Tài liệu Phương trình và hệ phương trình

Chia sẻ: Trần Duy Tùng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

120
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Phương trình và hệ phương trình giới thiệu về lý thuyết, các phép biến đổi, dạng chuẩn, phương pháp chung để giải toán phương trình và hệ phương trình, khai thác và áp dụng các phương pháp giải Toán. Đây là tài liệu tham khảo bổ ích dành cho các em học sinh THPT.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu Phương trình và hệ phương trình

Phương trình và hệ phương trình A.Vấn đề lý thuyết I/Các phép biến đổi -Cộng trừ nhân chia lỹ thừa -Liên hợp a -b a-b a- b= 3 a-3b= a+ b 3 a 2 + 3 ab + 3 b 2 -Hằng đẳng thức a 3 + b3 + c 3 = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ca ) + 3abc (a + b + c)3 = a 3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a ) ( x + a )( x + b) = x 2 + (a + b) x + ab II/Dạng chuẩn -Phương trình bậc 2: ax 2 + bx + c = 0 -b ± D PP: Tính D = b 2 - 4ac và sẽ có x = 2a VD: x + x - 2 y - 3 xy + 2 y = 0 Û x + (1 - 3 y ) x + 2 y 2 - 2 y = 0 . Thấy (1 - 3 y )2 - 4(2 y 2 - 2 y ) = ( y + 1)2 2 2 2 Từ đây ta có x = 2 y h x = y - 1 -Phương trình đẳng cấp ax 2 + bxy + cy 2 = 0 PP: Chia cho y 2 sẽ quay về bậc 2 với t = x / y VD: x + 2 y = x 2 + 2 xy . Hãy nhìn mà xem, VT và VP đều thuần bậc 1 => Bình phương có đẳng cấp bậc 2 -Hệ phương trình kiểu đối xứng II PP: Trừ 2 phương trình cho nhau sẽ có nhân tử (x-y) ì2 x2 + 3 y 2 = 5 x - 2 y + 7 ï VD. í 2 . Lấy (2)=(1)*2 sẽ được nhân tử (x-y) ï 4 x + 6 y = x + 5 y + 14 2 î -Hệ đối xứng loại I PP: Đặt S=x+y và P=xy ta sẽ quy bài toán về ẩn SP ì xy ( x + y ) = 30 ì SP = 30 VD: í 3 Ûí 3 î x + y = 35 î S - 3SP = 35 3 -Phương trình đối xứng PP: Chứng minh x=y bằng đánh giá hoặc phân tích đa thức ra nhân tử VD: a 3 + a = b3 + b Û (a - b)(a 2 - ab + b 2 + 1) = 0 Û a = b é a = b(tm) ê a + a = b + b Û ê a > b Þ a 3 + a > b3 + b ( L ) 3 3 ê ë a < b Þ a + a < b + b( L ) 3 3 III/Phương pháp chung -Sử dụng các biến đổi -Sử dụng ẩn phụ è Đưa về các dạng chuẩn hoặc phương trình tích, hệ dễ giải. -Sử dụng BĐT. èTa đi chứng minhVT ³ a ³ VP hoặc x = m là nghiệm duy nhất IV/Khai thác và áp dụng các phương pháp trong giải toán 1. Biến đổi trong giải toán a/ Bài toán đã biết nghiệm.(pp: Đưa về phương trình tích) 1
VD1. x( x 2 - 6 x + 12) + x + 2 £ 10 Dùng fx ta có x=2. Và để tạo ra nhân tử x-2 ta làm như sau æ 1 ö x( x 2 - 6 x + 12) + x + 2 £ 10 Û ( x3 - 6 x 2 + 12 x - 8) + ( x + 2 - 2) £ 0 Û ( x - 2) ç ( x - 2) 2 + ÷£0 è x+2+2ø VD2. 7 x 2 + 48 x + 7 7 x + 3 - 21 = 0 Bấm máy đi cho x=0,1428571429. Đừng bao giờ nghĩ đây là nghiệm vô tỷ mà hãy bấm vào máy 0,142857142857142857 sẽ được con 1/7. Xong rồi còn gì ( ) æ PT Û x 2 + 48 x - 7 + 7 7 x + 3 - 2 = 0 Û (7 x - 1) ç x + 7 + è 7 ö ÷=0 7x + 3 + 2 ø VD3. x 2 + x - 1 = ( x + 2) x 2 - 2 x + 2 Tiếp tục bấm bạn sẽ có nghiệm x1=3,828427125 haizz. Đây thì quả thật là nghiệm vô tỷ rồi nhưng đừng vội bỏ cuộc, ở bước shift + stove lúc nãy bạn bấm số mấy ? nếu bấm số dương rồi thì giờ bấm số âm ta sẽ có nghiệm nữa x2=-1,828427125. Tiếp tục tính đi sẽ có x1x2=-7 và x1+x2=2. è Nhân tử x 2 - 2 x - 7 ( ) æ PT Û x 2 - 2 x - 7 = ( x + 2) x 2 - 2 x + 2 - 3 Û ( x 2 - 2 x - 7) ç x+2 ö - 1÷ = 0 è x - 2x + 2 + 3 ø 2 VD4. x 3 - 2 x 2 - 3 x - 6 x - 3 + 9 = 0 Có x=2 ngon rồi x 3 - 2 x 2 - 3 x + 6 - ( ) æ 6 x - 3 - 3 = 0 Û ( x - 2) ç x 2 - 3 - è 6 ö ÷=0 6x - 3 + 3 ø Bấm cái trong ngoặc kia giờ ra nghiệm nữa cũng x=2. Đến đâu có 3 hướng giải 6 · x2 - 3 - = 0 Û ( x 2 - 3)( 6 x - 3 + 3) = 6 mà x ³ 2 6x - 3 + 3 ( ) æ · Quay lại x + 1 - 6 x - 3 + x3 - 2 x 2 - 4 x + 8 = 0 Û ( x - 1) 2 ç x + 2 + è 6 ö ÷=0 x +1 + 6x - 3 ø 6 · Liên hợp tiếp x 2 - 4 - +1 = 0 6x - 3 + 3 *** Một số kĩ năng trong biến đổi liên hợp VD5. 2 x 2 - 11x + 21 = 3 4 x - 4 Đặt t = 3 4 x - 4 (cho đỡ công vik thôi) æ 12 ö 2 x 2 - 11x + 21 = 3 4 x - 4 Û ( x - 3) ç 2 x - 5 - 2 ÷=0 è t +t +2ø 1 Hướng 1 biểu diển tiếp 2 x - 5 = t 2 + 3 thì rồi cm pt bậc 5 vô nghiệm (hay lắm cứ làm đi các bạn) 2 12 Hướng 2 sáng tạo hơn đi x > 3 Þ 2 x - 5 > 1 > 2 rồi tương tự …… t +t +2 VD6. 3 x 4 - 4 x 3 = 1 - (1 + x 2 )3 Nhìn con vế phải mà liên hợp ngay thì …. x 6 + 3x 4 + 3x 2 x 4 + 3x 2 + 3 x 2 (3 x 2 - 4 x) = - Û 3x 2 - 4 x + 2 = 0 . (Rất khó làm tiếp) t2 + t +1 t + t +1 Chẳng dại gì mà ta không liên hợp cụm khác cho dễ cho bậc thấp xuống ( - x2 2 + x2 + 1 + x2 ) 3 x - 4 x = 1 - (1 + x ) Û 3 x - 4 x = 1 - 1 + x 4 3 2 3 4 3 ( 2 )( 2 + x + 2 1+ x 2 )= 1 + 1 + x2 2
( ) + 5x + 2 = 0 2 2 + x + 1+ x 2 2 2 1 - 1 + x2 2 æ 2ö Þ 3x - 4 x + 2 = 0 Û 3ç x - ÷ + 1 + 1 + x2 è 3ø 6 (1 + 1 + x ) 2 b/Dùng hệ số bất định để “mò” nghiệm VD1. x 4 - 3 x3 + 6 x 2 - 5 x + 3 = 0 Có x 4 - 3 x3 + 6 x 2 - 5 x + 3 = ( x 2 + ax + b)( x 2 + cx + d ) = x 4 + (a + c) x3 + (ac + b + d ) x 2 + (ad + bc) x + bd æ a + c = -3 æ a = -1 ç ac + b + d = 6 çb =1 Đồng nhất hệ số có ç Ta được ç ç ad + dc = -5 ç c = -2 ç ç è bd = 3 èd = 3 Sẽ phân tích thành ( x 2 - x + 1 )( x 2 - 2 x + 3 )=0 VD2. x 2 + x - 1 = ( x + 2) x 2 - 2 x + 2 Thay cho việc bấm máy như trên ta vẫn có cách giải thích hợp lý và toán học hơn cho nhân tử x 2 - 2 x - 7 . Ta chọn m,n sao cho: è m=0 và n=3. c/Các phép biến đổi thông thường VD1. x 2 + 3 x + 2 + x 2 + 4 x + 2 = x 2 + 5 x + 4 Dễ lắm rồi nhưng nhớ cho tôi cần xét các khoảng x ³ -1 và x £ -4 VD2. 4 x 2 - 1 + x = 2 x 2 - x + 2 x + 1 (2 x - 1)(2 x + 1) + x = x(2 x - 1) + 2 x + 1 Û 2 x + 1 ( ) ( ) 2 x - 1 - 1 + x 1 - 2 x - 1 = 0 Þ ... 3 2 3 2 VD3. a/ 3x - x + 2001 - 3x - 7 x + 2002 - 3 6 x - 2003 = 3 2002 b/ Xem HĐT a 3 + b3 + c 3 = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ca ) + 3abc và (a + b + c)3 = a 3 + b 3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a ) d/Đưa về luỹ thừa cùng bậc Ghi nhớ thật rõ 2 HĐT đơn giản (a + b)2 = a 2 + b 2 + 2ab và (a + b)3 = a 3 + b 3 + 3a 2b + 3ab 2 VD1. a/ x 3 + 18 x 2 + 108 x + 2009 = 0 Û ( x + 6)3 = 1793 ( ) 3 b/ 5 x 3 + 12 x 2 + 48 x + 64 = 0 Û ( x + 4)3 = - 3 4 x VD2. x 4 = 2 x 2 + 8 x + 3 m2 m2 x 4 = 2 x 2 + 8 x + 3 Û x 4 + mx 2 + = (m + 2) x 2 + 8 x + + 3 . Để có dạng chính phương cần 4 4 æ m2 ö 16 - (m + 2) ç + 3 ÷ = 0 .Máy tính có m=2. Vậy thì ( x 2 + 1)2 = (2 x + 2)2 è 4 ø 3
( ) 2 Bằng kĩ thuật tương tự ta có thể giải pt 4 x 2 - 15 x - 100 = 48 3 x + 5 Û (2 x + 3)2 = 3 3 x + 5 + 8 4