Vấn đề nhận giá trị và duy nhất của toán tử sai phân và tích sai phân đối với hàm phân hình trên một trường không Archimedes

Khoa học Tự nhiên<br /> <br /> Vấn đề nhận giá trị và duy nhất của toán tử<br /> sai phân và tích sai phân đối với hàm phân hình<br /> trên một trường không Archimedes<br /> Phạm Ngọc Hoa, Nguyễn Xuân Lai*<br /> Khoa Toán, Trường Cao đẳng Hải Dương<br /> Ngày nhận bài 5/2/2018; ngày chuyển phản biện 12/2/2018; ngày nhận phản biện 26/3/2018; ngày chấp nhận đăng 30/3/2018<br /> <br /> Tóm tắt:<br /> Trong bài báo này, các tác giả thảo luận vấn đề nhận giá trị và duy nhất của toán tử sai phân và tích sai phân đối với<br /> hàm phân hình trên trường số p-adic.<br /> Từ khóa: Giả thuyết Hayman, hàm phân hình, toán tử sai phân, trường không Archimedes.<br /> Chỉ số phân loại: 1.1<br /> <br /> 1. Mở đầu<br /> Phân bố giá trị và vấn đề xác định duy nhất đã được nhiều<br /> nhà toán học trong và ngoài nước xét trong mối liên hệ với<br /> đạo hàm của hàm phân hình và ảnh ngược của các điểm riêng<br /> rẽ. Người khởi xướng hướng nghiên cứu này là Hayman. Năm<br /> 1967, Hayman [1] đã chứng minh kết quả sau đây:<br /> Định lý A. Cho f là hàm phân hình trên C. Nếu f (z) =<br /> 0 và f (k) (z) = 1 với k là một số nguyên dương nào đó và với<br /> mọi z ∈ C thì f là hằng. Năm 1967, Hayman [1] cũng đưa<br /> ra giả thuyết sau đây:<br /> Giả thuyết Hayman. Nếu một hàm nguyên f thỏa mãn<br /> <br /> f n (z) f (z) = 1 với n là một số nguyên dương nào đó và với<br /> mọi z ∈ C thì f là hằng.<br /> Giả thuyết Hayman đã được Hayman kiểm tra đối với hàm<br /> nguyên siêu việt và n > 1, đã được Clunie [2] kiểm tra đối<br /> với n ≥ 1. Các kết quả này và các vấn đề liên quan đã hình<br /> thành nhánh nghiên cứu được gọi là sự lựa chọn của Hayman.<br /> Công trình quan trọng đầu tiên thúc đẩy hướng nghiên<br /> cứu này thuộc về C.C. Yang và X.H. Hua [3]. Năm 1997, hai<br /> ông đã chứng minh định lý sau đây:<br /> Định lý B [3]. Cho f và g là hai hàm phân hình khác<br /> <br /> hằng, n ≥ 11 là một số nguyên và a ∈ C - {0}. Nếu f n f và<br /> n <br /> n+1<br /> g g nhận giá trị a CM thì hoặcf = dg với d<br /> = 1 hoặc<br /> f (z) = c1 ecz và g (z) = c2 e−cz , ở đó c, c1 , c2 là các hằng số<br /> và thỏa mãn (c1 c2 )n+1 c2 = −a2 .<br /> Trong trường hợp p-adic, kết quả đầu tiên theo hướng<br /> nghiên cứu này thuộc về J. Ojeda [4]. Năm 2008, J. Ojeda<br /> <br /> đã xét vấn đề nhận giá trị của f + T f n với T là hàm hữu tỷ.<br /> Ở đó, J. Ojeda đã nhận được kết quả sau:<br /> Định lý C [4]. Cho f là hàm phân hình trên Cp , n ≥ 2 là<br /> <br /> một số nguyên và a ∈ Cp - {0}. Khi đó nếu f n (z) f (z) = a<br /> với mọi z ∈ Cp thì f là hằng.<br /> Trong những năm gần đây, vấn đề trên được nhiều nhà<br /> toán học trong và ngoài nước xét trong mối liên hệ với đa<br /> thức sai phân của hàm phân hình và ảnh ngược của các<br /> điểm riêng rẽ. Năm 2006, Halburd và Korhonen [5] đã thiết<br /> <br /> The problem of value-sharing<br /> and uniqueness between the difference<br /> operator and the differential equation<br /> for the meromorphic function<br /> of a non-Archimedean field<br /> Ngoc Hoa Pham, Xuan Lai Nguyen*<br /> Department of Mathematics, Hai Duong College<br /> Received 5 February 2018; accepted 30 March 2018<br /> <br /> Abstract:<br /> In this paper, we discuss the value-sharing and<br /> uniqueness problem for difference operators and<br /> differential multiplications of meromorphic functions in<br /> a p-adic field.<br /> Keywords: difference operators, Hayman conjecture,<br /> meromorphic functions, non-Archimedesn field.<br /> Classification number: 1.1<br /> <br /> *<br /> <br /> Tác giả liên hệ: Email: laicdhd@gmail.com<br /> <br /> 60(6) 6.2018<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> nghiên cứu này thuộc về J. Ojeda [4]. Năm 2008, J. Ojeda<br /> <br /> đã xét vấn đề nhận giá trị của f + T f n với T là hàm hữu tỷ.<br /> Ở đó, J. Ojeda đã nhận được kết quả sau:<br /> Định lý C [4]. Cho f là hàm phân hình trên Cp , n ≥ 2 là<br /> <br /> Khoa<br /> Tự nhiên<br /> một sốhọc<br /> nguyên<br /> và a ∈ Cp - {0}. Khi đó nếu f n (z) f (z) = a<br /> với mọi z ∈ Cp thì f là hằng.<br /> Trong những năm gần đây, vấn đề trên được nhiều nhà<br /> toán học trong và ngoài nước xét trong mối liên hệ với đa<br /> thức sai phân của hàm phân hình và ảnh ngược của các<br /> điểm riêng rẽ. Năm 2006, Halburd và Korhonen [5] đã thiết<br /> lập<br /> tương tự<br /> tự của<br /> của lý<br /> lý thuyết<br /> thuyết Nevanlinna<br /> Nevanlinnacho<br /> chotoán<br /> toántửtửsai<br /> saiphân<br /> phân<br /> lập tương<br /> 1<br /> của<br /> hàm<br /> phân<br /> hình<br /> có<br /> bậc<br /> hữu<br /> hạn.<br /> Năm<br /> 2007,<br /> I.<br /> Laine<br /> của hàm phân hình có bậc hữu hạn. Năm 2007, I. Laine vàvà<br /> C.C. Yang<br /> Yang [6]<br /> [6] đã<br /> đã thiết<br /> thiết lập<br /> lập tương<br /> tươngtự<br /> tự Định<br /> ĐịnhlýlýAAcủa<br /> củaHayman<br /> Hayman<br /> C.C.<br /> cho một<br /> một kiểu<br /> kiểu đa<br /> đa thức<br /> thức sai<br /> saiphân<br /> phânđặc<br /> đặcbiệt<br /> biệtcủa<br /> củahàm<br /> hàmnguyên<br /> nguyênsiêu<br /> siêu<br /> cho<br /> việt có<br /> có bậc<br /> bậc hữu<br /> hữu hạn.<br /> hạn. Hai<br /> Haiông<br /> ôngđã<br /> đãchứng<br /> chứngminh<br /> minhkết<br /> kếtquả<br /> quảsau<br /> sauđây:<br /> đây:<br /> việt<br /> Định lý<br /> lý D<br /> D [6].<br /> [6]. Cho<br /> Cho ff làlàhàm<br /> hàmnguyên<br /> nguyênsiêu<br /> siêuviệt<br /> việtcócóbậc<br /> bậchữu<br /> hữu<br /> Định<br /> hạn trên<br /> trên C<br /> C và<br /> và cc là<br /> là một<br /> một số<br /> số phức<br /> phứckhác<br /> khác00, ,nnlàlàmột<br /> mộtsốsốnguyên,<br /> nguyên,<br /> hạn<br /> n≥<br /> ≥ 22.. Khi<br /> Khi đó<br /> đó ffnn(z)<br /> (z)ff (z<br /> (z++c)c)nhận<br /> nhậnaa, ,aa∈∈C,<br /> C,vôvôhạn<br /> hạnlần.<br /> lần.<br /> n<br /> Năm<br /> 2009,<br /> K. Liu<br /> Liu và<br /> và L.Z.Yang<br /> L.Z.Yang [7]<br /> [7]đã<br /> đãchứng<br /> chứngminh<br /> minhđược<br /> được<br /> Năm 2009, K.<br /> kết<br /> quả<br /> tương<br /> tự<br /> Định<br /> lý<br /> D<br /> cho<br /> toán<br /> tử<br /> sai<br /> phân<br /> của<br /> hàm<br /> kết quả tương tự Định lý D cho toán tử sai phân của hàm<br /> nguyên siêu<br /> siêu việt<br /> việt có<br /> có bậc<br /> bậc hữu<br /> hữu hạn,<br /> hạn, đã<br /> đãchứng<br /> chứngminh<br /> minhđược<br /> đượckết<br /> kết<br /> nguyên<br /> quả tương<br /> tương tự<br /> tự Định<br /> Định lý<br /> lý BB (xem<br /> (xem [3])<br /> [3])cho<br /> chomột<br /> mộtkiểu<br /> kiểuđa<br /> đathức<br /> thứcsai<br /> sai<br /> quả<br /> phân đặc<br /> đặc biệt<br /> biệt của<br /> của hàm<br /> hàm phân<br /> phânhình.<br /> hình.<br /> phân<br /> Gần đây,<br /> đây, Hà<br /> Hà Huy<br /> Huy Khoái<br /> Khoái và<br /> và Vũ<br /> Vũ Hoài<br /> HoàiAn<br /> An[1,<br /> [1,8],<br /> 8],Hà<br /> HàHuy<br /> Huy<br /> Gần<br /> Khoái, Vũ<br /> Vũ Hoài<br /> Hoài An<br /> An và<br /> và Nguyễn<br /> NguyễnXuân<br /> XuânLai<br /> Lai[9]<br /> [9]đã<br /> đãxét<br /> xétphân<br /> phânbốbố<br /> Khoái,<br /> giá trị<br /> trị và<br /> và vấn<br /> vấn đề<br /> đề duy<br /> duy nhất<br /> nhấtđối<br /> đốivới<br /> vớiđạo<br /> đạohàm<br /> hàmbậc<br /> bậccao<br /> caocủa<br /> củahàm<br /> hàm<br /> giá<br /> phân<br /> hình<br /> trên<br /> một<br /> trường<br /> không<br /> Archimedes.<br /> Họ<br /> đã<br /> chứng<br /> phân hình trên một trường không Archimedes. Họ đã chứng<br /> minh được<br /> được kết<br /> kết quả<br /> quả tương<br /> tương tự<br /> tự của<br /> của Yang<br /> Yang- -Hua<br /> Hua(Định<br /> (ĐịnhlýlýB)B)<br /> minh<br /> (k)<br /> cho (f<br /> (f nn))(k)<br /> với ff là<br /> là hàm<br /> hàm phân<br /> phân hình<br /> hìnhtrên<br /> trênmột<br /> mộttrường<br /> trườngkhông<br /> không<br /> cho<br /> với<br /> Archimedes.<br /> Archimedes.<br /> Trong bài<br /> bài báo<br /> báo này,<br /> này, chúng<br /> chúng tôi<br /> tôi xét<br /> xétvấn<br /> vấnđề<br /> đềnhận<br /> nhậngiá<br /> giátrịtrịvàvà<br /> Trong<br /> duy nhất<br /> nhất đối<br /> đối với<br /> với toán<br /> toán tử<br /> tử sai<br /> saiphân<br /> phânvà<br /> vàtích<br /> tíchsai<br /> saiphân<br /> phâncủa<br /> củahàm<br /> hàm<br /> duy<br /> phân hình<br /> hình trên<br /> trên một<br /> một trường<br /> trường không<br /> khôngArchimedes.<br /> Archimedes.<br /> phân<br /> 2. Vấn<br /> Vấn đề<br /> đề nhận<br /> nhận giá<br /> giá trị<br /> trị của<br /> của toán<br /> toán tử<br /> tửsai<br /> saiphân<br /> phânvà<br /> vàtích<br /> tích<br /> 2.<br /> sai<br /> phân<br /> của<br /> hàm<br /> phân<br /> hình<br /> trên<br /> một<br /> trường<br /> không<br /> sai phân của hàm phân hình trên một trường không<br /> Archimedes<br /> Archimedes<br /> Trong bài<br /> bài báo<br /> báo ta<br /> ta luôn<br /> luôn giả<br /> giả thiết<br /> thiết KKlàlàmột<br /> mộttrường<br /> trườngđặc<br /> đặcsốsố<br /> Trong<br /> không, đầy<br /> đầy đủ<br /> đủ với<br /> với chuẩn<br /> chuẩn không<br /> khôngArchimedes<br /> Archimedesvàvàđóng<br /> đóngđại<br /> đạisố.<br /> số.<br /> không,<br /> Các<br /> khái<br /> niệm,<br /> ký<br /> hiệu<br /> và<br /> kết<br /> quả<br /> dùng<br /> trong<br /> bài<br /> báo<br /> này<br /> Các khái niệm, ký hiệu và kết quả dùng trong bài báo này ở ở<br /> các tài<br /> tài liệu<br /> liệu [1,<br /> [1, 8-10].<br /> 8-10]. Trước<br /> Trướctiên<br /> tiênta<br /> taphát<br /> phátbiểu<br /> biểuGiả<br /> Giảthuyết<br /> thuyếtHayHaycác<br /> man cho<br /> cho toán<br /> toán tử<br /> tử sai<br /> sai phân<br /> phântrên<br /> trênmột<br /> mộttrường<br /> trườngkhông<br /> khôngArchimedes<br /> Archimedes<br /> man<br /> -adic).<br /> ((pp-adic).<br /> Giả thuyết<br /> thuyết Hayman<br /> Hayman cho<br /> cho toán<br /> toán tử<br /> tửsai<br /> saiphân<br /> phânp-adic.<br /> p-adic.<br /> Giả<br /> Nếu một<br /> một hàm<br /> hàm phân<br /> phân hình<br /> hình pp-adic<br /> -adic ff thỏa<br /> thỏamãn<br /> mãnffn n(z)<br /> (z)∆∆<br /> f (z)<br /> Nếu<br /> c fc (z)<br /> với nn là<br /> là một<br /> một số<br /> số nguyên<br /> nguyên dương<br /> dươngnào<br /> nàođó<br /> đóvàvàvới<br /> vớimọi<br /> mọiz z∈∈KK<br /> = 11 với<br /> =<br /> thì ff là<br /> là hằng.<br /> hằng.<br /> thì<br /> Ta<br /> cần<br /> các bổ<br /> bổ đề<br /> đề sau:<br /> sau:<br /> Ta cần các<br /> Bổ đề<br /> đề 2.1.<br /> 2.1. Nếu<br /> Nếu hàm<br /> hàmphân<br /> phânhình<br /> hìnhfftrên<br /> trênKKthỏa<br /> thỏamãn<br /> mãn∆∆<br /> f (z) =<br /> Bổ<br /> c fc (z) =<br /> 0 với mọi z ∈ K thì f là hằng.<br /> 22<br /> Chứng minh: Giả sử ngược lại, f khác hằng. Do f là một<br /> hàm phân hình trên K, khi đó tồn tại hai hàm nguyên f1 , f2<br /> f1<br /> sao cho f1 , f2 không có không điểm chung và f = . Do f<br /> f2<br /> khác hằng nên ít nhất một trong hai hàm f1 , f2 khác hằng.<br /> Không giảm tổng quát, giả sử f1 khác hằng. Vì ∆c f (z) = 0<br /> f1 (z)<br /> f1 (z + c)<br /> =<br /> = a, a = 0 với mọi<br /> với mọi z ∈ K nên<br /> f2 (z)<br /> f2 (z + c)<br /> z ∈ Cp . Khi đó f1 (z) = af1 (z + c). Ta chứng minh f1 (z)<br /> không có không điểm có mô đun lớn hơn |c|. Giả sử ngược<br /> lại, f1 (z) có không điểm có mô đun lớn hơn |c|. Gọi b là không<br /> điểm của f1 (z) sao cho |c| < |b|. Đặt |b| = r. Do |c| < |b| nên<br /> |z + mc| = |z| với |z| = r, m là một số nguyên dương bất<br /> kỳ. Chú ý rằng, tập hợp các không điểm có cùng mô đun<br /> của một hàm nguyên là hữu hạn. Do f1 (z) = af1 (z + c) nên<br /> b, b + c, ..., b + mc... là các không điểm phân biệt có cùng mô<br /> đun của f1 (z) với m là một số nguyên dương bất kỳ. Từ đây<br /> ta nhận được mâu thuẫn. Vậy f1 (z) không có không điểm có<br /> mô đun lớn hơn |c|. Do đó f1 (z) là đa thức với bậc n nào đó.<br /> Từ f1 (z) = af1 (z + c) nhận được f1 (z)(n−1) là đa thức với bậc<br /> (n−1)<br /> 1 và f1 (z)(n−1) = af1 (z + c)60(6)<br /> . Viết<br /> f1 (z)(n−1) = dz + e. Khi<br /> 6.2018<br /> đó af1 (z + c)(n−1) = a(d(z + c) + e) và dz + e = adz + adc + ae.<br /> Từ đây suy ra a = 1, c = 0. Mâu thuẫn với giả thiết c = 0.<br /> Vậy f là hằng.<br /> <br /> z ∈ Cp . Khi đó f1 (z) = af1 (z + c). Ta chứng minh f1 (z)<br /> không có không điểm có mô đun lớn hơn |c|. Giả sử ngược<br /> lại, f1 (z) có không điểm có mô đun lớn hơn |c|. Gọi b là không<br /> điểm của f1 (z) sao cho |c| < |b|. Đặt |b| = r. Do |c| < |b| nên<br /> |z + mc| = |z| với |z| = r, m là một số nguyên dương bất<br /> kỳ. Chú ý rằng, tập hợp các không điểm có cùng mô đun<br /> của một hàm nguyên là hữu hạn. Do f1 (z) = af1 (z + c) nên<br /> b, b + c, ..., b + mc... là các không điểm phân biệt có cùng mô<br /> đun của f1 (z) với m là một số nguyên dương bất kỳ. Từ đây<br /> ta nhận được mâu thuẫn. Vậy f1 (z) không có không điểm có<br /> mô đun lớn hơn |c|. Do đó f1 (z) là đa thức với bậc n nào đó.<br /> Từ f1 (z) = af1 (z + c) nhận được f1 (z)(n−1) là đa thức với bậc<br /> 1 và f1 (z)(n−1) = af1 (z + c)(n−1) . Viết f1 (z)(n−1) = dz + e. Khi<br /> đó af1 (z + c)(n−1) = a(d(z + c) + e) và dz + e = adz + adc + ae.<br /> Từ đây suy ra a = 1, c = 0. Mâu thuẫn với giả thiết c = 0.<br /> Vậy f là hằng.<br /> Định lý sau đây trả lời chưa trọn vẹn Giả thuyết Hayman<br /> cho toán tử sai phân p-adic.<br /> Định lý 2.2. Nếu hàm phân hình f trên K thỏa mãn<br /> f n (z) ∆c f (z) = 1 với n ≥ 6 là một số nguyên dương nào đó<br /> và với mọi z ∈ K thì f là hằng.<br /> Chứng minh: Giả sử ngược lại, f khác hằng. Theo Bổ đề<br /> 2.1 ta có ∆c f không đồng nhất không.<br /> Đặt G = f n (z) ∆c f . Ta thấy rằng, mọi cực điểm của G chỉ<br /> có thể xảy ra tại các cực điểm của f, f (z + c), và mọi không<br /> điểm của G chỉ có thể xảy ra tại các không điểm của f, ∆c f .<br /> Áp dụng Định lý chính thứ hai, thứ nhất và kết hợp với<br /> <br /> Bổđề<br /> đề 3.1,<br /> 3.1, 3.2<br /> 3.2 [8]<br /> [8] ta<br /> ta có<br /> có<br /> Bổ<br /> (n−1)T(r,<br /> (r,ff))≤<br /> ≤ TT(r,<br /> (r,ffmm(z)∆<br /> (z)∆ccff)+O(1)<br /> )+O(1) ≤ N1 (r, G)+N1 (r,<br /> (n−1)T<br /> 3<br /> <br /> 1<br /> )<br /> G<br /> <br /> 11<br /> −log<br /> logrr +<br /> + O(1)<br /> O(1) ≤<br /> ≤ TT(r,<br /> (r, f ) + T (r, f ) + T (r, f )<br /> ))−<br /> (r,<br /> +N1,G<br /> +N<br /> 1,G(r,<br /> G−<br /> −11<br /> G<br /> 11<br /> +2T(r,<br /> (r,ff))+<br /> +N<br /> N11(r,<br /> +2T<br /> )) −<br /> − log r + O(1)<br /> (r,<br /> G<br /> G−<br /> − 11<br /> Dođó<br /> đó<br /> Do<br /> 1<br /> ) + O(1)<br /> (n−<br /> −6)T<br /> 6)T(r,<br /> (r,ff))+<br /> + log<br /> logrr ≤<br /> ≤N<br /> N11(r,<br /> (r,<br /> (n<br /> G−1<br /> <br /> Từ<br /> Từff khác<br /> khác hằng<br /> hằng và<br /> và nn ≥<br /> ≥ 66 ta<br /> ta có<br /> có G<br /> G nhận<br /> nhận giá trị 1, một mâu<br /> thuẫn.<br /> thuẫn. Vậy<br /> Vậy ff là<br /> là hằng.<br /> hằng.<br /> Định lý<br /> lý 2.2<br /> 2.2 góp<br /> góp phần<br /> phần khẳng<br /> khẳng định<br /> định Giả<br /> Giả thuyết Hay man pĐịnh<br /> adic.<br /> adic.<br /> Câuhỏi<br /> hỏiđặt<br /> đặt ra<br /> ra là:<br /> là: Với<br /> Với nn =<br /> Câu<br /> = 1,<br /> 1, ...,<br /> ..., 55 thì<br /> thì Định lý 2.2 còn đúng<br /> nữahay<br /> hay không?<br /> không?<br /> nữa<br /> Sau đây<br /> đây ta<br /> ta trình<br /> trình bày<br /> bày Giả<br /> Giả thuyết<br /> thuyết Hayman<br /> Hayman đối với tích sai<br /> Sau<br /> phâncủa<br /> củahàm<br /> hàmphân<br /> phân hình<br /> hình trên<br /> trên một<br /> một trường<br /> trường không Archimedes<br /> phân<br /> ((pp-adic).<br /> -adic).<br /> Giả thuyết<br /> thuyết Hayman<br /> Hayman được<br /> được phát<br /> phát biểu<br /> biểu cho tích sai phân của<br /> Giả<br /> hàmphân<br /> phân hình<br /> hình pp-adic<br /> hàm<br /> -adic như<br /> như sau:<br /> sau:<br /> Giả thuyết<br /> thuyết Hayman<br /> Hayman cho<br /> cho tích<br /> tích sai<br /> sai phân p-adic.Nếu f<br /> Giả<br /> một hàm<br /> hàm phân<br /> phân hình<br /> hình trên<br /> trên K<br /> K thỏa<br /> thỏa mãn<br /> mãn f n (z) f (z + c) = 1<br /> làlà một<br /> vớinnlàlàmột<br /> một số<br /> số nguyên<br /> nguyên dương<br /> dương nào<br /> nào đó,<br /> đó, c = 0 và với mọi z ∈ K<br /> với<br /> thì ff làlà hằng.<br /> thì<br /> hằng.<br /> Địnhlý<br /> lý sau<br /> sau đây<br /> đây trả<br /> trả lời<br /> lời chưa<br /> chưa trọn<br /> trọn vẹn<br /> vẹn Giả thuyết Hayman<br /> Định<br /> chotích<br /> tích sai<br /> sai phân<br /> phân pp-adic.<br /> cho<br /> -adic.<br /> Định<br /> Định lý<br /> lý 2.3.<br /> 2.3. Nếu<br /> Nếu một<br /> một hàm<br /> hàm phân<br /> phân hình<br /> hình f trên K thỏa mãn<br /> ffnn(z)<br /> (z)ff(z<br /> (z++c)<br /> c) =<br /> = 11 với<br /> với nn ≥<br /> ≥ 55 là<br /> là một<br /> một số<br /> số nguyên dương nào đó<br /> và<br /> và với<br /> với mọi<br /> mọi zz ∈∈ K<br /> K thì<br /> thì ff là<br /> là hằng.<br /> hằng.<br /> Chứng minh:<br /> minh: Giả<br /> Giả sử<br /> sử ngược<br /> ngược lại,<br /> lại, f khác hằng. Theo Bổ<br /> Chứng<br /> đề2.1<br /> 2.1ta<br /> ta có<br /> có ff(z<br /> đề<br /> (z+<br /> +c)<br /> c) khác<br /> khác hằng.<br /> hằng. Đặt<br /> Đặt F = f n (z) f (z + c). Ta<br /> thấyrằng,<br /> rằng, mọi<br /> mọi cực<br /> cực điểm<br /> điểm của<br /> của FF chỉ<br /> thấy<br /> chỉ có<br /> có thể xảy ra tại các cực<br /> điểmcủa<br /> củaf,<br /> điểm<br /> f,ff(z<br /> (z+<br /> +c)<br /> c),, và<br /> và mọi<br /> mọi không<br /> không điểm<br /> điểm của F chỉ có thể xảy<br /> ra<br /> ra tại<br /> tại f,<br /> f,ff(z<br /> (z+<br /> +c).<br /> c). Áp<br /> Áp dụng<br /> dụng Định<br /> Định lý<br /> lý chính<br /> chính thứ hai, thứ nhất<br /> và kết hợp với Bổ đề 3.1, 3.2 [8] ta có<br /> 44<br /> (n−1)T (r, f ) ≤ T (r, f m (z)f (z + c))+O(1)<br /> ≤ N1 (r, F )+N1 (r,<br /> <br /> 1<br /> )+<br /> F<br /> <br /> 1<br /> ) − log r + O(1)<br /> F −1<br /> 1<br /> ≤ T (r, f )+T (r, f )+T (r, f )+T (r, f )+N1 (r,<br /> )−log r+O(1)<br /> F −1<br /> 2<br /> Do đó<br /> 1<br /> ) + O(1)<br /> (n − 5)T (r, f ) + log r ≤ N1 (r,<br /> F −1<br /> N1,F (r,<br /> <br /> 1<br /> (2)<br /> 1<br /> Ta thấy rằng, mọi không điểm của A chỉ có thể xảy ra (2)<br /> tại<br /> thấy rằng,<br /> mọi f,<br /> không<br /> cácTakhông<br /> điểm của<br /> f(z +điểm<br /> c). của A chỉ có thể xảy ra tại<br /> cácTương<br /> khôngtự<br /> điểm<br /> f, f(zđược<br /> + c).<br /> (2) của<br /> ta nhận<br /> vàvàkết<br /> kếthợp<br /> hợp<br /> hợpvới<br /> với<br /> với<br /> vớiBổ<br /> Bổ<br /> Bổ<br /> Bổ<br /> đề<br /> đề<br /> 3.1,<br /> 3.1,<br /> 3.1,<br /> 3.2ta<br /> [8]<br /> [8]<br /> [8]cóta<br /> ta<br /> tacó<br /> có<br /> có<br /> kết<br /> hợp<br /> đềđề<br /> 3.1,<br /> 3.23.2<br /> [8]<br /> Tương tự (2) ta nhận được<br /> Khoa học Tự nhiên<br /> 1<br /> 1<br /> ≥2<br /> 1 11<br /> 1<br /> N1 (r, 1 )+N1,A<br /> (r, 1 ) ≤ 3T (r, f)+O(1)<br /> và kết hợp với Bổ đề m3.1,<br /> m<br /> mm 3.2 [8] ta có<br /> ≥2<br /> )+<br /> )+<br /> (n−1)T<br /> (n−1)T<br /> (r,<br /> (r,f)<br /> ff)<br /> f) ≤<br /> )≤≤<br /> ≤<br /> TT(r,<br /> (r,<br /> (r,<br /> f (z)f<br /> (z)f(z<br /> (z)f+(z<br /> (zc))+O(1)<br /> +<br /> +<br /> +c))+O(1)<br /> c))+O(1)<br /> c))+O(1)<br /> ≤N<br /> (r,<br /> F1(r,<br /> F)+N<br /> )+N<br /> )+N<br /> (r, )+)+<br /> (n−1)T(r,<br /> (r,<br /> TT(r,<br /> f ff(z)f(z<br /> ≤ N1≤<br /> (r,<br /> FN1)+N<br /> 1 (r,<br /> 1 (r,<br /> 11(r,<br /> N1 (r, A)+N1,A<br /> (r, A) ≤ 3T (r, f)+O(1)<br /> F 1 F FF<br /> (3)<br /> m<br /> A<br /> A<br /> (n−1)T (r, f ) ≤ T (r, f (z)f (z + c))+O(1) ≤ N1 (r, F )+N1 (r, )+<br /> F<br /> (3)<br /> 1 11<br /> Tương<br /> tự<br /> đối<br /> với<br /> B<br /> ta<br /> cũng<br /> có:<br /> )−<br /> −<br /> −rlog<br /> log<br /> log<br /> rrr++<br /> +O(1)<br /> O(1)<br /> + O(1)<br /> (r,<br /> (r, 1 ) − )log<br /> (r,<br /> N<br /> N1,F<br /> NN<br /> 1,F<br /> 1,F(r,<br /> 1,F<br /> Tương tự đối với B ta cũng<br /> có:<br /> FF1−−)1−<br /> 1 log r + O(1)<br /> N1,F (r,F −<br /> ≥2<br /> N1,B (∞, r)+N1,B<br /> (∞, r) ≤ (k+2)Tg (r)+O(1)<br /> F −1<br /> 1 11<br /> ≥2<br /> ≤≤TTT(r,<br /> (r,ff)+T<br /> f)+T<br /> f)+T<br /> )+T<br /> (r,<br /> (r,<br /> (r,<br /> ff)+T<br /> f)+T<br /> )+T<br /> (r,<br /> (r,ff)+T<br /> f)+T<br /> )+T<br /> (r,<br /> (r,<br /> (r,f)+N<br /> ff)+N<br /> (r,<br /> (r,<br /> f)+T<br /> (r,(r,<br /> f)+T<br /> (r, f)+N<br /> )−logr+O(1)<br /> r+O(1)<br /> r+O(1)<br /> r+O(1)<br /> (r,<br /> (r, 11(r,<br /> N1,B (∞, r)+N1,B (∞, r) ≤ (k+2)Tg (r)+O(1)<br /> 1 )−log)−log<br /> 1(r,<br /> 1)+N<br /> −11 r+O(1)<br /> ≤ T (r, f )+T (r, f )+T (r, f )+T (r, f )+N1 (r,F − 1FF−<br /> )−log<br /> ≥2<br /> F −1<br /> (0, r) ≤ (k+2)T (r, g)+O(1)<br /> N1,B (0, r)+N1,B<br /> ≥2<br /> Do<br /> Dođó<br /> đó<br /> Do<br /> đó<br /> N1,B (0, r)+N1,B (0, r) ≤ (k+2)T (r, g)+O(1) (4)<br /> Do<br /> đó<br /> 1 1 111<br /> (4)<br /> Từ (1)-(4) ta có<br /> )O(1)<br /> )++O(1)<br /> O(1)<br /> O(1)<br /> (n<br /> (n<br /> (n−<br /> −−<br /> −5)T<br /> 5)T<br /> 5)T<br /> 5)T<br /> (r,<br /> (r,<br /> (r,<br /> f)+)+<br /> +log<br /> +log<br /> rrN≤<br /> ≤<br /> ≤<br /> N<br /> N111(r,<br /> (r,<br /> (r, ) +<br /> (n<br /> (r,<br /> f)<br /> +<br /> log<br /> rlog<br /> )+<br /> (n<br /> 5)T<br /> (r,<br /> ff)f)<br /> r≤≤<br /> N<br /> (r,<br /> 1 (r,<br /> 1N<br /> F<br /> −<br /> 1<br /> −11<br /> F − F1FF−−<br /> Từ (1)-(4) ta có<br /> (n − 1)T (r, f) ≤ 6(T (r, f) + T (r, g)) − logr + O(1)<br /> Từ<br /> f<br /> khác<br /> hằng<br /> và<br /> n<br /> ≥<br /> 5<br /> ta<br /> có<br /> F<br /> nhận<br /> giá<br /> trị<br /> 1<br /> ,<br /> một<br /> mâu<br /> Từ<br /> Từfffkhác<br /> khác<br /> kháchằng<br /> hằng<br /> hằng<br /> hằng<br /> và<br /> và<br /> nnn5≥≥ta55có<br /> ta<br /> taFcó<br /> có<br /> có<br /> FFF nhận<br /> nhận<br /> nhận<br /> giá<br /> trị1,1mâu<br /> ,một<br /> mộtmâu<br /> mâu<br /> mâu<br /> Từ<br /> khác<br /> vàvà<br /> n≥<br /> nhận<br /> giá trịgiá<br /> 1, trị<br /> một<br /> (n<br /> − 1)T (r, f) ≤ 6(T (r, f) + T (r, g)) − logr + O(1)<br /> thuẫn. Vậy f là hằng.<br /> thuẫn.<br /> thuẫn.<br /> Vậy<br /> Vậyfffflàlàlà<br /> thuẫn. Vậy<br /> Vậy<br /> là<br /> hằng.<br /> hằng.<br /> hằng.<br /> hằng.<br /> Tương tự<br /> Tương tự<br /> 3. Vấn đề duy nhất của tích sai phân của hàm phân<br /> 3.hình<br /> 3.Vấn<br /> Vấn<br /> đề<br /> đề<br /> đềduy<br /> duy<br /> duy<br /> duy<br /> nhất<br /> nhất<br /> nhất<br /> của<br /> của<br /> tích<br /> tích<br /> sai<br /> sai<br /> saiphân<br /> phân<br /> phân<br /> của<br /> củahàm<br /> hàmphân<br /> phân<br /> phân<br /> Vấn<br /> nhất<br /> của<br /> tíchtích<br /> sai<br /> phân<br /> của hàm<br /> phân<br /> trên<br /> một<br /> trường<br /> không<br /> Archimedes<br /> (n − 1)T (r, g) ≤ 6(T (r, f) + T (r, g)) − logr + O(1)<br /> hình<br /> hình<br /> trên<br /> trên<br /> trên<br /> một<br /> một<br /> một<br /> trường<br /> trường<br /> trường<br /> không<br /> không<br /> Archimedes<br /> Archimedes<br /> Archimedes<br /> hình<br /> trên<br /> một<br /> Archimedes<br /> Câu<br /> hỏi đặt<br /> ratrường<br /> là:<br /> Với nkhông<br /> =không<br /> 1, ...,<br /> 4 thì<br /> Định lý 2.3. còn đúng<br /> (n − 1)T (r, g) ≤ 6(T (r, f) + T (r, g)) − logr + O(1)<br /> Suy ra ta có<br /> nữa<br /> hay<br /> không?<br /> Câu<br /> Câu<br /> hỏi<br /> hỏi<br /> hỏi<br /> đặt<br /> đặt<br /> đặt<br /> ra<br /> ra<br /> là:<br /> là:<br /> Với<br /> Với<br /> Với<br /> Câu<br /> hỏi<br /> đặt<br /> rara<br /> là:là:<br /> Với<br /> 1,1,4...,<br /> ...,<br /> ...,<br /> thì<br /> thì<br /> thìĐịnh<br /> Định<br /> Định<br /> 2.3.<br /> 2.3.<br /> còn<br /> cònđúng<br /> đúng<br /> đúng<br /> n =nn1,==...,<br /> thì444Định<br /> lý<br /> 2.3.lýlý<br /> còn<br /> đúng<br /> Suy ra ta có<br /> ta có các kết quả tương tự của Định lý B cho<br /> nữa<br /> nữa<br /> hay<br /> haytheo,<br /> không?<br /> không?<br /> không?<br /> nữaTiếp<br /> hay<br /> không?<br /> tích sai phân của hàm phân hình p-adic.<br /> Tiếp<br /> Tiếptheo,<br /> theo,<br /> theo,tata<br /> ta<br /> tacócó<br /> có<br /> có<br /> các<br /> các<br /> các<br /> kết<br /> quả<br /> tương<br /> tương<br /> tương<br /> tự<br /> tự<br /> tựĐịnh<br /> của<br /> củaĐịnh<br /> lýlýBB<br /> Bcho<br /> cho<br /> cho<br /> Tiếp<br /> theo,<br /> các<br /> kếtkết<br /> quảquả<br /> tương<br /> tự của<br /> lýĐịnh<br /> B cho<br /> (n − 1)(Tf (r) + Tg (r)) ≤ 12(T (r, f) + T (r, g)) − 2 logr + O(1),<br /> Định lý 3.1. Giả sử f, g là các hàm phân hình trên K.<br /> (n<br /> − 1)(Tf (r) + Tg (r)) ≤ 12(T (r, f) + T (r, g)) − 2 logr + O(1),<br /> tích<br /> tích<br /> sai<br /> sai<br /> phân<br /> phân<br /> phân<br /> của<br /> của<br /> của<br /> hàm<br /> hàm<br /> hàm<br /> phân<br /> phân<br /> hình<br /> hình<br /> hình<br /> tích<br /> sai<br /> phân<br /> của<br /> hàm<br /> phân<br /> hình<br /> p<br /> p<br /> p<br /> -adic.<br /> -adic.<br /> -adic.<br /> p<br /> -adic.<br /> Nếu Ef f (z+c) (1) = Eg g(z+c)g (1) và n ≥ 13, n là số nguyên,<br /> (n − 13)(Tf (r) + Tg (r)) + 2 log r ≤ O(1)<br /> n+1<br /> n+1 phân<br /> Định<br /> Định<br /> lý<br /> lý<br /> lý<br /> 3.1.<br /> 3.1.<br /> 3.1.<br /> Giả<br /> Giả<br /> Giả<br /> sử<br /> sử<br /> sử<br /> Định<br /> 3.1.<br /> Giả<br /> sử<br /> f,<br /> f,<br /> g<br /> g<br /> là<br /> là<br /> là<br /> các<br /> các<br /> các<br /> hàm<br /> hàm<br /> hàm<br /> phân<br /> hình<br /> hình<br /> trên<br /> trên<br /> trên<br /> K.<br /> K.<br /> K.<br /> f,<br /> g<br /> là<br /> các<br /> hàm<br /> phân<br /> hình<br /> trên<br /> K.<br /> = 1 hoặc f g = l với l<br /> = 1.<br /> thì f = hg với h<br /> (n − 13)(Tf (r) + Tg (r)) + 2 log r ≤ O(1)<br /> n(z+c)<br /> nE<br /> Nếu<br /> Nếu<br /> Nếu<br /> EEEffnffnfnf(z+c)<br /> (1)<br /> (1)<br /> (1)<br /> =<br /> =<br /> =<br /> E<br /> (1)<br /> (1)<br /> (1)<br /> và<br /> n13,<br /> nnvới<br /> ≥≥<br /> ≥<br /> 13,số<br /> nn<br /> là<br /> làgặp<br /> sốsốnguyên,<br /> nguyên,<br /> nguyên,<br /> (1)<br /> =Áp<br /> EgE<br /> (1)đề<br /> và<br /> nvà<br /> ≥[8]<br /> n13,<br /> là<br /> nguyên,<br /> f(z+c)<br /> f (z+c)<br /> ggngnng(z+c)g<br /> g(z+c)g<br /> g(z+c)g<br /> g(z+c)g<br /> Chứng<br /> minh:<br /> dụng<br /> Bổ<br /> 3.3<br /> các<br /> trường<br /> hợp<br /> Do<br /> nvà<br /> ≥<br /> 13<br /> nên<br /> ta<br /> mâu<br /> thuẫn.<br /> 6<br /> n+1<br /> n+1<br /> n+1<br /> n+1 n+1<br /> hg<br /> hgvới<br /> với<br /> với<br /> vớihhn+1<br /> hhn+1<br /> =<br /> 111hoặc<br /> hoặc<br /> fg<br /> fTrường<br /> fglg=<br /> =<br /> =lllvới<br /> với<br /> vớihợp<br /> l lln+1<br /> =<br /> 1<br /> .<br /> 1<br /> .<br /> thìsau:<br /> thì<br /> hg<br /> ==<br /> 1=hoặc<br /> fg =<br /> với<br /> =<br /> 1. =<br /> thìfff===hg<br /> DoDo<br /> nn≥n<br /> ≥<br /> 13<br /> nên<br /> ta<br /> gặp<br /> mâu<br /> thuẫn.<br /> ≥<br /> 13<br /> nên<br /> tata<br /> gặp<br /> mâu<br /> 6thuẫn.<br /> 2.<br /> Do<br /> n13≥<br /> ≥<br /> 13<br /> 13<br /> nên<br /> nên<br /> ta<br /> gặp<br /> gặp<br /> mâu<br /> mâu<br /> thuẫn.<br /> thuẫn.<br /> Do<br /> n<br /> nên<br /> ta<br /> gặp<br /> mâu<br /> thuẫn.<br /> Trường<br /> hợp<br /> 1.<br /> Do nn ≥ 13<br /> nên2.<br /> ta gặp mâu thuẫn.<br /> nđề[8]<br /> nvới<br /> Chứng<br /> Chứng<br /> Chứngminh:<br /> minh:<br /> minh:<br /> minh:<br /> Áp<br /> Áp<br /> Áp<br /> dụng<br /> dụng<br /> dụng<br /> Bổf3.3<br /> đề<br /> đề<br /> 3.3<br /> 3.3<br /> 3.3<br /> [8]<br /> [8]<br /> [8]các<br /> với<br /> các<br /> các<br /> trường<br /> trường<br /> hợp<br /> hợp<br /> hợp<br /> Chứng<br /> Áp<br /> dụng<br /> BổnBổ<br /> đề<br /> với<br /> trường<br /> hợp<br /> Trường<br /> hợp<br /> Trường<br /> hợp<br /> 2.<br /> f(z<br /> +<br /> c)g<br /> g(z<br /> +<br /> c)<br /> ≡<br /> 1<br /> .<br /> Khi<br /> đó<br /> ta<br /> có<br /> (fg)<br /> (f(z<br /> +<br /> c)g(z<br /> +<br /> Trường<br /> Trường<br /> hợp<br /> hợp<br /> 2.<br /> 2.<br /> n<br /> Trường<br /> hợp<br /> 2.<br /> Đặt A = f f (z + c), B = g g(z + c). Khi đó ta có<br /> Trường<br /> hợp<br /> nn nn<br /> nn nn 2.<br /> n nnn<br /> sau:<br /> sau:<br /> sau:<br /> ncó<br /> c)g<br /> g(z<br /> c)<br /> ≡<br /> 1≡1. .1Khi<br /> ta<br /> có<br /> (fg)<br /> +<br /> ++++<br /> +<br /> c)g<br /> g(zg(z<br /> c)1c)<br /> đó<br /> tata<br /> (fg)<br /> (f(z<br /> c)) = 1<br /> ff(z<br /> ff(z<br /> f(z<br /> f(z<br /> +<br /> +nc)g<br /> c)g<br /> +<br /> c)<br /> ≡<br /> 1đó<br /> .Khi<br /> . Khi<br /> Khi<br /> đó<br /> tacó<br /> có<br /> (fg)<br /> (fg)<br /> (f(z<br /> ++c)g(z<br /> c)g(z<br /> c)g(z<br /> ffnnf(z<br /> ++<br /> c)g<br /> g(z<br /> c)++≡+<br /> .≡Khi<br /> tađó<br /> cóđó<br /> (fg)<br /> (f(z<br /> + (f(z<br /> c)g(z<br /> ++c)g(z<br /> n +g(z<br /> n (f(z<br /> 1<br /> 1<br /> ≥2<br /> ≥2<br /> f<br /> f(z<br /> +<br /> c)g<br /> g(z<br /> +<br /> c)<br /> ≡<br /> 1<br /> .<br /> Khi<br /> đó<br /> ta<br /> có<br /> (fg)<br /> (f(z + c)g(z +<br /> Trường<br /> Trường<br /> Trường<br /> hợp<br /> hợp<br /> hợp<br /> 1.<br /> 1.<br /> 1.<br /> Trường<br /> hợp<br /> 1.<br /> )+ phải hàmc))<br /> T (r, A)+O(1) ≤ N1 (r, A)+N1 Đặt<br /> (r, A)+N<br /> 1 (r,và )+N<br /> =<br /> 1<br /> 1<br /> l<br /> =<br /> fg<br /> giả<br /> sử<br /> l<br /> không<br /> hằng<br /> .<br /> Khi<br /> đó<br /> ta<br /> có<br /> 1,A (r,<br /> c))<br /> =<br /> 1<br /> c))<br /> c))<br /> =<br /> =<br /> 1<br /> 1<br /> A<br /> A<br /> nn<br /> nnn<br /> c)) =l =<br /> 1 fg<br /> Đặt<br /> ĐặtA<br /> Đặt<br /> =fffnfnf(z<br /> ff(z<br /> f(z(z<br /> +<br /> +c),<br /> c),<br /> c),B<br /> g(z<br /> +Khi<br /> c)<br /> c)<br /> c)...đó<br /> Khi<br /> Khi<br /> đótatacócó<br /> AA==<br /> ++<br /> c),<br /> B<br /> =Bg=n=g(z<br /> +g(z<br /> c)+<br /> .+<br /> tađó<br /> có<br /> 1gg g(z<br /> 1Khi<br /> Đặt<br /> và<br /> giả<br /> sử<br /> ll không<br /> hàm<br /> . .Khi<br /> tata<br /> có<br /> fgvà<br /> và<br /> giả<br /> phải<br /> hàm<br /> hằng<br /> Đặt<br /> l ==<br /> giả<br /> sửgiả<br /> lsửkhông<br /> phảiphải<br /> hàm<br /> hằng<br /> .hằng<br /> Khi<br /> đó<br /> ta<br /> cóđóđó<br /> Đặt<br /> Đặt<br /> llfg<br /> ==<br /> fg<br /> fg<br /> và<br /> và<br /> giả<br /> sử<br /> sử<br /> lkhông<br /> l không<br /> không<br /> phải<br /> phải<br /> hàm<br /> hàm<br /> hằng<br /> hằng<br /> .Khi<br /> . Khi<br /> Khi<br /> đó<br /> đó<br /> ta<br /> tacó<br /> có<br /> có<br /> N1 (r, B) + N1≥2 (r, B) + N1 (r, ) + N1≥2 (r, ) − logr + O(1)<br /> Đặt<br /> l<br /> = fg và giả sử l không phải hàm hằng . Khi đó ta có<br /> 1<br /> B<br /> B<br /> n≥2 1 11<br /> 1 11≥2 1≥2<br /> ≥2<br /> ≥2<br /> ≥2 ≥2<br /> l<br /> (z)<br /> =<br /> Kết<br /> hợp<br /> với<br /> Bổ<br /> đề<br /> 3.2<br /> [8]<br /> ta<br /> có<br /> )+N<br /> )+N<br /> )+<br /> )+<br /> )+<br /> T T(r,<br /> (r,A)+O(1)<br /> A)+O(1)<br /> A)+O(1)≤≤≤<br /> ≤<br /> N<br /> (r,<br /> A)+N<br /> A)+N<br /> A)+N<br /> (r,<br /> (r,<br /> (r,A)+N<br /> A)+N<br /> A)+N<br /> (r, 1,A<br /> (r,(r, )+<br /> (r,<br /> A)+O(1)<br /> NN<br /> (r,<br /> A)+N<br /> (r, 1,A1,A<br /> 11(r,<br /> 1(r,<br /> 1)+N<br /> 1N<br /> 1 (r, 11(r,<br /> 11 A)+N<br /> 1 (r,<br /> 1 11<br /> nn =<br /> AA<br /> Al(z + c)<br /> A AA<br /> A<br /> llnnn(z)<br /> (z)<br /> === 111<br /> ln(z)<br /> =<br /> l<br /> l<br /> (z)<br /> (z)<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> ≥2<br /> ≥2<br /> ≥2<br /> ≥2T (r, A)+O(1) ≤ N (r,<br /> ≥2<br /> ≥2<br /> ≥2<br /> ≥2 A)+N<br /> +++<br /> c)<br /> l(z<br /> l (z)<br /> l(z=+l(z<br /> c)l(z<br /> l(z<br /> +c)c)c)<br /> )<br /> )N<br /> ≤<br /> A)+N<br /> 1 (r,<br /> N(n−1)T<br /> N<br /> )1)+<br /> +N<br /> N<br /> N1≥2<br /> ) )−<br /> −+logr<br /> ) + )N<br /> )(r,<br /> −<br /> (r,B)<br /> B)(r,<br /> ++<br /> +fN<br /> NN<br /> (r,<br /> (r,<br /> (r,<br /> B)<br /> B)<br /> ++1N<br /> N11(r,<br /> (r,<br /> (r,<br /> logr<br /> ++O(1)<br /> O(1)<br /> O(1)<br /> B)<br /> B)B)<br /> ++<br /> N<br /> (r,<br /> (r,<br /> logr<br /> O(1)<br /> 1 (r,<br /> 1 (r,<br /> 11(r,<br /> 11 (r,<br /> 1111(r,<br /> 1+<br /> l(z + c)<br /> Theo<br /> Bổ<br /> B [8] ta có A<br /> B BB<br /> B đề B3.1<br /> 1<br /> 1<br /> 1 với<br /> Kết<br /> Kết<br /> hợp<br /> hợp<br /> với<br /> với<br /> vớiBổ<br /> Bổ<br /> Bổ<br /> Bổ<br /> đề<br /> đề<br /> 3.2<br /> 3.2<br /> [8]có<br /> ta<br /> tacó<br /> có<br /> có<br /> Kết<br /> hợp<br /> đềđề<br /> 3.23.2<br /> [8] [8]<br /> ta<br /> Theo<br /> Bổ<br /> đề<br /> 3.1<br /> [8]<br /> ta<br /> có<br /> Theo<br /> BổBổ<br /> đề<br /> 3.1<br /> [8][8]<br /> tata<br /> cócó<br /> ≥2 hợp<br /> Theo<br /> Bổ<br /> đề<br /> 3.1<br /> [8]<br /> ta<br /> có<br /> Theo<br /> Theo<br /> Bổ<br /> đề<br /> đề<br /> 3.1<br /> 3.1<br /> [8]<br /> ta<br /> có<br /> (r, )+N1 (r, B)+N1≥2 (r, B)+N1 (r, )+N1≥2 (r, )− logr1+O(1),<br /> +N1,A<br /> Theo<br /> Bổ đề 3.1≤[8]T (r,<br /> ta l)+O(1)<br /> có<br /> A<br /> )<br /> ≤<br /> T<br /> (r,<br /> l(z+c))+O(1)<br /> nT (r, l) = BT≥2<br /> (r, ln≥2<br /> )≥2= TB(r, 1<br /> 1 11<br /> 1 11 11<br /> l(z)1 (r,<br /> c) ) )) nT<br /> n nn nn<br /> (n−1)T<br /> (n−1)T<br /> (r,<br /> (r,f)<br /> ff)<br /> f) ≤<br /> )≤≤<br /> ≤<br /> TT(r,<br /> (r,<br /> (r,<br /> A)+O(1)<br /> A)+O(1)<br /> A)+O(1)<br /> ≤<br /> N<br /> N<br /> NA)+N<br /> (r,A)+N<br /> A)+N<br /> A)+N<br /> (r,A)+N<br /> A)+N<br /> A)+N<br /> (r,<br /> (n−1)T(r,<br /> (r,<br /> TT(r,<br /> A)+O(1)<br /> ≤ N≤<br /> (r,<br /> 11(r,<br /> 1(r,<br /> 1+<br /> 1(r,<br /> 1≤<br /> 1 (r,<br /> 1 (r,<br /> 1 (r, 1A)+N<br /> T≤T(r,<br /> l(z+c))+O(1)<br /> ≤≤≤<br /> T≤(r,<br /> l)+O(1)<br /> )≤)≤<br /> l(z+c))+O(1)<br /> TTT(r,<br /> (r,(r,<br /> l)<br /> =<br /> T=<br /> ll=n)l)lT=)=<br /> T=T(r,<br /> l)=l)<br /> =T=<br /> T(r,<br /> (r,<br /> )1≤ T)(r,<br /> ≤ T (r, l)+O(1)<br /> (r,<br /> l)(r,<br /> (r,<br /> )(r,<br /> )l(z+c))+O(1)<br /> ≤<br /> TT(r,<br /> (r,<br /> (r,<br /> l(z+c))+O(1)<br /> l(z+c))+O(1)<br /> (r,<br /> (r,l)+O(1)<br /> l)+O(1)<br /> l)+O(1)<br /> nT<br /> nT<br /> l)<br /> T(r,<br /> Tl (r,<br /> )(r,<br /> =<br /> T<br /> T<br /> (r,<br /> (r,l(z<br /> 5<br /> AA<br /> A nT<br /> A<br /> +++<br /> c)<br /> c)l(z<br /> ) ≤ T (r, l(z+c))+O(1) ≤ T (r, l)+O(1)<br /> nT (r, l) = T (r, l ) = Tl(z<br /> (r,+l(z<br /> l(z<br /> +c)c)c)<br /> l(z<br /> +<br /> c)<br /> Điều<br /> này<br /> mâu<br /> thuẫn<br /> với<br /> n<br /> ≥<br /> 13<br /> .<br /> Vì<br /> vậy<br /> l<br /> phải<br /> là<br /> hàm<br /> hằng.<br /> 1 11≥2 ≥2≥2<br /> 1 ≥2 1 1<br /> 1<br /> 1+O(1),<br /> ≥2<br /> ≥2 11<br /> ≥2<br /> ≥2 ≥2<br /> ≥2<br /> )+N<br /> )+N<br /> )+N<br /> )+N<br /> )+N<br /> )−<br /> )−<br /> )+N<br /> (r,<br /> (r,(r,)+N<br /> (r,<br /> (r,<br /> B)+N<br /> B)+N<br /> B)+N<br /> (r,<br /> (r,B)+N<br /> B)+N<br /> B)+N<br /> (r,l với<br /> (r,<br /> (r,<br /> logr<br /> logr<br /> logr<br /> +O(1),<br /> +O(1),<br /> B)+N<br /> (r,<br /> (r,n+1<br /> logr<br /> +O(1),<br /> +N<br /> +N<br /> +N1,A<br /> 11(r,<br /> 1(r,<br /> 11(r,<br /> 1(r,<br /> 1 (r,<br /> 1N<br /> (n−1)T<br /> ≤<br /> 11 B)+N<br /> 1(r,<br /> 1)−<br /> 1 (r,<br /> 1,A<br /> 1,A<br /> Điều<br /> này<br /> mâu<br /> thuẫn<br /> với với<br /> nvới<br /> ≥với<br /> vậy<br /> lVì<br /> phải<br /> này<br /> mâu<br /> thuẫn<br /> n13<br /> 13<br /> .13<br /> vậy<br /> llàlphải<br /> làhằng.<br /> hàm<br /> hằng.<br /> này<br /> mâu<br /> thuẫn<br /> n≥<br /> .Vì<br /> vậy<br /> làlà<br /> hằng.<br /> 1 (r,<br /> 1 (r, 1 )+ Điều<br /> Do<br /> đó<br /> fg<br /> =A)+N<br /> 1B.B)−<br /> Điều<br /> Điều<br /> này<br /> này<br /> mâu<br /> mâu<br /> thuẫn<br /> thuẫn<br /> với<br /> nn.≥Vì<br /> ≥<br /> ≥1313<br /> .Vì<br /> . Vì<br /> vậy<br /> vậy<br /> lphải<br /> lhàm<br /> phải<br /> phải<br /> làhàm<br /> hàm<br /> hàm<br /> hằng.<br /> hằng.<br /> AA<br /> Ag) ≤ T (r, B)+O(1)<br /> BB1 1l≥2B<br /> B=A)+N<br /> A<br /> Điều<br /> này<br /> mâu<br /> thuẫn<br /> với<br /> n. ≥ 13. Vì vậy l phải là hàm hằng.<br /> n+1n+1<br /> 1<br /> n+1<br /> (n−1)T<br /> (r,<br /> g)<br /> ≤<br /> T<br /> (r,<br /> B)+O(1)<br /> ≤<br /> N<br /> (r,<br /> A)+N<br /> n+1<br /> n+1<br /> ≥2(r, A)+N1 (r, )+ Do<br /> Do<br /> đó<br /> fg<br /> =<br /> l<br /> với<br /> l<br /> =<br /> 1<br /> .<br /> 1<br /> đó<br /> fg<br /> =<br /> l<br /> với<br /> l<br /> =<br /> 1<br /> .<br /> fg<br /> =<br /> l<br /> với<br /> l<br /> =<br /> 1<br /> Trường<br /> hợp<br /> 3.<br /> 1<br /> Do<br /> Do<br /> đó<br /> đó<br /> fg<br /> fg<br /> =<br /> =<br /> l<br /> l<br /> với<br /> với<br /> l<br /> l<br /> =<br /> =<br /> 1<br /> 1<br /> .<br /> .<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> )+<br /> (n−1)T<br /> (r,<br /> g)<br /> ≤<br /> T<br /> (r,<br /> B)+O(1)<br /> ≤<br /> N<br /> (r,<br /> A)+N<br /> (r,<br /> A)+N<br /> (r,<br /> n+1<br /> 1<br /> 1<br /> ≥2<br /> ≥2<br /> ≥2<br /> ≥2<br /> A(r,)+<br /> 1(r,<br /> 11 (r,<br /> 1(r,)+<br /> đó fg fhợp<br /> =hợp<br /> l với<br /> l = 1.<br /> ≥2<br /> ≥2 1A)+N<br /> )+Do<br /> )+Trường<br /> (n−1)T<br /> (n−1)T<br /> (n−1)T<br /> (r,<br /> (r,<br /> g)<br /> g)<br /> (r,<br /> g)<br /> ≤≤g)<br /> ≤<br /> TT(r,<br /> ≤<br /> T(r,(r,<br /> B)+O(1)<br /> TB)+O(1)<br /> (r,<br /> B)+O(1)<br /> B)+O(1)<br /> N<br /> ≤B)<br /> N<br /> N<br /> ≤1+<br /> (r,<br /> (r,<br /> A)+N<br /> (r,<br /> A)+N<br /> A)+N<br /> A)+N<br /> (r,<br /> A)+N<br /> (r,<br /> A)+N<br /> (r,<br /> 55≤<br /> 5 ≥25≤<br /> 3. 3.<br /> 1 (r,<br /> 1nN<br /> 1(r,<br /> 1A<br /> Trường<br /> Trường<br /> hợp<br /> 3.<br /> 1 1(r,<br /> 1) +<br /> 1N<br /> )+<br /> N1A)+N<br /> N(n−1)T<br /> n 11<br /> Trường<br /> Trường<br /> hợp<br /> hợp<br /> 3.<br /> 3.h<br /> 1 (r,<br /> 1= (r,<br /> 1,A (r, 1 ) + N1 (r, B) + N1 (r,<br /> A<br /> A<br /> A<br /> A<br /> 1<br /> A<br /> =<br /> f<br /> f(z<br /> +<br /> c)<br /> ≡<br /> B<br /> g<br /> g(z<br /> c)<br /> .<br /> Đặt<br /> h<br /> =<br /> .<br /> Giả<br /> sử<br /> ≥2<br /> ≥2<br /> ≥2<br /> Trường<br /> hợp<br /> 3.<br /> A<br /> B<br /> B<br /> f<br /> f fff<br /> n nngnn<br /> n nn nn<br /> NN1,A<br /> ≥2(r, 1) + N1 (r, B) + N1≥2(r, B) + N1 (r, 1 ) + N1≥2(r, 1 )<br /> 1<br /> A<br /> =<br /> f<br /> f(z<br /> +<br /> c)<br /> ≡<br /> B<br /> =≡<br /> g(z<br /> c)g(z<br /> .+Đặt<br /> hc)<br /> sửf. .Giả<br /> h..Giả<br /> 11 1−<br /> 1logr<br /> 1 ≥2<br /> 1≥2B1(1)<br /> 1) 1<br /> A AA<br /> =<br /> ff nff(z<br /> +++<br /> c)<br /> ≡≡≡<br /> BBgBB<br /> =<br /> g(z<br /> c)<br /> h. hGiả<br /> =<br /> sửsử<br /> h hhh<br /> ===<br /> c)c)c)<br /> =<br /> g(z<br /> ++<br /> .Đặt<br /> Đặt<br /> )+<br /> N1 (r,<br /> N1≥2≥2(r,<br /> (r,<br /> B) + N≥21≥2≥2(r,≥2B) + N1 (r,1 B11) +<br /> ≥2<br /> ff(z<br /> f(z<br /> f(z<br /> +<br /> =g=g+<br /> +c).c)<br /> .=<br /> . Đặt<br /> Đặt<br /> hh===<br /> Giả<br /> Giả<br /> sử<br /> sử<br /> ≥2<br /> ≥2≥2<br /> ≥2A<br /> 1,A<br /> ngg g(z<br /> +<br /> O(1)<br /> g<br /> )+<br /> (r,<br /> A)+N<br /> (r,<br /> )<br /> )<br /> +<br /> )<br /> +<br /> +<br /> N<br /> )<br /> N<br /> N<br /> +<br /> N<br /> )<br /> +<br /> )<br /> )<br /> N<br /> +<br /> +<br /> )<br /> N<br /> N<br /> +<br /> N<br /> )<br /> )<br /> )<br /> )<br /> (r,<br /> (r,<br /> (r,<br /> (r,<br /> (r,<br /> (r,<br /> (r,<br /> B)<br /> B)<br /> (r,<br /> B)<br /> +<br /> +<br /> B)<br /> N<br /> +<br /> N<br /> N<br /> +<br /> (r,<br /> N<br /> (r,<br /> (r,<br /> B)<br /> B)<br /> (r,<br /> B)<br /> +<br /> +<br /> B)<br /> N<br /> +<br /> N<br /> (r,<br /> N<br /> +<br /> (r,<br /> N<br /> (r,<br /> (r,<br /> (r,<br /> (r,<br /> (r,<br /> (r,<br /> N<br /> N<br /> N<br /> 1<br /> không<br /> phải<br /> hàm<br /> hằng.<br /> Khi<br /> đó<br /> ta<br /> có<br /> A<br /> B<br /> B<br /> A = f f(z + c) ≡ B = g g(z + c). Đặt h =g ggg. Giả sử h<br /> 1<br /> 11 1 1<br /> 1 11 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1,A<br /> 1,A<br /> 1,A<br /> 1,A<br /> A<br /> AAA<br /> A<br /> B<br /> B<br /> B<br /> B<br /> B<br /> B<br /> B<br /> B<br /> g<br /> ++O(1)<br /> (1)<br /> − logr<br /> không<br /> phải<br /> hàm<br /> hằng.<br /> KhiKhi<br /> đóKhi<br /> tađó<br /> có<br /> không<br /> phải<br /> hàm<br /> hằng.<br /> tatata<br /> cócócó<br /> phải<br /> hàm<br /> hằng.<br /> Khi<br /> đó<br /> logrcủa<br /> O(1)<br /> (1)<br /> không<br /> không<br /> phải<br /> phải<br /> hàm<br /> hàm<br /> hằng.<br /> hằng.<br /> Khi<br /> đó<br /> đó<br /> ta<br /> có<br /> Mọi cực −<br /> điểm<br /> A chỉ có thể xảy ra tại các cực điểm của<br /> 1<br /> 1<br /> không phải hàm hằng. Khi đó ta có<br /> 1<br /> logr<br /> logr<br /> logr<br /> +<br /> logr<br /> +<br /> +<br /> O(1)<br /> O(1)<br /> O(1)<br /> +<br /> O(1)<br /> (1)<br /> (1)<br /> (1)<br /> (1)<br /> −<br /> −<br /> −<br /> −<br /> ≥2<br /> n<br /> ) + N1 (r, ) f, f(z<br /> Mọi<br /> cực<br /> điểm<br /> của<br /> A<br /> chỉ<br /> có<br /> thể<br /> xảy<br /> ra<br /> tại<br /> các<br /> cực<br /> điểm<br /> của<br /> +<br /> c).<br /> Kết<br /> hợp<br /> với<br /> Định<br /> lý<br /> chính<br /> thứ<br /> nhất<br /> và<br /> Bổ<br /> đề<br /> 3.1<br /> h<br /> (z)<br /> =<br /> 1 1111<br /> Mọi cực điểm của A chỉ có thể xảy ra tại các cực điểm h(z<br /> của + c)<br /> B<br /> B<br /> nn =<br /> hn(z)<br /> =<br /> Mọi<br /> Mọi<br /> Mọi<br /> cực<br /> cực<br /> cựcđiểm<br /> cực<br /> điểm<br /> điểm<br /> điểm<br /> của<br /> của<br /> của<br /> Avới<br /> của<br /> AA<br /> chỉ<br /> chỉ<br /> chỉ<br /> Acócó<br /> chỉ<br /> có<br /> thể<br /> thể<br /> có<br /> thể<br /> xảy<br /> thể<br /> xảy<br /> xảy<br /> raxảy<br /> ra<br /> tại<br /> ratại<br /> ra<br /> tại<br /> các<br /> các<br /> tại<br /> các<br /> cựccác<br /> cực<br /> cực<br /> điểm<br /> cực<br /> điểm<br /> điểm<br /> của<br /> điểm<br /> của<br /> củacủa<br /> f,<br /> f(z<br /> +<br /> c).<br /> Kết<br /> hợp<br /> Định<br /> lý<br /> chính<br /> thứ<br /> nhất<br /> và<br /> Bổ<br /> đề<br /> 3.1<br /> hhnnnh(z)<br /> (z)<br /> ==<br /> [8]<br /> taMọi<br /> có<br /> 1<br /> h<br /> (z)<br /> (z)<br /> =h(z<br /> f,<br /> f(z<br /> +<br /> c).<br /> Kết<br /> hợp<br /> với<br /> Định<br /> lý<br /> chính<br /> thứ<br /> nhất<br /> và<br /> Bổ<br /> đề<br /> 3.1<br /> h(z<br /> c)h(z<br /> (1) [8]<br /> +++<br /> c)<br /> h (z) =+h(z<br /> h(z<br /> +c)c)c)<br /> f,f,f(z<br /> f(z<br /> f,<br /> f(zcó<br /> +<br /> f(z<br /> ++<br /> c).<br /> c).c).<br /> +Kết<br /> Kết<br /> c).<br /> Kết<br /> hợp<br /> Kết<br /> hợp<br /> hợp<br /> với<br /> hợp<br /> với<br /> với<br /> Định<br /> với<br /> Định<br /> Định<br /> Định<br /> lý<br /> lý<br /> chính<br /> lý<br /> chính<br /> lý<br /> chính<br /> chính<br /> thứ<br /> thứ<br /> thứ<br /> nhất<br /> thứ<br /> nhất<br /> nhất<br /> và<br /> nhất<br /> và<br /> Bổ<br /> và<br /> Bổ<br /> và<br /> Bổ<br /> đề<br /> đề<br /> Bổ<br /> 3.1<br /> đề<br /> 3.1<br /> đề<br /> 3.1<br /> 3.1<br /> ta<br /> ≥2<br /> h(z + c)<br /> [8] ta<br /> có<br /> Theo<br /> Bổ<br /> đề<br /> 3.1<br /> [8]<br /> ta<br /> có<br /> N<br /> (r,<br /> A)<br /> +<br /> N<br /> (r,<br /> A)<br /> ≤<br /> 2N<br /> (r,<br /> f)<br /> +<br /> (N<br /> (r,<br /> f(z<br /> +<br /> c))+<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> ác cực điểm của [8][8]<br /> ta<br /> ta<br /> [8]<br /> tacó<br /> có<br /> ta<br /> cócó<br /> ≥2<br /> Theo<br /> Bổ<br /> đề<br /> 3.1<br /> [8]<br /> ta<br /> có<br /> ≥2<br /> Theo<br /> Bổ<br /> đề<br /> 3.1<br /> [8]<br /> ta<br /> có<br /> Theo<br /> BổBổ<br /> đề<br /> 3.1<br /> [8][8]<br /> tata<br /> cócó<br /> N(r,1 (r,<br /> (r,<br /> 2N<br /> (r, f(z<br /> Theo<br /> Theo<br /> Bổ<br /> đề<br /> đề<br /> 3.1<br /> 3.1<br /> [8]<br /> ta<br /> có<br /> f(zA)<br /> +++<br /> c))NN+<br /> f)f)<br /> ++<br /> N(r,<br /> + c))++c))+<br /> O(1)<br /> 1≥2O(1)<br /> (r,<br /> A)<br /> (r,≥2A)<br /> A)≤≤≤2N(r,<br /> 2N11(r,<br /> (r,<br /> f)<br /> +(N<br /> (N1f(z<br /> c))+<br /> hất và Bổ đề 3.1 N1≥2 N<br /> Theo Bổ đề 3.1 [8] ta có<br /> (r, h)≤=<br /> 1<br /> 1 (r, f(z +nT<br /> ≥2<br /> 1≥2≥2<br /> N<br /> N<br /> (r,<br /> A)<br /> (r,<br /> A)<br /> ++<br /> A)<br /> +<br /> NNT1+<br /> N1(r,<br /> (r,<br /> N<br /> (r,<br /> (r,<br /> A)<br /> A)<br /> (r,<br /> A)<br /> ≤<br /> ≤<br /> A)<br /> 2N<br /> ≤<br /> 2N<br /> 2N<br /> ≤<br /> (r,<br /> 2N<br /> (r,<br /> (r,<br /> f)<br /> f)<br /> (r,<br /> +<br /> f)<br /> +<br /> (N<br /> f)<br /> +<br /> (N<br /> (N<br /> +<br /> (r,<br /> (N<br /> (r,<br /> f(z<br /> (r,<br /> f(z<br /> (r,<br /> f(z<br /> +<br /> f(z<br /> c))+<br /> +<br /> +<br /> c))+<br /> c))+<br /> +<br /> c))+<br /> (r,<br /> f(z<br /> +<br /> c))<br /> O(1)<br /> ≤<br /> 2N(r,<br /> f)<br /> +<br /> N(r,<br /> f(z<br /> +<br /> c))<br /> O(1)<br /> ≤<br /> NN1≥2N<br /> 11(r,<br /> 1N<br /> 1A)<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 2T<br /> (r,<br /> f)<br /> +<br /> f(z<br /> +<br /> c))<br /> +<br /> O(1)<br /> ≤<br /> 3T<br /> (r,<br /> f)<br /> +<br /> O(1)<br /> 1<br /> nT (r,<br /> h)<br /> =(r,<br /> (r,≥2f(z + c)) +1O(1)<br /> ≤ 2N(r, f) + N(r, f(z + c)) + O(1) ≤<br /> nT<br /> (r,<br /> h)h)h)<br /> ====<br /> nT<br /> (r,<br /> ≥2<br /> nT<br /> nT<br /> (r,<br /> h)<br /> 1≥2≥2<br /> 1++c))<br /> (r,<br /> (r,<br /> (r,<br /> f(z<br /> f(z<br /> (r,<br /> f(z<br /> +<br /> f(z<br /> ++<br /> c))<br /> c))<br /> c))<br /> ++<br /> +c))<br /> O(1)<br /> +O(1)<br /> O(1)<br /> +<br /> O(1)<br /> ≤≤<br /> ≤<br /> 2N(r,<br /> 2N(r,<br /> 2N(r,<br /> ≤+<br /> 2N(r,<br /> f)O(1)<br /> f)<br /> f)+<br /> N(r,<br /> f)<br /> +N(r,<br /> N(r,<br /> +3T<br /> f(z<br /> N(r,<br /> f(z<br /> f(z<br /> +f)<br /> f(z<br /> c))<br /> +<br /> c))<br /> +O(1)<br /> O(1)<br /> +c))<br /> +O(1)<br /> O(1)<br /> +≤O(1)<br /> ≤≤ ≤<br /> NN<br /> 2T<br /> (r,<br /> f)<br /> +<br /> T<br /> (r,<br /> f(z<br /> +<br /> c))<br /> ≤<br /> (r,<br /> +<br /> nT<br /> (r,<br /> h)<br /> =<br /> n+<br /> 11 1N<br /> 1<br /> 2T (r, f) + T (r, f(z + c))<br /> 3T (r, f) + )O(1)<br /> ≤ T (r, h(z+c))+O(1)<br /> ≤ T (r, h)+O(1)<br /> )=≤<br /> T (r,<br /> T (r,+hO(1)<br /> 1 11<br /> Suy ra<br /> nnn<br /> , f(z + c))+<br /> 1<br /> 1<br /> 2T<br /> 2T2T<br /> (r,<br /> (r,<br /> 2T<br /> (r,<br /> f)<br /> f)<br /> (r,<br /> f)<br /> ++f)<br /> +<br /> TT(r,<br /> T+<br /> (r,(r,<br /> f(z<br /> Tf(z<br /> (r,<br /> f(z<br /> +f(z<br /> +c))<br /> +c))<br /> c))<br /> +++<br /> c))<br /> O(1)<br /> +O(1)<br /> O(1)<br /> +≤<br /> O(1)<br /> ≤3T<br /> ≤3T<br /> (r,<br /> 3T<br /> ≤h(z<br /> (r,<br /> f)<br /> 3T<br /> (r,f)<br /> +<br /> (r,<br /> f)O(1)<br /> ++<br /> f)O(1)<br /> O(1)<br /> + O(1)<br /> c)<br /> (r,<br /> h(z+c))+O(1)<br /> ≤ T (r, ≤<br /> h)+O(1)<br /> T T(r,<br /> hh ) ))=nn=<br /> T≤<br /> h(z+c))+O(1)<br /> T≤T(r,<br /> h)+O(1)<br /> T(r,<br /> h(z+c))+O(1)<br /> ≤≤<br /> h)+O(1)<br /> T(r,<br /> TT (r,<br /> (r,<br /> 1) ≤)T)≤<br /> Suy ra<br /> )≤<br /> )≤<br /> T(r,<br /> T(r,<br /> (r,<br /> h(z+c))+O(1)<br /> h(z+c))+O(1)<br /> TT(r,<br /> (r,<br /> (r,<br /> h)+O(1)<br /> h)+O(1)<br /> )) =<br /> =<br /> T(r,<br /> Th(z<br /> (r,<br /> (r,<br /> TT(r,<br /> (r,nhh =<br /> + c)+<br /> h(z<br /> c)<br /> h(z<br /> ++<br /> c)c)c)<br /> z + c)) + O(1) ≤ Suy ra N1 (r, A)+N1≥2 (r, A)<br /> )<br /> ≤<br /> T<br /> (r,<br /> h(z+c))+O(1)<br /> ≤ T (r, h)+O(1)<br /> )<br /> =<br /> T<br /> (r,<br /> T<br /> (r,<br /> h<br /> h(z<br /> h(z<br /> +<br /> ≤<br /> 3T<br /> (r,<br /> f)+O(1)<br /> Điều<br /> này<br /> mâu<br /> thuẫn<br /> với<br /> n<br /> ≥<br /> 13<br /> .<br /> Vì<br /> vậy<br /> h<br /> phải<br /> là<br /> hàm<br /> hằng,<br /> Suy<br /> Suy<br /> Suy<br /> Suy<br /> ra<br /> rara ra<br /> h(z<br /> +<br /> c)<br /> Điều<br /> mâu<br /> thuẫn<br /> với với<br /> nvới<br /> ≥nn<br /> 13.≥Vì<br /> vậy<br /> hvậy<br /> phảihlà<br /> hàmlàhằng,<br /> , f) + O(1)<br /> n+1 này<br /> NN1 (r,<br /> A)+N1≥2<br /> 3T (r,hn+1<br /> f)+O(1)<br /> ≥2(r, A)<br /> (2)với hĐiều<br /> mâu<br /> thuẫn<br /> 13<br /> .13<br /> hàm<br /> hằng,<br /> này<br /> mâu<br /> thuẫn<br /> .Vì<br /> hằng,<br /> kéo≤theo<br /> = 1, do đó f = hg<br /> =này<br /> 1này<br /> .này<br /> Điều<br /> Điều<br /> mâu<br /> mâu<br /> thuẫn<br /> thuẫn<br /> với<br /> với≥<br /> nn ≥<br /> ≥1313<br /> .Vì<br /> . Vì<br /> Vìvậy<br /> vậy<br /> vậyhphải<br /> hhphải<br /> phải<br /> phảilàlà<br /> làhàm<br /> hàm<br /> hàm<br /> hằng,<br /> hằng,<br /> 1 (r, A)+N<br /> n+1<br /> n+1<br /> ≥2<br /> ≥2A) ≤ 3T (r, f)+O(1)<br /> 1≥2≥2(r,<br /> Điều<br /> này<br /> mâu<br /> thuẫn<br /> với<br /> n<br /> ≥<br /> 13<br /> .<br /> Vì<br /> vậy<br /> h<br /> phải<br /> kéo<br /> theo<br /> h<br /> =<br /> 1<br /> ,<br /> do<br /> đó<br /> f<br /> =<br /> hg<br /> với<br /> h<br /> =<br /> 1<br /> .<br /> n+1<br /> n+1<br /> n+1<br /> n+1<br /> NN1N<br /> (r,<br /> (r,<br /> A)+N<br /> (r,<br /> A)+N<br /> A)+N<br /> (r,<br /> (r,<br /> (r,<br /> A)<br /> A)<br /> (r,<br /> A)<br /> ≤<br /> ≤<br /> A)<br /> 3T<br /> ≤<br /> 3T<br /> 3T<br /> (r,<br /> ≤<br /> (r,<br /> 3T<br /> (r,<br /> f)+O(1)<br /> f)+O(1)<br /> (r,<br /> f)+O(1)<br /> f)+O(1)<br /> (2)<br /> n+1<br /> n+1<br /> n+1<br /> n+1<br /> 1(r,<br /> 1N<br /> 1A)+N<br /> Ta thấy<br /> rằng,<br /> mọi<br /> không<br /> điểm<br /> của<br /> A<br /> chỉ<br /> có<br /> thể<br /> xảy<br /> ra<br /> tại<br /> 111 1<br /> kéo<br /> theo<br /> theo<br /> hhn+1<br /> 1=<br /> đó<br /> ff=<br /> hg<br /> với<br /> hhhn+1<br /> 1=.11.1..là hàm hằng,<br /> 1,,1do<br /> đóđó<br /> với<br /> Định lý 3.1. được chứng minh.<br /> kéo<br /> kéo<br /> theo<br /> theo<br /> hh ===<br /> 1do<br /> ,, do<br /> do<br /> đó<br /> ff==<br /> =hghg<br /> hg<br /> với<br /> với<br /> h ===<br /> (2)<br /> theo<br /> h3.1.<br /> =<br /> 1chứng<br /> , do<br /> đó<br /> fminh.<br /> = hg với h = 1.<br /> lýlý<br /> được<br /> minh.<br /> (2)tại<br /> (2)<br /> (2)(2) kéoĐịnh<br /> thấy<br /> rằng,<br /> mọi<br /> không<br /> điểm<br /> của<br /> chỉ<br /> cácTa<br /> không<br /> f(z +<br /> c). CẢM<br /> Định<br /> được<br /> chứng<br /> Định<br /> lý3.1.<br /> 3.1.<br /> được<br /> chứng<br /> minh.<br /> Định<br /> Định<br /> lýlý<br /> 3.1.<br /> 3.1.<br /> được<br /> được<br /> chứng<br /> chứng<br /> minh.<br /> minh.<br /> LỜI<br /> Ta<br /> thấy điểm<br /> rằng,của<br /> mọif,<br /> không<br /> điểm<br /> của AAƠN<br /> chỉ có<br /> có thể<br /> thể xảy<br /> xảy ra<br /> ra tại<br /> Định<br /> lý<br /> 3.1.<br /> được<br /> chứng<br /> minh.<br /> 1)<br /> LỜI<br /> CẢM<br /> ƠN<br /> Ta<br /> Ta<br /> Ta<br /> thấy<br /> thấy<br /> Ta<br /> thấy<br /> thấy<br /> rằng,<br /> rằng,<br /> rằng,<br /> rằng,<br /> mọi<br /> mọi<br /> mọi<br /> không<br /> mọi<br /> không<br /> không<br /> không<br /> điểm<br /> điểm<br /> điểm<br /> điểm<br /> của<br /> của<br /> của<br /> A<br /> của<br /> A<br /> chỉ<br /> A<br /> chỉ<br /> chỉ<br /> A<br /> có<br /> chỉ<br /> có<br /> thể<br /> có<br /> thể<br /> có<br /> thể<br /> xảy<br /> thể<br /> xảy<br /> xảy<br /> ra<br /> xảy<br /> ra<br /> tại<br /> ra<br /> tại<br /> tại<br /> ra<br /> tại<br /> các<br /> không<br /> điểm<br /> của<br /> f,<br /> f(z<br /> +<br /> c)<br /> .<br /> Tương<br /> tự<br /> (2)<br /> ta<br /> nhận<br /> được<br /> LỜI<br /> CẢM<br /> ƠN<br /> CẢM<br /> ƠN<br /> Nghiên<br /> cứu này được tài trợ bởi Quỹ<br /> phát<br /> triển<br /> khoa<br /> các không điểm của f, f(z + c)<br /> .<br /> LỜI<br /> LỜI<br /> CẢM<br /> CẢM<br /> ƠN<br /> ƠNhọc<br /> Nghiên<br /> cứu<br /> này<br /> được<br /> tài trợ<br /> bởi<br /> Quỹ<br /> phát<br /> triển<br /> khoa<br /> học<br /> CẢM<br /> ƠN<br /> (2) các<br /> các<br /> các<br /> không<br /> không<br /> không<br /> không<br /> điểm<br /> điểm<br /> điểm<br /> điểm<br /> của<br /> của<br /> của<br /> của<br /> f,<br /> f,f(z<br /> f,f(z<br /> f(z<br /> f,<br /> +f(z<br /> +<br /> c)<br /> +c)<br /> .công<br /> c)<br /> +. .c). nghệ quốc gia (NAFOSTED)LỜI<br /> Tương<br /> được<br /> Nghiên<br /> cứu<br /> này<br /> được<br /> tài<br /> trợ<br /> bởi<br /> Quỹ<br /> phát<br /> triển<br /> khoa<br /> học<br /> Nghiên<br /> cứu<br /> này<br /> được<br /> tài<br /> trợ<br /> bởi<br /> Quỹ<br /> phát<br /> triển<br /> khoa<br /> học<br /> và<br /> thông<br /> qua<br /> đề<br /> tài<br /> mã<br /> Tương tự<br /> tự (2)<br /> (2)1ta<br /> ta nhận<br /> nhận<br /> được<br /> Nghiên<br /> Nghiên<br /> cứu<br /> cứu<br /> này<br /> này<br /> được<br /> được<br /> tài<br /> tài<br /> trợ<br /> trợ<br /> bởi<br /> bởi<br /> Quỹ<br /> Quỹ<br /> phát<br /> phát<br /> triển<br /> triển<br /> khoa<br /> khoa<br /> học<br /> học<br /> 1<br /> ≥2<br /> và<br /> công<br /> nghệ<br /> quốc<br /> gia<br /> (NAFOSTED)<br /> thông<br /> qua<br /> đề<br /> tài<br /> mãkhoa<br /> Nghiên<br /> cứuquốc<br /> này được<br /> tài trợ bởi Quỹ<br /> phátqua<br /> triển<br /> học<br /> ó thể xảy ra tại<br /> Tương<br /> Tương<br /> Tương<br /> Tương<br /> tự<br /> tựtự<br /> (2)<br /> tự<br /> (2)ta(2)<br /> tata<br /> nhận<br /> nhận<br /> ta<br /> nhận<br /> nhận<br /> được<br /> được<br /> được<br /> được<br /> )101.01-2012.19.<br /> ≤ 3T (r, f)+O(1)<br /> N<br /> (r,<br /> (r,<br /> 1(2)<br /> và<br /> công<br /> nghệ<br /> gia<br /> (NAFOSTED)<br /> thông<br /> đề<br /> tài<br /> mã<br /> công<br /> nghệ<br /> quốc<br /> gia<br /> (NAFOSTED)<br /> thông<br /> qua<br /> đề<br /> tài<br /> mã<br /> số<br /> Các<br /> tác<br /> giả<br /> xin<br /> trân<br /> trọng<br /> cảm<br /> ơn.<br /> 1A1 )+N1,A<br /> 1<br /> và<br /> và<br /> công<br /> công<br /> nghệ<br /> nghệ<br /> quốc<br /> quốc<br /> gia<br /> gia<br /> (NAFOSTED)<br /> (NAFOSTED)<br /> thông<br /> thông<br /> qua<br /> qua<br /> đề<br /> đề<br /> tài<br /> tài<br /> mã<br /> mã<br /> ≥2<br /> A<br /> số<br /> Các gia<br /> tác giả<br /> xin trân trọng cảm<br /> ơn. qua đề tài mã<br /> và 101.01-2012.19.<br /> công nghệ quốc<br /> (NAFOSTED)<br /> thông<br /> )+N<br /> NN1 (r,<br /> ≥2(r, 1) ≤ 3T (r, f)+O(1)<br /> 1,A<br /> số<br /> 101.01-2012.19.<br /> Các<br /> tác<br /> giả<br /> xin<br /> trân<br /> trọng<br /> cảm<br /> ơn.<br /> 101.01-2012.19.<br /> Các<br /> tác<br /> giả<br /> xin<br /> trân<br /> trọng<br /> cảm<br /> ơn.<br /> (3)<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> )+N<br /> )<br /> ≤<br /> 3T<br /> (r,<br /> f)+O(1)<br /> (r,<br /> (r,<br /> số<br /> số<br /> 101.01-2012.19.<br /> 101.01-2012.19.<br /> Các<br /> Các<br /> tác<br /> tác<br /> giả<br /> giả<br /> xin<br /> xin<br /> trân<br /> trân<br /> trọng<br /> trọng<br /> cảm<br /> cảm<br /> ơn.<br /> ơn.<br /> ≥2<br /> ≥2≥2 ≥2A<br /> 1,A<br /> số 101.01-2012.19. Các tác giả xin trân trọng cảm ơn.<br /> )+N<br /> )+N<br /> )+N<br /> )+N<br /> )(r,)≤)≤3T<br /> ≤)3T<br /> 3T<br /> (r,<br /> ≤(r,<br /> 3T<br /> (r,<br /> f)+O(1)<br /> f)+O(1)<br /> (r,<br /> f)+O(1)<br /> f)+O(1)<br /> N1N11(r,<br /> (r,<br /> (r,1AA(r,<br /> (r,(r,<br /> (r,TÀI<br /> A<br /> 1N<br /> 1,A<br /> 1,A<br /> Tương N<br /> tự<br /> đối<br /> ta<br /> cũng<br /> AAvới<br /> A AB1,A1,A<br /> AAA có:<br /> ALIỆU THAM KHẢO (3)<br /> (3)<br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> (3)(3)<br /> (3)(3) TÀI<br /> LIỆU<br /> THAM<br /> KHẢO<br /> LIỆU<br /> THAM<br /> KHẢO<br /> Tương<br /> với<br /> BB ta<br /> TÀI<br /> TÀI<br /> LIỆU<br /> LIỆU<br /> THAM<br /> THAM<br /> KHẢO<br /> KHẢO<br /> ≥2 có:<br /> Tương tự<br /> tự đối<br /> đối<br /> với<br /> ta cũng<br /> cũng<br /> có: r) ≤ (k+2)Tg (r)+O(1)<br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> Nđối<br /> (∞,<br /> r)+N<br /> (∞,<br /> (1)<br /> 1,B<br /> 1,B<br /> Tương<br /> Tương<br /> Tương<br /> Tương<br /> tự<br /> tựtựđối<br /> đối<br /> tự<br /> với<br /> đối<br /> với<br /> với<br /> Bvới<br /> BB<br /> ta<br /> taB<br /> ta<br /> cũng<br /> cũng<br /> ta<br /> cũng<br /> cũng<br /> có:<br /> có:<br /> có:<br /> có:<br /> ≥2<br /> NN1,B (∞,<br /> r)+N1,B<br /> ≥2(∞, r) ≤ (k+2)Tg (r)+O(1)<br /> (3)<br /> r) ≤ (k+2)Tg (r)+O(1)<br /> ≥2<br /> 1,B (∞, r)+N<br /> 3<br /> 7<br /> ≥21,B<br /> ≥2<br /> ≥2(∞,<br /> ≥2 ≤<br /> 60(6)<br /> 6.2018<br /> (0,<br /> r)+N<br /> (0,<br /> r)<br /> (r,<br /> g)+O(1)<br /> NN1,B<br /> 7<br /> N1,B<br /> (∞,<br /> N<br /> (∞,<br /> (∞,<br /> r)+N<br /> (∞,<br /> r)+N<br /> r)+N<br /> r)+N<br /> (∞,<br /> (∞,<br /> (∞,<br /> r)(∞,<br /> r)≤<br /> r)(k+2)T<br /> ≤(k+2)T<br /> ≤<br /> r)(k+2)T<br /> (k+2)T<br /> ≤ (k+2)T<br /> (r)+O(1)<br /> 1,B1,B<br /> g (r)+O(1)<br /> gg(r)+O(1)<br /> g (r)+O(1)<br /> 1,B<br /> 1,B<br /> 1,B<br /> 1,B<br /> 1,B<br /> ≥2<br /> 7 7 77<br /> r)+N<br /> (0,<br /> r)<br /> ≤<br /> (k+2)T<br /> (r,<br /> g)+O(1)<br /> NN1,B (0,<br /> ≥2<br /> (4)<br /> 1,B (0, r) ≤ (k+2)T (r, g)+O(1)<br /> 7<br /> 1,B (0, r)+N<br /> ≥21,B<br /> ≥2<br /> ≥2 ≥2<br /> (0,<br /> (0,<br /> r)+N<br /> r)+N<br /> (0,<br /> r)+N<br /> r)+N<br /> (0,(0,<br /> (0,<br /> r)r)<br /> (0,<br /> ≤<br /> r)≤(k+2)T<br /> r)<br /> ≤(k+2)T<br /> (k+2)T<br /> ≤ (k+2)T<br /> (r,(r,<br /> g)+O(1)<br /> (r,g)+O(1)<br /> (r,<br /> g)+O(1)<br /> g)+O(1)<br /> N1,B1,B<br /> N(0,<br /> (4)<br /> 1,B<br /> 1,B<br /> Từ (1)-(4)NN<br /> ta<br /> có<br /> 1,B<br /> 1,B<br /> 1,B<br /> 1,B<br /> )Tg (r)+O(1)<br /> (4)<br /> n<br /> <br /> n<br /> <br /> Math. Soc., 42, pp.389-392.<br /> [3] C.C. Yang and X.H. Hua (1997), "Uniqueness and valuesharing of meromorphic functions", Ann. Acad. Sci. Fenn.<br /> Math., pp.395-406.<br /> [4] J. Ojeda (2008), "Hayman’s conjecture in a p-adic field",<br /> Taiwanese J. Math., 9, pp.2295-2313.<br /> [5] R.G. Halburd, R.J. Korhonen (2006), "Nevanlinna theory for the difference operator", Ann. Acad. Sci. Fenn. Math.,<br /> 31, pp.463-478.<br /> [6] I. Laine and C.C.Yang (2007), "Value distribution of<br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> difference polynomials", Proceedings of the Japan Academy,<br /> [1] Ha<br /> (2011),<br /> "Value<br /> distriHa Huy<br /> Huy Khoai<br /> Khoaiand<br /> andVu<br /> VuHoai<br /> HoaiAnAn<br /> (2011),<br /> "Value<br /> distri- Series A, 83(8), pp.148-151.<br /> [7] K. Liu and L.Z. Yang (2009), "Value distribution of the<br /> bution problem<br /> andand<br /> their<br /> bution<br /> problem for<br /> forp-adic<br /> p-adicmeromorphic<br /> meromorphicfunctions<br /> functions<br /> their<br /> difference<br /> operator", Archiv der Mathematik, 92(3), pp.270derivatives", Ann.<br /> XX(Special),<br /> pp.135derivatives",<br /> Ann.Fac.<br /> Fac.Sc.<br /> Sc.Toulouse,<br /> Toulouse,<br /> XX(Special),<br /> pp.135278.<br /> 149.<br /> 149.<br /> [8] Ha Huy Khoai and Vu Hoai An (2012), "Value - sharing<br /> [2] J. Clunie (1967), "On a result of Hayman", J. London<br /> [2] J. Clunie (1967), "On a result of Hayman", J. London problem for p-adic meromorphic functions and their differMath. Soc., 42, pp.389-392.<br /> Math.<br /> Soc., 42, pp.389-392.<br /> ence operators and difference polynomials", Ukranian Math.<br /> [3] C.C. Yang and X.H. Hua (1997), "Uniqueness and value[3]<br /> C.C.<br /> and X.H.functions",<br /> Hua (1997),<br /> "Uniqueness<br /> value- J., 64(2), pp.147-164.<br /> sharing of Yang<br /> meromorphic<br /> Ann.<br /> Acad. Sci.and<br /> Fenn.<br /> sharing<br /> of meromorphic functions", Ann. Acad. Sci. Fenn. Math,<br /> [9] Ha Huy Khoai, Vu Hoai An and Nguyen Xuan Lai<br /> Math., pp.395-406.<br /> (2012), "Value sharing problem and Uniqueness for p-adic<br /> [4] J. Ojeda (2008), "Hayman’s conjecture in a p-adic field",<br /> 7<br /> meromorphic functions", Annales Univ. Sci. Budapest, 38,<br /> Taiwanese J. Math., 9, pp.2295-2313.<br /> pp.71-92.<br /> [5] R.G. Halburd, R.J. Korhonen (2006), "Nevanlinna the[10] P.C. Hu, C.C. Yang (2000), Meromorphic functions<br /> ory for the difference operator", Ann. Acad. Sci. Fenn. Math.,<br /> 31, pp.463-478.<br /> over non-Archimedean fields, Kluwer.<br /> [6] I. Laine and C.C.Yang (2007), "Value distribution of<br /> difference polynomials", Proceedings of the Japan Academy,<br /> Series A, 83(8), pp.148-151.<br /> [7] K. Liu and L.Z. Yang (2009), "Value distribution of the<br /> difference operator", Archiv der Mathematik, 92(3), pp.270278.<br /> [8] Ha Huy Khoai and Vu Hoai An (2012), "Value - sharing<br /> problem for p-adic meromorphic functions and their difference operators and difference polynomials", Ukranian Math.<br /> J., 64(2), pp.147-164.<br /> 8<br /> [9] Ha Huy Khoai, Vu Hoai An and Nguyen Xuan Lai<br /> (2012), "Value sharing problem and Uniqueness for p-adic<br /> meromorphic functions", Annales Univ. Sci. Budapest, 38,<br /> pp.71-92.<br /> [10] P.C. Hu, C.C. Yang (2000), Meromorphic functions<br /> over non-Archimedean fields, Kluwer.<br /> <br /> Điều này mâu thuẫn với n ≥ 13. Vì vậy h phải là hàm hằng,<br /> kéo theo hn+1 = 1, do đó f = hg với hn+1 = 1.<br /> Định lý 3.1. được chứng minh.<br /> LỜI CẢM ƠN<br /> Khoa học Tự nhiên<br /> Nghiên cứu này được tài trợ bởi Quỹ phát triển khoa học<br /> và công nghệ quốc gia (NAFOSTED) thông qua đề tài mã số<br /> 101.01-2012.19. Các tác giả xin trân trọng cảm ơn.<br /> <br /> 8<br /> <br /> 60(6) 6.2018<br /> <br /> 4<br /> <br />