zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Trung học phổ thông

Tích phân hàm phân thức, lượng giác và mũ-Logarit

Chia sẻ: Dinh Trang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Báo xấu

113
lượt xem 13
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'tích phân hàm phân thức, lượng giác và mũ-logarit', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tích phân hàm phân thức, lượng giác và mũ-Logarit

www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC, LƯỢNG GIÁC VÀ MŨ – LOGARIT DƯỚI “CON MẮT” CỦA TÍCH PHÂN HÀM NHỊ THỨC I. Trước khi tìm hiểu về chuyên đề này chúng ta tìm hiểu qua tích phân hàm nhị thức  (a  bx n ) p dx với a, b  R  , m, n, p  Q, n, p  0 m Có dạng x  Tùy thuộc vào tính chất và mối quan hệ qua lại giữa lũy thừa của m, n, p mà ta có các cách đặt khác nhau. m 1 m 1 Cụ thể xét bộ ba số p; p ; n n TH 1: Nếu p  Z thì ta đặt x  t q với q là mẫu số chung nhỏ nhất của phân số tối giản của m và n m 1 s p  Z , p  , r , s  Z  ,  r , s   1 ta đặt t   a  bx n  hoặc t  a  bx n TH 2: Nếu n r Đặc biệt r - Nếu p   Z ta chỉ được đặt t  a  bx n s r - Nếu p   Z và p  2,3,... ta có thể sử dụng tích phân từng phần, khi p  2 TPTP một lần, khi p  3 s TPTP hai lần, … a  bx n m 1 s  tr  p  Z , p  , r , s  Z  thì ta đặt TH 3: Nếu xn n r Bài tập giải mẫu: TH 1: Nếu p  Z thì ta đặt x  t q với q là mẫu số chung nhỏ nhất của phân số tối giản của m và n 4 dx Bài 1: Tính tích phân sau I     x 1 x 1 Giải: 1 4 4 1   dx 1   x 1  x 2  dx Ta có I     1 x 1 x   1 1 Nhận xét: m  1, n  , p  1  Z  q  2 2 Cách 1: x  t2 Đặt x t dx  2tdt 1 www.mathvn.com
www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498  x  4 t  2 Đổi cận   x  1 t  1 2 2 2 2 t dt 1 1 4   2  ln t  ln 1  t   2 ln Khi đó I  2 2 dt  2   2   1 t 1 t 1 t 1  t  t 1 t  1 3 1 Cách 2:  x   t  1 2  Đặt 1  x  t   dx  2  t  1 dt   x  4 t  3 Đổi cận   x  1 t  2  t  1 dt 3 dt 2 3 3 1 1 4   dt  2  ln t  1  ln t   2ln I  2  2  2  Khi đó 2 2 t  1 t 2 t 1 t  3 2  t  1 t 2 m 1 s p  Z , p  , r , s  Z  ,  r , s   1 ta đặt t   a  bx n  hoặc t  a  bx n TH 2: Nếu n r Đặc biệt r  Z ta chỉ được đặt t  a  bx n - Nếu p  s r - Nếu p   Z và p  2,3,... ta có thể sử dụng tích phân từng phần, khi p  2 TPTP một lần, khi p  3 s TPTP hai lần, … 1 Bài 2: (ĐHDB – A 2003 – ĐHNT – 1996) Tính tích phân sau I   x 3 1  x 2 dx 0 Giải: 1 1 Phân tích I   x 3 1  x 2 dx   x 2 1  x 2 .xdx 0 0 m 1 1  2 Nhận xét: m  3, n  2, p   2 n Cách 1:  x2  1  t 2 Đặt t  1  x 2    xdx  tdt x  1 t  0 Đổi cận    x  0 t  1 1 0 1 1 1 1 2   dt   t 1  t  dt   t  2 2 2 2 2 4 dt   t 3  t 5   Khi đó I    t 1  t t 3 5  0 15 1 0 0 Cách 2: 2 www.mathvn.com
www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 x2  1  t  2 Đặt t  1  x   dt  xdx    2 x 1 t0   Đổi cận    x  0 t  1 1 01 11 1 1 3 3 3 1 2  12 2 2 2  12 12 2 Khi đó I    t 1  t  dt   t 1  t  dt    t  t dt   t  t   2 21 20 2 0 23 3 15  0 Cách 4: Đặt x  cos t  dx   sin tdt   2 2 Khi đó I   sin 2 t cos 3 tdt   sin 2 t 1  sin 2 t  cos tdt 0 0 Cách 4.1. Đặt sin t  u  cos tdt  du Khi đó 1 1  u 3 u5  1 2 I   u 2 (1  u 2 )du    u 2  u 4  du      3 5  0 15 0 0 Cách 4.2.     sin 3 t sin 5 t  2 2 2     2 2 2 4 I   sin t 1  sin t d  sin t    sin t  sin t d  sin t     2 . 3 5 15 0 0 0 Cách 4.3.     12 1 2 1  cos 4t 12 12 I   sin 2 2t costdt   cos tdt   cos tdt    cos 4t cos tdt 40 40 2 80 80 Cách 5: 1 1 1 1       I    x2 1  x 2 d 1  x 2   1  x2  1 1  x 2 d 1  x 2 20 20 1 1 3 1 1 1      d 1  x    1  x2 d 1  x   1  x2 2 2 2 2 20 20 dt Cách 3: Đặt t  x 2   xdx 2 7 x 3 dx Bài 3: Tính tích phân I   3 x2  1 0 Giải :  x2  t 3  1  3 2 Cách 1: Đặt t  x  1   32  xdx  t dt  2 3 www.mathvn.com
www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498  t  2 x  7  Đổi cận  t  1 x  0  3  t  1 .t dt 3 3 2 7 2 2 x 2 .xdx 3  t 5 t 2  2 93    t  t  dt      4 Khi đó I    x2  1 2 1 t 21 2  5 2  1 10 3 0 Cách 2: x2  t  1  Đặt t  x 2  1   dt  xdx   2 x  7 t  8   Đổi cận  t  1 x  0  1  t  1 dt 1  3  3  2 1 5 2 8 8 13 3 3 3  8 Khi đó I      t  t  dt   t  t  1 2 1 21 2 1 25  3 t 2 x3 x Cách 3: Phân tích x 3  x  x 2  1  x   x  x 2  1 3  32 32 x 1 x 1 Cách 4: Sử dụng tích phân từng phần u  x 2 du  2 xdx   1 d  x  1   2 Đặt  3 3 x v   x 2  1 2 dv  dx     4 2 3 x2  1 32 x 1  4 dx Bài 4: (ĐHAN – 1999) Tính tích phân I  x x2  9 7 Giải: Phân tích 4 4 1 dx  x x  9  dx 1 2 I  x 2 x2  9 7 7 m 1 1  0 Nhận xét: m  1, n  2, p    2 n  x2  t 2  9 Đặt t  x 2  9    xdx  tdt x  4  t  5  Đổi cận  t  4 x  7  4 5 5 1 t 3 5 1 7 xdx tdt dt Khi đó I    2  ln  ln x t (t 2  9) 4 t  9 6 t  3 4 6 4 2 x2  9 4 7 Cách 2: 4 www.mathvn.com
www.MATHVN.com Email: Loinguyen1310@gmail.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 x2  t  9  2 Đặt t  x  9   dt  xdx   2 25 1 dt Khi đó I   ... đến đây liệu ta có thể làm được không, có thể đó bằng cách đặt 1 2 16 t  9 t 2 1 u 2  t u  t2   … bạn đọc giải tiếp nhé 2udu  dt 1 6 Bài 5: (ĐH KTQD – 1997) Tính tích phân sau: I   x5 1  x3  dx 0 Giải: 1 1 36 6 I   x 1  x  dx   x 3 1  x 3  x 2 dx 5 0 0 m 1  0 Nhận xét: m  5, n  3, p  6  Z  n Cách 1:  dt 2   x dx 3 Đặt t  1  x   3  x3  1  t  x  1 t  0 Đổi cận    x  0 t  1 0 1 1 1  t 7 t8  16 16 167 1 Khi đó I    t 1  t dt   t 1  t dt    t  t dt      31 30 30 3  7 8  168 Cách 2: 1 1 1 1 6 6 6 7 I   x5 1  x3  dx   x 2 1  1  x 3   1  x3  dx   x 2 1  x 3  dx   x 2 1  x 3  dx   0 0 0 0 37 38 1 1  x  1 1  x  1 1 1 1 1 1 6 7    1  x3  d 1  x 3    1  x3  d 1  x3    . .  03 0 30 3 7 8 168 0 2 2 Bài 6: (SGK – T 112) Tính tích phân sau I   x  x  1 dx 0 Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần du  2  x  1 dx u   x  12   Đặt   x2 dv  xdx v     2 2 2 2  x 4 x 3  2 34 2x 2   x  x  1 dx  6    x 3  x   dx  6      2 Khi đó I   x  1 20 0 4 3 0 3 0 5 www.mathvn.com
www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 Cách 2: x  t  1 Đặt t  x  1   dx  dt  x  2 t  3 Đổi cận    x  0 t  1 Khi đó 3 3  t 4 t 3  3 34 I    t  1 t dt    t 3  t 2  dt      2  4 3 1 3 1 1 Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích 2 Ta có x  x  1  x  x 2  2 x  1  x 3  2 x 2  x 2  x 4 2 x 3 x 2  2 34 Khi đó I    x3  2 x 2  x  dx      4 3 2 0 3 0 Cách 4: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân 2 2 3 2 Ta có x  x  1   x  1  1  x  1   x  1   x  1   4 3  x  1  x  1 2 2 2 2 34 3 2 3 2 Khi đó I    x  1 dx    x  1 dx    x  1 d  x  1    x  1 d  x  1    4 3 3 0 0 0 0 a  bx n m 1 s  tr  p  Z , p  , r , s  Z  thì ta đặt TH 3: Nếu xn n r 2 dx Bài 7: Tính tích phân sau I   x 4 1  x2 1 Giải: x2  1 2 m 1 1 t  p  2  Z nên đặt Nhận xét: m  2; n  2; p   x2 2 n 1 2 x  t2 1 1  x2   t2   Đặt tdt 2 x  xdx   2  t 2  1    5  x  2 t  Đổi cận   2 x  1 t  2  Ta có 5 2 3 t  1 2 2 2 2 2  t3  tdt 7 5 8 2 dx dx    t  1 dt    t  2 I   5 .  2 t 3 24 t  1 x4 1  x2 1 2  x6 1 1 2 5 1 2 x2 2 6 www.mathvn.com
www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 1 x  x  1 33 Bài 8: Tính tích phân sau: I   dx . x4 1 3 HD: 1 1 1 1 1 3 1 Ta có I    2  1 . 3 dx   x 3  1  x 2  3 dx 1x x 1 3 3 m 1 1 Nhận xét: m  3, n  2, p    1 Z 3 n 1 dt dx Đặt t  2  1    3 ….  I  6 bạn đọc tự giải 2x x 3 dx Bài 9: Tính tích phân sau I   (1  x 2 )3 3 2 Giải : 3 m 1 Ta có m  0; n  2; p    p  1  Z 2 n 1 2 t2 1  x 2 x 1 2  Đặt t  2  xdx  tdt x (t 2  1) 2   x  3  23 t   Đổi cận  3  3 x  t  3  2  3 3 3 3 xdx tdt dt 1 1 Khi đó I     2  2 3   1 .t 2 .t 2 3 t t 2 2 23 (1  x ) 1  x 2 2 2 3 (t  1) . 3 x4. . 3 2 2 (t  1) 2 2 3 3 x x Bài tập tự giải: 2 dx Bài 1: (ĐHSP II HN – A 2000) Tính tích phân I   x x3  1 1 HD: 3x2 dx dt Đặt t  x3  1  dt  dx   2 t 1 2 x3  1 x x3  1 4 dx 17 Bài 2: (ĐHAN – A 1999) Tính tích phân I   ln x 64 x2  1 7 7 www.mathvn.com
www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 2  dx Bài 3: (ĐHBKHN – 1995) Tính tích phân I    12 x x2  1 2 3 Cách 1:   dt x dx xdx dt Đặt t  x 2  1  dt  dx    và t  tanu ,   u  , 2  du . 2 2 t 1 2 t 1 x2  1 x x2  1 x2 x2  1   1 dx Cách 2: Đặt t  , t   0;    dt cos t  2 x x2  1  π 1 1 với t   0;  hoặc x  C1: Đặt x   2 cos t sin t C2: Đặt x 2  1  t C3: Đặt x 2  1  t 1 C4: Đặt x  t C5: Phân tích 1    x 2  1  x 2    1 x3 Bài 4: Tính tích phân I  dx  0  x2  1 1 C1: Đặt x  tan t C2: Phân tích x 3  x  x 2  1  x u  x 2  C3: Đặt  x dv  dx x2  1  C4: Đặt x  t C5: Phân tích x 3 dx  x 2 xdx   x 2  1  1 d  x 2  1   7 x3 141 Bài 5: (ĐHTM – 1997) Tính tích phân I  dx   20 3 2 1 x 0 2 x4 Bài 6: (CĐKT KT I – 2004) Tính tích phân I   dx x5  1 0 3 14 3 Bài 7: (CĐ Hàng hải – 2007) Tính tích phân I   x 3 x 2  1 dx  5 1 9 468 Bài 8: (CĐ Sư Phạm Tiền Giang – 2006) Tính tích phân I   x. 3 1  x dx   7 1 1 2 2 1 Bài 9: (CĐ Nông Lâm – 2006) Tính tích phân I   x x 2  1dx  3 0 3 848 x 3  1.x5 dx  Bài 10: (CĐ Tài Chính Kế Toán IV – 2005) Tính tích phân I   105 0 8 www.mathvn.com
www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 1 6 3 8 Bài 11: (CĐ Khối A, B – 2005) Tính tích phân I   x3 . x 2  3dx  5 0 1 8 Bài 12: (CĐ GTVT – 2005) Tính tích phân I   x5 1  x 2 dx  105 0 1 x 1 Bài 13: (ĐH Hải Phòng – 2006) Tính tích phân I   dx  ln 2 2 2 0 1 x 1 2   Bài 14: Tính tích phân I   x 2 2  x 3 dx  3 32 2 9 0 Bài 15: (CĐ Dệt may thời trang Tp.HCM – 2007) Tính tích phân 3 3 dx I  1   x x  1 2 2 3 12 1 23 dx 2 3 Bài 16: Tính tích phân I     x2 x 2  1 3 22 3 b. Tích phân hàm phân thức, lượng giác, mũ – loga dưới “con mắt” của tích phân hàm nhị phân thức  p Mở rộng I   u m  x   a  bu n  x   d u  x   với với a, b  R  , m, n, p  Q, n, p  0     Và cụ thể hóa trường hợp 2 như sau m 1 s p  Z , p  , r , s  Z  ,  r , s   1 ta đặt t   a  bu n  x   hoặc t  a  bu n  x  Nếu   n r r Đặc biệt : Nếu p   Z ta chỉ được đặt t  a  bu n  x  s Ta xét các thí dụ sau đây ln 5 e2 x Thí dụ 1. (ĐH DB – B 2003) Tính tích phân sau I   dx ex  1 ln 2 Lời giải. ln 5 ln 5 1 e2 x    e x 1  e x de x thì đây chính là tích phân nhị thức với Ta có I   dx  2 x e 1 ln 2 ln 2 m 1 1  2  Z và u  x   e x m  n  1, p    2 n e  t 2  1 x  x 2 Đặt e  1  t   x e dx  2tdt   x  ln 5 t  2 Đổi cận    x  ln 2 t  1   2 t 2  1 tdt 2 22 2 20    2  t 2  1 dt  t 3  2t  Khi đó I  2  31 13 t 1 1 9 www.mathvn.com
www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 Cách khác: Đặt e x  1  t e 1  3ln x .ln x Thí dụ 2. (ĐH – B 2004 ) Tính tích phân sau I   dx x 1 Lời giải. e e 1 1  3ln x .ln x dx   ln x 1  3ln x  3 d  ln x  thì đây chính là tích phân nhị thức với Ta có I   x 1 1 m 1 1  2  Z và u  x   ln x m  n  1, p   2 n t2 1  ln x    3 Đặt 1  3ln x  t 2    dx  2 tdt x 3   x  e t  2 Đổi cận   x  1 t  1 2 2 2 t2 1 2 2  t 5 t 3  2 116 2 t dt   (t 4 t 2 )dt      Khi đó I   31 3 91 9  5 3  1 135 Cách khác: t  1  3ln x e ln x. 3 2  ln 2 x Thí dụ 3. (PVBCTT – 1999) Tính tích phân sau I   dx x 1 Lời giải. e e 1 ln x. 3 2  ln 2 x dx   ln x 1  ln 2 x  3 d  ln x  thì đây chính là tích phân nhị thức với Ta có I   x 1 1 m 1 1  1  Z và u  x   ln x m  1, n  2, p   3 n 32 ln x Đặt t 3  2  ln 2 x  t dt  dx 2 x  x  e t  3 3  Đổi cận   x  1 t  3 2  3 3 3 3 3 3 t4 3 3 33 33   2 3 3  23 2 Khi đó I   t.t dt   t dt  .  232 2 32 24 8 3 2 Cách khác: Đặt 2  ln 2 x  t e ln x Thí dụ 4. (ĐH – B 2010) Tính tích phân sau I   dx 2 x  2  ln x  1 Lời giải. 10 www.mathvn.com
www.MATHVN.com Email: Loinguyen1310@gmail.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 e 2 ln x 2 dx   ln x  2  ln x  d  ln x  thì đây chính là tích phân nhị thức với Ta có I   2 1 x  2  ln x  1 m 1  2  Z , p  2  Z và u  x   ln x m  1, n  1,  n ln x  t  2  Đặt t  2  ln x   dx  x  dt  t  2 3 3 2 3 1 2 31   Khi đó I   dt     2 dt   ln t    ln  2 t2 t 2t t 23   2 ln 3 e x dx Thí dụ 5. (ĐHDB – 2002) Tính tích phân sau I   3 e  x 1 0 Lời giải. ln 3 ln 3 1 e x dx   e  x de x thì đây chính là tích phân nhị thức với Ta có I   1  3 3 e  x 1 0 0 m 1 1  1  Z và u  x   e x m  0, n  1, p    2 n Đặt t  e  1  2tdt  e x dx  dx  2tdt 2 x 2 12 tdt Khi đó I  2  3  2.  2 1 t2 t 2 2 dx Thí dụ 6. Tính tích phân sau I   x  x3 5 1 Lời giải. 2 2 dx 1     x 3 1  x 2 dx đây là tích phân nhị thức với m  3, n  2, p  1  Z Ta có I   5 3 1 x x 1 x2  t 1  Đặt t  x 2  1   dt  xdx  2 x  2 t 5  Đổi cận   x  1 2 t 2 2 1 x Ta có I   dx   dx   x  3 2 4 2 x x 1 1 x 1 1 1 1 1 5 5 t 5 3 1 1 dt 1 15 Khi đó I        dt     ln  2   ln 2  ln 2 2 t 1 t  2  t 1 t 1  2 2   t  1 8 22 t  t  1   2 11 www.mathvn.com
www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 x 2 dx Thí dụ 7. Tìm nguyên hàm: I   39 1  x  Lời giải. x 2 dx m 1 39   x 2 1  x  Ta có I   dx đây là tích phân nhị thức với m  2, n  1, p  39  Z   3 Z 39 n 1  x  Đặt t  1  x  x  1  t  dx   dt Khi đó 2 1  t  dt 1 1 1 11 21 11 I      39 dt  2  38 dt   37 dt     C với t  1  x 39 38 37 36 t 36 38 t 37 t t t t t  2 sin 2 x.cos x Thí dụ 8. (ĐH – B 2005) Tính tích phân sau I   dx 1  cos x 0 Lời giải. Phân tích    sin x.cos 2 x 2 2 2 sin 2 x.cos x 1 dx  2  cos 2 x 1  cos x  d  cos x  thì đây chính là tích phân nhị thức I dx  2  1  cos x 1  cos x 0 0 0 với m  2, n  1, p  1  Z và u  x   cos x dt   sin xdx Đặt t  1  cos x   cos x  t  1   t  1 x  Đổi cận  2  t  2 x  0  2  t  1 1 2  t2 2 1  Khi đó I  2  dt  2   t  2   dt  2   2t  ln t   2 ln 2  1 t t 2 1 1 2  2 2 Thí dụ 9. (ĐHTS – 1999) Tính tích phân sau I   sin x cos x 1  cos x  dx 0 Lời giải.   2 2 2 2 Ta có I   sin x cos x 1  cos x  dx    cos x 1  cos x  d  cos x  thì đây chính là tích phân nhị thức với 0 0 m  1, n  1, p  2  Z và u  x   cos x sin xdx   dt Đặt t  1  cos x   cos x  t  1 12 www.mathvn.com
www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498   t  1 x  Đổi cận  2  t  2 x  0  1 2  t 4 t 3  2 17 Khi đó I     t  1 t 2 dt    t 3  t 2  dt       4 3  1 12 2 1 Nhận xét: Nếu gặp tích phân là tổng (hiệu) của hai tích phân nhị thức mà có cùng cách đặt thì ta vẫn tính như trong lý thuyết  2 sin 2 x  sin x Thí dụ 10. (ĐH – A 2005) Tính tích phân sau I   dx 1  3cos x 0 Lời giải.    sin x  2 cos x  1 2 2 2 1 1   dx    2 cos x 1  3cos x  d  cos x    1  3cos x  2 d  cos x  Ta có I   2 1  3cos x      0 0 0 I1 I2 m 1 Nhận xét: Đây chính là tổng của hai nhị thức u  x   cos x với I1 ta có m  n  1   2  Z và với I 2 n m 1 ta có m  0, n  1   1 Z . n Vậy chung qui lại ta có thể t2 1  cos x    3 Đặt 1  3cos x  t 2    sin x 2dt dx    1  3cos x 3    t  1 x  Đổi cận  2  t  2 x  0  2  4t 2 2  2  2 34 4   dt   t 3  t   Khi đó I    9 9  27 9  1 27 1  2 sin 3 x Thí dụ 11. (ĐHQG HCM – B 1997) Tính tích phân sau I   dx 1  cos x 0 Lời giải.    3 2 2 2 3sin x  4sin x sin 3 x 1 dx     4cos 2 x  1 1  cos x  d  cos x  thì đây chính là tổng của Ta có I   dx   1  cos x 1  cos x 0 0 0 m 1  3  Z và u  x   cos x nên ta hai tích phân nhị thức tích phân nhị thức với m  2, n  1, p  1  Z  n cos x  t  1 đặt t  1  cos x    dt  sin xdx 13 www.mathvn.com
www.MATHVN.com Email: Loinguyen1310@gmail.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498   t  1 x  Đổi cận  2  t  2 x  0  2 4  t  1  1 1 2 2 3   dt    4t   8  dt   2t 2  3ln t  8t   3ln 2  2 Khi đó I    1 t t 1  2 Để kết thúc bài viết này mời các bạn tự giải các tích phân sau e3 ln 2 x 76 Bài 1: (ĐHDB – D 2005) Tính tích phân sau I  dx  x 15 ln x  1 1 ln 2 2x e 22 Bài 2: (ĐHBK – 2000) Tính tích phân sau I   dx  3 x e 1 0 e 42 2 ln x dx  Bài 3: (ĐHHH – 98) Tính tích phân I =  x. 3 1  ln x 1 e 3  2 ln x 10 2  11 Bài 4: (ĐHDB 2 – 2006) Tính tích phân sau I  dx  x 3 1  2 ln x 1 e ln x 1 Bài 5: (ĐHCT – 1999) Tính tích phân sau I   dx  (ln 2  1) 1 x  ln x  1 2 2 e log 3 x 4 2 Bài 7: Tính tích phân sau I   dx  27 ln 3 2 2 x 1  3ln x 1 ln 8 ln 8 e x  1.e 2 x dx  e x  1.e x .e x dx Bài 8: (ĐHDB – 2004) Tính tích phân sau I    ln 3 ln 3 e  1 e x x ln 5 Bài 9: Tính tích phân sau I  dx  ex  1 ln 2  2 sin 4 x 3 Bài 10: (HVNH TPHCM – D 2000) Tính tích phân sau I   dx  2  6 ln 2 4 0 1  cos x  2 15 3 Bài 11: Tính tích phân sau I   sin 2 x 1  sin 2 x  dx  4 0  sin x cos 3 x 2 Bài 12: (ĐH BCVT – 1997) Tính tích phân sau I   dx 1  cos 2 x 0  sin 3 x  sin 3 3 x 6 11 Bài 13: Tính tích phân I   dx    ln 2 1  cos 3 x 63 0 14 www.mathvn.com
www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 3 dx 6 Bài 14: (ĐHDB – B 2004) Tính tích phân sau I   ln  xx 3 2 0 3 x dx 11 31 31 11 Bài 15: Tìm nguyên hàm I       C 10 6 7 8 9 ( x  1)9 6 ( x  1) 7 ( x  1) 8 ( x  1) ( x  1) Góp ý theo địa chỉ Email: Loinguyen1310@gmail.com hoặc địa chỉ: Nguyễn Thành Long Số nhà 15 – Khu phố 6 – Phường ngọc trạo – Thị xã bỉm sơn – Thành phố thanh hóa 15 www.mathvn.com

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.06: Bộ 240 Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2023

240 tài liệu

1111 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.