Về định lí điểm bất động cho lớp ánh xạ tựa co trên không gian S-mêtric thứ tự bộ phận

Chia sẻ: Trương Tiên | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

37
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của nghiên cứu này là thiết lập một số định lí điểm bất động cho lớp ánh xạ tựa co trên không gian S-mêtric thứ tự bộ phận. Kết quả nghiên cứu chứng minh rằng các kết quả chính của Caballero, Harjani và Sadarangani (2010) được suy ra từ các định lí này. Đồng thời, nghiên cứu này cung cấp một số ví dụ minh họa cho kết quả đạt được.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Về định lí điểm bất động cho lớp ánh xạ tựa co trên không gian S-mêtric thứ tự bộ phận

Tạp chí Khoa học – Số 01 (2013): 8 – 16 Trường Đại học An Giang VỀ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO LỚP ÁNH XẠ TỰA CO TRÊN KHÔNG GIAN S-MÊTRIC THỨ TỰ BỘ PHẬN Nguyễn Trung Hiếu1 và Nguyễn Thị Kiều Trang2 ABSTRACT The objectives of the present study were to construct several fixed-point theorems for contractive-like mappings in partially ordered S-metric spaces. The findings proved that several main results of Caballero, Harjani and Sadarangani (2010) were derived from these theorems. In addition, some examples were provided to illustrate the results obtained. Keywords: fixed point, S-metric space, contractive-like mapping, altering distance function Title: Towards several fixed-point theorems for contractive-like mappings in partially ordered S-metric spaces TÓM TẮT Mục tiêu của nghiên cứu này là thiết lập một số định lí điểm bất động cho lớp ánh xạ tựa co trên không gian S-mêtric thứ tự bộ phận. Kết quả nghiên cứu chứng minh rằng các kết quả chính của Caballero, Harjani và Sadarangani (2010) được suy ra từ các định lí này. Đồng thời, nghiên cứu này cung cấp một số ví dụ minh họa cho kết quả đạt được. Từ khóa: điểm bất động, không gian S-mêtric, ánh xạ tựa co, hàm biến thiên khoảng cách 1. GIỚI THIỆU Các định lí điểm bất động là công cụ hữu ích trong việc khảo sát sự tồn tại nghiệm của một số bài toán liên quan đến phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng. Trong lí thuyết điểm bất động, nguyên lí ánh xạ co Banach trên không gian mêtric đầy đủ có vai trò quan trọng nhất. Cùng với sự phát triển của toán học, nguyên lí ánh xạ co Banach được mở rộng cho những lớp ánh xạ khác nhau cũng như cho những không gian khác nhau. Trong hướng nghiên cứu đó, một số tác giả đã mở rộng nguyên lí ánh xạ co Banach sang một số không gian mêtric suy rộng. Gần đây, Sedghi, Shobe và Aliouche (2012) đã giới thiệu một khái niệm mêtric suy rộng như sau. Định nghĩa 1.1. Cho X là một tập khác rỗng. Một S-mêtric trên X là ánh xạ S : X  X  X  [0, ) thỏa mãn các điều kiện sau với mọi x , y, z , a  X . (1) S (x , y, z )  0 nếu và chỉ nếu x  y  z ; (2) S (x , y, z )  S (x , x , a )  S (y, y, a )  S (z , z , a ) . Cặp (X; S) được gọi là không gian S-mêtric. Đồng thời, Sedghi và cs. (2012) cũng đã giới thiệu một số tính chất của S-mêtric và mở rộng nguyên lí ánh xạ co Banach trên không gian mêtric đầy đủ sang không gian S -mêtric đầy đủ, kết quả chính là Theorem 3.1. Từ đó, việc mở rộng các định lí điểm bất động trên không gian mêtric sang không gian S-mêtric được một số tác giả quan tâm và đạt được một số kết quả nhất định (Trần Văn Ân & Nguyễn Văn Dũng, 2012; Nguyễn Văn Dũng, 2013; Nguyễn Văn Dũng & Nguyễn Trung Hiếu, 2013; Nguyễn Trung Hiếu, Nguyễn Thị Thanh Lý & Nguyễn Văn Dũng, 2013; Sedghi & Nguyễn Văn Dũng, 2012). 1 ThS. Khoa Sư phạm Toán – Tin, Trường Đại học Đồng Tháp Email: ngtrunghieu@dthu.edu.vn 2 Khoa Sư phạm Toán – Tin, Trường Đại học Đồng Tháp 8 Tạp chí Khoa học – Số 01 (2013): 8 – 16 Trường Đại học An Giang Trong bài báo của mình, Khan, Swaleh và Sessa (1984) đã giới thiệu khái niệm hàm biến thiên khoảng cách như sau. Định nghĩa 1.2. Hàm y : [0, ¥ ) ® [0, ¥ ) được gọi là hàm biến thiên khoảng cách nếu các điều kiện sau được thỏa mãn. (1) y là hàm liên tục và không giảm; (2) y (t ) = 0 nếu và chỉ nếu t = 0 . Đồng thời, trong bài báo này các tác giả cũng đã thiết lập định lí điểm bất động bằng cách sử dụng hàm biến thiên khoảng cách. Từ đó, việc thiết lập các định lí điểm bất động thông qua lớp hàm biến thiên khoảng cách được một số tác giả quan tâm nghiên cứu (Sastry & Babu, 1999; Shatanawi & AlRawashdeh, 2012). Gần đây, Caballero, Harjani và Sadarangani (2010) đã giới thiệu lớp hàm F như sau. Định nghĩa 1.3. Kí hiệu F là lớp các hàm b : [0, + ¥ ) ® [0,1) thỏa mãn điều kiện: Nếu b (t n ) ® 1 thì t n ® 0 . Bằng cách sử dụng lớp hàm biến thiên khoảng cách và lớp hàm F , Caballero và cs. (2010) đã giới thiệu lớp ánh xạ tựa co trên không gian mêtric thứ tự bộ phận và thiết lập một số định lí điểm bất động cho lớp ánh xạ này, kết quả chính là Theorem 2.2, Theorem 2.3 và Theorem 2.4. Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu lớp ánh xạ tựa co trên không gian S-mêtric thứ tự bộ phận, thiết lập một số định lí điểm bất động cho lớp ánh xạ này và chứng tỏ rằng từ các kết quả này có thể suy ra được các kết quả chính của Caballero, Harjani và Sadarangani (2010). Đồng thời, chúng tôi cũng xây dựng ví dụ minh họa cho kết quả đạt được. Trước hết, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm và kết quả được sử dụng trong bài báo này. Các khái niệm và kết quả này được trích từ các kết quả của Sedghi và cs. (2012), Trần Văn Ân và Nguyễn Văn Dũng (2012), Caballero và cs. (2010 ). Mệnh đề 1.4. Cho (X , S ) là không gian S -mêtric. Khi đó S (x , x , y ) = S (y, y, x ) với mọi x , y Î X . Mệnh đề 1.5. Cho (X , S ) là không gian S -mêtric. Khi đó S (x , x , z ) £ 2S (x , x , y ) + S (y, y, z ) với mọi x , y, z Î X . Định nghĩa 1.6. Cho (X , S ) là không gian S -mêtric. Khi đó (1) Dãy {x n } Ì X được gọi là hội tụ về x nếu S (x n , x n , x ) ® 0 khi n ® + ¥ . Điều này có nghĩa là với mỗi e > 0 , tồn tại n 0 Î ¥ sao cho với mọi n ³ n 0 thì S (x n , x n , x ) < e . Kí hiệu là lim x n = x hay x n  x khi n ® + ¥ . n® + ¥ (2) Dãy {x n } Ì X được gọi là dãy Cauchy nếu S (x n , x n , x m ) ® 0 khi n , m ® + ¥ . Nói cách khác {x n } là dãy Cauchy khi và chỉ khi với mọi e > 0 , tồn tại n 0 Î ¥ sao cho với mỗi n , m ³ n 0 thì S (x n , x n , x m ) < e . (3) Không gian S -mêtric (X , S ) được gọi là đầy đủ nếu với mọi dãy Cauchy trong (X , S ) đều hội tụ. Mệnh đề 1.7. Cho (S , X ) là không gian S -mêtric. Nếu dãy {x n } trong X hội tụ thì giới hạn đó duy nhất. 9 Tạp chí Khoa học – Số 01 (2013): 8 – 16 Trường Đại học An Giang Mệnh đề 1.8. Cho (S , X ) là không gian S -mêtric. Nếu {x n } và {y n } là hai dãy trong X sao cho lim x n = x và lim y n = y thì lim S (x n , x n , y n ) = S (x , x , y ) . n® + ¥ n® + ¥ n® + ¥ Mệnh đề 1.9. Cho T : X ® Y là ánh xạ từ không gian S -mêtric X vào không gian S -mêtric Y . Khi đó, T liên tục tại x Î X nếu và chỉ nếu T x n ® T x với mọi dãy {x n } Ì X mà xn ® x . Định nghĩa 1.10. Cho (X , £ ) là tập sắp thứ tự và ánh xạ T : X ® X . Khi đó, T là ánh xạ đơn điệu không giảm nếu với x , y Î X mà x £ y thì T x £ T y . 2. CÁC KẾT QUẢ CHÍNH Trước hết, chúng tôi thiết lập và chứng minh mệnh đề được sử dụng nhiều trong kết quả chính của bài báo. Mệnh đề 2.1. Cho (X , d ) là không gian mêtric. Khi đó 1 [d (x , z ) + d(y, z )] là một S -mêtric trên X . 2 (2) Dãy {x n } hội tụ trong (X , d ) khi và chỉ khi dãy {x n } hội tụ trong (X , S d ) . (1) Với mọi x , y, z Î X , S d (x , y, z ) = (3) Dãy {x n } là Cauchy trong (X , d ) khi và chỉ khi dãy {x n } là Cauchy trong (X , S d ) . (4) Không gian mêtric (X , d ) đầy đủ khi và chỉ khi không gian S -mêtric (X , S d ) đầy đủ. Chứng minh. (1) Kiểm tra trực tiếp các điều kiện của một S -mêtric. (2) Suy ra từ đẳng thức S d (x n , x n , x ) = d (x n , x ). (3) Suy ra từ đẳng thức S d (x n , x n , x m ) = d(x n , x m ). (4) Suy ra từ (2) và (3). Tiếp theo, chúng tôi thiết lập và chứng minh các định lí chính của bài báo. Định lí 2.2. Cho (X , , S ) là không gian S -mêtric thứ tự bộ phận, đầy đủ và T : X  X là ánh xạ liên tục, không giảm sao cho  (S (T x,T x,T y ))   (S (x, x, y )). (S (x, x, y )) với mọi x  y , (1) trong đó,  là hàm biến thiên khoảng cách và    . Nếu tồn tại x 0  X sao cho x 0  T x 0 thì T có điểm bất động. Chứng minh. Lấy x 0  X sao cho x 0  T x 0 . Xét dãy {x n } trong X xác định bởi x n + 1 = T x n với mọi n Î ¥ . Do T là ánh xạ không giảm nên bằng qui nạp ta chứng minh được x 0  x 1  x 2  ...  x n  x n 1  ... với mọi n Î ¥ . (2) Do    và x n  x n 1 với mọi n Î ¥ nên từ (2) ta được  (S (x n 1, x n 1, x n ))   (S (T x n ,T x n ,T x n 1))   (S (x n , x n , x n 1 )). (S (x n , x n , x n 1))   (S (x n , x n , x n 1 )) . (3) Do tính chất không giảm của hàm  nên từ (3) ta có S (x n 1, x n 1, x n )  S (x n , x n , x n 1 ) . (4) 10 Tạp chí Khoa học – Số 01 (2013): 8 – 16 Trường Đại học An Giang Ta xét hai trường hợp sau. Trường hợp 1. Tồn tại n 0 Î ¥ T xn 0 -1 = xn 0 -1 . Do đó, x n 0 -1 sao cho S (x n , x n , x n 0 0 0 1 )  0 . Suy ra x n  x n 0 0 1 hay là điểm bất động của T . Trường hợp 2. S (x n , x n , x n 1 )  0 với mọi n Î ¥ . Từ (4) ta suy ra {S (x n 1, x n 1, x n )} là một dãy số dương, đơn điệu không tăng. Do đó, tồn tại r  0 sao cho lim S (x n 1, x n 1, x n )  r . (5) n  Giả sử r > 0 . Do S (x n , x n , x n 1 )  0 nên  (S (x n , x n , x n 1 ))  0 với mọi n Î ¥ . Do đó, từ (3) ta có  (S (x n 1, x n 1, x n ))   (S (x n , x n , x n 1 ))  1 .  (S (x n , x n , x n 1 )) (6) Cho n   trong (6), kết hợp với (5) và tính chất liên tục của hàm  , ta được 1  lim  (S (x n , x n , x n 1 ))  1 . n  Suy ra lim  (S (x n , x n , x n 1 ))  1 . (7) n  Vì    nên từ (7) ta suy ra lim S (x n , x n , x n 1 )  0 . Điều này mâu thuẫn với r > 0 . Do đó n  r = 0 . Suy ra lim S (x n 1, x n 1, x n )  0 . (8) n  Tiếp theo, ta chứng minh {x n } là dãy Cauchy trong X . Giả sử rằng {x n } không là dãy Cauchy trong X . Khi đó, tồn tại   0 và tồn tại hai dãy con {x n } , {x m } của dãy {x n } sao cho n k là k k chỉ số nhỏ nhất thỏa mãn n k  m k  k và S (x n , x n , x m )   với mọi k  1 . k k (9) k Suy ra S (x n 1, x n 1, x m )   . (10) k k k Sử dụng Mệnh đề 1.5, kết hợp với (9) và (10), ta được   S (x n , x n , x m )  2S (x n , x n , x n 1 )  S (x n 1, x n 1, x m ) k k k k k k k  2S (x n , x n , x n k k k 1 k k )   . (11) Cho k ® + ¥ trong (11) và kết hợp với (8), ta được lim S (x n , x n , x m )   . (12) k  k k k Sử dụng Mệnh đề 1.4 và Mệnh đề 1.5, ta có S (x n , x n , x m )  2S (x n , x n , x n k k k k 1 )  S (x m , x m , x n  2S (x n , x n , x n k 1 )  2S (x m , x m , x m k 1 )  S (x n 1, x n 1, x m  2S (x n , x n , x n k 1 )  2S (x m , x m , x m k 1 )  2S (x n 1, x n 1, x n ) k k k k k k k k k k k 1 k k ) k k k k k 1 ) k 11 Tạp chí Khoa học – Số 01 (2013): 8 – 16 Trường Đại học An Giang S (x m 1, x m 1, x n ) k  2S (x n , x n , x n k k k 1 )  2S (x m , x m , x m k k k 1 k k )  2S (x n 1, x n 1, x n ) k k k 2S (x m 1, x m 1, x m )  S (x n , x n , x m ) k  4S (x n , x n , x n k k k 1 k k k k k )  4S (x m 1, x m 1, x m )  S (x n , x n , x m ) . (13) k k k k k k Cho k ® + ¥ trong (13) và sử dụng (8), (12), ta được lim S (x n 1, x n 1, x m k  Do    và x n k -1 ³ xm k -1 k k 1 )   . (14) nên từ (1) ta có y (S (x n , x n , x m )) = y (S (T x n k k k k £ b (S (x n < y (S (x n k , xn -1 k k ,T x n -1 k , xn -1 , xm -1 k -1 k k ,T x m -1 , xm -1 )) . k -1 k -1 )) )).y (S (x n k , xn -1 k , xm -1 k -1 )) (15) Cho k ® + ¥ trong (15), kết hợp với (12), (14) và tính liên tục của y , ta được  ( )  lim  (S (x n 1, x n 1, x m 1 )). ( )   ( ) . k  k k Do y (e) > 0 nên từ (16) ta suy ra lim  (S (x n k  lim S (x n 1, x n 1, x m k  k k k 1 (16) k k , x n 1, x m 1 k k 1 ))  1 . Do tính chất của hàm b nên )  0 hay e = 0 . Điều này mâu thuẫn với e > 0 . Do đó, {x n } là dãy Cauchy trong X . Vì X là không gian S -mêtric đầy đủ nên tồn tại z Î X sao cho x n ® z khi n ® + ¥ . Do tính liên tục của T nên z = lim x n + 1 = lim T x n = T z . Điều này chứng tỏ z n® + ¥ n® + ¥ là điểm bất động của T . Từ Định lí 2.2, bằng cách chọn y (t ) = t , ta nhận được hệ quả sau. Hệ quả 2.3. Cho (X , , S ) là không gian S -mêtric thứ tự bộ phận, đầy đủ và T : X  X là ánh xạ liên tục, không giảm sao cho S (T x ,T x ,T y )   (S (x , x , y )).S (x, x, y ) với mọi x  y , trong đó    . Nếu tồn tại x 0  X sao cho x 0  T x 0 thì T có điểm bất động. Từ Định lí 2.2, bằng cách chọn S -mêtric như trong Mệnh đề 2.1 và sử dụng kết quả của Mệnh đề 2.1, ta nhận được hệ quả sau. Hệ quả 2.4 (Caballero và cs., 2010 ). Cho (X , , d ) là không gian mêtric thứ tự bộ phận, đầy đủ và T : X  X là ánh xạ liên tục, không giảm sao cho  (d(T x,T y ))   (d(x, y )). (d(x, y )) với mọi x  y , trong đó,  là hàm biến thiên khoảng cách và    . Nếu tồn tại x 0  X sao cho x 0  T x 0 thì T có điểm bất động Chú ý rằng, điều kiện liên tục của ánh xạ T trong Định lí 2.2 là điều kiện đủ chứ không là điều kiện cần. Trong phần tiếp theo, chúng tôi đưa ra một điều kiện đủ khác để T có điểm bất động. Xét giả 12