Sự hội tụ của dãy lặp hỗn hợp kiểu Ishikawa cho họ ánh xạ thỏa mãn điều kiện trong không gian Hilbert

Chia sẻ: Nguyễn Văn Mon | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

56
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Sự hội tụ của dãy lặp hỗn hợp kiểu Ishikawa cho họ ánh xạ thỏa mãn điều kiện trong không gian Hilbert trình bày một định lí về sự hội tụ của dãy lặp hỗn hợp kiểu Ishikawa cho họ ánh xạ thỏa mãn điều kiện trong không gian Hilbert được thiết lập, từ đó suy ra một số kết quả về sự hội tụ của dãy lặp hỗn hợp kiểu Ishikawa cho ánh xạ không giãn và ánh xạ thỏa mãn điều kiện,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sự hội tụ của dãy lặp hỗn hợp kiểu Ishikawa cho họ ánh xạ thỏa mãn điều kiện trong không gian Hilbert

Tạp chı́ Khoa học Trường Đại học Cầ n Thơ Tập 50, Phần A (2017): 12-20 DOI:10.22144/jvn.2017.061 SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY LẶP HỖN HỢP KIỂU ISHIKAWA CHO HỌ ÁNH XẠ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN (E m ) TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Nguyễn Trung Hiếu và Trương Cẩm Tiên Khoa Sư phạm Toán - Tin, Trường Đại học Đồng Tháp Thông tin chung: Ngày nhận bài: 15/02/2017 Ngày nhận bài sửa: 09/04/2017 Ngày duyệt đăng: 27/06/2017 Title: Some covergences by the hybird Ishikawa iteration for a family of mappings satisfying condition ( E ) in Hilbert spaces ABSTRACT In this paper, a convergence theorem by the hybird Ishikawa iteration for a family of mappings satisfying condition ( E ) in Hilbert spaces is established. Also, some results for the convergence of the hybird Ishikawa iteration for nonexpansive mappings and mappings satisfying condition ( E ) in Hilbert spaces are derived from the obtained theorem. In addition, an example is given to illustrate the convergence for the hybird Ishikawa iteration for a mapping satisfying condition ( E ) in Hilbert spaces. Từ khóa: Ánh xạ đóng đều, ánh xạ thỏa mãn điều kiện ( E ) , dãy lặp hỗn hợp kiểu Ishikawa, không gian Hilbert, sự hội tụ mạnh Keywords: Hilbert space, hybird Ishikawa iteration, mapping satisfying condition ( E ) , strong convergence, TÓM TẮT Bài báo này, một định lí về sự hội tụ của dãy lặp hỗn hợp kiểu Ishikawa cho họ ánh xạ thỏa mãn điều kiện (Em ) trong không gian Hilbert được thiết lập, từ đó suy ra một số kết quả về sự hội tụ của dãy lặp hỗn hợp kiểu Ishikawa cho ánh xạ không giãn và ánh xạ thỏa mãn điều kiện (E ). Đồng thời, nghiên cứu cũng xây dựng ví dụ minh họa cho sự hội tụ của dãy lặp kiểu Ishikawa cho ánh xạ thỏa mãn điều kiện ( E ) trong không gian Hilbert. uniformly closed mapping Trích dẫn: Nguyễn Trung Hiếu và Trương Cẩm Tiên, 2017. Sự hội tụ của dãy lặp hỗn hợp kiểu Ishikawa cho họ ánh xạ thỏa mãn điều kiện ( E ) trong không gian Hilbert. Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ. 50a: 12-20. những dãy lặp tổng quát hơn để nghiên cứu sự hội tụ mạnh của dãy lặp cho ánh xạ không giãn. Năm 2003, Nakajo và Takahashi đã giới thiệu phương pháp hình chiếu (phương pháp CQ) để xây dựng dãy lặp suy rộng từ dãy lặp Mann và được gọi là dãy lặp dạng hỗn hợp kiểu Mann, đồng thời thiết lập được sự hội tụ mạnh của dãy lặp này cho ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Năm 2008, Takahashi et al. đã mở rộng kết quả của Nakajo và Takahashi (2003) cho họ ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert và đề xuất một mở 1 GIỚI THIỆU Trong lí thuyết điểm bất động, vấn đề xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Chìa khóa quan trọng của những xấp xỉ là dãy lặp. Một số loại dãy lặp cơ bản đã được giới thiệu như dãy lặp Mann, dãy lặp Halpern, dãy lặp Ishikawa,… và nhiều kết quả về sự hội tụ yếu cũng như sự hội tụ (mạnh) của những dãy lặp này cho ánh xạ không giãn đã được thiết lập. Gần đây, một số tác giả nghiên cứu xây dựng 12 Tạp chı́ Khoa học Trường Đại học Cầ n Thơ Tập 50, Phần A (2017): 12-20 Bổ đề 1.1. Cho H là một không gian Hilbert thực. Khi đó, với mọi u, v Î H và l Î [0,1], ta có rộng của dãy lặp hỗn hợp kiểu Mann bằng cách bớt đi tập Qn trong dãy lặp của Nakajo và Takahashi (2003) . Năm 2006, Martinez-Yanes và Xu đã sử dụng phương pháp CQ để xây dựng dãy lặp hỗn hợp kiểu Halpern và dãy lặp hỗn hợp kiểu Ishikawa, đồng thời thiết lập được sự hội tụ (mạnh) của những loại dãy lặp này cho ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Sau đó, một số mở rộng của dãy lặp hỗn hợp kiểu Halpern và dãy lặp hỗn hợp kiểu Ishikawa cho ánh xạ không giãn có mối liên hệ tiệm cận trong không gian Banach đã được thiết lập (Kim, 2008; Qin et al., 2008). ||u - v||2 = ||u||2 + ||v||2 - 2 u, v = ||u||2 - || v||2 - 2 u - v, v . ||lu + (1 - l)v||2 = l||u||2 + (1 - l)||v||2 -l(1 - l)||u - v||2 . (2) Bổ đề 1.2. Cho H là một không gian Hilbert thực và C là một tập con lồi đóng khác rỗng trong H . Khi đó, với mỗi x Î H , tồn tại duy nhất phần Bên cạnh việc xây dựng những dãy lặp tổng quát, một số tác giả cũng giới thiệu những mở rộng của ánh xạ không giãn. Năm 2008, Suzuki đã giới thiệu một mở rộng của ánh xạ không giãn và được gọi là ánh xạ thỏa mãn điều kiện (C) và thiết lập một số kết quả ban đầu về sự hội tụ cho ánh xạ thỏa mãn điều kiện (C). Năm 2011, Garcia-Falset et al. đã giới thiệu một tổng quát của ánh xạ thỏa mãn điều kiện (C) và được gọi là ánh xạ thỏa mãn điều kiện ( E ). Đồng thời, một số kết quả ban đầu tử PC x Î C sao cho ||x -PCx|| = inf{||x -y||: y ÎC}. Ta gọi ánh xạ PC : H  C là phép chiếu từ H lên C . Bổ đề 1.3. Cho H là một không gian Hilbert thực và C là một tập con lồi đóng khác rỗng trong H . Khi đó, z = PC x nếu và chỉ nếu x - z , z - y ³ 0 với mọi y Î C . về sự hội tụ cho ánh xạ thỏa mãn điều kiện (E ). Bổ đề 1.4. Cho H là một không gian Hilbert thực và C là một tập con lồi đóng trong H . Khi đó, D = {v Î C : ||y - v||2 £ ||x - v||2 + z, v + a} cũng được thiết lập (Bagherboum, 2016). Tuy nhiên, nhiều kết quả về sự hội tụ của dãy lặp dạng hỗn hợp cho ánh xạ không giãn chưa được khảo sát cho ánh xạ thỏa mãn điều kiện (Em ). Trong bài báo này, bằng cách bớt đi tập (1) là tập lồi và đóng với x, y, z Î H và a Î . Định nghĩa 1.5. Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập con khác rỗng trong H và T : C  C là một ánh xạ. Khi đó, ánh xạ T được gọi là một ánh xạ không giãn trong C nếu ||Tx -Ty|| £ ||x - y|| với mọi x, y Î C . Qn trong dãy lặp kiểu Ishikawa của (Martinez-Yanes và Xu, 2006), nghiên cứu mở rộng kết quả chính về sự hội tụ của dãy lặp dạng hỗn hợp kiểu Ishikawa cho ánh xạ không giãn trong (Martinez-Yanes và Xu, 2006) sang họ ánh xạ thỏa mãn điều kiện Định nghĩa 1.6. Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập con khác rỗng trong H và T : C  C là một ánh xạ. Khi đó, ánh xạ T được gọi là thỏa mãn điều kiện ( E ) (Em ) trong không gian Hilbert. Từ đó, nghiên cứu đưa ra một số kết quả về sự hội tụ của dãy lặp cho ánh xạ không giãn và ánh xạ thỏa mãn điều kiện C nếu tồn tại m ³ 1 sao cho ||x -Ty|| £ m||x -Tx|| + ||x - y|| với mọi x, y Î C . trong (Em ). Đồng thời, bài báo cũng xây dựng ví dụ minh họa cho sự hội tụ của dãy lặp kiểu Ishikawa cho ánh xạ thỏa mãn điều kiện (Em ) trong không Nhận xét 1.7. Mỗi ánh xạ không giãn là một gian Hilbert. ánh xạ thỏa mãn điều kiện (Em ) với m = 1. Trước hết, nghiên cứu trình bày một số khái niệm và kết quả được sử dụng trong bài viết này. Những khái niệm và kết quả này được trích ra từ những kết quả trong (Martinez-Yanes và Xu, 2006; Marino và Xu, 2007; Garcia-Falset et al., 2011; Zhang et al., 2014). Ví dụ sau chứng tỏ rằng tồn tại ánh xạ thỏa mãn điều kiện ( E ) nhưng không là ánh xạ không giãn. Ví dụ 1.8. Cho  là không gian định chuẩn với chuẩn giá trị tuyệt đối, C = [0, 8] là tập con của  và ánh xạ T : C  C được xác định bởi 13 Tạp chı́ Khoa học Trường Đại học Cầ n Thơ Tập 50, Phần A (2017): 12-20 Định nghĩa 1.9. Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập con khác rỗng trong H ìï0 khi x ¹ 8 Khi đó, T là ánh xạ thỏa Tx = ïí ïïî4 khi x = 8. và Tn : C  C mãn điều kiện (Em ) với m = 2 nhưng T không F = là ánh xạ không giãn. Thật vậy, với x , y Î C ta xét các trường hợp sau: là các ánh xạ thỏa mãn ¥  F (Tn ) ¹ Æ. Khi đó, họ n =1 {Tn } được gọi là đóng đều nếu với {x n } là dãy trong C sao Trường hợp 1. x = 8 và y = 8. Ta có cho lim x n = x và lim ||x n - Tn x n || = 0 thì ||x - Ty||=|8 - 4| = 4, ||x - Tx || = |8 - 4| = 4, ||x - y|| = |8 - 8| = 0. Khi đó, ||x -Ty|| = 4 £ 8 = 2||x -Tx|| + ||x -y||. n ¥ n ¥ x Î F. 2 CÁC KẾT QUẢ CHÍNH Trước hết, nghiên cứu thiết lập một số tính chất của tập F (T ) với T là ánh xạ thỏa mãn điều kiện Trường hợp 2. x ¹ 8 và y ¹ 8. Ta có ||x - Ty|| = |x - 0| = x , ||x - Tx || (Em ) trong không gian Hilbert thực. = |x - 0| = x , ||x - y|| = |x - y|. Mệnh đề 2.1. Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập con đóng trong H và Khi đó, ||x -Ty|| = x £2x + |x -y| =2||x -Tx|| + ||x -y||. T : C  C là ánh xạ thỏa mãn điều kiện (E m ). Trường hợp 3. x = 8 và y ¹ 8. Ta có Khi đó, F (T ) là tập đóng trong C . Hơn nữa, nếu ||x - Ty|| = |8 - 0| = 8, ||x - Tx || C là tập lồi thì F (T ) cũng là tập lồi. = |8 - 4| = 4, ||x - y|| = |8 - y|. Chứng minh. Lấy {z n } Ì F (T ) sao cho Khi đó, lim z = z Î C . Do T là ánh xạ thỏa mãn điều n ¥ n ||x - Ty|| = 8 £ 8 + |8 - y| = 2||x - Tx || + ||x - y||. kiện (E m ) nên ||z -Tz|| = ||z - zn + zn -Tz|| Trường hợp 4. x ¹ 8 và y = 8. Ta có £ ||z n - z || + ||z n - Tz || ||x - Ty|| = |x - 4|, ||x - Tx || £ ||z n - z || + m||z n - Tz n || + ||z n - z || = |x - 0| = x , ||x - y|| = |x - 8|. = 2||z n - z ||. Khi đó, Do lim z n = z nên ||z - Tz || = 0. Điều n ¥ ||x - Ty|| = |x - 4| £ 2x + |x - 8| này có nghĩa là z = Tz hay z Î F (T ). Vậy = 2||x - Tx || + ||x - y||. F (T ) là tập đóng. Vậy ||x - Ty|| £ 2||x - Tx || + ||x - y|| với Giả sử C là tập lồi. Ta chứng minh F (T ) mọi x, y Î C . Điều này có nghĩa là T thỏa mãn cũng là tập lồi. Với l Î [0,1] và x , y Î F (T ), ta điều kiện (Em ) trong C với m = 2. Mặt khác, chứng minh z = lx + (1 - l)y Î F (T ). Thật T không là ánh xạ không giãn. Thật vậy, chọn x =8 và ta có y = 5, ||Tx - Ty||= 4 > 3 = ||x - y|| hay T không vậy, do T là ánh xạ thỏa mãn điều kiện (E m ) nên ||x -Tz|| £ m||x -Tx|| + ||x - z|| = ||x - z|| = ||x - lx - (1 - l)y|| = (1 - l)||x - y||, || y -Tz|| £ m||y -Ty|| + || y - z || = | y - z|| là ánh xạ không giãn. Cho ánh xạ T : C  C và kí hiệu F (T ) = {x Î C : Tx = x } là tập hợp điểm bất động của ánh xạ T , ta có định nghĩa sau. = ||y - lx - (1 - l)y|| = l||x - y||. Do đó, sử dụng Bổ đề 1.1(2) ta được 14 Tạp chı́ Khoa học Trường Đại học Cầ n Thơ Tập 50, Phần A (2017): 12-20 ìïz = b x + (1 - b )T x ïï n n n n n n ïïy = a x + (1 - a )T z n n n n n ïï n ïïC = {v Î C n : ||yn - v||2 £ ||x n - v||2 ïí n +1 ïï + (1 - an )(||z n ||2 - || xn ||2 ïï + 2 xn - z n , v )} ïï ïï ïïîx n +1 = PC n +1 x 0 , n Î , trong đó {an } và {bn } là hai dãy trong [0,1] sao || z - Tz ||2 = || (x - Tz ) + (1 - l)(y - Tz ) ||2 = l || x - Tz ||2 + (1 - l)||y - Tz ||2 -l(1 - l) || x - y||2 £ l(1 - l)2 || x - y ||2 + (1 - l)l 2 || x - y ||2 - l(1 - l) || x - y ||2 = 0. Điều này dẫn đến z = Tz hay z Î F (T ). Vậy F (T ) cũng là tập lồi. Mệnh đề 2.2. Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập con đóng trong H , cho an £ 1 - d với d Î (0,1], với mọi n Î  * T : C  C là ánh xạ thỏa mãn điều kiện (E m ) z 0 = PF x 0 . và dãy {x n } Ì C và {bn } hội tụ đến 1. Khi đó, {x n } hội tụ đến lim x n = x và sao cho Chứng minh. Ta chứng minh theo các bước sau. n ¥ lim ||x n - Tx n || = 0. Khi đó, x Î F (T ). n ¥ Chứng minh. Do T Bước 1. Chứng minh C n là tập lồi và đóng với thỏa mãn điều kiện mọi n Î  * . (E m ) trong C nên Với n = 1, ta có C 1 = C là tập lồi đóng || x n - Tx || £ m || x n - Tx n || + || x n - x || . lim x n = x Kết hợp với giả thiết trong H . và Giả sử C n là tập lồi và đóng với mọi n Î  * . lim||xn -Txn|| = 0, ta suy ra lim||xn -Tx|| = 0 Ta chứng minh C n +1 cũng là tập lồi và đóng với hay lim x n = Tx . Kết hợp với lim x n = x và mọi n Î  * . Thật vậy, theo Bổ đề 1.4, ta có n¥ n ¥ n¥ n ¥ n ¥ C n +1 là tập lồi và đóng. tính duy nhất của giới hạn ta được x = Tx . Do đó, x Î F (T ). Bước 2. Chứng minh F Ì C n Định lí sau là một mở rộng của Định lí 2.1 trong (Martinez-Yanes và Xu, 2006) từ ánh xạ không giãn sang họ các ánh xạ thỏa mãn điều kiện n Î *. Với n = 1, ta có F Ì F (T1 ) Ì C = C 1 . Giả (Em ) trong không gian Hilbert thực. sử F Ì C n với mọi n Î  * . Ta chứng minh Định lí 2.3. Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập con lồi đóng khác rỗng trong F Î C n +1. Thật vậy, với u Î F , ta có u Î C n . Hơn nữa, sử dụng Bổ đề 1.1, ta có H và Tn : C  C là các ánh xạ đóng đều thỏa mãn điều kiện ( E ) sao cho F = với mọi ||yn - u||2 = ||an (xn - u) + (1 - an )(Tnzn - u)||2 ¥  F (Tn ) ¹ Æ. = an ||x n - u||2 + (1 - an )||Tn zn - u||2 n =1 Với x 0 Î H , đặt C 1 = C và x 1 = PC x 0 , xét -an (1 - an )||x n - Tn z n ||2 dãy {x n } trong C xác định bởi £ an ||x n - u||2 + (1 - an )||Tn z n - u||2 1 15 Tạp chı́ Khoa học Trường Đại học Cầ n Thơ Tập 50, Phần A (2017): 12-20 £ an ||x n - u||2 + (1 - an )(m||u - Tn u || z - x n , x n - x 0 ³ 0 với z Î C n . Mà có 2 + || zn - u||) x m = PC x 0 Î C m Ì C n 2 2 = ||xn - u|| + (1 - an )(|| zn - u|| -||xn - u|| ) 2 2 nên ta x m - x n , x n - x 0 ³ 0. Khi đó, theo Bổ đề 2 = ||x n - u|| + (1 - an )(|| z n || -||x n || 1.1(1), ta có +2 x n - z n , u ). ||x m - x n ||2 = ||x m - x 0 - (x n - x 0 )||2 Điều này có nghĩa là u Î C n +1. Do đó, = ||xm - x0||2 - ||xn - x0||2 - 2 xm - xn , xn - x0 F Ì C n +1. £ ||x m - x 0 ||2 - ||x n - x 0 ||2 . Bước 3. Chứng minh {x n } hội tụ đến p và Từ p Î F. (2.3) và (2.4), (2.4) ta suy ra lim ||x m - x n || = 0. Do đó, {x n } là dãy m ,n ¥ * Với mỗi n Î  , theo Mệnh đề 2.1, ta có Cauchy trong C . Mặt khác, do C là tập đóng trong không gian Hilbert thực H nên C có tính đầy đủ. Khi đó, tồn tại p Î C sao cho F (Tn ) là tập con lồi đóng của C . Kết hợp với giả thiết F ¹ Æ, ta cũng có F = ¥  F (Tn ) lim x n = p. cũng là tập con lồi đóng khác rỗng của C . Khi đó, theo Bổ đề 1.2, tồn tại phần tử duy nhất z 0 Î F z 0 = PF x 0 . Với mọi n Î , sao cho Vì x n +1 = PC n +1 với mọi z Î C n +1. - || xn ||2 +2 xn - zn , xn+1 ). (2.1) || z n ||2 - || x n ||2 +2 x n - z n , x n +1 =|| z n - x n ||2 + 2 x n - z n , x n +1 - x n . {||x n - x 0 ||} bị chặn. Mặt khác, vì x n = PC x 0 n Từ nên ||x n - x 0 || £ ||z - x 0 || với mọi z Î C n . và n +1 = (1 - bn )||x n - u + u - Tn x n || được ||x n - x 0 || £ ||x n +1 - x 0 || hay {||x n - x 0 ||} là £ (1 - bn )(||x n - u || + || u - Tn x n ||) dãy đơn điệu tăng. Kết hợp với tính bị chặn của {||x n - x 0 ||}, ta suy ra tồn tại giới hạn của £ (1 - bn )(2||x n - u || +m || u - Tn u||) = 2(1 - bn )||x n - u || {||x n - x 0 ||}. Đặt £ 2(1 - bn )(||x n || + || u ||). lim ||x n - x 0 || = r . (2.3) n ¥ với || z n - x n || = (1 - bn )||x n - Tn x n || Do C n +1 Ì C n nên xn+1 = PC x0 Î Cn+1 Ì Cn . ta z n = bn x n + (1 - bn )Tn x n (2.7) u Î F , ta được (2.2) (2.2) (2.6) Mặt khác, theo Bổ đề 1.1(1) ta có ||x n +1 - x 0 || £ ||z 0 - x 0 ||. Điều này có nghĩa là từ x 0 Î C n +1 nên từ định nghĩa ||yn - xn+1||2 £ ||xn - xn+1||2 +(1 - an )(|| zn ||2 Khi đó, do z 0 Î F Ì C n +1 nên từ (2.1) ta có đó, n +1 của C n +1 ta có vì nên ||x n +1 - x 0 || £ ||z - x 0 || x n +1 = PC x 0 (2.5) n ¥ n =1 Do có m 2 (2.8) Kết hợp (2.8) với lim bn = 1 và (2.5), ta được n ¥ Với mọi m ³ n, x n = PC x 0 nên lim ||z n - x n ||= 0. Kết hợp điều này với (2.5), ta có C m Ì C n . Vì theo Bổ đề 1.3, n ¥ ta (2.6) và (2.7), ta suy ra lim ||yn - x n +1|| = 0. n n ¥ 16