YOMEDIA
Toán - Tích phân hàm một biến
Chia sẻ: Phi Nguyen
| Ngày:
| Loại File: PPT
| Số trang:21
151
lượt xem
23
download
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
* Để tính tích phân của hàm lượng giác và vô tỉ, ta tìm cách
đổi biến số để đưa chúng về tích phân của các phân thức
hữu tỉ.
* Để tính tích phân của hàm lượng giác và vô tỉ, ta tìm cách
đổi biến số để đưa chúng về tích phân của các phân thức
hữu tỉ.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Toán - Tích phân hàm một biến
- NỘI DUNG
6.1. Tích phân bất định
6.2. Tích phân xác định
6.3. Một số ứng dụng hình học của
tích phân xác định
6.4. Tích phân suy rộng
- 6.1. Tích phân bất định
6.1.1. Khái niệm
6.1.2. Các phương pháp tính
6.1.3. Tích phân các phân thức hữu tỉ
6.1.4. Tích phân của một hs lượng giác và vô tỉ
- 6.1.1. Khái niệm.
1. Định nghĩa tích phân bất định
2. Bảng các tích phân cơ bản
3. Các tính chất của tích phân bất định
- 6.1.2. Các phương pháp tính TPBĐ
1. Phương pháp đổi biến số.
2. Phương pháp tích phân từng phần
- 1. Phương pháp đổi biến số.
a. Ph¬ng ph¸p ®Æt x = ϕ (t): ϕ(t) là hàm liên tục,
có đạo hàm liên tục,
Ví dụ: Tính: có hàm số ngược.
Đặt x =
∫ 1 − x 2 dx sint
Đặt x = asint
∫ a − x dx
2 2
dx
∫x 2
1+ x 2
Đặt x = tgt
- b. Phương pháp đặt u = u(x): u(x) là hàm liên tục,
có đạo hàm liên tục.
Ví dụ: Tính:
dx Đặt u = 3 x + 1
∫ 1 + 3 x +1
x
e dx Đặt u = 2+ ex
∫ 2 + ex
dx
∫ x ln x Đặt u = lnx
- 2. Phương pháp tích phân từng phần
Giả sử u(x), v(x) là hai hàm số khả vi, có các đạo hàm
u’(x), v’(x) liên tục thì:
∫ udv = uv − ∫ vdu
- * Các dạng tích phân từng phần thường gặp
e ax
Đặt u = Pn(x)
∫
• Dạng: Pn ( x) sin ax dx
cos ax
Ví dụ: Tính:
Đặt u = 2x +3
dv = e2xdx
∫ (2 x + 3)e
2x
dx
Đặt u = x2
∫
2
x cos xdx dv = cosx dx
- ln x
arcsin x ln x
arcsin x
∫ n arccos xdx Đặt u =
• Dạng: P ( x )
arctgx arccos x
arctgx
Ví dụ: Tính:
∫ x 2 ln xdx ∫ x arcsin xdx x.arctg xdx
Đặt u = lnx Đặt u = arcsinx Đặt u = arctgx
dv = x2dx dv = xdx dv = xdx
- sin bx Đặt u = eax
∫ cos bxdx
• Dạng: e ax
Ví dụ: Tính:
Đặt u = ex
∫
x dv = cosxdx
e cos xdx
- 6.1.3. Tích phân các phân thức hữu tỉ.
1. Các định nghĩa. (Xem giáo trình)
2. Phân tích 1 phân thức hữu tỉ thực sự thành những phân
thức đơn giản. (Xem giáo trình)
- 3. Tích phân các phân thức hữu tỉ.
* Tích phân các phân thức đơn giản:
dx 1
= ln ax + b + C , a 0.
ax + b a
dx 1 1
= + C , k 1 , a 0.
( ax + b ) 1 − k a(ax + b)
k k −1
( Ax + B ) dx (∆ = b − 4ac < 0)
2
x + bx + c
2
Đặt t = x
+b/2
- Ax + B
∫ ( x 2 + bx + c)k (k ≥ 2, ∆ = b − 4ac < 0)
2
Đặt t = x + b/2
* Để tính tích phân các hàm hữu tỉ thực sự, ta phân tích nó
thành tổng của các phân thức đơn giản, rồi tính tích phân.
- 6.1.4. Tích phân của hàm lượng giác và vô tỉ
* Để tính tích phân của hàm lượng giác và vô tỉ, ta tìm cách
đổi biến số để đưa chúng về tích phân của các phân thức
hữu tỉ.
1. Tích phân hàm lượng giác
∫
a. Dạng R (sin x, cos x) dx (với R(sinx,cosx) là biểu thức
hữu tỉ của sinx và cosx)
Đặt t = tg(x/2)
Ví dụ: Tính:
dx
∫ 4 − 3 cos 2 x + 5 sin 2 x
- Đặt biệt:
Nếu R(-sinx,cosx) = -R(sinx,cosx), Đặt t = cosx
Nếu R(sinx,-cosx) = -R(sinx,cosx), Đặt t = sinx
Nếu R(-sinx,-cosx) = R(sinx,cosx), Đặt t = tgx hoặc
t =cotgx
Ví dụ: Tính:
dx dx
∫ sin x cos 2x ∫ sin 2 x cos 3 xdx
∫ sin 4 x cos 2 x
Đặt t = cosx Đặt t = sinx
Đặt t = tgx
- ∫ sin (n, m ∈ Z )
n m
b. Dạng x cos dx
Áp dụng trường hợp đặc biệt trên:
- Nếu n hoặc m là số lẻ thì đổi biến t = cosx hoặc t = sinx
- Nếu n và m là hai số chẵn và dương thì dùng CT hạ bậc.
- Nếu n và m là hai số chẵn và có 1 số âm thì đổi biến
t = tgx hoặc t = cotgx
Ví dụ: Tính:
sin 2 x
∫sin 3 cos 2 xdx ∫ cos 4 x dx
Đặt t = cosx
Đặt t = tgx
- ∫ ∫ ∫
c. Dạng cos ax cos bxdx , sin ax sin bxdx, cos ax sin bxdx
Biến đổi hàm dưới dấu tích phân thành tổng
d. Dạng ∫ sin n xdx , ∫ cos n xdx
Dùng công thức hạ bậc
- 2. Tích phân hàm vô tỉ.
m r
ax + b n ax + b s
a. Dạng ∫ R[ x, ( ) ,..., ( ) ]dx
cx + d cx + d
trong đó, a, b, c, d là những hằng số thoả mãn điều kiện
ad – bc ≠ 0, m, n,.., r là những số nguyên.
ax + b
Đặt t =
k
cx + d
(k là mẫu số chung của m/n,…, r/s)
- Ví dụ: Tính:
Đặt t6 = x
1
dx
3
x+ x
Đặt t12 = x
x dx
∫ 3
x2 − 4 x
Thêm tài liệu vào bộ sưu tập có sẵn:
Báo xấu
LAVA
ERROR:connection to 10.20.1.100:9315 failed (errno=111, msg=Connection refused)
ERROR:connection to 10.20.1.100:9315 failed (errno=111, msg=Connection refused)
Đang xử lý...
Thêm vào BST
Báo xấu
