Sử dụng số phức giải câu 8 trong đề thi trung học phổ thông quốc gia môn toán năm 2015 theo 5 cách

Chia sẻ: Thi Thi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

62
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Số phức là một công cụ tốt để giải các bài toán hình học phẳng. Trong bài báo, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ bản của hình học phẳng theo ngôn ngữ của số phức. Từ đó, bài viết đưa ra 5 phương pháp để giải câu hỏi về hình học giải tích trên mặt phẳng trong đề thi Trung học Phổ thông Quốc gia môn Toán năm học 2015 theo ngôn ngữ số phức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sử dụng số phức giải câu 8 trong đề thi trung học phổ thông quốc gia môn toán năm 2015 theo 5 cách

Journal of Science – 2016, Vol. 12 (4), 1 – 8 Part D: Natural Sciences, Technology and Environment SỬ DỤNG SỐ PHỨC GIẢI CÂU 8 TRONG ĐỀ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2015 THEO 5 CÁCH Trần Lê Nam Trường Đại học Đồng Tháp Thông tin chung: Ngày nhận bài: 15/03/2016 Ngày nhận kết quả bình duyệt: 22/04/2016 Ngày chấp nhận đăng: 12/2016 Title: A use of complex numbers to solve the eighth problem by five methods in the 2015 National High School Mathematics Examination in Vietnam Keywords: Complex number, plane geometry, complex geometry Từ khóa: Số phức, hình học phẳng, hình học phức ABSTRACT Complex numbers are efective tools in solving plane geometry problems. In this paper, we present some basic definitions and properties of plane geometry via complex numbers. Then, the paper proposes five methods to solve the plane analytic geometry problem in the 2015 National High School Mathematics Examination in Vietnam through complex numbers. TÓM TẮT Số phức là một công cụ tốt để giải các bài toán hình học phẳng. Trong bài báo, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ bản của hình học phẳng theo ngôn ngữ của số phức. Từ đó, bài viết đưa ra 5 phương pháp để giải câu hỏi về hình học giải tích trên mặt phẳng trong đề thi Trung học Phổ thông Quốc gia môn Toán năm học 2015 theo ngôn ngữ số phức. Ngoài các kết quả về véc-tơ và tích vô hướng, số phức còn có thêm phần tử ảo i. Do đó, nếu chúng ta tận dụng sức mạnh của nó thì việc giải các bài toán hình học giải tích được ngắn gọn, tự nhiên và đẹp. 1. MỞ ĐẦU Căn bậc 2 của số âm xuất hiện trong việc tính toán thể tích kim tự tháp của nhà toán học Hy Lạp, Alexandria ở thế kỷ thứ I sau công nguyên. Tuy nhiên, đến thế kỷ thứ XVI, khái niệm số phức mới chính thức xuất hiện trong công trình của G. Cardano về việc tìm nghiệm đại số của phương trình lập phương (Katz, 2004). Sau đó, số phức được sử dụng rất hiệu quả trong Vật lý và Toán học. Nó là một công cụ tuyệt vời trong việc giải một số dạng toán về đại số, giải tích, hình học và tổ hợp (Nguyễn Hữu Điển, 2000; Li, 2004; Nguyễn Văn Mậu, 2009; Đoàn Quỳnh, 1997; Võ Thanh Vân, 2009). Câu hình học giải tích phẳng trong đề thi Trung học Phổ thông Quốc gia môn Toán năm 2015 là một câu hỏi hay và khó (Bộ Giáo Dục và Đào Tạo, 2015). Theo thống kê của chúng tôi thì hơn 85% thí sinh ở cụm thi Đại học Đồng Tháp là không làm được câu này. Bài viết sẽ giới thiệu sự thể hiện của một số khái niệm trong hình học giải tích phẳng theo ngôn ngữ số phức. Từ đó, chúng tôi đưa ra 5 cách giải bài toán theo ngôn ngữ này. Trong những năm gần đây, việc sử dụng số phức để giải các bài toán hình học trong đề thi IMO tỏ ra khá hữu hiệu (Li, 2004). Khai thác thế mạnh đó, chúng tôi nghĩ đến việc ứng dụng số phức trong giải các bài toán hình học giải tích phẳng. 2. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chúng ta đã biết rằng nhờ song ánh f :  2  , a, b   a  bi nên mỗi điểm 1 Journal of Science – 2016, Vol. 12 (4), 1 – 8 Part D: Natural Sciences, Technology and Environment M a, b  trên mặt phẳng Oxy được đồng nhất véc-tơ bằng các phép toán đó trên các số phức tương ứng. Phép nhân vô hướng 2 véc-tơ được tính theo công thức: với một số phức z M  a  bi. Theo cách đồng   1 a .b  Re za .zb  za .zb  za .zb . 2  Đặc biệt, độ dài của a được tính theo công thức  a  za .za .  nhất đó thì véc-tơ OM có tọa độ là z M (Hình 1).  Nói cách khác, véc-tơ a a, b  cũng được đồng nhất với số phức za  a  bi. Khi đó, các phép cộng, trừ hai véc-tơ, nhân một số thực với một    Hình 1. Một điểm và một véc-tơ trên mặt phẳng được đồng nhất với một số phức Tiếp theo, chúng ta thể hiện các khái niệm tâm tỉ cự của 2 điểm, phương trình chính tắc của đường tròn, đường thẳng theo ngôn ngữ của số phức. 2.2 Phương trình chính tắc của đường tròn Do khoảng cách giữa 2 điểm A và B, ký hiệu  d A, B , bằng AB nên chúng ta được Trong mục này, chúng ta cho A, B là 2 điểm phân biệt trên mặt phẳng. d A, B   2.1 Tâm tỉ cự của 2 điểm Điểm M là tâm tỉ cự của 2 điểm A, B ứng với a, b  , a  b  0,    aMA  bMB  0, khi và chỉ khi: cặp hệ số zM  az A  bz B a b zM  2 nghĩa là z  z z  z   R . 2 A A 2.3 Phương trình của đường thẳng   là đường thẳng qua điểm A nhận   a  0 làm véc-tơ chỉ phương. Điểm M nằm trên Giả sử d đường thẳng d  khi và chỉ khi   AM  ta , t  . Điều này tương đương với . đẳng thức: za  z A z B  z A . bán kính R  0 có phương trình dạng: . zM  zA B Từ đó, chúng ta suy ra được đường tròn tâm A, Đặc biệt, M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi zA  zB z  t hay zM  zA za  Do đó, đường thẳng d có phương trình dạng: 2  z  z  A   M .  za  Journal of Science – 2016, Vol. 12 (4), 1 – 8 d  : z  zA za  z  zA za Part D: Natural Sciences, Technology and Environment z  10  d  : 10z  10 10i 10  10i . hay Lý luận tương tự, chúng ta được đường thẳng d ' qua điểm A   d  : z  i z nhận n  0 làm véc-tơ pháp tuyến có phương trình dạng d ' : z  zA z n  z  zA z n  10  10i. Từ đó, chúng ta có bài toán: Trên mặt phẳng phức cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC ; D . là điểm đối xứng của B qua H ; K là hình chiếu AD . vuông góc của C trên đường thẳng AD . Giả sử hai điểm H và K lần lượt có tọa 3. SỬ DỤNG SỐ PHỨC GIẢI CÂU 8 TRONG ĐỀ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM HỌC 2014 - 2015 độ z H  5  5i, z K  9  3i và trung điểm cạnh Trong mục này, chúng tôi sử dụng các kết quả được trình bày trong mục 2 để đưa ra 5 cách giải cho câu 8 trong đề thi Trung học Phổ thông Quốc gia môn Toán năm học 2014 – 2015. AC d  : z  iz thuộc đường thẳng  10  10i. Hãy tìm tọa độ điểm A. ABC vuông tại A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC ; D là điểm đối xứng Thông thường, tọa độ điểm A là nghiệm của hệ gồm 2 phương trình của 2 đường thẳng đi qua A. Lần lượt tìm 2 đường tròn, 1 đường tròn và 1 đường thẳng, 2 đường thẳng đi qua điểm A, của B qua H ; K là hình chiếu vuông góc của chúng ta được 3 cách giải sau. Đề bài. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác C trên đường thẳng   Giả sử H 5, 5 , K 9, 3 và trung điểm cạnh AC d  : x  y  10  0. đường thẳng Cách 1. (Hình 2) Gọi M là trung điểm cạnh AC . Do hai tam giác AHC và AKC lần lượt vuông tại H và K nên 4 điểm A, H , K ,C cùng nằm trên đường thuộc Hãy tìm tọa độ điểm A. tròn tâm M đường kính AC . Do đó, M nằm trên đường trung trực đoạn thẳng HK . Chuyển giả thiết bài toán sang mặt phẳng phức Do đường thẳng d  đi qua hai điểm z 1  10, 0  10 và z 2  0,10  10i  nên d có phương trình dạng: Trung điểm đoạn thẳng HK có tọa độ 2  4i. Chúng ta suy ra được, đường trung trực đoạn thẳng HK có phương trình d ' : 7  i  z  7  i  z 3  20. Journal of Science – 2016, Vol. 12 (4), 1 – 8 Part D: Natural Sciences, Technology and Environment Hình 2. Điểm A nằm trên 2 đường tròn C(M , MA) và C(H , HK). Tọa độ của điểm M là nghiệm của hệ phương trình: Từ (1) và (2), chúng ta được tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:     z  i z  10  10i,   7  i  z  7  i  z  20.         z z  z  z 10i  150,     z z  z  z 5  z  z 5i  150.    Do đó z M  10i và tọa độ điểm A thỏa mãn     a  b  Chúng ta suy ra được z  z  3i z  z phương trình:  hay Re z  3Im z . Do đó, z  3a  ai, a  . C M , MH  :z  10i z  10i   250 Thay z  3a  ai vào phương trình (3a), chúng ta được: hay z .z  10i z  z   150. (1) 10a 2  20a  150. Mặt khác, do AH  BD và hai điểm B, D đối Phương trình trên có nghiệm a  5 và a  3. Từ đó, chúng ta được A  15  5i. xứng nhau qua H nên chúng ta được   Vậy, điểm A có tọa độ bằng 15, 5 .   BAH   HAK . HKA Cách 2. (Hình 3) Chúng ta suy ra được tam giác AHK cân tại H hay điểm A nằm trên đường tròn Theo Cách 1, điểm A nằm trên đường tròn C M , MK . C H , HK . Do đó, tọa độ điểm A thỏa mãn  phương trình:  Mặt khác, do AH  HK nên đường thẳng z  5  5i z  5  5i   200 MH  vuông góc với đường thẳng AK . đó, tọa độ của A là nghiệm của hệ: hay zz  5 z  z   5i z  z   150. (2) 4 Do (3) Journal of Science – 2016, Vol. 12 (4), 1 – 8  Part D: Natural Sciences, Technology and Environment    C M , MA : z  10i z  10i   250,     z  9  3i z  9  3i  AK  :  .    1  3i 1  3i   Hình 3. Điểm A nằm trên đường tròn C(M , MA) và đường thẳng (KD) Hệ phương trình trên tương đương với hệ phương trình Cách 3. (Hình 4)   z z  z  z 10i  150,   1  3i  z  1  3i   0.    điểm K và vuông góc với MH . Mặt khác, gọi Từ phương trình (4b), a   b (4) chúng ta Theo Cách 2, điểm A nằm trên đường thẳng qua   F là điểm đối xứng của K qua điểm M . Khi đó, tứ giác AKCF là một hình chữ nhật và điểm được F có tọa độ z F  9  23i. Chúng ta suy ra Re z  3Im z . Do đó, z  3a  ai, a  .  được đường thẳng AF Thay z  3a  ai vào phương trình (4a), chúng  2  song song với đường  (cùng vuông góc với AK ). ta được 10a  20a  150. thẳng MH Khi đó a  5 hoặc a  3. Do đó, tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình:   Vậy, A  15  5i hay A  15, 5 .   z  9  3i z  9  3i  AK  :  ,    1  3 i 1  3 i   z  9  23i z  9  23i  AF  :  .    1  3i 1  3i   5