Sử dụng hàm xấp xỉ của phần mềm MathCad trong tính toán nội lực và chuyển vị của dầm bằng phương pháp sai phân hữu hạn

Sử dụng hàm xấp xỉ của phần mềm MathCad<br /> trong tính toán nội lực và chuyển vị của dầm<br /> bằng phương pháp sai phân hữu hạn<br /> Apply approximate functions of MathCad software for determining internal forces and<br /> displacement of beams using finite difference method<br /> Hoàng Thị Linh Quyên<br /> <br /> <br /> Tóm tắt 1. Đặt vấn đề<br /> <br /> Bài báo giới thiệu cách giải bài toán dầm có Dầm là cấu kiện chịu lực cơ bản và rộng rãi trong kết cấu công trình. Trong<br /> lí thuyết tính toán, nội lực và chuyển vị dầm được xác định trên cơ sở phương<br /> điều kiện biên bất kỳ bằng phương pháp sai<br /> pháp giải tích và cho lời giải chính xác, nhưng chỉ áp dụng được trong các trường<br /> phân hữu hạn với việc sử dụng các hàm xấp xỉ<br /> hợp đơn giản. Đối với bài toán dầm với điều kiện biên và chịu lực phức tạp việc<br /> trong phần mềm lập trình MathCad. Sử dụng<br /> áp dụng phương pháp giải tích gặp phải các khó khăn về mặt toán học. Cùng với<br /> hàm xấp xỉ của phần mềm Mathcad cho phép sự phát triển của công nghệ thông tin và các công cụ lập trình các bài toán phức<br /> giảm đáng kể số lượng lưới sai phân mà vẫn tạp đã có thể giải quyết được bằng cách áp dụng các phương pháp số. Một trong<br /> đạt được kết quả chính xác tương đối theo những phương pháp số phổ biến hiện và được phát triển hiện nay là phương<br /> yêu cầu. pháp sai phân hữu hạn.<br /> Từ khóa: phương pháp sai phân hữu hạn, dầm, Phương pháp sai phân hữu hạn là phương pháp số gần đúng để giải các<br /> hàm xấp xỉ trong MathCad phương trình vi phân hoặc các phương trình đạo hàm riêng trên cơ sở thay thế<br /> các đạo hàm trong các phương trình vi phân và các điều kiện biên bằng hiệu<br /> của các giá trị hàm tương ứng giữa một khoảng chia hữu hạn. Áp dụng phương<br /> Abstract pháp sai phân hữu hạn đưa việc giải hệ các phương trình vi phân về việc giải hệ<br /> This paper presents an approach to solve phương trình đại số. Tuy nhiên, sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn chỉ cho<br /> problem of beams with any constraints using phép xác định giá trị hàm tại các điểm nút, giá trị nội lực và chuyển vị tải các điểm<br /> finite difference method with the applying còn lại được xác định bằng cách nội suy. Để đơn giản hóa trong việc xây dựng lời<br /> of approximate functions in the MathCad giải người ta giả thiết rằng các giá trị các đại lượng cần tìm giữa các khoảng chia<br /> programming software. Using the approximate thay đổi theo quy luật tuyến tính, điều đó dẫn tới sai số lớn khi tính toán nội lực<br /> functions of MathCad software gives a significant và chuyển vị của dầm vì các đại lượng cần tìm trong bài toán dầm có mối liên hệ<br /> reduction of mesh number in the achieving of vi phân bậc 2, bậc 3, bậc 4. Vì vậy để kết quả bài toán giải theo phương pháp sai<br /> relative accuracy results. phân hữu hạn được chính xác thường phải chia lưới sai phân rất nhỏ, dẫn tới khối<br /> Key words: finite difference method, beam, lượng tính toán lớn. Đây chính là điểm yếu của phương pháp sai phân hữu hạn.<br /> approximate functions in MathCad Ngày nay, với sự phát triển của công nghệ thông tin, các phần mềm ứng dụng<br /> có các hàm tính nội suy bậc cao cho phép giải bài toán với độ chính xác cao mà<br /> không cần phải chia quá nhỏ lưới sai phân trong phương pháp sai phân hữu hạn.<br /> Nội dung bài báo này sẽ trình bày cụ thể việc sử dụng các hàm nội suy trong phần<br /> mềm lập trình MathCad bằng phương pháp sai phân hữu hạn để tính toán nội lực<br /> và chuyển vị cho dầm bất kỳ.<br /> <br /> 2. Phương pháp sai phân hữu hạn trong tính toán nội lực và chuyển vị của<br /> dầm<br /> 2.1. Phương pháp sai phân hữu hạn cho hàm một biến<br /> Xét hàm một biến y(x) liên tục trong miền xác định của nó. Gọi ∆x là bước sai<br /> phân. Ta có giá trị của hàm tại điểm chia thứ n là yn. Trên hình 1 thể hiện đồ thị<br /> biểu diễn hàm tính theo phương pháp sai phân hữu hạn.<br /> Đạo hàm trong các phương trình được biểu thị bằng các sai phân của hàm<br /> như sau<br /> • Đạo hàm cấp 1:<br /> ThS. Hoàng Thị Linh Quyên<br /> Bộ môn Sức bền vật liệu – Cơ học kết cấu, dy ∆y yn+1 − yn−1<br /> Khoa Xây dựng ≈ n =<br /> Email: hoanglinhquyen@gmail.com dx n ∆x 2∆x (1)<br /> Điện thoại: 084.974688919<br /> • Đạo hàm cấp 2:<br /> <br /> d2 y ( y − 2yn + yn−2 )<br /> ≈ n+ 2<br /> Ngày nhận bài: 29/5/2017<br /> 4 ( ∆x )<br /> 2 2<br /> Ngày sửa bài: 10/6/2017<br /> dx n<br /> (2)<br /> Ngày duyệt đăng: 05/10/2018<br /> • Đạo hàm cấp 4:<br /> <br /> <br /> S¬ 32 - 2018 33<br />  KHOA H“C & C«NG NGHª<br /> <br /> <br /> d4 y ∆ 4 yn<br /> ≈<br /> dx 4 n ( ∆x )4<br /> <br /> yn+ 2 − 4yn+1 + 6yn − 4yn−1 + yn−2<br /> =<br /> ( ∆x )<br /> 4<br /> <br /> (3)<br /> 2.2. Hệ phương trình sai phân tính nội lực và chuyển<br /> vị của<br /> dầm<br /> Xét dầm chịu tải trọng như hình 2, theo lý thuyết tính toán<br /> của sức bền vật liệu ta có mối liên hệ vi phân giữa các đại<br /> lượng độ võng, mômen uốn, lực cắt và tải trọng phân bố như<br /> sau:<br /> <br /> d 2M<br /> =q<br /> Hình 1. Đồ thị biểu diễn hàm theo phương pháp sai<br /> dx 2 (4)<br /> phân hữu hạn 2<br /> d y M<br /> =<br /> dx 2 EI x<br /> (5)<br /> <br /> d y 4<br /> q <br /> =<br /> dx 4 EI x<br /> (6)<br /> <br /> Trong đó M: mômen uốn có chiều dương nếu căng thớ<br /> Hình 2. Sơ đồ tải trọng và chuyển vị của dầm dưới ;<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 3. Đồ thị minh họa hàm nội suy tuyến tính Hình 4. Đồ thị minh họa nội suy lập phương dùng các<br /> véctơ hệ số cspline<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 5. Đồ thị minh họa nội suy lập phương dùng các Hình 6. Đồ thị minh họa nội suy lập phương dùng các<br /> véc tơ hệ số pspline véc tơ hệ số lspline<br /> <br /> <br /> 34 T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C - XŸY D¼NG<br />  lượng tính toán phức tạp. Trong phần mềm MathCad có các<br /> hàm nội suy cho phép xấp xỉ hóa tập hợp các giá trị rời rạc<br /> (x, y) và dùng các hàm này cho phép xác định các đại lượng<br /> nội lực và chuyển vị của dầm bằng phương pháp sai phân<br /> hữu hạn.<br /> 3.1. Các hàm xấp xỉ nội suy<br /> 3.1.1. Hàm nội suy tuyến tính<br /> Hình 7. Dầm 2 đầu ngàm<br /> Hàm nội suy tuyến tính là hàm nội suy đơn giản nhất, là<br /> tập hợp của các quan hệ cần tìm A{X} biểu diễn theo đường<br /> q: cường độ tải trọng phân bố, chiều dương hướng từ gấp khúc. Hàm nội suy A{X} gồm các đoạn thẳng nối các<br /> dưới lên trên ; điểm chia như thể hiện trên hình 1.<br /> y(x): chuyển vị của dầm; Để thiết lập hàm nội suy tuyến tính người ta dùng hàm<br /> EIx: độ cứng chống uốn. linterp(x, y, t) – là hàm xấp xỉ các véctơ x và y theo quan hệ<br /> Áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn ta có các tuyến tính trên từng đoạn, trong đó :<br /> phương trình đại số xác định mô men uốn và chuyển vị của x – véctơ biến số, các phần tử được xếp theo thứ tự tăng<br /> dầm như sau: dần;<br /> y – véctơ giá trị tương ứng;<br /> ∆ x 2 qn<br /> Mn−1 − 2Mn + Mn+1 = (7) t – giá trị biến số mà tại điểm đó cần thực hiện phép nội<br /> 2 suy.<br /> ∆ x Mn<br /> yn−1 − 2yn + yn+1 = 3.1.2. Hàm nội suy lập phương<br /> EIx (8) Trong thực tế thì nếu cần phải nối các điểm với nhau thì<br /> 4 thường ít nối bằng các đường thẳng gấp khúc mà người ta<br /> ∆ x qn hay nối bằng đường cong mịn để tăng độ chính xác. Để làm<br /> yn−2 − 4yn−1 + 6yn − 4yn+1 + yn+ 2 =<br /> EIx (9)<br /> được điều đó thì người ta thường dùng đường nội suy spline<br /> bậc 3, tức là các đoạn được nối với nhau bằng đường cong<br /> 3. Hàm xấp xỉ nội suy trong MathCad khi tính toán nội bậc 3. Sử dụng hàm interp(s, x, y, t) – hàm xấp xỉ các véctơ x<br /> lực và chuyển vị của dầm và y bằng spline lập phương như thể hiện trên hình 3 , trong<br /> đó ngoài các véc tơ x,y,t giống hàm nội suy tuyến tính thì còn<br /> MathCad là một phần mềm lập trình toán học tương đối bổ sung thêm các véc tơ sau:<br /> phổ biến hiện nay và được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh<br /> vực liên quan tới phương pháp tính. Đây là phần mềm toán s – véctơ đạo hàm bậc 2, được suy ra từ các hàm cspline,<br /> học đơn giản và giúp giải quyết hiệu quả các bài toán có khối pspline hoặc lspline;<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 8. Đồ thị so sánh kết quả tính nội lực và chuyển vị bằng phương pháp sai phân hữu hạn và hàm nội suy<br /> lập phương với véc tơ hệ số cspline lập phương<br /> <br /> <br /> S¬ 32 - 2018 35<br />  KHOA H“C & C«NG NGHª<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 9. Đồ thị so sánh kết quả tính nội lực và chuyển vị bằng phương pháp sai phân hữu hạn và hàm nội suy<br /> lập phương với véc tơ hệ số pspline lập phương<br /> <br /> lspline(x, y) – véctơ giá trị các hệ số spline tuyến tính; Nghiệm giải tích của bài toán này có thể viết dưới dạng<br /> pspline(x, y) – véctơ giá trị hệ số spline bình phương; sau:<br /> cspline(x, y) – véctơ giá trị hệ số spline lập phương; q ql q ⋅l2<br /> V (z) =<br /> − z4 + z3 − ⋅ z2<br /> x, y – véc tơ dữ liệu đầu vào. 24 EI x 12 EI x 24 EI x ;<br /> 3.2. Sử dụng các hàm xấp xỉ nội suy trong bài toán dầm<br /> Khi sử dụng các hàm xấp xỉ trong phần mềm ứng dụng q ql 2 q ⋅ l 2<br /> ϕ (z) =<br /> − z3 + z − ⋅z<br /> MathCad cho phép giải bài toán tính nội lực và chuyển vị của 6 EI x 4 EI x 12 EI x ;<br /> dầm có điều kiện biên bất kì chịu tải trọng. Để minh họa việc<br /> triển khai các thao tác lập trình trong MathCad ta xét bài toán q ql q ⋅l2<br /> dầm liên kết 2 đầu ngàm chịu uốn dưới tác dụng của tải trọng − z2 + z −<br /> M x (z) =<br /> phân bố đều q như thể hiện trên hình 7. 2 2 12 ;<br /> <br /> Bảng 1. So sánh giá trị nội lực và chuyển vị lớn nhất Bảng 2. Sai số của các hàm độ võng, góc xoay, mô<br /> của dầm theo phương pháp giải tích và phương pháp men uốn và lực cắt khi tính theo phương pháp sai<br /> sai phân hữu hạn phân hữu hạn sử dụng hàm nội suy khác nhau và<br /> phương pháp giải tích<br /> Tính theo phương<br /> Tính theo Sai số (%)<br /> pháp SPHH Sai số các hàm mômen, lực cắt, góc xoay và<br /> Đại lượng phương<br /> với bước sai phân Δ chuyển vị bằng phương pháp sai phân hữu hạn<br /> pháp giải tích<br /> Δ=0.06m có sử dụng hàm nội suy có véc tơ khác nhau và<br /> Đại lượng phương pháp giải tích<br /> l<br /> M xmax = M   22.5 kNm 22.44 0.27 Véc tơ hệ số Véc tơ hệ số Véc tơ hệ số<br /> 2 cspline pspline lspline<br /> <br /> Qymax = Q ( 0 ) 45 kN 44.1 2 ∆M 0.21% 0.85% 4.5%<br /> <br /> 0.26% 1.2% 4.6%<br /> l ∆Q<br /> ϕmax =ϕ  0.024 rad 0.023 5.6<br /> 2 0.28% 3.2% 5.4%<br /> ∆ϕ<br /> l 0.5 % 4.1% 6.2%<br /> Vmax = V   7.604x103 m 7.026x103 7.6 ∆V<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 36 T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C - XŸY D¼NG<br /> Hình 10. Đồ thị so sánh kết quả tính nội lực và chuyển vị bằng phương pháp giải tích và phương pháp sai<br /> phân hữu hạn có sử dụng hàm nội suy lập phương với véc tơ hệ số lspline lập phương<br /> <br /> <br /> ql Khi áp dụng hàm xấp xỉ nội suy khác nhau ta thu được<br /> Qy (z) =−qz + các đồ thị như hình 8, hình 9, hình 10.<br /> 2 (10)<br /> Bảng 2 thể hiện các sai số của các hàm độ võng, góc<br /> Từ công thức (10) thấy rằng chuyển vị của thanh là 1 xoay, mômen uốn và lực cắt tương ứng tính theo phương<br /> đường cong bậc 4, góc xoay của tiết diện được biểu thị bằng pháp giải tích xác định bằng công thức (10) và tính theo<br /> đường cong bậc 3, mômen uốn là đường cong bậc 2, lực cắt phương pháp sai phân hữu hạn hạn trong khoảng l=6m với<br /> là đường bậc nhất. Điều này có nghĩa là khi giải bài toán này bước sai phân Δx=0.5m có sử dụng hàm xấp xỉ nội suy lập<br /> bằng phương pháp sai phân hữu hạn hàm xấp xỉ lực cắt giữa phương với các véc tơ hệ số khác nhau.<br /> các điểm chia trong từng đoạn được chọn là hàm bậc nhất,<br /> hàm xấp xỉ mômen được chọn là hàm bậc 2, tương tự hàm 5. Kết luận<br /> góc xoay tiết diện là bậc 3, và để xấp xỉ hàm chuyển vị giữa Sử dụng hàm xấp xỉ nội suy trong tính toán nội lực và<br /> các điểm chia cần phải dùng hàm bậc 4. Như vậy, giả thiết chuyển vị của dầm bằng phương pháp sai phân hữu hạn<br /> về sự phân bố bậc nhất của các hàm chuyển vị, góc xoay, cho phép giảm đáng kể khối lượng tính toán.<br /> mô men uốn và lực cắt giữa các điểm chia trong từng đoạn Việc lựa chọn và sử dụng véctơ hệ số ảnh hưởng rõ rệt<br /> của phương pháp sai phân hữu hạn dẫn đến sai số tương tới độ chính xác của kết quả tính toán./.<br /> đối lớn. Vì vậy, ta dùng các hàm nội suy như đã nêu trên để<br /> áp dụng vào bài toán.<br /> <br /> 4. Ví dụ tính toán T¿i lièu tham khÀo<br /> 1. Võ Như Cầu (2005), Tính kết cấu theo phương pháp phần tử<br /> Trong phạm vi bài báo, tác giả thực hiện ví dụ dầm liên hữu hạn. Nhà xuất bản Xây dựng.<br /> kết 2 đầu ngàm có chiều dài l=6m như hình 7, được làm<br /> 2. Nguyễn Mạnh Yên, Phương pháp số trong cơ học kết cấu,<br /> từ thép với môđun đàn hồi E=2.15x108 KPa và có mặt cắt NXB khoa học và kỹ thuật, Hà Nội, 2000.<br /> ngang hình chữ nhật có kích thước là bxh=0.22x0.45 m, chịu<br /> 3. Nguyễn Tiến Cường (dịch sách của giáo sư, phó tiến sĩ<br /> tải trọng q=15kN/m phân bố đều. Dưới đây là kết quả tính KHKT T.Karaminxki), Phương pháp số trong cơ học kết<br /> toán nội lực và chuyển vị bằng phương pháp sai phân hữu cấu, NXB Khoa Học và Kỹ Thuật, Hà Nội, 1985.<br /> hạn có sử dụng hàm nội suy khác nhau: 4. Макаров Е.Г., Инженерные расчеты в MathCad: Учеб.<br /> Các giá trị lớn nhất của độ võng, góc xoay, mômen uốn và Курс. СПБ, 2005.<br /> lực cắt theo công thức giải tích (10) như thể hiện trong bảng 5. Бакушев С.В., Расчёт конструкций методом конечных<br /> 1. Sai số giữa các hàm độ võng, góc xoay, mô men uốn và разностей с использованием аппроксимирующих<br /> lực cắt tương ứng tính theo công thức giải tích (10) và tính функций MathCad 2015.<br /> theo phương pháp sai phân hữu hạn trong khoảng l=6m với<br /> bước sai phân thể hiện trong bảng 1.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> S¬ 32 - 2018 37<br />