intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Tài liệu hướng dẫn học tập Toán học 2: Phần 1 - Trường ĐH Thủ Dầu Một

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:60

Thêm vào BST
Báo xấu
13
lượt xem 4
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu biên soạn nhằm tạo ra một tài liệu học tập môn “ Toán 2” ngắn gọn, đầy đủ nội dung trong đề cương chi tiết môn học, đồng thời cung cấp hệ thống bài tập áp dụng phù hợp với chương trình toán Tiểu học hiện nay để rèn cho người học kỹ năng vận dụng các kiến thức đó vào việc giải các bài toán ở Tiểu học, từ đó hiểu được sự vận dụng các kiến thức đang học vào Toán Tiểu học. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung phần 1 tài liệu dưới đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu hướng dẫn học tập Toán học 2: Phần 1 - Trường ĐH Thủ Dầu Một

  1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN TÀI LIỆU GIẢNG DẠY TOÁN HỌC 2 Phân loại: Tài liệu hướng dẫn học tập Chủ biên: Ths.Đoàn Thị Diễm Ly Thành viên: Ths.Ngô Lê Hồng Phúc Ths.Nguyễn Vũ Vân Trang Bình Dương, 8 /2018
  2. LỜI MỞ ĐẦU Toán học 2 là một môn học bắt buộc cho sinh viên hệ thường xuyên, liên thông, chính quy chuyên ngành giáo dục tiểu học của trường ĐH Thủ Dầu Một. Đây là một trong những môn học có nhiều kiến thức trừu tượng so với trình độ của sinh viên tại trường. Đa số, các giáo trình sinh viên sử dụng để học tập môn học này đều từ các quyển giáo trình với các kiến thức trình bày chuyên sâu và xuất bản đã lâu. Do vậy, nhu cầu biên soạn tài liệu hướng dẫn học tập môn Toán 2 để phù hợp với trình độ và sử dụng cho sinh viên tại trường là rất cần thiết. Mục tiêu biên soạn nhằm tạo ra một tài liệu học tập môn “ Toán 2” ngắn gọn, đầy đủ nội dung trong đề cương chi tiết môn học, đồng thời cung cấp hệ thống bài tập áp dụng phù hợp với chương trình toán Tiểu học hiện nay để rèn cho người học kỹ năng vận dụng các kiến thức đó vào việc giải các bài toán ở Tiểu học, từ đó hiểu được sự vận dụng các kiến thức đang học vào Toán Tiểu học. Tài liệu được chia làm 3 chương, gồm những nội dung: Cấu trúc đại số (phần lý thuyết chúng tôi tham khảo, tổng hợp từ [1], [2], [6]); tập hợp số tự nhiên (phần lý thuyết chúng tôi tham khảo từ [1], [3], [4], [5]); tập hợp số hữu tỉ dương  , tập hợp số hữu tỉ , tập hợp số thực (phần lý thuyết chúng tôi tham khảo từ [1], [2], [4]). Nội dung tài liệu giới thiệu một số kiến thức về cấu trúc đại số, xây dựng tập số tự nhiên từ bản số tập hợp, xây dựng tập hợp số hữu tỷ theo sơ đồ    , xây dựng tập hợp số thực dựa trên khái niệm số thập phân và vận dụng các kiến thức về các tập hợp số vào dạy học các tập hợp số ở Tiểu học. Bên cạnh đó có trình bày lại lý thuyết, các định lí quan trọng được chứng minh (và một số định lí yêu cầu HS tự tham khảo hoặc chứng minh), hệ thống ví dụ giải chi tiết và hệ thống bài tập có hướng dẫn giải hoặc đáp số. Nhóm tác giả mong muốn sinh viên có thể vận dụng các kiến thức đã học giải quyết phần chứng minh còn lại hoặc dễ dàng tham khảo trong các quyển giáo trình được trích dẫn, giải quyết các bài tập. Mặc dù chúng tôi đã cố gắng biên soạn quyển tài liệu này, nhưng chắc chắn sẽ còn nhiều thiếu sót. Rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp của độc giả để tài liệu được hoàn thiện hơn. Bình Dương, tháng 8 năm 2018. Nhóm tác giả 1
  3. MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU ..................................................................................................................... 1 Chương 1 : CẤU TRÚC ĐẠI SỐ ......................................................................................... 4 §1. PHÉP TOÁN HAI NGÔI ........................................................................................... 4 1.1. Nhắc lại khái niệm ánh xạ ..................................................................................... 4 1.2. Phép toán hai ngôi ............................................................................................... 10 1.3. Các phần tử đặc biệt ............................................................................................ 11 § 2. NỬA NHÓM VÀ NHÓM ....................................................................................... 13 2.1. Nửa nhóm ............................................................................................................. 13 2.2. Nhóm .................................................................................................................... 13 2.3. Nhóm con ............................................................................................................. 15 2.4. Đồng cấu nhóm .................................................................................................... 17 §3. VÀNH VÀ TRƯỜNG .............................................................................................. 20 3.1.Vành ....................................................................................................................... 20 3.2.Trường ................................................................................................................... 26 BÀI TẬP ......................................................................................................................... 29 CHƯƠNG 2 : TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN .......................................................................... 34 §1 BẢN SỐ CỦA TẬP HỢP .......................................................................................... 34 1.1. Tập hợp tương đương .......................................................................................... 34 1.2. Bản số ................................................................................................................... 35 §2 TẬP SỐ TỰ NHIÊN .................................................................................................. 36 2.1. Tập hợp các số tự nhiên ....................................................................................... 36 2.2. Phép cộng và phép nhân các số tự nhiên ............................................................ 37 2.3. Quan hệ thứ tự trong tập ................................................................................. 37 §3 LÝ THUYẾT CHIA HẾT TRONG TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN ............................... 39 3.1. Phép chia hết và phép chia có dư ........................................................................ 39 3.2. Ước chung lớn nhất ............................................................................................. 40 3.3. Bội chung nhỏ nhất .............................................................................................. 42 3.4. Số nguyên tố và hợp số ....................................................................................... 43 §4 HỆ GHI SỐ ................................................................................................................ 45 4.1. Hệ ghi số g  phân .............................................................................................. 45 4.2. Các dấu hiệu chia hết ........................................................................................... 50 §5 NỘI DUNG VÀ CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA VIỆC DẠY HỌC MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ SỐ TỰ NHIÊN Ở TIỂU HỌC ................................................................................. 51 5.1. Nội dung dạy học số tự nhiên ở Tiểu học .......................................................... 51 5.2. Cơ sở toán học của việc dạy học một số vấn đề về số tự nhiên ở Tiểu học ..... 52 2
  4. BÀI TẬP ......................................................................................................................... 53 CHƯƠNG 3: TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM  , TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ , TẬP HỢP SỐ THỰC ............................................................................................................. 60 §1.XÂY DỰNG CÁC SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ ............................................................................................................ 60 1.1. Xây dựng các số hữu tỉ không âm ...................................................................... 60 1.2. Các phép toán trong tập hợp các số hữu tỉ không âm. ....................................... 62 §2. QUAN HỆ THỨ TỰ VÀ MỐI QUAN HỆ CỦA TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM  TRONG TOÁN TIỂU HỌC .............................................................................. 65 2.1. Quan hệ thứ tự trong tập hợp các số hữu tỉ không âm. ..................................... 65 2.2. Tập hợp số hữu tỉ không âm và phân số trong chương trình môn Toán ở Tiểu học. ............................................................................................................................ 65 §3. TẬP HỢP SỐ THẬP PHÂN KHÔNG ÂM ............................................................. 69 3.1. Phân số thập phân ................................................................................................. 69 3.2. Số thập phân không âm........................................................................................ 69 3.3. Dạng thu gọn của phân số thập phân .................................................................. 70 3.4. Các phép toán trên số thập phân.......................................................................... 70 3.5. Quan hệ thứ tự trong tập số thập phân ................................................................ 71 3.6. Số thập phân vô hạn tuần hoàn ............................................................................ 72 §4. SỐ THẬP PHÂN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TIỂU HỌC ................. 73 4.1. Hình thành khái niệm số thập phân .................................................................... 73 4.2. So sánh số thập phân ........................................................................................... 73 4.3. Các phép toán về số thập phân ............................................................................ 74 4.4. Giới thiệu các quy tắc tính nhẩm ........................................................................ 74 4.5. Giải toán về số thập phân .................................................................................... 74 §5. TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ VÀ TẬP HỢP SỐ THỰC .................................................. 76 5.1. Tập hợp số hữu tỉ. ................................................................................................ 76 5.2. Tập hợp số thực.................................................................................................... 77 BÀI TẬP ......................................................................................................................... 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................................. 83 3
  5. Chương 1 : CẤU TRÚC ĐẠI SỐ §1. PHÉP TOÁN HAI NGÔI 1.1.Nhắc lại khái niệm ánh xạ 1.1.1.Ánh xạ Định nghĩa 1.1. Một ánh xạ f từ tập hợp X đến tập hợp Y là một quy tắc cho mỗi phần tử x thuộc X tương ứng với một phần tử xác định y thuộc Y, kí hiệu y = f(x). Ta viết: f : X Y hay X  f Y x f ( x) x f ( x) X gọi là tập nguồn hay miền xác định và Y gọi là tập đích hay miền giá trị của ánh xạ f. Vậy f : X Y  x  X , y  Y : y  f ( x) (1) là ánh xạ   x f ( x) x1 , x2  X , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) (2) Lưu ý. Mỗi phần tử x của X có một và chỉ một phần tử f(x) nhưng mỗi phần tử y của Y chưa chắc có xX thỏa y=f(x). Ví dụ 1.1. Giả sử X ={1, 2, 3, 4} và Y = {x, y, z, t}. Cho các tương ứng từ X đến Y trong lược đồ hình bên dưới X Y X Y X Y ▪1 °x ▪1 °x °x B ▪a ▪2 °y ▪2 °y °y ▪b ▪3 °z ▪3 °z °z ▪c ▪4 °t ▪4 °t ▪d °t ▪ a) ▪ ▪ ▪ c b) ▪ c c) ▪ c Hình 1 ▪ ▪ ▪ e e Trong đó, hình 1a), phần tử 4 của X không có phần tử tương ứng trong Y, edo đó tương ứng này không thỏa điều kiện (1) của định nghĩa ánh xạ; Hình 1b), phần tử 2 của X ứng với hai phần tử x, t của Y nên tương ứng ▪ cnày không thỏa điều kiện (2) của định nghĩa ánh ▪ c ▪ c 4
  6. xạ; Tương ứng ở hình 1c) là ánh xạ vì mỗi phần tử thuộc X xác định một và chỉ một phần tử thuộc Y. Ví dụ 1.2. Một người có quy ước giữa màu sắc về trang phục khi đi làm với các ngày trong tuần như sau: Hai xanh Ba vàng Tư xanh Năm trắng Sáu xanh Bảy đỏ Rõ ràng tương ứng trên xác định một ánh xạ từ tập A={hai, ba, tư, năm, sáu, bảy} đến tập hợp B={xanh, vàng, trắng, đỏ}. Ví dụ 1.3. Với X  Y  . Tương ứng f:  , x x2 là ánh xạ từ đến vì mỗi x  xác định một và chỉ một y  thỏa y = x+2. 1.1.2. Một số ánh xạ đặc biệt • Ánh xạ hằng: là ánh xạ từ X vào Y sao cho mọi phần tử x thuộc X đều cho ảnh tại một phần tử duy nhất y0 thuộc Y. Tức là, với y0 Y cho trước ta có ánh xạ hằng: f : X Y x y0 • Ánh xạ đồng nhất: là ánh xạ f từ X vào chính X sao cho với mọi phần tử x trong X, ta có f(x) = x, kí hiệu 1X hay idX . Cụ thể, ta có: id X : X  X x x • Ánh xạ nhúng: là ánh xạ f từ tập A  X vào X sao cho f(x)= x với mọi x  A. 1.1.3. Ảnh và tạo ảnh Định nghĩa 1.2. Cho f : X  Y là một ánh xạ, x  X tùy ý, A là tập con X và B là tập con của Y. Khi đó, ta định nghĩa: a) f(x) là ảnh của x qua ánh xạ f hay giá trị của ánh xạ f tại điểm x; x được gọi là nghịch ảnh hay tạo ảnh của y với y là giá trị của ánh xạ f tại điểm x. b) Tập con của Y gồm tất cả các ảnh của mọi phần tử thuộc A gọi là ảnh của A qua ánh xạ f, ký hiệu là f(A). Vậy f ( A)   f (a) | a  A . 5
  7. c) Tập con của X gồm tất cả các tạo ảnh của mọi phần tử thuộc B gọi là tạo ảnh toàn phần của B qua ánh xạ f, ký hiệu là f 1 ( B) . Vậy : f 1 ( B)   x  X | f ( x)  B . Nếu B là tập chỉ có một phần tử {b}, thì ta viết f 1 (b) thay cho f 1 ({b}) và f 1 (b)   x  X | f ( x)  b . Ví dụ 1.4. Cho A = {-1, 0, 1}; B = {-1, - 2}; C = {3} và ánh xạ f:  x 3x  2 Khi đó f(A) = {-1, 2 , 5}; f(B) = {-1, - 4}; f(C) = {11}  2 1  4 1  và f 1 ( A)  -1, - ,-  ; f 1 ( B)  1,   ; f 1 (C )  f 1 (3)   .  3 3  3 3 1.1.4. Đơn ánh, toàn ánh, song ánh Định nghĩa 1.3. Ánh xạ f : X  Y được gọi là đơn ánh nếu với mọi y thuộc Y tồn tại nhiều nhất một x thuộc X sao cho y= f(x). Từ định nghĩa ta suy ra: Ánh xạ f : X  Y là đơn ánh khi và chỉ khi x1 , x2  X , x1  x2 thì f ( x1 )  f ( x2 ), hay Ánh xạ f : X  Y là đơn ánh khi và chỉ khi x1 , x2  X , f ( x1 )  f ( x2 ) thì x1  x2 . Lưu ý. Nếu ánh xạ f được cho dưới dạng y=f(x) thì ta có thể chứng minh f là đơn ánh bằng cách xét phương trình y=f(x), trong đó x xem là ẩn và y là tham số. Nếu phương trình này có không quá một nghiệm x  X với mọi y  Y thì f là một đơn ánh. Ví dụ 1.5. 1. Ánh xạ đồng nhất id X : X  X x x là một đơn ánh. 2. Ánh xạ f:  x x3 là một đơn ánh, vì x1 , x2  , x1  x2 thì x13  x23 . 3. Ánh xạ f : \ 0  1 x x 6
  8. 1 1 là một đơn ánh, vì với x1 , x2  \ {0}, x1  x2 thì  . x1 x2 4. Ánh xạ f:  x x2 không phải là đơn ánh vì –2 và 2 có cùng một ảnh là 4, nói cách khác, tồn tại x1 , x2  , x1  x2 mà f ( x1 )  f ( x2 ). Định nghĩa 1.4. Ánh xạ f : X  Y được gọi là toàn ánh nếu f ( X )  Y , tức là, với mọi y thuộc Y tồn tại ít nhất một x thuộc X sao cho y = f(x). Lưu ý. Nếu phương trình y=f(x) luôn có nghiệm x  X với mọi y  Y thì f là một toàn ánh. Ví dụ 1.6. 1. Ánh xạ đồng nhất idX là một toàn ánh. 2. Ánh xạ f:  x x3 là một toàn ánh, vì phương trình x3  y luôn có nghiệm x  3 y với mọi y  . 3. Ánh xạ f : \ 0  1 x x 1 không phải là toàn ánh, vì phương trình  y, y  có nghiệm khi và chỉ khi y  0 . x Định nghĩa 1.5. Ánh xạ f : X  Y được gọi là song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh, tức là, với mọi y  Y tồn tại duy nhất phần tử x  X sao cho y=f(x). Vậy f là một song ánh nếu và chỉ nếu f là tương ứng một-một giữa hai tập hợp. Lưu ý. Nếu phương trình y = f(x) có duy nhất nghiệm x  X với mọi y  Y thì f là một song ánh. Ví dụ 1.7. 1. Ánh xạ đồng nhất idX là một song ánh vì nó là vừa là đơn ánh vừa toàn ánh. 2. Cho A ={1, 2, 3} và B = {x, y, z} là hai tập hợp. Khi đó, giữa A và B tồn tại song ánh . 7
  9. A B 1 x 2 y 3 z 3. Tương tự, ánh xạ f:  x x3 cũng là một song ánh. • Minh họa bằng lược đồ Venn. ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ Đơn ánh ▪ c nhưng không toàn Toàn ánh nhưng không đơn Song ánh ánh ▪ c ánh ▪ c 1.1.5. Tích ánh xạ ▪ c ▪ c Định nghĩa 1.6. Cho hai ánh xạ f : X  Y và g : Y  Z . Khi đó, ánh xạ X Z x go ( f ( x)) c gf. được gọi là tích của ánh xạ f và ánh xạ g, kí hiệu g f ▪hay Ví dụ 1.8. Cho các ánh xạ f :  ,x 2 x, g :  ,x 2x 1. Khi đó, ánh xạ tích g f và f g được xác định bởi: g f ( x)  g ( f ( x))  g (2 x)  4 x  1, và f g ( x)  f ( g ( x))  f (2 x  1)  2  2 x  1  4 x  2. Nhận xét. a) Phép tích ánh xạ không có tính giao hoán, nghĩa là g f  f g. b) Nếu f : X  Y là một ánh xạ bất kì thì ta luôn có f id X  idY f  f . Định lí 1.1. Giả sử f : X  Y , g : Y  Z là các ánh xạ. Khi đó i) Nếu f, g là đơn ánh thì ánh xạ tích g f là một đơn ánh. 8
  10. ii) Nếu f, g là hai toàn ánh thì ánh xạ tích g f là một toàn ánh. iii) Nếu f, g là hai song ánh thì ánh xạ tích g f là một song ánh. Chứng minh. Giả sử g f : X  Z là ánh xạ tích của hai ánh xạ f và g . i) Với mọi x1 , x2  X , giả sử x1  x2 . Do f là đơn ánh, ta suy ra f ( x1 )  f ( x2 ). Mặt khác, g là đơn ánh nên g ( f ( x1 ))  g ( f ( x2 )) hay g f ( x1 )  g f ( x2 ). Vậy g f là đơn ánh. ii) Vì g là toàn ánh, nên với mọi z  Z , tồn tại y  Y sao cho g(y) = z. Mặt khác, f cũng là toàn ánh, nên với mọi y  Y , có x  X sao cho y = f(x). Suy ra, với mọi z  Z, tồn tại x  X sao cho g f (x) = g(f(x)) = g(y) = z. Vậy g f là toàn ánh. iii) Suy ra từ i) và ii).■ 1.1.6. Ánh xạ ngược Định nghĩa 1.7. Cho f : X  Y và g : Y  Z là hai ánh xạ thỏa g f  id X và f g  idY . Khi đó, g được gọi là ánh xạ ngược của f, kí hiệu g = f -1. Nhận xét. • Từ định nghĩa, ta suy ra f cũng là ánh xạ ngược của g. • Không phải bất kì ánh xạ nào cũng có ánh xạ ngược. Định lí sau cho chúng ta điều kiện tồn tại ánh xạ ngược. Định lí 1.2. Ánh xạ f : X  Y có một ánh xạ ngược khi và chỉ khi f là song ánh. Chứng minh. Bạn đọc tham khảo chứng minh trong [2]. Nhận xét. Nếu f : X  Y , x f ( x) có ánh xạ ngược là f 1 : Y  X thì ánh xạ f 1 được xác định bởi y f 1 ( y)  x , với f(x) = y. Ví dụ 1.9. 1. Ta có tương ứng sau là song ánh: f:  x x3 Ta có f ( x)  x 3  y  x 3 y Do đó f có ánh xạ ngược là: f 1 :  y 3 y Dễ dàng kiểm tra được f f 1  id và f 1 f  id . 9
  11. 2. Xét song ánh sau (ví dụ 7) : f : 0,     1,1 x cos x Ta có f ( x)  cos x  y  x  arccos y, y  [1,1]; x  [0,  ] Do đó ánh xạ ngược của f là: f 1 :  1;1  0,   y arc cos y Dễ dàng kiểm tra được f f 1  id[1,1] và f 1 f  id[0, ] . 1.1.7. Tích Descartes của hai tập hợp Định nghĩa 1.8. Tích Descartes của hai tập A và B là tập hợp gồm các phần tử có dạng (a, b) sao cho a  A và b  B . Kí hiệu là A  B. Vậy A  B  {(a, b) | a  A, b  B} . Hai phần tử (a, b) và (a’, b’) là bằng nhau khi và chỉ khi a = a’ và b = b’. Ví dụ 1.10. Cho A = {1, 2, 3} và B = {4, b}. Khi đó A  B  {(1,4),(1, b),(2,4),(2, b),(3,4),(3, b)} . Và B  A  {(4,1),(b,1),(4,2),(b,2),(4,3),(b,3)} . 1.2. Phép toán hai ngôi Định nghĩa 1.9. Cho X là một tập khác rỗng. Một phép toán hai ngôi trên tập hợp X là một ánh xạ T như sau: T : XX  X ( a, b) T ( a, b) Phần tử T(a, b) được gọi là cái hợp thành của a và b hay kết quả của phép toán T, kí hiệu aTb. Người ta thường dùng các kí hiệu +, ., *, … để chỉ cái hợp thành của a và b. Khi đó, aTb được kí hiệu tương ứng là a+b, a.b, a*b, ... Phép toán hai ngôi kí hiệu bằng dấu “+” được gọi là phép cộng, a+b được gọi là tổng của a và b. Phép toán hai ngôi kí hiệu bằng dấu “.” được gọi là phép nhân, a.b được gọi là tích của a và b. Ví dụ 1.11. 1. Phép cộng, nhân thông thường các số tự nhiên, các số nguyên, các số hữu tỉ, các số thực là các phép toán hai ngôi trên các tập hợp , , , . 10
  12. 2. Phép trừ các số tự nhiên không phải là phép toán hai ngôi trên tập các số tự nhiên . 3. Phép chia các số thực không phải phép toán hai ngôi trên tập các số thực . 4. Phép chia các số thực khác 0 là phép toán hai ngôi trên tập các số thực khác không  . Định nghĩa 1.10. Cho tập hợp X với phép toán hai ngôi *. Ta định nghĩa: a) Phép toán * có tính giao hoán nếu và chỉ nếu x, y  X , x * y  y * x. b) Phép toán * có tính kết hợp nếu và chỉ nếu x, y, z  X ,( x  y )  z  x  ( y  z ). 1.3. Các phần tử đặc biệt 1.3.1. Phần tử trung hòa Định nghĩa 1.11. Cho * là một phép toán hai ngôi trên tập X, phần tử eX được gọi là phần tử trung hòa đối với phép toán * nếu và chỉ nếu x  X , e  x  x  e  x. Định lý 5. Nếu trong tập X có phần tử trung hòa đối với phép toán * thì phần tử trung hòa đó là duy nhất. Chứng minh. Giả sử e và e’ là hai phần tử trung hòa đối với phép toán *. Vì e là phần tử trung hòa của phép toán * nên e*e’=e’. Mặt khác, e’ cũng là phần tử trung hòa của phép toán * nên e*e’=e. Từ đó suy ra e=e’.■ Ví dụ 1.12. 1. Trên các tập hợp , , , ta có 0 là phần tử trung hòa đối với phép cộng thông thường các số tự nhiên, các số nguyên, các số hữu tỉ và các số thực. 2. Trên các tập hợp , , , ta có số 1 là phần tử trung hòa đối với phép nhân thông thường các số tự nhiên, các số nguyên, các số hữu tỉ và các số thực. 3. Trên tập hợp các số tự nhiên , với phép toán a * b  ab không có phần tử trung hòa. 1.3.2. Phần tử đối xứng Định nghĩa 1.12. Cho X là một tập hợp với phép toán hai ngôi * và e là phần tử trung hòa của X đối với phép toán *. Phần tử bX được gọi là phần tử đối xứng của aX đối với phép toán * nếu b*a = a*b = e. Định lý 1.3. Cho tập hợp X với phép toán hai ngôi * có tính chất kết hợp, có phần tử trung hòa là e. Nếu b và b’ là hai phần tử đối xứng của phần tử aX thì b = b’. Chứng minh. Giả sử aX có hai phần tử đối xứng là b và b’. Khi đó, ta có a*b’ = e và b*a = e. Do * có tính chất kết hợp nên ta có e*b’=(b*a)*b’ = b*(a*b’) = b*e = e*b . Vậy b’=b.■ 11
  13. Ví dụ 1.13. 1. Đối với phép cộng các số tự nhiên chỉ có số 0 là có phần tử đối xứng và phần tử đối xứng của 0 là 0. 2. Đối với phép cộng các số nguyên, mỗi số nguyên a  có phần tử đối xứng là a  . 3. Đối với phép nhân các số nguyên, mọi số nguyên khác 1 và -1 đều không có phần tử đối xứng trong ; phần tử đối xứng của 1 và -1 là chính nó. 4. Đối với phép nhân các số hữu tỉ, mọi số hữu tỉ q  khác 0 đều có phần tử đối xứng 1 là  . q 1.3.3. Qui ước và kí hiệu • Đối với phép toán cộng “+”: •• Phần tử trung hòa được gọi là phần tử không, kí hiệu là 0. •• Phần tử đối xứng của x được gọi là phần tử đối của x, kí hiệu là – x. • Đối với phép toán nhân “.”: •• Phần tử trung hòa được gọi là phần tử đơn vị, kí hiệu là e hoặc 1. •• Phần tử đối xứng của x được gọi là phần tử nghịch đảo của x, kí hiệu là x 1. 1.4. Phép toán cảm sinh Định nghĩa 1.13. Cho * là một phép toán hai ngôi trên tập X và A là một tập con khác rỗng của X. A được gọi là tập con ổn định đối với phép toán * nếu với mọi a, b thuộc A thì a*b thuộc A, tức là a, b  A : a  b  A. . Ví dụ 1.14. 1. Tập hợp S ={1, -1} là tập con ổn định của tập các số nguyên đối với phép nhân. 2. Tập hợp các số tự nhiên là tập con ổn định của tập các số nguyên đối với phép cộng và đối với phép nhân. Nhưng nó không ổn định đối với phép trừ. 3. Tập A  2 x | x   là tập con ổn định của tập các số nguyên đối với phép cộng và đối với phép nhân. 4. Tập B  2 x  1| x   là tập con ổn định đối với phép nhân các số nguyên nhưng nó không ổn định đối với phép cộng các số nguyên. Định nghĩa 1.14. Cho X là một tập hợp với phép toán hai ngôi * và A là một tập con ổn định đối với phép toán * của X. Khi đó ánh xạ : : X  X  X (a; b) a b cảm sinh với ánh xạ 12
  14. ' : A  A  A (a; b) a  ' b  a  b Ta nói *’ là phép toán cảm sinh trên A bởi phép toán * của X và thường kí hiệu phép toán cảm sinh như phép toán của X. Ví dụ 1.15. 1. Phép cộng các số tự nhiên chẵn là phép toán cảm sinh của phép cộng các số tự nhiên. 2. Phép cộng các số nguyên cảm sinh ra phép cộng các số nguyên là bội của một số nguyên m cho trước. § 2. NỬA NHÓM VÀ NHÓM 2.1. Nửa nhóm Định nghĩa 2.1. Tập hợp X khác rỗng với phép toán hai ngôi * được gọi là nửa nhóm nếu phép toán * có tính kết hợp trên X. Kí hiệu (X, *). Nếu phép toán * trên X giao hoán thì (X, *) được gọi là nửa nhóm giao hoán. Nếu nửa nhóm (X, *) có phần tử trung lập thì (X, *) được gọi là một vị nhóm. Ví dụ 2.1. 1.  ,. ,  ,   với phép cộng và nhân các số tự nhiên thông thường, là các vị nhóm. 2.  ,   với phép trừ các số nguyên thông thường, không phải là nửa nhóm. Định nghĩa 2.2. Trong nửa nhóm (X, .), với mọi x, y, z  X ta có  xy  z  x  yz  và được kí hiệu chung là xyz, gọi là tích của 3 phần tử x, y, z theo thứ tự đó. Bằng quy nạp, ta định nghĩa tích của n phần tử x1 , x2 ,..., xn  X , n  3 là x1 x2 ...xn  ( x1 x2 ...xn1 ) xn . Định nghĩa 2.3. Trong một nửa nhóm (X,.), tích của n phần tử đều bằng a  X , được gọi là lũy thừa n của một phần tử a, kí hiệu a n . Ta có quy tắc a m .a n  a m n ;  a m   a mn . n Trong nửa nhóm (X, +), tổng của n phần tử a  X gọi là bội n của a, kí hiệu na. Ta có quy tắc ma + na = (m+n)a; n(ma) = mna. 2.2. Nhóm Định nghĩa 2.4. Tập hợp X với phép toán hai ngôi * là một nhóm nếu thỏa các điều kiện sau: i) (X, *) là nửa nhóm. ii) Phép toán * có phần tử trung hòa, tức là:  e X,  a X : e*a = a*e = a. iii) Mọi phần tử thuộc X đều có phần tử đối xứng, tức là: aX, a’X : a’*a=a*a’=e. 13
  15. Định nghĩa 2.5. a) Nhóm (X, *) được gọi là nhóm giao hoán hay aben nếu phép toán * giao hoán. b) Nếu nhóm X là tập hữu hạn có n phần tử thì X được gọi là nhóm có cấp n. c) Nếu X là tập vô hạn phần tử thì nhóm X được gọi là nhóm có cấp vô hạn. Ví dụ 2.2. 1. Vị nhóm  ,   không có cấu trúc nhóm vì các số tự nhiên khác 0 đều không có phần tử đối xứng. 2. Tập hợp các số nguyên với phép toán cộng thông thường là một nhóm, phần tử trung hòa là 0; x  , phần tử đối của x là –x. 3. Tập hợp các số hữu tỉ khác 0 với phép nhân thông thường là một nhóm, phần tử 1 đơn vị là 1; x   , phần tử nghịch đảo của x là . x 4. Chứng minh rằng tập hợp các số nguyên với phép toán hai ngôi x  y  x  y  1, trong đó phép cộng trừ ở vế phải là phép cộng trừ thông thường các số nguyên, là một nhóm aben. Giải. Thật vậy, với x, y, z  tùy ý, ta có:  x  y   z   x  y  1  z  x  y  1  z  1  x  y  z  2 x   y  z   x   y  z  1  x  y  z  1  1  x  y  z  2 Suy ra  x  y   z  x   y  z  . Do đó, phép toán * có tính kết hợp trên . Giả sử e là phần tử trung hòa của phép toán *. Khi đó, với mọi x  , ta có: xe  e x  x  x  e 1  e  x 1  x  e 1 Thử lại, ta có x 1  1 x  x, x  , do đó 1 là phần tử trung hòa của phép toán *. Với mọi x  , phần tử nghịch đảo của x là 2 – x vì x  (2  x)  x  2  x  1  1 và (2  x)  x  2  x  x  1  1 . Với mọi x, y  , ta có: x  y  x  y 1  y  x 1  y  x . Do đó, phép toán * giao hoán. Vậy  , là một nhóm aben. Định lí 2.1. Trong nhóm X, với phép toán  , ta có: 14
  16. i) Phần tử trung hòa là duy nhất. ii) Phần tử đối xứng của x  X là duy nhất và  x 1   x. 1 iii) Phương trình ax=b (xa=b), a, bX, có nghiệm duy nhất x  a 1b ( x  ba 1 ). iv) Với mọi x, y  X , ta có  xy   y 1 x 1. 1 v) Với mọi x, y, z  X , ta có • xy  xz kéo theo y = z (luật giản ước bên trái) • yx = zx kéo theo y = z( luật giản ước bên phải) Chứng minh. i) Giả sử e và e’ là hai phần tử trung hòa của phép toán  . Khi đó, ta có e là phần tử trung hòa nên e  e '  e '. Mặt khác, e’ cũng là phần tử trung hòa nên e  e '  e. Do đó, suy ra e = e’. Vậy phần tử trung hòa là duy nhất. ii) Giả sử x1 , x2 là hai phần tử đối xứng của x  X . Khi đó, ta có: x1 x  e và xx2  e với e là phần tử trung hòa của phép toán  . Do đó, x1  x1e  x1 ( xx2 )  ( x1 x) x2  ex2  x2 . Vậy phần tử đối xứng của x  X là duy nhất. Mặt khác, ta có x1x  xx1  e . Vậy  x 1   x. 1     iii) Ta có a a 1b  aa 1 b  b, do đó x  a 1b là một nghiệm của phương trình ax=b. Giả sử t là nghiệm nào đó của ax=b. Khi đó, ta có at=b.   Suy ra a 1b  a 1 (at )  a 1a t  t . Vậy phương trình ax=b, a, bX, có nghiệm duy nhất x  a1b. Chứng minh tương tự cho phương trình xa=b. iv) Với mọi x, y  X , ta có  xy   y 1x1   x  yy 1  x1  xex1  xx1  e     và y 1x1  xy   y 1 x1x y  y 1ey  yy 1  e . Theo định nghĩa phần tử đối xứng ta suy ra  xy   y 1 x 1. 1 v) Với mọi x, y, z  X , ta có xy  xz .     Suy ra x 1  xy   x 1  xz  hay x 1 x y  x 1x z . Do đó, y = z. Làm tương tự ta được điều cần chứng minh.■ 2.3. Nhóm con 15
  17. Định nghĩa 2.6. Cho (X, *) là nhóm. Một tập con A của X được gọi là ổn định đối với phép toán * khi và chỉ khi với x, yA, x*yA. Ví dụ 2.3. 1. Tập  ,   là một nhóm và là tập con của , ta có ổn định đối với phép toán cộng trên . 2. S  {1; 1} là tập con của nhóm  ,   và S không ổn định với phép cộng trên vì 1  1  0  S. Định nghĩa 2.7. Một tập con A ổn định đối với phép toán * của nhóm (X,*) được gọi là nhóm con của X nếu (A, *) là một nhóm, kí hiệu A  X . Ví dụ 2.4. 1.  ,    ,    ,  . 2. ổn định đối với phép toán cộng trên nhưng  ,   không phải nhóm con của nhóm  ,   vì  ,   không phải nhóm. 3. S  {1; 1}   * ,. . Định lí 2. Nếu A là nhóm con của nhóm (X, *) và e là phần tử trung hòa của X thì e  A và e cũng là phần tử trung hòa của nhóm A. Chứng minh. Ta có A là nhóm con của nhóm X. Giả sử e’ là phần tử trung hòa của A. Khi đó, với mọi a  A ta có ae '  e ' a  a. Mặt khác, e là phần tử trung hòa của X nên ta cũng có ae  ea  a. Từ đó suy ra ae '  ae hay e = e’.■ Định lí 3. Cho A là một tập con khác rỗng của nhóm (X, .). Các điều kiện sau tương đương: i) (A, .) là một nhóm con của (X, .). ii) a, b  A, ab  A, a 1  A. iii) a, b  A, ab 1  A. Chứng minh. i) ii) Ta có A là nhóm con của nhóm X nên A là nhóm, do đó ta có ii). i) iii) Với mọi a, b  A, theo ii) ta có b1  A . Mặt khác, cũng theo ii) ta suy ra ab1  A. iii)  i) Gọi e là phần tử trung hòa của nhóm X. Vì A≠ϕ nên tồn tại a  A . Do đó, ta có e  a a 1  A . Mặt khác, với mọi a  A và e  A thì theo iii) ta có ea 1  A . Mà 1 1 1 a  ea 1 , do đó a  A thỏa aa  a 1a  e. Từ đây ta suy ra với mọi a, b  A thì b1  A , do đó theo iii) thì ab  A. Tức A là ổn định với phép nhân trong X. Hơn nữa, A là 16
  18. tập con của X và phép nhân trong X có tính kết hợp nên phép nhân cảm sinh trên A cũng có tính kết hợp. Vậy A là nhóm với phép nhân trên X, do đó A là nhóm con của X.■ Ví dụ 2.5. Chứng minh rằng 5  {5k | k  } là một nhóm con của nhóm ( , ) . Giải. Theo định lí trên ta sẽ chứng minh 5  , 5   và a, b  5 , a  b  5 . Dễ thấy 5  . Mặt khác 0  5.0  5 , do đó 5  . Hơn nữa, với mọi a, b  5 , ta có a  5m, b  5n với m, n  5 . Khi đó, a  b  5m  5n  5(m  n)  5 vì m  n  . Vậy 5 là nhóm con của nhóm ( , ) . 2.4.Đồng cấu nhóm 2.4.1.Định nghĩa và ví dụ. Định nghĩa 2.8. Cho hai nhóm ( X , ),(Y , ). Một ánh xạ f : X  Y được gọi là một đồng cấu nhóm nếu và chỉ nếu f ( x  y )  f ( x) f ( y ), với mọi x, y  X . Nếu X =Y thì đồng cấu f : X  X được gọi là tự đồng cấu trên X. Nếu f vừa là đồng cấu vừa là đơn ánh thì f được gọi là đơn cấu. Nếu f vừa là đồng cấu vừa là toàn ánh thì f được gọi là toàn cấu. Nếu f vừa là đồng cấu vừa là song ánh thì f được gọi là đẳng cấu. Ví dụ 2.6. 1. Cho (X, .), (Y, .) là hai nhóm nhân và eY là phần tử trung hòa của Y. Ánh xạ f : X Y , x eY là một đồng cấu vì x, y  X , f ( xy )  eY  eY eY  f ( x) f ( y ) và gọi là đồng cấu tầm thường. 2. Cho  A,.  ( X ,.) . Ánh xạ j:A X , a a là một đơn cấu vì a, b  A, j (ab)  ab  j (a) j (b) và j là một đơn ánh. Ta gọi j là đơn cấu chính tắc. 3. Cho nhóm nhân (X, .). Ánh xạ id X : X  X , x x là một tự đẳng cấu vì x, y  X , id X ( xy )  xy  id X ( x)id X ( y ) và idX là một song ánh. Ta gọi idX là tự đẳng cấu đồng nhất. 17
  19. 4. Chứng minh rằng tương ứng f:  , x 7x là một đơn cấu từ nhóm  ,   vào chính nó. Giải. Với mọi x  , suy ra tồn tại y  7 x  . Với mọi x1 , x2  , ta có x1  x2  7 x1  7 x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Do đó f là một đơn ánh. Mặt khác, với mọi x, y  , ta có f ( x  y)  7( x  y)  7 x  7 y  f ( x)  f ( y). Vậy f là một đơn cấu. 2.4.2.Các tính chất của đồng cấu nhóm. Định lí 2.4. Tích của hai đồng cấu nhóm là một đồng cấu nhóm. Chứng minh. Giả sử f : X  Y và g : Y  Z là các đồng cấu nhóm nhân. Khi đó, với mọi x1 , x2  X , ta có gf ( x1 x2 )  g  f ( x1 x2 )   g  f ( x1 ) f ( x2 )   g  f ( x1 )  g  f ( x2 )   gf ( x1 ) gf ( x2 ) . Suy ra gf là một đồng cấu nhóm.■ Định lí 2.5. Giả sử f : X  Y là một đồng cấu từ nhóm nhân X vào nhóm nhân Y, eX , eY lần lượt là các phần tử đơn vị của X và Y . Khi đó: i) f (eX )  eY . ii) f ( x 1 )  [ f ( x)]1 , x  X . Chứng minh. i) Ta có eY f (eX )  f (eX )  f (eX .eX )  f (eX ) f (eX ). Do đó, eY f (eX )  f (eX ) f (eX ). Theo luật giản ước ta suy ra f (eX )  eY . ii) Với mọi x  X , ta có: f ( x 1 ) f ( x)  f ( x 1 x)  f (eX )  eY Và f ( x) f ( x 1 )  f ( xx 1 )  f (eX )  eY Từ định nghĩa phần tử nghịch đảo ta suy ra [ f ( x)]1  f ( x 1 ). ■ 18
  20. Định lí 2.6. Cho f : X  Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y, A là nhóm con của X và B là nhóm con của Y. Khi đó, ta có: i) f(A) là nhóm con của Y. ii) f -1(B) là nhóm con của X. Chứng minh. i) Ta có f ( A)   f (a) | a  A . Vì A là nhóm con của X nên eX  A , do đó eY  f (eX )  f ( A). Vậy f ( A)  . Lấy tùy ý b1 , b2  f ( A). Suy ra tồn tại a1 , a2  A sao cho b1  f  a1  , b2  f  a2  . Khi đó, ta có b1b2 1  f  a1  f  a2   f  a1  f  a21   f  a1a21  . Vì A là nhóm con của X nên 1 a1a21  A , do đó b1b2 1  f  a1a21   f  A . Vậy f(A) là nhóm con của Y. ii) Ta có f 1 ( B)   x  X | f ( x)  B. Vì B là nhóm con của Y nên eY  B, do đó f  eX   eY  B , suy ra eX  f 1 ( B ) . Vậy f 1 ( B)  . Lấy tùy ý x1 , x2  f 1 ( B) . Khi đó, ta có f  x1  , f  x2   B . Mà B là nhóm con của Y nên f  x1   f  x2    B. Mặt khác, ta có f  x1 x21   f  x1  f  x21   f  x1   f  x2   . Suy ra 1 1 f  x1 x21   B, do đó x1 x21  f 1  B  . Vậy f 1 ( B) là nhóm con của Y. ■ 2.4.3.Ảnh và hạt nhân của đồng cấu nhóm. Định nghĩa 2.9. Cho f : X  Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y. Ta định nghĩa: i) Ảnh của đồng cấu f, kí hiệu là Imf , là tập được xác định Imf  f ( X )   f ( x) | x  X . ii) Hạt nhân của đồng cấu f, kí hiệu K er f , là tập được xác định bởi K er f  f 1  eY   x  X | f ( x)  eY  . Định lí 2.7. Cho f : X  Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y. Khi đó: i) f là một toàn cấu khi và chỉ khi Imf = Y. ii) f là một đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = {eX}. Chứng minh. i) Theo định nghĩa của toàn ánh, ta có f là toàn ánh khi và chỉ khi f(X) =Y. Do đó, chứng minh được i). ii) Giả sử f là một đơn cấu. Ta chứng minh Kerf = {eX}. 19
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2