Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic

Chia sẻ: Năm Tháng Tĩnh Lặng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

79
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Lí thuyết phương trình là một lĩnh vực rộng lớn của toán học và được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Trong đó, lớp phương trình vi tích phân đóng vai trò quan trọng. Trong bài báo này, tác giả nghiên cứu sự phụ thuộc liên tục của nghiệm phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic dạng T.. Để làm điều này tác giả chứng minh một bổ đề về bất đẳng thức tích phân dạng Gronwall. Mời bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 36 năm 2012 _____________________________________________________________________________________________________________ SỰ PHỤ THUỘC LIÊN TỤC CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN VOLTERRA ĐỐI SỐ LỆCH PHI TUYẾN LOẠI HYPERBOLIC LÊ HOÀN HÓA*, NGUYỄN NGỌC TRỌNG**, LÊ THỊ KIM ANH*** TÓM TẮT Trong bài báo này, chúng tôi chứng minh sự phụ thuộc liên tục của nghiệm phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic sau : ⎧ t ⎪ u ′ ( t ) = A ( t ) ( u ( t ) , u t ) + ∫ L ( t,s, u ( s ) , u s ) ds + f ( t ), t ≥ 0 ⎨ 0 (T ) ⎪ ⎩ u 0 = ϕ ∈ Cr Từ khóa: Tính phụ thuộc liên tục của nghiệm , phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic. ABSTRACT Continuous dependence of solution for the nonlinear Hyperbolic Volterra integrodifferential equation with deviating argument In this paper, we prove the continuous dependence result for the following nonlinear Hyperbolic Volterra integrodifferential equation with deviating argument ⎧ t ⎪ u ′ ( t ) = A ( t ) ( u ( t ) , u t ) + ∫ L ( t,s, u ( s ) , u s ) ds + f ( t ), t ≥ 0 ⎨ 0 (T ) ⎪ ⎩ u 0 = ϕ ∈ Cr Keywords: Continuous dependence of solution, nonlinear Hyperbolic Volterra integrodifferential equation with deviating argument. 1. Giới thiệu Lí thuyết phương trình là một lĩnh vực rộng lớn của toán học và được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Trong đó, lớp phương trình vi tích phân đóng vai trò quan trọng. Các kết quả của lĩnh vực này tìm được nhiều ứng dụng trong vật lí, hóa học, sinh học cũng như trong việc nghiên cứu các mô hình phát triển xuất phát từ kinh tế học. Năm 1981, trong [4] M.L.Heard đã xem xét phương trình vi tích phân Volterra phi tuyến loại Hyperbolic có dạng: * PGS TS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM ** ThS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM *** ThS, Đại học Tiền Giang 22 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lê Hoàn Hóa và tgk _____________________________________________________________________________________________________________ ⎧ t ⎪ ( ) u ′ t + A ( ) ( ) ∫ g ( t,s, u ( s ) ) ds + f ( t ), t ≥ 0, t u t = ⎨ 0 ⎪ ⎩u ( 0 ) = u 0 . Năm 1996, trong [5] R.Nagel và E.Sinestrari đã nghiên cứu phương trình vi tích phân Volterra phi tuyến loại Hyperbolic ⎧ t ⎪u′ ( t ) = Au ( t ) + ∫ K ( t,s, u ( s ) ) ds + f ( t ), t ≥ t 0 , ⎨ 0 ⎪ ⎩u ( t 0 ) = u 0 . Các loại phương trình trên phát sinh một cách tự nhiên trong việc nghiên cứu sự đàn hồi của các vật rắn. Gần đây, trong hai bài báo [1], [2] và tài liệu tham khảo [3] chúng tôi đã xem xét tính khác rỗng, tính continuum và tính R δ của tập nghiệm phương trình vi tích phân Volterra phi tuyến loại Hyperbolic có cả sự xuất hiện đối số lệch ⎧ t ⎪ ( ) u ′ t = A ( ) ( ) ( ) t ( ( ) ) ∫ K ( t,s, u ( s ) , u s ) ds + f ( t ), t ≥ 0, t u t + L t u + V t, u t + ⎨ 0 ⎪ ⎩u 0 = ϕ ∈ Cr . Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu sự phụ thuộc liên tục của nghiệm phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic dạng ( T ) . Để làm điều này chúng tôi chứng minh một bổ đề về bất đẳng thức tích phân dạng Gronwall. Bản thân sự phụ thuộc liên tục của nghiệm đã là một tính chất thú vị nhưng quan trọng hơn là tính chất này đóng vai trò quan trọng đối với tính chỉnh của bài toán, việc xấp xỉ nghiệm và nghiên cứu sự tồn tại nghiệm tuần hoàn. 2. Kết quả chính 2.1. Giới thiệu bài toán Cho r > 0. Ta kí hiệu • là chuẩn của không gian Banach E và + = [0, ∞ ) , ∆ = {( t,s ) ∈ : t ≥ s} và ∆ n = ∆ I [0, n ] với n ∈ 2 + × + , { Cr = C ([ − r,0] , E ) với chuẩn u r = sup u ( t ) : t ∈ [ − r,0] , } X = C ([ − r, ∞ ) , E ) là không gian Frechet các hàm liên tục từ [ − r, ∞ ) vào E với họ nửa chuẩn { • n }n được định nghĩa như sau : x n = sup{ x ( t ) : t ∈ [ −r, n]}, n ∈ . Đặt F = E × Cr với chuẩn ( x, y ) = x + y r . Đặt • L là chuẩn trên không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E × Cr vào E . 23 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 36 năm 2012 _____________________________________________________________________________________________________________ Với u ∈ C ([ − r, ∞ ) , E ) và t ≥ 0 đặt u t ∈ Cr định nghĩa bởi u t (θ ) = u ( t + θ ) với θ ∈ [ − r,0] . Với u ∈ C ([ − r,d ] , E ) và t ∈ [ 0,d ] đặt u t ∈ Cr định nghĩa bởi u t (θ ) = u ( t + θ ) với θ ∈ [ − r,0] . Với mỗi n ∈ , đặt X n = C ([ − r, n ] , E ) là không gian Banach gồm các hàm liên tục u : [ − r, n ] → E với chuẩn u n { = sup u ( t ) : t ∈ [ − r, n ] .} Xét phương trình ⎧ t ⎪u′ ( t ) = A ( t ) ( u ( t ) , u t ) + ∫ L ( t,s, u ( s ) , u s ) ds + f ( t ), t ≥ 0, ⎨ 0 (T ) ⎪ ⎩u 0 = ϕ ∈ Cr , trong đó {A ( t )} là họ toán tử tuyến tính liên tục từ E × Cr vào E , f : + → E liên t ≥0 tục. Hơn nữa ta giả thiết : (E.1) t a A ( t ) liên tục ; (E.2) L : ∆ × F → E là hàm L1 − Caratheodory , nghĩa là (E.2.1)Với mọi z ∈ F , hàm τ a L (τ ,z ) Borel đo được ; (E.2.2)Với hầu hết τ ∈ ∆ , hàm z a L (τ ,z ) liên tục ; (E.2.3)Với mỗi n ∈ và mỗi hằng số C > 0 , tồn tại hàm không âm ( h C ∈ L1 [0, n ] 2 ) và tập compact K C trong E sao cho L ( t,s,z ) ∈ h C ( t,s ) K C với mọi z ∈ BF ( 0,C ) và với hầu hết ( t,s ) ∈ ∆ n (trong đó L1 ( Ω ) là không gian các hàm u:Ω→ khả tích trên Ω ) ; L ( t,s,z ) (E.3) lim = 0 đều theo ( t,s ) trên mỗi tập bị chặn bất kì của ∆ . z →∞ z Định nghĩa. u : [ − r, ∞ ) → E là nghiệm của phương trình ( T ) nếu u [0,∞ ) ∈ C1 ([ 0, ∞ ) , E ) và u thỏa phương trình ( T ) , ở đây C1 ([ 0, ∞ ) , E ) là không gian các hàm khả vi liên tục u : [ 0, ∞ ) → E . Chú ý. Chứng minh tương tự [3] ta thấy nếu các giả thiết (E.1), (E.2) và (E.3) thỏa mãn thì phương trình (T) có nghiệm và nếu ta thêm giả thiết toán tử L Lipschitz địa phương thì phương trình (T) có nghiệm duy nhất. 24 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lê Hoàn Hóa và tgk _____________________________________________________________________________________________________________ 2.2. Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm Định lí 1. (Bất đẳng thức dạng Gronwall) Cho u : [ a, b ] → + liên tục, c và α là hai hằng số không âm. Giả sử ta có t ⎛s t ⎞ u ( t ) ≤ c + α ∫ u ( s )ds + α ∫ ⎜ ∫ u (τ ) dτ ⎟ds với a ≤ τ ≤ s ≤ t ≤ b . ⎜ ⎟ a a⎝a ⎠ ⎛ α ⎞ Khi đó u ( t ) ≤ c ⎜ 1 + ⎝ α +1 ( exp ( (α + 1)( t − a ) ) − 1 ⎟ . ⎠ ) Chứng minh: t ⎛ t s ⎞ Đặt v ( t ) = c + α ∫ u ( s )ds + α ∫ ⎜ ∫ u (τ ) dτ ⎟ds . Theo giả thiết ta có u ( t ) ≤ v ( t ) , ⎜ ⎟ a a⎝a ⎠ t ⎛ t ⎞ ta lại có v ′ ( t ) = α u ( t ) + α ∫ u ( s )ds ≤ α ⎜ v ( t ) + ∫ v ( s )ds ⎟ . ⎜ ⎟ a ⎝ a ⎠ t Đặt m ( t ) = v ( t ) + ∫ v ( s )ds . Vậy v ′ ( t ) ≤ α m ( t ) và m ( a ) = v ( a ) = c . a t Vì ∫ v (s ) ds ≥ 0 nên v ( t ) ≤ m ( t ) . a Do đó m′ ( t ) = v ′ ( t ) + v ( t ) ≤ α m ( t ) + m ( t ) = (α + 1) m ( t ) . Vậy m′ ( t ) − (α + 1) m ( t ) ≤ 0 . Nhân hai vế bất đẳng thức trên với exp ( − (α + 1) t ) ta có: m′ ( t ) exp ( − (α + 1) t ) − (α + 1) m ( t ) exp ( − (α + 1) t ) ≤ 0 , t ( ′ ) nghĩa là m ( t ) exp ( − (α + 1) t ) ≤ 0 . Vậy ∫ ( m (s ) exp ( − (α + 1) s ) ) ds ≤ 0 . ′ a Từ đó m ( t ) exp ( − (α + 1) t ) − m ( a ) exp ( − (α + 1) a ) ≤ 0 . Vậy m ( t ) ≤ cexp ( (α + 1)( t − a ) ) . Do đó ta có v ′ ( t ) ≤ α m ( t ) ≤ α c.exp ( (α + 1)( t − a ) ) . t t αc Vậy ∫ v ′ ( s )ds ≤ ∫ α c.exp ( (α + 1)(s − a ) ) ds = α +1 ( exp ( (α + 1)( t − a ) ) − 1) . a a αc Từ đó ta có v ( t ) ≤ v ( a ) + α +1 ( exp ( (α + 1)( t − a ) ) − 1) 25 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 36 năm 2012 _____________________________________________________________________________________________________________ ⎛ α ⎞ = c ⎜1 + ⎝ α +1 ( exp ( (α + 1)( t − a ) ) − 1 ⎟ . ⎠ ) ⎛ α Vậy u ( t ) ≤ v ( t ) ≤ c ⎜ 1 + ⎝ α +1 ( exp ( (α + 1)( t − a ) ) − 1 ) ⎞⎟⎠ . Định lí được chứng minh. Định lí 2. Giả sử L0 : ∆ × F → E thỏa các điều kiện (E.1), (E.2), (E.3), ϕ 0 ∈ C r và f0 : + → E liên tục. Với mỗi k ∈ , lấy L k : ∆ × F → E thỏa các điều kiện (E.1), (E.2), (E.3) và dãy {L k }k hội tụ đều về L0 . Lấy {ϕ k }k là dãy trong Cr sao cho lim ϕ = ϕ 0 trong Cr và lấy {f k }k ⊂ C ( +,E ) hội tụ đều về f 0 . Ta xét các phương k →∞ trình sau: ⎧ t ⎪u ( t ) = A ( t ) ( u ( t ) ,u t ) + ∫ Lk ( t,s,u ( s ) ,us ) ds + fk ( t ), t ≥ 0, ′ ⎨ 0 ( Tk ) ⎪ ⎩u0 = ϕk ∈ Cr , ⎧ t ⎪u′ ( t ) = A ( t ) ( u ( t ) ,u t ) + ∫ L ( t,s,u ( s ) ,us ) ds + f ( t ), t ≥ 0, 0 0 ⎨ 0 (T ) 0 ⎪ ⎩u0 = ϕ ∈ Cr . 0 Lấy u k là nghiệm của phương trình ( Tk ) và u 0 là nghiệm của phương trình ( T ) . Ta giả sử phương trình ( T ) có nghiệm duy nhất. 0 0 Khi đó ta có lim u k = u 0 trong C ([ − r, ∞ ) , E ) . k →∞ Chứng minh: Đặt Bn = u k { [ − r,n ] : k∈ } với n ∈ . Bước 1. Ta chứng minh Bn bị chặn trong X n . Vì {L k }k hội tụ đều về L0 nên tồn tại k 0 ∈ sao cho với k ∈ và k ≥ k 0 thì L k ( t,s,z ) − L0 ( t,s, z ) < 1 với mọi ( t,s,z ) ∈ ∆ × F . Từ điều kiện (E.3) ta thấy tồn tại C > 0 sao cho khi z > C thì L0 ( t,s, z ) < z và L k ( t,s,z ) < z với mọi ( t,s ) ∈ ∆ n và k = 1, k 0 . 26 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lê Hoàn Hóa và tgk _____________________________________________________________________________________________________________ Từ điều kiện (E.2.3) ta thấy tồn tại R > 0 và hàm không âm h C ∈ L1 [ 0, n ] ( 2 ) sao cho với mọi k = 1, k 0 ta có L0 ( t,s,z ) < Rh C ( t,s ) và L k ( t,s,z ) < Rh C ( t,s ) với mọi z ∈ F thỏa z ≤ C và với hầu hết ( t,s ) ∈ ∆ n . Vậy L0 ( t,s,z ) ≤ Rh C ( t,s ) + z và L k ( t,s,z ) ≤ Rh C ( t,s ) + z với mọi z ∈ F , hầu hết ( t,s ) ∈ ∆ n và mọi k = 1, k 0 . Ta có L k ( t,s, z ) ≤ L k ( t,s,z ) − L0 ( t,s, z ) + L0 ( t,s,z ) ≤ 1 + Rh C ( t,s ) + z với mọi z ∈ F , hầu hết ( t,s ) ∈ ∆ n và mọi k ≥ k 0 . Do đó L k ( t,s,z ) ≤ 1 + Rh C ( t,s ) + z với mọi k ∈ , với mọi z ∈ F và hầu hết ( t,s ) ∈ ∆ n . Vì {f k }k hội tụ đều về f 0 nên tồn tại q > 0 sao cho f k ( s ) ≤ q với mọi k ∈ ,s ∈ [ 0, n ] . Từ giả thiết (E.1) và sự kiện h C ∈ L1 [ 0, n ] ( 2 ) ta thấy tồn tại α > 0 sao cho: ⎛n n ⎞ q + 2 max A ( s ) L + ∫ ⎜ ∫ (1 + Rh C ( s,τ ) ) dτ ⎟ds < α . s∈[ 0,n ] ⎜ ⎟ 0⎝0 ⎠ Ta thấy u k ( s ) ≤ u k ( ) s r với mọi s ∈ [ 0, n ] nên với t ∈ [ 0, n ] ta có ⎛s ⎞ ( ( )) ( ( )) t t u ( t ) ≤ ϕk ( 0 ) + ∫ A ( s ) u ( s ) , u k + f k ( s ) ds + ∫ ⎜ ∫ Lk s,τ ,uk (τ ) , uk dτ ⎟ds k k s ⎜ τ ⎟ 0 0⎝0 ⎠ ⎛ ( ⎞ ) t t t s s r ( ) ≤ ϕk ( 0) + α ∫ u k ds + ∫ fk ( s ) ds + ∫ ⎜ ∫ 1 + RhC ( s,τ ) + 2 uk ⎜ τ r dτ ⎟ds ⎟ ( ) 0 0 0⎝0 ⎠ t ⎛ t s ⎞ ≤ ϕk (0) + α ∫ uk ( ) s r ds + nα + α + 2 ∫ ⎜ ∫ u k ⎜ ( )τ r dτ ⎟ds . ⎟ 0 0⎝0 ⎠ Đặt b = sup ϕ k { r : k∈ } , c = ( n + 1)α + b và λ = α + 2 . t t ⎛s k ⎞ Ta có u k (t) ≤ c + λ∫ (u ) k s r ⎜ ( )τ ds + λ ∫ ⎜ ∫ u r dτ ⎟ds với mọi t ∈ [ 0, n ] . ⎟ 0 0⎝0 ⎠ 27 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 36 năm 2012 _____________________________________________________________________________________________________________ Mặt khác với t ∈ [ − r, 0] ta thấy uk ( t ) = ϕk ( t ) ≤ b nên ta có t ⎛s k t ⎞ (u )k t r ≤ c + λ∫ u ( ) k s r ds + λ ∫ ⎜ ∫ u ⎜ ( )τ r dτ ⎟ds với mọi t ∈ [ 0, n ] . ⎟ 0 0⎝0 ⎠ Vì ánh xạ t a uk ( ) t r liên tục nên theo Định lí 1 ta có λ (u )k t r ⎡ ≤ c ⎢1 + ⎣ λ +1 ( exp ( ( λ + 1) t ) − 1 )⎤⎥⎦ ≤ c ⎡⎢⎣1 + λ λ+ 1 ( exp ( ( λ + 1) n ) − 1)⎤⎥⎦ . ⎡ λ ⎤ Suy ra u k ( t + θ ) ≤ c ⎢1 + ⎣ λ +1 exp ( ( λ + 1) n ) − 1 ⎥ ⎦ ( ) với mọi k ∈ , t ∈ [ 0, n ] ,θ ∈ [ − r,0] . ⎡ λ ⎤ Vậy u k ( t ) ≤ c ⎢1 + ⎣ λ +1 ⎦ ( ) exp ( ( λ + 1) n ) − 1 ⎥ với mọi k ∈ , t ∈ [ − r, n ] . Từ đó Bn bị chặn trong X n . Bước 2. Ta chứng minh Bn là tập compact tương đối trong X n . Đặt V,C0 ,Ck : X → X (với k ∈ ) như sau ⎧t ⎪ A ( s ) ( u ( s ) , u s ) ds Vu ( t ) = ⎨ ∫0 , t ≥ 0, ⎪ ⎩0 , t ∈ [ − r,0] , ⎧t ⎛ s 0 ⎞ t ⎪⎪ ∫ ⎜⎜ ∫ L ( s,τ , u (τ ) , uτ ) dτ ⎟⎟ ds + ϕ ( 0 ) + ∫ f ( s ) ds , t ≥ 0, 0 0 C u (t) = ⎨0 ⎝ 0 0 ⎠ 0 ⎪ 0 ⎪⎩ϕ ( t ) , t ∈ [ − r,0] , ⎧t ⎛ s ⎞ t ⎪⎪ ∫ ⎜⎜ ∫ L k ( s,τ , u (τ ) , uτ ) dτ ⎟⎟ ds + ϕ k ( 0 ) + ∫ f k ( s ) ds , t ≥ 0, Ck u ( t ) = ⎨ 0 ⎝ 0 ⎠ 0 ⎪ ⎪⎩ϕ k ( t ) , t ∈ [ − r,0]. Từ Định lí 1.2.12 của [3] ta có C k ,C0 là các ánh xạ hoàn toàn liên tục và chứng minh tương tự Định lí 1.2.10 của [3] ta thấy tồn tại c n > 0 sao cho: Vx i ≤ ( nc n ) i x với mọi i ∈ và x ∈ X n n i! 28 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lê Hoàn Hóa và tgk _____________________________________________________________________________________________________________ ∞ = ∑ Vi x * Đặt x n với x ∈ X n . Ta thấy V là ánh xạ tuyến tính liên tục nên n i =0 * • n là chuẩn trên X n . =∑ Vx ∞ ∞ ( ncn )i ∑ * * Vì x n i ≤ x n = x n e ncn nên x n ≤ x n ≤ x n e ncn . Do i =0 n i =0 i! * đó hai chuẩn • n , • n tương đương. ∞ ∞ Mặt khác Vx n = ∑ Vi+1x = ∑ Vi x − x n = x n − x n ≤ x n − e−ncn x n . * * * * n n i=0 i=0 Do đó Vx * n ( ≤ 1 − e − ncn )x * n . Đặt p = 1 − e − ncn thì V là ánh xạ co hệ số p trên (X , • ) n * n Khi đó V + C k , V + C0 là ánh xạ cô đặc hệ số p từ X n , • ( * n ) đến (X , • )n * n ( Vậy χ ⎡⎣ ( V + C k )( Bn ) ⎤⎦ ≤ pχ ( Bn ) và χ ⎡ V + C0 ( Bn ) ⎤ ≤ pχ ( Bn ) với χ là ⎣ ⎦ ) độ đo cầu phi compact xác định bởi χ ( B ) = inf {r > 0 : B bị phủ bởi hữu hạn các quả cầu bán kính r} . Vì {ϕ k }k hội tụ đều về ϕ 0 , {L k }k hội tụ đều về L0 và {f k }k hội tụ đều về f 0 nên {C k }k hội tụ đều về C0 . ( ) ( ) * Do đó với ε > 0 , tồn tại k1 ∈ sao cho với k ≥ k1 thì Ck u k − C0 u k