Tuyến tính và Đại số

Chia sẻ: Do Hung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:291

Thêm vào BST

Báo xấu

1.216
lượt xem 284
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu nhằm giới thiệu và cung cấp kiến thức đến bạn đọc nội dung về: Kiến thức chuẩn bị; không gian véctơ; ma trận và ánh xạ tuyến tính; định thức và hệ phương trình tuyến tính; cấu trúc của tự đồng cấu; không gian véctơ Euclid; dạng song tuyến tính và dạng toàn phương; đại số đa tuyến tính.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tuyến tính và Đại số

 Đại số tuyến tính Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm …..
MUC LUC . . Muc luc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 .. L`.i n´i d` u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 o o ¯ˆ a Chu.o.ng 0: Kiˆn th´.c chuˆ n bi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 ’ ´ e u a. §1. Tˆp ho.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 a . . §2. Quan hˆ v` Anh xa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 e a´ . . §3. Lu.c lu.o.ng cua tˆp ho.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 ’a . . . . §4. Nh´m, V`nh v` Tru.`.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 o a a o §5. Tru.`.ng sˆ thu.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ´ o o. §6. Tru.`.ng sˆ ph´.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ´ o ou §7. Da th´.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 - u B`i tˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 aa . Chu.o.ng I: Khˆng gian v´cto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 o e §1. Kh´i niˆm khˆng gian v´cto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ae o e . §2. Dˆc lˆp tuyˆn t´ v` phu thuˆc tuyˆn t´ -o a ´ ´ e ınh a o e ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 .. . . §3. Co. so. v` sˆ chiˆu cua khˆng gian v´cto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ’ ao `´e ’ o e §4. Khˆng gian con - Hang cua mˆt hˆ v´cto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 ’ o o ee . .. §5. Tˆ ng v` tˆ ng tru.c tiˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 ’ ’ ´ o ao e . §6. Khˆng gian thu.o.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 o B`i tˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 aa . Chu.o.ng II: Ma trˆn v` Anh xa tuyˆn t´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 a a´ ´ e ınh . . §1. Ma trˆn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 a . §2. Anh xa tuyˆn t´ ´ ´ e ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 . §3. Hat nhˆn v` anh cua d` ng cˆ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 ´ a a’ ’ ¯ˆ o a . §4. Khˆng gian v´cto. d oi ngˆu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 ˜ ´ o e ¯ˆ a B`i tˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 aa . 1
Chu.o.ng III: Dinh th´.c v` hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 -. ´ u ae ınh e ınh . §1. C´c ph´p thˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 ´ a e e §2. D.nh th´.c cua ma trˆn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 -i u’ a. §3. Anh xa d tuyˆn t´ thay phiˆn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 ´ ´ . ¯a e ınh e §4. Dinh th´.c cua tu. d` ng cˆ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 -. ´ u ’ . ¯ˆ o a §5. C´c t´ chˆt sˆu ho.n cua d .nh th´.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 ´ ’ ¯i u a ınh a a §6. Dinh th´.c v` hang cua ma trˆn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 -. ’ u a. a . §7. Hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ - Quy t˘c Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 ´ ´ e ınh e ınh a . §8. Hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ - Phu.o.ng ph´p khu. Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 139 ´ ’ e ınh e ınh a . §9. Cˆ u tr´c nghiˆm cua hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 ´ ´ ’e a u e ınh e ınh . . B`i tˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 aa . Chu.o.ng IV: Cˆ u tr´c cua tu. d` ng cˆ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 ´ ´ u ’ . ¯ˆ a o a §1. V´cto. riˆng v` gi´ tri riˆng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 e e aa.e §2. Khˆng gian con ˆ n d .nh cua c´c tu. d` ng cˆ u thu.c v` ph´.c . . . . . . . . . . . 161 ’ ´ ’ a . ¯ˆ o o ¯i o a .au §3. Tu. d` ng cˆ u ch´o ho´ d .o.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 ´ . ¯ˆ o a e a ¯u . §4. Tu. d` ng cˆ u lu˜ linh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 ´ . ¯ˆ o a y §5. Ma trˆn chuˆ n Jordan cua tu. d` ng cˆ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 ’ ´ ’ . ¯ˆ a a o a . B`i tˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 aa . Chu.o.ng V: Khˆng gian v´cto. Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 o e §1. Khˆng gian v´cto. Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 o e §2. Anh xa tru.c giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 ´ .. §3. Ph´p biˆn d o i liˆn ho.p v` ph´p biˆn d o i d oi x´.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 ’´ ’ ´ ´ e e ¯ˆ e ae e ¯ˆ ¯ˆ u . §4. V`i n´t vˆ khˆng gian Unita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 ae` eo B`i tˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 aa . Chu.o.ng VI: Dang song tuyˆn t´ v` dang to`n phu.o.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 ´ e ınh a . a . §1. Kh´i niˆm dang song tuyˆn t´ v` dang to`n phu.o.ng . . . . . . . . . . . . . . . 234 ´ ae e ınh a . a . . §2. Du.a dang to`n phu.o.ng vˆ dang ch´ t˘c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 - ´ `. a e ınh a . 2
§3. Hang v` hach cua dang to`n phu.o.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 ’ a. a . . §4. Chı sˆ qu´n t´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 ´ ’ o a ınh §5. Dang to`n phu.o.ng x´c d .nh dˆ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 ´ a a ¯i a . B`i tˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 aa . Chu.o.ng VII: Dai sˆ d tuyˆn t´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 - . o ¯a ´ ´ e ınh §1. T´ tenxo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 ıch §2. C´c t´ chˆt co. ban cua t´ tenxo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 ´ ’ ’ ıch a ınh a §3. Dai sˆ tenxo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 -. o ´ §4. Dai sˆ d oi x´.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 - . o ¯ˆ u ´´ §5. Dai sˆ ngo`i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 -. o ´ a B`i tˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 aa . ’ T`i liˆu tham khao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 ae . 3
`. LO I NOI D` U ´ -Aˆ Theo d`ng lich su., mˆn - ai sˆ tuyˆn t´ kho.i d` u v´.i viˆc giai v` biˆn luˆn ´ ´ ’ ’ ¯ˆ o ’ae o o D. o e ınh a e a . . . . .o.ng tr` tuyˆn t´ ’ ’’ ´ ` ´ ´ u’a c´c hˆ phu ae ınh e ınh. Vˆ sau, d e c´ thˆ hiˆu thˆ u d ao cˆ u tr´c cua tˆp e ¯ˆ o e e a ¯´ a . . nghiˆm v` d ` u kiˆn d e mˆt hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ c´ nghiˆm, ngu.`.i ta xˆy ’.. ´ e a ¯iˆe e ¯ˆ o e ınh e ınh o e o a . . . du.ng nh˜.ng kh´i niˆm tr`.u tu.o.ng ho.n nhu. khˆng gian v´cto. v` ´nh xa tuyˆn t´ ´ u ae u o e aa e ınh. . . . . Ngu.`.i ta c˜ng c´ nhu cˆu khao s´t c´c khˆng gian v´.i nhiˆu thuˆc t´ h` hoc ` ` ’aa o u o a o o e o ınh ınh . . ho.n, trong d o c´ thˆ d d o d`i cua v´cto. v` g´c gi˜.a hai v´cto.. Xa ho.n, hu.´.ng ’ ¯´ o e ¯o ¯ˆ a ’ e ao u e o . nghiˆn c´.u n`y dˆn t´.i b`i to´n phˆn loai c´c dang to`n phu.o.ng, v` tˆ ng qu´t ho.n ’ ˜ euaaoaa a .a. a ao a phˆn loai c´c tenxo., du.´.i t´c d ong cua mˆt nh´m cˆ u tr´c n`o d o. ´ ’ a .a o a ¯ˆ o o a u a ¯´ . . Ng`y nay, Dai sˆ tuyˆn t´ d .o.c u.ng dung v`o h`ng loat l˜ vu.c kh´c nhau, -. o ´ ´ a e ınh ¯u . ´ aa . ınh . a . t`. Giai t´ t´.i H` hoc vi phˆn v` L´ thuyˆt biˆu diˆn nh´m, t`. Co. hoc, Vˆt l´ ’ ˜ ´e ’ ıch o ınh . a ay e e o u ay u . . t´.i K˜ thuˆt... V` thˆ, n´ d a tro. th`nh mˆt mˆn hoc co. so. cho viˆc d ao tao c´c ´ ı e o ¯˜ ’ a ’ oy a o o e ¯` . a . . . . gi´o viˆn trung hoc, c´c chuyˆn gia bˆc d . i hoc v` trˆn d . i hoc thuˆc c´c chuyˆn a e a e a ¯a . a e ¯a . oa e . . . ng`nh khoa hoc co. ban v` cˆng nghˆ trong tˆ t ca c´c tru.`.ng d . i hoc. ´ ’ ao a ’a e o ¯a . a . . D˜ c´ h`ng tr˘m cuˆn s´ch vˆ Dai sˆ tuyˆn t´ d .o.c xuˆ t ban trˆn to`n thˆ -a o a `-. o ´ ´ ´ ´ ´ a’ a oa e e ınh ¯u . e a e gi´.i. Ch´ng tˆi nhˆn thˆ y c´ hai khuynh hu.´.ng chu yˆu trong viˆc tr` b`y mˆn ´ ´ ’e o u o a ao o e ınh a o . . hoc n`y. .a Khuynh hu.´.ng th´. nhˆ t b˘t d` u v´.i c´c kh´i niˆm ma trˆn, d .nh th´.c v` hˆ ´´a o u a a ¯ˆ o a ae a ¯i u ae . . . phu.o.ng tr` tuyˆn t´ e ınh, rˆi d t´.i c´c kh´i niˆm tr`.u tu.o.ng ho.n nhu. khˆng gian ´ ` ¯i o a ınh o ae u o . . v´cto. v` ´nh xa tuyˆn t´ e ınh. Khuynh hu.´.ng n`y dˆ tiˆp thu. Nhu.ng n´ khˆng cho a ˜e ´ e´ e aa o oo . ph´p tr` b`y l´ thuyˆt vˆ d .nh th´.c v` hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ b˘ ng mˆt e ınh ` ´ e ` ¯i ´e e ınh a y u ae ınh a o . . . cˆ d ng v` d p d e. ngˆn ng˜ o ¯o o u a ¯e ¯˜ . . Khuynh hu.´.ng th´. hai tr` b`y c´c kh´i niˆm khˆng gian v´cto. v` ´nh xa o u ınh a a a e o e aa . . tuyˆn t´ tru.´.c, rˆi ´p dung v`o khao s´t d .nh th´.c v` hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn ´ o `a ´ ’ a ¯i e ınh o a u ae ınh e . . . ınh. U u d e m cua phu.o.ng ph´p n`y l` d` cao ve d ep trong t´ nhˆ t qu´n vˆ cˆ u ’ ´ a`a e´ ’ ’ ¯. t´ ¯iˆ a a a ¯ˆ e ınh a tr´c cua c´c d oi tu.o.ng d .o.c khao s´t. Nhu.o.c d e m cua n´ l` khi x´t t´ d oc lˆp ’ ´ u ’ a ¯ˆ ’a ’ oa ¯u . . ¯iˆ e ınh ¯ˆ a . .. 4
e ınh, thˆt ra ngu.`.i ta d a phai d oi m˘t v´.i viˆc giai ´ ´ ´. ’ ¯ˆ a o e ’ tuyˆn t´ v` phu thuˆc tuyˆn t´ o ¯˜ e ınh a o a . . . . hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ ´ e ınh e ınh. . oay’ o ’ C´ch tr` b`y n`o c˜ng c´ c´i l´ cua n´. Theo kinh nghiˆm cua ch´ng tˆi th` a ınh a a u e u o ı . nˆn chon c´ch tr` b`y th´. hai cho c´c sinh viˆn c´ kha n˘ng tu. duy tr`.u tu.o.ng ’a a eo u e .a ınh a u . .n v` c´ muc d ıch hu.´.ng t´.i mˆt m˘t b˘ ng kiˆn th´.c cao ho.n vˆ to´n. a` ´ ´ `a tˆt ho a o . ¯´ o o oo .a e u e . Cuˆn s´ch n`y d .o.c ch´ng tˆi biˆn soan nh˘ m muc d ıch l`m gi´o tr` v` s´ch ` ´ oa a ¯u . u oe a . ¯´ a a ınh a a . tham kha o cho sinh viˆn, sinh viˆn cao hoc v` nghiˆn c´.u sinh c´c ng`nh khoa hoc ’ e e .a eu a a . tu. nhiˆn v` cˆng nghˆ cua c´c tru.`.ng d . i hoc khoa hoc tu. nhiˆn, d . i hoc su. pham e’ a e ao o ¯a . e ¯a . . . .. . v` d . i hoc k˜ thuˆt. Cuˆn s´ch d .o.c viˆt trˆn co. so. c´c b`i giang vˆ Dai sˆ tuyˆn `-. o ´ ´ ´ ´ ’a a ’ a ¯a . y a o a ¯u . ee e e . t´ cua tˆi trong nhiˆu n˘m cho sinh viˆn mˆt sˆ khoa cua tru.`.ng Dai hoc Tˆ ng o -. . ’ ` .´ ınh ’ o ’ ea e oo o ho.p (nay l` Dai hoc khoa hoc Tu. nhiˆn) H` Nˆi v` cua mˆt sˆ tru.`.ng d . i hoc su. a-. . .´ aoa’ o ¯a . e oo . . . . -a e o ¯˜ ’ pham. D˘c biˆt, tˆi d a giang gi´o tr` n`y trong 3 n˘m hoc 1997-1998, 1998-1999, a ınh a a . . . . 1999-2000 cho sinh viˆn c´c ng`nh To´n, Co., L´, Ho´, Sinh, Dia chˆ t, Kh´ tu.o.ng -. ´ y a a ı. ea a a thuy v˘n... cua Chu.o.ng tr` d ao tao Cu. nhˆn khoa hoc t`i n˘ng, Dai hoc khoa -. . ’a ’ ’ ınh ¯` . a .aa hoc Tu. nhiˆn H` Nˆi. e ao . . . Ch´ng tˆi chon khuynh hu.´.ng th´. hai trong hai khuynh hu.´.ng tr` b`y d a o u o ınh a ¯˜ u o . n´i o. trˆn. Tˆ t nhiˆn, v´.i d oi ch´t thay d o i, cuˆn s´ch n`y c´ thˆ d`ng d e giang ’ ’ ’ ´ ´ o’ e a o e u ¯ˆ ’ a e o ¯ˆ u ¯ˆ oa Dai sˆ tuyˆn t´ theo khuynh hu.´.ng tr` b`y th´. nhˆ t. -. o ´ ´ ´ e ınh o ınh a ua Tu. tu.o.ng cˆ u tr´c d .o.c ch´ng tˆi nhˆ n manh nhu. mˆt mach ch´ cua cuˆn ´ ´ ´ ’ ınh ’ a u ¯u . o o u o a . . . s´ch. Mˆi d oi tu.o.ng d` u d .o.c nghiˆn c´.u trong mˆi tu.o.ng quan v´.i nh´m c´c ˜´ ´ a o ¯ˆ ¯ˆ ¯u . e eu o o o a . ph´p biˆn d o i bao to`n cˆ u tr´c cua d oi tu.o.ng d o: Khao s´t khˆng gian v´cto. g˘n ’ ´ ´ ´ ´ e ¯ˆ ’ u ’ ¯ˆ ’a e aa ¯´ o e a . liˆn v´.i nh´m tuyˆn t´ tˆ ng qu´t GL(n, K), khˆng gian v´cto. Euclid v` khˆng ’ ` ´ eo o e ınh o a o e ao gian v´cto. Euclid d .nh hu.´.ng g˘n liˆn v´.i nh´m tru.c giao O(n) v` nh´m tru.c giao ´eo a` e ¯i o o ao . . d ac biˆt SO(n), khˆng gian Unita g˘n liˆn v´.i nh´m unita U (n)... Kˆt qua phˆn ´eo a` ´ ’ ¯˘ e o o e a . . loai c´c dang to`n phu.o.ng phu thuˆc c˘n ban v`o viˆc qu´ tr` phˆn loai d .o.c ’ oa a e a ınh a . ¯u . .a. a . . . tiˆn h`nh du.´.i t´c d ong cua nh´m n`o (tuyˆn t´ tˆ ng qu´t, tru.c giao...). ’ ´ ´ ’ ea o a ¯ˆ o a e ınh o a . . ’ ´. ´ e’ ’ Theo kinh nghiˆm, ch´ng tˆi khˆng thˆ giang hˆt nˆi dung cua cuˆn s´ch n`y e u o o eo oa a . trong mˆt gi´o tr` tiˆu chuˆ n vˆ Dai sˆ tuyˆn t´ cho sinh viˆn c´c tru.`.ng d . i a `-. o ’e ´ ´ o ¯a oa ınh e e ınh ea . 5
hoc, ngay ca d oi v´.i sinh viˆn chuyˆn ng`nh to´n. C´c chu d` vˆ dang chuˆ n t˘c ’´ ´ ’ ¯ˆ ` . ’ ¯ˆ o e e a a a ee aa . Jordan cu a tu. d` ng cˆ u, dang ch´ t˘c cu a tu. d` ng cˆ u tru.c giao, viˆc d u.a d` ng ´ ´ ´ ’ . ¯ˆ ınh a ’ . ¯ˆ o a o a e¯ ¯ˆo . . . th`.i hai dang to`n phu.o.ng vˆ dang ch´ t˘c, d ai sˆ tenxo., d ai sˆ d ˆi x´.ng v` d ai ´ `. ´ ´´ o a e ınh a ¯ . o ¯ . o ¯o u a ¯. . sˆ ngo`i... nˆn d`ng d e giang chi tiˆt cho c´c sinh viˆn cao hoc v` nghiˆn c´.u sinh ’ ´ ´ e u ¯ˆ ’ o a e a e .a eu c´c ng`nh To´n, Co. hoc v` Vˆt l´. a a a . aay . Ch´ng tˆi cˆ g˘ng b` luˆn y ngh˜ cua c´c kh´i niˆm v` u.u khuyˆt d e m ’ ´´ ´ ıa ’ a u ooa ınh a ´ a e a e ¯iˆ . . cua c´c phu.o.ng ph´p d .o.c tr` b`y. Cuˆi mˆ i chu.o.ng d` u c´ phˆn b`i tˆp, ˜ ´o ¯ˆ o ` ’a a ¯u . ınh a o e a aa . d .o.c tuyˆn chon chu yˆu t`. cuˆn s´ch nˆ i tiˆng “B`i tˆp Dai sˆ tuyˆn t´ a a -. o ’ ’´ ´ ´ ´ ´ ’e u o a ’ ¯u . e oe e ınh” cua . . I. V. Proskuryakov. Dˆ n˘m v˜.ng kiˆn th´.c, d oc gia nˆn d . c rˆ t k˜ phˆn l´ thuyˆt -e a ’´ ´ ’ e ¯o a y ` y ´ ´ u e u ¯ˆ a e . tru.´.c khi l`m c`ng nhiˆu c`ng tˆt c´c b`i tˆp cuˆi mˆi chu.o.ng. ´˜ `a ´ o a a e oa aa oo . Viˆc su. dung cuˆn s´ch n`y s˜ d ac biˆt thuˆn lo.i nˆu ngu.`.i d . c coi n´ l` phˆn ´ oa ` ´ e’. oa a e ¯˘ e a.e o ¯o a . . . . mˆt cua mˆt bˆ s´ch m` phˆn hai cua n´ l` cuˆn - ai sˆ d ai cu.o.ng cua c`ng t´c a` ´ ´ ’u o’ ’ o a o D. o ¯ . a o oa a . . . ´ .´ ’ aa’ aa ’ gia, do Nh` xuˆ t ban Gi´o duc H` Nˆi ˆ n h`nh n˘m 1998 v` t´i ban n˘m 1999. a. a oa a a a T´c gia chˆn th`nh cam o.n Ban d ` u h`nh Chu.o.ng tr` d ao tao Cu. nhˆn khoa ’a ’ ’ a a ¯iˆ a e ınh ¯` . a hoc t`i n˘ng, Dai hoc Khoa hoc tu. nhiˆn H` Nˆi, d ac biˆt l` Gi´o su. D`m Trung -a -. . .aa e a o ¯˘ ea a .. . . . Dˆn v` Gi´o su. Nguyˆn Duy Tiˆn, d a tao moi d ` u kiˆn thuˆn lo.i d e t´c gia giang -` a a ’ ˜ ´ ’’ o e e ¯˜ . . ¯iˆ e e a . ¯ˆ a . . day cho sinh viˆn cua Chu.o.ng tr` trong ba n˘m qua v` viˆt cuˆn s´ch n`y trˆn ´ ´ ’ e ınh a ae oa a e . co. so. nh˜.ng b`i giang d o. ’ a’ u ¯´ T´c gia mong nhˆn d .o.c su. chı gi´o cua c´c d oc gia v` d` ng nghiˆp vˆ nh˜.ng e` ’ a ¯u . . ’ a ’ a ¯ˆ ’ a ¯ˆ a o .eu . . ´ ´ ’’ thiˆu s´t kh´ tr´nh khoi cua cuˆn s´ch. eo oa oa H` Nˆi, 12/1999 ao . 6
Chu.o.ng 0 ´. ’ ´ ˆ ˆ KIEN THU C CHUAN BI . Nhiˆm vu cua chu.o.ng n`y l` tr` b`y du.´.i dang gian lu.o.c nhˆ t mˆt sˆ kiˆn ´ ooe .´´ .’ ’ e a a ınh a o. a . . th´.c chuˆ n bi cho phˆn c`n lai cua cuˆn s´ch: Tˆp ho.p, quan hˆ, ´nh xa, nh´m, ’ `o.’ ´ a. a oa a u ea o . . . . v`nh, tru.`.ng, d th´.c... Tru.`.ng sˆ thu.c s˜ d .o.c xˆy du.ng ch˘t ch˜ o. §5. Nhu.ng ´ e’ a o ¯a u o o . e ¯u . a a . . v` c´c t´ chˆ t cua n´ rˆ t quen thuˆc v´.i nh˜.ng ai d a hoc qua chu.o.ng tr` trung ´ ´ ı a ınh a ’ o a oo u ¯˜ . ınh . hoc phˆ thˆng, cho nˆn ch´ng ta vˆn n´i t´.i tru.`.ng n`y trong c´c v´ du o. c´c tiˆt ’ ˜ ´ a ı .’ a e oo e u a oo o a . §1 - §4. Tˆp ho.p 1 a . . Trong tiˆt n`y, ch´ng ta tr` b`y vˆ tˆp ho.p theo quan d e m cua “L´ thuyˆt tˆp ’ ´ ınh a ` a ´. ’ ea u e. ¯iˆ y ea . ho.p ngˆy tho.”. a . Cu thˆ, tˆp ho.p l` mˆt kh´i niˆm “nguyˆn thuy”, khˆng d .o.c d .nh ngh˜ m` ’. ’ . ea .ao ae e o ¯u . ¯i ıa, a . . d .o.c hiˆu mˆt c´ch tru.c gi´c nhu. sau: Mˆt tˆp ho.p l` mˆt su. quˆn tu c´c d oi ’ ` ´ ¯u . e oa a oa .ao. a . a ¯ˆ . .. . . tu.o.ng c´ c`ng mˆt thuˆc t´ n`o d o; nh˜.ng d oi tu.o.ng n`y d .o.c goi l` c´c phˆn ´ ` ou o o ınh a ¯´ u ¯ˆ a ¯u . .aa a . . . . tu. cua tˆp ho.p d o. (Tˆ t nhiˆn, mˆ ta n´i trˆn khˆng phai l` mˆt d .nh ngh˜ cua ´ ’’a o’o e ’ a o ¯i ıa ’ . ¯´ a e o . . tˆp ho.p, n´ chı diˆn d . t kh´i niˆm tˆp ho.p qua mˆt kh´i niˆm c´ ve gˆn g˜i ho.n o ’ ˜ ¯a o’` u a e ae a o ae a . . . . . . . l` “quˆn tu”. Tuy vˆy, ban thˆn kh´i niˆm quˆn tu lai chu.a d .o.c d .nh ngh˜ ` ` ’ a a. a a ae a .. ¯u . ¯i ıa.) . . Ngu.`.i ta c˜ng thu.`.ng goi t˘t tˆp ho.p l` “tˆp”. ´. o u o .aa .aa . Dˆ c´ mˆt sˆ v´ du, ch´ng ta c´ thˆ x´t tˆp ho.p c´c sinh viˆn cua mˆt tru.`.ng -e o o o ı . ’ ’ .´ ’ u o eea .a e o o . . d . i hoc, tˆp ho.p c´c xe tai cua mˆt cˆng ty, tˆp ho.p c´c sˆ nguyˆn tˆ ... ´ ´ ’’ ¯a . a .a oo a .ao eo . . . C´c tˆp ho.p thu.`.ng d .o.c k´ hiˆu bo.i c´c ch˜. in hoa: A, B, C, ..., X, Y, Z ... ’a o ¯u . aa ye u . . . C´c phˆn tu. cua mˆt tˆp ho.p thu.`.ng d .o.c k´ hiˆu bo.i c´c ch˜. in thu.`.ng: ` ’’ ’a a a oa o ¯u . y .e u o . . . a, b, c, ..., x, y, z... Dˆ n´i x l` mˆt phˆn tu. cua tˆp ho.p X , ta viˆt x ∈ X v` d . c l` -e o ’ ` ´ a’’a ao e a ¯o a . . . 7
“x thuˆc X ”. Tr´i lai, d e n´i y khˆng l` phˆn tu. cua X , ta viˆt y ∈ X , v` d . c l` ’ a` ´ a’’ o a . ¯ˆ o o e a ¯o a . “y khˆng thuˆc X ”. o o . Dˆ x´c d .nh mˆt tˆp ho.p, ngu.`.i ta c´ thˆ liˆt kˆ tˆ t ca c´c phˆn tu. cua n´. - e a ¯i ’ ’. ´ ` o ee ea ’a a’’ oa o o .. . ’ Ch˘ng han, a . A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Ngu.`.i ta c˜ng c´ thˆ x´c d .nh mˆt tˆp ho.p bo.i mˆt t´ chˆ t d ac tru.ng P (x) n`o ’ ´. ’ o u o e a ¯i oa o ınh a ¯˘ a .. . . d o cua c´c phˆn tu. cua n´. Tˆp ho.p X c´c phˆn tu. x c´ t´ chˆ t P (x) d .o.c k´ ` ` ´ ¯´ ’ a a’’ oa a’ a o ınh a ¯u . y . . hiˆu l` ea . X = {x| P (x)}, ho˘c l` aa . X = {x : P (x)}. V´ du: ı. N = {x| x l` sˆ tu. nhiˆn}, ´ ao. e Z = {x| x l` sˆ nguyˆn }, ´ ao e Q = {x| x l` sˆ h˜.u ty}, ´ aou ’ R = {x| x l` sˆ thu.c}. ´ ao . Nˆu moi phˆn tu. cua tˆp ho.p A c˜ng l` mˆt phˆn tu. cua tˆp ho.p X th` ta n´i ´ ` ` a’’a a’’a e u ao ı o . . . . . . A l` mˆt tˆp ho.p con cua X , v` viˆt A ⊂ X . Tˆp con A gˆm c´c phˆn tu. x cua X ´ ` ` ’ a’ ’ aoa . ae a o a .. . c´ t´ chˆ t P (x) d .o.c k´ hiˆu l` ´ o ınh a ¯u . y e a . A = {x ∈ X | P (x)}. Hai tˆp ho.p X v` Y d .o.c goi l` b˘ ng nhau nˆu mˆi phˆn tu. cua tˆp ho.p n`y .a` ˜ ´ ` a’’a a a ¯u . a e o a . . . . c˜ng l` mˆt phˆn tu. cua tˆp ho.p kia v` ngu.o.c lai, t´.c l` X ⊂ Y v` Y ⊂ X . Khi ` a’’a u ao a ..ua a . . . ´ d o ta viˆt X = Y . ¯´ e Tˆp ho.p khˆng ch´.a mˆt phˆn tu. n`o ca d .o.c k´ hiˆu bo.i ∅, v` d .o.c goi l` `a ’ a ’ ¯u . y e ’ a o u o a ¯u . .a . . . . tˆp rˆng. Ta quy u.´.c r˘ ng ∅ l` tˆp con cua moi tˆp ho.p. Tˆp ho.p rˆng rˆ t tiˆn o` .˜ ˜ ´. ’ a aa .a ao a .o ae . . . . lo.i, n´ d ong vai tr` nhu. sˆ khˆng trong khi l`m to´n v´.i c´c tˆp ho.p. ´ o ¯´ o oo a aoaa . . . 8
C´c ph´p to´n ho.p, giao v` hiˆu cua hai tˆp ho.p d .o.c d .nh ngh˜ nhu. sau. ae’ a e a a . ¯u . ¯i ıa . . . Cho c´c tˆp ho.p A v` B . aa a . . Ho.p cua A v` B d .o.c k´ hiˆu bo.i A ∪ B v` d .o.c d .nh ngh˜ nhu. sau ’ ’ a ¯u . y e a ¯u . ¯i ıa . . A ∪ B = {x| x ∈ A ho˘c x ∈ B }. a . Giao cua A v` B d .o.c k´ hiˆu bo.i A ∩ B v` d .o.c d .nh ngh˜ nhu. sau ’ ’ a ¯u . y e a ¯u . ¯i ıa . A ∩ B = {x| x ∈ A v` x ∈ B }. a Hiˆu cua A v` B d .o.c k´ hiˆu bo.i A \ B v` d .o.c d .nh ngh˜ nhu. sau e’ ’ a ¯u . y e a ¯u . ¯i ıa . . A \ B = {x| x ∈ A v` x ∈ B }. a Nˆu B ⊂ A th` A \ B d .o.c goi l` phˆn b` cua B trong A, v` d .o.c k´ hiˆu l` CA (B ). ´ ¯u . . a ` u ’ e ı a a ¯u . y e a . C´c ph´p to´n ho.p, giao v` hiˆu c´ c´c t´ chˆ t so. cˆ p sau d ay: ´ ´ a e a a e o a ınh a a ¯ˆ . . Kˆt ho.p: (A ∪ B ) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ), ´ e. (A ∩ B ) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ). Giao ho´n: A ∪ B = B ∪ A, a A ∩ B = B ∩ A. Phˆn phˆi: A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ), ´ a o A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B ) ∩ (A ∪ C ). Cˆng th´.c De Morgan: X \ (A ∪ B ) = (X \ A) ∩ (X \ B ), o u X \ (A ∩ B ) = (X \ A) ∪ (X \ B ). Gia su. Ai l` mˆt tˆp ho.p v´.i mˆi i thuˆc mˆt tˆp chı sˆ I (c´ thˆ h˜.u han hay ’ ˜ ´ ’’ ’o aoa oo o oa o eu .. . . .. . vˆ han). Khi d o, ho.p v` giao cua ho tˆp ho.p {Ai }i∈I d .o.c d .nh ngh˜ nhu. sau: ’ o. ¯´ . a .a ¯u . ¯i ıa . . Ai = {x| x ∈ Ai v´.i mˆt i n`o d o trong I }, oo a ¯´ . i∈I Ai = {x| x ∈ Ai v´.i moi i ∈ I }. o . i∈I Ta c´ dang tˆ ng qu´t cua cˆng th´.c De Morgan: ’ a’o o. o u X \( (X \ Ai ), Ai ) = i∈I i∈I X \( (X \ Ai ). Ai ) = i∈I i∈I 9
Viˆc su. dung qu´ rˆng r˜i kh´i niˆm tˆp ho.p d a dˆn t´.i mˆt sˆ nghich l´. Mˆt ˜ .´ e’. ao a ae a . ¯˜ a o o o y o . . . . . . ´ trong sˆ d o l` nghich l´ Cantor sau d ay. o ¯´ a y ¯ˆ . Ta n´i tˆp ho.p X l` b`nh thu.`.ng nˆu X ∈ X . X´t tˆp ho.p ´ oa aı o e ea . . . . X = {X | X l` tˆp b` thu.`.ng}. a a ınh o . Nˆu X ∈ X th` theo d .nh ngh˜ cua X , n´ l` mˆt tˆp b` thu.`.ng. Do d o, theo ´ ıa ’ e ı ¯i o a o a ınh o ¯´ .. d .nh ngh˜ tˆp b` thu.`.ng, X ∈ X . Tr´i lai, nˆu X ∈ X , th` X l` mˆt tˆp khˆng ´ ¯i ıa a ınh o a. e ı aoa o . .. b` thu.`.ng, v` do d o X ∈ X . Ca hai tru.`.ng ho.p d` u dˆn t´.i mˆu thuˆn. e˜ ˜ ’ ınh o a ¯´ o . ¯ˆ a o a a Dˆ tr´nh nh˜.ng nghich l´ loai nhu. vˆy, ngu.`.i ta s˜ khˆng d`ng kh´i niˆm tˆp -e a ’ u y. a o eo u ae a . . . . ho.p d e chı “nh˜.ng thu.c thˆ qu´ l´.n”. Ta s˜ n´i “l´.p tˆ t ca c´c tˆp ho.p”, ch´. ’ ’ ao ´ . ¯ˆ ’ eo o a ’aa u e u . . . khˆng n´i “tˆp ho.p tˆ t ca c´c tˆp ho.p”. Theo quan niˆm n`y X chı l` mˆt l´.p ch´. ´ o a . a ’aa . ’a o o o e a u . . . . khˆng l` mˆt tˆp ho.p. V` thˆ, ta tr´nh d .o.c nghich l´ n´i trˆn. ´ o aoa ıe a ¯u . yo e .. . . Phˆn c`n lai cua tiˆt n`y d .o.c d`nh cho viˆc tr` b`y so. lu.o.c vˆ lu.o.ng t`. phˆ’ `o.’ ´ .`. a e a ¯u . a uo e ınh a e . biˆn v` lu.o.ng t`. tˆn tai. ´ u` . ea. o Ta thu.`.ng cˆn phai ph´t biˆu nh˜.ng mˆnh d` c´ dang: “Moi phˆn tu. x cu a tˆp ’ ` `’ ’ ’a o a ae u e ¯ˆ o . e a . . . ho.p X d` u c´ t´nh chˆ t P (x)”. Ngu.`.i ta quy u.´.c k´ hiˆu mˆnh d` d o nhu. sau: ´ o oye e ¯ˆ ¯´ e ¯ˆ o ı e a . . . ∀x ∈ X, P (x). D˜y k´ hiˆu trˆn d .o.c d . c l` “V´.i moi x thuˆc X , P (x)”. o aye e ¯u . ¯o a o . . . K´ hiˆu ∀ d .o.c goi l` lu.o.ng t`. phˆ biˆn. ’´ ye ¯u . uoe .a . . Tu.o.ng tu., ta c˜ng hay g˘p c´c mˆnh d` c´ dang: “Tˆn tai mˆt phˆn tu. x cu a `. ` a’ ’ u aa e ¯ˆ o . e o o . . . . X c´ t´nh chˆ t P (x)”. Mˆnh d` n`y d .o.c quy u.´.c k´ hiˆu nhu. sau: ´ oı a e ¯ˆ a ¯u . e oye . . ∃x ∈ X, P (x). D˜y k´ hiˆu d o d .o.c d . c l` “Tˆn tai mˆt x thuˆc X , P (x)”. a y e ¯´ ¯u . ¯o a ` . o o o . . . K´ hiˆu ∃ d .o.c goi l` lu.o.ng t`. tˆn tai. u` . ye ¯u . .a . o . Mˆnh d` “Tˆn tai duy nhˆ t mˆt phˆn tu. x cua X c´ t´ chˆ t P (x)” d .o.c viˆt e ¯ˆ ` . ´. ` ´ ´ a’ ’ e o ao o ınh a ¯u . e . nhu. sau: ∃!x ∈ X, P (x). 10
Lu.o.ng t`. phˆ biˆn v` lu.o.ng t`. tˆn tai c´ mˆi quan hˆ quan trong sau d ay. ’´ u` . o o ´ uoea. o e ¯ˆ . . . Goi P l` phu d .nh cua mˆnh d` P . Ta c´ ’ ¯i ’ a e ¯ˆ e o . . ∀x ∈ X, P (x) ≡ ∃x ∈ X, P (x), ∃x ∈ X, P (x) ≡ ∀x ∈ X, P (x). Chung tˆi d` nghi d oc gia tu. ch´.ng minh nh˜.ng kh˘ng d .nh trˆn xem nhu. mˆt b`i ’ ’. u ´ o ¯ˆe . ¯ˆ u a ¯i e oa . . tˆp. a . e a´ 2 Quan hˆ v` Anh xa . . T´ tru.c tiˆp (hay t´ Descartes) cua hai tˆp ho.p X v` Y l` tˆp ho.p sau d ay: ´ ’ ıch . e ıch a a aa ¯ˆ . . . . X × Y = {(x, y )| x ∈ X, y ∈ Y }. Tru.`.ng ho.p d ac biˆt, khi X = Y , ta c´ t´ tru.c tiˆp X × X cua tˆp X v´.i ch´ ´ ’a o . ¯˘ e o ıch . e o ınh . . . n´. o Dinh ngh˜ 2.1 Mˆi tˆp con R cua tˆp ho.p t´ X × X d .o.c goi l` mˆt quan hˆ -. ˜. ’a ıa oa . ıch ¯u . . a o e . . . hai ngˆi trˆn X . Nˆu (x, y ) ∈ R th` ta n´i x c´ quan hˆ R v´.i y , v` viˆt xRy . ´ ´ oe e ı o o e o ae . Ngu.o.c lai, nˆu (x, y ) ∈ R th` ta n´i x khˆng c´ quan hˆ R v´.i y , v` viˆt xRy . ´ ´ e ı o o o e o ae .. . Ch˘ng han, nˆu R = {(x, y ) ∈ Z × Z| x chia hˆt cho y }, th` 6R2, nhu.ng 5R3. ’ ´ ´ a e e ı . Dinh ngh˜ 2.2 Quan hˆ hai ngˆi R trˆn X d .o.c goi l` mˆt quan hˆ tu.o.ng d u.o.ng -. ıa e o e ¯u . . a o e ¯ . . . ´ ´ nˆu n´ c´ ba t´ chˆ t sau d ay: e oo ınh a ¯ˆ (a) Phan xa: xRx, ∀x ∈ X . ’ . (b) Dˆi x´.ng: Nˆu xRy , th` y Rx, ∀x, y ∈ X . -o u ´ ´ e ı (c) B˘c cˆu: Nˆu xRy, y Rz , th` xRz, ∀x, y, z ∈ X . ´a a` ´ e ı 11
C´c quan hˆ tu.o.ng d .o.ng thu.`.ng d .o.c k´ hiˆu bo.i dˆ u ∼. ´ ’a a e ¯u o ¯u . y e . . Gia su. ∼ l` mˆt quan hˆ tu.o.ng d .o.ng trˆn X . L´.p tu.o.ng d .o.ng theo quan hˆ ’’ ao e ¯u e o ¯u e . . . . x ∈ X d .o.c d nh ngh˜ nhu. sau: ∼ cua mˆt phˆn tu ` ’ a’ o ¯u . ¯i ıa . . [x] = {y ∈ X | x ∼ y } ⊂ X. Bˆ d` 2.3 Gia su. ∼ l` mˆt quan hˆ tu.o.ng d u.o.ng. Khi d ´, v´.i moi x, y ∈ X , c´c ’e ’’ o ¯ˆ ao e ¯ ¯o o a . . . l´.p [x] v` [y ] ho˘c tr`ng nhau, ho˘c r`.i nhau (t´.c l` [x] ∩ [y ] = ∅). o a a u ao ua . . Ch´.ng minh: Gia su. [x] ∩ [y ] = ∅. Ta s˜ ch´.ng minh r˘ ng [x] = [y ]. Lˆ y mˆt ` ´ ’’ u a eu a o . phˆn tu. z ∈ [x] ∩ [y ]. Ta c´ x ∼ z v` y ∼ z . ` a’ o a Do t´ d oi x´.ng cua quan hˆ tu.o.ng d .o.ng, x ∼ z k´o theo z ∼ x. Gia su. ´ ’ ’’ e ¯u e ınh ¯ˆ u . t ∈ [x], t´.c l` x ∼ t. Do t´ b˘c cˆu, z ∼ x v` x ∼ t k´o theo z ∼ t. Tiˆp theo, ´a ınh a ` ´ ua a e e y ∼ z v` z ∼ t k´o theo y ∼ t. Ngh˜ l` t ∈ [y ]. Nhu. vˆy, [x] ⊂ [y ]. Do vai tr` a a e ıa a o . nhu. nhau cua c´c l´.p [x] v` [y ], ta c˜ng c´ bao h`m th´.c ngu.o.c lai, [y ] ⊂ [x]. Vˆy ’ ao a u o a u a .. . 2 [x] = [y ]. Theo bˆ d` n`y, nˆu y ∈ [x] th` y ∈ [x] ∩ [y ] = ∅, do d o [x] = [y ]. V` thˆ, ta ’e ´ ´ o ¯ˆ a e ı ¯´ ıe c´ thˆ d`ng t`. l´.p tu.o.ng d u.o.ng d e chı l´.p tu.o.ng d .o.ng cua bˆ t k` phˆn tu. n`o ’ ’ ’ay`´ ¯ˆ ’ o a ’a uo ¯ ¯u o eu trong l´.p d o. Mˆi phˆn tu. cua mˆt l´.p tu.o.ng d .o.ng d .o.c goi l` mˆt d ai biˆ u cua ’’ ˜ ` a’’ o ¯´ o oo ¯u ¯u . . a o ¯ . e . . l´.p tu.o.ng d .o.ng n`y. ¯u a o Dˆ d`ng thˆ y r˘ ng X l` ho.p r`.i rac cua c´c l´.p tu.o.ng d .o.ng theo quan hˆ ∼. ˜a a` ´a a. o. ’ ao e ¯u e . (N´i c´ch kh´c, X l` ho.p cua c´c l´.p tu.o.ng d .o.ng theo quan hˆ ∼, v` c´c l´.p n`y ’ ao oa a a. ¯u e aa o a . r`.i nhau.) Ngu.`.i ta c˜ng n´i X d .o.c phˆn hoach bo.i c´c l´.p tu.o.ng d .o.ng. ’ao o o u o ¯u . ¯u a . Dinh ngh˜ 2.4 Tˆp ho.p c´c l´.p tu.o.ng d .o.ng cua X theo quan hˆ ∼ d .o.c goi -. ’ ıa a . ao ¯u e ¯u . . . . l` tˆp thu.o.ng cu a X theo ∼ v` d .o.c k´ hiˆu l` X/ . a ¯u . y e a ∼ ’ aa . . V´ du 2.5 Gia su. n l` mˆt sˆ nguyˆn du.o.ng bˆ t k`. Ta x´t trˆn tˆp X = Z quan .´ ´ ’’ ı. aoo e ay eea . hˆ sau d ay: e ¯ˆ . ∼ = {(x, y ) ∈ Z × Z| x − y chia hˆt cho n}. ´ e 12
R˜ r`ng d o l` mˆt quan hˆ tu.o.ng d .o.ng. Ho.n n˜.a x ∼ y nˆu v` chı nˆu x v` y c´ ´ ´ e a ’e ¯u u a o o a ¯´ a o e . . c`ng phˆn du. trong ph´p chia cho n. V` thˆ, Z/ l` mˆt tˆp c´ d ung n phˆn tu. : ´ ∼ a o a o ¯´ ` ` a’ u a e ıe .. Z/ = {[0], [1], ..., [n − 1]}. ∼ N´ d .o.c goi l` tˆp c´c sˆ nguyˆn modulo n, v` thu.`.ng d .o.c k´ hiˆu l` Z/n. ´ o ¯u . . aa a o e a o ¯u . y e a . . Dinh ngh˜ 2.6 Gia su. ≤ l` mˆt quan hˆ hai ngˆi trˆn X . N´ d .o.c goi l` mˆt -. ’’ ıa ao e oe o ¯u . .ao . . . quan hˆ th´. tu. nˆu n´ c´ ba t´ chˆt sau d ay: ´ ´ e u. e oo ınh a ¯ˆ . (a) Phan xa: x ≤ x, ∀x ∈ X . ’ . (b) Phan d oi x´.ng: Nˆu x ≤ y v` y ≤ x th` x = y, ∀x, y ∈ X . ´ ´ ’ ¯ˆ u e a ı (c) B˘c cˆu: Nˆu x ≤ y, y ≤ z , th` x ≤ z, ∀x, y, z ∈ X . ´a a` ´ e ı Tˆp X d .o.c trang bi mˆt quan hˆ th´. tu. d .o.c goi l` mˆt tˆp d u.o.c s˘p. Nˆu ´ ´ a ¯u . .o e u . ¯u . . a o a ¯. a e . . . .. x ≤ y , ta n´i x d u.ng tru.´.c y , hay x nho ho.n ho˘c b˘ ng y . a` ’ o ¯´ o .a Ta n´i X d .o.c s˘p to`n phˆn (hay tuyˆn t´ ) bo.i quan hˆ ≤ nˆu v´.i moi ´ ` ´ ´o ’ o ¯u . a a a e ınh e e . . x, y ∈ X , th` x ≤ y ho˘c y ≤ x. Khi d o ≤ d .o.c goi l` mˆt quan hˆ th´. tu. to`n ı a ¯´ ¯u . .ao e u. a . . . ` ´ phˆn (hay tuyˆn t´ a e ınh) trˆn X . e Ch˘ng han, tru.`.ng sˆ h˜.u ty Q l` mˆt tˆp d .o.c s˘p to`n phˆn d oi v´.i quan ’ ´ ´ ` ¯ˆ o ´ ou ’ o a o a ¯u . a a a a .. . hˆ th´. tu. ≤ thˆng thu.`.ng. Mˆt v´ du kh´c: nˆu X l` tˆp ho.p tˆ t ca c´c tˆp con ´ ´ . a ’a a e u. o o oı. a e aa . . . . cua mˆt tˆp A n`o d o, th` X d .o.c s˘p theo quan hˆ bao h`m. Dˆy khˆng phai l` -a ´ ’ ’a oa a ¯´ ı ¯u . a e a o .. . mˆt th´. tu. to`n phˆn nˆu tˆp A ch´.a nhiˆu ho.n mˆt phˆn tu.. ` ` ` ´. a’ e o o u. a aea u . . Bˆy gi`. ta chuyˆn qua x´t c´c ´nh xa. ’ a o e e aa . Ngu.`.i ta thu.`.ng mˆ ta c´c ´nh xa mˆt c´ch tru.c gi´c nhu. sau. o’aa o o .oa a . . Gia su. X v` Y l` c´c tˆp ho.p. Mˆt ´nh xa f t`. X v`o Y l` mˆt quy t˘c d at ´. ’’ a aa a oa u a ao a ¯˘ . . . . . tu.o.ng u.ng mˆi phˆn tu. x ∈ X v´.i mˆt phˆn tu. x´c d .nh y = f (x) ∈ Y . Anh xa ´ ˜ ` ` a’ a ’ a ¯i ´ o o o . . d o d .o.c k´ hiˆu bo.i f : X → Y . ’ ¯´ ¯u . y e . 13
´ o’o e ’ a o ¯i Tˆ t nhiˆn mˆ ta n´i trˆn khˆng phai l` mˆt d .nh ngh˜ ch˘t ch˜, v` ta khˆng a e o ıa a eı o . . ´ ´ ´ ´ ’ biˆt thˆ n`o l` mˆt quy t˘c. N´i c´ch kh´c, trong d .nh ngh˜ n´i trˆn quy t˘c chı e eaao a oa a ¯i ıa o e a . a ’a l` mˆt tˆn goi kh´c cua ´nh xa. aoe . . . Ta c´ thˆ kh˘c phuc d ` u d o b˘ ng c´ch d .a ra mˆt d .nh ngh˜ ch´ x´c nhu.ng ’´ . ¯iˆ ¯´ ` oea e a a ¯u o ¯i ıa ınh a . ho.i cˆng kˆnh vˆ ´nh xa nhu. sau. ` ` `a o e e . Mˆi tˆp con R cua t´ tru.c tiˆp X × Y d .o.c goi l` mˆt quan hˆ gi˜.a X v` Y . ˜. ´ ’ ıch . oa e ¯u . . a o eu a . . Quan hˆ R d .o.c goi l` mˆt ´nh xa t`. X v`o Y nˆu n´ c´ t´ chˆ t sau: v´.i moi ´ ´ e ¯u . . a oa .u a e o o ınh a o . . . x ∈ X c´ mˆt v` chı mˆt y ∈ Y d e cho (x, y ) ∈ R. Ta k´ hiˆu phˆn tu. duy nhˆ t ’ ` ´ ooa’o a’ ¯ˆ ye a . . . d o l` y = f (x). Khi d o ¯´ a ¯´ R = {(x, f (x))| x ∈ X }. Anh xa n`y thu.`.ng d .o.c k´ hiˆu l` f : X → Y v` quan hˆ R d .o.c goi l` d` thi ´ o ¯u . y e a .a a e ¯u . . a ¯ˆ . o . . ’a cua ´nh xa f . . C´c tˆp X v` Y d .o.c goi lˆn lu.o.t l` tˆp nguˆn v` tˆp d ıch cua ´nh xa f . Tˆp ¯u . . ` ` a a ¯´ ’a aa a a . aa o a . . . . . ho.p f (X ) = {f (x)| x ∈ X } d .o.c goi l` tˆp gi´ tri cua f . a.’ ¯u . . aa . . Gia su. A l` mˆt tˆp con cua X . Khi d o, f (A) = {f (x)| x ∈ A} d .o.c goi l` anh ’’ ’ ¯u . . a ’ aoa ¯´ .. cua A bo.i f . Nˆu B l` mˆt tˆp con cua Y , th` f −1 (B ) = {x ∈ X | f (x) ∈ B } d .o.c ´ ’ ’ ’ e aoa ı ¯u . .. goi l` nghich anh cua B bo.i f . Tru.`.ng ho.p d ac biˆt, tˆp B = {y } chı gˆm mˆt ’` ’ .’ ’ o . ¯˘ ea o o .a . . . . .n gian f −1 (y ) thay cho f −1 ({y }). d e m y ∈ Y , ta viˆt d ’ ´ ’ ¯iˆ e ¯o (a) Anh xa f : X → Y d .o.c goi l` mˆt d o.n ´nh nˆu v´.i moi ´ -. ´ Dinh ngh˜ 2.7 ıa ¯u . .a o¯ a eo . . . x = x , (x, x ∈ X ) th` f (x) = f (x ). ı (b) Anh xa f : X → Y d .o.c goi l` mˆt to`n ´nh nˆu v´.i moi y ∈ Y tˆn tai (´ ´ ´ ` . ıt ¯u . .ao aa eo o . . . nhˆ t) mˆt phˆn tu. x ∈ X sao cho f (x) = y . ´ ` a’ a o . (c) Anh xa f : X → Y d .o.c goi l` mˆt song ´nh (hay mˆt tu.o.ng u.ng mˆt-mˆt) ´ ¯u . .ao a o ´ oo . . . . . nˆu n´ v`.a l` mˆt d .n ´nh v`.a l` mˆt to`n ´nh. ´ e o u a o ¯o a uao aa . . Gia su. f : X → Y l` mˆt song ´nh. Khi d o, v´.i mˆi y ∈ Y tˆn tai duy nhˆ t phˆn ˜ `. ´ ` ’’ ao a ¯´ o o o a a . tu. x ∈ X sao cho f (x) = y . Ta k´ hiˆu phˆn tu. x d o nhu. sau: x = f −1 (y ). Nhu. ` ’ a’ ye ¯´ . 14
thˆ, tu.o.ng u.ng y → x = f −1 (y ) x´c d .nh mˆt ´nh xa, d .o.c k´ hiˆu l` f −1 : Y → X ´ ´ a ¯i oa . ¯u . y e a e . . v` d .o.c goi l` ´nh xa ngu.o.c cua f . Hiˆn nhiˆn, f −1 c˜ng l` mˆt song ´nh, ho.n ’ ’ a ¯u . . aa e e u ao a . . . nu.a (f −1 )−1 = f . ˜ Cho c´c ´nh xa f : X → Y v` g : Y → Z . Khi d o ´nh xa h : X → Z d .o.c x´c aa a ¯´ a ¯u . a . . d .nh bo.i ’ ¯i h(x) = g (f (x)), ∀x ∈ X, d .o.c goi l` ´nh xa t´ch (hay ´nh xa ho.p) cua f v` g , v` d .o.c k´ hiˆu l` h = gf ’ ¯u . . aa .ı a a a ¯u . y e a .. . ho˘c h = g ◦ f . a . Ch´ng tˆi d` nghi d oc gia tu. ch´.ng minh hai mˆnh d` sau d ay. ’. u e ¯ˆ e ¯ˆ u o ¯ˆe . ¯ˆ . . Mˆnh d` 2.8 Ho.p th`nh cu a hai d o.n ´nh lai l` mˆt d o.n ´nh. Ho.p th`nh cu a hai ’ ’ e ¯ˆ e a ¯a . a o¯ a a . . . . to`n ´nh lai l` mˆt to`n ´nh. Ho.p th`nh cua hai song ´nh lai l` mˆt song ´nh. ’ a a .ao a aa .ao aa . . . Goi idX : X → X l` ´nh xa d` ng nhˆ t trˆn X , d .o.c x´c d .nh nhu. sau ´e aa . ¯ˆ o a ¯u . a ¯i . idX (x) = x, ∀x ∈ X. (i) Gia su. f : X → Y v` g : Y → Z l` c´c ´nh xa. Khi d ´, nˆu Mˆnh d` 2.9 ´ ’’ e ¯ˆ e a aaa ¯o e . . gf l` mˆt d o.n ´nh th` f c˜ng vˆy; nˆu gf l` mˆt to`n ´nh th` g c˜ng vˆy. ´ a o¯ a ı u a e ao aa ı u a . . . . (ii) Anh xa f : X → Y l` mˆt song ´nh nˆu v` chı nˆu tˆn tai mˆt ´nh xa ´ e a’e` . ´ ´o ao a oa . . . . g : Y → X sao cho gf = idX , f g = idY . Lu.c lu.o.ng cua tˆp ho.p ’a 3 . . . . Dˆi v´.i c´c tˆp ho.p h˜.u han, khi cˆn x´t xem tˆp n`o c´ nhiˆu phˆn tu. ho.n, ngu.`.i -o o a a ´ `e aao` `’ u a e a o . . . . ta d e m sˆ phˆn tu. cua ch´ng. Nhu.ng d ong t´c d .n gian ˆ y khˆng thu.c hiˆn d .o.c ´o` ´a’’ ´ ’a ¯ˆ u ¯ˆ a ¯o o e ¯u . . . . d oi v´.i c´c tˆp c´ vˆ han phˆn tu.. Dˆ so s´nh “sˆ lu.o.ng phˆn tu.” cua c´c tˆp vˆ a ’ -e ’ ` ´ ´ `a’ ’aao ¯ˆ o a a o o . a o. . . han, ngu.`.i ta tro. lai v´.i c´ch l`m cua ngu.`.i nguyˆn thuy khi chu.a biˆt d e m. Cu ´´ ’. oa ’ ’ o a o e e ¯ˆ . . thˆ l`, nˆu muˆn xem sˆ r` tay c´ d ’ cho mˆi ngu.`.i mˆt chiˆc hay khˆng ngu.`.i ’ ˜ ´ ´ ´ ´ ea e o o ıu o ¯u o o o e o o . 15
ta ph´t cho mˆi ngu.`.i mˆt chiˆc r` t´.c l` lˆp mˆt tu.o.ng u.ng gi˜.a tˆp ho.p ngu.`.i ˜ ´ a o oo e ıu, u a a o ´ ua o . . . . . v` tˆp ho.p r` aa . ıu. . Dinh ngh˜ 3.1 Ta n´i tˆp ho.p X c`ng lu.c lu.o.ng v´.i tˆp ho.p Y nˆu tˆn tai mˆt -. e`. ´o ıa oa u oa o . . . . . . . song ´nh t`. X v`o Y . a a u R˜ r`ng quan hˆ c`ng lu.c lu.o.ng l` mˆt quan hˆ tu.o.ng d .o.ng. oa eu ao e ¯u . . . . . Gia su. tˆp A c´ n phˆn tu.. Diˆu n`y c´ ngh˜ l` c´ mˆt tu.o.ng u.ng mˆt-mˆt a ’ -` ` ’’a o eao ıa a o o ´ o o . . . . gi˜.a c´c phˆn tu. cua A v´.i c´c sˆ tu. nhiˆn 1, 2, 3, ..., n. N´i c´ch kh´c, A c´ n phˆn ` ’’ ´ ` ua a oa o. e oa a o a tu. nˆu v` chı nˆu n´ c`ng lu.c lu.o.ng v´.i tˆp ho.p {1, 2, 3, ..., n}. ´ ´ ’ e a ’e ou oa . . . . .p c´c tˆp ho.p vˆ han c´ “´ phˆn tu. nhˆ t”, d o o . o ıt ` ´ a’ ’ ao Sau d ay ch´ng ta s˜ khao s´t l´ a a a ¯´ ¯ˆ u e . . l` c´c tˆp d e m d .o.c. ´ a a a ¯ˆ ¯u . . Dinh ngh˜ 3.2 Tˆp X d .o.c goi l` dˆm d u.o.c nˆu n´ c`ng lu.c lu.o.ng v´.i tˆp ho.p -. ´ ´ ıa a ¯u . . a ¯e ¯ . oa e ou . . . . . N c´c sˆ tu. nhiˆn. ´ ao. e Ch˘ng han, Z l` mˆt tˆp d e m d .o.c. Thˆt vˆy, ´nh xa f : N → Z x´c d .nh bo.i ’ ´ ’ a a o a ¯ˆ ¯u . aaa a ¯i . .. .. . cˆng th´.c o u f (2n − 1) = −n + 1, f (2n) = n (n = 1, 2, 3, ...) l` mˆt song ´nh. ao a . Tu.o.ng tu., tˆp ho.p c´c sˆ tu. nhiˆn ch˘n v` tˆp ho.p c´c sˆ tu. nhiˆn le d` u l` ˜ ´ ´ e ’ ¯ˆ a .a . ao. e a aa . ao. e . . c´c tˆp d e m d .o.c. ´ a a ¯ˆ ¯u . . C´c v´ du trˆn cho thˆ y mˆt tˆp vˆ han c´ thˆ c´ c`ng lu.c lu.o.ng v´.i mˆt tˆp ’ ´ aı.e a o a o. o eou o oa .. . . .. con thˆt su. cua n´. Ta c´ a.’ o o . Mˆnh d` 3.3 Mˆi tˆp con vˆ han cu a mˆt tˆp dˆm d u.o.c c˜ng l` mˆt tˆp dˆm ˜. ´ ´ ’ e ¯ˆ e oa o. o a ¯e ¯ . u a o a ¯e .. .. . d u.o.c. ¯. 16
Chu.ng minh: Gia su. A = {a1 , a2 , a3 , ...} l` mˆt tˆp d e m d .o.c, v` B l` mˆt tˆp ´ ’’ ´ a o a ¯ˆ ¯u . a aoa .. .. con vˆ han cua A. Goi i1 l` sˆ tu. nhiˆn nho nhˆ t sao cho ai1 ∈ B , i2 l` sˆ tu. nhiˆn ´ ´ ´ ’ ’a o. ao. e ao. e . nho nhˆ t sao cho ai2 ∈ B \ {ai1 }. Mˆt c´ch quy nap, in l` sˆ tu. nhiˆn nho nhˆ t sao ´ ´ ´ ’a ’a e oa ao. . . cho ain ∈ B \ {ai1 , ai2 , ..., ain−1 }... B˘ ng c´ch d o, c´c phˆn tu. cua B d .o.c xˆp th`nh mˆt d˜y vˆ han ` ´ ` a’’ ¯u . e a oa o. a a ¯´ a . B = {ai1 , ai2 , ..., ain , ...}. N´i c´ch kh´c, c´ mˆt song ´nh N → B d at n tu.o.ng u.ng v´.i ain . Nhu. thˆ B d e m ´ ¯ˆ ´ ´ o e oa aoo a ¯˘ . . d .o.c. 2 ¯u . Mˆnh d` 3.4 T´ch tru.c tiˆp cu a hai tˆp dˆm d u.o.c c˜ng l` mˆt tˆp dˆm d u.o.c. ´ ´ ´ e’ e ¯ˆ e ı a ¯e ¯ . u a o a ¯e ¯ . . . .. . Chu.ng minh: Khˆng giam tˆ ng qu´t, ta chı cˆn ch´.ng minh N × N l` d e m d .o.c. ’ ´ ’` ’ a ¯ˆ ¯u . ´ o o a a u Ta xˆp tˆ t ca c´c phˆn tu. (a, b) cua N × N th`nh mˆt d˜y vˆ han b˘ ng c´ch` ´´ ` e a ’a a’ ’ a oa o. a a . sau. Tru.´.c hˆt ta xˆp c˘p (a, b) v´.i a + b = 2. Gia su. d a xˆp xong c´c c˘p (a, b) ´ ´. ´ ’ ’ ¯˜ e oe ea o aa . v´.i a + b = n − 1, ta xˆp tiˆp c´c c˘p (a, b) v´.i a + b = n, trong d o c˘p (a, b) d .o.c ´eaa ´ o e o ¯´ a ¯u . . . xˆp tru.´.c c˘p (a , b ) nˆu a + b = a + b = n v` a < a . ´ ´ e oa e a . Nhu. vˆy, N × N l` mˆt tˆp d e m d .o.c. 2 ´ a a o a ¯ˆ ¯u . . .. Hˆ qua 3.5 Tˆp ho.p Q c´c sˆ h˜.u ty l` mˆt tˆp dˆm d u.o.c. ´ ´ ’ a o u ’ a o a ¯e ¯ . e a. . .. . Chu.ng minh: Ta s˜ ch´.ng minh tˆp ho.p Q+ c´c sˆ h˜.u ty du.o.ng l` d e m d .o.c. ´ ´ aou ’ a a ¯ˆ ¯u . ´ eu . . Do d o Q = Q− ∪ {0} ∪ Q+ c`ng lu.c lu.o.ng v´.i Z = N− ∪ {0} ∪ N, trong d o Q− l` ¯´ u o ¯´ a . . tˆp ho.p c´c sˆ h˜.u ty ˆm v` N− l` tˆp ho.p c´c sˆ nguyˆn ˆm. V` thˆ Q l` d e m ´ ´ ´ ´ . a o u ’a a a aa .ao ea ıe a ¯ˆ . . d .o.c. ¯u . Mˆi sˆ h˜.u ty du.o.ng d .o.c biˆu thi duy nhˆ t du.´.i dang mˆt phˆn sˆ p , trong ’ ˜´ ´ ´ oou ’ ¯u . o. o a oq e a . . d o p, q ∈ N v` c˘p p, q nguyˆn tˆ c`ng nhau. Tu.o.ng u.ng p → (p, q ) l` mˆt song ´ ¯´ aa e ou ´ ao . . q ´nh t`. Q+ lˆn mˆt tˆp con cua t´ tru.c tiˆp N × N. Do d o, theo hai mˆnh d` trˆn ´ ’ ıch . a u e oa e ¯´ e ¯ˆ e e .. . th` Q+ l` mˆt tˆp d e m d .o.c. 2 ´ ı a o a ¯ˆ ¯u . .. Chung ta th`.a nhˆn kˆt qua sau d ay, v` muˆn ch´.ng minh n´ ta cˆn mˆt hiˆu’ ´ ´ ` ’ ae ¯ˆ ı o u o a o e ´ u . . biˆt sˆu s˘c ho.n vˆ c´c sˆ thu.c. ´ ´ `ao . ´ eaa e 17
Mˆnh d` 3.6 Tˆp ho.p R c´c sˆ thu.c l` mˆt tˆp khˆng dˆm d u.o.c. ´ ´ e ¯ˆ e a. ao.aoa o ¯e ¯ . . .. . Ngu.`.i ta n´i tˆp ho.p c´c sˆ thu.c c´ lu.c lu.o.ng continum. ´ o oa . a o . o. . . Nh´m, V`nh v` Tru.`.ng 4 o a a o C´c kh´i niˆm nh´m, v`nh v` tru.`.ng d .o.c gi´.i thiˆu trong tiˆt n`y chı d`.ng o. ´ ’u ’ a ae o a a o ¯u . o e ea . . m´.c d ’ d`ng cho c´c diˆn d . t trong phˆn sau cua cuˆn s´ch. ˜ ¯a ` ´ ’ u ¯u u a e a oa Gia su. G l` mˆt tˆp ho.p. Mˆi ´nh xa ˜ ’’ aoa oa .. . . ◦:G×G→G d .o.c goi l` mˆt ph´p to´n hai ngˆi (hay mˆt luˆt ho.p th`nh) trˆn G. Anh cua c˘p ’ ’a ¯u . . a o e a o oa. a e . . . . . (x, y ) ∈ G × G bo.i ´nh xa ◦ s˜ d .o.c k´ hiˆu l` x ◦ y , v` d .o.c goi l` t´ch ` a’ ’a phˆn tu e ¯u . y e a a ¯u . . aı . . hay ho.p th`nh cua x v` y . ’ a a . Dinh ngh˜ 4.1 Mˆt nh´m l` mˆt tˆp ho.p kh´c rˆng G d .o.c trang bi mˆt ph´p -. ˜ ıa o o aoa ao ¯u . .o e . .. . . to´n hai ngˆi ◦ thoa m˜n ba d ` u kiˆn sau d ay: ’a a o ¯iˆ e e ¯ˆ . (G1) Ph´p to´n c´ t´ kˆt ho.p: ´ e a o ınh e . (x ◦ y ) ◦ z = x ◦ (y ◦ z ), ∀x, y, z ∈ G. (G2) C´ mˆt phˆn tu. e ∈ G, d .o.c goi l` phˆn tu. trung lˆp, v´.i t´ chˆ t ` ´ .a` a’ a’ oo ¯u . a o ınh a . . x ◦ e = e ◦ x = x, ∀x ∈ G. (G3) V´.i moi x ∈ G, tˆn tai phˆn tu. x ∈ G, d .o.c goi l` nghich d ’ o cua x, sao cho `. ` a’ . ¯a ’ o o ¯u . . a . x ◦ x = x ◦ x = e. Nhˆn x´t: a e . 18
Phˆn tu. trung lˆp cua mˆt nh´m l` duy nhˆ t. Thˆt vˆy, nˆu e v` e d` u l` c´c ` ´ ´ a’ a’ o oa a aa e a ¯ˆ a a e . . .. phˆn tu. trung lˆp cua nh´m G th` ` a’ a’ o ı . e=e◦e =e. V´.i moi x ∈ G, phˆn tu. nghich d ’ o x n´i o. muc (G3) l` duy nhˆ t. Thˆt vˆy, ` ´ a’ o’ . o . ¯a a a aa . .. nˆu x1 v` x2 l` c´c phˆn tu. nghich d ’ o cua x th` ´ ` a’ . ¯a ’ e a aa ı x1 = x1 ◦ e = x1 ◦ (x ◦ x2 ) = (x1 ◦ x) ◦ x2 = e ◦ x2 = x2 . Trong nh´m c´ luˆt gian u.´.c, t´.c l` ’ o ua o oa . x ◦ y = x ◦ z =⇒ y = z, x ◦ z = y ◦ z =⇒ x = y. Thˆt vˆy, d e c´ luˆt gian u.´.c, chı cˆn nhˆn hai vˆ cua d ang th´.c x ◦ y = x ◦ z v´.i ’ ’ ’` ´ ’ e ’ ¯˘ a a ¯ˆ o a o a a u o .. . nghich d ’ o x cua x t`. bˆn tr´i, v` nhˆn hai vˆ cua d ang th´.c x ◦ z = y ◦ z v´.i ’ ´ ’ e ’ ¯˘ . ¯a ue aaa u o nghich d ’ o z cua z t`. bˆn phai. ’ ’ . ¯a ue Nˆu ph´p to´n ◦ c´ t´ giao ho´n, t´.c l` ´ e e a o ınh a ua x ◦ y = y ◦ x, ∀x, y ∈ G, th` G d .o.c goi l` mˆt nh´m giao ho´n (hay abel). ı ¯u . .ao o a . Theo th´i quen, luˆt ho.p th`nh ◦ trong mˆt nh´m abel thu.`.ng d .o.c k´ hiˆu o a. a o o o ¯u . y e . . . theo lˆi cˆng “ + ”. Ho.p th`nh cua c˘p phˆn tu. (x, y ) d .o.c k´ hiˆu l` x + y v` d .o.c ´. `’ ’a oo a a ¯u . y e a a ¯u . . . . goi l` tˆ ng cua x v` y . Phˆn tu. trung lˆp cua nh´m d .o.c goi l` phˆn tu. khˆng, k´ ’ ` o ¯u . . a ` ’ a’ a’ a’o . ao a y . hiˆu 0. Nghich d ’ o cua x (x´c d .nh bo.i d ` u kiˆn (G3)) d .o.c goi l` phˆn tu. d ˆi .a` ´ . ¯a ’ ’ ¯iˆ a ’ ¯o e a ¯i e e ¯u . . . cua x, k´ hiˆu (−x). ’ ye . .`.ng ho.p tˆ ng qu´t, ph´p to´n ◦ trong nh´m thu.`.ng d .o.c k´ hiˆu theo lˆi ’ ´ Tru o .o a e a o o ¯u . y e o . nhˆn “ · ”. Ho.p th`nh cua c˘p phˆn tu. (x, y ) d .o.c k´ hiˆu l` x · y , hay d .n gian ` ’a a’ ’ a a ¯u . y e a ¯o . . . xy , v` d .o.c goi l` t´ cua x v` y . Phˆn tu. trung lˆp cua nh´m d .o.c goi l` phˆn ` .a` . a ıch ’ a’ a’ a ¯u . o ¯u . a a . tu. d o.n vi. Phˆn tu. nghich d ’ o cua x d .o.c k´ hiˆu l` x−1 . ` ’¯ a’ . ¯a ’ ¯u . y e a . . V´ du: ı. 19