath.com/2013/08/ki- Trong bài báo này tôi đã chứng minh lại một thuat-tinh-tich-phan-nang-cao-phan-4.html. cách tƣờng minh 6 tính chất của hàm Beta và sử dụng nó để giải quyết một số bài toán tích phân suy . 4 KH&CN QUI