TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM C Ơ BẢN

Chia sẻ: Ba Xoáy | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

211
lượt xem 46
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo về Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất giúp các bạn ôn thi môn toán cao đẳng được tốt hơn...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM C Ơ BẢN

I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM C Ơ BẢN: 1 e 11 1. ∫ ( x + x + 1)dx 2. ∫ ( x + + 2 + x 2 )dx 3 xx 0 1 3 2 ∫ ∫ x − 2 dx x + 1dx 2. 3. 1 1 π 1 2 ∫ (e ∫ (2sin x + 3cosx + x)dx + x )dx x 4. 5. π 0 3 1 2 ∫ ( x + x x )dx 7. ∫ ( x + 1)( x − x + 1)dx 3 6. 0 1 π 1 2 1 ∫ (e 8. ∫ (3sin x + 2cosx + ) dx + x 2 + 1)dx x 9. x π 0 3 2 2 ∫ (x 11. ∫ ( x − 1)( x + x + 1)dx + x x + x )dx 2 3 10. 1 1 2 3 x.dx ∫ (x + 1).dx ∫ x2 + 2 3 12. 13. −1 -1 2 5 e 7x − 2 x − 5 dx ∫ 14. ∫ dx 15. x+2+ x−2 x 2 1 π 2 ( x + 1).dx 2 cos3 x.dx 17. ∫ 3 16. ∫ 2 x + x ln x sin x π 1 6 π 1 e x − e− x 4 tgx .dx 19. ∫ x dx ∫ 18. e + e− x cos2 x 0 0 2 1 e x .dx dx ∫ ∫ 20. 21. 4x 2 + 8x ex + e− x 1 0 π ln 3 .dx 2 dx ∫ ∫ 1 + sin x 22. 22. e + e− x x 0 0 II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ: π π 2 2 ∫ sin ∫ sin 3 xcos 2 xdx 2 xcos 3 xdx 1. 2. π π 3 3 π π 2 4 sin x 3. 3. ∫ 1 + 3cosx dx ∫ tgxdx 0 0
π π 4 6 ∫ cot gxdx 4. 5. ∫ 1 + 4sin xcosxdx π 0 6 1 1 6. ∫ x x + 1dx ∫x 1 − x 2 dx 2 7. 0 0 1 1 x2 ∫x ∫ x + 1dx 3 2 dx 8. 9. x3 + 1 0 0 1 2 1 ∫ x 1 − x dx ∫x 3 2 dx 10. 11. x3 + 1 0 1 1 1 1 1 ∫ 1+ x 13. ∫ 2 dx dx 12. x + 2x + 2 2 −1 0 1 1 1 1 ∫ ∫ (1 + 3x dx dx 14. 15. 22 ) x +1 2 0 0 π π 2 2 16. ∫ e cosxdx 17. ∫ e sin xdx sin x cosx π π 4 4 π 1 2 ∫e ∫ sin 2 x +2 3 xcos 2 xdx xdx 18. 19. π 0 3 π π 2 2 ∫e ∫e sin x cosx cosxdx sin xdx 20. 21. π π 4 4 π 1 2 ∫e 23. ∫ sin 3 xcos 2 xdx x2 + 2 xdx 22. π 0 3 π π 2 2 sin x 24. ∫ sin xcos xdx 2 3 ∫ 1 + 3cosx dx 25. π 0 3 π π 4 4 27. ∫ cot gxdx ∫ 26. tgxdx π 0 6 π 1 6 ∫x x 2 + 1dx ∫ 28. 29. 1 + 4sin xcosxdx 0 0 1 1 30. ∫ x 1 − x dx ∫x x 2 + 1dx 2 3 31. 0 0 1 1 2 x ∫ ∫x 1 − x 2 dx 3 dx 32. 33. x +1 3 0 0 2 e 1 + ln x 1 ∫x ∫ dx dx 34. 35. x x +13 1 1
e e 1 + 3ln x ln x sin(ln x) ∫ x dx ∫ dx 36. 37. x 1 1 e2 2 ln x +1 e 1 + ln 2 x e ∫ 39. ∫ dx dx 38. x x ln x 1 e e2 2 x 1 ∫ 1+ 40. ∫ dx dx 41. cos (1 + ln x) x −1 2 1 e 1 1 x ∫ ∫x x + 1dx dx 42. 43. 2x +1 0 0 1 1 1 1 ∫ ∫ dx dx 44. 45. x +1 + x x +1 − x 0 0 3 e x +1 1 + ln x ∫ ∫ 46. dx dx 46. x x 1 1 e e 1 + 3ln x ln x sin(ln x) ∫ ∫ dx dx 47. 48. x x 1 1 e2 2 ln x +1 e 1 + ln 2 x e ∫ ∫ x ln x dx dx 49. 50. x 1 e 1 ∫ e2 1 x 2 x 3 + 5dx ∫ cos dx 51. 52. (1 + ln x) 2 e 0 π 4 ∫ 2 ∫ ( sin x + 1) cos xdx 4 − x 2 dx 53. 54. 4 0 0 4 1 dx ∫ ∫ 4 − x 2 dx 55. 56. 1 + x2 0 0 II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: b b Công thức tích phân từng phần : ∫ u( x)v'(x)dx = u ( x)v( x) a − ∫ v( x)u '( x)dx b a a Tich phân cac ham số dễ phat hiên u và dv ́ ́ ̀ ́ ̣ sin ax  β   ∫ f ( x) cosax dx ̣ @ Dang 1 e ax  α   u = f ( x) du = f '( x)dx   sin ax  sin ax     ⇒      dv = cos ax  dx v = ∫ cosax  dx   e ax  eax       
β ∫ f ( x) ln(ax)dx ̣ @ Dang 2: α  dx du = x u = ln(ax ) ⇒ Đăt  ̣  dv = f ( x)dx v = f ( x)dx ∫ β ax sin ax  @ Dang 3: ∫ e .  ̣ dx cosax  α Ví dụ 1: tinh cac tich phân sau ́ ́́ u = x 5 u = x 2 e x 1 3 x 2e x 8   x dx a/ ∫ b/ ∫ 4 dx đăt  3 đăt  ̣ ̣ x3 dx dx ( x + 1)  dv = ( x + 1) 2 ( x − 1) 2 dv = 4  0 2 ( x − 1)3   1 1 1 1 1 + x2 − x2 x 2 dx dx dx c/ ∫ =∫ dx = ∫ −∫ = I1 − I 2 (1 + x 2 )2 0 (1 + x 2 ) 2 1 + x 2 0 (1 + x 2 ) 2 0 0 1 dx Tinh I1 = ∫ ́ băng phương phap đôi biên số ̀ ́ ̉ ́ 1 + x2 0 u = x 1 x 2 dx  Tinh I2 = ∫  x ́ băng phương phap từng phân : đăt ̀ ́ ̀ ̣  dv = (1 + x 2 ) 2 dx (1 + x 2 )2 0  Bài tập e e 3 ln x ∫ ∫ x ln xdx dx 1. 2. x3 1 1 1 e ∫ x ln( x ∫x + 1)dx 2 2 ln xdx 3. 4. 0 1 e e ln 3 x 5. ∫ 3 dx ∫ x ln xdx 6. x 1 1 1 e ∫ x ln( x ∫x + 1)dx 2 2 ln xdx 7. 8. 0 1 π e 1 2 ∫ ( x + x ) ln xdx ∫ 9. ( x + cosx) s inxdx 10. 1 0 π 2 3 ∫ ln( x ∫ x tan + x )dx 2 2 xdx 11. 12. π 1 4 π 2 ln x 2 ∫ ∫ x cos xdx dx 13. 14. x5 1 0
π 1 ∫ 2 ∫ xe x dx 15. 16. e x cos xdx 0 0 III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ: 5 b 2x −1 1 1. ∫ 2 ∫ ( x + a)( x + b) dx dx 2. x − 3x + 2 3 a 1 1 x + x +1 x3 + x + 1 3 ∫ x + 1 dx ∫ x 2 + 1 dx 3. 4. 0 0 1 1 x2 1 5. ∫ ∫ ( x + 2) dx dx 6. (3 x + 1) 3 ( x + 3) 2 2 0 0 2 0 1− x 2x 3 − 6x 2 + 9x + 9 2008 7. ∫ ∫ x 2 − 3x + 2 dx dx 8. 1 x (1 + x 2008 ) −1 x 2 n −3 1 3 x4 ∫ (1 + x 2 ) n dx ∫ ( x 2 − 1) 2 dx 9. 10. 0 2 2 2 x2 − 3 1 11. ∫ ∫ x(1 + x dx dx 12. 1 x ( x + 3 x + 2) 4 2 4 ) 1 2 1 1 x ∫4+ x ∫1+ x dx dx 13. 14. 2 4 0 0 2 1 1 x 15. ∫ 2 ∫ (1 + x dx dx 16. x − 2x + 2 23 ) 0 0 4 3 3x 2 + 3 x + 3 1 17. ∫ 3 ∫ x 3 − 3x + 2 dx dx 18. 2 x − 2x + x 2 2 1 2 1− x2 1 ∫1+ x ∫ 1 + x 4 dx dx 19. 20. 3 0 1 1 1 x6 + x5 + x4 + 2 2 − x4 21. ∫ 22. ∫ dx dx x6 + 1 0 1+ x 2 0 1 4 x + 11 ∫ 1 23. 1 + x dx 4 24. ∫ 1 + x6 dx x2 + 5x + 6 0 0 1 dx ∫ 25. 26. x2 + x + 1 0 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
π π 2 2 ∫ ∫ sin 1. sin 2 x cos 4 xdx 2. 2 x cos 3 xdx 0 0 π π 2 2 3. sin 4 x cos 5 xdx 4. (sin 3 x + cos 3 ) dx ∫ ∫ 0 0 π π 2 2 5. cos 2 x(sin 4 x + cos 4 x)dx 6. (2 sin 2 x − sin x cos x − cos 2 x) dx ∫ ∫ 0 0 π π 2 1 2 7. ∫ dx 8. (sin 10 x + cos10 x − cos 4 x sin 4 x)dx ∫ π sin x 0 3 π π 2 2 dx 1 9. 10. ∫ 2 − cos x ∫ 2 + sin x dx 0 0 π π 3 dx sin 3 x 2 ∫ 11. 12. ∫ 1 + cos 2 x dx 4 π sin x. cos x 0 6 π π 4 2 dx cos x 13. 14. ∫ sin ∫ 1 + cos x dx x + 2 sin x cos x − cos 2 x 2 0 0 π π 2 2 cos x sin x 15. 16. ∫ 2 − cos x dx ∫ 2 + sin x dx 0 0 π π cos 3 x 2 2 1 17. 18. ∫ 1 + cos x dx ∫ sin x + cos x + 1 dx 0 0 π π sin x − cos x + 1 2 2 cos xdx ∫ ∫π sin x + 2 cos x + 3 dx 19. 20. π (1 − cos x ) 2 − 3 2 π π 4 4 ∫ cot g 3 xdx ∫ 21. tg 3 xdx 22. π 0 6 π π 3 4 23. ∫ tg xdx 1 4 24. ∫ 1 + tgx dx π 0 4 π π 4 dx sin x + 7 cos x + 6 ∫ 2 25. 26. ∫ 4 sin x + 5 cos x + 5 dx π 0 cos x cos( x + ) 0 4 π 2π 4 ∫ dx 1 + sin x dx 27. 28. ∫ 2 sin x + 3 cos x + 13 0 0
π π 30. 1 + cos 2 x + sin 2 x dx 3 4 2 4 sin x 29. ∫ 1 + cos ∫ sin x + cos x dx 4 x 0 0 π π 2 dx 2 ∫ sin 3x 31. 32. ∫ 1 + cos x dx π sin 2 x − sin x 0 4 π π sin 3 x 4 2 33. 34. sin 2 x(1 + sin 2 x) 3 dx ∫ cos 2 x dx ∫ 0 0 π π sin 3 x − sin x 33 ∫ cos x sin xdx ∫ dx 35. 36. sin 3 xtgx π 0 4 π π 2 2 dx dx 37. 38. ∫ 1 + sin x + cos x ∫ 2 sin x + 1 0 0 π π 2 4 39. ∫ cos x sin xdx sin 4 xdx 3 5 40. ∫ 1 + cos 2 x π 0 4 π π 6 dx 2 ∫ dx ∫ 5 sin x + 3 41. 2. 4 π sin x cos x 0 6 π π 3 3 dx dx ∫ ∫ 43. 4. π π sin x sin( x + sin x cos( x + π ) π ) 6 4 6 4 π π π 2 3 3 sin xdx ∫ 46. ∫ tgxtg ( x + )dx 45. cos 6 x 6 π π 4 6 π 0 sin 2 x ∫π (2 + sin x) 3 4 sin xdx 47. 48. ∫ (sin x + cos x) 3 2 − 0 2 π π 2 2 49. sin 3 x dx 50. ∫ ∫x 2 cos xdx 0 0 π π 1 + sin x 2 2 51. sin 2 x.e 2 x +1 dx 52. ∫ ∫ 1 + cos x e x dx 0 0 π π 4 sin 3 x sin 4 x 2 53. ∫ sin 2 xdx dx 54. ∫ sin π tgx + cot g 2 x x − 5 sin x + 6 2 0 6 π 2 3 ln(sin x ) ∫ 55. ∫ cos(ln x )dx dx 56. cos 2 x π 1 6
π π 2 ∫ x sin x cos 2 xdx 57. (2 x − 1) cos xdx 58. ∫ 2 0 0 π π 4 60. ∫ e sin xdx 2x 2 59. ∫ xtg 2 xdx 0 0 π π 2 4 ∫ ∫ ln(1 + tgx)dx 61. e sin 2 x sin x cos 3 xdx 62. 0 0 π π (1 − sin x ) cos x 4 2 dx ∫ (sin x + 2 cos x) ∫ (1 + sin x)(2 − cos 63. 64. dx 2 2 x) 0 0 π π 2 ∫ sin 2 x sin 7 xdx 2 ∫ cos x(sin 4 x + cos 4 x) dx 65. 66. π − 0 2 π 2 4sin 3 x ∫ 67. 68. dx 1 + cos x 0 69. 70. 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80. V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ: b ∫ R( x, f ( x))dx Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng: a π a−x ) §Æt x = a cos2t, t ∈ [0; ] +) R(x, a+x 2 a − x ) §Æt x = a sin t hoÆc x = a cos t +) R(x, 2 2 ax + b ax + b +) R(x, ) §Æt t = n n cx + d cx + d 1 Víi ( αx 2 + βx + γ )’ = k(ax+b) +) R(x, f(x)) = (ax + b) αx 2 + β x + γ 1 Khi ®ã ®Æt t = αx 2 + βx + γ , hoÆc ®Æt t = ax + b ππ +) R(x, a 2 + x 2 ) §Æt x = a tgt , t ∈ [− ; ] 22 π a , t ∈ [0; π ] \ { } +) R(x, x 2 − a 2 ) §Æt x = 2 cos x ( ) n1 n2 ni x ; x ;...; x Gäi k = BCNH(n1; n2; ...; ni) +) R
§Æt x = tk 2 dx 23 ∫ dx ∫ 2. 1. x x2 −1 x x2 + 4 2 5 3 1 2 2 dx dx ∫ (2 x + 3) ∫x 3. 4. 4 x + 12 x + 5 x3 + 1 2 1 1 − 2 2 2 dx ∫ ∫ x + 2008dx 2 5. 6. x + 2008 2 1 1 1 1 7. ∫ x 1 + x dx ∫ (1 − x 2 ) 3 dx 2 2 8. 0 0 2 3 x2 +1 1+ x 2 ∫x 9. 10. dx ∫ dx x +1 2 2 1− x 1 0 2 1 dx 2 ∫ dx 11. 12. ∫ (1 + x ) 23 (1 − x 2 ) 3 0 0 2 1 x 2 dx 2 ∫ 1 + x dx 2 13. 14. ∫ 1− x2 0 0 π π 2 2 cos xdx 15. 16. ∫ sin x cos x − cos 2 x dx ∫ 7 + cos 2 x 0 0 π π 18. ∫ sin 2 x + sin x dx 2 2 cos xdx 17. ∫ 1 + 3 cos x 2 + cos 2 x 0 0 3 7 3 x dx 20. ∫ x 10 − x dx ∫ 3 2 19. 1+ x 3 2 0 0 1 1 x 3 dx xdx ∫ ∫ x+ 21. 22. 2x + 1 x2 +1 0 0 1 7 dx 24. ∫ x 1 + 3x dx ∫ 15 8 23. 2x + 1 + 1 0 2 π ln 3 25. 26. dx 2 ∫ ∫ 1 − cos x sin x cos xdx 3 5 6 ex +1 0 0 1 ln 2 e 2 x dx dx ∫1+ x + ∫ 27. 28. x2 +1 ex +1 −1 0 1 e 1 + 3 ln x ln x ∫ 12 x − 4 x 2 − 8dx 30. ∫ 29. dx x 5 1 4 4 3 x5 + x3 ∫ ∫ x 3 − 2 x 2 + x dx 31. 32. dx 1+ x 2 0 0
0 ln 3 ln 2 x 33. ∫ x(e 2 x + 3 x + 1)dx ∫ 34. dx x ln x + 1 −1 ln 2 cos 2 x π ln 2 + 2 3tgx e x dx ∫ 3 35. 36. cos 2 x ∫ dx (e x + 1) 3 cos 2 x 0 0 π π 3 2 cos xdx cos xdx 37. 38. ∫ ∫ 2 + cos 2 x 1 + cos 2 x 0 0 7 2a x+2 ∫ ∫ x 2 + a 2 dx dx 39. 40. x+3 3 0 0 VI. MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT: Bµi to¸n më ®Çu: Hµm sè f(x) liªn tôc trªn [-a; a], khi ®ã: a a ∫ f ( x)dx = ∫ [ f ( x) + f (− x)]dx −a 0 3π 3π VÝ dô: +) Cho f(x) liªn tôc trªn [- ] tháa m·n f(x) + f(-x) = ; 22 2 − 2 cos 2 x , 3π 2 ∫π f ( x)dx TÝnh: 3 − 2 1 x 4 + sin x ∫1 1 + x 2 dx +) TÝnh − a ∫ f ( x)dx Bµi to¸n 1: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ lÎ trªn [-a, a], khi ®ã: = 0. −a π 1 2 ∫π cos x ln( x + ∫ ln( x + 1 + x 2 )dx 1 + x 2 )dx VÝ dô: TÝnh: −1 − 2 a ∫ f ( x)dx Bµi to¸n 2: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ ch½n trªn [-a, a], khi ®ã: =2 −a a ∫ f ( x)dx 0 π 2 x + cos x ∫ 1 x dx ∫x dx VÝ dô: TÝnh 4 − sin 2 x − x2 +1 4 −1 π − 2 Bµi to¸n 3: Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc, ch½n trªn [-a, a], khi ®ã: a a f ( x) ∫a1 + b x dx = ∫ f ( x)dx (1 ≠ b>0, ∀ a) − 0
π 3 x +1 2 2 sin x sin 3 x cos 5 x ∫1+ 2 ∫π dx dx VÝ dô: TÝnh: 1+ ex x −3 − 2 π π π 2 2 Bµi to¸n 4: NÕu y = f(x) liªn tôc trªn [0; ], th× ∫ f (sin x) = ∫ f (cos x)dx 2 0 0 π π sin 2009 x 2 2 sin x VÝ dô: TÝnh ∫ sin 2009 x + cos 2009 x dx ∫ dx sin x + cos x 0 0 π ππ Bµi to¸n 5: Cho f(x) x¸c ®Þnh trªn [-1; 1], khi ®ã: ∫ xf (sin x)dx = ∫ f (sin x)dx 20 0 π π x x sin x ∫ 1 + sin x dx ∫ 2 + cos x dx VÝ dô: TÝnh 0 0 b b b b ∫ f (a + b − x)dx = ∫ f ( x)dx ∫ f (b − x)dx = ∫ f ( x)dx ⇒ Bµi to¸n 6: a a 0 0 π π x sin x 4 ∫ 1 + cos dx VÝ dô: TÝnh ∫ sin 4 x ln(1 + tgx)dx 2 x 0 0 Bµi to¸n 7: NÕu f(x) liªn tôc trªn R vµ tuÇn hoµn víi chu k× T th×: a +T T nT T ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ∫ f ( x) dx = n ∫ f ( x)dx ⇒ a 0 0 0 2008π ∫ 1 − cos 2 x dx VÝ dô: TÝnh 0 C¸c bµi tËp ¸p dông: π x7 − x5 + x3 − x + 1 1 4 1− x 2 ∫π ∫ dx 1. 2. dx cos 4 x 1+ 2x −1 − 4 π x + cos x 1 2 dx ∫π 4 − sin ∫ (1 + e dx 3. 4. 2 )(1 + x 2 ) x x −1 − 2 1 2π 1− x 2 ∫1cos 2 x ln(1 + x )dx 6. ∫ sin(sin x + nx)dx 5. 0 − 2 π tga cot ga xdx dx sin 5 x 2 8. ∫ 1 + x 2 + ∫ =1 ∫ dx 7. (tga>0) x(1 + x 2 ) 1 + cos x 1 1 −π 2 e e VII. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: 3 2 ∫x ∫x − 1 dx − 4 x + 3 dx 2 2 2. 1. −3 0
π 2 1 2 ∫x ∫ x x − m dx ∫π sin x dx − x dx 2 3. 4. 0 0 − 2 π π 3 ∫π ∫ 1 − sin x dx tg 2 x + cot g 2 x − 2dx 5. 6. π − 6 3π 2π 4 7. ∫ sin 2 x dx ∫ 1 + cos x dx 8. π 0 4 3 5 ∫2 9. ∫ ( x + 2 − x − 2 )dx − 4 dx x 10. −2 0 π 3 ∫π cos x cos x − cos 3 x dx 11. 12. − 2 VIII. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x =1 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x=4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2 π Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x =1 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x=4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2 π TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY