TÀI LIỆU DẠY CHO HỌC SINH LỚP 9 CHƯA ĐẠT CHUẨN KIẾN THỨC, KỸ NĂNG MÔN TOÁN

Chia sẻ: Ksor Yel | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:151

Thêm vào BST

Báo xấu

163
lượt xem 39
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

CHUYÊN ĐỀ I: BIẾN ĐỔI PHÂN THỨC ĐẠI SỐ (12 TIẾT) Tiết 1: TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Luỹ thừa của một số hữu tỷ: a) Tính chất: (n N) a0 = 1, a1 = a (a 0) (n thừa số a) (m, n N ) am:an = am-n (m, n N,m n) (xm)n = xm.n (x.y)n = xn.yn; b) Ví dụ: a) 3x5. 5x2 = 15x5+2=15x7 b) 15m9 : 3m7 = 5m2

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: TÀI LIỆU DẠY CHO HỌC SINH LỚP 9 CHƯA ĐẠT CHUẨN KIẾN THỨC, KỸ NĂNG MÔN TOÁN

TÀI LIỆU DẠY CHO HỌC SINH LỚP 9 CHƯA ĐẠT CHUẨN KIẾN THỨC, KỸ NĂNG MÔN TOÁN ( LƯU HÀNH NỘI BỘ) I.PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH Nội dung Tiết thứ CHUYÊN ĐỀ 1: BIẾN ĐỔI PHÂN THỨC ĐẠI SỐ (12 tiết) Tính chất cơ bản của phân thức 1-2 Phân tích đa thức thành nhân tử 3-4 Quy đồng mẫu nhiều phân thức 5-6 Phép cộng, trừ các phân thức đại số 7 Phép nhân, chia các phân thức đại số 8 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai 9 - 10 Bài tập 11 Kiểm tra 1 tiết 12 CHUYÊN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH (13 tiết) PHẦN I: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải. 13 Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0. 14 Phương trình tích. 15 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. 16 PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Phương trình bậc hai một ẩn. 17 Công thức nghiệm của phương trình bậc hai. 18 Công thức nghiệm thu gọn. 19 Hệ thức Vi-ét. 20 Ứng dụng hệ thức Vi-ét giải bài toán tìm hai số biết tổng và tích. 21 Tìm điều kiện xác định của một phương trình. 22 Phương trình chứa ẩn ở mẫu. 23 1
Phương trình trùng phương. 24 Kiểm tra 1 tiết (Chọn một trong 2 đề). 25 Chuyên đề 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH (9 tiết) Khái niệm về PT bậc nhất hai ẩn - Hệ hai phương trình bậc nhất 26 hai ẩn Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế 27 - 28 Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số 29 - 30 Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số bằng chương trình gài 31 sẵn trên máy tính bỏ túi Bài tập tổng hợp về giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 32 - 33 Kiểm tra 1 tiết 34 CHUYÊN ĐỀ 4: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH (12 tiết) I. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH Dạng toán số - chữ số 35 Dạng toán chuyển động 36 - 37 Dạng toán năng suất 38 - 39 II.GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Dạng toán số - chữ số 40 Dạng toán chuyển động 41 - 42 Dạng toán năng suất 43 - 44 Dạng toán có nội dung Hình học - Hóa học 45 Kiểm tra theo chuyên đề 46 HÌNH HỌC CHUYÊN ĐỀ 1: GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ tam gi¸c Tam gi¸c 1 C¸c trêng hîp b»ng nhau cña tam gi¸c 2 2
TÝnh chÊt c¸c ®êng ®ång quy trong tam gi¸c 3 Tam gi¸c ®ång d¹ng 4 C¸c trêng hîp ®ång d¹ng cña tam gi¸c 5 C¸c trêng hîp ®ång d¹ng cña tam gi¸c vu«ng 6 Mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vµ ®êng cao trong tam gi¸c vu«ng 7 TØ sè lîng gi¸c cña gãc nhän 8 Mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vµ gãc trong tam gi¸c vu«ng 9 KiÓm tra 10 CHUYÊN ĐỀ 2: GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TỨ GIÁC Tø gi¸c 11 H×nh thang - H×nh thang c©n 12 - 13 H×nh b×nh hµnh - H×nh ch÷ nhËt 14 - 15 H×nh thoi, h×nh vu«ng 16 - 17 DiÖn tÝch tø gi¸c 18 ¤n tËp 19 KiÓm tra 20 CHUYÊN ĐỀ 3: GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN Xác định đường tròn 21 Tính chất đối xứng của đường tròn 22 Dây cung và khoảng cách đến tâm. 23 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Vị trí tương đối của hai đường tròn 24 Góc ở tâm, số đo cung. 25 Liên hệ giữa cung và dây Tiếp tuyến của đường tròn 26 Góc nội tiếp. 27 Mối liên hệ giữa góc nội tiếp và cung bị chắn Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung 28 3
Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, góc có đỉnh ở bên ngoài đường 29 tròn.Cung chứa góc Tứ giác nội tiếp 30 Độ dài đường tròn, diện tích hình tròn 31 Kiểm tra 32 4
II. NỘI DUNG CÁC CHUYÊN ĐỀ CHUYÊN ĐỀ I: BIẾN ĐỔI PHÂN THỨC ĐẠI SỐ (12 TIẾT) Tiết 1: TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Luỹ thừa của một số hữu tỷ: a) Tính chất: an = a.a2 14 .a... 43a (n N) a0 = 1, a1 = a (a 0) (n thừa số a) a m .a n = a m +n (m, n N ) am:an = am-n (m, n N,m n) n �x � xn m n (x ) = x m.n (x.y) = x .y ; � �= n n n n (y 0) �y� y b) Ví dụ: a) 3x5. 5x2 = 15x5+2=15x7 b) 15m9 : 3m7 = 5m2 2. Nhân đơn thức với đa thức: a) Công thức: A(B + C) = AB + AC ; A(B - C) = AB – AC b) Ví dụ: 1. 5x(3x2 - 4x + 1) = 5x.3x2 + 5x(-4x) + 5x.1 = 15x3 – 20x2 + 5x 2. (2 3 + 5 ) 3 - 60 = 2 3 3 + 5 3 − 4.15 = 6 + 15 − 2 15 = 6 − 15 3. Nhân đa thức với đa thức: a) Quy tắc: Nhân một đa thức với một đa thức ta nhân lần lượt từng số hạng của đa thức này với đa thức kia rồi cộng tổng các tích vừa tìm được. b) Công thức (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD c) Ví dụ: 1. (x - 2)(6x2 - 5x + 1) = x.6x2 + x(-5x) + x.1 + (-2)6x2 + (-2)(-5x) + (-2).1 = 6x3 - 5x2 + x - 12x2 + 10x - 2 = 6x3 - 17x2 + 11x - 2. 2. (1 - x )(1 + x + x ) = 1 + x + x − x − x x − x x = 1− x x II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Thực hiện phép tính: 2 a) (3xy - x2 + y) x2y b) (5x3 - x2)(1 - 5x) 3 Giải: 5
2 2 2 2 a) (3xy - x2 + y) x2y = 3xy. x2y + (-x2). x2y + y. x2y 3 3 3 3 2 4 2 = 2x3y2 - x y + x2y2 3 3 b) (5x3 - x2)(1 - 5x) = 5x3 - 25x4 - x2 + 5x3 = - 25x4 + 10x3- x2 Bài 2. Tìm x biết: 3x(12x - 4) - 9x(4x - 3) = 30 Giải: 3x(12x - 4) - 9x(4x - 3) = 30 36x2 - 12x - 36x2 + 27x = 30 15x = 30 x=2 Bài 3. Rút gọn biểu thức: ( 28 − 12 − 7 ) 7 + 2 21 = 4.7 . 7 − 4.3. 7 − 7 . 7 + 2 21 = 2 7. 7 − 2 3. 7 − 7. 7 + 2 21 = 2.7 – 2 21 - 7 + 2 21 = 7 III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1. Tính: 1 1 1 1 a) ( x + y)( x + y) b) (x - y)(x - y) 2 2 2 2 Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau (với a ≥ 0 ): a) 3a . 27a b) 9a 2b 4 c) 3a 3 12a Bài 3. Triển khai và rút gọn các biểu thức sau: (với x, y không âm) a) ( x + 2 )( x − 2 x + 4 ) b) ( x + y )( x 2 + y − x y ) Tiết 2 : TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC (Tiếp) I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Chia đa thức cho đơn thức: * Quy tắc: Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi c ộng các kết quả với nhau. Ví dụ: (15x2y3 + 12x3y2 - 10 xy3) : 3xy2 = (15x2y3 : 3xy2) + (12x3y2 : 3xy2) + (-10xy3 : 3xy2) 10 = 5xy + 4x2 - y 3 2. Chia đa thức một biến đã sắp xếp. 6
Ví dụ: Thực hiện phép chia: 1. (6 x 2 + 13x − 5) : (2 x + 5) Giải: 6 x 2 +13 x − 5 2x + 5 - ( 6 x 2 + 15 x ) 3x − 1 −2 x − 5 - ( −2 x − 5) 0 2. Sắp xếp đa thức sau theo luỹ thừa giảm dần của biến rồi thực hiện phép chia: (12 x 2 − 14 x + 3 − 6 x3 + x 4 ) : (1 − 4 x + x 2 ) Giải: Ta có 12 x 2 − 14 x + 3 − 6 x 3 + x 4 = x 4 − 6 x 3 + 12 x 2 − 14 x + 3 và 1 − 4 x + x 2 = x 2 − 4 x + 1 x 4 − 6 x 3 +12 x 2 −14 x + 3 x2 − 4x + 1 - ( x 4 − 4 x3 + x 2 ) x2 − 2 x + 3 −2 x 3 + 11x 2 − 14 x + 3 - ( 2 x3 + 8 x 2 − 2 x ) 3 x 2 − 12 x + 3 −(3 x 2 − 12 x + 3) 0 3. Tính chất cơ bản của phân thức: a) Định nghĩa phân thức đại số: A Phân thức đại số (hay phân thức) có dạng , trong đó A, B là các đa thức và B B khác đa thức 0. 6 x2 y 2 1 Ví dụ: 5 ; 8x y x+2 b) Phân thức bằng nhau: A C = B D nếu AD = BC x +1 1 Ví dụ: = vì (x +1)(x - 1) = x2 - 1 x − 1 x -1 2 c) Tính chất cơ bản của phân thức: A A.M A A:N = ; = (M ≠ 0; N ≠ 0; B ≠ 0) B B.M B B:N 7
d) Quy tắc đổi dấu: A -A A A -A = ; =− =− B -B B -B B II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Các phân thức sau có bằng nhau không? x − x2 x x 2 + 8 3x 2 + 24 x a) = b) = 5 x 2 − 5 5( x + 1) 2x −1 6x − 3 Bài 2. Áp dụng quy tắc đổi dấu để rút gọn phân thức: 45 x(3 − x) − 45 x( x − 3) = = –3 15 x( x − 3) 15 x( x − 3) Bài 3. Tính: 2300 63 x 3 a) b) với x > 0 23 7x Giải: 2300 23.100 23. 100 a) = = = 100 = 10 23 23 23 63 x 3 9.7 x.x 2 3x 7 x b) = = = 3x với x > 0 7x 7x 7x III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1. Rút gọn phân thức: 6 x2 y 2 10 xy 2 ( x + y ) a) b) 8x y5 15 xy ( x + y ) 2 Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau: ( x y + y x )( x − y ) a) = x− y với x > 0 và y > 0 xy x 3 + 3 xy + 2 y 2 1 b) 3 = x + 2 x y − xy − 2 y 2 2 3 x− y TIẾT 3: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa th ức đó thành một tích của những đa thức. 8
Ví dụ: a) 2x2 + 5x - 3 = (2x - 1).(x + 3) b) x - 2 x y +5 x - 10y = [( x )2 – 2 y x ] + (5 x - 10y) = x ( x - 2y) + 5( x - 2y) = ( x - 2y)( x + 5) 2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử a) Phương pháp đặt nhân tử chung : Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đó được biểu diễn thành một tích của nhân tử chung với một đa thức khác. Công thức: AB + AC = A(B + C) Ví dụ: 1. 5x(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(5x - 2) 2. 3x + 12 x y = 3 x ( x + 4y) b) Phương pháp dùng hằng đẳng thức: Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nh ớ nào đó thì có th ể dùng hằng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành tích các đa thức. * Những hằng đẳng thức đáng nhớ: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 A2 - B2 = (A + B)(A - B) (A+B)3= A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A - B)3= A3 - 3A2B + 3AB2-B3 A3 + B3 = (A+B) (A2 - AB + B2) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 1. x2 – 4x + 4 = ( x − 2 ) 2 2. x 2 − 9 = ( x − 3)( x + 3) 3. ( x + y ) − ( x − y ) = [ ( x + y ) + ( x − y ) ] [ ( x + y ) − ( x − y ) ] = 2 x.2 y = 4 xy 2 2 Cách khác: ( x + y )2 − ( x − y )2 = x 2 + 2 xy + y 2 − ( x 2 − 2 xy + y 2 ) = 4 xy c) Phương pháp nhóm hạng tử: Nhóm một số hạng tử của một đa thức một cách thích hợp để có th ể đ ặt được nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức đáng nhớ. Ví dụ: 9
1. x2 – 2xy + 5x – 10y = (x2 – 2xy) + (5x – 10y) = x(x – 2y) + 5(x – 2y) = (x – 2y)(x + 5) 2. x - 3 x + x y – 3y = (x - 3 x ) + ( x y – 3y) = x ( x - 3) + y( x - 3)= ( x - 3)( x + y) II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 14x2 – 21xy2 + 28x2y2 = 7x(2x - 3y2 + 4xy2) b) 2(x + 3) – x(x + 3) c) x2 + 4x – y2 + 4 = (x + 2)2 - y2 = (x + 2 - y)(x + 2 + y) Bài 2: Giải phương trình sau : 2(x + 3) – x(x + 3) = 0 x+3= 0 � �x = −3 � ( x + 3) ( 2 − x ) = 0 � � �� 2−x = 0 � �x=2 Vậy nghiệm của phương trình là x1 = -3: x2 = 2 III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 10( x - y) – 8y(y - x) b) 2 x y + 3z + 6y + xy Bài 2: Giải các phương trình sau : a) 5 x ( x - 2010) - x + 2010 = 0 b) x3 - 13 x = 0 TIẾT 4: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ (Tiếp) I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: d. Phương pháp tách một hạng tử:(trường hợp đặc biệt của tam thức bậc 2 có nghiệm) Tam thức bậc hai có dạng: ax2 + bx + c = ax2 + b1x + b2x + c ( a 0 ) nếu b1b2 = ac b1 + b2 = b Ví dụ: a) 2x2 - 3x + 1 = 2x2 - 2x - x +1 = 2x(x - 1) - (x - 1) = (x - 1)(2x - 1) 10
b) y − 3 y + 2 = y − y − 2 y + 2 = y ( y −1 − 2 ) ( ) y −1 = ( y −2 )( y −1 ) e. Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử: Ví dụ: a) y4 + 64 = y4 + 16y2 + 64 - 16y2 = (y2 + 8)2 - (4y)2 = (y2 + 8 - 4y)(y2 + 8 + 4y) b) x2 + 4 = x2 + 4x + 4 - 4x = (x + 2)2 - 4x = (x + 2)2 - ( 2 x ) = ( x − 2 x + 2 ) ( x + 2 x + 2 ) 2 g. Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp: Ví dụ: a) a3 - a2b - ab2 + b3 = a2(a - b) - b2(a - b) =(a - b) (a2 - b2) = (a - b) (a - b) (a + b) = (a - b)2(a + b) b) 27 x3 y − a 3b3 y = y ( 27 x 3 − a 3b3 ) (3 x)3 − ( ab ) � = y� 3 � � = y ( 3x − ab ) ( 9 x 2 + 3 xab + a 2b 2 ) II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 8x3 + 4x2 - y3 - y2 = (8x3 - y3) + (4x2 - y2) �( ( 2 x ) − y3 � =� + 4 x2 − y 2 ) 3 � = ( 2x − y ) � ( 2 x ) + 2 xy + y 2 � �( + 2x + y ) ( 2x − y ) 2 � = ( 2 x − y ) ( 4 x 2 + 2 xy + y 2 + 2 x + y ) b) x2 + 5x - 6 = x2 + 6x - x - 6 = x(x + 6) - (x + 6) = (x + 6)(x - 1) c) a4 + 16 = a4 + 8a2 + 16 - 8a2 = (a2 + 4)2 - ( 8 a)2 = (a2 + 4 + 8 a)( a2 + 4 - 8 a) 11
Bài 2: Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa th ức b ị chia thành nhân tử: a) (x5 + x3 + x2 + 1):(x3 + 1) b) (x2 - 5x + 6):(x - 3) Giải: a) Vì x5 + x3 + x2 + 1= x3(x2 + 1) + x2 + 1 = (x2 + 1)(x3 + 1) nên (x5 + x3 + x2 + 1):(x3 + 1) = (x2 + 1)(x3 + 1):(x3 + 1) = (x2 + 1) b) Vì x2 - 5x + 6 = x2 - 3x - 2x + 6 = x(x - 3) - 2(x - 3) = (x - 3)(x - 2) nên (x2 - 5x + 6):(x - 3) = (x - 3)(x - 2): (x - 3) = (x - 2) III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Rút gọn các phân thức sau: x 2 +xy-y 2 2x 2 -3x+1 a) b) 2x 2 -3xy+y 2 x 2 +x-2 Bài 2: Phân tích thành nhân tử (với a, b, x, y là các số không âm) a) xy + y x + x + 1 b) a 3 − b3 + a 2b − ab 2 TIẾT 5. QUY ĐỒNG MẪU NHIỀU PHÂN THỨC I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Quy tắc quy đồng mẫu nhiều phân số: Bước 1: Tìm một bội chung của các mẫu (thường là BCNN) để làm mẫu chung. Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu) Bước 3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng. 5 7 Ví dụ: Quy đồng mẫu các phân số sau: và 12 30 * Bước 1: Tìm BCNN (12;30) = 60 * Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu: 60:12=5 60:30=2 * Bước 3: Nhân tử và mẫu của phân số với thừa số phụ tương ứng. 5 5.5 25 = = 12 12.5 60 7 7.2 14 = = 30 30.2 60 12
2. Quy đồng mẫu nhiều phân thức: Muốn quy đồng mẫu nhiều phân thức ta có thể làm như sau: - Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung. - Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức. - Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng. 3x x+3 Ví dụ: Quy đồng mẫu thức của và 2 2x + 4 x −4 * Bước 1: Tìm MTC. - Phân tích các mẫu thành nhân tử. 2x +4 = 2(x + 2) x2 - 4 = (x - 2) (x + 2) - MTC là: 2(x - 2) (x + 2) * Bước 2: Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu. +) 2(x - 2) (x + 2): 2(x + 2) = (x - 2) +) 2(x - 2)(x + 2): (x2 - 4) = 2 * Bước 3 : Nhân cả tử và mẫu của phân thức với nhân tử phụ tương ứng. 3x 3x 3x ( x − 2 ) = = 2 x + 4 2( x + 2) 2 ( x + 2 ) ( x − 2 ) x+3 x+3 2 ( x + 3) = = x − 4 ( x + 2)( x − 2) 2 ( x + 2 ) ( x − 2 ) 2 II. BÀI TẬP ÁP DỤNG 5 3 Bài 1: Quy đồng mẫu các phân thức sau: và 2 2x + 6 x −9 MTC: 2(x - 3)(x + 3) 5 5 5( x − 3) = = 2x + 6 2( x + 3) 2( x + 3)( x − 3) 3 3 3.2 6 = = = x − 9 ( x + 3)( x − 3) 2( x + 3)( x − 3) 2( x + 3)( x − 3) 2 III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Quy đồng mẫu các phân thức sau (có thể áp dụng quy tắc đổi dấu với m ột phân thức để tìm MTC thuận tiện hơn). 4x 2 − 3x + 5 1 − 2x a) ; x3 −1 x2 + x +1 10 5 b) ; x+2 2x − 4 13
TIẾT 6. QUY ĐỒNG MẪU NHIỀU PHÂN THỨC (Tiếp) I. Luyện tập: 2x x Bài 1: Quy đồng mẫu phân thức sau: và 2 x − 8x + 16 2 3x − 12 x Phân tích các mẫu: x2 - 8x + 16 = (x - 4)2 3x2 - 12x = 3x(x - 4) MTC: 3x(x - 4)2 2x 2x 2x.3x 6x 2 = = = x 2 − 8x + 16 ( x − 4) 2 3x ( x − 4) 2 3x ( x − 4) 2 x x x ( x − 4) = = 3x − 12 x 3x ( x − 4) 3x ( x − 4) 2 2 1 1 Bài 2: Rút gọn biểu thức : + 2+ 3 2− 3 Giải: MTC : (2+ 3 )(2- 3 ) 1 1 2− 3+2+ 3 4 Quy đồng: + = = =4 2+ 3 2− 3 4−3 1 x+2 1 2 Bài 3: Giải phương trình: = + x − 2 x x ( x − 2) Giải: ĐKXĐ: x 0;x 2 x+2 1 2 = + 2 2 x − 2 x x ( x − 2) � x + 2x = x − 2 + 2 � x + x = 0 x=0 ( k TM®K ) .Vậy phương trình có tập nghiệm S = � x ( x + 1) = 0 { −1} x = −1 ( TM®K ) II. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài1: Quy đồng mẫu các phân thức sau: x+ y x− y 1 1 a) ; ; b) ; ; x− y x+ y x+y x−y 3 2 3 6 Bài 2: Chứng minh đẳng thức : 6+2 −4 = 2 3 2 6 TIẾT 7: PHÉP CỘNG, PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ 14
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Cộng hai phân thức cùng mẫu: * Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức. A C A+C + = Ví dụ: Tính: B B B x2 4x + 4 x 2 + 4x + 4 x + 2 a) + = = 3x + 6 3x + 6 3x + 6 3 b) x2 + 2 2 .x + 2 = x 2 + 2 2 .x + 2 = (x + 2) = x + 2 2 2 .x + 2 2 .x + 2 2 .x + 2 2(x + 2) 2 2. Cộng hai phân thức không cùng mẫu: * Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đ ồng m ẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được. y − 12 6 Ví dụ: 6 y − 36 + y − 6y 2 MTC: 6y(y - 6) y − 12 6 y − 12 6 (y -12)y 6.6 6 y − 36 + = y − 6 y 6( y − 6) 2 + y ( y − 6) = + 6 y ( y − 6) 6y(y-6) y 2 − 12 y + 36 ( y − 6) 2 y−6 = = = 6y 6 y ( y − 6) 6 y ( y − 6) *Chú ý: Phép cộng phân thức có các tính chất sau: A C C A - Tính chất giao hoán: + = + B D D B � � � � A C E A C E - Tính chất kết hợp: � + �+ = + � + � �B D � F B �D F � 3. Phép trừ các phân thức đại số: A C A *Quy tắc: Muốn trừ phân thức cho phân thức , ta cộng với phân thức đối B D B C của A C A  C D - = + −  B D B  D Ví dụ: x+3 x +1 ( x + 3) � x +1 � a) - 2 = + − � � x −1 x − x 2 ( x − 1) 2 � x( x − 1) � x+3 � ( x + 1) � ( x + 3) x � ( x + 1)( x + 1) � = − +� = + − ( x + 1)( x − 1) � x( x − 1) � � � � x( x + 1)( x − 1) � x( x + 1)( x − 1) � 15
( x + 3) x − ( x + 1) 2 x −1 1 = = = x( x + 1)( x − 1) x( x − 1) x( x + 1) 2 3+x x+2 ( 3 + x)  − x + 2  b) - = +  x−2 ( 3 − x) x−2  3−x � � ( 3 + x)( 3 − x) � ( x + 2 ) ( x − 2 ) �= 3 − x − ( x − 4) = 2 2 7 − 2 x2 = + − ( x − 2)( 3 − x) � ( x − 2) 3 − x � ( ) � ( x − 2)( 3 − x) � ( x − 2)( 3 − x) II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Thực hiện phép tính sau: 2x 2 − x x −1 2 − x2 + + x −1 1− x x −1 2x 2 − x x −1 2 − x2 2 − x2 ( x − 1) 2 = - + = = = x −1 x −1 x −1 x −1 x −1 x −1 Bài 2: Rút gọn biểu thức x +1 2 x ( x + 1)( x + 2) + 2 x ( x − 2) P = + = x −2 x +2 x−4 x + 2 x + x + 2 + 2x − 4 x 3x − x + 2 = = x−4 x−4 III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 1 1 Bài 1: Tính: − x x −1 x +1 2 x 2+5 x Bài 2: Cho biểu thức: P = + − x −2 x +2 4− x a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị của P khi x = 1. TIẾT 8: PHÉP NHÂN, CHIA CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Phép nhân các phân thức đại số: A C A.C . = (B; D ≠ 0) B D B.D Ví dụ: x − 1 x + 1 ( x + 1)( x − 1) x2 −1 a) . = = 2 x + 2 x − 2 ( x + 2)( x − 2) x − 4 16
3 + x x − 3 ( 3 + x)( x − 3) x 2 − 3 b) . = = 2 x +1 1− x ( x + 1)(1 − x) x −1 2. Phép chia các phân thức đại số: A C A D : = . ( B, C , D 0) B D B C Ví dụ: 7 − x x +1 7 − x x + 2 7 − x a) : = . = (x -2, x -1) x + 2 x + 2 x + 2 x +1 x +1 x 2 − 2 x 2 + 2 .x x2 − 2 ( x − 1) (x − 2) b) 2 : = . = (x 1, x - 2 ) x −x x −1 x( x − 1) x( x + 2 ) x2 3. Biến đổi biểu thức hữu tỉ: - Biểu thức hữu tỉ là biểu thức có chứa các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức đại số. - Biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức là sử dụng các quy tắc cộng, trừ nhân, chia các phân thức đại số để biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức . II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Thực hiện phép tính: 7 x + 2 14 x + 4 7 x + 2 x 2 y (7 x + 2) x 2 y x : = . = = 3 xy 3 2 x y 3xy 14 x + 4 3 xy (14 x + 4) 6 y 2 3 3  x x  3− x Bài 2: Rút gọn biểu thức: Q =  + − (đ/k:....) 1− x 1 + x  1 − x x (1 + x ) + x (1 − x ) 3 − x = − 1− x 1− x 3 x − 3 − 3(1 − x ) −3 = = = 1− x 1− x 1+ x III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ  x x  x−2 Bài 1: Rút gọn biểu thức: A=  + .  x −2 x + 2  4 x x +1 x + 2 x + 3 Bài 2: Tính: : . x + 2 x + 3 x +1 TIẾT 9: BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI 17
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN A۳ A 0 a, A = A = b, A.B = A. B ( A 0,B 0 ) 2 −A � A < 0 A A c, = (A 0,B > 0 ) d, A 2B = A B ( B 0 ) B B Ví dụ: a) Rút gọn biểu thức: 2 + 8 + 50 = 2 +2 2 +5 2 =8 2 b) Rút gọn và tính giá trị biểu thức: 1 − 10a + 25a 2 − 4a , tại a = 2 1 − 10a + 25a 2 − 4a = (1 − 5a) 2 − 4a = 1 − 5a − 4a Thay a = 2 vào biểu thức trên ta được: 1− 5 2 − 4 2 = 2 −1 II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Rút gọn 20 − 45 + 75 − 180 = 2 5 − 3 5 + 5 5 − 6 5 = −2 5 � a 1 �� 1 2 � Bài 2: Cho biểu thức: A = � � a −1 − a − a � �: � + � � �� a + 1 a − 1 � a) Tìm điều kiện để A xác định và rút gọn A b) Tìm a để A > 0 Giải: a) Điều kiện A xác định: a > 0; a 1 � a 1 �� 1 2 � Ta có: A = � � a − 1 − a ( a − 1) �� : a + 1 + ( a − 1)( a + 1) � � �� a. a −1 a −1+ 2 a −1 a −1 a −1 = : = . = a ( a − 1) ( a − 1)( a + 1) a ( a − 1) a + 1 a a −1 b) A > 0 > 0 � a −1 > 0 � a > 1 a III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 3 2 Bài 1: Rút gọn: B = + 3 +1 3 −1 a � a � b Bài 2: Cho biểu thức: Q = − �1 + �: a 2 − b 2 � a 2 − b2 � a − a 2 − b2 a) Rút gọn Q. b) Tìm giá trị của Q khi a = 3b �2 + x 2− x 4x � x − 3 Bài 3: Cho biểu thức P = � � − − �: �2 − x 2+ x x −4� �2 x − x 18
a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị của x để P > 0, P < 0. c) Tìm giá trị của x sao cho P = 1 . TIẾT 10: BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI (Tiếp ) I. KIẾN THỨC CƠ BẢN a) A B = − A 2 B ( A < 0, B 0 ) ; A B = A 2B ( A 0, B 0 ) ; A 1 b) = AB ( AB 0,B 0) B B A A B c) = ( B > 0) ; B B d) C = ( C A− B ) (A 0, B 0, A B) . A+ B A−B C = C A+ B ( ) (A 0, B 0, A B) A− B A−B Ví dụ: Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với 1 biết:  1 1  a +1 M= + : với a > 0, a ≠ 1 a − a a − 1 a − 2 a + 1 Giải: � 1 1 � a +1 M =� + �: �a − a a − 1 �a − 2 a + 1 � 1+ a � a +1 =� �: � a ( a − 1) � ( a − 1) 2 a −1 1 = = 1− a a 1 Suy ra M = 1 − < 1 (Vì a > 0, a ≠ 1 ). Vậy M < 1 a II. BÀI TẬP ÁP DỤNG 5+ 5 +5− 5 Bài 1: Rút gọn biểu thức: 5− 5 5+ 5 Giải: ( ) ( 5 + 5) + ( 5 − 5) ( 5 − 5) = ( 5 + 5 ) +( 5 − 5) 2 2 5+ 5 +5− 5 = 5+ 5 =3 5− 5 5+ 5 5− 5 ( ) ( 5 + 5) ( 5 + 5) ( 5 − 5) 20 19
�x 2 x x �� x + 1 x −1 � Bài 2: Cho biểu thức: P= � � − � � � x −1 − x +1 � .� � � 4 4 x �� a) Tìm điều kiện xác định của P? Rút gọn P? b) Tìm giá trị của x để P = 0 Giải: a) Điều kiện: x > 0; x 1 ( ) ( x − 1) 2 2 �x 2 x x �� x + 1 x − 1 � x 2 x. x − x x +1 − P=� − �. � − �= . � 4 � 4 x �� x − 1 �� x +1 �� 4 x ( x −1) ( x + 1) = x3 − x . ( )( x + 1+ x −1 . x +1− x +1 ) = x ( x − 1) ( x + 1) 2 x − 2 . 4 x x −1 4 x x −1 = x ( x + 1) ( x −1) 2 x x=0 b) Để P = 0 � x ( x + 1) = 0 ⇔ x = −1 Các giá trị này không thỏa mãn điều kiện, do đó không có giá tr ị nào c ủa x đ ể P = 0. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 5+ 5 5− 5 Bài 1: Rút gọn biểu thức: + 5− 5 5+ 5 1− x x Bài 2: Cho biểu thức Q = 1− x a) Tìm điều kiện xác định Q? b) Rút gọn Q. c) Tìm x để Q = 1. �6x + 1 6x − 1 � x 2 − 36 Bài 3: Cho phân thức P = � 2 + 2 �. ; �x − 6x x + 6x �12x + 12 2 a) Tìm điều kiện xác định của P? b) Rút gọn P. c)Tính giá trị của P tại x = 9 + 4 5 . TIẾT 11: LUYỆN TẬP Câu 1: Rút gọn các phân thức sau: 20