Tài liệu hướng dẫn học tập Toán học 2: Phần 2 - Trường ĐH Thủ Dầu Một

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu hướng dẫn học tập Toán học 2 được chia làm 3 chương, gồm những nội dung: Cấu trúc đại số; tập hợp số tự nhiên; tập hợp số hữu tỉ dương Q, tập hợp số hữu tỉ, tập hợp số thực. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung phần 2 tài liệu dưới đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu hướng dẫn học tập Toán học 2: Phần 2 - Trường ĐH Thủ Dầu Một

CHƯƠNG 3: TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM  , TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ , TẬP HỢP SỐ THỰC §1.XÂY DỰNG CÁC SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ 1.1. Xây dựng các số hữu tỉ không âm Trong toán học và trong cuộc sống hàng ngày ta thường gặp các bài toán: – Tìm thương của phép chia: 3:2 Thông qua một bài toán thực tế, chẳng hạn:“Bạn Lan làm được 3 cái bánh bông lan nướng và đem chia đều cho 2 bạn thân. Hỏi mỗi bạn được bao nhiêu cái bánh” – Dùng đơn vị là mét để biểu diễn các số đo: 1m, 2dm, 5cm hoặc 25cm. – Dùng đơn vị là kilôgam để biểu diễn số đo: 14kg, 5g hoặc 1245g. Trong phạm vi tập các số tự nhiên, các bài toán trên đều không có lời giải. Do đòi hỏi, nhu cầu của thực tiễn toán học, đời sống lao động và sản xuất, chúng ta thường xuyên phải tìm lời giải cho các bài toán trên. Vì vậy, đặt ra cho chúng ta nhiệm vụ phải mở rộng tập hợp số tự nhiên thêm những số mới, để trong tập hợp số mới nhận được này, chúng ta sẽ tìm được lời giải của các bài toán thuộc các dạng nêu trên. Khi tính toán, chúng ta thường xuyên vận dụng các tính chất của các phép toán trên phân số, số thập phân. Chẳng hạn: – Tính chất giao hoán. – Tính chất kết hợp. – Tính chất của số 0. – Tính chất của số 1. Những tính chất, quy tắc thực hành tính toán trên đây học sinh thường tiếp nhận bằng hình thức thừa nhận, áp đặt mà không chứng minh được một cách chặt chẽ. Giáo viên thường minh hoạ tính đúng đắn của chúng thông qua một số ví dụ cụ thể. Chẳng hạn, thông qua bài toán: Tính rồi so sánh kết quả (xem [1], trang 65). a B c (a + b) x c axc+bxc 2,4 3,8 1,2 6,5 2,7 0,8 8,2 1,8 14,7 Từ bài toán này, giáo viên rút ra cho học sinh quy tắc: Muốn nhân một tổng với một số, 60
ta có thể nhân từng số hạng của tổng với số đó rồi cộng kết quả lại. Bằng cách này, học sinh phải tiếp thu một cách thụ động, không nắm được cơ sở lí luận của những quy tắc đó.Tuy nhiên, với giáo sinh, những người sẽ ra giảng dạy ở phổ thông sau này, việc nắm được cơ sở lí luận của những vấn đề nêu trên là điều thiết thực và bổ ích. Vì hai lí do nêu trên, chúng ta cần mở rộng tập số tự nhiên thêm những số mới để trong tập hợp số mới này (mà dưới đây ta sẽ gọi là tập các số hữu tỉ không âm), các phép chia số tự nhiên (cho một số tự nhiên khác 0) đều thực hiện được, số đo của các phép đo đại lượng đều biểu diễn được, các quy tắc thực hành tính toán với phân số và số thập phân đều được chứng minh chặt chẽ. Ta sẽ sử dụng kí hiệu (hoặc * ) để chỉ tập số tự nhiên (hoặc tập số tự nhiên 2 2 4 6  khác 0). Như chúng ta đã biết phân số tạo thành một lớp  ; ; ;.... gồm các phân số 3 3 6 9  bằng với nó. Ý tưởng trên đây được thể hiện bằng ngôn ngữ của toán học hiện đại như sau: Mỗi cặp sắp thứ tự (a; b), trong đó a  , b  * ta gọi là một phân số không âm (hay để cho gọn, ta sẽ gọi là phân số). a Tập tất cả các phân số kí hiệu là P. Khi đó phân số được kí hiệu là và b a  P   , a  ,b  * . b  a a c Trên tập P, xác định quan hệ hai ngôi s như sau:   P, s  ad  bc b b d Dễ dàng kiểm tra được s có tính chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu nên s là một quan hệ tương đương xác định trên tập các phân số P. Do đó, ta có thể phân chia tập P theo quan hệ tương đương e và nhận được tập thương P/e. Ta sẽ gọi tập thương P/s là tập các số hữu tỉ không âm và kí hiệu là  . Mỗi phần tử của tập  ta gọi là một số hữu tỉ không âm. a Vậy với r   , r được xác định bởi một lớp các phân số tương đương với phân số , b a c c a a hay r  C     / s  . Khi đó, một phân số thuộc C   là một đại diện của số hữu  b  d d b  b tỉ r. a a Để thuận lợi hơn, ta kí hiệu thay cho C   . Khi đó, nói đến phân số đại diện của một b b a số hữu tỉ, ta thường hiểu là phân số tối giản trong C   . b 61
1.2. Các phép toán trong tập hợp các số hữu tỉ không âm. 1..2.1 Phép cộng và phép nhân 4 5 Ví dụ 1.1. Cho hai phân số và . Theo chương trình Toán Tiểu học như chúng ta đã 7 9 biết: 5 4 5.7  4.9 71    9 7 9.7 63 5 4 5.4 20 .   9 7 9.7 63 Như phần trên ta đã biết, C   và C   là tập hợp các phân số bằng với và . 4 5 4 5 7 9 7 9 Chọn một trong số các phân số trong lớp đó, ta được đại diện của số hữu tỉ đó. Ngược lại, khi có một phân số đại diện của một số hữu tỉ thì số hữu tỉ đó cũng hoàn toàn được xác định bởi phân số đại diện này. Từ phân tích trên, ta đi tìm ý tưởng cộng hai số hữu tỷ, như sau: 5 4  71  C C   C  9 7  63  Tương tự, ta tìm hiệu, tích, thương của hai số hữu tỉ này. Một cách tổng quát, ta đi đến định nghĩa dưới đây: Định nghĩa 1.1 a c Cho hai số hữu tỉ u và v có phân số đại diện là và . b d a) Tổng của hai số hữu tỷ được ký hiệu là w = u+v, trong đó số hữu tỷ w có phân số a.d  b.c a.d  b.c  , hay C    C    C  a c đại diện là . bd b d   bd  Quy tắc cho tương ứng mỗi cặp số hữu tỉ u và v với một số hữu tỉ w nói trên gọi là phép cộng các số hữu tỉ không âm, trong đó u và v gọi là các số hạng, w gọi là tổng. b) Tích của hai số hữu tỷ được ký hiệu là r = u+v, trong đó số hữu tỷ r có phân số đại ac a  c   ac  diện là , hay C   .C    C   . bd b d   bd  * Quy tắc cho tương ứng mỗi cặp số hữu tỉ u và v với một số hữu tỉ r nói trên gọi là phép nhân, các số hữu tỉ không âm, trong đó u và v gọi là các thừa số, r gọi là tích. Từ các kết quả trên, ta rút ra tính chất: Tính chất 1.1: Tổng của hai số hữu tỉ không phụ thuộc vào việc lựa chọn phân số đại diện của chúng. Tính chất 1.2: Tích của hai số hữu tỉ không phụ thuộc vào việc lựa chọn phân số đại diện của 62
chúng. Định lí 1.1: Tính chất của phép cộng và phép nhân các số hữu tỉ không âm. Phép cộng và phép nhân các số hữu tỉ không âm thoả mãn các tính chất sau: a) Tính giao hoán: r + s = s + r và rs = sr với mọi r , s   b) Tính kết hợp:(r + s) + t = r + (s + t) và (rs)t = r(st) với mọi r , s   c) Phần tử trung hòa: Tồn tại duy nhất một số hữu tỉ 0 và một số hữu tỉ 1 sao cho r + 0 = r và r .1 = r. Ta gọi 0 là phần tử trung hoà của phép cộng và 1 là phần tử đơn vị của phép nhân. d) Luật giản ước: Nếu r + t = s + t thì r = s với mọi t   và nếu rt = st thì r = s với mọi t   , t 0. e) Tính chất phân phối: r(s + t) = rs + rt với mọi r , s, t   . f) Phần tử nghịch đảo: Với mọi số hữu tỉ r tồn tại duy nhất một số hữu tỉ r 1 sao cho r.r 1 = 1. Ta gọi r 1 là phần tử nghịch đảo của r. g) Tích của hai số hữu tỉ bằng 0 khi và chỉ khi ít nhất một trong hai số đó bằng 0. Chứng minh định lý. ca a) Giả sử r , s   . Ta đặt r  , s  , với a,b,c,d là các số tự nhiên. Theo tính chất db a.d  b.c c.b  a.d giao hoán trên tập hợp số tự nhiên, ta có:  . bd db a.d  b.c Mặt khác, theo định nghĩa phép cộng số hữu tỉ thì đại diện cho số hữu tỉ r+s và bd c.b  a.d đại diện cho số hữu tỉ s+r. db Từ đó suy ra r + s = s + r. ■ b) Sinh viên tự chứng minh tương tự các tính chất còn lại của định lý. (Tham khảo trang 123-125, [1]) 1.2.2. Phép trừ Định nghĩa 1.2 a c Cho hai số hữu tỉ u và v có phân số đại diện lần lượt là và . b d a) Hiệu của hai số hữu tỷ được ký hiệu là h = u-v, trong đó số hữu tỷ w có phân số a.d  b.c a c  a.d  b.c  đại diện là , hay C    C    C   , với a.d  b.c là một số tự nhiên. bd b d   bd  63
Quy tắc cho tương ứng với mỗi cặp số hữu tỉ u và v với một số hữu tỉ h nói trên ta gọi là phép trừ các số hữu tỉ không âm. Trong đó u là số bị trừ, v là số trừ và h là hiệu số. 8 4 Ví dụ 1.2. Cho hai phân số và , khi đó: 9 7 8 4 8.7  4.9 20 4 8 4.9  8.7    , trong khi đó   không thực hiện được trong tập  9 7 9.7 63 7 9 9.7 Định lí 1.2: Phép trừ các số hữu tỉ không âm thoả mãn các tính chất sau: a) r – s = u khi và chỉ khi u + s = r. b) r(s –t) = rs – rt nếu một trong hai vế có nghĩa. (Chứng minh tương tự định lí 2.1). 1.2.3. Phép chia Định nghĩa 2.3: Cho r và s là hai số hữu tỉ không âm, trong đó s  0 . Ta gọi thương của số hữu tỉ r chia cho s là số hữu tỉ q, kí hiệu r : s = q, thoả mãn điều kiện q.s = r. * Quy tắc cho tương ứng mỗi cặp số hữu tỉ r và s với mỗi số hữu tỉ q nói trên ta gọi là phép chia các số hữu tỉ không âm, trong đó r là số bị chia, s là số chia và q là thương số. Nhận xét: Giả sử r , s   , s  0 . Theo định lí 2.1, tồn tại duy nhất số nghịch đảo s 1 của s. Đặt q = r s 1 , ta có qs = (r s 1 )s = r( s 1 s) = r.1 = r . Như vậy, phép chia cho một số hữu tỉ khác 0 luôn thực hiện được. Áp dụng luật giản ước của phép nhân ta suy ra thương đó là duy nhất. 4 7 Ví dụ: Tìm r chia s biết r  , s  7 9 –1 9 Ta có s có phân số đại diện là . 7 4 7 4 Vậy r : s  .  7 9 9 Nhận xét: Từ các kết quả trên ta thấy i. Phép cộng và phép nhân các số hữu tỉ không âm luôn thực hiện được. ii. Phép trừ các số hữu tỉ không âm không phải bao giờ cũng thực hiện được. iii. Phép chia cho một số hữu tỉ khác 0 luôn thực hiện được. 64
§2. QUAN HỆ THỨ TỰ VÀ MỐI QUAN HỆ CỦA TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM  TRONG TOÁN TIỂU HỌC 2.1.Quan hệ thứ tự trong tập hợp các số hữu tỉ không âm. a c Cho r và s là hai số hữu tỉ không âm có phân số đại diện là và tương ứng. Ta b d nói r nhỏ hơn hoặc bằng s, kí hiệu là r  s nếu ad  bc . Tương tự cho các phép so sánh còn lại. Như vậy, việc so sánh các số hữu tỉ được đưa về so sánh các số tự nhiên (thông qua các phân số đại diện của chúng). Việc so sánh này không phụ thuộc vào việc chọn phân số đại diện ban đầu. Từ định nghĩa ta dễ dàng chỉ ra rằng quan hệ “≤” có tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu.( SV tự chứng minh). a c Giả sử r và s là hai số hữu tỉ không âm có phân số đại diện là và tương ứng. b d Từ tính toàn phần của tập hợp số tự nhiên, ta suy ra chỉ xảy ra một và chỉ một trong ba quan hệ ad < bc hoặc ad = bc hoặc ad > bc. Điều đó chứng tỏ chỉ xảy ra một trong ba khả năng r < s hoặc r = s hoặc r > s. Từ các kết quả trên đây, ta suy ra tập  cùng với quan hệ “≤” là tập sắp thứ tự toàn phần. Định lí 2.1: Quan hệ thứ tự trong tập số hữu tỉ không âm thoả mãn: a) Tính đơn điệu: Nếu ta cộng hoặc nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số hữu tỉ không âm thì bất đẳng thức không đổi chiều. Hay ta có r  s thì r  t  s  t và rt  st với r , s, t   . b) Tính trù mật: Xen giữa hai số hữu tỉ khác nhau tồn tại vô số các số hữu tỉ khác chúng. c) Tiên đề Acsimet: Mọi số hữu tỉ đều bị chặn trên bởi một số tự nhiên. Hay với mọi số hữu tỉ r, tồn tại số tự nhiên a sao cho r < a. Chứng minh : tham khảo trang 130, [1]. 2.2.Tập hợp số hữu tỉ không âm và phân số trong chương trình môn Toán ở Tiểu học. Chương trình Toán Tiểu học được hình thành từ 5 mạch kiến thức : + Số học. + Đại lượng và các phép đo đại lượng. + Một số yếu tố hình học. + Một số yếu tố thống kê. 65
+ Giải toán có lời văn. Trong đó, mạch số học là nội dung cốt lõi của chương trình. Mạch số học bao gồm bốn nội dung lớn: số tự nhiên, phân số, số thập phân và một số yếu tố đại số. Như vậy, số học về phân số là một trong bốn nội dung cốt lõi của số học trong môn Toán Tiểu học, nó được xem như chiếc cầu nối giữa kiến thức toán học trong nhà trường và ứng dụng của nó trong đời sống, lao động sản xuất và khoa học kĩ thuật. Phân số được trình bày trong hai lớp cuối của bậc Tiểu học với các nội dung: + Hình thành khái niệm phân số. + So sánh các phân số. + Bốn phép toán về phân số: gồm hình thành ý nghĩa phép toán, giới thiệu tính chất và quy tắc thực hành bốn phép tính, rèn kĩ năng thực hành tính toán về phân số. + Giải toán về phân số. 2.2.1.Hình thành phân số Thông qua thao tác chia một quả cam thành 4 phần bằng nhau, lấy đi ba phần, a hình thành cho học sinh khái niệm phân số , trong đó mẫu số b ( là số tự nhiên khác 0) b chỉ số phần đơn vị được lấy ra và tử số a (là một số tự nhiên) chỉ số phần được lấy đi. Bằng con đường này, chỉ hình thành khái niệm của những phân số nhỏ hơn 1. Do vậy sách giáo khoa bổ sung thêm bài toán: “Chia đều 5 quả cam cho 4 người. Tìm phần cam của a mỗi người”. Qua đó. hình thành cho học sinh khái niệm: phân số còn được hiểu là thương b của phép chia số tự nhiên a cho b và học sinh nhận ra được điều kiện tồn tại của phân số khi b khác 0. Cuối cùng học sinh sẽ rút ra nhận xét: – Mỗi số tự nhiên a có thể viết thành một phân số (mà bản thân nó không phải là phân số) có mẫu số bằng 1. – Phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số thì nhỏ hơn 1. – Phân số có tử số lớn hơn mẫu số thì lớn hơn 1. 2.2.2. So sánh phân số Khi so sánh phân số ta hướng tới hai tình huống: – Tình huống thứ nhất: kết luận chúng bằng nhau. Ở Tiểu học gọi là rút gọn phân số. – Tình huống thứ hai: kết luận phân số này lớn hơn hoặc nhỏ hơn phân số kia. Ở Tiểu học gọi là so sánh phân số. Để đi đến kết luận trong tình huống thứ nhất, học sinh vận dụng quy tắc: * Nếu ta nhân cả tử và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho. 66
* Nếu ta chia cả tử và mẫu số của một phân số cho cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho. Để đi đến kết luận trong tình huống thứ hai, học sinh vận dụng quy tắc: * Trong hai phân số có cùng mẫu số, phân số nào có tử số lớn hơn sẽ lớn hơn. (1) * Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu số, ta quy đồng mẫu số rồi vận dụng quy tắc (1). 2.2.3. Các phép toán về phân số Khi dạy bốn phép toán về phân số, sách giáo khoa Toán 4 đều sử dụng cách lựa chọn thống nhất: từ một bài toán thực tế, hình thành cho học sinh ý nghĩa phép toán. Qua phân tích trên các thao tác đối với bài toán nêu trên, rút ra cho học sinh quy tắc thực hành phép tính. 3 Chẳng hạn, xuất phát từ bài toán: “Có một băng giấy màu, bạn Nam lấy băng 8 1 giấy, bạn Tùng lấy .Hỏi cả hai bạn đã lấy bao nhiêu phần của băng giấy?” 8 Sách giáo khoa đã dẫn dắt học sinh đến ý nghĩa của phép cộng phân số. Từ phân tích trong lời giải bài toán, rút ra cho học sinh quy tắc: “Muốn cộng hai phân số có cùng mẫu số, ta cộng hai tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số. Vì trong tập số tự nhiên, học sinh đã được học các tính chất và quy tắc thực hành 4 phép tính (giao hoán, cộng một tổng với một số, nhân một số với một tổng,...) một cách hệ thống, cho nên trong tập phân số, sách giáo khoa dành cho học sinh tự rút ra những tính chất này thông qua những ví dụ cụ thể. Chẳng hạn: – Khi nhân một tích hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể nhân phân số thứ nhất với tích của hai phân số còn lại. – Khi nhân một tổng hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể nhân từng phân số của tổng với phân số thứ ba rồi cộng kết quả lại. 2.2.4. Giải toán về phân số Các bài toán về phân số có thể phân ra thành mấy dạng cơ bản: – Các bài toán về cấu tạo phân số (tìm một phân số khi biết mối quan hệ giữa tử số và mẫu số của phân số đó). – Các bài toán về so sánh phân số (bao gồm rút gọn phân số và sắp xếp các phân số theo thứ tự cho trước). – Các bài toán về rèn kĩ năng thực hành bốn phép tính về phân số (tính giá trị biểu thức bằng cách hợp lí nhất, tìm thành phần chưa biết của phép tính,...). – Giải toán có văn về phân số (bao gồm các bài toán có lời văn với các số liệu cho trong đề bài là phân số). Sau đây, ta sẽ đề cập tới một số bài toán: 67
Dạng 1: Các bài toán về cấu tạo phân số Khi giải các bài toán có dạng này, ta có thể đưa về dạng toán có văn điển hình (tìm hai số khi biết tổng và tỉ, hiệu và tỉ, tổng và hiệu) hoặc dùng phương pháp thử chọn. Ngoài ra, có thể bổ sung thêm một số tính chất sau: Tính chất 2.1: Khi cộng thêm vào cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số tự nhiên thì hiệu giữa tử và mẫu của phân số đó không thay đổi. Tính chất 2.2: Khi bớt đi ở tử và mẫu của một phân số với cùng một số tự nhiên thì hiệu giữa tử và mẫu của phân số đó không thay đổi. Tính chất 2.3: Khi thêm vào (hoặc bớt đi) ở tử số, đồng thời bớt đi (hoặc thêm vào) mẫu số của một phân số cùng một số tự nhiên thì tổng của tử số và mẫu số của phân số đó không thay đổi. Ví dụ 2.1. Tích của tử số và mẫu số của một phân số lớn hơn 1 bằng 315. Tử số lớn hơn mẫu số 6 đơn vị. Tìm phân số đó. Giải: Ta có bảng phân tích số 315 thành tích của các cặp số sau 315 1 3 5 7 9 15 315 105 63 45 35 21 315 105 63 45 35 21 Các phân số lớn hơn 1 có tích của tử và mẫu bằng 315 là: , , , , , . 1 3 5 7 9 15 Bằng phương pháp thử chọn theo yêu cầu tử số lớn hơn mẫu số 6 đơn vị, ta nhận được 21 phân số cần tìm là 15 . Ví dụ 2.2. 5 Tổng của tử số và mẫu số của một phân số bằng 156. Sau khi rút gọn ta được phân số . 7 Tìm phân số đó. Giải: Theo đề bài ta có sơ đồ: Tử số Mẫu số 156 Tổng số phần bằng nhau 5+7 = 12 ( phần) Tử số của phân số cần tìm là 156 :12x 5 = 65. 68
Mẫu số của phân số cần tìm là 156 – 65 = 91. 65 Vậy phân số cần tìm là 91 Dạng 2: Các bài toán về so sánh phân số Khi giải các bài toán dạng này, ta thường vận dụng các quy tắc rút gọn phân số và các quy tắc so sánh phân số đã trình bày ở phần trên. Ngoài ra, ta có thể bổ sung một số phương pháp khác. Chẳng hạn: Tính chất 2.4: (quy tắc so sánh hai phân số có cùng tử số). Trong hai phân số có cùng tử số, phân số nào có mẫu số lớn hơn sẽ nhỏ hơn. a c c e a e Tính chất 2.5: (quy tắc so sánh bắc cầu). Nếu  và  thì  . b d d f b f §3. TẬP HỢP SỐ THẬP PHÂN KHÔNG ÂM 3.1. Phân số thập phân 7 7 7 Các phân số , , ,.... đều có mẫu là các lũy thừa của 10 với số mũ là một số tự 10 100 1000 nhiên. Các phân số dạng này hay gặp ở phép đo các đại lượng. Để tiện lợi trong tính toán, đo đạc và sử dụng thì người ta đưa ra một cách biểu diễn riêng cho các phân số loại này. a Định nghĩa 3.1: Cho được gọi là phân số thập phân, nếu b ở dạng lũy thừa cơ số 10 b với số mũ tự nhiên  b n , n  . 3 55 47 7 Ví dụ 3.1: Phân số , , , .... 10 100 1000 1 2 2 8 Phân số không phải là phân số thập phân nhưng  là phân số thập phân. Ta 25 25 100 2 nói là phân số được biểu diễn dưới dạng phân số thập phân. 25 3.2. Số thập phân không âm Số hữu tỉ r gọi là số thập phân không âm, nếu nó có một đại diện là phân số thập phân (hay nói cách khác, phân số đại diện của nó biểu diễn được dưới dạng thập phân). Tập tất cả các số thập phân không âm ta kí hiệu là 10 a Định lí 3.1. Phân số tối giản biểu diễn được dưới dạng phân số thập phân khi và chỉ b khi mẫu số b của nó không có ước nguyên tố nào khác 2 và 5. 69
8 7 Ví dụ 3.2: các phân số ,  10 vì 125  53 , 40  23.5 125 40 3.3. Dạng thu gọn của phân số thập phân Như chúng ta đã biết: mỗi số thập phân có một cách biểu diễn là phân số thập phân. Cách biểu diễn này có nhược điểm là cồng kềnh, không tiện lợi trong thực hành tính toán. 351 Vì vậy, ta thường biểu diễn các số thập phân dưới dạng thu gọn:  3,51 ( đọc 100 là ba đơn vị nguyên và năm mươi mốt phần trăm hoặc ba phẩy năm mươi mốt.Vậy dạng thu gọn của số thập phân là dạng viết không có mẫu số của phân số thập phân theo quy tắc: – Bỏ mẫu số đồng thời dùng dấu phẩy phân chia các chữ số của tử số thành hai nhóm: nhóm thứ nhất đứng bên phải dấu phẩy, có số chữ số bằng số chữ số 0 ở mẫu số; nhóm thứ hai gồm các chữ số còn lại của tử số, đứng bên trái dấu phẩy. – Nếu số chữ số của tử số ít hơn hay bằng số chữ số 0 ở mẫu số thì ta viết thêm những chữ số 0 vào trước tử số trước khi dùng dấu phẩy phân chia. – Số đứng bên trái dấu phẩy gọi là phần nguyên, nhóm các chữ số đứng bên phải dấu phẩy gọi là phần thập phân của số thập phân đó. Chẳng hạn, số thập phân 35,0048 có phần nguyên là số 35, phần thập phân là nhóm các chữ số 0048. Như vậy, mỗi số thập phân có hai cách biểu diễn: dạng phân số và dạng thu gọn. 3.4. Các phép toán trên số thập phân Mỗi số thập phân là một số hữu tỉ. Vì vậy, xây dựng các phép toán về số thập phân bằng cách ta đưa về phép toán tương ứng với số hữu tỉ. Chẳng hạn: Ví dụ 3.3. Cho a  1,88; b  1,5 . Tính tổng a+b. 188 150 338 a  b  1,88  1,5     3,38 . Vậy a  b  3,38 . 100 100 100 Nhận xét: Xây dựng phép cộng các số thập phân theo quy trình trên đây có ưu điểm là đảm bảo tính hệ thống và chặt chẽ về phương diện lí thuyết, nhưng có nhược điểm là cồng kềnh và dài dòng trong thực hành tính toán. Vì vậy, khi thực hành phép cộng các số thập phân ta thường áp dụng quy tắc dưới đây. Quy tắc 3.1. Muốn cộng một số thập phân với một số thập phân chúng ta làm như sau: 1) Làm cho số chữ số ở phần thập phân của chúng bằng nhau (bằng cách viết thêm chữ số 0 vào hàng còn thiếu). 2) Viết số nọ dưới số kia sao cho các dấu phẩy thẳng cột. 70
3) Cộng như cộng hai số tự nhiên. 4) Đặt dấu phẩy ở tổng thẳng cột với dấu phẩy của các số hạng. Cũng tương tự như trên ta có quy tắc thực hành phép trừ. Quy tắc 3.2. Muốn trừ một số thập phân với một số thập phân ta làm như sau: 1) Làm cho số chữ số ở phần thập phân của chúng bằng nhau (bằng cách viết thêm chữ số 0 vào hàng còn thiếu); 2) Viết số trừ dưới số bị trừ sao cho các dấu phẩy thẳng cột; 3) Trừ như trừ hai số tự nhiên; 4) Đặt dấu phẩy ở hiệu thẳng cột với dấu phẩy của số bị trừ và số trừ. Quy tắc 3.3. Quy tắc thực hành phép nhân Muốn nhân một số thập phân với một số thập phân ta làm như sau: 1) Nhân như nhân hai số tự nhiên; 2) Ta đếm xem trong phần thập phân của cả hai thừa số có bao nhiêu chữ số rồi dùng dấu phẩy tách ra ở tích bấy nhiêu chữ số kể từ phải sang trái. Quy tắc 3.4. Quy tắc thực hành phép chia Muốn chia một số thập phân cho một số thập phân ta làm như sau: 1) Bỏ dấu phẩy ở số chia đồng thời dời dấu phẩy ở số bị chia từ trái qua phải số chữ số bằng số chữ số ở phần thập phân của số chia (trường hợp số chữ số ở phần thập phân của số chia nhiều hơn số bị chia thì ta viết thêm chữ số 0 vào hàng còn thiếu); 2) Chia như chia hai số tự nhiên, khi chia hết chữ số ở phần nguyên của số bị chia, đặt dấu phẩy ở thương rồi tiếp tục chia. 3) Khi chia hết các chữ số ở phần thập phân của số bị chia, nếu còn dư, ta viết thêm chữ số 0 vào bên phải số dư rồi tiếp tục chia. 3.5. Quan hệ thứ tự trong tập số thập phân Mỗi số thập phân là một số hữu tỉ không âm. Vì vậy, xây dựng quan hệ thứ tự trên tập số 10 ta đưa về so sánh các số hữu tỉ không âm. Chẳng hạn: Ví dụ 3.4. Cho a  1,88; b  1,5 . So sánh a và b. 188 15 150 188 150 a ;b      a  b. 100 10 100 100 100 Tương tự như đối với phép cộng, xây dựng quan hệ thứ tự trong tập số thập phân theo cách trên có ưu điểm về phương diện lí thuyết nhưng có nhược điểm trong thực hành so sánh. Vì vậy, khi so sánh các số thập phân người ta thường vận dụng một trong hai quy tắc sau: Quy tắc 3.5: Muốn so sánh một số thập phân với một số thập phân ta làm như sau: 1) Làm cho số chữ số ở phần thập phân của chúng bằng nhau (bằng cách viết thêm chữ 71
số 0 vào hàng còn thiếu). 2) Bỏ dấu phẩy, ta nhận được hai số tự nhiên. 3) So sánh hai số tự nhiên vừa nhận được, số nào lớn hơn thì số thập phân ứng với nó sẽ lớn hơn. Nếu hai số tự nhiên đó bằng nhau thì hai số thập phân cũng bằng nhau. Quy tắc 3.6. Muốn so sánh hai số thập phân ta làm như sau: 1) So sánh phần nguyên với phần nguyên, số nào có phần nguyên lớn hơn sẽ lớn hơn; 2) Nếu phần nguyên của chúng bằng nhau thì ta so sánh chữ số phần mười, số nào có chữ số phần mười lớn hơn sẽ lớn hơn; 3) Nếu phần mười của chúng bằng nhau thì ta so sánh chữ số phần trăm và cứ tiếp tục như trên cho đến khi gặp hàng lớn hơn; 4) Nếu phần nguyên và các chữ số ở phần thập phân của chúng đều bằng nhau thì hai số đó bằng nhau. 3.6. Số thập phân vô hạn tuần hoàn Trong mục này, chúng ta sẽ chỉ ra rằng số hữu tỉ như vậy có thể biểu diễn bởi một số thập phân theo nghĩa rộng. Trước hết ta bắt đầu bằng bài toán cụ thể. 13 Ví dụ 3.4.Tìm các số thập phân là xấp xỉ của số hữu tỉ . 11 1 - Nếu sai số không vượt quá thì ta được số 1,18. 100 1 - Nếu sai số không vượt quá thì ta được số 1,181. 1000 1 - Nếu sai số không vượt quá thì ta được số 1,1818. 10000 Cứ tiếp tục quá trình trên ta được kết quả: không bao giờ được một số thập phân “xấp xỉ” 13 mà lại bằng a  . 11 13 Ta viết: a   1,181818....  1,(18) . 11 và gọi 1,(18) là số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn với chu kì bằng 18 (số viết trong dấu ngoặc để chỉ chu kì của số thập phân đó). 285 Ta tiếp tục xét số hữu tỉ b  . Ta nhận được kết quả sau: 22 1 - Nếu sai số không vượt quá thì ta được số 12,954. 1000 72
- Nếu sai số không vượt quá 106 thì ta được số 12,95454. Ta nhận được số thập phân vô hạn tuần hoàn, nhưng chu kì (là 54) không bắt đầu ngay từ chữ số thập phân thứ nhất (bằng 9) mà bắt đầu từ chữ số thập phân thứ hai. Những số như thế ta gọi là số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp. Trong trường hợp này ta viết: 285 b  12,9  54  22 a Một cách tổng quát, giả sử số hữu tỉ không phải là số thập phân. b Ta thực hiện liên tiếp phép chia a cho b (bằng cách thêm chữ số 0 vào bên phải số dư sau mỗi phép chia và lại tiếp tục chia). Ta sẽ thấy rằng sau một số bước (tối đa là b bước) ta sẽ gặp lại số dư r nào đó mà ta đã gặp ở bước trước đó. Khi đó quá trình sẽ lặp lại. Các thương bộ phận sẽ lặp lại một cách tuần hoàn. Số thập phân nhận được có vô số chữ số ở phần thập phân, trong đó có một nhóm chữ số ở phần thập phân lặp đi lặp lại một cách tuần hoàn. Nhóm chữ số lặp lại đó được gọi là chu kì của số thập phân vô hạn tuần hoàn. §4. SỐ THẬP PHÂN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TIỂU HỌC 4.1. Hình thành khái niệm số thập phân Thông qua thao tác cụ thể, khái niệm “số thập phân” được hình thành cho học sinh thông qua hai con đường: – Số thập phân là cách viết không có mẫu số của phân số thập phân. – Số thập phân là cách viết thu gọn thay cho cách biểu diễn số đo của các phép đo đại lượng bằng đơn vị đo phức hợp. Thông qua các ví dụ về số thập phân, sách giáo khoa rút ra cho học sinh nhận xét: mỗi số thập phân có hai phần, phần nguyên là một số đứng bên trái dấu phẩy, phần thập phân là một nhóm các chữ số đứng bên phải dấu phẩy. Phần nguyên và phần thập phân được phân cách bởi dấu phẩy. Chẳng hạn 12,048 (12 là phần nguyên, 048 là phần thập phân) và đọc là mười hai phẩy không bốn tám. 4.2. So sánh số thập phân Tương tự như đối với phân số, khi so sánh hai số thập phân ta hướng tới hai tình huống: – Rút ra kết luận số này lớn hơn (hoặc bé hơn) số kia. – Rút ra kết luận hai số đó bằng nhau bằng cách sử dụng quy tắc. Muốn so sánh hai số thập phân ta có thể làm như sau: – So sánh các phần nguyên của hai số đó như so sánh hai số tự nhiên, số thập phân 73
nào có phần nguyên lớn hơn thì lớn hơn; – Nếu phần nguyên của hai số đó bằng nhau thì so sánh phần thập phân, lần lượt từ hàng phần mười, hàng phần trăm, hàng phần nghìn,... đến cùng một hàng nào đó mà số thập phân nào có hàng tương ứng lớn hơn thì lớn hơn; – Nếu phần nguyên và phần thập phân của hai số đó bằng nhau thì hai số đó bằng nhau. Đồng thời sách giáo khoa cũng giới thiệu quy tắc: – Nếu viết thêm (hoặc xóa đi) chữ số 0 ở bên phải phần thập phân của một số thập phân thì được một số thập phân bằng nó. 4.3. Các phép toán về số thập phân Khi dạy bốn phép tính về số thập phân, sách giáo khoa Toán 5 đều sử dụng cách trình bày thống nhất: từ một bài toán thực tế, hình thành cho học sinh ý nghĩa phép toán. Qua phân tích trên các thao tác đối với bài toán nêu trên, rút ra cho học sinh quy tắc thực hành phép tính. Chẳng hạn, xuất phát từ bài toán: “May áo hết 1,54m vải, may quần hết 1,72m vải. Hỏi may cả áo và quần hết bao nhiêu mét vải?” Sách giáo khoa đã dẫn dắt học sinh đến với ý nghĩa của phép cộng số thập phân. Từ phân tích lời giải của bài toán rút ra cho học sinh quy tắc (xem quy tắc 3.1, 3.2, 3.3, 3.4). Tương tự như đối với phân số, các tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối,... của bốn phép tính về số thập phân, sách giáo khoa dành cho học sinh tự rút ra thông qua những bài tập cụ thể. 4.4. Giới thiệu các quy tắc tính nhẩm – Nhân một số thập phân với 10, 100, 1000, ... – Chia một số thập phân cho 10, 100, 1000 ... 4.5. Giải toán về số thập phân Các bài toán về số thập phân ở Tiểu học có thể phân ra thành mấy dạng cơ bản: – Các bài toán về cấu tạo số thập phân (tìm một số thập phân khi cho biết một số điều kiện về số đó). – Các bài toán về so sánh số thập phân. – Các bài toán rèn kĩ năng thực hành bốn phép tính về số thập phân (tính giá trị biểu thức bằng cách hợp lí hoặc tìm thành phần chưa biết của phép tính...). – Điền chữ số thay cho các chữ trong phép tính về số thập phân. – Toán về tỉ số phần trăm. 74
Dạng 1: Các bài toán về cấu tạo số thập phân Khi giải các bài toán dạng này, ta có thể dùng phương pháp liệt kê, phương pháp thử chọn, phương pháp tìm hai số khi biết hiệu và tỉ hoặc tổng và tỉ số của chúng. Ngoài ra, có thể bổ sung thêm một số tính chất sau: Tính chất 4.1: Khi rời dấu phẩy của một số thập phân từ trái sang phải một, hai, ba,... hàng thì số đó tăng gấp 10, 100, 1000,... lần. Ví dụ 4.1. Khi bỏ quên dấu phẩy của một số thập phân có một chữ số ở phần thập phân thì số đó tăng thêm 888,3 đơn vị. Tìm số thập phân đó. Giải: Khi bỏ quên dấu phẩy của một số thập phân có một chữ số ở phần thập phân thì số đó tăng gấp 10 lần. Hiệu số phần bằng nhau: 10-1=9 (phần) Số thập phân đó là: 888,3 :9 = 98,7. Ví dụ 4.2. Các chữ số phần mười, phần trăm và phần nghìn của số thập phân có ba chữ số ở phần thập phân theo thứ tự là ba số chẵn liên tiếp. Tích các chữ số ở phần thập phân bằng phần nguyên của số đó. Các chữ số ở phần nguyên và phần thập phân đều khác nhau. Tìm số thập phân đó. Giải: Phần thập phân của số thập phân có thể là: 024; 246; 468; 420; 642; 864. Phần thập phân Phần nguyên Số thập phân Kết luận 024 0 0,024 Loại 246 48 48,246 Loại 468 192 192,468 Chọn 420 0 0,420 Loại 642 48 48,642 Loại 864 192 192,864 Chọn Vậy số thập phân cần tìm là 192,468 và 192,864. Dạng 2: Các bài toán về so sánh số thập phân. Ví dụ 4.3. Viết tất cả các số thập phân có 4 chữ số (gồm cả phần nguyên và phần thập phân) mà các chữ số của chúng đều bằng 9. Sau đó: a) Sắp xếp các số theo thứ tự từ bé đến lớn. b) Từ lớn đến bé. Giải : Các số thiết lập được là: 9,999; 99,99; 999,9. a) Xếp các số theo thứ tự từ bé đến lớn 9,999; 99,99; 999,9. b) Xếp theo thứ tự từ lớn đến bé 999,9; 99,99; 9,999. Dạng 3: Các bài toán rèn kĩ năng thực hành bốn phép tính về số thập phân 75
Khi giải các bài toán dạng này, ta thường vận dụng các quy tắc thực hành bốn phép tính, các tính chất của bốn phép tính, quy tắc tìm thành phần chưa biết của phép tính và các quy tắc nhân, chia nhẩm,... Ngoài các quy tắc nhân, chia nhẩm với 10; 100; 1000;... ta có thể bổ sung thêm: – Quy tắc nhân (hoặc chia) một số với 0,5. – Quy tắc nhân (hoặc chia) một số với 0,25. Dạng 4: Các bài toán về điền số vào phép tính Các bài toán dạng này thường gặp hai loại: – Vận dụng quy tắc thực hành bốn phép tính để giải. – Dùng phân tích cấu tạo số để giải. Dạng 5: Toán về tỉ số phần trăm Các bài toán dạng này ta thường gặp mấy loại sau: – Cho hai số a và b. Tỉm tỉ số phần trăm của a và b. – Cho b và tỉ số phần trăm của a và b. Tìm a. – Cho a và tỉ số phần trăm của a và b. Tìm b. – Một số nội dung phối hợp. Ví dụ 4.4. Lãi suất tiết kiệm là 0,65% một tháng. Cô Thuỷ gửi tiết kiệm 12 000 000 đồng. Hỏi sau một tháng cô có tất cả bao nhiêu tiền lãi và tiền gửi? Giải: Số tiền lãi cô Thuỷ có sau một tháng là: 12 000 000 : 100 x 0,65 = 78 000(đ) Số tiền gửi và tiền lãi cô Thuỷ có là 12 000 000 + 78 000 = 12 078 000(đ) Đáp số: 12 078 000 đồng. §5. TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ VÀ TẬP HỢP SỐ THỰC 5.1. Tập số hữu tỉ. 5.1.1. Sự cần thiết phải xây dựng tập số hữu tỉ Trong các chủ đề trước, chúng ta đã mở rộng tập số tự nhiên để được tập số hữu tỉ không âm  . Nếu dừng lại ở tập số hữu tỉ không âm: – Nhiều phép trừ không thực hiện được. – Biểu diễn số đo của hai phép đo đại lượng ngược chiều nhau sẽ gặp khó khăn, chẳng o o hạn, độ cao và chiều sâu, lỗ và lãi, nhiệt độ trên 0 C và dưới 0 C,... Do nhu cầu phát triển của toán học và các ngành khoa học kĩ thuật khác, người ta 76
mở rộng tập số hữu tỉ không âm  thêm những số mới để khắc phục hạn chế nêu trên. 5.1.2. Xây dựng tập số hữu tỉ Trên tích Đê-các  .  ta định nghĩa quan hệ hai ngôi như sau: Với (r; s) và (r'; s')   .  , ta định nghĩa (r; s) ~ (r'; s') nếu r + s' = r' + s. Từ định nghĩa ta dễ dàng suy ra "~" là một quan hệ tương đương xác định trên tập  .  . Áp dụng định lí về tập thương, ta có thể phân chia tập  .  theo quan hệ tương đương "~" và nhận được tập thương  .  / ~. Ta sẽ gọi tập thương  .  / ~ là tập các số hữu tỉ và kí hiệu là . Mỗi phần tử của tập ta gọi là một số hữu tỉ. 5.1.3. Các phép toán trong tập số hữu tỉ Từ định nghĩa ta dễ dàng suy ra tập cùng với hai phép toán cộng và nhân nói trên là một trường. Ta gọi là trường các số hữu tỉ. Trên tập hợp số hữu tỉ, các phép toán cộng, trừ, nhân, chia cũng tương tự như trong tập hợp  . 5.1.4. Quan hệ thứ tự trong tập số hữu tỉ ( Tương tự như  ) 5.1.5. Số thập phân (trong  ) Mỗi số thập phân không âm r cũng là một số hữu tỉ, ta có r  . Từ đó ta mở rộng khái niệm số thập phân trong tập số hữu tỉ như sau: số thập phân r được gọi là số hữu tỉ nếu r  10 hoặc - r  10 . Tập tất cả các số thập phân ta kí hiệu là 10 . 5.2 Tập số thực. 5.2.1. Sự cần thiết phải xây dựng tập số thực Cho đến nay, chúng ta đã mở rộng các tập hợp số theo sơ đồ sau    . Nếu dừng lại ở tập số hữu tỉ thì: nhiều phép khai căn không thực hiện được, nhiều phương trình không tìm được nghiệm hữu tỉ, số đo của nhiều phép đo đại lượng không biểu diễn được. Vì những lí do trên đây, ta phải mở rộng tập số hữu tỉ thêm những số mới để đáp ứng yêu cầu phát triển của toán học và các ngành khoa học khác. 5.2.2. Xây dựng tập số thực Có nhiều cách xây dựng tập số thực, dưới đây ta trình bày cách xây dựng tương đối đơn giản: mở rộng tập số thập phân để được tập số thực. Trong các tiểu chủ đề trước, chúng ta đã xét hai loại số thập phân: số thập phân (có 77
hữu hạn chữ số ở phần thập phân) và số thập phân vô hạn tuần hoàn. Ngoài hai loại số thập phân nói trên, ta còn gặp một loại “số thập phân” thứ ba: đó là những số thập phân có vô số chữ số ở phần thập phân, các chữ số ở phần thập phân không lặp đi lặp lại theo bất kì một quy luật nào. Mỗi số thập phân như thế ta gọi là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Mỗi số thập phân vô hạn không tuần hoàn ta gọi là một số vô tỉ. Tập tất cả các số vô tỉ ta kí hiệu là I. Tập tất cả các số hữu tỉ và các số vô tỉ tạo thành tập các số thực, kí hiệu là . Như vậy:   I , với I là tập hợp số vô tỉ. Ví dụ 5.1. 0,712; –4,008; 13,9 là các số thập phân. 3,9545454. . . = 3,9(54) hoặc –2,(18) là các số thập phân vô hạn tuần hoàn. 0,4142135. . . . . . hoặc –2,6457513. . . . . . . . là các số thập phân vô hạn không tuần hoàn (hay còn gọi là các số vô tỉ). Mỗi số 0,72; –4,008; 13,9; 3,9(54); –2,(18); 0,4142135…; –2,6457513… là một số thực. 5.2.3. Các phép toán trong tập số thực Theo định nghĩa về số thực, mỗi số thực x có dạng : x  a, x1 x2 x3 ...xk ... trong đó a là một số nguyên và xk  0,1, 2,3,.... . Giả sử x và y là hai số thực, trong đó: x  a, x1 x2 x3 ...xk ... và y  b, y1 y2 y3 ... yk ... a) Tổng gần đúng cấp k của x và y là số: A  x  y  a, x1 x2 x3 ...xk  b, y1 y2 y3 ... yk b) Hiệu gần đúng cấp k của x và y là số: B  x  y  a, x1 x2 x3 ...xk  b, y1 y2 y3 ... yk c) Tích gần đúng cấp k của x và y là số: C  x . y  a, x1 x2 x3 ...xk . b, y1 y2 y3 .... yk d) Thương gần đúng cấp k của x và y là số: D  x : y  a, x1 x2 x3 ...xk : b, y1 y2 y3 ... yk Ví dụ 5.2. Cho x = 0,9545454. . . và y = –7,2. Tìm tổng, hiệu, tích và thương gần đúng cấp 3 của x và y. Ta có : x  y  0,954  7, 200  6, 246 x  y  0,954  7, 200  8,154 x. y  0,954.  7, 200   6,8688  6,869 x : y  0,954 :  7, 200   0,1325  0,133 78
BÀI TẬP 3.1.Xác định tập hợp các phân số xác định số hữu tỉ 4 5 a)r  b)r  c) r  0 d )r  1 7 4 Lưu ý: SV tự làm. 13 10 3.2.Cho hai số hữu tỷ lần lượt có phân số đại diện là và . Tính tổng, hiệu, tích, 90 39 thương của chúng. Lưu ý: SV tự làm. 3.3.Thực hiện các phép tính sau một cách nhanh nhất 1 1 1 1 1 1 a)  + + + + 2 4 8 16 32 64 5 5 5 5 5 5 b)      2 6 18 54 162 486 2 2 2 2 2 2 2 c)       3 6 12 24 48 96 192 63 910 127 Đáp số: a. b. c. 64 243 96 3.4.Điền số thích hợp vào chỗ chấm  13   .... .... ....  a) C  C     35   35 5 7   11   .... .... ....  b) C   C     16   16 8 2   11   .... 1 ....  c) C  C     21   21 .... 3  Lưu ý: SV tự làm. 3.5.Tích của tử số và mẫu số của một phân số lớn hơn 1 bằng 200, nếu chia cả tử và mẫu 5 cho 5 ta được phân số tối giản. Tìm phân số đó. (Đáp số: ) 40 3.6.Khi nhân cả tử và mẫu của một phân số tối giản với 4 ta được một phân số có tổng 1 của tử và mẫu bằng 12. Tìm phân số tối giản đó (Đáp số: ). 2 3.7.Khi nhân cả tử và mẫu của một phân số tối giản với 5 ta được một phân số có tích 1 của tử và mẫu bằng 100. Tìm phân số tối giản đó. (Đáp số: ). 4 4 3.8.Tìm một phân số bằng phân số . Biết tổng của tử số và mẫu số bằng 180. 5 79