Toán Cao cấp C 2

Chia sẻ: Nguyen Minh Phung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:71

Thêm vào BST

Báo xấu

140
lượt xem 34
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong rất nhiều lĩnh vực ứng dụng, chuyển động của một hệ được mô hình hóa bởi các phương trình vi phân, tức là phương trình có chứa các đạo hàm của ẩn hàm cần tìm. Chẳng hạn, trong cơ học cổ điển (định luật Newton), trong thiên văn học (sự chuyển động của các hành tinh), trong hóa học (các phản ứng hoá học), trong sinh học (sự phát triển của dân số), trong điện tử...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán Cao cấp C 2

TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑAØ LAÏT KHOA TOAÙN - TIN HOÏC ÑOÃ NGUYEÂN SÔN - TRỊNH ĐỨC TÀI TOAÙN CAO CAÁP C2 (Baøi Giaûng Toùm Taét) -- Löu haønh noäi boä -- Ñaø Laït 2008
Mục lục I. Lý thuyÕt chuçi 1. C¸c ®Þnh nghÜa vµ vÝ dô ...................................................................................................1 1.1 Chuçi sè ..................................................................................................................1 1.2 Tiªu chuÈn héi tô .....................................................................................................3 1.3 C¸c tÝnh chÊt cña chuçi ............................................................................................3 2. Chuçi d−¬ng ....................................................................................................................4 2.1 Chuçi d−¬ng ............................................................................................................4 2.2 C¸c dÊu hiÖu héi tô cña chuçi d−¬ng ......................................................................5 3. Chuçi víi dÊu bÊt kú .......................................................................................................8 3.1 Chuçi ®an dÊu .........................................................................................................8 3.2 Chuçi héi tô tuyÖt ®èi ..............................................................................................8 4. Chuçi hµm .......................................................................................................................9 4.1 Kh¸i niÖm chuçi hµm, sù héi tô, héi tô ®Òu ............................................................9 4.2 C¸c tÝnh chÊt cña chuçi hµm héi tô ®Òu ................................................................10 5. Chuçi luü thõa ...............................................................................................................12 5.1 Kh¸i niÖm chuçi luü thõa, b¸n kÝnh héi tô ............................................................12 5.2 C¸c tÝnh chÊt cña chuçi lòy thõa ...........................................................................13 5.3 Khai triÓn hµm thµnh chuçi lòy thõa .....................................................................15 5.4 Khai triÓn mét sè hµm s¬ cÊp thµnh chuçi lòy thõa ..............................................15 6. Khai triÓn Fourier ..........................................................................................................16 6.1 Chuçi l−îng gi¸c ...................................................................................................16 6.2 Khai triÓn Fourier cña hµm ch½n, hµm lÎ ..............................................................17 6.3 Khai triÓn Fourier cña hµm tuÇn hoµn cã chu kú kh¸c 2Π ............................... 18 6.4 Th¸c triÓn tuÇn hoµn ..............................................................................................18 6.5 TÝch ph©n Fourier ..................................................................................................19 II. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n 1. Kh¸i niÖm ph−¬ng tr×nh vi ph©n ....................................................................................21 1.1 Vµi m« h×nh dÉn ®Õn ph−¬ng tr×nh vi ph©n ...........................................................21 1.2 C¸c kh¸i niÖm .......................................................................................................22 1.3 Bµi to¸n Cauchy ....................................................................................................23 2. Gi¶i mét sè ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 ........................................................................24 2.1 Ph−¬ng tr×nh víi biÕn sè ph©n ly ...........................................................................24 2.2 Ph−¬ng tr×nh vi ph©n thuÇn nhÊt ...........................................................................26 2.3 Ph−¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn .............................................................................28 2.4 Ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 1 ...................................................................29 2.5 Ph−¬ng tr×nh Bernoully .........................................................................................33 2.6 Ph−¬ng tr×nh Clairaut ............................................................................................34 2.7 Ph−¬ng tr×nh Lagrange ..........................................................................................35
3. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 2 ...........................................................................36 3.1 Kh¸i niÖm ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 2 ..................................................................36 3.2 NghiÖm cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 2 ..............................................37 3.3 NghiÖm cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt ...........................39 3.4 Ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 2 hÖ sè h»ng ................................................41 4. HÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n ................................................................................................44 4.1 C¸c kh¸i niÖm .......................................................................................................44 4.2 HÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 1 hÖ sè h»ng ...........................................45 III. Ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng 1. Ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh cÊp 1 ...............................................................49 1.1 Kh¸i niÖm ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng ................................................................49 1.2 Ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh cÊp 1 .......................................................50 1.3 Ph−¬ng ph¸p ®Æc tr−ng ..........................................................................................51 2. Ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh cÊp 2 ...............................................................52 2.1 C¸c ®Þnh nghÜa ......................................................................................................52 2.2 Ph©n lo¹i ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh cÊp 2.........................................53 2.3 D¹ng chÝnh t¾c ......................................................................................................54 3. C¸c ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh cÊp 2 c¬ b¶n .............................................57 3.1 Bµi to¸n gi¸ trÞ biªn vµ gi¸ trÞ ban ®Çu ..................................................................57 3.2 Ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn gi¶i ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng ......................................58 3.3 Ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt mét chiÒu .....................................................................59 3.4 Ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng mét chiÒu .....................................................................61 3.4 Ph−¬ng tr×nh Laplace ............................................................................................65
1 I. Lý thuyÕt chuçi 1 Chuçi sè Chuçi sè là sù më réng tù nhiªn cña tæng cho tr-êng hîp v« h¹n sè h¹n. 1.1 C¸c ®Þnh nghÜa vµ vÝ dô §Þnh nghÜa 1. Cho d·y sè thùc (an )n∈N . Khi ®ã tæng h×nh thøc v« h¹n ∞ ak = a0 + a1 + · · · + ak + · · · (1) k =0 gäi lµ chuçi sè (thùc). Sè ak gäi lµ sè h¹ng tæng qu¸t thø n cña chuçi (1). Tæng h÷u h¹n n Sn = ak = a0 + a1 + · · · + an k =0 gäi lµ tæng riªng thø n cña chuçi. NÕu lim Sn = S h÷u h¹n, th× ta nãi chuçi (1) héi tô. Khi ®ã, S gäi lµ tæng cña n→∞ chuçi, vµ viªt ∞ S= ak = a0 + a1 + · · · + an + · · · k =0 Tr-êng hîp ng-îc l¹i, tøc lµ lim Sn = ±∞ hoÆc kh«ng tån t¹i lim Sn , th× ta n→∞ n→∞ nãi chuçi (1) ph©n kú. ∞ xk = 1 + x + x2 + · · · xk + · · · VÝ dô. 1) XÐt chuçi h×nh häc  k =0  1 − xn+1   nÕu x = 1  1−x  Ta cã Sn = 1 + x + x2 + · · · xn = n + 1 nÕu x = 1   1 − (−1)n+1    nÕu x = −1 2
2 ∞ xk ph©n kú. VËy, nÕu | x |≥ 1, th× chuçi k =0 ∞ xk héi tô, vµ nÕu | x |< 1, th× chuçi k =0 ∞ 1 xk = 1 + x + x2 + · · · xk + · · · = 1−x k =0 ∞ 1 11 1 2) XÐt chuçi ®iÒu hßa = 1 + + + ··· + ··· k 23 k k =0 Tr-íc hÕt ta cã bÊt ®¼ng thøc n −1 dx 1 ≤ , ∀n ≥ 2. x n−1 n 1 1 1 ThËt vËy, víi n − 1 ≤ x ≤ n, n ≥ 2, ta cã ≤≤ . Tõ ®ã n x n−1 n −1 n −1 dx dx 1 ≤ = x n−1 n−1 n n Suy ra, 2 3 n+1 n+1 1 1 dx dx dx dx Sn = 1 + + · · · + ≥ + + ··· + = = ln(n + 1) 2 n x x x x 1 2 n 1 ∞ 1 VËy, lim Sn = ∞. Do ®ã, chuçi ph©n kú. k n→∞ k =0 ∞ 1 1 1 1 = + + ··· + ··· 3) XÐt chuçi k (k − 1) 1·2 2·3 k (k + 1) k =1 Ta cã 1 1 1 Sn = + + ··· + 1·2 2·3 n(n + 1) 111 1 1 1 = 1 − + − + ··· + − =1− . 223 n n+1 n+1 ∞ 1 Suy ra, lim Sn = 1 . VËy, chuçi héi tô vµ cã tæng b»ng 1. k (k − 1) n→∞ k =1
3 1.2 Tiªu chuÈn héi tô D·y tæng riªng héi tô khi vµ chØ khi nã lµ d·y Cauchy. Tõ ®ã, ta cã tiªu chuÈn sau §Þnh lý 1. (Tiªu chuÈn Cauchy) Chuçi (??) héi tô khi và chØ khi ∀ε > 0, ∃N ∈ N sao cho ∀n > N, ∀p ∈ N : |an+1 + · · · + an+p | < ε. HÖ qu¶ 1. (§iÒu kiÖn cÇn ) NÕu chuçi (??) héi tô, th× lim an = 0. n→∞ ∞ (−1)n = 1 − 1 + 1 − 1 + · · · víi an = (−1)n là ph©n kú v× VÝ dô. 1) Chuçi n=0 lim an . n→∞ ∞ 1 mÆc dï tháa lim an = 0 nh-ng ph©n kú. Ta dïng tiªu chuÈn 2) Chuçi n n→∞ n=1 Cauchy ®Ó chøng minh sù ph©n kú cña chuçi ®iÒu hoµ. Ta cã 1 1 |an+1 + · · · + an+p | = + ··· + n+1 n+p p > = 1/2; nÕu chän p = n. n+p Do vËy, chuçi này ph©n kú v× kh«ng tháa tiªu chuÈn Cauchy víi ε = 1/2. 1.3 C¸c tÝnh chÊt cña chuçi ∞ ∞ §Þnh lý 2. (TÝnh tuyÕn tÝnh) Cho bk lµ c¸c chuçi héi tô vµ α ∈ R. ak , k =0 k =0 ∞ ∞ Khi ®ã, c¸c chuçi (ak + bk ), αak còng héi tô vµ k =1 k =1 ∞ ∞ ∞ (ak + bk ) = ak + bk k =0 k =0 k =1 ∞ ∞ αak = α ak . k =0 k =0 Chøng minh. Suy ra trùc tiÕp tõ tÝnh chÊt cña giíi h¹n d·y. 2
4 ∞ §Þnh lý 3. (TÝnh kÕt hîp) Gi¶ sö chuçi ak héi tô vµ cã tæng lµ S . XÐt chuçi k =0 ∞ bk cã c¸c sè h¹ng k =0 b0 = a0 + a1 + · · · + an0 b1 = an0 +1 + an0 +2 + · · · + an1 . . . bk = ank−1 +1 + ank−1 +2 + · · · + ank ∞ Khi ®ã, chuçi bk còng héi tô vµ cã tæng b»ng S . k =0 Chøng minh. Ta cã Si = b0 + b1 + · · · bi = a0 + · · · + ani = Sni . VËy, d·y c¸c ∞ ∞ bk lµ d·y con cña d·y c¸c tæng riªng cña chuçi ak . tæng riªng cña chuçi k =0 k =0 Tõ sù héi tô mét d·y suy ra sù héi tô cña c¸c d·y con vµ chóng cã cïng gi¸ trÞ 2 giíi h¹n víi d·y ®ã , ta cã ®iÒu ph¶i chømg minh. 2 Chuçi d-¬ng Trong phÇn này ta xÐt c¸c chuçi mà tÊt c¶ c¸c sè h¹ng ®Òu d-¬ng. 2.1 Chuçi d-¬ng ∞ an ®-îc gäi lµ chuçi d-¬ng nÕu an > 0, víi mäi n. Chuçi n=1 Râ ràng chuçi d-¬ng cã d·y c¸c tæng riªng {Sn } ®¬n ®iÖu t¨ng nªn sÏ héi tô nÕu tháa thªm ®iÒu kiÖn bÞ chÆn trªn. ∞ §Þnh lý 4. Chuçi d-¬ng an héi tô khi vµ chØ khi d·y c¸c tæng riªng {Sn } bÞ n=1 chÆn trªn. ∞ an ph©n kú khi và chØ khi lim Sn = +∞. Tõ ®ã suy ra chuçi d-¬ng n→∞ n=1
5 2.2 C¸c dÊu hiÖu héi tô cña chuçi d-¬ng ∞ ∞ §Þnh lý 5. (Tiªu chuÈn so s¸nh) Cho hai chuçi d-¬ng an vµ bn . n=1 n=1 1) Gi¶ sö an ≤ bn , ∀n ∈ N. Khi ®ã ∞ ∞ bn héi tô, th× an héi tô. a) NÕu n=1 n=1 ∞ ∞ an ph©n kú, th× bn ph©n kú. b) NÕu n=1 n=1 an 2) Gi¶ sö lim = K . Khi ®ã n→∞ bn ∞ ∞ a) NÕu K < +∞, th× bn héi tô suy ra an héi tô. n=1 n=1 ∞ ∞ b) NÕu K > 0, th× bn ph©n kú suy ra an ph©n kú. n=1 n=1 ∞ ∞ c) NÕu 0 < K < +∞, th× bn vµ an hoÆc cïng héi tô hoÆc cïng ph©n n=1 n=1 kú. (a) (b) Chøng minh. 1) Tõ gi¶ thiÕt suy ra d·y c¸c tæng riªng {Sn } và {Sn } cña c¸c ∞ ∞ ∞ (a) (b) an và bn còng tháa bÊt ®¼ng thøc Sn ≤ Sn . bn chuçi Tõ ®ã, nÕu n=1 n=1 n=1 ∞ (b) (a) héi tô, th× {Sn } bÞ chÆn trªn, kÐo theo {Sn } còng bÞ chÆn trªn. Do ®ã an n=1 héi tô. Tr-êng hîp cßn l¹i lý luËn t-¬ng tù. 2 2) Sö dông 1). ∞ 1 VÝ dô. 1) XÐt sù héi tô cña chuçi . §©y là chuçi d-¬ng. Ta cã + sin2 n 2n n=0 1 1 ∀n ∈ N. ≤ n, 2 2n 2 + sin n ∞ 1 So s¸nh víi chuçi héi tô , suy ra chuçi ®· cho héi tô. 2n n=0
6 ∞ 1 √ . Ta cã 2) XÐt sù héi tô cña chuçi n+ n n=1 1 √ an n+ n lim = lim =1 1 n→∞ bn n→∞ n ∞ 1 So s¸nh víi chuçi (ph©n kú, xem vÝ dô tr-íc) suy ra chuçi ®· cho ph©n kú. n n=1 ∞ 1 , s ∈ R (®-îc gäi Khi dïng tiªu chuÈn so s¸nh ta th-êng so s¸nh víi chuçi ns n=1 lµ chuçi Dirichlet) mà sù héi tô cña nã ®-îc cho bëi: ∞ 1 MÖnh ®Ò 1. Chuçi héi tô khi vµ chØ khi s > 1. ns n=1 √ §Þnh lý 6. (DÊu hiÖu Cauchy) Gi¶ sö an lµ chuçi d-¬ng vµ lim n = K. na n→∞ Khi ®ã 1) NÕu K < 1, th× chuçi an héi tô. 2) NÕu K > 1, th× chuçi an ph©n kú. Chó ý r»ng nÕu K = 1 ta ch-a thÓ kÕt luËn g× vÒ sù héi tô hay ph©n kú cña chuçi. ∞ 2n VÝ dô. 1) Chuçi ph©n kú v× n2 n=1 √ 2 an = lim √ = 2 > 1. K = lim n n n2 n→∞ n→∞ ∞ 2 (1 − 1/n)n héi tô v× 2) Chuçi n=1 √ an = lim (1 − 1/n)n = e−1 = 1/e < 1. c = lim n n→∞ n→∞ an+1 §Þnh lý 7. (DÊu hiÖu D Alembert) Gi¶ sö an lµ chuçi d-¬ng vµ lim = an n→∞ K . Khi ®ã
7 1) NÕu K < 1, th× chuçi an héi tô. 2) NÕu K > 1, th× chuçi an ph©n kú. Còng nh- dÊu hiÖu Cauchy, khi K = 1 ta ch-a cã th«ng tin vÒ sù héi tô hay ph©n kú cña chuçi. ∞ n! (n + 1)! VÝ dô. Chuçi héi tô v× ta cã an+1 = vµ n (n + 1)n+1 n n=1 n an+1 n 1 d = lim = lim = lim = 1/e < 1. n→∞ (1 + 1/n)n n→∞ an n+1 n→∞ §Þnh lý 8. (DÊu hiÖu tÝch ph©n) Cho hàm sè f (x) > 0 và ®¬n ®iÖu gi¶m trªn [1, ∞). §Æt an = f (n), khi ®ã ∞ +∞ và an f (x)dx 1 n=1 hoÆc cïng héi tô hoÆc cïng ph©n kú. ∞ 1 VÝ dô. 1) XÐt chuçi . C¸c sè h¹ng an chÝnh là f (n), víi hàm f (x) = n ln n n=2 1 xÐt trªn [2, +∞). Ta cã x ln x +∞ 1 +∞ dx = ln(ln x) =∞ x ln x 2 2 +∞ f (x)dx ph©n kú. Do ®ã chuçi ph©n kú. VËy tÝch ph©n 1 ∞ 1 2) XÐt chuçi Dirichlet (xem mÖnh ®Ò 1) . Chuçi này héi tô khi và chØ khi ns n=1 1 +∞ dx héi tô. Ta có 1 xs  ∞ ln x  nÕu s = 1 +∞ 1 dx = x1−s1 ∞  xs  nÕu s = 1 1 1−s 1 Tõ ®ã suy ra chuçi Dirichlet héi tô khi s > 1, ph©n kú khi s ≤ 1.
8 3 Chuçi víi dÊu bÊt kú Trong bài này ta xÐt chuçi víi sè h¹ng tæng qu¸t cã dÊu tïy ý. 3.1 Chuçi ®an dÊu Chuçi ®an dÊu là chuçi cã d¹ng ∞ (−1)n an = a0 − a1 + a2 − a3 + · · · (1) n=0 trong ®ã an > 0, ∀n (hoÆc an < 0). §Þnh lý 9. (DÊu hiÖu Leibnitz) Gi¶ sö chuçi ®an dÊu (1) cã an > 0, ∀n. Khi ®ã nÕu d·y {an } ®¬n ®iÖu gi¶m và lim an = 0 th× chuç ®an dÊu (1) héi tô. n→∞ ∞ (−1)n VÝ dô. XÐt chuçi . §©y là chuçi ®an dÊu víi an = 1/n. D·y này ®¬n n n=1 ®iÖu gi¶m và dÇn ®Õn 0 nªn theo tiªu chuÈn Leibnitz nã héi tô. 3.2 Héi tô tuyÖt ®èi ∞ ∞ §Þnh nghÜa 2. Ta nãi chuçi sè an héi tô tuyÖt ®èi nÕu chuçi (d-¬ng) |an | n=1 n=1 héi tô MÖnh ®Ò 2. NÕu mét chuçi héi tô tuyÖt ®èi th× héi tô. Chøng minh. Sö dông tiªu chuÈn Cauchy ®Ó mét chuçi héi tô. 2 NhËn xÐt. §iÒu ng-îc l¹i cña ph¸t biÓu trong mÖnh ®Ò là kh«ng ®óng. Ch¼ng ∞ (−1)n−1 h¹n, chuçi ®iÒu hoà ®an dÊu héi tô nh-ng kh«ng héi tô tuyÖt ®èi. n n=1 Mét chuçi héi tô nh-ng chuçi trÞ tuyÖt ®èi ph©n kú th× ta nãi chuçi ®ã b¸n héi tô. §Þnh lý 10. (Ho¸n vÞ c¸c sè h¹ng) NÕu mét chuçi héi tô tuyÖt ®èi th× khi ho¸n vÞ tïy ý c¸c sè h¹ng ta ®-îc chuçi míi còng héi tô tuyÖt ®èi và cã cïng tæng nh- chuçi ban ®Çu.
9 Trong dÞnh lý trªn, gi¶ thiÕt héi tô tuyÖt ®èi là ®iÒu kiÖn tiªn quyÕt, nhu sÏ thÊy trong ®Þnh lý sau ®©y: §Þnh lý 11. (Riemann) Trong mét chuçi b¸n héi tô, b»ng c¸ch ho¸n vÞ c¸c sè h¹ng cã thÓ làm cho chuçi míi hoÆc cã tæng b»ng mét sè cho tr-íc bÊt kú hoÆc ph©n kú. 4 Chuçi hàm Trong bài này ta nghiªn cøu chuçi mà c¸c sè h¹ng là c¸c hàm sè x¸c ®Þnh trªn tËp D ⊂ R nào ®ã. 4.1 Kh¸i niÖm chuçi hàm - Sù héi tô và héi tô ®Òu Cho d·y hàm sè {un (x)}∞ x¸c ®Þnh trªn tËp D ⊂ R. Tæng h×nh thøc: n=1 ∞ un ( x) = u1 ( x) + · · · + un ( x) + · · · (2) n=1 ®-îc gäi lµ chuçi hàm x¸c ®Þnh trªn D víi sè h¹ng tæng qu¸t un (x). Tæng (h÷u h¹n) cña n sè h¹ng ®Çu tiªn ®-îc gäi lµ tæng riªng thø n: Sn (x) := u1 (x) + · · · + un (x). §Þnh nghÜa 3. Ta nãi chuçi hàm (2) héi tô t¹i x0 ∈ D nÕu d·y {Sn (x0)} héi tô. Nãi c¸ch kh¸c, d·y c¸c tæng riªng héi tô tíi x0 . Ta nãi chuçi hàm (2) héi tô (tõng ®iÓm) trªn D vÒ hàm S (x) nÕu nã héi tô t¹i mçi ®iÓm x0 ∈ D và tæng t-¬ng øng là S (x0 ). ∞ xn = x + x2 + x3 + · · · héi tô trªn kho¶ng (−1, 1) vÒ VÝ dô. Chuçi hàm n=1 x hàm S (x) = (tæng cña cÊp sè nh©n lïi v« h¹n!). Chuçi này ph©n kú trªn 1−x {|x| ≥ 1}. ∞ un (x) héi tô trªn D vÒ hàm S (x) cã thÓ diÔn ®¹t nh- sau: Mét chuçi n=1 ∀x ∈ D, ∀ε > 0, tån t¹i sè tù nhiªn N (ε, x) sao cho |Sn (x) − S (x)| < ε.
10 §Þnh nghÜa 4. (Sù héi tô ®Òu) Trong ®Þnh nghÜa trªn nÕu cã thÓ chän ®-äc sè tù nhiªn N kh«ng phô thuéc vào x ∈ D th× sù héi tô ®ã ®-îc gäi lµ héi tô ®Òu. Theo ®Þnh nghÜa, tiªu chuÈn Cauchy cho sù héi tô ®Òu ph¸t biÓu nh- sau: ∞ §Þnh lý 12. Chuçi un (x) héi tô ®Òu trªn D khi và chØ khi: n=1 ∀ε > 0, ∃N (ε) ∈ N : ∀n > N, ∀p ∈ N : |un+1 (x) + · · · + un+p (x)| < ε, ∀x ∈ D. ∞ cos nx VÝ dô. Chuçi h?i t? d?u trên R. ThËt vËy, ta cã n(n + 1) n=1 cos(n + 1)x cos(n + p)x |un+1 (x) + · · · + un+p (x)| = | + ··· + | (n + 1)(n + 2) (n + p)(n + p + 1) 1 1 , ∀x ∈ R ≤ + ··· + (n + 1)(n + 2) (n + p)(n + p + 1) 1 1 1 1 = − + ··· + − n+1 n+2 n+p n+p+1 1 1 1 = − < . n+1 n+p+1 n+1 BiÓu thøc cuèi cïng cã thÓ làm cho bÐ h¬n ε > 0 tuú ý miÔn là n ®ñ lín víi bÊt kú p ∈ N và víi mçi x ∈ R. §Þnh lý 13. (DÊu hiÖu Weierstrass) Gi¶ sö ∀n ∈ N. sup |un (x)| ≤ an , x∈D ∞ ∞ Khi ®ã nÕu chuçi sè an héi tô, th× chuçi hàm un (x) héi tô ®Òu trªn D. n=1 n=1 4.2 C¸c tÝnh chÊt cña chuçi hàm héi tô ®Òu §Þnh lý 14. (TÝnh liªn tôc cña tæng) NÕu chuçi hàm gåm c¸c hàm liªn tôc trªn D héi tô ®Òu vÒ hàm S (x) th× S (x) liªn tôc trªn D. §Þnh lý này là mét ®iÒu kiÖn cÇn cho sù héi tô ®Òu cña chuçi c¸c hàm liªn tôc.
11 ∞ xn (x − 1) gåm c¸c hàm liªn tôc trªn D = [0, 1]. VÝ dô. XÐt chuçi hàm x + n=1 Tæng riªng thø n cña chuçi này là Sn (x) = xn . Do ®ã d·y c¸c tæng riªng héi tô 0 0≤x
12 5 Chuçi lòy thõa 5.1 Kh¸i niÖm chuçi lòy thõa - B¸n kÝnh héi tô Chuçi hàm d¹ng sau ®©y ®-îc gäi lµ chuçi lòy thõa ∞ an xn = a0 + a1x + a2x2 + · · · (3) n=0 hoÆc, mét c¸ch tæng qu¸t, chuçi lòy thõa t¹i x0 cã d¹ng: ∞ an (x − x0)n = a0 + a1(x − x0 ) + a2(x − x0)2 + · · · (4) n=0 C¸c an ®-îc gäi lµ c¸c hÖ sè. Chuçi (4) dÔ dàng ®-a vÒ (3) b»ng c¸ch ®Æt X := x − x0 . TËp c¸c ®iÓm x mà chuçi lòy thõa (3) héi tô ®-îc gäi lµ miÒn héi tô cña nã. MiÒn héi tô cña chuçi lòy thõa lu«n kh¸c rçng (v× Ýt nhÊt, chuçi lòy thõa héi tô t¹i 0). MÖnh ®Ò 3. NÕu chuçi lòy thõa (3) héi tô t¹i x0 = 0 th× nã héi tô tuyÖt ®èi trªn (−|x0|, |x0|). ∞ an xn héi tô, nªn lim an xn = 0. Do Chøng minh. Theo gi¶ thiÕt chuçi sè 0 0 n→∞ n=0 ®ã, tån t¹i sè M > 0 sao cho |an xn | ≤ M, ∀n ∈ N 0 ∞ ∞ n x n Víi x ∈ (−|x0|, |x0|) cè ®Þnh, xÐt hai chuçi d-¬ng |an x | và M . x0 n=0 n=0 Ta cã n n x x |an xn | = |an xn | ≤M . 0 x0 x0 ∞ ∞ n x |an xn | còng M Mà chuçi héi tô (cÊp sè nh©n lïi v« h¹n) nªn chuçi x0 n=0 n=0 ∞ an xn héi tô tuyÖt ®èi trªn (−|x0|, |x0|). 2 héi tô. VËy chuçi n=0 Tõ mÖnh ®Ò này ta dÔ dàng suy ra ®Þnh lý sau ®©y m« t¶ miÒn héi tô cña chuçi lòy thõa.
13 §Þnh lý 17. Víi mçi chuçi lòy thõa (3) lu«n tån t¹i duy nhÊt sè R ∈ [0, +∞] sao cho chuçi héi tô tuyÖt ®èi khi |x| < R và ph©n kú khi |x| > R. Sè R trong ®Þnh lý trªn ®-îc gäi lµ b¸n kÝnh héi tô cña chuçi lòy thõa. NhËn xÐt. NÕu R = 0, th× miÒn héi tô chØ gåm ®iÓm 0, trong khi nÕu R = ∞ th× miÒn héi tô là R. NÕu R > 0 h÷u h¹n th× miÒn héi tô cã mét trong bèn d¹ng sau: [−R, R], [−R, R), (−R, R], (−R, R). MÖnh ®Ò 4. (C«ng thøc tÝnh b¸n kÝnh héi tô) Ta cã 1 |an | R = lim = lim |an+1 | n |an | n→∞ n→∞ (nÕu tån t¹i c¸c giíi h¹n). ∞ xn VÝ dô. 1) Chuçi cã b¸n kÝnh héi tô là n! n=0 1 R = lim = +∞. n n→∞ 1/n! VËy chuçi héi tô kh¾p n¬i. ∞ xn | 2) Chuçi cã b¸n kÝnh héi tô là n+1 n=0 |an | n+2 R = lim = lim = 1. |an+1 | n→∞ n + 1 n→∞ Ngoài ra, chuçi héi tô t¹i x = −1, ph©n kú t¹i x = 1. Do ®ã, miÒn héi tô cña chuçi dã cho là [−1, 1). 5.2 C¸c tÝnh chÊt cña chuçi lòy thõa ∞ an xn . §Þnh lý 18. (Abel) Gi¶ sö R > 0 là b¸n kÝnh héi tô cña chuçi lòy thõa n=0 Khi ®ã chuçi héi tô ®Òu trªn ®o¹n [α, β ] ⊂ (−R, R) bÊt kú. HÖ qu¶ 2. Tæng cña chuçi lòy thõa liªn tôc trªn (−R, R).
14 ∞ an xn víi b¸n kÝnh §Þnh lý 19. (§¹o hàm chuçi lòy thõa) Cho chuçi lòy thõa n=0 héi tô R. Khi ®ã chuçi c¸c ®¹o hàm còng cã b¸n kÝnh héi tô R và cã thÓ ®¹o hàm tõng tõ: ∞ an xn = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + · · · n=0 HÖ qu¶ 3. Tæng cña chuçi lòy thõa lµ kh¶ vi v« vµ chuçi c¸c ®¹o hàm cÊp m tïy ý cña nã cã cïng b¸n kÝnh héi tô víi chuçi ban ®Çu. ∞ an xn víi b¸n kÝnh §Þnh lý 20. (TÝch ph©n chuçi lòy thõa) Cho chuçi lòy thõa n=0 héi tô R > 0. Khi ®ã chuçi c¸c tÝch ph©n còng cã b¸n kÝnh héi tô R và cã thÓ tÝch ph©n tõng tõ: ∞ ∞ x an n+1 n an t dt = x. n+1 0 n=0 n=0 ∞ xn cã b¸n kÝnh héi tô là R = 1. V?i |x| < 1 ta có VÝ dô. Chuçi n=0 ∞ 1 xn = 1 + x + x2 + · · · = 1−x n=0 Thay x b?i −x và −x2 ta du?c 1 = 1 − x + x2 − x3 + · · · + (−1)n xn + · · · 1+x 1 = 1 − x2 + x4 − x6 + · · · + (−1)2n x2n + · · · 1 + x2 Tích phân các chu?i này, ta thu du?c các khai tri?n x x2 x3 xn+1 dt − · · · + (−1)n ln(1 + x) = =x− + + ··· 1+t 2 3 n+1 0 x x3 x5 x2n+1 dt − · · · + (−1)n arctgx = =x− + + ··· 1 + t2 3 5 2n + 1 0
15 5.3 Khai triÓn hàm thành chuçi lòy thõa Ta nãi hàm sè f (x) khai triÓn ®-îc thành chuçi lòy thõa trªn kho¶ng (a, b) nÕu f (x) là tæng cña mét chuçi lòy thõa héi tô trªn (a, b). Nãi c¸ch kh¸c, ∞ an xn , ∀x ∈ (a, b). f ( x) = n=0 ∞ an xn trªn (−R, R) §Þnh lý 21. NÕu f (x) khai triÓn ®-îc thành chuçi lòy thõa n=0 (v?i R > 0) th× f (x) kh¶ vi v« h¹n trªn (−R, R) và f (n) (0) an = n! Nh- vËy, nÕu hàm sè khai triÓn ®-îc thành chuçi lòy thõa th× chuçi lòy thõa ®ã chÝnh là chuçi Taylor cña nã. Tuy nhiªn, hàm sè kh¶ vi v« h¹n ch-a ch¾c khai triÓn ®-îc thành chuçi lòy thõa, tøc là chuçi Taylor cã thÓ kh«ng héi tô vÒ hàm 2 e−1/x nÕu x = 0 cã f (n) (0) = 0, ∀n, nªn sè ®ã. Ch¼ng h¹n hàm sè f (x) = 0 nÕu x = 0 ∞ 0 = 0 = f ( x) . chuçi MacLaurin là n=0 §Þnh lý 22. NÕu f (x) kh¶ vi v« h¹n và tån t¹i M > 0 sao cho |f (n) (x)| ≤ M, ∀x ∈ (−R, R), ∀n, th× f (x) khai triÓn ®-îc thành chuçi lòy thõa trªn (−R, R) 5.4 Khai triÓn thành chuçi lòy thõa mét sè hàm s¬ cÊp 1) Hàm mò: f (x) = ex x x2 xn ex = 1 + + + ··· + + ··· 1! 2! n! Khai triÓn này ®óng ∀x ∈ R. 2) Hàm logarithm: f (x) = ln(1 + x) (xem vÝ dô tr-íc) x x2 x3 xn+1 dt − · · · + (−1)n ln(1 + x) = =x− + + ··· 1+t 2 3 n+1 0
16 MiÒn héi tô là (−1, 1]. 3) Hàm lòy thõa: f (x) = (1 + x)α, α ∈ R ∞ α(α − 1) . . . (α − n + 1) n (1 + x)α = 1 + x. n! n=1 Chuçi khai triÓn héi tô víi |x| < 1, ngoài ra cã thÓ héi tô t¹i hai ®Çu mót tuú theo α cô thÓ. 4) Hàm cos x: Víi mçi x ∈ R ta cã: x2 x4 x 2n − · · · + (−1)n cos x = 1 − + + ··· 2! 4! (2n)! 5) Hàm sin x: Víi mçi x ∈ R ta cã: x3 x5 x2n+1 − · · · + (−1)n sin x = x − + + ··· 3! 5! (2n + 1)! 6 Khai triÓn Fourier Trong phÇn này ta xÐt khai triÓn hàm sè thành chuçi c¸c hàm l-îng gi¸c là lo¹i chuçi hàm ®-îc dïng nhiÒu trong c¸c bài to¸n vËt lý kü thuËt. 6.1 Chuçi l-îng gi¸c Chuçi hàm cã d¹ng sau ®-îc gäi lµ chuçi l-îng gi¸c ∞ a0 + (an cos nx + bn sin nx) (5) 2 n=1 trong ®ã a0, a1, a2, . . . , b1, b2, . . . ®-îc gäi lµ c¸c hÖ sè. Ta nãi hàm f (x) khai triÓn ®-îc thành chuçi l-îng gi¸c nÕu nã là tæng cña mét chuç c¸c hµm l-îng gi¸c d¹ng (5) héi tô trªn R. HiÓn nhiªn c¸c hàm l-îng gi¸c trong hÖ hàm sau cã khai triÓn (tÇm th-êng) thành chuçi hàm l-îng gi¸c: H := {cos mx, sin nx}, víi m = 0, ∞, n = 1, ∞
17 MÖnh ®Ò 5. HÖ hàm H trùc giao trªn ®o¹n [−π, π ], theo nghÜa: π cos mx sin nxdx = 0, ∀m, n, −π π cos mx cos nxdx = 0, ∀m, n, −π π sin mx sin nxdx = 0, ∀m = n, −π π π π cos2 nxdx = sin2 nxdx = π, ∀n ≥ 1; Vµ dx = 2π. −π −π −π Chøng minh. KiÓm tra trùc tiÕp. 2 MÖnh ®Ò 6. NÕu f (x) khai triÓn ®-îc thành chuçi l-îng gi¸c th× c¸c hÖ sè cña khai triÓn (còng gäi là c¸c hÖ sè Fourier) cho bëi c«ng thøc: π 1 am = f (x) cos mxdx, m = 0, 1, 2, . . . π −π π 1 bn = f (x) sin nxdx, n = 1, 2, . . . π −π §Ó ý r»ng nÕu f (x) kh¶ tÝch trªn [−π, π ] th× c¸c hÖ sè Fourier cña nã là tån t¹i, tøc là thiÕt lËp ®-îc chuçi Fourier cña f (x). Tuy nhiªn chuçi này ch-a ch¾c héi tô vÒ hàm f (x). §Þnh lý sau minh häa nhËn xÐt này. §Þnh lý 23. (Dirichlet) Gi¶ sö f (x) là hàm tuÇn hoàn chu kú 2π , ®¬n ®iÖu tõng khóc vµ bÞ chÆn trªn mçi chu kú. Khi ®ã tæng cña chuçi Fourier cña nã t¹i x0 b»ng 1 lim f (x) + lim f (x) . 2 x→x− x→x+ 0 0 HÖ qu¶ 4. Víi c¸c gi¶ thiÕt trong ®Þnh lý Dirichlet, f (x) b»ng tæng cña chuçi Fourier cña nã t¹i nh÷ng ®iÓm liªn tôc. 6.2 Khai triÓn Fourier cña hàm ch½n, hàm lÎ Râ ràng, nÕu f (x) là hàm lÎ th× c¸c hÖ sè Fourier am = 0; trong khi nÕu f (x) là hàm ch½n th× c¸c hÖ sè Fourier bn = 0. V× vËy, Chuçi Fourier cña c¸c hàm ch½n kh«ng chøa c¸c hàm sin, trong khi chuçi Fourier cña c¸c hàm lÎ th× kh«ng chøa c¸c hàm cosin.