Sử dụng phương pháp biến phân đánh giá ảnh hưởng của hình dạng cung trượt đến hệ số an toàn ổn định mái dốc

BÀI BÁO KHOA HỌC<br /> <br /> <br /> <br /> SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN ĐÁNH GIÁ ẢNH HƯỞNG CỦA<br /> HÌNH DẠNG CUNG TRƯỢT ĐẾN HỆ SỐ AN TOÀN ỔN ĐỊNH MÁI DỐC<br /> <br /> Nguyễn Thái Hoàng1, Đào Văn Hưng1<br /> <br /> Tóm tắt: Bài báo giới thiệu kết quả nghiên cứu ảnh hưởng của hình dáng cung trượt đến hệ số an<br /> toàn ổn định mái dốc đồng chất. Tác giả tiến hành so sánh cho ba dạng cung trượt: hình trụ tròn,<br /> parabol và hàm đa thức bậc ba đầy đủ. Nghiên cứu được tiến hành bằng việc áp dụng phương pháp<br /> biến phân, là phương pháp dựa trên việc giải phương trình vi phân Euler-Lagrange tìm ra mối liên<br /> hệ giữa phương trình cung trượt và phương trình mô tả quy luật phân bố ứng suất pháp dọc theo<br /> cung trượt. Phương pháp này thỏa mãn tất cả các phương trình cân bằng tĩnh học của khối đất<br /> cũng như các điều kiện biên ở hai điểm mút của mặt trượt theo ứng suất và phương của mặt trượt.<br /> Từ khóa: Hệ số an toàn ổn định, phương pháp biến phân, cung trượt, ứng suất.<br /> <br /> 1. MỞ ĐẦU1 hạn bằng cách giảm trị số của các chỉ tiêu cường<br /> Công trình thủy lợi, cũng như các công trình độ chống cắt của các lớp đất bên trong nó.<br /> giao thông, công trình dân dụng có thể được xây Theo quan điểm do Fellenius khởi xướng<br /> dựng trên nền phẳng ngang hoặc trên nền dốc. (Fellenius,1936), trong tính toán thường sử<br /> Nền đất, mái dốc đất đắp, mái dốc hố móng đều dụng giá trị tới hạn của cường độ chống cắt<br /> được gọi chung là khối đất và việc phân tích ổn tương ứng với trạng thái tới hạn của khối đất và<br /> định của khối đất là một trong những bài toán được xác định theo công thức sau:<br /> quan trọng của Địa kỹ thuật. Quá trình mất ổn τ gh f σ  c<br /> τk    f k σ  ck , (1)<br /> định và bị phá hoại của mái dốc rất phức tạp, k k<br /> việc hình thành vùng biến dạng dẻo và mặt trượt trong đó: k - là hệ số an toàn ổn định, fk, ck là<br /> diễn ra từ từ kèm theo sự biến đổi đáng kể về các giá trị tới hạn của các chỉ tiêu cường độ<br /> thể tích và hình dáng của khối đất. chống cắt.<br /> Mục đích của việc phân tích ổn định mái dốc Điểm chưa hoàn thiện lớn nhất của các<br /> là xác định mức độ an toàn thông qua giá trị của phương pháp này là không thỏa mãn các điều<br /> hệ số an toàn ổn định. Hệ số an toàn ổn định kiện cân bằng tĩnh học của khối đất trượt cũng<br /> thường được xác định bằng các phương pháp sử như từng phân tố của nó, bỏ qua các điều kiện<br /> dụng thuyết bền Mohr-Coulomb. biên và một số phương pháp phải giả định trước<br /> Dựa vào các giả thiết được sử dụng, các cung trượt với hình dáng nhất định (Fredlund<br /> phương pháp này có thể được chia làm ba D.G, Krahn J, 1977).<br /> nhóm, phổ biến nhất là nhóm các phương pháp Nhằm mục đích khắc phục những điểm chưa<br /> sử dụng giả thiết khi mái đất bị phá hỏng, mặt hoàn thiện trên, bài báo giới thiệu phương pháp<br /> trượt hình thành thì chỉ có các điểm trên mặt biến phân (Bukhartsev V.N, Nguyen Т.H, 2012),<br /> trượt đạt đến trạng thái cân bằng giới hạn theo trong đó không chỉ thỏa mãn các phương trình<br /> thuyết bền Morh-Coulomb. Trong các phương cân bằng tĩnh học của khối đất cũng như từng<br /> pháp thuộc nhóm này, khối đất ở trạng thái cân phân tố mà còn thỏa mãn các điều kiện biên ở<br /> bằng bền được đưa đến trạng thái cân bằng giới hai điểm mút của mặt trượt theo ứng suất pháp<br /> và phương của mặt trượt. Phương pháp này có<br /> thể dùng để khảo sát ảnh hưởng của các yếu tố<br /> 1<br /> Khoa Công trình, Trường Đại học Thủy lợi. khác nhau đến hệ số an toàn ổn định mái dốc.<br /> <br /> <br /> 98 KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 57 (6/2017)<br />  Trong khuôn khổ bài báo này nhóm tác giả sẽ trên mặt trượt; z = z(x): hàm liên tục và khả vi,<br /> trình bày ảnh hưởng của một trong các yếu tố miêu tả mặt trượt; z': đạo hàm của hàm số z(x)<br /> đóng vai trò quan trọng đến hệ số an toàn ổn theo x trong khoảng [x0; xn].<br /> định đó là hình dạng của cung trượt. Lấy tích phân cho toàn miền từ x0 đến xn ta<br /> 2. NỘI DUNG VÀ KẾT QUẢ NGHIÊN thu được hệ ba phương trình cân bằng sau:<br /> CỨU xn<br />  E E <br /> Nghiên cứu được tiến hành với các mái dốc  τ k  xnn  x00  q x  z σ  dx  0 (5)<br /> đồng chất, đối với các các mái dốc này bài toán x 0<br /> biến phân có thể được diễn đạt như sau: Đối với xn<br />  Tn  T0 <br /> mái dốc đồng chất hình dáng tùy ý, chịu tác  τ k z   q z  σ dx  0 (6)<br /> x  x n  x0 <br /> dụng của tải trọng bất kỳ, yêu cầu xác định mặt 0<br /> xn<br /> trượt, đi qua hai điểm cho trước (x0; z0), (xn; zn), Mn M0 (zn  z0 )En<br /> tương ứng với giá trị cực trị của hàm số ck khi T <br /> x<br /> n<br /> xn  x0<br />  τk[(x x0 )z (z z0 )] (7)<br /> 0<br /> cho trước giá trị fk. Ngoài ra tất cả các hàm số m(zz0 )qx (x x0 )qz σ(z z0 )z (x x0 )dx 0<br /> phải thỏa mãn các điều kiện biên và các phương<br /> Hệ phương trình này chứa 5 ẩn là các hàm<br /> trình cân bằng tĩnh học.<br /> số: Е, Т, М, z và σ, như vậy bài toán đánh giá<br /> Sơ đồ tính toán hệ số an toàn của mái đất ổn định mái dốc theo sơ đồ phẳng là bài toán<br /> trong điều kiện bài toán phẳng với mặt trượt bất<br /> với hai bậc không xác định. Các phương pháp<br /> kỳ được biểu diễn trong hình 1. đánh giá ổn định mái dốc theo phương pháp cân<br /> bằng giới hạn phổ biến hiện nay thường giả định<br /> trước mặt trượt và bổ sung một giả thiết khác<br /> trực tiếp hay gián tiếp giúp xác định được giá trị<br /> ứng suất pháp σ.<br /> Trong phương pháp biến phân, giá trị tới hạn<br /> của một tham số chống cắt khi cho trước giá trị<br /> của tham số kia được xác định từ phương trình là<br /> Hình 1. Sơ đồ tính: a) Mái dốc và cung trượt; tổ hợp của hệ ba phương trình cân bằng trên, trong<br /> b) Các lực tác dụng lên phân tố. đó vai trò các phương trình này là như nhau:<br /> F5  F 6  1 ( F1  F 2 )   2 ( F3  F 4 )  0<br /> Hệ phương trình cân bằng tĩnh học viết cho (8)<br /> một phân tố thẳng đứng có chiều rộng dx, chiều với 1 ,  2 : là các hệ số tự do;<br /> cao h được ký hiệu như trong hình 1 có dạng trong đó:<br /> 1 1<br /> như sau: En  E0<br /> F1    dX ; F2   ( q x   Z  )dX ;<br />  Х  0: q x dx  dE  z  dx   dx  0 (2) 0 0<br /> xn  x0<br />  Z  0: q z dx  dT  dx  z  dx  0 (3) 1<br /> F3    Z dX ;<br />  M  0: mdx  dM  z E dx  Tdx  0 (4) 0<br /> <br /> trong đó: qx, dx, qz dx: các thành phần hợp 1<br /> Tn  T0<br /> F4   (q z    )dX ;<br /> lực của các tải trọng phân bố mặt và thể tích 0<br /> xn  x0<br /> theo phương đứng và phương ngang; m = qx b, 1<br /> <br /> mômen của tải trọng ngang có cường độ qx đối F5    ( XZ   Z )dX ;<br /> 0<br /> với trung điểm của đáy phân tố; E, T: lực tương<br /> 1 <br /> M  M0 m <br /> tác giữa các phân tố, là tổng hợp lực của tất cả Zn En  Tn  n   Z qx  X qz <br /> F6    xn  x0 xn  x0 dX;<br /> các ứng suất pháp và ứng suất tiếp, tác dụng lên 0<br />  <br />  (Z Z   X ) <br /> cạnh thẳng đứng của phân tố; М = Еа: mômen<br /> của lực Е gây ra đối với đáy phân tố; , : các x  x0 z  z0 dZ<br /> với: X  ,Z  , Z  .<br /> thành phần ứng suất tác dụng lên hạt đất nằm xn  x0 x n  x0 dX<br /> <br /> <br /> KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 57 (6/2017) 99<br />  Sau khi thay vào phương trình (8) các biểu Giá trị tới hạn của tham số chống cắt ck, được<br /> thức Fi (i=1,...,6) và biến đổi tương đương ta xác định từ phương trình (9) là phiếm hàm của<br /> thu được biểu thức xác định chỉ số lực dính tới hàm số Z(X) với hàm số σ(X) chưa xác định. Để<br /> hạn ck: giải quyết bài toán đặt ra, hàm số dưới dấu tích<br /> 1<br /> P phân F=P/J trong biểu thức (9) phải thỏa mãn<br /> ck   dX (9)<br /> 0<br /> J phương trình vi phân Euler-Lagrange:<br /> với: P  Q   , F d  F <br />   0 (13)<br /> 1  Z d X   Z <br /> J    X   Z   Z   dX<br /> 0<br /> 2 1  0,<br /> Thay các biểu thức xác định P, J và σ vào (13),<br /> λ1(En  E0)+λ2(Tn T0)  Мn  М0  m sau khi biến đổi ta thu được phương trình sau:<br /> Q ZnEn Tn  ψ1s  ψ 2 s   ψ3  0<br /> xn  x0 (14)<br />  (X  λ2 )qz  (Z  λ1)qx , trong đó:<br />    X  λ 2 1  f k Z    Z  λ1 Z   f k .  1  <br /> ψ1  2f k J  ψ    λ 2 ψ Z <br /> Để hàm số σ thỏa mãn các điều kiện biên tại  2  <br /> hai điểm mút của mặt trượt nó phải có ít nhất  1  <br /> Jf k X  λ 2   Z  λ1     λ 2 ψZ  J,<br /> hai hệ số tự do. Chúng ta biểu diễn hàm số σ  2  <br /> dưới dạng tổng của hai hàm số liên tục và khả vi  1  <br /> ψ 2  Jf k X  λ 2   Z  λ1     λ 2 ψ Z,<br /> trong khoảng X  (0; 1] :   2  <br /> σ  σ 0  σ n  σ 0 X  sZ (10) 1 <br /> ψ 3  Q    λ 2 Q   J<br /> Q<br /> <br /> Các giá trị σ0 và σn phụ thuộc vào tải trọng tại 2  Z<br /> các điểm mút của mặt trượt. Đối với ví dụ  1  <br /> 2 f k J  ψ   2  λ2 ψ  0   n   0  X  <br /> chúng ta đang xét, điều kiện biên về ứng suất    <br /> pháp tại hai đầu mút cung trượt tương ứng với  1  <br /> thuyết bền Morh-Coulomb được xác định như  J  f k  X  λ2   Z  λ1     λ2 ψ  n   0 .<br />   2  <br /> sau (Bukhartsev V.N, Nguyen Т.H, 2013): Nghiệm của phương trình vi phân (14) có xét<br /> (11)<br /> σ0 <br /> 2<br /> <br /> γđ h 0 1  f  f  c  , σn <br /> c đến điều kiện biên có dạng như sau:<br /> 1 f 2<br /> 1 f 2 s  s1eu   (15)<br /> 1 1<br /> với: γđ trọng lượng riêng của đất, h0 độ sâu 1 ψ<br /> với: u   dX ,   e u  3 e u dX , s1 hệ số<br /> của khe nứt đứng, có thể được tạo ra ở đầu mặt X<br /> 2 X<br /> 2<br /> bất kỳ.<br /> trượt do một tác động mạnh tức thời nào đó gây Thay vào phương trình (10) ta có:<br /> ra ví dụ động đất.    0   n   0 X  Z (16)<br /> Giá trị của h0 được xác định theo thuyết bền Biểu thức (16) nêu lên mối quan hệ giữa hai<br /> Mo thay đổi trong khoảng như sau (Bukhartsev<br /> hàm số chưa biết là Z và σ. Nếu biết hàm Z<br /> V.N, Nguyen Т.H, 2013) :<br /> chúng ta sẽ xác định được hàm σ.<br /> ck<br /> γđ<br />  1 f k<br /> 2<br /> <br />  f k  h0 <br /> 2ck<br /> γđ<br />  1 f k<br /> 2<br />  fk  Giá trị của hai hệ số 1 ,  2 được xác định từ<br /> (12)<br /> hai phương trình cân bằng (5) và (6), phương<br /> Để thuận tiện cho tính toán (12) được viết lại<br /> trình cân bằng còn lại (7) được dùng để xác định<br /> dưới dạng sau:<br /> giá trị của hệ số an toàn k.<br /> h0  а<br /> ck<br /> γđ<br />  1 f 2<br /> k  fk  (12’)<br /> Như vậy phương pháp biến phân đưa bài<br /> với: а  1; 2 hệ số tỷ lệ. toán đánh giá ổn định mái dốc với hai bậc tự do<br /> <br /> <br /> 100 KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 57 (6/2017)<br /> về bài toán có một bậc tự do bằng cách sử dụng Với: β = arc tg(1/m).<br /> phương trình vi phân Euler-Lagrange. Bằng việc Kết quả nghiên cứu được thể hiện trên hình 2.<br /> giảm đi một giả thiết phương pháp biến phân<br /> giúp nâng cao độ tin cậy trong các kết quả tính<br /> toán so với các phương pháp cùng nhóm.<br /> Sử dụng phương pháp biến phân như trình<br /> bảy ở trên, nhóm tác giả tiến hành nghiên cứu<br /> ảnh hưởng của hình dạng cung trượt đến hệ số<br /> an toàn ổn định mái dốc đồng chất. Nghiên cứu<br /> được tiến hành với mái dốc có chiều cao<br /> H=10m, hệ số mái m=2 và trọng lượng riêng Hình 2. Đường quan hệ giữa các giá trị tới hạn<br /> của đất γđ=17kN/m3. của các chỉ tiêu cường độ chống cắt với các<br /> Nhóm tác giả tiến hành nghiên cứu cho ba dạng cung trượt khác nhau: 1. cung trụ tròn;<br /> dạng cung trượt là: cung trụ tròn, parabol và đa 2. parabol; 3. đa thức bậc 3 đầy đủ<br /> thức bậc ba đầy đủ. Phương trình giải tích của<br /> Kết quả nghiên cứu cho thấy mặt trượt hình<br /> các dạng mặt trượt này như sau:<br /> trụ tròn nguy hiểm nhất đối với các loại đất rời<br /> 1) Cung trụ tròn<br /> 2<br /> (cụ thể đối với ví dụ mái dốc đang nghiên cứu là<br /> z  zс  r 2   x  xc  fk > 0,364). Đối với các loại đất dính (trong<br /> (17)<br /> Với xc, zc, r – tọa độ tâm cung tròn và bán khoảng phân bố còn lại của fk) mặt trượt nguy<br /> kính cung tròn. hiểm nhất là dạng đa thức bậc 3. Mặt trượt dạng<br /> 2) Parabol parabol là ít nguy hiểm nhất trong ba loại trên,<br />  z   z n 2  ngoài ra nó có thể xẩy ra với một khoảng nhất<br /> z  z 0   z 0 X  0 X   xn  x0  định của giá trị fk.<br />  2  (18)<br /> Kết quả nghiên cứu còn chỉ ra rẳng, trong số<br /> 3) Hàm bậc ba đầy đủ<br /> các mặt trượt giao với mái dốc thì mặt trượt nguy<br />   zn  z0  <br />  z0 X   3  2 z 0  z n  X 2   hiểm nhất là mặt trượt đi qua chân mái dốc.<br />  n x  x <br /> z  z 0   x  x <br /> 0<br />  n 0 (19) 3. KẾT LUẬN<br />  <br />  z0  z n  2 z n  z0  X 3 <br />  xn  x0   Phương pháp biến phân đã khắc phục được<br /> một số điểm chưa hoàn thiện của nhóm các<br /> Đối với ví dụ chúng ta đang xét, các giá trị<br /> phương pháp sử dụng thuyết bền Morh-Coulomb.<br /> đạo hàm của hàm số miêu tả hình dáng mặt<br /> Trong phương pháp này tất cả các điều kiện<br /> trượt tại hai điểm mút tương ứng với thuyết bền<br /> cân bằng tĩnh học của khối đất trượt cũng như<br /> Morh-Coulomb được xác định như sau:<br /> từng phân tố của nó đều thỏa mãn, ngoài ra còn<br />   <br /> z x0   z 0  tg    (20) thỏa mãn các điều kiện biên ở hai điểm mút<br />  4 2 , của mặt trượt theo ứng suất pháp và phương<br />    của mặt trượt.<br /> z  xn   z n  tg    (21)<br />  4 2 Theo các kết quả nghiên cứu hình dạng cung<br /> Nếu cung trượt giao với mái dốc thì tại vị trí trượt là yếu tố quan trọng ảnh hưởng đến hệ số<br /> điểm cuối cung trượt điều kiện biên về đạo hàm an toàn ổn định của mái dốc, đặc biệt là đối với<br /> sẽ là: các loại đất dính. Nghiên cứu này đặt tiền đề<br />    cho việc tìm ra hình dáng nguy hiểm nhất của<br /> z  xn   z n  tg      (22)<br /> 4 2  cung trượt trên cơ sở phương pháp biến phân.<br /> <br /> <br /> KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 57 (6/2017) 101<br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> Fellenius W, (1936). Calculation of the stability of earth dams. Proceeding of the Second<br /> Congress on Large Dams. Vol. 4.<br /> Fredlund D.G, Krahn J. (1977). Comparison of slope stability methods of analysis. Canadian<br /> Geotechnique Journal. Vol. 14.<br /> Bukhartsev V.N, Nguyen Т.H. (2012). Оценка устойчивости грунтовых массивов.<br /> Инженерно - строительный журнал. №9.<br /> Bukhartsev V.N, Nguyen Т.H. (2013). Учет граничных условий при оценке устойчивости<br /> грунтовых массивов. Инженерно-строительный журнал. №1.<br /> Bukhartsev V.N, Nguyen Т.H. (2014). Применение вариационного метода к оценке<br /> устойчивости обводненных грунтовых откосов. Инженерно-строительный журнал. №6.<br /> <br /> Abstract:<br /> USING VARIATIONAL METHOD TO EVALUATE THE EFFECTS<br /> OF SLIP SURFACE SHAPE ON THE SAFETY FACTOR OF SLOPE STABILITY<br /> <br /> This paper presents the results of the research on the effects of slip surface shape on the safety<br /> factor of homogeneous soil slopes. The investigation has been performed by comparison of three<br /> types of slip surfaces (i.e. circular, parabolic, and third-order polynomial slip surfaces) using the<br /> variational method, which basically based on solving Euler-Lagrange differential equation to find<br /> out the relationship between the slip surface equation and the equation describing the law of<br /> normal stress distribution along the surface. This method satisfies all the equilibrium equations of<br /> the soil mass as well as the boundary conditions at the two endpoints of the slip surface in terms of<br /> the stresses and the direction of the slip surface.<br /> Keywords: slope stability analysis, the factor of safety, variational method, slip surface, boundary<br /> conditions.<br /> <br /> <br /> <br /> BBT nhận bài: 07/6/2017<br /> Phản biện xong: 21/6/2017<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 102 KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 57 (6/2017)<br />