Tuyển tập bài tập toán bất đẳng thức

Chia sẻ: Vu Duc Tuan Tuan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

Thêm vào BST

Báo xấu

315
lượt xem 134
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số." Theo quan điểm chính thống, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng Luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong Triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tuyển tập bài tập toán bất đẳng thức

Tuyển tập bất đẳng thức
III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN 2 2 2 2 2 1. Chứng minh: (ab + cd) £ (a + c )(b + d ) BĐT Bunhiacopxki I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 2. Chứng minh: sinx + cos x £ 2 a3 + b3 æ a + b ö 3 2 2 1. Cho a, b > 0 chứng minh: ³ç ÷ 3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a + 4b ³ 7. 2 è 2 ø 725 a2 + b2 2 2 4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a + 5b ³ . a+b 47 2. Chứng minh: £ 2 2 2 2 2464 5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a + 11b ³ . 137 a + b 3 a3 + b3 3. Cho a + b ³ 0 chứng minh: ³ 6. Cho a + b = 2. 4 4 Chứng minh: a + b ³ 2. 2 2 1 a b 7. Cho a + b ³ 1 Chứng minh: a2 + b2 ³ 4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: + ³ a+ b 2 b a 1 1 2 Lời giải: 5. Chứng minh: Với a ³ b ³ 1: 2 + 2 ³ 1+ a 1+ b 1+ ab I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 6. Chứng minh: a2 + b2 + c2 + 3 ³ 2 ( a + b + c ) ; a , b , c Î R 3 a3 + b3 æ a + b ö 7. Chứng minh: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ³ a ( b + c + d + e) 1. Cho a, b > 0 chứng minh: ³ç ÷ (*) 2 è 2 ø 8. Chứng minh: x2 + y 2 + z2 ³ xy + yz + zx 3 3 3 a +b æ a + bö 3 2 (*) Û -ç ÷ ³ 0 Û ( a + b)( a - b) ³ 0 . ĐPCM. a+ b+ c ab + bc + ca 2 è 2 ø 8 9. a. Chứng minh: ³ ; a,b,c ³ 0 3 3 a+b a2 + b2 a2 + b2 + c2 æ a + b + c ö 2 2. Chứng minh: £ («) b. Chứng minh: ³ç 2 2 ÷ 3 è 3 ø ÷ a + b £ 0 , («) luôn đúng. a2 a2 + b2 + 2ab a2 + b2 ( a - b)2 10. Chứng minh: + b2 + c2 ³ ab - ac + 2bc ÷ a + b > 0 , («) Û - £0 Û ³ 0 , đúng. 4 4 2 4 11. Chứng minh: a2 + b2 + 1 ³ ab + a + b 2 2 a+b a +b Vậy: £ . 12. Chứng minh: x2 + y2 + z2 ³ 2xy - 2xz + 2yz 2 2 13. Chứng minh: x 4 + y4 + z2 + 1 ³ 2xy(xy 2 - x + z + 1) a+b 3 3 a +b 3 ( a + b)3 a3 + b3 3. Cho a + b ³ 0 chứng minh: ³ Û £ 1 2 2 8 2 14. Chứng minh: Nếu a + b ³ 1 thì: a3 + b3 ³ 4 Û 3 ( b - a ) ( a2 - b2 ) £ 0 Û -3 ( b - a ) ( a + b) £ 0 , ĐPCM. 2 15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: a b 2 2 2 a. ab + bc + ca £ a + b + c < 2(ab + bc + ca). 4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: + ³ a + b («) b a b. abc ³ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) 2 2 2 2 2 2 4 4 4 c. 2a b + 2b c + 2c a – a – b – c > 0 («) Û a a + b b ³ a b + b a Û ( a - b) a - ( a - b) b ³ 0 2 Û ( a - b) ( a - b ) ³ 0 Û ( a - b ) ( a + b ) ³ 0 , ĐPCM. 1 1 2 5. Chứng minh: Với a ³ b ³ 1: 2 + 2 ³ («) 1+ a 1+ b 1+ ab 4 1
II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 20. Cho a , b , c > 0. C/m: 1 1 1 1 1. Chứng minh: (a + b)(b + c)(c + a) ³ 8abc ; a,b,c ³ 0 3 3 + 3 3 + 3 3 £ a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc 2. Chứng minh: (a + b + c)(a2 + b2 + c 2 ) ³ 9abc ; a,b,c ³ 0 21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: 3 a. a + b + c + d ³ 44 abcd với a , b , c , d ³ 0 (Côsi 4 số) 3. Chứng minh: (1+ a )(1+ b)(1+ c ) ³ (1+ 3 abc ) với a , b , c ³ 0 3 m m b. a + b + c ³ 3 abc với a , b , c ³ 0 , (Côsi 3 số ) æ aö æ bö Cho a, b > 0. Chứng minh: ç 1+ ÷ + ç 1+ ÷ ³ 2m + 1 , với m Î Z 3 22. Chứng minh: a + b + c ³ a 3 3 2 bc + b 2 ac + c 2 ab ; a , b , c > 0 + 4. è bø è aø 3 4 9 23. Chứng minh: 2 a + 3 b + 4 c ³ 9 abc bc ca ab 5. Chứng minh: + + ³ a + b + c ; a,b,c ³ 0 x 18 a b c 24. Cho y = + , x > 0. Định x để y đạt GTNN. 2 x x6 + y9 6. Chứng minh: ³ 3x2 y3 - 16 ; x,y ³ 0 x 2 4 25. Cho y = + ,x > 1 . Định x để y đạt GTNN. 2 x -1 1 7. Chứng minh: 2a4 + ³ 3a2 - 1. 3x 1 1+ a 2 26. Cho y = + , x > -1 . Định x để y đạt GTNN. 2 x +1 8. Chứng minh: a1995 > 1995 ( a - 1) ,a>0 x 5 1 27. Cho y = + ,x > . Định x để y đạt GTNN. 9. Chứng minh: a2 (1+ b2 ) + b2 (1+ c2 ) + c2 (1+ a2 ) ³ 6abc . 3 2x - 1 2 a b c 1æ 1 1 1ö x 5 10. Cho a , b > 0. Chứng minh: 2 2 + 2 2 + 2 2 £ ç + + ÷ 28. Cho y = + , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN. a +b b +c a +c 2è a b c ø 1- x x 11. Cho a , b ³ 1 , chứng minh: ab ³ a b - 1 + b a - 1. x3 + 1 29. Cho y = , x > 0 . Định x để y đạt GTNN. 12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chứng minh: xyz ³ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) x2 13. Cho a > b > c, Chứng minh: a ³ 33 ( a - b)( b - c ) c . x 2 + 4x + 4 14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: 30. Tìm GTNN của f(x) = , x > 0. x a) b + c ³ 16abc. 2 b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ³ 8abc 31. Tìm GTNN của f(x) = x2 + 3 , x > 0. æ 1 öæ 1 öæ 1ö x c) ç 1+ ÷ç 1+ ÷ç 1+ ÷ ³ 64 32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) è a øè b øè c ø 33. Cho y = x(6 – x) , 0 £ x £ 6 . Định x để y đạt GTLN. 1 15. Cho x > y > 0 . Chứng minh: x+ ³3 5 ( x - y) y 34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 £ x £ 2 . Định x để y đạt GTLN 16. Chứng minh: 5 x2 + 2 x+8 a2 + 5 35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) , - £ x £ 5 . Định x để y đạt GTLN a) ³ 2 ,"x Î R b) ³ 6 , "x > 1 c) ³4 2 x2 + 1 x -1 a2 + 1 1 5 36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , - £ x £ . Định x để y đạt GTLN ab bc ca a+b+ c 2 2 17. Chứng minh: + + £ ; a, b, c > 0 x a+ b b+ c c+ a 2 37. Cho y = 2 . Định x để y đạt GTLN x2 y2 1 x +2 18. Chứng minh: + £ , "x , y Î R 1+ 16x 4 1+ 16y 4 4 x2 38. Cho y = . Định x để y đạt GTLN a b c 3 ( x 2 + 2 )3 19. Chứng minh: + + ³ ;a,b,c>0 b+c a+c a+b 2 2 3
1 1 1 1 1 ab - a2 ab - b2 7. Chứng minh: 2a4 + 2 ³ 3a2 - 1 («) Û + - - ³ 0Û + ³0 1+ a 1+ a 2 1+ b2 1+ ab 1+ ab (1+ a2 ) (1+ ab) (1+ b2 ) (1+ ab) 1 a (b - a) b ( a - b) b-a æ a b ö («) Û a4 + a4 + a2 + 1+ 2 ³ 4a2 . Û + ³0 Û - ³0 1+ a (1+ a2 ) (1+ ab) (1+ b2 ) (1+ ab) 1+ ab ç 1+ a2 1+ b2 ÷ è ø 1 Áp dụng BĐT Côsi cho 4 số không âm: a4 , a4 , a2 + 1, b - a æ a + ab2 - b - ba2 ö ( b - a ) 2 ( ab - 1) 1+ a 2 Û ç ÷³0 Û ³ 0 , ĐPCM. 1+ ab ç (1+ a2 )(1+ b2 ) ÷ è ø (1+ ab) (1+ a2 )(1+ b2 ) 1 1 a 4 + a 4 + a 2 + 1+ 2 ³ 44 a4 a4 ( a2 + 1) 2 = 4a2 ÷ Vì : a ³ b ³ 1 Þ ab ³ 1 Û ab – 1 ³ 0. 1+ a 1+ a 6. Chứng minh: a2 + b2 + c2 + 3 ³ 2 ( a + b + c ) ; a , b , c Î R 8. Chứng minh: a1995 > 1995 ( a - 1) («) ,a>0 2 2 2 («) Û a1995 > 1995a - 1995 Û a1995 + 1995 > 1995a Û ( a - 1) + ( b - 1) + ( c - 1) ³ 0 . ĐPCM. 7. Chứng minh: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ³ a ( b + c + d + e) 1995 1995 a1995 + 1995 > a1995 + 1994 = a1995 + 1+ 1+ ... + 1 ³ 1995 14243 a = 1995a a2 a2 a2 a2 Û - ab + b2 + - ac + c2 + - ad + d2 + - ae + e2 ³ 0 1994 soá 4 4 4 4 Chứng minh: a2 (1+ b2 ) + b2 (1+ c2 ) + c2 (1+ a2 ) ³ 6abc . 2 2 2 2 9. æa ö æa ö æa ö æa ö Û ç - b ÷ + ç - c ÷ + ç - d ÷ + ç - e ÷ ³ 0 . ĐPCM ° a2 (1+ b2 ) + b2 (1+ c2 ) + c2 (1+ a2 ) = a2 + a2b2 + b2 + b2c2 + c 2 + c2a2 è2 ø è2 ø è2 ø è2 ø ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 6 số không âm: 8. Chứng minh: x2 + y 2 + z2 ³ xy + yz + zx 6 °a2 + a2b2 + b2 + b2c2 + c2 + c2a2 ³ 6 a6b6 c6 = 6abc Û 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx ³ 0 a b c 1æ 1 1 1ö 10. Cho a , b > 0. Chứng minh: 2 2 + 2 2 + 2 2 £ ç + + ÷ Û ( x - y )2 + ( x - z )2 + ( y - z )2 ³ 0 a +b b +c a +c 2è a b c ø a a 1 b b 1 c c 1 a+ b+ c ab + bc + ca ° £ = , 2 £ = , 2 £ = 9. a. Chứng minh: ³ ; a,b,c ³ 0 2 2 2ab 2b 2 2bc 2c a + c 2 2ac 2a 3 3 a +b b +c a b c 1æ 1 1 1ö ÷ a2 + b2 + c2 ³ ab + bc + ca ° Vậy: 2 + + £ ç + + ÷ 2 a + b2 b2 + c2 a2 + c2 2 è a b c ø æa+ b+ cö a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ab + bc + ca ÷ ç ÷ = ³ 11. Cho a , b ³ 1 , chứng minh: ab ³ a b - 1 + b a - 1. è 3 ø 9 3 ° a = ( a - 1) + 1 ³ 2 a - 1 , b = ( b - 1) + 1 ³ 2 b - 1 a+ b+ c ab + bc + ca Û ³ ° ab ³ 2b a - 1 , ab ³ 2a b - 1 3 3 2 a2 + b2 + c2 æ a + b + c ö ° ab ³ a b - 1 + b a - 1 b. Chứng minh: ³ç ÷ 12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. C/m: xyz ³ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) 3 è 3 ø ° x = ( x - 1) + 1 = ( x - 1) + x + y + z - 3 ÷ 3 ( a2 + b2 + c 2 ) = a2 + b2 + c2 + 2 ( a2 + b2 + c2 ) 2 = ( x - 1) + ( x - 1) + ( y - 1) + ( z - 1) ³ 44 ( x - 1) 2 ( y - 1) ( z - 1) ³ a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ca ) = ( a + b + c ) 2 2 2 a2 + b2 + c2 æ a + b + c ö Tương tự: y ³ 4 4( x - 1) ( y - 1) ( z - 1) ; z³4 4( x - 1) ( y - 1) ( z - 1) Þ ³ç ÷ 3 è 3 ø Þ xyz ³ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1). a2 13. Cho a > b > c, Chứng minh: a ³ 33 ( a - b)( b - c ) c . 10. Chứng minh: + b2 + c2 ³ ab - ac + 2bc 4 ° a = ( a - b) + ( b - c ) + c ³ 33 ( a - b)( b - c ) c 8 5
2 II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: a2 æa ö Û - a ( b - c ) + b2 + c2 - 2bc ³ 0 Û ç - ( b - c ) ÷ ³ 0 . 4 è2 ø 1. Chứng minh: (a + b)(b + c)(c + a) ³ 8abc ; a, b, c ³ 0 11. Chứng minh: a2 + b2 + 1 ³ ab + a + b ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm: Û 2a2 + 2b2 + 2 - 2ab - 2a - 2b ³ 0 Þ a + b ³ 2 ab , b + c ³ 2 bc , a + c ³ 2 ac Û a2 - 2ab + b2 + a2 + 2a + 1+ b2 + 2b + 1 ³ 0 Þ ( a + b)( b + c ) ( a + c ) ³ 8 a 2b2c2 = 8abc . 2 2 2 Û ( a - b) + ( a - 1) + ( b - 1) ³ 0 . 2. Chứng minh: (a + b + c)(a2 + b2 + c 2 ) ³ 9abc ; a,b,c ³ 0 2 2 2 12. Chứng minh: x + y + z ³ 2xy - 2xz + 2yz ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: 3 Û x2 + y2 + z2 - 2xy + 2xz - 2yz ³ 0 Û (x – y + z) ³ 0. Þ a + b + c ³ 33 abc , a2 + b2 + c2 ³ 3 a2b2c2 2 Þ ( a + b + c ) ( a2 + b2 + c 2 ) ³ 9 a3b3 c3 = 9abc . 3 13. Chứng minh: x4 + y4 + z2 + 1 ³ 2x(xy2 - x + z + 1) 3 Û x4 + y4 + z2 + 1- 2x2 y2 + 2x2 - 2xz - 2x ³ 0 3. Chứng minh: (1+ a )(1+ b)(1+ c ) ³ (1+ 3 abc ) , với a , b , c ³ 0. 2 ÷ (1+ a )(1+ b)(1+ c ) = 1+ a + b + c + ab + ac + bc + abc. Û ( x2 - y2 ) + ( x - z ) + ( x - 1) ³ 0 . 2 2 3 1 ÷ a + b + c ³ 33 abc , ab + ac + bc ³ 3 a2b2c 2 3 3 14. Chứng minh: Nếu a + b ³ 1 thì: a + b ³ 3 ÷ (1+ a )(1+ b)(1+ c ) ³ 1+ 33 abc + 3 a2b2c2 + abc = (1+ 3 abc ) 3 4 3 3 2 3 ° a + b ³ 1 Þ b ³ 1 – a Þ b = (1 – a) = 1 – a + a – a m m æ aö æ bö 2 Cho a, b > 0. Chứng minh: ç 1+ ÷ + ç 1+ ÷ ³ 2m + 1 , với m Î Z + æ 1ö 1 1 4. Þ a + b = 3ç a - ÷ + ³ . 3 3 è bø è aø è 2ø 4 4 m m m m m 15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: æ aö æ bö æ aö æ bö æ b aö 1+ ÷ + ç 1+ ÷ ³ 2 ç 1+ ÷ . ç 1 + ÷ = 2 ç2+ + ÷ 2 2 2 a. ab + bc + ca £ a + b + c < 2(ab + bc + ca). ÷ ç è bø è aø è bø è aø è a bø 2 2 2 2 2 2 ÷ ab + bc + ca £ a + b + c Û (a – b) + (a – c) + (b – c) ³ 2 4m = 2m + 1 ÷ a > b-c , b > a-c , c > a-b bc ca ab Þ a2 > b2 - 2bc + c2 , b2 > a2 - 2ac + c2 , c2 > a2 - 2ab + b2 5. Chứng minh: + + ³ a + b + c ; a, b, c > 0 2 2 2 a b c Þ a + b + c < 2(ab + bc + ca). ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm: b. abc ³ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) 2 bc ca abc2 bc ba b2ac ÷ a2 > a2 - ( b - c ) Þ a2 > ( a + c - b)( a + b - c ) + ³2 = 2c , + ³2 = 2b , a b ab a c ac 2 ÷ b2 > b2 - ( a - c ) Þ b2 > ( b + c - a ) ( a + b - c ) ca ab a2bc ÷ 2 2 2 2 c > c - ( a - b) Þ c > ( b + c - a ) ( a + c - b) + ³2 = 2a b c bc 2 2 2 Þ a2b2c2 > ( a + b - c ) ( a + c - b) ( b + c - a ) bc ca ab Þ + + ³ a+b+c . Û abc > ( a + b - c )( a + c - b)( b + c - a ) a b c 2 2 2 2 2 2 4 4 4 c. 2a b + 2b c + 2c a – a – b – c > 0 x6 + y9 2 2 2 2 2 4 4 Û 4a b + 2c (b + a ) – a – b – 2a b – c > 0 2 2 4 6. Chứng minh: ³ 3x2 y3 - 16 ; x,y ³ 0 («) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 Û 4a b + 2c (b + a ) – (a + b ) – c > 0 3 3 («) Û x6 + y9 + 64 ³ 12x2 y3 Û ( x2 ) + ( y3 ) + 43 ³ 12x2 y3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Û (2ab) – [(a + b ) – c ] > 0 Û [c – (a – b) ][(a + b) – c ] > 0 Û (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > 0 . đúng Áp dụng BĐT Côsi cho ba số không âm: ° Vì a , b , c là ba cạnh của tam giác Þ c – a + b > 0 , c + a – b > 0 , a + b – c > 0 , a + b + c > 0. ( x2 )3 + ( y3 )3 + 43 ³ 3x2y3 4 = 12x2y3 . 6 7
x -1 2 2 éx = 3 14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: ° Dấu “ = ” xảy ra Û = Û ( x - 1) = 4 Û ê x = -1(loaïi) a) b + c ³ 16abc. 2 x -1 ë 2 2 2 5 æb+ cö æb+ cö æ 1- a ö 2 Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTNN bằng ° ç ÷ ³ bc Û 16abc £ 16a ç ÷ = 16a ç ÷ = 4a (1- a ) 2 è 2 ø è 2 ø è 2 ø ° 4a (1- a ) = (1- a ) ( 4a - 4a2 ) = (1- a ) é1- (1- 2a ) ù £ 1- a = b + c 2 2 3x 1 ë û 26. Cho y = + , x > -1 . Định x để y đạt GTNN. 2 x +1 b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ³ 8abc 3(x + 1) 1 3 ° (1 – a)(1 – b)(1 – c) = (b + c)(a + c)(a + b) ³ 2 bc.2 ac.2 ab = 8abc ÷ y= + - 2 x+1 2 æ 1 öæ 1 öæ 1ö 3 ( x + 1) 1 c) ç 1+ ÷ç 1+ ÷ç 1+ ÷ ³ 64 ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm , : è a øè b øè c ø 2 x+1 1 ö æ a + a + b + c ö 4 a2bc 4 æ 3 ( x + 1) 1 3 3 ( x + 1) 1 3 3 ° ç 1+ ÷ = ç ÷³ y= + - ³2 . - = 6- è aø è a ø a 2 x +1 2 2 x+1 2 2 4 4 1 4 ab2c 1 4 abc2 ° Dấu “ = ” xảy ra Û ° 1+ ³ ° 1+ ³ b b c c é 6 êx = -1 æ 1 öæ 1 öæ 1ö 3 ( x + 1) 1 2 2 3 ÷ ç 1+ ÷ç 1+ ÷ç 1+ ÷ ³ 64 Û = Û ( x + 1) = Û ê è a øè b øè c ø 2 x +1 3 ê 6 êx = - - 1(loaïi ) 1 ë 3 15. Cho x > y > 0 . Chứng minh: x+ ³3 ( x - y) y 6 3 Vậy: Khi x = - 1 thì y đạt GTNN bằng 6 - 1 ( x - y) y 3 2 ÷ VT = ( x - y ) + y + ³ 33 =3 ( x - y) y ( x - y) y x 5 1 27. Cho y = + ,x > . Định x để y đạt GTNN. 16. Chứng minh: 3 2x - 1 2 x2 + 2 2x - 1 5 1 a) ³ 2 Û x 2 + 2 ³ 2 x 2 + 1 Û x 2 + 1+ 1 ³ 2 x 2 + 1 ÷ y= + + 2 6 2x - 1 3 x +1 2x - 1 5 x+8 x - 1+ 9 9 9 ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm , : b) = = x - 1+ ³2 x -1 =6 6 2x - 1 x -1 x -1 x -1 x -1 2x - 1 5 1 2x - 1 5 1 30 + 1 a2 + 5 y= + + ³2 . + = c. ( a2 + 1) + 4 ³ 2 4 ( a2 + 1) = 4 a2 + 1 Û ³4 6 2x - 1 3 6 2x - 1 3 3 a2 + 1 Dấu “ = ” xảy ra ab bc ca a+b+ c é 30 + 1 17. Chứng minh: + + £ ; a, b, c > 0 êx = a+ b b+ c c+ a 2 2x - 1 5 2 2 Û = Û ( 2x - 1) = 30 Û ê ° Vì : a + b ³ 2 ab 6 2x - 1 ê - 30 + 1 êx = (loaïi ) ab ab ab bc bc bc ac ac ac ë 2 Þ £ = , £ = , £ = a + b 2 ab 2 b + c 2 bc 2 a + c 2 ac 2 30 + 1 30 + 1 Vậy: Khi x = thì y đạt GTNN bằng ° a + b + c ³ ab + bc + ca , dựa vào: a2 + b2 + c2 ³ ab + bc + ca . 2 3 x 5 ab bc ca ab + bc + ac a + b + c 28. Cho y = + , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN. ° + + £ £ 1- x x a+ b b+ c c+ a 2 2 12 9
x2 y2 1 21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: 18. Chứng minh: + £ , "x , y Î R a. a + b + c + d ³ 44 abcd với a , b , c , d ³ 0 (Côsi 4 số) 1+ 16x4 1+ 16y4 4 ÷ a + b ³ 2 ab , c + d ³ 2 cd x2 x2 x2 1 ° 1+ 16x4 = 1+ ( 4x ) 2 £ 2.4x2 = 8 ÷ a + b + cd ³ 2 ( ab + cd ) ³ 2 2 ( ) ab. cd ³ 44 abcd y2 y2 y2 1 b. a + b + c ³ 33 abc với a , b , c ³ 0 , (Côsi 3 số ) ° 4 = 2 £ 2 = 1+ 16y 1+ ( 4y ) 2.4y 8 a+b+ c a+b+ c ÷ a+b+ c+ ³ 4.4 abc 3 3 x2 y2 1 ÷ 4 + 4 £ a+ b+ c 4 a+b+ c æa+ b+ cö 4 a+b+ c 1+ 16x 1+ 16y 4 Û ³ abc Û ç ÷ ³ abc 3 3 è 3 ø 3 a b c 3 19. Chứng minh: + + ³ ;a,b,c>0 æa+ b+ cö 3 b+c a+c a+b 2 Û ç 3 ÷ ³ abc Û a + b + c ³ 3 abc . Đặt X = b + c , Y = c + a , Z = a + b. è 3 ø 1 22. Chứng minh: a3 + b3 + c3 ³ a2 bc + b2 ac + c2 ab ; a , b , c > 0 ° a + b + c = (X + Y + Z) 2 ° a3 + abc ³ 2a2 bc , b3 + abc ³ 2b2 ac , c3 + abc ³ 2c2 ab Y+Z-X Z+X-Y X+Y-Z ° a= ,b= ,c= ° a3 + b3 + c3 + 3abc ³ 2 ( a2 bc + b2 ac + c2 ab ) 2 2 2 a b c 1 éæ Y X ö æ Z X ö æ Z Y ö ù Þ 2 ( a3 + b3 + c3 ) ³ 2 ( a2 bc + b2 ac + c 2 ab ) , ° + + = ç + ÷ + ç + ÷ + ç + ÷ - 3ú b + c a + c a + b 2 êè X Y ø è X Z ø è Y Z ø ë û vì : a3 + b3 + c3 ³ 3abc 1 3 Vậy: a3 + b3 + c3 ³ a2 bc + b2 ac + c2 ab ³ [ 2 + 2 + 2 - 3] = . 2 2 23. Chứng minh: 2 a + 33 b + 44 c ³ 99 abc Cách khác: ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 9 số không âm: a b c æ a ö æ b ö æ c ö ° + + =ç + 1÷ + ç + 1÷ + ç + 1÷ - 3 ° VT = a + a + 3 b + 3 b + 3 b + 4 c + 4 c + 4 c + 4 c ³ 99 abc b+ c a+ c a+ b èb+ c ø èa+ c ø èa+b ø x 18 1 æ 1 1 1 ö 24. Cho y = + , x > 0. Định x để y đạt GTNN. = [( a + b) + ( b + c ) + ( c + a ) ] ç + + ÷-3 2 x 2 è b+ c a + c a + bø x 18 x 18 ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm: y= + ³2 . =6 1 2 x 2 x ° [( a + b) + ( b + c ) + ( c + a ) ] æ 1 + 1 + 1 ö ³ 9 - 3 = 3 ç ÷ x 18 2 è b+ c a + c a + bø 2 2 ° Dấu “ = ” xảy ra Û = Û x2 = 36 Û x = ± 6 , chọn x = 6. 20. Cho a , b , c > 0. C/m: 2 x 1 1 1 1 Vậy: Khi x = 6 thì y đạt GTNN bằng 6 3 3 + 3 3 + 3 3 £ x 2 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc 25. Cho y = + ,x > 1 . Định x để y đạt GTNN. 2 x -1 ° a3 + b3 = ( a + b) ( a2 - ab + a2 ) ³ ( a + b) ab x -1 2 1 Þ a3 + b3 + abc ³ ( a + b) ab + abc = ab ( a + b + c ) , tương tự ÷ y= + + 2 x -1 2 ° b3 + c3 + abc ³ ( b + c ) bc + abc = bc ( a + b + c ) x -1 2 ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm , : ° c3 + a3 + abc ³ ( c + a ) ca + abc = ca ( a + b + c ) 2 x-1 1 1 1 1 æa+b+cö x -1 2 1 x -1 2 1 5 ÷ VT £ + + = ç ÷ y= + + ³2 . + = ab ( a + b + c ) bc ( a + b + c ) ca ( a + b + c ) a + b + c è abc ø 2 x -1 2 2 x -1 2 2 10 11
° 2 3 æ 4 9ö 735 x 5 (1- x ) + 5x x x -1 x 1- x 3a- 5 b £ ç + ÷ ( 3a2 + 5b2 ) Û 3a + 5b ³ f(x) = +5 +5³ 2 5 +5= 2 5+5 2 2 ° . + = 3 5 è3 5ø 47 1- x x 1- x x 1- x x 2 2 2 2464 x 1- x æ x ö 5- 5 5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a + 11b ³ . Dấu “ = ‘ xảy ra Û =5 Ûç ÷ =5Ûx= (0 < x < 1) 137 1- x x è 1- x ø 4 3 5 5- 5 ÷ 3a - 5b = 7a- 11b ° Vậy: GTNN của y là 2 5 + 5 khi x = 7 11 4 3 5 x3 + 1 ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số , 7a , - , 11b : 29. Cho y = , x > 0 . Định x để y đạt GTNN. 7 11 x2 3 5 æ 9 25 ö ( 2 2464 x3 + 1 x x 11 xx 1 3 7a- 11b £ ç + ÷ 7a + 11 ) Û 7a + 11b ³ b2 2 2 ° . ° = x+ + + 2 ³ 33 = =3 7 11 è 7 11 ø 137 x 2 x 2 2 x2 22x 2 4 4 4 6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a + b ³ 2. x x 1 ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski: ° Dấu “ = ‘ xảy ra Û = = 2 Û x = 3 2 . 2 2 x 2 = a + b £ (1+ 1) ( a2 + b2 ) 2 2 ° Û a +b ³2 3 ° Vậy: GTNN của y là 3 khi x = 3 2 2 £ ( a2 + b2 ) £ (1+ 1) ( a4 + b4 ) 4 4 4 ° Û a +b ³2 1 x 2 + 4x + 4 7. Cho a + b ³ 1 Chứng minh: a2 + b2 ³ 30. Tìm GTNN của f(x) = , x > 0. 2 x (12 + 12 ) ( a2 + b2 ) Û a2 + b2 ³ 1 x2 + 4x + 4 4 4 ° 1£ a + b £ ° = x + + 4 ³ 2 x. + 4 = 8 2 x x x 4 ° Dấu “ = ‘ xảy ra Û x = Û x = 2 (x > 0). x ° Vậy: GTNN của y là 8 khi x = 2. 2 31. Tìm GTNN của f(x) = x2 + 3 , x > 0. x 3 2 x2 x2 x2 1 1 æ x2 ö æ 1 ö 2 5 ° x2 + 3 = + + + 3 + 3 ³ 55 ç ÷ ç 3 ÷ = 5 x 3 3 3 x x è 3 ø èx ø 27 2 x 1 ° Dấu “ = ‘ xảy ra Û = 3 Û x = 5 3 Û x = 2 (x > 0). 3 x 5 ° Vậy: GTNN của y là 5 khi x = 5 3 . 27 32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) 2 æ 11x ö æ 11 ö 1 1 f(x) = –10x + 11x – 3 = -10 ç x2 - ÷ - 3 = -10 ç x - 2 ° ÷ + £ è 10 ø è 20 ø 40 40 11 ° Dấu “ = “ xảy ra Û x = 20 13 16
11 1 ° Vậy: Khi x = 1 thì y đạt GTLN bằng 9. ° Vậy: Khi x = thì y đạt GTLN bằng . 20 40 x 37. Cho y = 2 . Định x để y đạt GTLN 33. Cho y = x(6 – x) , 0 £ x £ 6 . Định x để y đạt GTLN. x +2 ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm x và 6 – x (vì 0 £ x £ 6): 1 x 1 ° 2 + x 2 ³ 2 2x2 = 2x 2 Û ³ Þ y£ ° 6 = x + ( 6 - x ) ³ 2 x ( 6 - x ) Þ x(6 – x) £ 9 2 2 2+ x 2 2 2 ° Dấu “ = “ xảy ra Û x = 6 – x Û x = 3 ° Dấu “ = “ xảy ra Û x 2 = 2 và x > 0 Þ x= 2 ° Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTLN bằng 9. 1 5 ° Vậy: Khi x = 2 thì y đạt GTLN bằng . 34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 £ x £ . Định x để y đạt GTLN. 2 2 2 1 x2 ÷ y = (x + 3)(5 – 2x) = (2x + 6)(5 – 2x) 38. Cho y = . Định x để y đạt GTLN 2 ( x 2 + 2 )3 æ 5ö ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 6 và 5 – 2x , ç -3 £ x £ ÷ : 3 x2 1 x 2 + 2 = x2 + 1+ 1 ³ 3 x2 .1.1 Û ( x2 + 2) ³ 27x2 Þ 3 è 2ø ° 3 £ ( x 2 + 2) 27 1 121 ° 11 = ( 2x + 6) + ( 5 - 2x ) ³ 2 ( 2x + 6)( 5 - 2x ) Þ (2x + 6)(5 – 2x) £ 2 8 ° Dấu “ = “ xảy ra Û x 2 = 1 Û x = ± 1 1 1 ° Dấu “ = “ xảy ra Û 2x + 6 = 5 – 2x Û x = - ° Vậy: Khi x = ± 1 thì y đạt GTLN bằng . 4 27 1 121 ° Vậy: Khi x = - thì y đạt GTLN bằng . III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 4 8 5 35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) , - £ x £ 5 . Định x để y đạt GTLN. 1. 2 2 2 2 2 Chứng minh: (ab + cd) £ (a + c )(b + d ) («) BĐT Bunhiacopxki 2 1 («) Û a2b2 + 2abcd + c 2d2 £ a2b2 + a2d2 + c 2b2 + c2d2 ÷ y = (2x + 5)(5 – x) = (2x + 5)(10 – 2x) 2 2 Û a2d2 + c2b2 - 2abcd ³ 0 Û ( ad - cb) ³ 0 . æ 5 ö 2. Chứng minh: sinx + cos x £ 2 ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 5 , 10 – 2x , ç - £ x £ 5 ÷ : è 2 ø ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx : 1 625 (12 + 12 ) ( sin2 x + cos2 x ) = ° ( 2x + 5) + (10 - 2x ) ³ 2 ( 2x + 5)(10 - 2x ) Þ (2x + 5)(10 – 2x) £ ° sinx + cos x = 1. sinx + 1. cos x £ 2 2 8 2 2 3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a + 4b ³ 7. 5 ° Dấu “ = “ xảy ra Û 2x + 5 = 10 – 2x Û x = ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 3 , 3 a , 4 , 4 b : 4 5 625 3a + 4b = 3. 3a + 4. 4b £ ( 3 + 4) ( 3a2 + 4b2 ) Û 3a + 4b ³ 7. 2 2 ° Vậy: Khi x = thì y đạt GTLN bằng ° 4 8 2 2 725 1 5 4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a + 5b ³ . 36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , - £ x £ . Định x để y đạt GTLN 47 2 2 2 3 ÷ y = 3(2x + 1)(5 – 2x) ÷ 2a - 3b = 3a- 5b 3 5 æ 1 5ö ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 1 , 5 – 2x , ç - £ x £ ÷ : 2 3 è 2 2ø ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số , 3a , - , 5b: 3 5 ° ( 2x + 1) + ( 5 - 2x ) ³ 2 ( 2x + 1)( 5 - 2x ) Þ (2x + 1)(5 – 2x) £ 9 ° Dấu “ = “ xảy ra Û 2x + 1 = 5 – 2x Û x = 1 14 15
a2 + b2 + c2 PHẦN II. ĐỀ THI ĐẠI HỌC x+ y+ z£ (a, b, c là các cạnh của DABC, R là 2R 1. (CĐGT II 2003 dự bị) bán kính đường tròn ngoại tiếp). Dấu “=” xảy ra khi nào? 36. (Đại học 2002 dự bị 3) Cho 3 số bất kì x, y, z. CMR: x2 + xy + y2 + x2 + xz+z2 ³ y2 + yz+z2 5 2. (CĐBC Hoa Sen khối A 2006) Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = . Tìm 3 3 3 4 Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng: x + y + z ³ x + y + z. 4 1 3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S= + Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z £ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu x 4y 37. (Đại học 2002 dự bị 5) 1 1 1 thức: A=x+y+z+ + + Giả sử a, b, c, d là 4 số nguyên thay đổi thoả mãn 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50. x y z a c b2 + b + 50 4. (CĐSPHCM khối ABTDM 2006) Chứng minh bất đẳng thức: + ³ và tìm giá trị nhỏ nhất 5 b d 50b Cho x, y là hai số thực dương và thoả x + y = . Tìm giá trị nhỏ nhất của a c 4 của biểu thức: S = + . 4 1 b d biểu thức: A = + . 38. (Đại học 2002 dự bị 6) x 4y 3 5. (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) Cho tam giác ABC có diện tích bằng . Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh bất đẳng thức: 2 cạnh BC, CA, AB và ha, hb, hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ a b c d + + + 0 thì (x + 1) ç x2 + x + 1÷ ³ 16. 2 è øè a b c ø è ø 39. (Đại học khối A 2003) Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z £ 1. Chứng minh rằng: 7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006) a+ b+ c a+b+ c a+b+ c 1 1 1 Cho 3 số dương a, b, c. Ch. minh rằng: + + ³9 x2 + + y2 + + z2 + ³ 82 a b c x2 y2 z2 8. (CĐKTYTế1 2006) 40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1) 2 Cho các số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y £ 0; x + x = y + 12. 3 cosx 5 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = sin x + Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + x + 2y + 17 41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2) 9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng: Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz. ì 4p(p - a) £ bc (1 ) 10. (Học viện BCVT 2001) ï Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 1 í A B C 2 3-3 ïsin sin sin = (2) 1 1 1 æ a b c ö î 2 2 2 8 thì: a + b + c ³ 3ç a + b + c ÷ 3 3 3 è3 3 3 ø a+b+ c trong đó BC = a, CA = b, AB = c, p = . 11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2) 2 2 2 2 Cho ba số dương a, b, c thoả a + b + c = 1. Chứng minh: 42. (Đại học khối A 2005) a b c 3 3 1 1 1 + 2 + 2 ³ Cho x, y, z là các số dương thoả mãn : + + = 4 . 2 b +c 2 c +a 2 a +b 2 2 x y z 12. (ĐH Kiến trúc HN 2001) 20 17
2 2 2 2 ìa2 + b2 + c2 = 2 a) a + b + c ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca) ≥ 3abc(a + b + c) ï Cho các số a, b, c thoả: í 24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000) ïab + bc + ca = 1 î Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 4 4 4 4 4 4 bc ca ab Chứng minh: - £ a £ ; - £ b £ ; - £ c £ biểu thức: P = 2 + 2 + 2 3 3 3 3 3 3 a b + a c b c + b a c a + c 2b 2 2 13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001) 25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000) Cho DABC có 3 cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng: Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta đều có: ( ) 1 1 1 æ 1 1 1ö 3 + + ³ 2ç + + ÷ (a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥ 1+ 3 abc p-a p-b p-c èa b cø 26. (ĐH Y HN 2000) 14. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Cho 3 số x, y, z > 0. Chứng minh rằng: 2 3 Giả sử x, y là hai số dương thoả điều kiện + = 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất 2 x 2 y 2 z 1 1 1 x y 3 2 + 3 2 + 3 2 £ 2+ 2+ 2 của tổng x + y. x +y y +z z +x x y z 27. (ĐH An Giang khối D 2000) 15. (ĐH PCCC khối A 2001) Cho các số a, b, c ≥ 0. Chứng minh: a c+1 +b c+1 ≥ ab(a c–1 +b ) c–1 Ch. minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì: logb+ c a + logc + a b + loga+ b c > 1 28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000) 16. (ĐH Quốc gia HN khối D 2001) 18xyz CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx > Ch. minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi a > 1 ta luôn có: xa + a – 1 ≥ ax. 2 + xyz Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì: 29. (ĐH An Ninh khối A 2000) a3 b3 c3 n+1 n a b c Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 3 ta đều có: n > (n + 1) 3 + 3 + 3 ³ + + 30. (CĐSP Nha Trang 2000) b c a b c a Cho 2 số thực a, b thoả điều kiện: a, b ≥ –1 và a + b = 1. Tìm giá trị lớn 17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) nhất của biểu thức: A = a + 1 + b + 1 Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh rằng: a b - 1 + b a - 1 £ ab (*) 31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) 18. (ĐH Vinh khối A, B 2001) Chứng minh BĐT sau đây luôn luôn đúng với mọi số thực x, y, z bất kì Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi 2 2 2 1 1 1 9 bằng 3 thì: 3a + 3b + 3c + 4abc ≥ 13 khác không: 2 + 2 + 2 ³ 2 19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001) x y z x + y 2 + z2 2 2 2 BĐT cuối cùng luôn đúng Þ BĐT cần chứng minh đúng. Cho a, b, c là những số dương và a + b = c. Ch. minh rằng: a 3 + b3 > c 3 32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999) 20. (ĐHQG HN khối A 2000) a2 b2 c2 a b c Với a, b, c là 3 số thực bất kì thoả điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh Cho 3 số a, b, c khác 0. Chứng minh: 2 + 2 + 2 ³ + + a b c a b c b c a b c a rằng: 8 +8 +8 ≥2 +2 +2 21. (ĐHQG HN khối D 2000) 33. (ĐH Hàng hải 1999) Với a, b, c là 3 số thực dương thoả điều kiện: ab + bc + ca = abc. Chứng Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z ≤ 3. Chứng minh rằng: x y z 3 1 1 1 b2 + 2a2 c2 + 2b2 a2 + 2c2 + + £ £ + + minh rằng: + + ³ 3 1+ x 2 1+ y 2 1+ z 2 2 1+ x 1+ y 1+ z ab bc ca 22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000) 34. (ĐH An ninh HN khối D 1999) 3 Cho 3 số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1]. Chứng minh rằng: a3 + b3 æ a + b ö 3 3 3 2 2 2 2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) ≤ 3 (*) Cho 2 số a, b thoả điều kiện a + b ≥ 0. Ch. minh rằng: ³ç ÷ 2 è 2 ø 35. (Đại học 2002 dự bị 1) 23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000) Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của DABC có 3 góc Cho 3 số a, b, c bất kì. Chứng minh các BĐT: nhọn đến các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: 18 19
b d b d 1 1 1 + < + =1 Chứng minh rằng: + + £1 b+ c+ d d+ a+b b+ d b+ d 2x+y+z x + 2y + z x + y + 2z Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được đpcm. 43. (Đại học khối B 2005) 6. (CĐKT Cao Thắng khối A 2006) Chứng minh rằng với mọi x Î R, ta có: 2 æ 1 2 ö æ1 ö x x x 2ç + + 1÷ ³ 16 (1) Û (x + 1)2 ç + 1÷ ³ 16 Ta có: (x + 1) è x2 x ø æ 12 ö æ 15 ö æ 20 ö x x x èx ø ç ÷ +ç ÷ +ç ÷ ³3 +4 +5 è 5 ø è 4 ø è 3 ø æ1 ö Khi nào đẳng thức xảy ra? Û (x + 1) ç + 1÷ ³ 4 (do x > 0) Û (x + 1) ³ 4x Û (x – 1) ³ 0 (2) 2 2 èx ø 44. (Đại học khối D 2005) (2) luôn đúng nên (1) được chứng minh. Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: 7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006) 1+ x 3 + y 3 1 + y 3 + z3 1 + z3 + x 3 b c a c a b + + ³3 3 Xét vế trái của BĐT đã cho: VT = 1+ + + + 1+ + + + 1 xy yz zx a a b b c c Khi nào đẳng thức xảy ra? æ b a ö æ c a ö æ c bö 45. (Đại học khối A 2005 dự bị 1) = 3 + ç + ÷+ç + ÷+ç + ÷ èa bø èa cø èb cø Cho 3 số x, y, z thoả x + y + z = 0. CMR: 3 + 4x + 3 + 4y + 3 + 4z ³ 6 Do a, b, c > 0 nên theo BĐT Côsi ta có: 46. (Đại học khối A 2005 dự bị 2) b a b a b c b c c a c a 2 + ³ 2 . = 2; + ³ 2 . = 2; + ³2 . =2 æ y öæ 9 ö a b a b c b c b a c a c Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có: (1+ x ) ç 1+ ÷ ç 1+ ÷ ³ 256 è x øç è y÷ ø Khi đó: VT ³ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 (đpcm). 8. (CĐKTYTế1 2006) Đẳng thức xảy ra khi nào? 2 2 y £ 0, x + x = y + 12 Þ x + x – 12 £ 0 Þ – 4 £ x £ 3 47. (Đại học khối B 2005 dự bị 1) 2 3 2 y = x + x – 12 Þ A = x + 3x – 9x – 7 3 Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = . Chứng minh rằng: 3 2 Đặt f(x) = A = x + 3x – 9x – 7 với – 4 £ x £ 3 4 3 a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a £ 3 2 f¢(x) = 3x + 6x – 9 ; f¢(x) = 0 Û x = 1 hoặc x = – 3 f(–4) = 13, f(–3) = 20, f(1) = –12, f(3) = 20 Khi nào đẳng thức xảy ra? Vậy maxA = 20 (x = 3, y = 0), minA = –12 (x = 1, y = –10). 48. (Đại học khối B 2005 dự bị 2) 9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) 1 Chứng minh rằng nếu 0 £ y £ x £ 1 thì x y - y x £ . Ta có: x + y + z ³ 3 3 xyz Û xyz ³ 3 3 xyz Û (xyz) ³ 27 Û xyz ³ 3 3 2 4 Dấu "=" xảy ra Û x = y = z = 3. Đẳng thức xảy ra khi nào? 49. (Đại học khối D 2005 dự bị 2) Vậy minA = 3 3 . 10. (Học viện BCVT 2001) x2 y2 z2 3 Cho x, y, z là 3 số dương và xyz = 1. CMR: + + ³ 1 1 + y 1+ z 1 + x 2 Ta có hàm số f(x) = x là hàm nghịch biến nên: 50. (Đại học khối A 2006) 3 Cho 2 số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thay đổi và thoả mãn điều kiện: æ 1 1ö 2 2 (x + y)xy = x + y – xy. (a – b) ç a - b ÷ ≤ 0, "a, b. è3 3 ø 1 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 3 + 3 . a b b a x y Þ a + b £ a + b , "a, b. (1) 3 3 3 3 51. (Đại học khối B 2006) b c b c Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Tương tự: b + c £ c + b (2) 3 3 3 3 A= ( x - 1)2 + y2 + ( x + 1)2 + y2 + y - 2 24 21
LỜI GIẢI 3 3(t 2 - 1) æ 1ù f¢(t) = 3 – 2 = 2 < 0, "t Î ç 0; ú t t è 3û Bảng biến thiên: 1. (CĐGT II 2003 dự bị) 1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét các điểm: 3 æ y 3 ö æ 3 3 ö æy z ö Açx + ; z ÷ , B ç 0; y+ z ÷ , C ç - ;0 ÷ ç 2 2 ø ÷ ç 2 2 ø÷ è2 2 ø è è 2 æ yö 2 æ 3 ö 1 Ta có: AB = x+ ÷ +ç y = x2 + xy + y2 Từ bảng biến thiên ta suy ra: A ³ 10. Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = ç è 2ø ç 2 ÷ ÷ 3 è ø 1 2 2 Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z = . æ zö æ 3 ö 3 AC = çx + ÷ + ç z = x 2 + xz + z2 è 2ø ç 2 ÷ ÷ · Cách 2: è ø 1 2 2 Theo BĐT Côsi: 1 ³ x + y + z ³ 3 3 xyz > 0 Û ³3 æy zö æ 3 ö 3 xyz BC = ç - ÷ + ç (y + z) ÷ = y2 + yz+z2 è 2 2ø ç 2 ÷ 1 2 1 2 1 2 è ø x+ ³ , y+ ³ , z+ ³ Với 3 điểm A, B, C ta luôn có: AB + AC ≥ BC 9x 3 9y 3 9z 3 Þ x2 + xy + y2 + x2 + xz+z2 ³ y2 + yz+z2 æ 1ö æ 1ö æ 1 ö 8 æ 1 1 1ö 8 3 Từ đó: A= ç x + + çy + ÷+ z+ + ç + + ÷³ 2 + ³ 10 2. (CĐBC Hoa Sen khối A 2006) è 9x ÷ è ø 9y ø çè 9z ÷ 9 è x y z ø ø 9 3 xyz x + y + z ³ 3 3 x3 y3z3 Þ 2(x + y + z ) ³ 6 3 3 3 3 3 3 1 1 Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = .Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z = 3 3 3 x + 1 + 1 ³ 3 x3 Þ x + 2 ³ 3x (1) 3 3 4. (CĐSPHCM khối ABT 2006) 3 3 5 Tương tự: y + 1 + 1 ³ 3 y 3 3 Þ y + 2 ³ 3y(2) Ta có: x + y = Û 4x + 4y – 5 = 0 3 3 4 z + 1 + 1 ³ 3 z Þ z + 2 ³ 3z 3 3 (3) Cộng (1), (2), (3) vế theo vế suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. 4 1 4 1 4 1 A= + = + 4x+ + 4y - 5 Þ A ³ 2 .4x + 2 .4y – 5 3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) x 4y x 4y x 4y · Cách 1: ÞA³5 Theo BĐT Côsi: 1 ³ x + y + z ³ 3 3 xyz > 0 ì4 ï x = 4x 1 1 1 3 ï + + ³ x y z 3 xyz ï 1 = 4y ìx = 1 ï ï Dấu "=" xảy ra Û í 4y Û í 1. Vậy Amin = 5. 3 Từ đó: A ³ 3 3 xyz + ï 5 ïy = 4 î 3 xyz ïx + y = ï 4 3 1 ï x,y > 0 Đặt: t = xyz , điều kiện: 0 < t £ î 3 5. (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) 3 1 Vì a, b, c, d > 0 nên ta luôn có: Xét hàm số f(t) = 3t + với 0 < t £ t 3 a c a c + < + =1 a+ b+ c c+ d+ a a+ c a+ c 22 23
é 3 3 3ù c a a c 1 êæ a ö 2 æ b ö 2 æ c ö 2 ú 3 + £ + (3) ç ÷ +ç ÷ +ç ÷ ú ³ 3c 3a 3c 3a 2 êè b ø ècø èaø 2 ê ë ú û a b c a b c Mặt khác: a + b + c = (4) a + b + Cộng 4 BĐT trên, vế theo vế, ta có: 3 3 3 3 3 3c é 3 3 3ù Cộng (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được: 3 êæ a ö 2 æ b ö 2 æ c ö 2 ú 3 3 é a b c ù 3 æ a b c ö æ 1 1 1ö ç ÷ +ç ÷ +ç ÷ ú+ ³ ê + + ú+ 3 ç a + b + c ÷ £ (a + b + c) ç a + b + c ÷ 2 êè b ø ècø èaø 2 2 ëb c aû 2 è3 3 3 ø è3 3 3 ø ê ë ú û 3 3 3 æ a b c ö 1 1 1 Hay 3ç a + b + c ÷ £ a + b + c (vì a + b + c = 1) æ a ö2 æ b ö2 æ c ö2 a b c è3 3 3 ø 3 3 3 Suy ra: ç ÷ + ç ÷ + ç ÷ ³ + + èbø ècø èaø b c a 1 17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) Dấu “=” xảy ra Û a = b = c = . 3 a b-1 b a -1 1æ 1ö 1æ 1ö 11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2) BĐT (*) Û + £1Û 1- + 1- £1 (1) ab ab bç b÷ è ø aç a÷ è ø 2 2 2 a a a2 Do a + b + c = 1 nên = = (1) 1 æ 1ö + ç 1- ÷ b2 + c2 1- a 2 a(1- a2 ) 1æ 1ö b è b ø 1 3 3 Theo BĐT Côsi ta có: 1- £ = æ 2a2 + (1- a2 ) + (1- a2 ) ö æ 2ö bç b÷ è ø 2 2 2 Mà 2a .(1 – a ) ≤ ç 2 2 ÷ =ç ÷ ç 3 ÷ è3ø 1 æ 1ö è ø + ç 1- ÷ 4 2 1æ 1ö a è a ø 1 2 2 2 Þ a .(1 – a ) ≤ 2 Þ a(1 – a ) ≤ (2) 1- £ = aç a÷ è ø 2 2 27 3 3 Cộng 2 BĐT lại ta được BĐT cần chứng minh. a 3 3 2 Từ (1), (2) suy ra: ³ a ì1 1 1 b +c2 2 2 ï b = 1- b = 2 ï Dấu “=” xảy ra Û í Û a = b = 2. a b c 3 3 2 3 3 Do đó: + + ³ (a + b2 + c2 ) = ï 1 = 1- 1 = 1 b2 + c 2 c2 + a2 a2 + b2 2 2 ïa î a 2 2 2 ì 2a = 1- a 18. (ĐH Vinh khối A, B 2001) ï ï 1 Ta có: 3 – 2a = a + b + c – 2a = b + c – a > 0. Dấu “=” xảy ra Û í 2b2 = 1- b2 Û a = b = c = . Do đó theo BĐT Côsi ta có: ï 2 2 3 3 ï 2c = 1- c î æ 3 - 2a + 3 - 2b + 3 - 2c ö (3 – 2a)(3 – 2b)(3 – 2c) ≤ ç ÷ =1 12. (ĐH Kiến trúc HN 2001) è 3 ø Þ 27 – 9(2a + 2b + 2c) + 3(4ab + 4bc + 4ca) – 8abc ≤ 1 ìa2 + b2 + c2 = 2 ï ì(a + b)2 - 2ab = 2 - c 2 ï Ta có: í Û í Û 27 – 54 + 12(ab + bc + ca) – 8abc ≤ 1 ïab + bc + ca = 1 î ïc(a + b) + ab = 1 î Û 4abc ≥ 6(ab + bc + ca) – 14 2 2 2 2 2 2 ìa + b = S 2 Û 3(a + b + c ) + 4abc ≥ 3(a + b + c ) + 6(ab + bc + ca) – 14 Ta xem đây là hệ phương trình của a, b và đặt í (S – 4P ≥ 0) 2 = 3(a + b +c) – 14 = 13 îab = P Đẳng thức xảy ra Û 3 – 2a = 3 – 2b = 3 – 2c Û a = b = c = 1. ìS2 - 2P = 2 - c2 (1) ï 19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001) Ta được hệ: í 2 2 ïcS+P =1 î (2) a b a b æ a ö3 æ b ö3 a b Từ (2) Þ P = 1 – cS, thay vào (1) ta được: Từ giả thiết ta có: + = 1 Þ 0 < , < 1 Þ ç ÷ +ç ÷ > + = 1 c c c c ècø ècø c c 28 25
2 2 2 2 éS = -c - 2 1 1æ 1 1ö 2 x 1æ 1 1ö S – 2(1 – cS) = 2 – c Û S + 2cS + c – 4 = 0 Û ê £ ç 2 + 2÷ Þ 3 £ ç 2 + 2÷ ëS = -c + 2 xy 2 è çx ÷ y ø x +y 2 2èçx y ÷ ø 2 · Với S = – c – 2 Þ P = 1 + c(c + 2) = c + 2c + 1 Tương tự ta cũng có: 2 2 2 BĐT: S – 4P ≥ 0 Û (–c – 2) – 4(c + 2c + 1) ≥ 0 2 y 1æ 1 1ö 2 z 1æ 1 1ö 4 £ ç 2 + 2 ÷; 3 £ + 2 Û –3c – 4c ≥ 0 Û - £ c £ 0 (3) 3 y +z 2 2ç y ÷ z + x 2 2 ç z2 x 2 ÷ z ø è ø 3 è 2 y 2 · Với S = –c + 2 Þ P = 1 – c(–c + 2) = c – 2c + 1 2 x 2 z 1 1 1 2 2 2 Suy ra: + + £ + + BĐT: S – 4P ≥ 0 Û (–c + 2) – 4(c – 2c + 1) ≥ 0 x +y3 2 3 y +z 2 3 z +x 2 x 2 y 2 z2 4 Û 0£c£ 2 Û –3c + 4c ≥ 0 (4) ì x3 = y 2 ï ì y 3 = z2 ï ì z3 = x 2 ï 3 Dấu “=” xảy ra Û í vaø í vaø í Û x=y=z=1 4 4 ïx = y î ïy = z î ïz = x î Từ (3), (4) ta được: - £c£ 3 3 15. (ĐH PCCC khối A 2001) 4 4 Trước hết chú ý rằng nếu a > 1, x > 1 thì hàm số y = loga x là đồng biến Tương tự ta chứng minh được: - £ a,b,c £ và dương. 3 3 13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001) 1 Do đó hàm số y = logxa = là nghịch biến. Trước hết, ta dễ dàng chứng minh được nếu x, y > 0 thì: loga x 1 1 4 Vì vai trò của a, b, c là như nhau, nên ta có thể giả thiết a ≥ b ≥ c. Ta + ³ (1) x y x+y được: Dấu “=” xảy ra Û x = y. VT= logb+ c a + logc+ a b + loga +b c ³ loga +b a + loga +b b + loga+ b c = loga +b abc 1 1 4 4 Vì a, b, c ≥ 2 nên abc ≥ 2ab = ab + ab > a + b Áp dụng (1) ta được: + ³ = Do đó VT ≥ loga+babc > loga+b(a + b) = 1. p-a p-b p-a+p-b c 16. (ĐH Quốc gia HN khối D 2001) 1 1 4 4 · Xét f(x) = xa – ax + a – 1 (x ≥ 0) + ³ = p-b p- c p-b+p-c a f¢(x) = a(xa – 1); –1 f¢(x) = 0 Û x = 1 1 1 4 4 + ³ = p-c p-a p-c+p- a b Cộng 3 BĐT trên vế theo vế, ta được: æ 1 1 1 ö æ 1 1 1ö 2ç + + ÷ ³ 4 ç + + ÷ Û đpcm èp- a p-b p-cø èa b cø Vậy với "x ≥ 0 và a > 1 thì f(x) ≥ 0 hay xa + a – 1 ≥ ax. Dấu “=” xảy ra Û a = b = c. · BĐT cần chứng minh: 3 3 3 14. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) æ a ö2 æ b ö2 æ c ö2 a b c 3 2 Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương x , y ta có: ç ÷ +ç ÷ +ç ÷ ³ + + èbø ècø èaø b c a 2 x 2 x 1 3 x + y ≥ 2 x3 y2 = 2xy x Þ 3 3 2 2 £ = Áp dụng BĐT đã chứng minh với a = , ta có: x +y 2xy x xy 2 1 1 3 3 3 Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương , ta có: æ a ö2 1 3 a æ b ö2 1 3 b æ c ö2 1 3 c ç ÷ + ³ . ; ç ÷ + ³ . ; ç ÷ + ³ . 2 x y2 è bø 2 2 b ècø 2 2 c èaø 2 2 a Mặt khác, theo BĐT Côsi ta có: 26 27
31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) 2 2 2 æ y 2 z2 ö æ x 2 z2 ö æ x 2 y 2 ö Từ đó suy ra: a 3 + b3 > c 3 BĐT cần chứng minh Û ç 1+ 2 + 2 ÷ + ç 2 + 1+ 2 ÷ + ç 2 + 2 + 1÷ ≥ 9 20. (ĐHQG HN khối A 2000) ç x ÷ çy x ø è ÷ çz y ø è z ÷ è ø a b c Đặt x = 2 , y = 2 , z = 2 thì x, y, z > 0. a+b+c æ y 2 z2 ö æ x 2 z2 ö æ x 2 y 2 ö Đ.kiện a + b + c = 0 Û xyz = 2 = 1, do đó theo BĐT Côsi: x + y + z ≥ 3 Û 3 + ç 2 + 2 ÷+ç 2 + 2 ÷+ç 2 + 2 ÷ ≥ 9 3 3 Mặt khác: x + 1 + 1 ≥ 3x Þ x ≥ 3x – 2 çx x ÷ çy y ÷ çz z ÷ è ø è ø è ø 3 3 Tương tự: y ≥ 3y – 2; z ≥ 3z – 2 32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999) 3 3 3 Þ x + y + z ≥ 3(x + y + z) – 6 = (x + y + z) + 2(x + y + z – 3) ≥ x + y + z Áp dụng BĐT Côsi ta có: a b c Þ8 +8 +8 ≥2 +2 +2 a b c a2 b2 c2 a2 b2 c2 21. (ĐHQG HN khối D 2000) * + + ³ 33 . . =3 (1) b 2 c 2 a 2 b2 c2 a2 b2 + 2a2 b2 + 2a2 1 1 Ta có: = = + 2. 2 a 2 a b 2 b c 2 c ab a2b2 a2 b * + 1³ 2 ; + 1³ 2 ; + 1³ 2 b 2 b c 2 c a 2 a 1 1 1 Đặt x = ; y = ; z = thì a2 b2 æa b cö c2 a b c Þ 2 + 2 + 2 ³ 2ç + + ÷ - 3 (2) ìa,b,c > 0 ì x,y,z > 0 b c a èb c aø giả thiết í Û í Kết hợp (1) và (2) ta được: îab + bc + ca = abc îx + y + z = 1 æ a2 b2 c2 ö æa b cö và đpcm Û x2 + 2y2 + y2 + 2z2 + z2 + 2x2 ³ 3 2ç 2 + 2 + 2 ÷ ³ 2ç + + ÷ çb c a ø ÷ èb c aø Theo BĐT Bunhiacopxki ta có: è 2 2 2 2 2 2 3(x + 2y ) = 3(x + y + y ) ≥ (x + y + y) a2 b2 a b c c2 Þ + + + + ³ 1 b 2 c a 2 b c a 2 Þ x2 + 2y2 ³ (x + 2y) 3 33. (ĐH Hàng hải 1999) Viết 2 BĐT tương tự, rồi cộng lại, ta có: 2 2 2x · Do (x – 1) ≥ 0 nên x + 1 ≥ 2x Û ≤1 1 1+ x 2 x2 + 2y2 + y2 + 2z2 + z2 + 2x2 ³ (3x + 3y + 3z) = 3 3 2y 2z Tương tự ta cũng có: ≤ 1; ≤1 1 1+ y 2 1 + z2 Đẳng thức xảy ra Û x = y = z = Ûa=b=c=3 3 2x 2y 2z 22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000) Do đó: 2 + + ≤3 1+ x 1+ y 2 1 + z2 a3 + b3 æ a + b ö 3 3 3 3 Ta có: ³ç ÷ Û 4(a + b ) ≥ (a + b) x y z 3 2 è 2 ø Hay: 2 + 2 (1)+ 2 £ 1+ x 1+ y 1+ z 2 2 2 2 2 Û (a + b) [4(a + b – ab) – (a + b + 2ab)] ≥ 0 2 2 2 · Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số không âm ta có: Û (a + b)(3a + 3b – 6ab) ≥ 0 Û (a + b)(a – b) ≥ 0 1 1 1 BĐT cuối cùng này đúng, nên BĐT cần chứng minh là đúng. + + Đẳng thức xảy ra Û a = ± b. 1+ x 1+ y 1+ z 1 1 ³3 = 23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000) 3 (1+ x)(1+ y)(1+ z) 3 (1+ x)(1+ y)(1+ z) 2 2 2 2 2 2 a) a + b ≥ 2ab; b + c ≥ 2bc; c + a ≥ 2ca 2 2 2 3 (1+ x) + (1+ y) + (1+ z) Þ a + b + c ≥ ab + bc + ca. Þ £ 3 (1+ x)(1+ y)(1+ z) ≤ ≤2 1 1 1 3 Đẳng thức xảy ra Û a = b = c + + 2 2 2 2 b) (ab + bc + ca) = (ab) + (bc) + (ca) + 2(abbc + bcca + caab) ≥ 1+ x 1+ y 1+ z ≥ abbc + bcca + caab + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c) 24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000) 32 29
1 27. (ĐH An Giang khối D 2000) bc 1 a2bc c c Giả sử a ≥ b ≥ 0 Þ a (a – b) ≥ b (a – b) Þ a c+1 +b c+1 ≥ ab(a c–1 c–1 +b ) Ta có: 2 = = = a b + a2c a2 (b + c) a2 æ 1 + 1 ö 1 + 1 28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000) çb c÷ b c Áp dụng BĐT Côsi cho 6 số dương ta có: è ø 1 1 1 2 = x + y + z + x + y + z ≥ 6 3 xyz (1) Đặt x = ;y= ; z= thì a b c và xy + yz + zx ≥ 3 3 x2y2z2 (2) ìa, b, c > 0 ì x,y,z > 0 x2 y2 z2 Nhân các BĐT (1) và (2) vế theo vế ta được: giả thiết í Û í và P = + + îabc = 1 î xyz=1 y+z z+x x+y 2(xy + yz + zx) ≥ 18xyz (3) Theo BĐT Bunhiacopxki ta có: Mặt khác ta có: xyz(xy + yz + zx) > 0 (4) 2 Cộng các BĐT (3) và (4) vế theo vế ta được: æ x y z ö (y + z + z + x + x + y).P ≥ ç y + z. + z + x. + x + y. ÷ 18xyz ç (xy + yz + zx)(2 + xyz) > 18xyz Þ xy + yz + zx > (vì 2 +xyz > 0) è y+z z+x x+y÷ ø 2 + xyz 1 1 1 29. (ĐH An Ninh khối A 2000) Þ 2(x + y + z).P ≥ (x + y + z) Þ P ≥ (x + y + z) ≥ .33 xyz = .3 2 4 3 4 3 2 2 2 Ta có: 3 = 81, 4 = 64 Þ 3 > 4 Þ BĐT cần chứng minh đúng với n = 3. n n 3 æ n + 1ö æ 1ö ÞP≥ Với n > 3, đpcm Û n > ç ÷ Û ç 1+ ÷ < n (1) 2 è n ø è nø 3 1ö n n 1 Nếu P = thì x = y = z = 1 Þ a = b = c = 1 æ 2 Ta có: ç 1+ ÷ = è nø å Ck nk n = k=0 3 3 Đảo lại, nếu a = b = c = 1 thì P = . Vậy minP = n n(n - 1 1) n(n - 1)...(n - n + 1) 1 2 2 =1+ + . 2 + ... + . n 25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000) n 2! n n! n (a + 1).(b + 1).(c + 1) = 1 + a + b + c + ab + bc + ca + abc ≥ 1æ 1ö 1æ 1 öæ 2 ö æ n - 1ö =1+1+ ç 1- ÷ + ... + ç 1- ÷ç 1- ÷ ...ç 1- ÷ < ( ) 3 ≥ 3 1 + 3 3 abc + 3 a2b2c2 + abc = 1+ 3 abc 2! è n ø n! è n øè n ø è n ø 1 1 1 1 Đẳng thức xảy ra Û a = b = c > 0.
9 9 æ 1ù æ 1ù 3 1 1 1 Đặt Q(t) = 9t + ÞQ¢(t) = 9 – 2 < 0, "tÎ ç 0; ú ÞQ(t) giảm trên ç 0; ú Û £ + + (2) t t è 9û è 9û 2 1 + x 1+ y 1+ z æ 1ö Kết hợp (1) và (2) ta được BĐT cần chứng minh. Þ Q(t) ³ Q ç ÷ = 82. Vậy P ³ Q(t) ³ 82 34. (ĐH An ninh HN khối D 1999) è 9ø 2 3 2 3 2 3 Vì 0 ≤ x, y, z ≤ 1 nên x ≥ x ; y ≥ y ; z ≥ z . 1 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 Suy ra: 2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) ≤ 2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) 2 2 Dấu "=" xảy ra Û x = y = z = . 3 Do đó nếu ta chứng minh được: 2 2 2 2 2 2 · Cách 2: Ta có: 2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) ≤ 3 (1) 2 2 thì (*) đúng. 2 æ 1 1 1ö 2 æ 1 1 1ö 2 2 2 2 2 (x + y + z) + ç + + ÷ = 81(x + y + z) + ç + + ÷ – 80(x + y + z) Ta có: (1 – y)(1 + y – x ) ≥ 0 Û x + y – x y – 1 ≤ 0 (2) èx y zø èx y zø éy = 1 æ 1 1 1ö ê 2 ³ 18(x + y + z). ç + + ÷ – 80(x + y + z) ³ 162 – 80 = 82 Dấu “=” ở (2) xảy ra Û ê ì x = 1 èx y zø êí ëîy = 0 Vậy P ³ 82 Tương tự ta cũng có: 2 2 x +z –zx–1≤0 2 (3) 1 2 2 y +z –yz–1≤0 2 (4) Dấu "=" xảy ra Û x = y = z = . 3 Cộng (2), (3), (4) vế theo vế ta được: 2 2 2 2 2 2 40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1) 2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) ≤ 3 · Tìm max: 5 y = sin x + 3 cosx ≤ sin x + 4 3 cosx (1) Vậy (1) đúng Þ (*) đúng Nhận xét: Dấu “=” ở (*) xảy ra Û (x; y; z) Î {(1 ;1 ;1 ;1 ),(1 ;0),(1;0;1),(0;1 )} ;1 3 cosx ≤ 3 , "x Î R 4 Ta chứng minh: sin x + (2) 35. (Đại học 2002 dự bị 1) 3 (1 – cosx) – sin x ≥ 0 Û 3 (1 – cosx) – (1 – cos x) ≥ 0 4 2 2 Û Û (1 – cosx).[ 3 – (1 – cosx)(1 + cosx) ] ≥ 0 2 (3) 1 1 1 æ 1 1 1ö x+ y+ z= . ax + . by + . cz ≤ ç a + b + c ÷ (ax+by+cz) Theo BĐT Côsi ta có: a b c è ø 1 æ 1 1 1ö æ 1 1 1 ö abc ab + bc + ca (1 – cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) = (2 – 2cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) ≤ 2 ≤ ç a + b + c ÷ .2S = ç a + b + c ÷ 2R = è ø è ø 2R 3 1æ 4 ö 32 ≤ ç ÷ = < 3 a2 + b2 + c2 2è 3ø 27 ≤ 2R Vậy BĐT (3) đúng Þ (2) đúng Þ y ≤ 3 , "x. Dấu “=” xảy ra khi cosx = 1 ìa = b = c ìDABC ñeàu Û x = k2p. Vậy maxy = 3. Dấu “=” xảy ra Û í Û í î x=y=z îM truøng vôùi troïng taâm G cuûa DABC 3 cosx ≥ – sin x + 3 cosx. 5 4 · Tìm min: Ta có y = sin x + 36. (Đại học 2002 dự bị 3) Tương tự như trên, ta được miny = – 3 , đạt được khi x = p + k2p. 1 1 1 1 1 5 5.5 41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2) · Cách 1: S = + + + + ³ ≥ =5 x x x x 4y 5 x.x.x.x.4y x + x + x + x + 4y (a + b + c)(b + c - a) (b + c)2 - a2 2bc(1+ cos A) (1) Û £1 Û £1Û £1 ì1 1 bc bc bc ï x = 4y A 1 A 3 A 3 A p ï ìx = 1 Û cos2 £ Û sin2 ³ Û sin ³ < ) ï ï (do 0 < (3) minS = 5 Û í x = 4y Û í 1 2 4 2 4 2 2 2 2 ïy = 4 ï 5 î Biến đổi vế trái của (2) như sau: ïx + y = A B C 1 Aæ B-C B+C ö 1 Aæ Aö ï î 4 sin sin sin = sin ç cos - cos ÷ ≤ sin ç 1- sin ÷ = 2 2 2 2 2è 2 2 ø 2 2è 2ø 36 33
4 1 5 Từ BBT suy ra khi b biến thiên từ 2 đến 7, f(b) giảm rồi chuyển sang tăng · Cách 2: S = + = f(x), 0 4 4 ï 350 175 400 200 175 f¢(x) = - 2 + 2 ; f¢(x) = 0 Û í 5 Ûx=1 x (5 - 4x) ï0 < x < ìa = 1 î 4 ïb = 7 53 ï Lập bảng xét dấu f¢(x), suy ra minS = 5. Vậy minS = khi í 1 2 1 4 1 175 ïc = 8 · Cách 3: 2 + = x. + y. ≤ x + y. + (3) ïd = 50 î 2 x 2 y x 4y 38. (Đại học 2002 dự bị 6) ì 2 1 1 1 1 ï = ì x = 4y ìx = 1 Ta có diện tích tam giác: S = aha = bhb = chc ï x. x 2 y. y ï ï 2 2 2 Dấu “=” ở (3) xảy ra Û í Û í 5 Û í 1 ï 5 ïx + y = 4 ïy = 4 2S 2S 2S ïx + y = 4 î î Þ ha = ; hb = ; hc = î a b c æ5ö 2 5 æ4 1 ö 4 1 1 1 1 1 (3) Û ç ÷ £ .ç + Þ + + = (a + b + c) ÷ Û + ≥5 ha hb hc 2S è 2ø 4 è x 4y ø x 4y Vậy minS = 5. æ 1 1 1öæ 1 1 1ö 1 æ 1 1 1ö Þ ç + + ÷ç + + ÷= (a + b + c) ç + + ÷ 37. (Đại học 2002 dự bị 5) è a b c ø è ha hb hc ø 2S èa b cø Vì a ≥ 1, d ≤ 50 và c > b (c, b Î N) nên c ≥ b + 1 thành thử: æ 1 1 1ö a c 1 b + 1 b2 + b + 50 Áp dụng BĐT Côsi ta có: (a + b + c) ç + + ÷ ≥ 9 S= + ≥ + = èa b cø b d b 50 50b Vậy BĐT của đề ra đã được chứng minh. 3 æ 1 1 1öæ 1 1 1ö 9 và vì S = , nên ta có: ç + + ÷ ç + + ÷³ =3 ìa = 1 2 è a b c ø è ha hb hc ø 3 ï 39. (Đại học khối A 2003) Dấu “=” xảy ra Û íd = 50 r r r r r r ïc = b + 1 Với mọi u,v ta có: u + v £ u + v (*) î b2 + b + 50 b 1 1 r æ 1 ö r æ 1ö r æ 1ö Để tìm minS, ta đặt = + + và xét hàm số có biến số Đặt a = ç x; ÷ ; b = ç y; ÷ ; c = ç z; ÷ 50b 50 b 50 è xø è yø è zø liên tục x: r r r r r r r r r Áp dụng bất đẳng thức (*), ta có: a + b + c ³ a + b + c ³ a + b + c x 1 1 f(x) = + + (2 ≤ x ≤ 48) 2 50 x 50 2 1 2 1 2 1 æ 1 1 1ö 2 Vậy P = x + + y + + z + ³ (x + y + z) + ç + + ÷ 1 1 x2 - 50 ì x2 = 50 ï x2 y2 z2 èx y zø f¢(x) = - 2 = ; f¢(x) = 0 í Û x=5 2 50 x 50x 2 ï 2 £ x £ 48 î · Cách 1: Bảng biến thiên: 2 2 æ 1 1 1ö æ 1 ö 9 ( ) 2 2 5 2 Ta có: P³ (x + y + z) + ç + + ÷ ³ 33 xyz + ç 33 = 9t + èx y zø ç xyz ÷÷ t è ø 2 æx+ y+zö 1 với t = (3 xyz)2 Þ 0 < t £ ç ÷ £ b2 + b + 50 è 3 ø 9 Chuyển về biểu thức f(b) = (2 ≤ b ≤ 48, b Î N) 50b 34 35
T 49. (Đại học khối D 2005 dự bị 2) 2 2 1æ 2 A Aö 1 éæ A 1ö 1ù 1 1æ A 1ö 2 2 =– ç sin - sin ÷ = – êç sin - ÷ - ú = - ç sin - ÷ x 1+ y x 1+ y 2è 2 2ø 2 êè 2 2ø 4ú 8 2è 2 2ø Ta có: + ³2 . =x ë û 1+ y 4 1+ y 4 2 2 2 A B C 1 1æ 3 1ö 1 1 y 1+ z y 1+ z Do (3) suy ra: sin sin sin £ - ç - = - (4 - 2 3) + ³2 . =y 2 2 ç 2 2÷ 2 8 2è ÷ 8 8 1+ z 4 1+ z 4 ø z2 1+ x z2 1 + x 2 3 -3 + ³2 . =z = 1+ x 4 1+ x 4 8 Cộng 3 bất đẳng thức trên, vế theo vế, ta có: ì B-C ïcos 2 = 1 ìA = 1200 ï ï æ x2 1+ y ö æ y 2 1+ z ö æ z 2 1+ x ö Dấu “=” xảy ra Û í Ûí ç + ÷+ç + ÷+ç + ÷ ³ x+y+z 0 ç 1+ y ÷ ç 1+ z 4 ø è ÷ ç 1+ x 4 ø è 4 ÷ ïsin A = 3 ïB = C = 30 î è ø ï î 2 2 x2 y2 z2 3 x+y+z 3(x + y + z) 3 42. (Đại học khối A 2005) Û + + ³- - +x+y+z ³ - 1 + y 1+ z 1 + x 4 4 4 4 Với a, b > 0 ta có: 3 3 9 3 3 2 1 a+b 1 1æ 1 1ö ³ .3 - = - = (vì x + y + z ³ 3 3 xyz = 3) 4ab £ (a + b) Û £ Û £ ç + ÷ 4 4 4 4 2 a + b 4ab a + b 4è a bø x2 y2 z2 3 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b. Vậy: + + ³ . Áp dụng kết quả trên ta có: 1 + y 1+ z 1 + x 2 50. (Đại học khối A 2006) 1 1æ 1 1 ö 1 é 1 1 æ 1 1 öù 1æ 1 1 1ö £ ç + ÷ £ ê + ç + ÷ú = ç + + ÷ (1) · Cách 1: 2x+y+z 4 è 2x y + z ø 4 ë 2x 4 è y z ø û 8 è x 2y 2z ø 1 1 1 1 1 Tương tự: Từ giả thiết suy ra: + = 2 + 2 - . x y x y xy 1 1æ 1 1 ö 1 é 1 1 æ 1 1 öù 1æ 1 1 1ö £ ç + ÷ £ ê + ç + ÷ú = ç + + ÷ (2) 1 1 x + 2y + z 4 è 2y x + z ø 4 ë 2y 4 è x z ø û 8 è y 2z 2x ø 2 2 Đặt = a, = b, ta có: a + b = a + b – ab (1) x y 1 1æ 1 1 ö 1 é 1 1 æ 1 1 öù 1æ 1 1 1ö 3 3 2 2 2 £ ç + ÷ £ ê + ç + ÷ú = ç + + ÷ (3) A = a + b = (a + b)(a – ab + b ) = (a + b) x + y + 2z 4 è 2z x + y ø 4 ë 2z 4 è x y ø û 8 è z 2x 2y ø 2 Từ (1) suy ra: a + b = (a + b) – 3ab. 2 1 1 1 1æ 1 1 ö æ a + bö 3 2 Vậy: + + £ ç + + 1÷ = 1 Vì ab ≤ ç ÷ nên a + b ≥ (a + b) – 4 (a + b) 2 2x+y+z x + 2y + z x + y + 2z 4 è x yz ø è 2 ø Ta thấy trong các bất đẳng thức (1), (2), (3) thì dấu "=" xảy ra khi và chỉ 2 Þ (a + b) – 4(a + b) ≤ 0 Þ 0 ≤ a + b ≤ 4 khi 2 Suy ra: A = (a + b) ≤ 16 3 1 x = y = z. Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = . Với x = y = thì A = 16. Vậy giá trị lớn nhất của A là 16. 4 2 43. (Đại học khối B 2005) · Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có: 2 Đặt S = x + y, P = xy với S – 4P ³ 0. Từ giả thiết Þ S, P ¹ 0. x x x x x x æ 12 ö æ 15 ö æ 12 ö æ 15 ö æ 12 ö æ 15 ö S2 ç 5 ÷ +ç 4 ÷ ³ 2 ç 5 ÷ .ç ÷ x Þ ç ÷ + ç ÷ ³ 2.3 (1) è 4 ø è 5 ø è 4 ø 2 Ta có: SP = S – 3P Û P = è ø è ø è ø S+ 3 Tương tự ta có: 1 1 x3 + y3 (x + y)(x2 + y2 - xy) (x + y)2 xy (x + y)2 x x x x A= 3 + 3 = 3 3 = 3 3 = 3 3 = 2 2 æ 12 ö æ 20 ö x æ 15 ö æ 20 ö x x y x y x y x y x y ç ÷ +ç ÷ ³ 2.4 (2) ç ÷ +ç ÷ ³ 2.5 (3) è 5 ø è 3 ø è 4 ø è 3 ø 40 37