TÍCH PHÂN CÁC HÁM SỐ CÓ MẪU CHƯA TAM THỨC BẬC 2

Chia sẻ: Abcdef_7 Abcdef_7 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

258
lượt xem 24
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'tích phân các hám số có mẫu chưa tam thức bậc 2', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: TÍCH PHÂN CÁC HÁM SỐ CÓ MẪU CHƯA TAM THỨC BẬC 2

Bài 2: Tích phân các hàm s có m u s ch a tam th c b c hai Khóa LTðH ñ m b o – Th y Tr n Phương BÀI 2. TÍCH PHÂN CÁC HÀM S CÓ M U S CH A TAM TH C B C 2. dx I. D ng 1: A = ∫ ax 2 + bx + c d(3 x − 2) 3 x − 2 − 10 dx 3dx 1 A1 = ∫ =∫ =∫ = +C ln 2 2 2 2 10 3 x − 2 + 10 ( 3x − 2 ) ( 3x − 2 ) 3x − 4 x − 2 − 10 − 10  3 3 13 d  2x −  2x − −  2 dx dx 1 1 2 2 +C A2 = ∫ = −∫ =− ∫ =− ln 2 2 2 2 2 13 3 13  3  13 3  13 −4 x + 6 x + 1 2x − +  2x −  −  2x −  − 2 2  2  2 4 4 d(5 x − 4) 5x − 4 dx 5 dx 1 A3 = ∫ =∫ =∫ = +C arctan 5x2 − 8x + 6 ( 5 x − 4 )2 + 14 ( 5 x − 4 )2 + 14 5 14 4 2 1 5 dx 12 A4 = ∫ = − arctan  arctan  2 7 17  17  17 − 4x + 3 1 7x 1 1 3 dx 1 A5 = ∫ = + arctan  arctan  2 39  39  39 0 6 − 3x + 2 x 1 1 1 dx 1 A6 = ∫ = + arctan  arctan  2 6 3 3 33 − 6x + 3 0 4x 3 dx 7 A7 = ∫ = ln 2 5 2 3x − 2 x − 1 1 1 1 dx 4 A8 = ∫ =  arctan + arctan  2 15  3 3 − 2x + 2 0 5x 0 dx ∫ 3x2 − 8 x + 4 = ln 5 A9 = −1 Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t 1
Bài 2: Tích phân các hàm s có m u s ch a tam th c b c hai Khóa LTðH ñ m b o – Th y Tr n Phương 1 dx 1 ( arctan 2 ) A10 = ∫ = 2 22 0 3 − 4x + 2x 1 1  3 + 69 7 + 69  dx A11 = ∫ =  ln  − ln 2  −3 + 69  2 −7 + 69   0 4 x − 14 x − 5 ( ) 1 x 2 − 4 x + 5 dx 3π 1 A12 = ∫ = 1 −  − arctan  2 2 4 2 x − 4x + 8 0 ( mx + n ) II. D ng 2: B = ∫ dx ax 2 + bx + c  −3 19  ( )  8 ( 8 x − 6 ) + 4  dx −3 d 4 x − 6 x − 1 19 2  ( 7 − 3x ) dx =  dx B1 = ∫ ∫ 4 x2 − 6 x − 1 = 8 ∫ 4 x2 − 6 x − 1 + 4 ∫ 4 x2 − 6 x − 1 4x2 − 6x − 1 3 13 2x − − −3 −3 19 2 2 +C ln 4 x 2 − 6 x − 1 − A2 = ln 4 x 2 − 6 x − 1 + ln = 8 4 8 3 13 2x − + 2 2 ( 3 x − 4 ) dx 5 4 x − 7 − 13 3 B2 = ∫ ln 2 x 2 − 7 x + 9 + ln = +C 2 4 4 4 x − 7 + 13 2x − 7x + 9 ( 2 − 7 x ) dx −7 18 5 x − 2 B3 = ∫ ln 5 x 2 − 8 x − 4 − ln = +C 5x2 − 8x − 4 2 10 5 5x + 5 (15 x + 6 ) dx −15 16 x + 9 − 465 13 B4 = ∫ ln 12 − 9 x − 8 x 2 + = ln 12 − 9 x − 8 x 2 16 465 16 x + 9 + 465 ( 3 − 10 x ) dx 8x − 5 5 19 B5 = ∫ = − ln 4 x 2 − 5 x + 2 − arctan 4 x2 − 5x + 2 2 4 7 Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t 2
Bài 2: Tích phân các hàm s có m u s ch a tam th c b c hai Khóa LTðH ñ m b o – Th y Tr n Phương ( 2 x + 3) dx 7 3x − 1 1 B6 = ∫ = ln 3 x 2 + 2 x − 1 + ln 2 3 3x + 3 3x + 2 x − 1 3 1 1 ( 3x − 7 ) dx =  3 ln x2 − 4 x + 4 + 1 1 B7 = ∫  = − − 3ln 2  x2 − 4 x + 4 2 x−20 2 0 ( ) 1 x 2 − x + 1 dx 1  2x +1  π B8 = ∫ =  x − ln x 2 + x + 1 + arctan  = 1 − ln 3 + 6 x2 + x + 1  3 0 0 ( ) 2 2 x 2 − 3 x − 5 dx 2  4x +1  13 9 5 B9 = ∫ =  x − ln 2 x 2 + x + 3 − 7 arctan  = 1 − ln 6 − 7 arctan + 7 arctan 2x2 + x + 3  23  1 23 23 1 5 5 ( 2 x + 3) dx =  ln x 2 − 4 x + 3 + 7 ln  x −3 ln 2 B10 = ∫  =− 2  2  2 x −1 2 2 x − 4x + 3 ( ) −1 2 x 2 + 4 x − 7 dx −1  x+3 9π ∫ =  2 x − 4 ln x 2 + 6 x + 13 − 9 arctan B11 =  = 4 − 4 ln 2 − x 2 + 6 x + 13  2  −3 4 −3 1 ( 4 x + 11) dx = ( 3ln x + 2 + ln x + 3 ) 0 = ln 9 1 B12 = ∫ 2 2 0 x + 5x + 6 dx III. D ng 3: C = ∫ ax 2 + bx + c 2  4  13 dx 1 dx 1 4 C1 = ∫ ∫ = = ln x − +  x −  − +C  3 3 9 3x 2 − 8 x + 1 2 3 3  4  13 x−  −  3 9 2 x+ dx 1 dx 1 5 +C C2 = ∫ ∫ = = arcsin 7 − 8 x − 10 x 2 2 10 10 43 43  2 − x+  50 50  5 Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t 3
Bài 2: Tích phân các hàm s có m u s ch a tam th c b c hai Khóa LTðH ñ m b o – Th y Tr n Phương 3 24 2x − 42 2 2x − 3 dx dx 1 1 C3 = ∫ =∫ = = arcsin arcsin 24 2 24 2 5 − 12 x − 4 2 x 2 2 5 2 +9 5 2 +9 5 2 +9  4 3 −  2 2x − 42 2   2 1   1 2  3  63 dx 1 3  = − 1 ln 2 2 − 1 ( ) C4 = ∫ = ln x − +  x −  + 2   4  16   4 2 x 2 − 3x + 9 2  0 0 1   1 2  5  = 1 ln 1 + 2 6 dx 1 5 23 C5 = ∫ = ln x − +  x −  +    6  36 3  6 3 4 3 −5 2 0 3 x − 5x + 4  0 1 1 2x + 3  1  1 dx 5 3 C6 = ∫  arcsin  = 4  arcsin  = − arcsin 42    9 − 3 2 x − 2 x2 2  3 2 2 +1  0 3 2 2 +1  3 2 2 +1 0 ( mx + n ) dx IV. D ng 4: D = ∫ ax 2 + bx + c  −2 ( ) 11   3 6 x − 2 + 3  dx  2 d (3 x 2 − 2 x + 1) 11 ( 5 − 4 x ) dx =∫ dx D1 = ∫ =− ∫ ∫ + 3 3x2 − 2 x + 1 3x 2 − 2 x + 1 3x2 − 2 x + 1 3 3 2  1 2 x−  +   3 9 2  1 −4 11 1 2 3x2 − 2 x + 1 + = ln x − +  x −  + + C  3 9 3 3 33 3 ( ) 43  ( )  4 4 x − 5 + 4  dx 3 d 2 x − 5 x − 1 2 ( 3x + 7 ) dx =∫ = 43 dx D2 = ∫ ∫ ∫ + 4 2 x2 − 5x − 1 2 x2 − 5x − 1 2 x2 − 5x −1 4 2 2  5  33 x−  −  4  16 Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t 4
Bài 2: Tích phân các hàm s có m u s ch a tam th c b c hai Khóa LTðH ñ m b o – Th y Tr n Phương 2  5  33 3 43 5 2 x2 − 5x − 1 + = ln x − +  x −  − +C  4  16 8 4 42 ( 8 x − 11) dx 4x − 3 17 D3 = ∫ = −2 9 − 6 x − 4 x 2 − +C arcsin 2 9 − 6 x − 4 x2 35 ( 4 − 5 x ) dx 10 x − 7 1 D4 = ∫ = 6 + 7 x − 5x2 + +C arcsin 13 6 + 7 x − 5x2 25 −2 ( 7 x − 4 ) dx ∫ = 7 x 2 − 2 x − 3 + 3ln x − 1 + ( x − 1)2 − 4 + C D5 = x2 − 2 x − 3 −3 0 ( 9 x − 5 ) dx 2x +1 9 1 ∫ 2 − 4 x − 4 x 2 − arcsin D6 = = +C 4 4 2 3 −1 2 − 4 x − 4 x dx V. D ng 5: E = ∫ ax 2 + bx + c ( px + q ) 2 dx 1, E1 = ∫ x2 + 3x − 1 1 ( 2 x + 3)  1 x = 1 → t = 3   1− t 1 1 ð t 2x +1 = ⇒ x = ⇒ x = 2 → t = 2t 5 t   −1 dx = 2 dt  2t 1 1 5 3 −dt dt ∫ ∫ Do ñó E1 = = 2 1 + 4t − 9t 2 1  1− t  1− t 1 1 2t 2 .  +3 −1  3 5 t  2t  2t Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t 5
Bài 2: Tích phân các hàm s có m u s ch a tam th c b c hai Khóa LTðH ñ m b o – Th y Tr n Phương 1 9t − 2 3 1  1 1 1 = arcsin =  arcsin + arcsin  3 5 13  3 13 1 13 5 Các bài 2, 3, 4 sau ñây ta làm tư ng t , có ñáp s như sau:  3 d x +  3 3  4 dx 2, E2 = ∫ =∫ 2 2 2 ( 3x − 4 ) 2 x + 3x + 7 2 3  25    3 47  3 x + 4  − 4  2 x + 4  + 8     13 2 du ∫ = 25  2 47 11 3u −  2u +  2 4 8 3 3 + 10 dx 1 3, E3 = ∫ = ln 2 1 + 10 x2 + 1 2 ( x − 1)  2 d x −  2 2  5 dx 4, E4 = ∫ =∫ 5 x2 + 4 x − 2 2 1 ( 3x − 2 ) 1 2 4   2  14  3 x − 5  − 5  5  x + 5  − 5     8 5 du =∫ 3  3u − 4  14 5u 2 −   5 5 5 ( ) d x2 + 1 2 2 2 3 dx x dx du ∫ ∫ ∫ =∫ 5, E5 = = = x x4 + 2x2 − 1 2 2 u2 − 2 2 ( u − 1)  x 2 + 1 − 1 ( x2 + 1) ( ) ( x2 + 1) x2 1 1 1 −2 −2     Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t 6
Bài 2: Tích phân các hàm s có m u s ch a tam th c b c hai Khóa LTðH ñ m b o – Th y Tr n Phương π π π 1 2 2 2 d ( sinx ) cot x dx cos x dx du ∫ ∫ ∫ ∫ 6, E6 = = = = 2 + sin 2 x sinx 2 + sin 2 x sinx 2 + sin 2 x u u2 + 2 π π π 2 4 4 4 2 ( mx + n ) dx VI. D ng 6: F = ∫ ( px + q ) ax 2 + bx + c  −4 ( ) 67   5 −5 x + 8 + 5  dx −4 1 1 1 1 ( 4 x + 7 ) dx  = 67 dx dx 1, F1 = ∫ =∫ ∫2 +∫ 5 5 (8 − 5 x ) 3x2 − 4 x + 2 2 2 0 (8 − 5 x ) 3x − 4 x + 2 0 ( 8 − 5 x ) 3x − 4 x + 2 0 3x − 4 x + 2 0 Ta tính l n lư t tích phân: 1 1 1 dx dx F1′ = ∫ ∫ = 2 2 30  2 0 3x − 4 x + 2 2 x−  +  3 9 1 1 2  2 3 +1 dx 1 2 2 1 F1′′= ∫ = ln x − +  x −  + = ðt ln .  3 9 3 6 −2 ( 8 − 5 x ) 3x 2 − 4 x + 2 3 3 0 0 8t − 1 1 1 8 − 5x = ⇒ x = ⇒ dx = dt 5t 2 5t t 1 1 Khi x = 0 ⇒ t = và x = 1 ⇒ t = . Do ñó 8 3 1 1 1 3 3 3 dt dt dt F1′′= ∫ =∫ =∫ 2 2 82t 2 − 28t + 3 3 ( 8t − 1) − 20t ( 8t − 1) + 2.25t 2  8t − 1  8t − 1 1 1 1  −4 +2 5t 3  8 8 8  5t  5t Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t 7
Bài 2: Tích phân các hàm s có m u s ch a tam th c b c hai Khóa LTðH ñ m b o – Th y Tr n Phương 1 1 20 25 + 3 2 3  7 1 1 7 25 1 dt ln 123 738 ∫ = = ln t − +  t −  + =  41  3362 1 41 82 −15 2 82 1  82 25 7 25 + t−  + 8 328 2624  41  3362 8 20 25 + −4 −4 3 +1 67 67 ln 123 738 F1′ + F1′′= V y F1 = + ln 5 5 6 − 2 5 82 −15 53 25 + 328 2624 ** Ta làm tương t cho các bài sau: 1 ( 6 − 7 x ) dx 2, F2 = ∫ x2 − x + 4 0 ( 2 x + 5) 1 ( 7 − 9 x ) dx 3, F3 = ∫ 2 x2 + x + 1 0 ( 4 x + 3) xdx VII. D ng 7: G = ∫ ( ax 2 + b ) cx 2 + d 2 x dx 1, G1 = ∫ . ð t t = 5 − x 2 ⇒ t 2 = 5 − x 2 ⇒ x 2 = 5 − t 2 ⇒ xdx = −tdt ( ) 2 5 − x2 1 4x − 3 Khi x = 1 ⇒ t = 2 và x = 2 ⇒ t = 1 . Do ñó: 2 1 2 −tdt 17 + 2t 1 dt G1 = ∫ =∫ = ln ( )2 2 2 17 − 2t 2 4(5 − t ) − 3 t 1 17 − 4t 1 1  4 + 17 17 + 2  1 9 + 2 17 =  ln  = ln − ln 2  −4 + 17  17 − 2  2 9 − 2 17  ** Ta làm tương t cho các bài sau: Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t 8
Bài 2: Tích phân các hàm s có m u s ch a tam th c b c hai Khóa LTðH ñ m b o – Th y Tr n Phương 2 −1 4 10 + 5 x dx ∫ 2, G2 = = ln (5x2 − 11) 90 4 10 − 5 7 − 3x 2 1 1 1 126(7 3 + 161) x dx 3, G3 = ∫ = ln ( ) (8 − 7 x 2 ) 56 2x2 + 1 14 7 + 161 0 dx VIII. D ng 8: H = ∫ ( ax 2 + b ) cx 2 + d 2 dx 1, H1 = ∫ . 1 ( 3 x − 1) 2 5x2 − 2 2 2tdt ð t xt = 5 x 2 − 2 ⇒ x 2t 2 = 5 x 2 − 2 ⇒ x 2 = ⇒ xdx = 2 2 (5 − t 2 ) 5−t 2tdt dx xdx dt ⇒ = = = 2 5 − t2 (5 − t 2 ) . 5 −2t 2 .t x( xt ) 5x2 − 2 32 Khi x = 1 ⇒ t = 3 và x = 2 ⇒ t = . Do ñó: 2 32 32 32 2 2 32 π dt dt H1 = ∫ ∫ = = arctan t 2 = arctan = − 6  2 3 2 3 ( ) 1+ t 2 − 1 5 − t 3 3  5 − t2  ** Ta làm tương t cho các bài sau: Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t 9
Bài 2: Tích phân các hàm s có m u s ch a tam th c b c hai Khóa LTðH ñ m b o – Th y Tr n Phương 2,  3 d x +  2 2  2 dx H2 = ∫ =∫ 1 ( x + 3x + 2 ) x + 3x − 1 1   3 1  2 2 2 2 3  13  x +  −   x +  −    2 4  2 4 7 2 du ∫ = 5  u 2 − 1  u 2 − 13  2 4 4 12  1 6 = − arctan  arctan  3 5 7 12 2 2 2 2 x2 + 5 x2 + 5 3dx dx 3, H 3 = ∫ dx=∫ dx=∫ +∫ ( ) ( ) 2 2 x2 + 5 x2 + 5 2 x2 + 5 +2 1x +2 +2 1x 1x 1 6 6 ( )  arctan 2 − arctan  = ln 6 −1 + 2  2  5  1 d x +  2 2 2  2 dx du 4, H 4 = ∫ =∫ =∫ 1 ( x + x + 1) x + x − 1 1   3  1  5 3  u2 + 3  u2 − 5  2 2 2 2 1   x +  +   x +  −   2 4 2  4 4  2 4  2 2 2 2 x2 + 2 x2 + 2 dx dx 5, H 5 = ∫ dx=∫ dx=∫ +∫ ( ) ( ) 2 2 x2 + 2 x2 + 2 2 x2 + 2 +1 1x +1 +1 1x 1x 1 2+ 6 π 6 = ln + − arctan 1+ 3 3 2 ( mx + n ) dx IX. D ng 9: I = ∫ ( ax 2 + b ) cx 2 + d Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t 10
Bài 2: Tích phân các hàm s có m u s ch a tam th c b c hai Khóa LTðH ñ m b o – Th y Tr n Phương 1 1 (7 − 3 ( x + 1))d ( x + 1) (4 − 3 x)dx 1, I1 = ∫ =∫ ) ( ) ( 2 2x2 + 4x + 5 2 2 0 3 − ( x + 1) 2 ( x + 1) + 3 0 4 − 2x − x 2 2 2 (7 − 3u )du du udu =∫ = 7∫ − 3∫ = 4 H − 3G ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 3−u 2u + 3 1 3−u 2u + 3 1 3−u 2u + 3 2 udu Xét G = ∫ • ( ) 2 2u 2 + 3 1 3−u t2 − 3 t 2 2 2 2 ð t t = 2u + 3 ⇒ t = 2u + 3 ⇒ u = ⇒ udu = dt 2 2 Khi u = 1 ⇒ t = 5 và u = 2 ⇒ t = 11 . Do ñó: 11 11 11 1 3+t tdt dt G= ∫ =∫ = ln   26 2 3−t 9−t 5 2.  3 − t − 3  t 5 5   2  ( ) 1  3 + 11 3 + 5  1 2 3 + 11 =  ln  = ln − ln 6  3 − 11  3− 5  3 3+ 5  2 du Xét H = ∫ • ( ) 2 2u 2 + 3 1 3−u −3tdt 3 ð t ut = 2u 2 + 3 ⇒ u 2t 2 = 2u 2 + 3 ⇒ u 2 = ⇒ udu = t2 − 2 2 (t 2 − 2) −3tdt 2 (t 2 − 2) −3dt du udu ⇒ = = = t2 − 2 3 u (ut ) 2u 2 + 3 .t t2 − 2 Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t 11
Bài 2: Tích phân các hàm s có m u s ch a tam th c b c hai Khóa LTðH ñ m b o – Th y Tr n Phương 11 Khi u = 1 ⇒ t = 5 và u = 2 ⇒ t = . Do ñó 2 11 5 5 2 −3dt t− 3 1 dt H= ∫ =∫ = ln  32 t 2 − 3 2 3 t + 3 11 ( ) 5 3−  t −2 11  t2 − 2  2 2 1 − 11 + 2 3  1 5− 3 2( 11 + 2 3)  ln = = − ln ln   5+ 3 11 + 2 3  5+ 3 2 3 3 ( ) 2 3 + 11 2( 11 + 2 3) 4 V y I1 = 4 H − 3G = − ln ln 5+ 3 3+ 5 3 ** Tương t các bài còn l i. 1 (7 − 5 x)dx 17 18( 6 + 5) 10 2(2 2 + 5) 2, I 2 = ∫ = − ln ln ( ) 9 3( 23 + 5) 23 + 5 2 3 x 2 + 12 x + 8 15 0 x + 4x +1 3 (6 x − 1)dx 3, I 3 = ∫ ( ) 2 2x2 − 4x + 7 2 3x − 6 x + 1 1 (4 x − 5)dx 4, I 4 = ∫ ( ) 2 3x 2 + x + 1 0 9 − 4x − 2x Ngu n: Hocmai.vn Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t 12