Tiểu luận thuyết tương đối tổng quát

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

96
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong tiểu luận này tôi trình bày về hai phần , đó là : Các bề mặt hai chiều và phép đo độ cong của mục độ cong không gian . Trong hai phần này tôi tóm tắ lại , đưa ra cái ý chính và chứng minh , làm rõ tất cả các công thức có liên quan

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tiểu luận thuyết tương đối tổng quát

1 TI U LU N THUY T TƯƠNG Đ I T NG QUÁT Nguy n Đình Hiên Trong ti u lu n này tôi trình bày v hai ph n, đó là: Các b m t hai chi u và phép đo đ cong. c a m c Đ Cong Không Gian. Trong hai ph n này tôi tóm t t l i, đưa ra các ý chính và ch ng minh, làm rõ t t c các công th c có liên quan.
2 THUY T TƯƠNG Đ I T NG QUÁT 4.1 M đu 4.2 Nguyên lý tương đương 4.3 Đ cong không gian • 4.3.1 Gi i thi u v các khái ni m cơ b n c a đ cong d a vào các thí d 2-chi u. • 4.3.2. Gi i thi u v phương pháp đ đo đ cong. • 4.3.3. Các vectơ c c b (local vectors) và cách đ so sánh các vectơ này t i các v trí khác nhau trong không gian cong. • 4.3.4. Các h th c gi a đ cong và phương trình metric. • 4.3.5 Nói v không gian đ i x ng c u 3 chi u, nó chu n b cho phương th c kh o sát sau này v đ cong không-th i gian trong các m u vũ tr đ ng nh t. 4.3.1 Các b m t hai chi u Khi nói v đ cong trong th gi i 3 chi u b ng vi c xem xét m t sinh v t hai chi u đang s ng trong m t b m t cong hai chi u. M t sinh v t hai chi u, v th c t là ch quan sát đư c các hư ng ch a trong b m t hai chi u. Nhưng sinh v t này tin r ng nó có th quan sát và đo đư c theo t t c các hư ng. Sinh v t này s nh n đư c các tín hi u sáng hai chi u nhưng không nh n bi t đư c b t kỳ đ cong nào. Trong ba chi u, chúng ta có th nh n bi t r t rõ đ cong mà sinh v t đó không nh n bi t đư c. Các không gian hai chi u thì d hình dung. Vì v y ngư i ta dùng nó đ gi i thi u các khái ni m v đ cong không - th i gian (ba chi u không gian và m t chi u th i gian). Hình 4.6 Hình 4.7 Hình 4.6 bi u di n m t b m t hai chi u là m t c u. Hình 4.7 bi u di n m t b m t hai chi u là m t tr . M c dù c hai đ u là cong nhưng có s khác nhau gi a chúng. B m t tr có th đư c x d c theo chi u dài c a nó (AA’) và đư c tr i ra trên m t m t ph ng, nhưng m t c u thì không th . M t tính ch t c a m t tr là n u các đư ng ng n nh t gi a các c p đi m, ví d như
3 BC, đư c v trên b m t thì chúng s tr thành đư ng th ng khi m t tr b r c và tr i ra trên m t ph ng. Do đó m t tr đư c g i là th c s ph ng, m c dù không ph i ph ng hai chi u, và m t c u thì th c s cong. Gi thi t r ng các t a đ tr c giao Descartes đư c v trên m t t gi y hình ch nh t và r i nó đư c cu n l i thành m t m t tr . Các kho ng cách s đo đư c trên b m t gi a m t c p đi m mà hi u t a đ c a chúng là x và y đư c tính theo đ nh lý Pythagore s2 = x2 + y 2. Nhưng, vi c xây d ng m t h t a đ tr c giao Descartes đ có th bao ph h t m t c u thì không th đư c. (xem thêm ví d trong sách) M c dù v y, h t a đ Descartes v n có th bao ph t t n u ta chia m t c u thành các mi n có kích thư c đ nh so v i bán kính thì ta có th xem như là ph ng. Khi đó ta nói m t cách c c b r ng b m t đã đư c Euclid hóa và các kho ng cách đư c cho b i phương trình Pythagore d ng vi phân: ds2 = dx2 + dy 2, trong đó dx, và dy là kho ng cách t a đ c a hai đi m g n k nhau trên b m t. M t h t a đ có th đư c dùng đ bao ph toàn b m t c u là các góc c c (θ, ϕ). V i g c t a đ t i tâm Trái Đ t, góc θ bi n thiên t 00 C c B c đ n 1800 C c Nam, và có liên h v i vĩ đ . ϕ liên quan v i kinh đ và ch y t −1800 đ n +1800 . M t cách c c b , nghĩa là nói đ n thang đo nh so v i bán kính cong r c a b m t, kho ng cách gi a hai đi m (θ, ϕ) và (θ + dθ, ϕ + dϕ) là r dθ theo vĩ đ và r sinθ dϕ theo kinh đ . Khi đó kho ng cách toàn ph n đư c cho b i phương trình b c hai ds2 = r2 dθ2 + r2 sin2 θdϕ2 . Phương trình này đư c g i là phương trình metric.Phương trình metric là m t tính ch t cơ b n c a m t b m t. Vì v y, đ bao ph toàn b b m t cong hay không gian cong thì c n ph i dùng h t a đ Gauss ( h t a đ đã đư c t ng quát hóa ). Các kho ng cách c c b đư c cho b i m t phương trình metric theo các kho ng cách c a t a đ Gauss. Các không gian mà chúng ta quan tâm đây đ u thu c không gian Riemann, chúng đư c phân bi t v i các không gian khác b i các phương trình metric toàn phương theo kho ng cách t a đ . Tính ch t ch ch t c a các không gian Riemann: Luôn luôn có th làm trùng kh p m t mi n b t kỳ c a không gian Riemann v i m t không gian ph ng đư c l y trong m t mi n đ nh . Hay ta có th nói r ng, ta luôn có th v đư c m t đư ng ti p tuy n, ti p xúc v i m t đư ng cong t i m t đi m b t kỳ. Ta xét m t b m t Riemann hai chi u v i phương trình metric ds2 = g11 dv 2 + 2g12 dv dw + g22dw2 (4.1) trong đó (v, w) là các t a đ Gauss nào đó, g11 , g12 và g22 là các hàm c a v trí. Ch n m t đi m P v i t a đ (x, y) trên b m t và Euclide hóa phương trình metric m t cách c c b bao quanh đi m P. Lúc này ta có th đ nh nghĩa l i các t a đ m i (v, w) như sau: Ta có: ∂v ∂v dv = dx + dy (4.2) ∂x ∂y
4 ∂w ∂w dw = dx + dy (4.3) ∂x ∂y Ch ng minh công th c ds2 = dx2 + dy 2 Đt ∂v ∂v ∂w ∂w A(x, y ) = , B (x, y ) = , C (x, y ) = , D(x, y ) = . (4.4) ∂x ∂y ∂x ∂y Thay (4.4) vào (4.2) và (4.3) ta đư c dv = A(x, y )dx + B (x, y )dy (4.5) dw = C (x, y )dx + D(x, y )dy, Ti p t c ta tính dv 2 và dw2 t (4.5) r i thay vào (4.1), nhóm các s h ng l i và đ t A2 g11 + 2ACg12 + C 2g22 , g11 = g12 = ABg11 + ADg12 + BCg12 + CDg22 , B 2g11 + 2BDg12 + D2 g22 . g22 = ta thu đư c ds2 = g11 dx2 + 2g12 dx dy + g22 dy 2 (4.6) Chúng ta có th ch n nh ng giá tr c a A, B, C, D và các giá tr đ o hàm c a chúng t i P sao cho: g11 = g22 = +1, g12 = 0; và thêm vào đó các đ o hàm b c nh t c a các thành ph n tri t tiêu ∂g11 ∂g ∂g ∂g ∂g ∂g = 12 = 22 = 11 = 12 = 22 = 0. ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y T đây ta có đư c m t b m t Euclide v i phương trình metric ds2 = dx2 + dy 2 Vì v y, m t m t ph ng luôn có th đư c v t i m t đi m b t kỳ trên b m t hai chi u Riemann sao cho nó ti p xúc c c b v i b m t t i đi m đó. Ta có th làm tương t như trên đ suy ra cho các không gian nhi u chi u hơn. B ng phép bi n đ i t a đ ta có th chuy n các phương trình metric v phương trình có d ng t ng c a các bình phương. Các t a đ Descartes rút ra t phép bi n đ i này mô t m t không gian ti p tuy n v i không gian cong t i đi m quan sát. Vì m t không gian ti p tuy n ph ng luôn luôn có th đư c rút ra m t cách c c b đ i v i m i đi m b t kỳ trong không gian Riemann, các không gian Riemann đư c g i là ph ng c c b (hay Euclide hóa c c b ). Ta có th bi n đ i phương trình metric (4.1) như sau: 2 2 g12 dw g12 1/2 ds2 = dw2 g11 dv + + g22 − 1/2 g11 g11 Đt 1/2 2 g12 dw g12 1/2 dx = g11 dv + và dy = g22 − dw 1/2 g11 g11
86 Ta đư c ds2 = dx2 + dy 2, 2 2 v i gi thi t r ng (g11 g22 − g12) > 0. N u (g11 g22 − g12 ) < 0 thì phương trình metric có d ng ds2 = dx2 − dy 2 . Đây là phương trình metric rút v d ng hi u các bình phương. Vì v y không gian này v n còn ph ng c c b . Không gian ti p tuy n c a nó đư c g i là gi -Riemann (pseudo- Riemann). S phân bi t gi a không gian gi -Riemann và không gian Riemann thư ng đư c b qua và đư c qui chung v không gian Riemann. Nhìn l i thuy t tương đ i h p (SR), ta th y r ng không gian c a SR là không gian gi -Euclide. Đây là m t trong nh ng lý do mà chúng ta quan tâm đ n nh ng không gian này. Hình 4.8 Hình 4.8 a: M t đư ng vĩ tuy n và m t đư ng tr c đ a (vòng tròn l n) ti p tuy n v i nhau trên m t m t c u t i đi m P. Hình 4.8 b: M t ti t di n đi qua tâm O và đi qua c c B c N c a m t c u (D là tâm cong c a m t đư ng vĩ tuy n t i P). • Đ nh nghĩa đư ng tr c đ a: Đư ng tr c đ a (geodesics) là các đư ng ng n nh t n i li n các đi m cách nhau m t kho ng h u h n trên m t cong. T t nhiên là trên m t m t ph ng, đư ng tr c đ a là m t đư ng th ng. Các đư ng tr c đ a trên m t m t c u là các đư ng tròn l n. 4.3.2 Phép đo đ cong Phép đo đ cong Gauss Đây là m t phép đo đơn gi n, đ xác đ nh m t cách đ nh lư ng đ cong c c b c a b m t hai chi u b t kỳ và t đó có th t ng quát hóa cho các trư ng h p nhi u chi u hơn. Phép đo này ngoài vi c phát hi n b m t hai chi u có b cong hay không còn giúp ta xác đ nh d u c a đ cong. • Cách đo: M t quan sát viên g n m t đ u s i dây có chi u dài r vào m t đi m O r i v m t vòng tròn tâm O sao cho toàn b s i dây luôn đư c kéo căng trong su t quá trình v , r i đo chu vi C c a vòng tròn đó.
87 Hình 4.9: Ba b m t hai chi u: P có d ng mái vòm, N có d ng yên ng a và F là m t ph ng. Trong m i trư ng h p, đư ng đ t nét đánh d u ranh gi i v trí mà m t đư ng cong v n còn đúng là kho ng cách r t O. • K t qu : + Trên b m t ph ng F là CF = 2πr. + Trên b m t có d ng mái vòm như b m t P là CP < 2πr. + Trên b m t có d ng yên ng a như b m t N là CN > 2πr. + Đ i lư ng 2πr − C cho phép xác đ nh d u c a đ cong. • Xét m t m t c u mà ti t di n c a nó đư c v trong hình 4.10 v i C là tâm và R là bán kính c a m t cong. Hình 4.10: M t ti t di n c t ngang m t c u có ch a tâm C , bán kính R. Góc c a cung tròn có chi u dài r nhìn t tâm c a m t c u là θ r θ= . R M t khác ta có CP = 2πRsinθ Hay r2 CP = 2πr 1 − + ... . 6R2 Khi r → 0 ta tó 1 3 2πr − CP = lim . R2 r3 π r→0 Đi u này giúp ta xác đ nh bán kính c a b m t c u. T đó xác đ nh đư c đ cong K c a b t kỳ b m t hai chi u nào. + Đ i v i m t c u thì K = 1/R2 . + Xây d ng công th c tính đ cong t ng quát cho b t kỳ m t b m t hai chi u nào.
88 Hình 4.11: G1 OG1 và G2OG2 là các đư ng tr c đ a trên b m t hai chi u giao nhau phía các góc ph i. ON là pháp tuy n c c b v i b m t này t i O. • Xét m t ph n c a b m t hai chi u t ng quát như hình 3.11. G1 OG1 và G2 OG2 là các đư ng tr c đ a đi ngang qua b m t c t phía các góc ph i; ON là pháp tuy n c c b v i b m t này. Các t a đ Descartes có th đư c v t i O có các tr c là các đư ng ti p tuy n v i G1 OG1 và G2 OG2 và c tr c ON n a. Các tr c này theo th t đư c g i là các tr c v , w và z . Đ i v i đi m (w, v, z ) trên b m t lân c n đi m O , đó c hai t a đ w và z là bé, thì m t bi u th c cho z có th thu đư c b i phép khai tri n chu i Taylor: ∂ 2z 2 ∂ 2z ∂ 2z 2 ∂z ∂z 1 z= v+ w+ v +2 vw + w + ... (4.7) ∂v 2 ∂w2 ∂v ∂w 2 ∂v∂w Vì m t ph ng v, w song song v i b m t O nên hai s h ng đ u (4.7) tri t tiêu. Vì v y ta thu đư c 1 Lv 2 + 2Mvw + Nw2 . z= (4.8) 2 Ta th c hi n phép quay h t a đ Descartes quanh tr c ON m t góc 1 2M tan−1 . 2 L−N đ bi n đ i (4.8) thành t ng các bình phương. Trong h t a đ Descartes m i v i các t a đ (x, y, z ), b m t có phương trình 1 K1 x 2 + K2 y 2 . z= (4.9) 2 Bây gi , xét d c theo đư ng giao tuy n c a m t này v i m t ph ng xOz , ta có phương trình x2 z = K1 (4.10) 2 Ngoài ra bán kính congR1 c a nó đư c cho b i công th c liên k t đư ng tên c a cung v i chi u dài dây cung 2x cho m t cung tròn: 2R1 z = x2. (4.11) T (4.10) và (4.11) ta thu đư c đ cong c a giao tuy n là 1 = K1 . (4.12) R1
89 Tương t , d c theo đư ng giao tuy n c a m t này v i m t ph ng yOz thì đ cong c a giao tuy n là K2 . K1 và K2 đư c g i là các đ cong chính c a b m t t i O. Tích c a chúng là m t b t bi n đ i v i b m t O và đư c g i là đ cong Gauss K K = K1 K2 . (4.13) + Như ta đã tính trên, m t m t c u có đ cong Gauss K = R−2 t i m t đi m b t kỳ trên b m t c a nó. + Đ i v i trư ng h p c a m t m t tr , m t m t ph ng chính c t đôi chi u dài c a nó d c theo m t đư ng th ng; do đó đ cong chính b ng không và đ cong Gauss cũng b ng không. + Đ i v i b m t d ng yên ng a, m t trong các m t ph ng chính n m d c theo chi u dài c a yên ng a theo hư ng c a gáy ng a, và các m t ph ng chính khác n m ngang theo hư ng các xương sư n ng a. Đ cong c a m t c t th nh t n m trên yên ng a và đ cong c a m t c t th hai n m dư i yên ng a. Do đó, K1 và K2 trái d u nhau. Vì v y đ cong Gauss âm. Phương pháp đã đư c mô t đ đo đ cong c a m t c u đư c khái quát hóa lên cho b t kỳ m t b m t hai chi u nào đư c cho b i 3 2πr − C K= lim . (4.14) r3 π r→0 ======================= The end ========================