Toán học - Xác suất và thống kê

Chia sẻ: Nguyen Lan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:80

Thêm vào BST

Báo xấu

139
lượt xem 32
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhập môn lí thuyết xác suất và thống kê toán có thời lượng bằng 2 đơn vị học trình, bao gồm 3 chủ đề: Chủ đề 1 - Biến cố ngẫu nhiên và xác suất, Chủ đề 2 - Biến ngẫu nhiên, Chủ đề 3 - Thống kê toán.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán học - Xác suất và thống kê

Hanoi Center for Financial and Industrial Mathematics Trung Tâm Toán Tài Chính và Công Nghi p Hà N i NH P MÔN HI N Đ I XÁC SU T & TH NG KÊ Đ Đ c Thái và Nguy n Ti n Dũng Hà N i – Toulouse, 2009
ii B n th o này: Ngày 10 tháng 11 năm 2009 c Prof. Dr. Do Duc Thai & Prof. Dr. Nguyen Tien Zung Hanoi Center for Financial and Industrial Mathematics Hanoi National University of Education & University of Toulouse
iii L i gi i thi u Xác su t và th ng kê đóng vai trò r t quan tr ng trong h u h t m i lĩnh v c c a th gi i hi n đ i, t khoa h c, công ngh , đ n kinh t , chính tr , đ n s c kh e, môi trư ng, v.v. Ngày nay, máy tính giúp cho vi c tính toán các v n đ xác su t th ng kê ngày càng tr nên d dàng, m t khi đã có các s li u đúng đ n và mô hình h p lý. Th nhưng, b n thân máy tính không bi t mô hình nào là h p lý. Đ y là v n đ c a ngư i s d ng: c n ph i hi u đư c b n ch t c a các khái ni m và mô hình xác su t th ng kê, thì m i có th dùng đư c chúng. M c đích c a quy n sách này chính là nh m giúp b n đ c hi u đúng b n ch t c a nh ng khái ni m và phương pháp cơ b n nh t c a xác su t và th ng kê, và qua đó có th áp d ng đư c chúng, tìm đư c phương pháp thích h p cho nh ng tình hu ng c th . M t s đi m mà các tác gi c g ng đưa vào trong sách này là: - Gi i thích b n ch t các khái ni m m t cách tr c giác, d hi u nh t trong ch ng m c có th , đ ng th i đ m b o đ ch t ch nh t đ nh v m t toán h c. - Cho nhi u ví d và bài t p v nh ng tình hu ng có th t, v i s li u có th t, nh m giúp b n đ c c m nh n đư c các ng d ng th c t c a xác su t và th ng kê. Quy n sách này có 5 chương. Chương 1 g m m t s khái ni m cơ s c a lý thuy t xác su t. Chương này không đòi h i ki n th c đ c bi t gì v toán, và h c sinh ph thông cũng có th đ c và hi u đư c ph n l n. Tuy nhiên, ki n th c c a Chương 1 không hoàn toàn hi n nhiên, k c đ i v i nh ng ngư i đã h c đ i h c. Trong quá trình so n th o, các tác gi có đem m t s bài t p hơi khó c a Chương 1 đ các h c sinh đ i h c và cao h c ngành toán, và ph n l n h làm sai! Các bài t p đó không ph i là khó v m t toán h c (đ gi i chúng ch c n làm vài phép tính s h c đơn gi n), mà là khó vì chúng ch a đ ng nh ng s t nh v b n ch t c a xác su t. Hy v ng r ng, b n đ c s th y đư c nh ng s t nh đó, và tránh đư c các sai l m mà nhi u ngư i khác hay m c ph i. T Chương 2 đ n Chương 4 c a quy n sách là lý thuy t xác su t c a các bi n ng u nhiên. Chương 2 là v các bi n ng u nhiên nh n giá tr th c. Chương 3 là v các b nhi u bi n ng u nhiên, hay còn g i là các vector ng u nhiên. Chương 4 là v các đ nh lý gi i h n, trong đó có đ nh lý gi i h n trung tâm, đư c coi là đ nh lý quan tr ng nh t c a lý thuy t xác su t và là hòn đá t ng c a th ng kê toán h c. Chương 5 c a quy n sách là gi i thi u v th ng kê. B n đ c s tìm th y trong chương này nh ng v n đ có th gi i quy t b ng th ng kê như ư c lư ng, ki m đ nh, d báo, nh ng nguyên t c cơ b n nh t
iv c a th ng kê, và m t s phương pháp thông kê nay đã tr thành kinh đi n. Đ hi u t t các v n đ đư c bàn t i trong Chương 2 và các chương ti p theo, b n đ c c n có m t s ki n th c chu n b v gi i tích toán h c, như phép tính vi tích phân và khai tri n Taylor-Lagrange, c ng v i m t ít ki n th c v đ i s tuy n tính. N u có thêm m t ít ki n th c v tôpô và gi i tích hàm thì càng t t. Trong sách có đưa ra đ nh nghĩa và tính ch t c a m t s khái ni m toán h c c n dùng, ví d như tích phân Lebesgue trên không gian xác su t, bi n đ i Fourier, h i t y u, v.v. Quy n sách này có th dùng làm sách giáo khoa hay sách tham kh o cho môn xác su t th ng kê b c đ i h c ho c cao h c nhi u ngành khác nhau. Sinh viên các ngành không ph i toán có th b qua các ph n ch ng minh các đ nh lý tương đ i ph c t p trong sách, mà ch c n hi u đúng phát bi u c a các đ nh lý quan tr ng nh t và cách áp d ng chúng. Các sinh viên ngành toán thì nên tìm hi u c cách ch ng minh các đ nh lý. Do khuôn kh c a quy n sách có h n, nên còn r t nhi u khái ni m quan tr ng c a xác su t và th ng kê không xu t hi n trong sách, ví d như quá trình ng u nhiên. Hy v ng r ng quy n sách này cung c p đư c tương đ i đ y đ các ki n th c cơ s , đ b n đ c có th hi u đư c các tài li u chuyên sâu hơn v xác su t và th ng kê khi c n thi t. Đ biên so n quy n sách này, các tác gi có tham kh o nhi u sách báo liên quan đ n xác su t th ng kê, và có trích l i nhi u bài t p và ví d t các tài li u đó. Nh ng sách mà các các tác gi tham kh o nhi u đư c li t kê ph n “Tài li u tham kh o”. Trong đó có nh ng sách “n ng”, có nhi u ch ng minh ch t ch và khá n ng v toán, ví d như quy n “Theory of probability and random processes” c a Koralev và Sinai [5], và có nh ng sách “nh ”, d đ c đ có th n m đư c nh ng ý tư ng chính, nhưng không có ch ng minh, tiêu bi u như quy n “The cartoon guide to statistics” c a Gonick và Smith [2]. Nh ng b n th o đ u tiên c a quy n sách này có đư c m t s đ ng nghi p, b n bè và sinh viên đ c và góp ý s a l i và trình b y l i cho t t lên. Các tác gi xin chân thành c m ơn s quan tâm và giúp đ c a h . T t nhiên, m i l i còn l i trong sách là thu c v trách nhi m c a các tác gi . Quy n sách này là m t s n ph m c a Trung Tâm Toán Tài Chính và Công Nghi p Hà N i (do các tác gi thành l p vào đ u năm 2009), đư c vi t v i m c đích trư c h t là đ ph c v cho nhu c u c a b n thân Trung Tâm. Các tác gi hy v ng r ng, quy n sách này s có ích, không ch cho Trung Tâm, mà còn cho m t lư ng r t l n các đ c gi khác đang ho c s quan tâm v xác su t và th ng kê. Hà N i – Toulouse, 2009
M cl c 1 Xác su t là gì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Xác su t là gì ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Xác su t c a m t s ki n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Ba tiên đ v s nh t quán c a xác su t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 Xác su t ph thu c vào nh ng gì ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.4 Tính xác su t b ng th ng kê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Mô hình toán h c c a xác su t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Không gian xác su t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Phân b xác su t Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Phân b xác su t đ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.4 Mô hình xác su t v i vô h n các s ki n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.5 Ánh x gi a các không gian xác su t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.6 Tích c a các không gian xác su t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.7 Phân b nh th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Xác su t có đi u ki n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.1 Đ nh nghĩa xác su t có đi u ki n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.2 S đ c l p và ph thu c c a các s ki n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.3 Công th c xác su t toàn ph n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.4 Công th c Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4 M t s ngh ch lý trong xác su t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.1 Ngh ch lý 1 (Ngh ch lý Simpson). Thu c nào t t hơn ? . . . . . . . . . . . 24 1.4.2 Ngh ch lý 2. Hoàng t có ch em gái không ? . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4.3 Ngh ch lý 3. Văn Ph m có ph i là th ph m ? . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4.4 L i gi i cho các ngh ch lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 v
vi M CL C 1.5 Lu t s l n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.6 Bài t p b sung cho Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2 Bi n Ng u Nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1 Bi n ng u nhiên và phân b xác su t c a nó . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.1 Bi n ng u nhiên là gì ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.2 Mô hình toán h c c a bi n ng u nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.1.3 Phân b xác su t c a bi n ng u nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.4 Các lo i phân b xác su t trên R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2 M t s phân b xác su t thư ng g p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.1 Phân b hình h c và phân b nh th c âm . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.2 Phân b Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2.3 Phân b đ u (trư ng h p liên t c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2.4 Phân b normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2.5 Phân b lũy th a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2.6 Phân b Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3 Kỳ v ng c a bi n ng u nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.3.1 Trư ng h p r i r c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.3.2 Trư ng h p t ng quát: tích phân trên không gian xác su t . . . . . . . . . 52 2.3.3 Kỳ v ng c a phân b xác su t trên R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.3.4 Giá tr kỳ v ng hình h c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.4 Phương sai, đ l ch chu n, và các moment . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.4.1 Phương sai và đ l ch chu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.4.2 Các moment c a m t bi n ng u nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.4.3 B t đ ng th c Chebyschev và b t đ ng th c Markov . . . . . . . . . . . . 64 2.5 Hàm đ c trưng, hàm sinh, và bi n đ i Laplace . . . . . . . . . . . . . 66 2.5.1 Hàm đ c trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.5.2 Tìm l i phân b xác su t t hàm đ c trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.5.3 Hàm sinh xác su t và bi n đ i Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3 Vector ng u nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.1 Vector ng u nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.1.1 Phân b xác su t đ ng th i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.1.2 Các phân b xác su t biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
M CL C vii 3.1.3 Hàm m t đ đ ng th i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.1.4 Hàm đ c trưng c a vector ng u nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.2 Các bi n ng u nhiên đ c l p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.2.1 S đ c l p c a m t b bi n ng u nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.2.2 M t ví d không hi n nhiên v s đ c l p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.2.3 M t s h qu c a s đ c l p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.3 Lu t s l n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.3.1 D ng y u c a lu t s l n cho phân b b t kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.3.2 D ng m nh c a lu t s l n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.3.3 Tích c a m t dãy vô h n các không gian xác su t . . . . . . . . . . . . . 84 3.3.4 Ch ng minh đ nh lý 3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.4 S tương quan gi a các bi n ng u nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.4.1 Hi p phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.4.2 H s tương quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.4.3 Quan h tuy n tính v i sai s bình phương nh nh t . . . . . . . . . . . . 92 3.4.4 H s tương quan và quan h nhân qu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.5 Phân b và kỳ v ng có đi u ki n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.5.1 Trư ng h p r i r c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.5.2 Trư ng h p liên t c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.6 Phân b normal nhi u chi u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.6.1 Đ nh nghĩa c a phân b normal nhi u chi u . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.6.2 Trư ng h p hai chi u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.6.3 M t s tính ch t c a phân b normal nhi u chi u . . . . . . . . . . . . . 102 4 Các đ nh lý gi i h n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.1 Đ nh lý gi i h n trung tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.1.1 Đ nh lý de Moivre – Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.1.2 Đ nh lý gi i h n trung tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.1.3 Gi i h n c a dãy hàm đ c trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.2 H i t y u và các ki u h i t khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.2.1 H i t y u và h i t theo phân ph i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.2.2 Các metric trên không gian các phân b xác su t . . . . . . . . . . . . . . 114 4.2.3 Đ nh lý ti n compact c a Prokhorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
viii M CL C 4.2.4 Đ nh lý liên t c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.2.5 Các ki u h i t khác c a dãy bi n ng u nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.3 Phân b χ2 và đ nh lý Pearson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5 Th ng kê toán h c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.1 Các v n đ th ng kê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.2 Ư c lư ng b ng th ng kê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.2.1 M u th c nghi m và phân b th c nghi m . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.2.2 Hàm ư c lư ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.2.3 Ư c lư ng không ch ch c a phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.2.4 Phương pháp h p lý c c đ i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.2.5 Phương pháp moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.3 Sai s và đ tin c y c a ư c lư ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.3.1 Sai s c a ư c lư ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.3.2 Kho ng tin c y và đ tin c y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 5.3.3 Kho ng tin c y cho đ l ch chu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 5.3.4 Phân b Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.4 Ki m đ nh các gi thuy t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 5.4.1 M t s nguyên t c chung c a ki m đ nh b ng th ng kê . . . . . . . . . . 150 5.4.2 Ki m đ nh Z và ki m đ nh T cho kỳ v ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.4.3 Ki m đ nh so sánh hai kỳ v ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.4.4 Ki m đ nh F so sánh hai đ l ch chu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 5.5 Ki m đ nh χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 5.5.1 Trư ng h p mô hình xác su t c đ nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 5.5.2 Trư ng h p mô hình xác su t đư c ư c lư ng theo tham s . . . . . . . . 161 5.5.3 Ki m đ nh χ2 cho s đ c l p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 5.6 Phân tích h i qui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 5.6.1 H i qui tuy n tính đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 5.6.2 H i qui tuy n tính b i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 5.6.3 H i qui phi ty n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Chương 1 Xác su t là gì 1.1 Xác su t là gì ? H u như m i ngư i đ u bi t đ n khái ni m xác su t. Tuy nhiên không ph i ai cũng hi u rõ nh ng tính ch t cơ b n c a nó. Ví d như s ph thu c vào thông tin c a xác su t (m i khi có thêm thông tin m i thì xác su t thay đ i) hay b b qua. Và có nh ng bài toán tính toán xác su t tư ng ch ng như r t đơn gi n, nhưng có hơn m t n a s ngư i đã t ng h c xác su t làm sai khi đư c h i, k c các th c sĩ ngành toán. B i v y, trong chương này, chúng ta s nh n m nh nh ng s t nh trong xác su t, đ c bi t là v i xác su t có đi u ki n, mà b n đ c c n bi t đ n, đ tránh đư c nh ng l i cơ b n hay g p nh t. Trư c khi đi vào lý thuy t, có m t câu đ liên quan đ n xác su t sau đây dành cho b n đ c. Gi s có m t trò chơi trên TV như sau: có 3 cánh c a, đ ng sau 1 trong 3 cánh c a đó là 1 món quà l n, còn sau 2 c a còn l i không có gì. Ngư i chơi đư c ch n 1 trong 3 cánh c a, n u ch n đúng c a có quà thì đư c nh n quà. Sau khi ngư i chơi đã ch n 1 c a, ngư i hư ng d n chương trình m m t trong hai c a còn l i ra, nhưng s ch m c a không có quà. Sau đó ngư i chơi đư c quy n ch n, ho c là gi cái c a mình ch n ban đ u, ho c là đ i l y cái c a chưa đư c m còn l i. Theo b n thì ngư i chơi nên ch n phương án nào? Vì sao ? Hãy th nghĩ v nó m t chút trư c khi ti p t c đ c. 1.1.1 Xác su t c a m t s ki n Xác su t c a m t s ki n (hay tình hu ng gi đ nh) là kh năng x y ra s ki n (hay tình hu ng gi đ nh) đó, đư c đánh giá dư i d ng m t s th c n m gi a 0 và 1. 1
2 CHƯƠNG 1. XÁC SU T LÀ GÌ Khi m t s ki n không th x y ra thì xác su t c a nó b ng 0. Ví d như xác su t c a s ki n “có ngư i s ng trên sao Th ” b ng 0. Khi m t s ki n ch c ch n đã ho c s x y ra thì xác su t c a nó b ng 1 (hay còn vi t là 100%). Ví d như s ki n “tôi đư c sinh ra t trong b ng m ” có xác su t b ng 1. Khi m t s ki n có th x y ra và cũng có th không x y ra, và chúng ta không bi t nó có ch n ch n x y ra hay không, thì chúng ta có th coi xác su t c a nó l n hơn 0 và nh hơn 1. S ki n nào đư c coi là càng d x y ra thì có xác su t càng l n (càng g n 1), và ngư c l i n u càng khó x y ra thì xác su t càng nh (càng g n 0). Ví d tôi mua m t vé x s . Tôi không bi t nó s trúng gi i hay không, có th có mà cũng có th không. N u như c 100 vé x s ch có 1 vé trúng gi i, thì tôi s coi xác su t trúng gi i c a vé c a tôi là 1%. Con s 1% đây chính là t n su t, hay t l trúng gi i c a các vé x s : nó b ng s các vé trúng gi i chia cho t ng s các vé. Không nh ng ch các s ki n trong tương lai, mà c các s ki n trong quá kh , mà chúng ta thi u thông tin đ có th bi t ch c là chúng đã th c s x y ra hay không, thì chúng ta v n có th gán cho các s ki n đó m t xác su t nào đó, ng v i đ tin tư ng c a chúng ta v vi c s ki n đó đã th c s x y ra hay không. Ví d như, n hoàng Cleopatra c a Ai C p có t t b ng cách đ cho r n đ c c n không ? Đ y là m t gi thuy t, mà theo các nhà s h c thì có nhi u kh năng x y ra, nhưng không ch c ch n. 1.1.2 Ba tiên đ v s nh t quán c a xác su t Tiên đ 1. Như đã vi t phía trên, n u A là m t s ki n (gi đ nh) và ký hi u P (A) là xác su t c a A thì 0 ≤ P (A) ≤ 1 (1.1) Tiên đ 2. N u A là m t s ki n, và ký hi u A là s ki n ph đ nh c a A thì P (A) + P (A) = 1 (1.2) Ý nghĩa tri t h c c a tiên đ 2 tương đ i hi n nhiên: Trong hai s ki n “A” và “ph đ nh c a A” có 1 và ch 1 s ki n x y ra. N u “A” càng có nhi u kh năng x ra thì “ph đ nh c a A” càng có ít kh năng x y ra, và ngư c l i. Ví d 1.1. M t h c sinh đi thi vào m t trư ng đ i h c. N u xác su t thi đ là 80% thì xác su t thi trư t là 20% (= 100% - 80%), ch không th là 30%, vì n u xác su t thi đ là 80% và xác su t thi trư t là 30% thì không nh t quán.
1.1. XÁC SU T LÀ GÌ ? 3 Ví d 1.2. Tôi tung m t đ ng ti n, khi nó rơi xu ng thì có th hi n m t s p ho c m t ng a. T ng xác su t c a hai s ki n “m t s p” và “m t ng a” b ng 1. N u tôi không có lý do đ c bi t gì đ nghĩ r ng m t nào d hi n lên hơn m t nào, thì tôi coi r ng hai m t có xác su t hi n lên b ng nhau. Khi đó s ki n “m t ng a” có xác su t b ng s ki n “m t s p” và b ng 1/2. Tiên đ 3. V i hai s ki n A và B, ta s ký hi u s ki n “c A và B đ u x y ra” b ng A ∩ B và s ki n “ít nh t m t trong hai s ki n A ho c B x y ra” b ng A ∪ B. Khi đó n u hai s ki n A và B không th cùng x y ra, thì xác su t c a s ki n “x y ra A ho c B” b ng t ng các xác su t c a A và c a B: P (A ∩ B) = 0 ⇒ P (A ∪ B) = P (A) + P (B) (1.3) Ví d 1.3. M t h c sinh đư c cho đi m m t bài ki m tra. Có th đư c 7 đi m, có th đư c 8 đi m, ho c có th đư c đi m khác, nhưng không th v a đư c 7 đi m v a đư c 8 đi m. B i v y P ((7d) ∪ (8d)) = P (7d) + P (8d) Tiên đ 3 có th phát bi u m t cách t ng quát hơn như sau: Tiên đ 3’. N u X và Y là hai s ki n b t kỳ thì P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B). (1.4) Bài t p 1.1. Ch ng minh r ng tiên đ 3 tương đương v i tiên đ 3’. 1.1.3 Xác su t ph thu c vào nh ng gì ? Xác su t c a m t s ki n không nh t thi t ph i là m t h ng s , mà nó có th thay đ i, ph thu c vào nhi u y u t . (T s ki n đây hi u theo nghĩa thông thư ng, ch không ph i theo nghĩa “m t t p h p trong m t không gian xác su t v i 1 đ đo xác su t đã c đ nh” trong mô hình toán h c) Xác su t thay đ i theo th i gian. Ví d , ông Obama đư c b u làm t ng th ng M vào tháng 11/2008. T trư c lúc b u c m y tháng, có s c nh tranh ác li t gi a ông ta và đ i th chính c a ông ta là ông McCain, và m t ngư i quan sát bên ngoài có th nh n đ nh là hai ông có kh năng đư c b u c ngang nhau (t c là xác su t đư c b u c a m i ông quãng 50%). Nhưng khi k t qu b u c đư c công b tr n v n, thì xác su t đư c b u c a Obama chuy n thành 100% (t c là ông ta đã ch c ch n đư c b u). Trư c đó 1 năm, ông Obama là m t ngư i chưa đư c nhi u ngư i bi t đ n và còn ph i tranh c v i bà Clinton và các ng c viên khác trong Đ ng c a mình, và khi đó, đ i v i quan sát viên
4 CHƯƠNG 1. XÁC SU T LÀ GÌ bên ngoài, xác su t đư c b u làm t ng th ng c a Obama không ph i 100%, cũng không ph i 50%, mà nh hơn th nhi u. Xác su t ph thu c vào thông tin. L y bài toán đ v trò chơi trên TV vi t phía trên làm ví d . G i tên c a mà ngư i chơi ch n lúc đ u là A, c a không có quà mà ngư i hư ng d n chương trình m ra là B, và c a còn l i là C. Vào th i đi m ban đ u, không có thông tin gì v c a nào phía sau có quà, thông tin duy nh t là 1 trong 3 c a có quà. Không có cơ s gì đ cho r ng c a nào có nhi u kh năng có quà hơn c a nào, b i v y vào th i đi m ban đ u ta coi P (A) = P (B) = P (C) = 1/3. Nhưng sau khi c a B đư c m ra, thì ta có thêm m t thông tin m i, là c a B không có quà. Như v y thông tin m i này làm thay đ i xác su t c a B: bây gi ta có P (B) = 0. Không ch xác su t c a B thay đ i, mà t ng xác su t c a A và C bây gi cũng thay đ i: P (A) + P (C) = 1 thay vì b ng 2/3 như trư c. Như v y ít ra m t trong hai s P (A) ho c P (C) thay đ i, ho c là c hai. Xác su t P (A) có thay đ i vì thông tin m i này không ? Câu tr l i là không (Gi i thích vì sao không ?). Ch có P (C) là thay đ i: sau khi ngư i hư ng d n chương trình m c a B, thì ta có P (A) = 1/3 và P (C) = 2/3. Như v y ngư i chơi nên đ i c a A l y c a C thì d th ng hơn. Đ th y rõ hơn vi c cánh c a còn l i có nhi u kh năng có quà hơn là cánh c a mà ngư i chơi ch n ban đ u, thay vì ch có 3 c a, ta hãy hình dung có 100 c a. Sau khi b n ch n 1 c a, ngư i d n chương trình m 98 c a không có quà trong s 99 c a còn l i, ch đ l i 1 c a thôi. Khi đó, n u đư c đ i, b n s gi nguyên c a c a mình, hay là đ i l y cái c a còn l i kia ? Xác su t ph thu c vào đi u ki n. Chúng ta s bàn v xác su t có đi u ki n và công th c tính xác su t có đi u ki n m t ph n sau. Đi u đáng chú ý đây là, m i xác su t đ u có th coi là xác su t có đi u ki n, và đ u ph thu c vào nh ng đi u ki n nào đó, có th đư c nói ra ho c không nói ra (đi u ki n hi u ng m). Ví d , khi chúng ta nói “khi tung cái xúc s c S, xác su t đ hi n lên m t có 3 ch m là 1/6”, chúng ta hi u ng m S là m t cái xúc s c đ u đ n, các m t đ u có kh năng xu t hi n như nhau. Nhưng n u S là m t cái xúc s c méo mó, nh bên này n ng bên n (đi u ki n khác đi), thì hoàn toàn có th là xác su t đ khi tung hi n lên m t có 3 ch m s khác 1/6. M t ví d khác là xác su t x y ra tai n n khi lái ô tô: khi ngư i lái xe khoe m nh t nh táo, thì xác su t x y ra tai n n th p, còn khi v n ngư i lái đó b say rư u ho c bu n ng g t, thì xác su t x y ra tai n n cao hơn, v.v. Khi chúng ta bi t thêm m t đi u ki n m i, t c là có thêm m t thông tin m i, b i v y s ph thu c vào đi u ki n c a xác su t cũng có th coi là s ph thu c vào thông tin. Xác su t ph thu c vào ngư i quan sát, hay là tính ch quan c a xác su t. Cùng là
1.1. XÁC SU T LÀ GÌ ? 5 m t s ki n, nhưng hai ngư i quan sát khác nhau có th tính ra hai k t qu xác su t khác nhau, và c hai đ u “có lý”, b i vì h d a trên nh ng thông tin và phân tích khác nhau. Ví d như, có chuyên gia tài chính đánh giá r ng c phi u c a hãng Vinamilk có nhi u kh năng đi lên trong th i gian t i, trong khi l i có chuyên gia tài chính khác đánh giá r ng c phi u c a hãng đó có nhi u kh năng đi xu ng ít kh năng đi lên trong th i gian t i. Quay l i trò chơi truy n hình: v i ngư i chơi thì P (A) = 1/3, nhưng đ i v i ngư i d n chương trình thì P (A) không ph i là 1/3, mà là 0 ho c 1, vì ngư i đó bi t đ ng sau c a A có quà hay không. 1.1.4 Tính xác su t b ng th ng kê Đ i v i nh ng hi n tư ng x y ra nhi u l n, thì ngư i ta có th dùng th ng kê đ tính xác su t c a s ki n x y ra hi n tư ng đó. Công th c s là N (A) P (A) = (1.5) N (total) đây N (total) là t ng s các trư ng h p đư c kh o sát, và N (A) là s các trư ng h p đư c kh o sát th a mãn đi u ki n x y ra A. Cơ s toán h c cho vi c dùng th ng kê đ tính xác su t, là lu t s l n và các đ nh lý gi i h n, mà chúng ta s tìm hi u phía sau trong sách này. Ví d 1.4. Có m t s s li u sau đây v tai t n ô tô và máy bay. Trong nh ng năm 1989-1999, trên toàn th gi i, trung bình m i năm có kho ng 18 tri u chuy n bay, 24 tai n n máy bay ch t ngư i, và 750 ngư i ch t trong tai n n máy bay. Cũng trong kho ng th i gian đó, nư c Pháp, trung bình m i năm có kho ng 8000 ngư i ch t vì tai n n ô tô, trên t ng s 60 tri u dân. T các s li u này, chúng ta có th tính: Xác su t đ m t ngư i Pháp b ch t vì tai n n ô tô trong m t năm là 8000/60000000 = 0,0133%. Xác su t đ đi m t chuy n bay g p tai n n ch t ngư i là 24/18000000 = 0,000133%, ch b ng 1/100 xác su t b ch t vì tai n n ô tô trong 1 năm. N u m t ngư i m t năm bay 20 chuy n, thì xác su t b ch t vì tai n n máy bay trong năm b ng quãng 20 × 0, 000133% = 0, 00266%, t c là ch b ng 1/5 xác su t b ch t vì tai n n ô tô trong năm. Ví d 1.5. Ông Gregor Mendel (1822-1884) là m t tu sĩ ngư i Áo (Austria) thích nghiên c u sinh v t. Ông ta tr ng nhi u gi ng đ u khác nhau trong vư n c a tu vi n, và ghi chép t m n v các tính ch t di truy n và lai gi ng c a chúng. Năm 1866 Mendel công b m t bài báo v các hi n tư ng mà ông ta qua sát đư c, và lý thuy t c a ông ta đ gi i thích các hi n tư ng. M t trong nh ng quan sát trong đó là v màu s c: Khi lai đ u h t
6 CHƯƠNG 1. XÁC SU T LÀ GÌ vàng v i đ u h t xanh (th h th nh t) thì các cây lai (th h th hai) đ u ra đ u h t vàng, nhưng ti p t c lai các cây đ u h t vàng th h th hai này v i nhau, thì đ n th h th ba xác su t ra đ u h t xanh là 1/4. Con s 1/4 là do Mendel th ng kê th y t l Hình 1.1: Lý thuy t di truy n c a Mendel và xác su t trong lai gi ng đ u đ u h t xanh th h th ba g n b ng 1/4. T đó Mendel xây d ng lý thuy t di truy n đ gi i thích hi n tư ng này: màu c a đ u đư c xác đ nh b i 1 gen, và gen g m có hai ph n. Th h đ u tiên, cây đ u h t vàng có gen thu n ch ng “YY” còn h t xanh có gen “yy” (tên g i “Y” và “y” đây là tùy ti n). Khi lai nhau, thì m t n a gen c a cây này ghép v i m t n a gen c a cây kia đ t o thành gen c a cây con. Các cây th h th hai đ u có gen “Yy”, và màu h t c a gen “Yy” cũng là vàng. Đ n th h th ba, khi lai “Yy” v i “Yy” thì có 4 kh năng x y ra : “YY”, “Yy”, “yY” và “yy”. (“Yy” và “yY” là gi ng nhau v gen, nhưng vi t như v y là đ phân bi t là ph n “Y” đ n t cây th nh t hay cây th hai trong 2 cây lai v i nhau). V lý thuy t, có th coi 4 kh năng trên là có xác su t x y ra b ng nhau. B i v y xác su t đ cây th h th ba có gen “yy” (h t màu xanh) là 1/4. Trong r t nhi u năm sau khi công b , công trình c a Mendel không đư c các nhà khoa h c khác quan tâm đ n, nhưng ngày nay Mendel đư c coi là cha t c a di truy n h c. 1.2 Mô hình toán h c c a xác su t 1.2.1 Không gian xác su t Không gian xác su t là m t khái ni m toán h c nh m tr u tư ng hóa 3 tiên đ phía trên v s nh t quán c a xác su t. Đ nh nghĩa 1.1. M t không gian xác su t là m t t p h p Ω, cùng v i:
1.2. MÔ HÌNH TOÁN H C C A XÁC SU T 7 1) M t h S các t p con c a Ω, th a mãn các tính ch t sau: Ω ∈ S, và n u A, B ∈ S thì A ∪ B ∈ S, A ∩ B ∈ S và A := Ω \ A ∈ S. M t h như v y đư c g i là m t đ i s các t p con c a Ω. Trong trư ng h p Ω là m t t p có vô h n các ph n t , thì chúng ta s đòi h i thêm đi u ki n sau: N u Ai , i = 1, 2, 3, . . . là m t dãy vô h n các ph n t c a S, ∞ thì h p i=1 Ai cũng thu c h S. V i thêm đi u ki n này, S đư c g i là m t sigma-đ i s . Các ph n t c a S đư c g i là là t p h p con đo đư c c a không gian xác su t. 2) M t hàm s th c P : S → R trên S, đư c g i là phân b xác su t hay đ đo xác su t trên Ω, th a mãn các tính ch t sau: i) V i m i A ∈ S, ta có 0 ≤ P (A) ≤ 1. (1.6) ii) P (∅) = 0, P (Ω) = 1. (1.7) iii) N u A ∩ B = ∅ thì P (A ∪ B) = P (A) + P (B). (1.8) T ng quát hơn, n u Ai , i = 1, 2, 3, . . . là m t dãy các t p h p con đo đư c không giao nhau thì P( Ai ) = P (Ai ). (1.9) i i Ghi chú 1.1. 1) Không gian xác su t Ω còn đư c g i là không gian m u (sample space), và nó là mô hình toán h c tr u tư ng cho v n đ tính toán xác su t đang đư c quan tâm. M i ph n t c a Ω có th đư c g i là m t s ki n thành ph n (elementary event). N u A là m t ph n t c a Ω thì ta cũng có th vi t P (A) và hi u là P ({A}), trong đó {A} là t p con c a Ω ch a duy nh t m t ph n t A. M i s ki n là m t t p con c a Ω, và có th g m nhi u (th m chí vô h n) s ki n thành ph n. Không nh t thi t t p con nào c a Ω cũng đo đư c (t c là n m trong h S), và chúng ta s ch quan tâm đ n nh ng t p con đo đư c. 2) Trong toán h c, m t đ i s là m t t p h p v i các phép tính c ng, tr , và phép nhân (không nh t thi t ph i có phép chia). Các tính ch t c a h S trong đ nh nghĩa không gian xác su t khi n nó là m t đ i s theo nghĩa như v y: Ph n t 0 trong S là t p r ng, ph n t đơn v trong S là t p Ω, phép nhân trong S là phép giao: A × B := A ∩ B, và phép c ng trong S là phép A + B := (A ∪ B) \ (A ∩ B) = (A \ B) ∪ (B \ A). Đ i s này có s đ c trưng b ng 2, t c là 2A = A + A = 0 v i m i A (và b i v y phép c ng và phép tr ch ng qua là m t). Chúng ta mu n S là m t đ i s chính là đ cho vi c làm các phép tính s h c v i xác su t đư c thu n ti n.
8 CHƯƠNG 1. XÁC SU T LÀ GÌ Hình 1.2: A. N. Kolmogorov 3) Đ ng th c (1.9) đư c g i là tính ch t sigma c a xác su t. Trong toán, ch cái hy l p sigma thư ng dùng đ ký hi u t ng, v i h u h n hay vô h n các thành ph n. Tính ch t sigma là tính ch t c ng tính vô h n: khi có m t dãy vô h n các t p con không giao nhau, xác su t c a h p c a chúng cũng b ng t ng vô h n c a các xác su t c a các t p con. Tính ch t sigma chính là tính ch t cho phép chúng ta l y gi i h n trong vi c tính toán xác su t. Ch ng h n như, n u A1 ⊂ A2 ⊂ . . . là m t dãy tăng các t p con c a Ω, và ∞ A = limn→∞ An = n=1 An , thì ta có th vi t P (A) = limn→∞ P (An ), b i vì ∞ ∞ P (A) = P (A1 ∪ (An+1 \ An )) = P (A1 ) + P (An+1 \ An ) n=1 n=1 n = P (A1 ) + lim P (Ak+1 \ Ak ) = A1 + lim (P (An+1 ) − P (A1 )) (1.10) n→∞ n→∞ k=1 Phép toán l y gi i h n là phép toán cơ b n nh t c a gi i tích toán h c, và m i phép toán gi i tích khác như đ o hàm, tích phân, v.v. đ u có th đư c đ nh nghĩa qua phép l y gi i h n. B i v y, tính ch t sigma chính là tính ch t cho phép chúng ta s d ng gi i tích toán h c trong vi c nghiên c u xác su t. Các nhà toán h c c đi n trong th k 18 và 19 đã dùng các phép tính vi tích phân trong xác su t, t c là đã dùng tính ch t sigma. V m t tr c giác, tính ch t sigma là m r ng hi n nhiên c a tính ch t c ng tính (1.8). Tuy nhiên, nói m t cách ch t ch toán h c, đ ng th c (1.9) không suy ra đư c t đ ng th c (1.8), và ph i đư c coi là m t tiên đ trong xác su t. Tiên đ này đư c đư ra b i nhà toán h c ngư i Nga Andrei Nikolaievitch Kolmogorov (1903-1987), ngư i xây d ng n n t ng cho lý thuy t xác su t hi n đ i. Bài t p 1.2. Ch ng minh r ng, v i 3 t p con A, B, C (đo đư c) b t kỳ trong m t không
1.2. MÔ HÌNH TOÁN H C C A XÁC SU T 9 gian xác su t, ta có: P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (B ∩ C) − P (C ∩ A) + P (A ∩ B ∩ C). 1.2.2 Phân b xác su t Bernoulli Hình 1.3: Bia m c a “mathematicus incomparabilis” J. Bernoulli Basel Không gian xác su t đơn gi n nh t mà không t m thư ng là không gian s nh b i đúng 1 s ki n A và ph đ nh A c a nó: Ω = {A, A}. Phân b xác su t trên Ω trong trư ng h p này đư c xác đ nh b i đúng m t s p = P (A). Phân b này đư c g i là phân b Bernoulli, theo tên c a Jacob Bernoulli (1654-1705), m t nhà toán h c ngư i Th Sĩ. Ví d 1.6. M t v n đ ng viên b n súng, nh m vào đích b n 1 phát súng. Có hai s ki n đ i l p nhau có th x y ra là A = “b n trúng” và A = “b n trư t”. Gi s xác su t b n trúng là 95%. Khi đó ta có không gian xác su t Ω = {A, A} v i phân b xác su t Bernoulli v i p = P (A) = 95%. Xác su t c a A (s ki n “b n trư t”) b ng 1 − p = 1 − 95% = 5%. Ví d 1.7. (Cái kim c a Buffon). Bá tư c George-Louis Leclerc de Buffon (1707-1788) là m t nhà khoa h c t nhiên l n, nghiên c u v th c v t, đ ng v t, trái đ t, l ch s t nhiên, v.v. Th i tr , ông ta đ c bi t thích toán h c, và vào năm 1733 có trình lên Vi n Hàm lâm Pháp m t công trình nhan đ “Sur le jeu du franc-carreau” (v chò tr i franc-careau, là m t trò chơi cá cư c th nh hành th i đó: ngư i ta tung 1 đ ng ti n vào 1
10 CHƯƠNG 1. XÁC SU T LÀ GÌ ô vuông và cá cư c nhau xem v trí nó s n m ch nào). Trong công trình này, các phép toán vi tích phân đư c Buffon đưa vào lý thuy t xác su t. Buffon còn là ngư i nghĩ ra phương pháp sau đây đ tính s π: L y 1 t gi y to và 1 cái kim. K các đư ng th ng song song trên t gi y, cách đ u nhau m t kho ng cách đúng b ng chi u dài c a cái kim. Tung cái kim m t cách ng u nhiên lên trên t gi y. Có hai kh năng x y ra: 1) kim n m đè lên 1 đư ng th ng trong các đư ng đư c k ; 2) kim n m l t vào gi a hai đư ng th ng. Buffon tính ra r ng, s ki n “kim n m đè lên 1 đư ng th ng” có xác su t b ng 1/π. Như v y hai s ki n “n m đè lên 1 đư ng th ng” và “n m l t vào gi a hai đư ng th ng” h p thành m t không gian xác su t Bernoulli v i p = 1/π. Tung kim n l n, và g i s l n kim n m đè lên 1 đư ng th ng trong s n l n tung là bn . Khi đó, theo lu t s l n, bn /n ti n t i p = 1/π khi n ti n t i vô cùng. B i v y đ x p x tính s π, có th làm như sau: tung kim th t nhi u l n, đ m s l n kim đè lên trên 1 đư ng th ng, r i l y s l n tung chia cho s đó. Phương pháp tung kim c a Buffon chính là ti n thân c a phương pháp Monte-Carlo trong toán h c. Hình 1.4: Tư ng c a Buffon Jardin des Plantes, Paris
1.2. MÔ HÌNH TOÁN H C C A XÁC SU T 11 1.2.3 Phân b xác su t đ u Đ nh nghĩa 1.2. Phân b xác su t P trên không gian xác su t h u h n v i N ph n t Ω = {A1 , . . . , AN } đư c g i là phân b xác su t đ u n u như P (A1 ) = . . . = P (AN ) = 1/N . T t nhiên, m i không gian xác su t v i m t s h u h n các ph n t ch có duy nh t m t phân b xác su t đ u trên đó. Ghi chú 1.2. Khái ni m phân b đ u không m r ng đư c lên các không gian xác su t có s ph n t là vô h n và đ m đư c, b i vì 1 chia cho vô cùng b ng 0, nhưng mà t ng c a m t chu i vô h n s 0 v n b ng 0 ch không b ng 1. Các phân b xác su t đ u là các phân b quan tr ng hay g p trong th c t . Lý do chính d n đ n phân b xác su t đ u là tính đ i x ng, cân b ng, hay hoán v đư c c a các s ki n thành ph n. Ví d 1.8. L y m t b bài tú lơ khơ m i có 52 quân, đ t n m s p. Khi đó xác su t đ rút m t con bài trong đó ra m t cách tùy ý đư c con “2 Cơ” (hay b t kỳ “s ” nào khác) b ng 1/52. Vì sao v y ? Vì các con bài khi đ t n m s p thì gi ng h t nhau, không th phân bi t đư c con nào v i con nào, s nào cũng có th đư c vi t dư i b t kỳ con bài nào, và n u chuy n ch 2 con bài trong b bài v i nhau thì trông b bài v n h t như cũ (đ y chính là tính “đ i x ng”, “hoán v đư c”). Ngư i quan sát không có thông tin gì đ có th nh n bi t đư c s nào d n m phía dư i con bài nào hơn trong các con bài đăng n m s p, và khi đó thì ph i coi r ng xác su t c a các s là như nhau. N u như có nh ng con bài “đư c đánh d u” (chơi ăn gian), thì t t nhiên đ i v i ngư i bi t chuy n đánh d u, không còn phân b xác su t đ u n a. Công th c đ tính xác su t c a m t s ki n trong m t phân b xác su t đ u r t đơn gi n: N u như không gian xác su t Ω v i ph n b xác su t đ u có N ph n t , và s ki n đư c bi u di n b ng m t t p con A c a Ω v i k ph n t , thì xác su t c a A b ng k/N : #A k P (A) = = (1.11) #Ω N Ví d 1.9. Gi s m t gia đình có 3 con. Khi đó xác su t đ gia đình đó có 2 con trai 1 con gái là bao nhiêu. Chúng ta có th l p mô hình xác su t v i 4 s ki n thành ph n: 3 trai, 2 trai 1 gái, 1 trai 2 gái, 3 gái. Th nhưng 4 s ki n thành ph n đó không “cân b ng” v i nhau, và b i v y không k t lu n đư c r ng xác su t c a “2 trai 1 gái” là 1/4. Đ có không gian xác su t v i phân b đ u, ta có th l p mô hình xác su t v i 8 s ki n thành
12 CHƯƠNG 1. XÁC SU T LÀ GÌ ph n như sau: Ω = {T T T, T T G, T GT, T GG, GT T, GT G, GGT, GGG}. (Ch ng h n, GGT có nghĩa là con th nh t là con gái, con th hai là con gái, con th ba là con trai). S ki n “2 trai m i gái” là h p c a 3 s ki n thành ph n trong mô hình xác su t này: T T G, T GT, GT T . Như v y xác su t c a nó b ng 3/8. Bài t p 1.3. Có m t nhóm n b n, trong đó có hai b n Vôva và Lily. X p các b n trong nhóm thành m t hàng d c m t cách ng u nhiên. H i xác su t đ Vôva v trí ngay sau Lily trong hàng là bao nhiêu ? Bài t p 1.4. M t nhóm có 5 ngư i, v i 5 tên khác nhau. M i ngư i vi t tên c a m t ngư i khác trong nhóm m t cách ng u nhiên vào gi y. Tính xác su t đ có 2 ngư i trong nhóm vi t tên c a nhau. Bài t p 1.5. Gi s trong m t gi i bóng đá đ u lo i tr c ti p có 8 đ i A,B,C,D,E,F,G,H tham gia: vòng 1 có 4 tr n, vòng 2 có 2 tr n, vòng 3 (vòng cu i cùng) có 1 tr n. Giá s xác su t đ m i đ i th ng m i tr n đ u là 1/2, và các đ i b t thăm đ xem đ i nào đ u v i đ i nào vòng đ u, các vòng sau thì đư c x p theo k t qu vòng trư c. Tính xác su t đ đ i A có đ u v i đ i B trong gi i. 1.2.4 Mô hình xác su t v i vô h n các s ki n M i v n đ xu t phát t th c t đ u ch có m t s h u h n các s ki n thành ph n. Nhưng khi mà s s ki n thành ph n đó l n, thì ngư i ta có th dùng các mô hình toán h c v i vô h n ph n t đ bi u di n, cho d hình dung và ti n tính toán. Ví d 1.10. N u ta quan tâm đ n lư ng khách hàng trong m t ngày c a m t siêu th , thì có th dùng t p h p các s nguyên không âm Z+ làm không gian xác su t: m i s n ∈ Z+ ng v i m t s ki n “s khách trong ngày là n”. V n đ ti p theo là ch n phân b xác su t nào trên Z+ cho h p lý (ph n ánh khá chính xác th c t x y ra, đ ng th i l i ti n cho vi c tính toán) ? Ví d ngư i ta có th dùng phân b xác su t sau trên Z+ , λn g i là phân b Poisson (đ c là Poa-Sông): P (n) = e−λ v i m i n ∈ Z+ . (Chú ý r ng n n n! λ λ P (n) = e−λ = e−λ = e−λ eλ = 1, như v y các tiên đ v xác su t đư c n n n! n n! th a mãn). Phân b Poisson ng v i hai gi thuy t: lư ng khách hàng trung bình trong m t ngày là λ, và các khách hàng đi đ n siêu th m t cách ng u nhiên và đ c l p v i nhau. Chúng ta s tìm hi u k hơn v phân b Poisson trong nh ng ph n sau.