TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CÓ MẪU SỐ CHỨA TAM THỨC BẬC 2

Chia sẻ: Abcdef_7 Abcdef_7 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

617
lượt xem 58
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc 2', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CÓ MẪU SỐ CHỨA TAM THỨC BẬC 2

Bài 2. T ích phân các hàm số c ó m ẫu số c hứa tam thức bậc 2 BÀI 2. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CÓ MẪU SỐ CHỨA TAM THỨC BẬC 2 A. CÔNG TH Ứ C S Ử D Ụ NG VÀ K Ỹ N ĂNG BI Ế N Đ ỔI du 1 u du u   arctg  c 2 u c 1. 4. 2 2 a a a u ua du u du 1  c a  0  u  arcsin  c 2. 5. ln 2 2 2a u  a a a a2  u2 au du du 1  ln u  u 2  p  c  a  c 3. 6. ln 2 2 2a a  u u 2 u p K ỹ năng bi ế n đ ổi tam th ứ c b ậ c 2: 2  b2  4ac  b 2 1. ax 2  bx  c  a  x  2. ax 2  bx  c    mx  n   p 2    4a 2  2a     B. CÁC D Ạ NG TÍCH PHÂN dx  ax I. Dạng 1: A = 2 + bx + c mx  n dx dx 1  ax   mx  n    c arctg 1 . Phương pháp: 2 2 mp p  p2  bx  c mx  n  p dx dx 1  ax   mx  n    c ln 2 2 2mp mx  n  p 2  bx  c p 2 . Các bài t ậ p m ẫ u minh h ọ a d  2 x  2 2x  2  3 dx dx 1 1 • A1      c ln 2 2 2 4x  8x  1  2x  2   3 2  2 x  2    3  2 4 3 2x  2  3 3 . Các bài t ậ p dành cho b ạ n đ ọ c t ự g i ả i: 9
Chươ ng II. Nguyên hàm và t ích phân  T rần Phươ ng dx dx dx A1   ; A2   ; A3   2 ; 2 2 3x  4x  2 4x  6x  1 5x  8x  6 2 1 1 dx dx dx A4   2 ; A5   ; A6   2 2 1 7x  4x  3 0 6  3x  2x 0 4x  6x  3  mx + n  II. Dạng 2: B =  dx ax 2 + bx + c   m 2ax  b  n  mb    mx  n  2a 2a  ax  dx  B dx  1 . Ph ươ ng pháp: 2 2  bx  c ax  bx  c     n  mb  A  d ax 2  bx  c m m mb   ln ax 2  bx  c   n    A   2 2a 2a  2a 2a  ax  bx  c   C ách 2: P h ươ ng ph áp h ệ s ố b ấ t đ ị nh ( s ử d ụ ng k hi mẫ u c ó n ghi ệ m) • N ếu mẫ u c ó n ghi ệ m k ép x  x 0 t ứ c l à ax 2  bx  c  a( x  x 0 ) 2   mx  n t h ì t a gi ả s ử :   x ax  bx  c x  x0  x  x0 2 2 Q uy đ ồ ng v ế p h ả i v à đ ồ ng n h ấ t h ệ s ố ở h ai v ế đ ể t ìm ,  .  mx  n    ax dx   ln x  x0  V ớ i ,  v ừ a t ìm t a c ó : B  c 2 x  x0  bx  c • N ếu mẫ u c ó 2 n ghi ệ m p h â n bi ệt x1 , x 2 : ax 2  bx  c  a ( x  x1 )( x  x 2 ) t h ì t a   mx  n giả s ử   x 2 ax  bx  c x  x1 x  x2 Q uy đ ồ ng v ế p h ả i v à đ ồ ng n h ấ t h ệ s ố ở h ai v ế đ ể t ìm ,  .  mx  n   ax dx   ln x  x1   ln x  x2  c V ớ i ,  v ừ a t ìm t a c ó : B  2  bx  c 2 . Các bài t ậ p m ẫ u minh h ọ a: 1 18 x  6   11 3 d x  1 18 x  6  d x  11 2x + 3 dx dx   9 2  • B1 =  9x 2  6 x  1 3  9x 2  6x  1 2 9 9x  6x + 1 9x  6x  1 10
Bài 2. T ích phân các hàm số c ó m ẫu số c hứa tam thức bậc 2 1 d  9 x 2  6 x  1 11 d  3x  1 2 11   9 x 2  6 x  1  9   3x  1 2  9 ln 3x  1  9  3x  1  c 9 3 . Các bài t ậ p dành cho b ạ n đ ọ c t ự g i ả i:  7  3x  dx  3x  4  dx  2  7 x  dx  4 x 2  6x  1 ; B 2   2x 2  7 x  9 ; B 3   5x 2  8x  4 ; B1  dx III. D ạng 3: C =  2 ax + bx + c du  ln u  u 2  k  c  1 . P h ươ ng pháp: B ổ đ ề : 2 u k B i ế n đ ổ i nguyên hàm v ề 1 t rong 2 d ạ ng sau: dx dx 1 2  ln  mx  n    mx  n    C  k c  mx  n 2  k m ax 2  bx  c mx  n dx dx 1  p  0   C   arcsin m p 2 2 p 2   mx  n  ax  bx  c 2 . Các bài t ậ p m ẫ u minh h ọ a: 2 dx 1 dx 5   x 5  45  c • C3     ln x   2 4 16 4 2 2 45 x  5 4 x  10 x  5  4 16 3 . Các bài t ậ p dành cho b ạ n đ ọ c t ự g i ả i: dx dx dx    C1  ; C2  ; C3  2 2 5  12x  4 2 x 2 3x  8x  1 7  8x  10x  mx + n  dx  IV. Dạng 4: D = ax 2 + bx + c 1 . Ph ươ ng pháp:   2 m d ax  bx  c  2ax  b  dx mb m mb dx    C   D  2a 2a 2a ax  bx  c 2a 2 2 2 ax  bx  c ax  bx  c 2 . Các bài t ậ p m ẫ u minh h ọ a: 1 1 1  x  4 d x  x  2 d x dx • D1 =    2 x 2  4x  5 x 2  4x  5 x 2  4x  5 0 0 0 1 d  x 2  4x  5  1 1 1 dx   x 2  4x  5  2ln  x  2  x 2  4x  5   x 2  4x  5  2   2  20 0 x  2 1 0 11
Chươ ng II. Nguyên hàm và t ích phân  T rần Phươ ng 3  10  10  5  2 ln  3  10   2 ln  2  5   10  5  2 ln 2 5 3 . Các bài t ậ p dành cho b ạ n đ ọ c t ự g i ả i:  5  4x  dx  3x  7  dx  8x  11 dx D1   ; D2   ; D3   2 2 2 3x  2x  1 2x  5x  1 9  6x  4x dx   px + q  V. Dạng 5: E = ax 2 + bx + c  dt 1 1 1  Đ ặ t px  q   p dx  2 ; x    q  . Khi đ ó : 1 . Ph ươ ng pháp: t pt t   dt pt2 dx dt   px  q 1  E   ax2  bx  c 2 t 2  t   a 1  b 1    q    q  c t p2  t  p t  2 . Các bài t ậ p m ẫ u minh h ọ a: x  2  t  1  3 t  1 x  3  t  1 dx 1   x - 1 . Đặ t x  1   x  • E1 = ; 2 t t x 2 - 2x + 2  dt 2 dx  2  t  12 3  dt t 2 dx   x-1 1 K hi đ ó : E1   x 2  2x  2 2    2  t t 1  2 t 1 2 1 t t 1 1 1 5 22 2 dt    ln t  t 2  1    ln 1  2  ln  ln 2 2 1 5 t 1 12 12 3 . Các bài t ậ p dành cho b ạ n đ ọ c t ự g i ả i: 2 3 3 dx dx dx   2x  3  3x  4   x 1 E1  ; E2  ; E3  2 2 x2  1 x  3x  1 2x  3x  7 1 2 2  mx + n  dx   px + q  ax 2 + bx + c VI. Dạng 6: F = 12
Bài 2. T ích phân các hàm số c ó m ẫu số c hứa tam thức bậc 2 m px  q   n  mq    p  mx  n  dx p     px  q    px  q  F  dx 1. Ph ươ ng pháp: ax 2  bx  c ax 2  bx  c m dx mq  dx m mq       px  q  F  n   C  n  E p p p p ax 2  bx  c  ax 2  bx  c    2 . Các bài t ậ p m ẫ u minh h ọ a: 1 1 1  2 x  3 d x dx dx    x  1   2I  J F1   2 2 x 2  2x  2 2 0  x  1 x  2 x  2 x  2x  2 0 0 1 1 1 2 5 dx dx 2  ln  x  1   x  1  1    ln I 0  x  1 2  1 x2  2 x  2 1 2 0 0 x  0  t  1  1 1 x  1 t  1 dx   x  1 J . Đặt x  1    2 . Khi đ ó : t x2  2x  2 dx   dt 0  t2  12 1  dt t 2 1 22 2 dt  ln t  t 2  1 1  J   ln 2 t2 1 1 5 1t 1  2 1t  1  2 12 1 12 t 2 9  4 5  2 5 22 2  F 1  2 I + J  2 ln  ln  ln 2  1  5  1  1 2 1 5 1  2 x  1  5 3 2 -3 2  x + 3  dx 2 2    • F2 = dx  2x + 1 -x 2 - 4x - 3 2  2 x  1  x  4 x  3 2 -2 3 2 3 2 1 dx 5 dx 1 5    2x  1    I J 2 2 2 2 2 2  x  4x  3  x  4x  3 2 2 3 2 3 2  dx dx 3 2  arcsin  x  2    I   2 6 2 2 x  4x  3 1  x  2 2 2  x  2  t  1  3 3 2 1 t  dx 1 3  t  1 ; x    2x  1 . Đặt 2x  1   x  J 2 2 t 2t   x2  4 x  3 2 dx   dt 2  t2  13
Chươ ng II. Nguyên hàm và t ích phân  T rần Phươ ng 1 2 1 3  dt 2t 2 dt   J  2 5t 2  6t  1 1 1    2 1t  1  3 1 1 1 3 1 2 4 t t 1 3 1 3 5t  3 1 dt 1 1 2 1      arcsin 3  arcsin 4  arcsin 2 1 2 2 2 5  5 5     t3 2 1 2 5 5   5 Vậ y F2  1 I  5 J    arcsin 2  arcsin 1 2 2 12 2 3 4 3 . Các bài t ậ p dành cho b ạ n đ ọ c t ự g i ả i: 1 1 1  4x  7 dx  6  7x  dx  7  9x  dx  8  5x    2x  5   4x  3 F ; F2  ; F3  1 3x2  4x  2 x2  x  4 2x 2  x  1 0 0 0 xdx   ax VII. Dạng 7 : G = + b  cx 2 + d 2 t2  d t dt Đ ặ t t  cx 2  d  t 2  cx 2  d  x 2  ; x dx  1 . Ph ươ ng pháp : c c 1 t dt 1 dt 1   K hi đ ó : G  2  A at 2   bc  ad  c 2 c  a t  d  2  c  b t  c   2 . Các bài t ậ p m ẫ u minh h ọ a: x  0  t  1  1 xdx  . Đ ặ t t  6 x 2  1   x  1  t  7 . Khi đ ó :  • G1 =  5 - 2x 2 6x 2 + 1  0 6 x dx  t dt    7 1 3 4 7 7 7 1 1 4  t  1 t dt 1 dt   G1     ln   ln   42  t 2 2  8 4  t  1 2 6 2 16 5 4  7  16  t   3 t 1 1   3 . Các bài t ậ p dành cho b ạ n đ ọ c t ự g i ả i: 2 2 1 x dx x dx x dx   4x  5x  8  7x  G1  ; G2  ; G3    2 5  x2 2 7  3x 2 2 2x2  1 3  11 1 1 0 dx   ax VIII. Dạng 8: H = + b  cx 2 + d 2 1 . Ph ươ ng pháp: td .dt d Đ ặ t xt  cx 2  d  x 2 t 2  cx 2  d  x 2   xdx  2  t 2  c 2 t c 14
Bài 2. T ích phân các hàm số c ó m ẫu số c hứa tam thức bậc 2 2 td .dt  t 2  c  dt dx xdx  . Khi đ ó t a c ó :   2 cx 2  d x  xt  td  t  c  2 t c  dt  dt dx   ax   H   A 2 bt   ad  bc   b  cx  d ad  b   t 2  c  2 2 2  t c  2 . Các bài t ậ p m ẫ u minh h ọ a: x  3  t  2 3 x2  3 dx  3 . Đ ặ t xt  x 2  3  t    • H1 = x  2  t  7  x 2 x2 + 3 2 x -2  2 3t dt 3   và x 2 t 2  x 2  3  t 2  1 x 2  3  x 2  2  x dx   t 2  12 t 1 2 3t dt  t 2  1  dt dx x dx . Khi đ ó t a c ó :   2  t 2  1 x  xt  t 1 2 3t x 3 2 3 2 2  15   14  2 5  2 3 t 2 5 dt 1 1 H1     ln ln 2 2  15   14  2 5  2 2t  5 2 10 t 2  5 2 10 72 72 3 . Các bài t ậ p dành cho b ạ n đ ọ c t ự g i ả i: 2 2 2 x2  5 dx dx H1   ; H2   ; H3   dx x2  2  3 x 2  1 5 x 2  2  x 2  3 x  2  x 2  3x  1 1 1 1  mx + n  dx   ax IX. Dạng 9: I = + b  cx 2 + d 2 xdx dx   ax   ax I m n  mG  nH 1 . Ph ươ ng pháp:  b  cx  d  b  cx 2  d 2 2 2 2 . Các bài t ậ p m ẫ u minh h ọ a: 3 3  4  x  1  7  dx  4x + 3  dx  x   x  1  • I1 = - 2x - 4  3x 2 - 6x + 5 2 2 2  5 3  x  1  2   2 2 2 2 2  4u  7  du udu du  u  u  u  4 7  4J  7L  5 3u  2  5 3u  2  5  3u  2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 t2  2 udu tdt . Đ ặ t t  3u 2  2  u 2   u X ét J   udu   5  3u 2  2 3 3 2 1 15
Chươ ng II. Nguyên hàm và t ích phân  T rần Phươ ng 14 2 14 14 t  17 udu tdt dt 1 J    t 2  17  t   t 2  17  2 ln  u 2  5 2 t  17 17 3u  2 1 5 5 5    17  14  17  5  17  5  17  14 1 1   ln  ln ln   17  5  2 17  17  14   17  5  17  14 2 17  2 du 2 . Đ ặ t ut  3u 2  2  u 2 t 2  3u 2  2  u 2   u X ét L  2  5 3u 2  2 t 3 2 1 2 2tdt  t 2  3 2tdt du udu dt  udu     2 . Khi đ ó : 2t  t  3  ut   t 2  3 2 2 u t 3 3u 2  2 14 2 14 2 2 du dt dt  u   L    17  5t 2  5  3u 2  2  2  5   t 2  3 2 2  1 2 2  t 3  14 2  70  2 17   2 5  17  17  t 5 1 1 1    ln ln  70  2 17   2 5  17  17  t 5 5 2 17 2 85 2  17  14    17  5  70  2 17   2 5  17  4 7  I1  4J  7L  ln ln  17  14   17  5  2 85  70  2 17   2 5  17  2 17 6 1 6 -1  2  x  1  1 dx  2x + 1  dx    • I2 =  x 2 + 2x + 6  2x 2 + 4x - 1  x  12  5 2  x  12  3   2 1 2 -1 6 6 6  2u  1 du udu du  u  u  u  2   2J  L  5 2u  3  5 2u  3  5  2u 2  3 2 2 2 2 2 2 2 2 6 t2  3 udu tdt . Đ ặ t t  2u 2  3  u 2   u X ét J   udu   5  2u 2  3 2 2 2 2 6 3 3 udu tdt dt 2 3 1  u  t t J     arctg  arctg   13 t 2  5 2u  3 2  13 2 2 13  13 13  1 1 2 6 3 du . Đ ặ t ut  2u 2  3  u 2 t 2  2u 2  3  u 2   u X ét L  2  t2  5  2u  3 2 2 2 16
Bài 2. T ích phân các hàm số c ó m ẫu số c hứa tam thức bậc 2 2 3tdt  2  t 2  3tdt du udu dt  udu   . Khi đ ó :    3t  2  t 2 2u 2  3 u  ut   2  t 2 2 2  t2 36 36 36 6 du dt dt 1 dt  u    L    2 13 2  5 2u2  3 3 51  13  5t 2  5  2  t2  t 2 12 1 2 2  2 5  2t  3 6  26  5  13 5  t 78  3 5 1 1 1    ln ln  ln   26  5  5 2 13 5 13 5  t 78  3 5 2 65   1 2  78  3 5   26  5  4 3 1 1 I 2  2J  L   arctg   arctg ln  78  3 5   26  5  13  13 13  2 65 17