Bất đẳng thức cô si trong các kì thi tuyển sinh đại học và cao đẳng - Huỳnh Kim Linh

www.VNMATH.com BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG Lời nói đầu : Thực hiện nhiệm vụ năm học 2008 – 2009, Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Khánh Hòa khuyến khích các giáo viên dạy môn chuyên, làm chuyên đề để xây dựng tài nguyên của tổ chuyên môn. Chính vì vậy tôi đã thực hiện và làm chuyên đề về : BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG Trong các kì thi tuyển sinh đại học và cao đẳng, có một hay hai câu khó để phân loại thí sinh và thường có một câu về bất đẳng thức. 1) Định lý (Bất đẳng thức Cô si) : Cho n số thực không âm : a1 ; a2 ; ...; an Ta có : √ a1 + a2 + ... + an ≥ n a1 a2 ...an n Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · = an 2) Một số bất đẳng thức liên quan đến bất đẳng thức Cô si : 2.1) Các Bất đẳng thức dạng phân thức Với x, y > 0. Ta có : 1 1 4 + ≥ x y x+y (1) 1 4 ≥ xy (x + y)2 (2) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. Với x, y, z > 0. Ta có : 1 1 1 9 + + ≥ x y z x+y+z (3) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z. 2.2) Các bất đẳng thức dạng đa thức : x2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx (4) 3 x2 + y 2 + z 2 ≥ (x + y + z)2 (5) (x + y + z)2 ≥ 3 (xy + yz + zx) (6) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z. 3) MỘT SỐ BÀI TOÁN THI ĐẠI HỌC : Bài toán 1 : Đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2005 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn : 1 1 1 + + =4 x y z Huỳnh Kim Linh Trang thứ 1 trong 12 trang www.VNMATH.com BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG Chứng minh rằng : 1 1 1 + + ≤ 1. 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z Lời giải : Cách 1 : Áp dụng bất đẳng thức : 1 1 4 + ≥ x y x+y Với x, y > 0, ta được : 8=2 1 1 1 + + x y z = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + ≥4 + + x y y z z x x+y y+z z+x (1) Tương tự 2 1 x+y + 1 y+z 1 2x+y+z ≥4 1 1 1 1 = x+y + x+z x+y z+x 1 1 + x+y+2z (2) x+2y+z + + + 1 y+z 1 y+z + 1 z+x Từ (1) và (2) suy ra 8≥8 1 1 1 + + 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z ⇔ 1 1 1 + + ≤ 1. 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z Đẳng thức xảy ra khi 3 x=y=z= . 4 Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức : 1 1 4 + ≥ x y x+y với x, y > 0, và bất đẳng thức Côsi ta có : 2x + y + z = (x + y) + (x + z) ≥ 2 √ xy + √ xz Do đó : 1 1 ≤ 2x + y + z 2 √ 1 √ xy + xz ≤ 1 8 1 1 √ +√ xy xz Tương tự : 1 1 ≤ x + 2y + z 8 1 1 √ +√ xy yz 1 1 ≤ x + y + 2z 8 1 1 √ +√ xz yz Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức trên ta được : 1 1 1 1 + + ≤ 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z 4 Huỳnh Kim Linh 1 1 1 √ +√ +√ xy yz zx (3) Trang thứ 2 trong 12 trang www.VNMATH.com BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG Mặt khác theo bất đẳng thức Côsi 4= 1 2 1 1 1 + + x y 2 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ≥√ +√ +√ y z 2 z x xy yz zx (4) Từ (3) và (4) suy ra : 1 1 1 + + ≤ 1. 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z Cách 3 : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 4 số dương 1 1 1 1 + + + x x y z (x + x + y + z) ≥ 16 Suy ra 1 1 ≤ 2x + y + z 16 2 1 1 + + x y z 1 1 ≤ x + 2y + z 16 1 2 1 + + x y z 1 1 ≤ x + y + 2z 16 1 1 2 + + x y z Tương tự Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức trên ta được : 1 1 1 + + ≤ 1. 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z Mở rộng bài toán 1 : Cho n số thực dương cho trước : a1 , a 2 , . . . a n thỏa điều kiện : 1 1 1 + + ··· + =k a1 a2 an Với n > 1 và k > 0 cho trước. Chứng minh rằng : 1 1 1 k + +· · ·+ ≤ m1 a1 + m2 a2 + · · · + mn an m2 a1 + · · · + mn an−1 + m1 an mn a1 + m1 a2 + · · · + mn−1 an m1 + m2 + Bài toán 2 : Đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005 Chứng minh rằng : với mọi x ∈ R ta có : 12 5 x 15 + 4 x 20 + 3 x ≥ 3x + 4x + 5x Khi nào đẳng thức xảy ra. Lời giải : Huỳnh Kim Linh Trang thứ 3 trong 12 trang www.VNMATH.com BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG Áp dụng bất đẳng thức Côsi 12 5 15 4 12 5 x x x + 15 4 + 20 3 + 20 3 x ≥2 ≥2 x 15 4 ≥2 x x 12 5 12 5 15 4 x 20 3 x 20 3 x x x = 2.3x = 2.5x = 2.4x Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta được : 12 5 x + 15 4 x + 20 3 x ≥ 3x + 4x + 5x Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 12 5 x = x 15 4 x 20 3 = ⇔ x = 0. Đặt a = 3, b = 4, c = 5 ta đi đến bài toán tổng quát sau : Mở rộng bài toán 2 : Cho a, b, c là ba số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng : với mọi x ∈ R, ta có : ab c x + bc a x + ca b x ≥ ax + b x + c x Bài toán 3 : Đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2005 Cho các số thực dương x, y, z thỏa xyz = 1. Chứng minh rằng : √ √ √ √ 1 + x3 + y 3 1 + y3 + z3 1 + z 3 + x3 + + ≥3 3 xy yz zx Lời giải : Đặt √ P = 1 + x3 + y 3 + xy Áp dụng bất đẳng thức Côsi √ 1 + y3 + z3 + yz √ 1 + z 3 + x3 zx √ 1 + x3 + y 3 ≥ 3 3 x3 y 3 = 3xy √ 1 + y 3 + z 3 ≥ 3 3 y 3 z 3 = 3yz √ 3 1 + z 3 + x3 ≥ 3 z 3 x3 = 3zx Từ đó suy ra P ≥ √ √ √ xy yz zx + + xy yz zx √ 3 = √ 1 1 1 3 √ +√ +√ xy yz zx (1) Lại áp dụng bất đẳng thức Côsi 1 1 1 1 =3 √ + √ + √ ≥ 3√ 2 xyz xy yz zx (2) Từ (1) và (2) suy ra điều cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1. Huỳnh Kim Linh Trang thứ 4 trong 12 trang www.VNMATH.com BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG Mở rộng bài toán 3 : Cho các số thực dương a1 , a 2 , . . . a n thỏa mãn : a1 . a2 · · · an = 1 Chứng minh rằng : 1 + ap + · · · ap 1 n−1 m q (a1 a2 · · · an−1 ) m + 1 + ap + · · · ap n 2 + ··· + q (a2 a3 · · · an ) m 1 + ap + ap + · · · ap n 1 n−2 √ ≥nmn q (an a1 · · · an−2 ) Trong đó m≥2 là số nguyên dương, p, q là các số thực tùy ý Hướng dẫn : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho n số 1 + ap + · · · ap ≥ n n (a1 .a2 · · · an−1 )p n−1 1 Bài toán 4 : DỰ BỊ 1 KHỐI A Năm 2005 : Cho x, y, z là ba số thực thỏa x + y + z = 0. Chứng minh rằng : √ √ √ 3 + 4x + 3 + 4y + 3 + 4z ≥ 6 Lời giải : Ta có: √ √ √ √ 4 4 8 3 + 4x = 1 + 1 + 1 + 4x ≥ 4 4x ⇒ 3 + 4x ≥ 2 4x = 2. 4x Tương tự √ √ 8 3 + 4y ≥ 2 4x ; √ √ 8 3 + 4z ≥ 2 4z Vậy √ 3 + 4x + √ 3 + 4y + √ 3 + 4z ≥ 2 √ 8 4x + √ 8 4y + √ 8 4z ≥ 6 3 √ 8 4x .4y .4z ≥ 6 √ 24 4x+y+z = 6 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 0. Bài toán 5 : DỰ BỊ 2 KHỐI A Năm 2005 : Chứng minh rằng : với mọi x, y > 0 ta có : (1 + x) 1 + y x 1+ 9 √ y 2 ≥ 256 Đẳng thức xảy ra khi nào? Lời giải : Ta có: 1+x=1+ 3 x x x 4 x + + ≥4 3 3 3 3 3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 3 1+ Huỳnh Kim Linh y y y y y3 4 =1+ + + ≥4 3 3 x 3x 3x 3x 3 .x Trang thứ 5 trong 12 trang