Chuyên đề: Viết phương trình mặt phẳng - Nguyễn Thành Long

Chia sẻ: Trần Thị Thủy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:84

Thêm vào BST

Báo xấu

438
lượt xem 71
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo Chuyên đề: Viết phương trình mặt phẳng của Nguyễn Thành Long dành cho các bạn học sinh lớp 12 và quý thầy cô, để giúp cho các bạn học sinh có thể chuẩn bị ôn tập tốt hơn và hệ thống kiến thức học tập chuẩn bị cho các kỳ kiểm tra. Mời các thầy cô và các bạn tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề: Viết phương trình mặt phẳng - Nguyễn Thành Long

Nguyễn Thành Long (DÙNG CHO ÔN THI TN – CĐ – ĐH 2011) Bỉm sơn. 22.03.2011
CHUYÊN ĐỀ: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A. Kiến thức chung 1. Phương trình mặt phẳng và các trường hợp đặc biệt - PTTQ (phương trình tổng quát) mặt phẳng  P  qua M 0 ( x0 , y0 , z0 ) và có vtpt (vectơ pháp tuyến)  n( A, B, C ) là: ( P ) : A( x  x0 )  B ( y  y0 )  C ( z  z0 )  0 Hay ( P) : Ax  By  Cz  D  0 với D  ( Ax0  By0  Cz0 ) - PTMP (phương trình mặt phẳng)  P  qua A(a, 0,0)  Ox; B(0, b, 0)  Oy; C (0,0, c)  Oz có phương trình x y z là: ( P ) :    1 (Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn) a b c - Đặc biệt:  A0  + ( P) / /Ox   D  0 B2  C 2  0   B0  + ( P) / /Oy   D  0  A2  C 2  0   C 0  + ( P) / /Oz   D  0  A2  B 2  0  - Phương trình mặt phẳng (Oxy) là z  0 , (Oyz) là x  0 và (Oxz) là y  0 2. Vị trí tương đối của mặt thẳng và mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng (1 ) : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0 và ( 2 ) : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 A B C D TH 1: (1 ) / /( 2 )  1  1  1  1 A2 B2 C2 D2 A B C D TH 2: (1 )  ( 2 )  1  1  1  1 A2 B2 C2 D2 TH 3: (1 )  ( 2 )  A1 A2  B1 B2  C1C2  0 3: Phương trình chùm mặt phẳng: Tập hợp các mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng   ( )  ( ) được gọi là chùm mặt phẳng xác định bởi mặt phẳng ( ) và mặt phẳng (  ) Nếu ( ) : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0 và (  ) : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 thì phương trình mặt phẳng ( ) là: ( ) : m( A1 x  B1 y  C1 z  D1 )  n ( A2 x  B2 y  C2 z  D2 )  0 (*) với m 2  n 2  0 phương trình (*) có thể viết lại: m( )  n( )  0 4. Góc và khoảng cách - Góc của 2 mặt phẳng: (1 ) : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0 và ( 2 ) : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 là: A1 A2  B1B2  C1C2 cos  A12  B12  C12 . A2  B2  C2 2 2 2 - Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P)   u.n sin( d ,( P))    u . n
- Khoảng cách từ một điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  đến mặt phẳng  P  : Ax  By  Cz  D  0 Ax0  By0  Cz0  D d  M 0 ,  P     A2  B 2  C 2 B. Một số dạng bài tập Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm Mo(xo;yo;zo) và thoả mãn điều kiện Loại 1 : Có một vectơ pháp tuyến Phương pháp: - Xác định M 0 ( x0 , y0 , z0 ) của mặt phẳng  P   - Xác định vtpt n( A; B; C )     + Nếu  P  / /  Q   nP  nQ     + Nếu  P   d  nP  ud - Áp dụng công thức: ( P ) : A( x  x0 )  B ( y  y0 )  C ( z  z0 )  0 Bài tập giải mẫu: Bài 1: (SGK 12 – Ban Cơ Bản T89) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng (P):  a. Đi qua điểm M 1; 2; 4  và nhận vectơ n   2;3;5  làm vectơ pháp tuyến b. Đi qua điểm M  2; 1; 2  và song song với mặt phẳng  Q  : 2 x – y  3 z  4  0 Giải: a. Cách 1:  Mặt phẳng  P  đi qua điểm M 1; 2; 4  và có vectơ pháp tuyến n   2;3;5  có phương trình là : 2(x – 1) + 3(y + 2) + 5(z – 4 ) = 0 hay  P  : 2 x  3 y  5 z – 16  0 Cách 2:  Mặt phẳng (P) có vtpt n   2;3;5  luôn có dạng 2 x  3 y  5z  D’  0 vì mặt phẳng (P) đi qua điểm M 1; 2; 4   2.1  3.  2   5.4  D’  0  D’  16 .Vậy mặt phẳng  P  : 2 x  3 y  5 z – 16  0 b. Cách 1: Mặt phẳng  P  đi qua điểm M  2; 1; 2  song song với mặt phẳng  Q  nên mặt phẳng  P  đi qua điểm   M  2; 1; 2  và có vtpt nP  nQ   2; 1;3 nên mặt phẳng  P  có phương trình: 2(x – 2) – 1(y + 1) + 3(z – 2) = 0 hay  P  : 2 x – y  3 z – 11  0 Cách 2 :  Mặt phẳng (P) có vtpt nP   2; 1;3 luôn có dạng 2 x – y  3z  D’  0 vì mặt phẳng  P  đi qua điểm M  2; 1; 2   D '  1 hay  P  : 2 x – y  3 z – 11  0 Hoặc có thể lí luận vì  P  song song với  Q  nên  P  luôn có dạng 2 x – y  3z  D’  0 vì  P  qua M   P  : 2 x – y  3 z – 11  0 Bài 2: (SGK – Ban Cơ Bản T92) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng   có phương trình: 3x + 5y – z – 2 = 0 và đường thẳng d có phương trình
 x  12  4t  d :  y  9  3t z  1  t  a. Tìm giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng   b. Viết phương trình mặt phẳng    chứa điểm M và vuông góc với đường thẳng d Giải: a. Toạ độ điểm M  d    là nghiệm của phương trình 3(12 + 4t) + 5(9 + 3t) – (1 + t) – 2 = 0  t = 3 .Vậy M  0; 0; 2  b. Cách 1 : Mặt phẳng    đi qua điểm M  0; 0; 2  vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng    đi qua điểm   M  0; 0; 2  và có vtpt n = u d = (4;3;1) nên mặt phẳng    có phương trình là: 4(x – 0) + 3(y – 0) + 1(z +2) = 0 hay    : 4 x  3 y  z  2  0 Cách 2:  Mặt phẳng    có vtpt n  = (4;3;1) luôn có dạng 4x + 3y + z + D’ = 0 vì mặt phẳng    đi qua điểm M  0; 0; 2   D’ = 2 hay    : 4 x  3 y  z  2  0 Chú ý: Có thể phát biểu bài toán dưới dạng như, cho biết tọa độ 3 điểm A, B, C. Viết phương trình mặt phẳng (P)     đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BC thì khi đó nP  BC Nhận xét :  - Mặt phẳng   có vtpt n   a; b; c  thì   luôn có dạng ax + by + cz + D’ = 0 - Nếu cho   có dạng Ax + By + Cz + D = 0 thì    mà song song với       luôn có dạng Ax + By + Cz + D’ = 0 với D '  0 - Hai mặt phẳng song song với nhau thì hai vtpt cũng song song (cùng phương) với nhau, mặt phẳng vuông góc với đường thẳng thì vtpt và vtcp cũng song song (cùng phương) với nhau . Điều này lý giải   tại sao trong bài 1 câu b lại chọn n P = nQ ,thật vậy vì mặt phẳng  P  song song với mặt phẳng (Q)    nên hai vtpt cũng song song (cùng phương) với nhau hay n P = k. nQ , vì k  0 nên chọn k = 1 để n P =    n Q . Tương tự như thế trong bài 2b ta chọn k = 1 để n  = u d , từ đó ta có nhận xét + Hai mặt phẳng song song với nhau thì chúng có cùng vtpt   + Nếu mặt phẳng  P  chứa hai điểm A và B thì AB là một vtcp của mặt phẳng  P  + Nếu mặt phẳng  P  vuông góc với mặt phẳng (Q) thì vtpt của mặt phẳng  P  là vtcp của mặt phẳng (Q) và ngược lại     + Nếu mặt phẳng  P  vuông góc với vecto AB thì vecto AB là một vtpt của mặt phẳng  P   - Vectơ pháp tuyến cũng có thể cho ở hình thức là vuông góc với giá của vectơ a nào đó, khi đó ta  phải hiểu đây a là vectơ chỉ phương  Bài 3: (SGK – Ban Cơ Bản T92) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxyz cho điểm vectơ a   6; 2; 3 và A  1; 2; 3  . Viết phương trình mặt phẳng   chứa điểm A và vuông góc với giá của vectơ a Hướng dẫn: Làm tương tự như bài 2b ta được   : 6 x – 2 y – 3 z  2  0 Bài 4: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M  2;6; 3  và lần lượt song song với các mặt phẳng toạ độ Giải: Nhận xét :
- Các mặt phẳng toạ độ ở đây là Oxy; Oyz; Oxz . Thoạt đầu ta thấy các mặt phẳng này không thấy vtpt , nhưng thực ra chúng có vtpt, các vtpt này được xây dựng nên từ các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz    lần lượt là i = (1;0;0) ; j = (0;1;0) ; k = (0;0;1), các vectơ này được coi là các vtcp - Bây giờ ta sẽ viết phương trình mặt phẳng  P  đi qua M và song song với mặt phẳng 0xy còn các mặt phẳng khác làm tương tự Cách 1: Mặt phẳng  P  đi qua M  2;6; 3  và song song với mặt phẳng Oxy  mặt phẳng  P  đi qua M và   vuông góc Oz nên mặt phẳng (P) đi qua M nhận vectơ n P = k làm vtpt có phương trình là : 0(x – 1) + 0(y – 6) + 1(z + 3) = 0 hay  P  : z  3  0 Cách 2: Mặt phẳng  P  song song với mặt phẳng 0xy  mặt phẳng  P  song song với hai trục Ox và Oy         n P  i và n P  j  n P = [ i , j ] = (0;0;1) là vtpt nên  P  : z  3  0 Tương tự (P) // Oyz và đi qua điểm M nên  P  : x  2  0 (P) // Oxz và đi qua điểm M nên  P  : y  6  0 Cách 3: Mặt phẳng  P  song song với mặt phẳng Oxy nên mặt phẳng  P  luôn có dạng Cx + D = 0 vì mặt phẳng  P  đi qua M  C.  3  D  0 vì C  0 nên chọn C = 1  D = 3 . Vậy mặt phẳng  P  có phương trình là  P  : z  3  0 Chú ý: Bài toán có thể phát biểu là viết phương trình (P) đi qua M // với Ox và Oy   P  đi qua M // với mặt phẳng 0xy      Loại 2: Có một cặp vectơ chỉ phương a, b (với a, b  0 có giá song song hoặc nằm trên mp ( P) )   - Tìm vtpt n   a,b     -  P  là mp qua M 0 ( x0 , y0 , z0 ) và có VTPT n - Quay lại loại 1 Bài tập giải mẫu: Bài 5: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Viết phương trình mặt phẳng    P  đi qua điểm A  0; 1; 2  và song song với giá của mỗi vectơ u = (3;2;1) và v =  3;0;1 Giải: Cách 1:   Mặt phẳng  P  đi qua A  0; 1; 2  và song song với giá của hai vectơ u = (3;2;1) ; v   3; 0;1        mặt phẳng  P  đi qua A và có n P  u ; n P  v (với u và v không cùng phương)     mặt phẳng  P  đi qua A và có vtpt nP  u , v    2; 6;6   2 1; 3;3  mặt phẳng  P  có phương trình là : 1(x – 0) – 3(y + 1) +3(z – 2) = 0 hay  P  : x – 3 y  3 z – 9  0  Cách 2 : Làm tương tự như bài 1b khi biết nP   2; 6;6  và A  0; 1; 2  Bài 6: (SBT – Ban Cơ Bản T99) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Viết phương trình mặt phẳng    đi qua điểm M  2; 1; 2  , song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng   : 2 x – y  3z  4  0
Giải: Cách 1: Mặt phẳng    đi qua điểm M  2; 1; 2  song song với trục 0y và vuông góc với mặt phẳng          mặt phẳng    đi qua M và có n   j ; n   n (với j và n không cùng phương)     mặt phẳng    đi qua M và có vtpt n  = [ j , n ] = (3;0;-2)  mặt phẳng    có phương trình là : 3(x – 2) + 0(y + 1) – 2(z – 2) = 0 hay    : 3 x – 2 z – 2  0  Cách 2: Làm tương tự như bài 1b khi biết n   3; 0; 2  và M  2; 1; 2  Cách 3: Giả sử mặt phẳng    có dạng : Ax  By  Cz  D  0 A 2  B2  C 2  0   mặt phẳng    có vtpt n   A; B; C  - Mặt phẳng    đi qua điểm M  2; 1; 2   A.2  B.(1)  C.2  D  0 1   - Mặt phẳng    song song với trục Oy  n . j  0  A.0  B.1  C.0  0  2    - Mặt phẳng    vuông góc với mặt phẳng    n .n  0  A.2  B.  1  C.3  0  3 Giải hệ (1), (2) và (3)  A  3, B  0, C  2, D  2. Vậy mặt phẳng    có phương trình là : 3 x – 2 z – 2  0 Bài 7: (SBT – Ban Cơ Bản T98) Trong không gian Oxyz.Viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm M  3; 1; 5  đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng    : 3 x – 2 y  2 z  7  0 và   : 5 x – 4 y  3z  1  0 Giải: Cách 1: Mặt phẳng   đi qua điểm M  3; 1; 5  đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng    và     mặt       phẳng   đi qua điểm M và có n  n  ; n  n (với n  và n không cùng phương)  mặt phẳng      đi qua điểm M và có vtpt n = [ n , n ] = (2;1;-2)  mặt phẳng (  ) có phương trình là : 2(x – 3) + 1(y + 1) – 2(z + 5) = 0 hay   : 2 x  y – 2 z – 15  0  Cách 2: Làm tượng tự như bài 1b khi biết n =  2;1; 2  và M  3; 1; 5  Cách 3: Giả sử mặt phẳng   có dạng : Ax  By  Cz  D  0 A 2  B2  C 2  0   mặt phẳng   có vtpt n   A; B; C  - Mặt phẳng   đi qua điểm M  3; 1; 5   A.3  B.(1)  C.  5   D  0 1   - Mặt phẳng   vuông góc với mặt phẳng     n .n  0  A.3  B.  2   C.2  0  2    - Mặt phẳng   vuông góc với mặt phẳng     n .n  0  A.5  B.  4   C.3  0  3 3 21 Từ (1) và (2) ta được C  B  A, D  6 B  A thế vào (3) ta được A  2 B chọn 2 2 B  1, A  2  C  2, D  15 Vậy phương trình mặt phẳng   là 2 x  y – 2 z – 15  0 Bài 8: (ĐH – B 2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng x  1  t x y 1 z 1  d:   , d ' :  y  1  2t 2 1 1 z  2  t 
Viết phương trình mặt phẳng   đi qua A đồng thời song song với d và d’ Giải: Cách 1: Vì B  0;1; 1  d1 ; C 1; 1; 2   d 2 và B, C     d1 , d 2 / /      Vecto chỉ phương của d1 và d2 lần lượt là u1   2;1; 1 và u2  1; 2;1       vecto pháp tuyến của   là n  u1 , u2    1; 3; 5    Vì   đi qua A  0;1; 2     : x  3 y  5 z  13  0 Đs:   : x  3 y  5 z  13  0 Cách 2: Giả sử mặt phẳng   có dạng : Ax  By  Cz  D  0 A 2  B 2  C 2  0   mặt phẳng   có vtpt n   A; B; C  - Mặt phẳng   đi qua điểm M  A.0  B.1  C.2  D  0 1   - Mặt phẳng   song song với đường thẳng d  n .ud  0  A.2  B.1  C.  1  0  2    - Mặt phẳng   song song với đường thẳng d’  n .ud '  0  A.1  B.  2   C.1  0  3 Từ (1) và (2) ta được C  2 A  B, D  4 A  3B thế vào (3) ta được A  3B chọn A  1, B  3  C  5, D  13 Vậy phương trình mặt phẳng   là x  3 y  5 z  13  0 Nhận xét: Nếu điểm A  d (hoặc A  d ' ) thì bài toán trở thành viết phương trình mặt phẳng   chứa d (hoặc d ' ) và song song với d ' (hoặc d ) Bài tập tự giải: Bài 1: a. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 3 điểm M  3; 4;1 , N  2;3; 4  , E 1; 0; 2  . Viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm E và vuông góc với MN. (Đề thi tốt nghiệp BTTHPT lần 2 năm 2007) b. Viết phương trình mặt phẳng   đi qua K 1; 2;1 và vuông góc với đường  x  1  t  thẳng d :  y  1  2t .  z  1  3t  (Đề thi tốt nghiệp THPT lần 2 năm 2007) Đs: a.   : x  y  3 z  5  0 b.   : x  2 y  3 z  8  0 Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm M  1; 1; 0  và mặt phẳng  P  có phương trình: x  y  2 z  4  0. Viết phương trình mặt phẳng   đi qua M và song song với  P  Đs:   : x  y  2 z  2  0 (Đề thi tốt nghiệp THPT hệ phân ban năm 2007) Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm M  2;3;1 và vuông góc với hai mặt phẳng  P  : 2 x  y  2 z  5  0 và  Q  : 3x  2 y  z  3  0 (Sách bài tập nâng cao hình học 12) Đs:   : 3 x  4 y  z  19  0
Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm M  2;1; 1 và qua giao tuyến của hai mặt phẳng: x  y  z  4  0 và 3 x  y  z  1  0. (Sách bài tập nâng cao hình học 12) Đs:   :15 x  7 y  7 z  16  0 Dạng 2 : Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M1(x1;y1;z1) và M2(x 2;y2;z2) đồng thời thoả mãn điều kiện a. Vuông góc với mặt phẳng b. Song song với đường thẳng d (hoặc trục Ox, Oy, Oz) c. Có khoảng cách từ điểm M tới là h d. Tạo với một góc  Q  một góc  Bài tập giải mẫu: Bài 1: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng   đi qua hai điểm M 1; 0;1 , N  5; 2;3 và vuông góc với mặt phẳng    : 2 x – y  z – 7  0 Giải: Cách 1 : Mặt phẳng   đi qua hai điểm M(1;0;1); N(5;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (  )      mặt phẳng   đi qua điểm M và n  MN ; n  n  (với MN và n  không cùng phương)    mặt phẳng   đi qua điểm M và có vtpt n = [ MN , n ] =  4; 0; 8  = 4 1; 0; 2   mặt phẳng   có phương trình là : 1(x – 1) + 0(y – 0) – 2(z – 1) = 0 hay   : x – 2z + 1 = 0 Cách 2: Giả sử mặt phẳng   có dạng : Ax  By  Cz  D  0  A2  B 2  C 2  0    mặt phẳng   có vtpt n   A; B; C  - Mặt phẳng   đi qua M 1; 0;1  A.1  B.0  C .1  D  0 1 - Mặt phẳng   đi qua N  5; 2;3   A.5  B.2  C.3  D  0  2    - Mặt phẳng   vuông góc với mặt phẳng     n .n  0  A.2  B.  1  C.1  0  3 Từ (1) và (2) ta được C  – 2 A – B, D  A  B thể vào (3) ta được –2 B  0 chọn A  1, B  0  C  2, D  1 Vậy phương trình mặt phẳng   là x – 2 z 1  0 Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm M  4; 1;1 ; N  3;1; 1 và cùng phương (song song) với trục Ox Giải: Cách 1 : Mặt phẳng (P) đi qua điểm M  4; 1;1 ; N  3;1; 1 và cùng phương với trục Ox  mặt phẳng (P) đi qua       điểm M và nP  MN ; n P  i (với và i không cùng phương)    mặt phẳng (P) đi qua điểm M và nhận vtpt n P = [ , i ] =  0; 2; 2  = 2  0;1;1  mặt phẳng (P) có phương trình là : 0(x – 4) + 1( y + 1) + 1(z – 1) = 0 hay (P): y + z = 0   Cách 2: Làm tương tự bài 1 (cách 2) điều kiện ở đây là n P  i
Bài 3: (SBT – Ban Nâng Cao T126) Trong mặt phẳng Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A  3;0; 0  , C  0; 0;1 và tạo với mặt phẳng Oxy một góc = 60o Giải: Cách 1: Mặt phẳng (Q) đi qua A, C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc bằng 60o nên mặt phẳng (Q) cắt mặt phẳng Oxy tại điểm B(0;b;0)  Oy khác gốc toạ độ O  b  0  mặt phẳng (Q) là mặt phẳng theo đoạn chắn có phương trinh là : x y z    1 hay (Q): bx + 3y + 3bz – 3b = 0 3 b 1   mặt phẳng (Q) có vtpt nQ = (b;3;3b)  Mặt phẳng 0xy có vtpt k = (0;0;1) .Theo giả thiết ,ta có   3b 1 |cos ( n Q , k )| = cos60o   b  9  9b 2 2 9 3  6b  b 2  9  9b  b 2  b 26 26 Vậy có hai mặt phẳng thoả mãn là : (Q1) : x – 26 y + 3z – 3 = 0 (Q2) : x + 26 y + 3z – 3 = 0 Cách 2: vì A Ox và C  Oz Gọi AB là giao tuyến của mặt phẳng (Q) và mặt phẳng 0xy .Từ O hạ OI  AB .  Theo định lý ba đường vuông góc ta có AB  CI  OIC  600  3 Trong  vuông OIC ta có OI = OC.tan OIC = 1.tan60 o = 3 1 1 1 1 1 1 3 Trong  vuông OAB ta có 2  2  2  2  3 2  OB = OI OA OB  3 3 OB 26    3     B1(0; 26 ;0)  Oy hoặc B2(0;  26 ;0)  Oy .Vậy có hai mặt phẳng (Q) thoả mãn là x 26 y z    1 hay (Q) : x  26 y + 3z – 3 = 0 3 3 1 Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Viết phương trình mặt phẳng   đi qua hai điểm  x  1  t  M  2;1;3 , N 1; 2;1 và song song với đường thẳng d có phương trình là: d :  y  2t  z  3  2t  Giải: Cách 1: Mặt phẳng   đi qua hai điểm M  2;1;3  , N 1; 2;1 và song song với đường thẳng d          mặt phẳng   đi qua điểm M và n  MN ; n  u d (với MN và u d không cùng phương)      mặt phẳng   đi qua điểm M và có vtpt n = [ MN , u d ] = 10; 4;1  mặt phẳng   có phương trình là : 10(x – 2) – 4(y – 1) + 1(z – 3) = 0 hay   : 10 x  4 y  z  19  0 Cách 2: Giả sử mặt phẳng   có dạng : Ax  By  Cz  D  0 A 2  B2  C 2  0   mặt phẳng   có vtpt n   A; B; C 
- Mặt phẳng   đi qua M  2;1;3   A.2  B.1  C.3  D  0 1 - Mặt phẳng   đi qua N 1; 2;1  A.1  B.  2   C.1  D  0  2    - Mặt phẳng   song song với đường thẳng d  n .ud  0  A.1  B.2  C.  2   0  3 1 3 1 7 Từ (1) và (2) ta được C   A  B , D   A  B thế vào (3) ta được 2 A  5 B chọn 2 2 2 2 1 19 A  5, B  2  C  , D   2 2 1 19 Vậy phương trình mặt phẳng   là 5 x  2 y  z   0  10 x  4 y  z  19  0 2 2 Bài 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) và C(1;1;1). Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng 3. Giải: Giả sử mặt phẳng  P  có dạng : Ax  By  Cz  D  0  A2  B 2  C 2  0    mặt phẳng  P  có vtpt nP   A; B; C  - Mặt phẳng  P  đi qua A  1;1; 0   A.  1  B.1  C .0  D  0 1 - Mặt phẳng  P  đi qua B  0;0; 2   A.0  B.0  C.  2   D  0  2  1 Từ (1) và (2) ta được C   A  B, D  A  B 2 1 Nên mặt phẳng  P  có phương trình là Ax  By   A  B z   A  B   0 2 Theo giả thiết 1 A B   A  B   A  B 2 A A 7 d  I ;  P   3   3  5 A2  2 AB  7 B 2  0   1   1  2 B B 5 A2  B 2    A  B  2  A Với  1 chọn A  1, B  1  C  1, D  2   P  : x  y  z  2  0 B A 7 Với  chọn A  7, B  5  C  1, D  2   P  : 7 x  5 y  z  2  0 B 5 Nhận xét: Gọi n  ( a; b; c)  O là véctơ pháp tuyến của (P) Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0)  pt  P  : a  x  1  b  y  1  cz  0 Mà (P) qua B(0;0;-2)  a  b  2c  0  b  a  2c Ta có PT  P  : ax   a  2c  y  cz  2c  0 2a  c a  c d  C;  P    3   3  2a 2  16ac  14c 2  0   2 2 a  (a  2c)  c 2  a  7c TH 1: a  c ta chọn a  c  1  Pt của  P  : x  y  z  2  0 TH 2: a  7c ta chọn a = 7; c = 1  Pt của  P  : 7 x  5 y  z  2  0 Bài 7: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1;0;1), B(2;1;2) và mặt phẳng
 Q  : x  2 y  3z  3  0 . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và vuông góc với (Q). HD:         Ta có AB (1;1;1), nQ (1; 2;3),  AB; nQ   (1; 2;1)           Vì  AB; nQ   0 nên mặt phẳng (P) nhận  AB; nQ  làm véc tơ pháp tuyến     Vậy (P) có phương trình x – 2y + z – 2 =0 Bài 8: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 điểm I( 0;0;1) và K( 3;0;0). Viết phương trình mặt phẳng qua I, K và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc bằng 300 Giải: x y z Giả sử mặt phẳng cần có dạng : ( ) :    1 ( a , b, c  0) a b c x y z Do I  ( )  c  1 và do K  ( )  a  3  ( ) :    1 3 b 1      1 1    0 n . n x 0 y  3 2  n  ( ; ;1) và n x 0 y   k  (0; 0;1)  cos 30     b     3 b n . n 2  x 0 y x y z  ( ) :   1 3 3 2 1 2 Bài 9: (ĐH – B 2009 ) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A 1; 2;1 , B  2;1;3 , C  2; 1;1 và D  0;3;1 . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến mặt phẳng (P) bằng khoảng cách từ D đến mặt phẳng (P) Giải: Cách 1: Giả sử mặt phẳng  P  có dạng : ax  by  cz  d  0  a 2  b 2  c 2  0    mặt phẳng  P  có vtpt nP   A; B; C  - Mặt phẳng  P  đi qua A 1; 2;1  a.1  b.2  c.1  d  0 1 - Mặt phẳng  P  đi qua B  2;1;3   a.  2   b.1  c.3  d  0  2  3 1 5 Từ (1) và (2) ta được c  a  b, d    a  b  2 2 2 3 1  5 Nên mặt phẳng  P  có phương trình là ax  by   a  b  z   a  b   0 2 2  2 Theo giả thiết d C ,  P    d  D,  P       3 1  5 5 3 1  5 5 a.2  b.  1   a  b  .1  a  b a.0  b.3   a  b  .1  a  b  2 2  2 2  2 2  2 2   2 2 3 1  3 1  a2  b2   a  b  a 2  b2   a  b  2 2  2 2   2a  4b  a  3b  a  b    2b  0 Với 2a  4b chọn a  4, b  2  c  7, d  15   P  : 4 x  2 y  7 z  15  0 1 3 5 3 5 Với 2b  0 chọn b  0, a  1  c  , d     P2  : x  z   0   P2  : 2 x  3 z  5  0 2 2 2 2 Cách 2: Xét hai trường hợp     TH1 : (P) // CD. Ta có : AB  ( 3; 1; 2),CD  ( 2; 4; 0)
   (P) có PVT n  ( 8; 4; 14) hay n  (4;2;7) (P) :4(x  1)  2(y  2)  7(z  1)  0  4x  2y  7z  15  0 TH2 : (P) qua I (1;1;1) là trung điểm CD   Ta có AB  (3; 1; 2), AI  (0; 1;0)   (P) có PVT n  (2;0;3) (P) :2(x  1)  3(z  1)  0  2x  3z  5  0 Đáp số:  P  : 4 x  2 y  7 z  15  0 và  P2  : 2 x  3 z  5  0 1 Bài tập tự giải: Bài 1: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A 1;0;1 , B  2;1; 2  và mặt phẳng  Q  : x  2 y  3z  3  0 . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và vuông góc với (Q). Đs:  P  : x  2 y  z  2  0 Bài 2: Lập phương trình mp(P) đi qua M  0;3;0  , N 1; 1;1 và tạo với mặt phẳng  Q  : x  y  z  5  0 1 một góc  với cos   3 Bài 3: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua M  1; 1;3 , N 1;0; 4  và tạo với mặt phẳng  Q : x  2 y  z  5  0 một góc nhỏ nhất . Đs:  P  : y  z  4  0 Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua hai điểm M 1; 2;3  , N  2; 2; 4  và song song với Oy. (Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm 2009) Đs:   : x  z  2  0 Bài 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng  P  : 2 x  3 y  z  7  0 . Viết phương trình mặt phẳng (  ) đi qua A 1;1; 0  , B  1; 2; 7  và vuông góc với (P). (Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm 2009) Đs:   :11x  8 y  2 z  19  0 Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm Mo(xo;yo;zo) M1(x1;y1;z1) và M3(x3;y3;z3) không thẳng hàng cho trước Phương pháp: Cách 1:   - Tìm hai vecto M 0 M 1 , M 0 M 2    - Tìm vtpt n   M 0 M 1 , M 0 M 2     -  P  là mặt phẳng qua M 0 và có VTPT n Cách 2: - Giả sử phương trình mặt phẳng  P  là Ax  By  Cz  D  0 1 ( A2  B 2  C 2  0) - Vì  P  đi qua ba điểm M 0 , M 1 và M 2 thay tọa độ vào phương trình (1) được hệ 3 ẩn, 3 phương trình theo A, B và C . Giải hệ này ta được A, B và C - Thay vào phương trình (1) ta được phương trình mặt phẳng  P  Bài tập giải mẫu:
Bài 1: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng   đi qua ba điểm M  3; 0; 0 ; N  0; 2; 0  và P  0;0; 1 Giải: Cách 1: Mặt phẳng   đi qua ba điểm M  3; 0; 0  ; N  0; 2; 0  và P  0; 0; 1  mặt phẳng   đi qua điểm M         và n  MN ; n  MP (với MN và MP không cùng phương)      mặt phẳng   đi qua điểm M và nhận vtpt n = [ MN , MP ] = (2;3;6)  mặt phẳng   có phương trình là : 2(x + 3) + 3(y – 0 ) + 6(z – 0) = 0 hay   : 2x + 3y + 6z + 6 = 0 Cách 2: Giả sử mặt phẳng   có dạng Ax  By  Cz  D  0 ( A2  B 2  C 2  0) - Mặt phẳng   đi qua M  3;0;0   A.  1  B.0  C.0  D  0 1 - Mặt phẳng   đi qua N  0; 2; 0   A.0  B.  2   C .0  D  0  2  - Mặt phẳng   đi qua P  0; 0; 1  A.0  B.0  C.  1  D  0  3  Giải hệ (1), (2) và (3) ta được A = 2, B = 3, C = 6 và D = 6 . Vậy mặt phẳng   có phương trình là 2 x  3 y  6 z  6  0 Cách 3: Nhận thấy M  3;0;0   Ox ; N  0; 2; 0   Oy và P  0;0; 1  Oz nên phương trình mặt phẳng   là mặt phẳng theo đoạn chắn có dạng : x y z    1 hay   : 2 x  3 y  6 z  6  0  3  2 1 Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn MN, biết M và N có toạ độ cho trước Phương pháp:   - Tính tọa độ trung điểm I của MN và tính MN     - Mặt phẳng trung trục của đoạn MN là mặt phẳng đi qua I và có vtpt nP  MN - Biết một điểm và một vtpt ta được phương trình mặt phẳng cần tìm Bài tập giải mẫu: Bài 1: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình trung trực của đoạn thẳng AB với A(2;3;7) và B(4;1;3) Giải: Cách 1: Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB  I(3;2;5) .Mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB đi trung điểm I của A,B và vuông góc với đoạn thẳng AB  mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB đi qua I và nhận  vectơ AB =  2; 2; 4  = 2 1; 1; 2  làm vtpt  mặt phẳng trung trực (P) có phương trình là: 1(x – 3) – 1(y – 2) – 2(z – 5 ) = 0 hay  P  : x – y – 2 z  9  0 Cách 2: (Phương pháp quĩ tích ) Mọi điểm M(x;y;z) thuộc mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB  MA = MB 2 2 2 2 2 2  MA2  MB 2   x – 2    y – 3    z – 7    x – 4    y – 1   z – 3  x – y – 2z  9  0 Cách 3:
  Mặt phẳng trung trực (P) nhận AB làm vtpt luôn có dạng x – y – 2z + D’ = 0 ,vì I  mặt phẳng trung trực  3 – 2 – 2.5 + D’  D’ = 9  mặt phẳng trung trực (P) có phương trình là : x – y – 2z + 9 = 0 Cách 4:   Mặt phẳng trung trực (P) nhận AB làm vtpt luôn có dạng x – y + 2z + D’ = 0 vì mặt phẳng (P) cách đều A, B  d  A,  P    d  B ,  P   2  3  2.7  D' 4  1  2.3  D'  =  D '13  D'9  D’ = 9 11 4 11 4 Vậy mặt phẳng trung trực (P) có phương trình là: x – y – 2 z  9  0 Nhận xét : - Bài toán này thực chất là bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc giá của một vectơ (thuộc dạng 1) - Vectơ đi qua hai điểm cho trước được coi là một vtcp của đường thẳng Bài tập tự giải: Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 điểm E 1; 4;5  , F  3; 2;7  . Viết phương trình mặt phẳng (  ) là trung trực của đoạn thẳng EF. (Đề thi tốt nghiệp THPT hệ phân ban lần 2 năm 2007) Đs:   : x  3 y  z  5  0 Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai hai đường thẳng ( 1 ) và (  2 ) cho trước Phương pháp:       - Mặt phẳng (P) song song với hai đường thẳng 1 và  2 nên có vtpt nP  u1 ; u2    - mặt phẳng (P) cách đều hai đường thẳng 1 và  2 nên (P) đi qua trung điểm của I của MN với M  1 và N   2 ...Quay về dạng 4 Bài tập giải mẫu: Bài 1: (ĐHSP HN 2 – 98) Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng có phương trình là x  2  t  x  2z  2  0 d :y  1 t và d’ :   z  2t y  3  0  a. Chứng minh rằng d và d’ chéo nhau b. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song và đồng thời cách đều d và d’ Giải:  a. Chọn điểm M(2;1;0)  d và d có vtcp ud  1; 1; 2  ,chọn điểm N(0;3;1)  d’ và d’ có vtcp         ud '   2;0;1 .Tính n = [ u d , u d ' ] =  1; 5; 2  (với u d và u d ' không cùng phương) và MN   2; 2;1    . Xét n.MN  1.  2  – 5.2 – 2.1  10  0  d và d’ chéo nhau  1 b. Gọi I 1;2;  là trung điểm của M và N .Mặt phẳng (P) song song và cách đều d và d’  2    mặt phẳng (P) đi qua I và có vtpt n P = n  mặt phẳng (P) có phương trình là :
 1 – 1(x – 1) – 5(y – 2) – 2  z   = 0 hay (P) : x + 5y + 2x – 12 = 0  2 Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d1 và d2 biết: x  2  t  x 1 y  2 z 1 d1 :  y  2  t và d2 :   z  3  t 2 1 5  Giải:  x  1  2t '  Đường thẳng d2 có phương trình tham số là:  y  2  t '  z  1  5t '       vectơ chỉ phương của d 1 và d 2 là: u1  (1;1; 1), u2  (2;1;5)     VTPT của mp(  ) là n  ud1 .ud2   (6; 7; 1)    pt mp(  ) có dạng 6x – 7y – z + D = 0 Đường thẳng d1 và d2 lần lượt đi qua 2đ’ M(2; 2; 3) và N(1; 2; 1)  d ( M , ( ))  d ( N , ( )) |12  14  3  D |  | 6  14  1  D | | 5  D |  | 9  D | D  7 Vậy PT mp(  ) là: 3x – y – 4z + 7  0 Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng (Q1) và Q2 (với Q1 và Q2 song song với nhau) Chú ý: - Sử dụng công thức khoảng cách - Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song chính là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng này tới mặt phẳng kia Bài tập giải mẫu: Bài 1: Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình là (P) : 3x – y + 4z + 2 = 0 và (Q) : 3x – y + 4z + 8 = 0 Viết phương trình mặt phẳng (  ) song song và cách đều (P), (Q) Giải:   Vì n P = nQ = (3;-1;4) và 2  8 nên (P) // (Q), chọn điểm M(0;2;0)  (P) và điểm N(0;8;0)  (Q) Mặt phẳng   song song với (P) và (Q) luôn có dạng 3x – y + 4z + D’ = 0, vì   cách đều (P) và (Q) nên d  M ,     d  N ,    3.0  2  4.0  D' 3.0  8  4.0  D'  =  D'2  D '8  D’ = 4 9  1  16 9  1  16 Vậy mặt phẳng (  ) có phương trình là :3x – y + 4z + 4 = 0 Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với một mặt cầu (S) và thỏa mãn một điều kiện cho trước Phương pháp: - Bước 1: Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) và vtpt hoặc vtcp   - Bước 2: Từ điều kiện cho trước xác định vtpt nP , giả sử nP   a; b; c  khi đó mặt phẳng  P  có dạng ax  by  cz  D '  0 với D '  0 (1) - Bước 3: Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)  d  I ,  P    R , từ đây được phương trình theo D, giải phương trình (tại tuyệt đối) được D’ thay vào (1) ta được phương trình mặt phẳng  P  cần tìm
- Bước 4: Kết luận (thường có hai mặt phẳng thỏa mãn) Chú ý: Điều kiện cho trước là   - Song song với mặt phẳng  Q  cho trước  nP  nQ   - Vuông góc với đường thẳng d cho trước  nP  ud    - Song song với hai đường thẳng d 1 và d2 cho trước  nP   u1 , u2     - Vuông góc với hai mặt phẳng  Q  và  R  cho trước  nP   n1 , n2     - Song song với đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng  Q  cho trước  nP  ud , nQ    Chú ý : Nếu mặt phẳng  P  tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M   S  thì mặt phẳng  P  đi qua điểm M và có VTPT   là MI Bài tập giải mẫu: Bài 1: (SGK – Ban Cơ Bản T93) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng   tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình  S  : x 2  y 2  z 2 – 10 x  2 y  26 z  170  0 và song song với hai đường thẳng  x  5  2t  x  7  3t '   d :  y  1  3t d ’ :  y  1  2t '  z  13  2t z  8   Giải :   Ta có ud   2; 3; 2  và ud '   3; 2; 0  . Mặt cầu (S)  (x – 5)2 + (y + 1)2 + (z + 13)2 = 25  mặt cầu (S) có tâm I  5; 1; 13 và bán kính R = 5 Mặt phẳng   song song với d và d’        mặt phẳng   có n  u d ; n  u d ' (với u d và u d ' không cùng phương )     mặt phẳng   có vtpt n = [ u d , u d ' ] = (4;6;5)  mặt phẳng   luôn có dạng 4x + 6y + 5z + D’ = 0 Mặt phẳng (  ) tiếp xúc với mặt cầu (S)  d(I,(  )) = R 4.5  6.( 1)  5.( 13)  D '   5  D '52  5 77  D’ = 52  5 77 16  36  25 Vậy có hai mặt phẳng (  ) thỏa mãn đề bài là : 1  : 4x + 6y + 5z + 51 + 5 77 = 0  2  : 4x + 6y + 5z + 51 – 5 77 = 0 Bài 2: (SBT – Ban Nâng Cao T138) Trong không gian Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) và vuông góc với đường thẳng d có phương trình lần lượt là : x  5 y  1 z  13 (S): x2 + y2 + z2 – 10x + 2y + 26z – 113 = 0 và d :   2 3 2 Giải:  Đường thẳng d có vtcp ud   2; 3; 2  . Mặt cầu (S)  (x – 5)2 + (y + 1)2 + (z + 13)2 = 308
 mặt cầu (S) có tâm I  5; 1; 13 và bán kính R  308   Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d nên có vtpt nP  ud   2; 3; 2   mặt phẳng (P) luôn có dạng 2x – 3y + 2z + D’ = 0 Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)  d  I ,  P    R 2.(5)  3.( 1)  2.(13)  D '   308  D ' 13  5236  D '  13  5236 494 Vậy có hai mặt phẳng (P) thỏa mãn đầu bài là : (P1): 2x – 3y + 2z + 13 + 5236 = 0 (P2): 2x – 3y + 2z + 13 – 5236 = 0 Bài 3: (SGK – Ban Nâng Cao T90 – ĐHGTVT – 1998 ) Trong không gian Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình lần lượt là :  Q  : 4 x  3 y – 12 z  1  0 và  S  : x 2  y 2  z 2 – 2 x – 4 y – 6 z – 2  0 Giải:  Mặt phẳng (Q) có vtpt nQ   4;3; 12  . Mặt cầu (S)  (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 16  mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và có bán kinh R = 4 Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q)  mặt phẳng (P) luôn có dạng 4x + 3y – 12z + D’ = 0 Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)  d  I ,  P    R 4.1  3.2  12.3  D '  D '  26   4  D ' 26  52   16  9  144  D '  78 Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn đầu bài là : (P1): 4x + 3y – 12z + 78 = 0 (P2): 4x + 3y – 12z – 26 = 0 Bài 4: (Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp 2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Viết phương trình mặt phẳng (  ) song song với trục Oz, vuông góc với mặt phẳng (P): x + y + z = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 2y – 4z – 3 = 0 Giải:  Mặt phẳng (P) có vtpt n P = (1;1;1) . Mặt cầu (S)  (x – 1)2 + (y + 1)2 + (z – 2)2 = 9  mặt cầu (S) có tâm I 1; 1; 2  và có bán kính R = 3 Mặt phẳng (  ) song song với trục Oz và vuông góc với mặt phẳng (P)        mặt phẳng (  ) có n  k ; n  n P (với k và n P không cùng phương )     mặt phẳng (  ) có vtpt n = [ k , n P ] = 1; 1; 0   mặt phẳng (  ) luôn có dạng x – y + D’ = 0 Mặt phẳng (  ) tiếp xúc với mặt cầu (S)  d  I ,  P    R 1.1  1.(1)  D '   3  D ' 2  3 2  D  2  3 2 11 Vậy có hai mặt phẳng thoả mãn đầu bài là: 1  : x – y – 2 + 3 2 = 0  2  : x – y – 2 – 3 2 =0 Bài 5: (SBT – Ban Nâng Cao T126) Trong không gian với hệ toạ độ O xyz cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 6x – 2y + 4z + 5 = 0 và điểm M(4;3;0) .Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) và đi qua điểm M Giải:
Vì M(4;3;0)  (S) nên mặt phẳng (P) đi qua M và tiếp xúc với mặt cầu (S) là mặt phẳng đi qua M và   nhận IM  1; 2; 2  làm vtpt với I  3;1; 2  là tâm của mặt cầu (S)  mặt phẳng (P) có phương trình là: 1(x – 4) + 2(y – 3) + 2(z – 0 ) = 0 hay (P): x + 2y + 2z – 10 = 0 Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu ( S ) : x 2  y 2  z 2  2 x  6 y  4 z  2  0 . Viết  phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ v(1;6; 2) , vuông góc với mặt phẳng ( ) : x  4 y  z  11  0 và tiếp xúc với (S). Giải: Ta có mặt cầu (S) có tâm I 1; 3; 2  và bán kính R  4  Véc tơ pháp tuyến của ( ) là n(1; 4;1)      Vì ( P)  ( ) và song song với giá của v nên nhận véc tơ n p  n  v  (2; 1; 2) làm vtpt. Do đó  P  : 2 x  y  2 z  m  0  m  21 Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d ( I , ( P))  4  d ( I , ( P))  4   m  3 Vậy có hai mặt phẳng:  P  : 2 x  y  2 z  21  0 và  P2  : 2 x  y  2 z  3  0 1 Bài tập tự giải: Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng   tiếp xúc với mặt cầu  x  1  t  S  :  x  2    y  1   z  1  9 và vuông góc với đường thẳng d :  y  1  2t 2 2 2   z  1  3t  Đs: x  2 y  3 z  7  3 14  0 và x  2 y  3 z  7  3 14  0 Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  4 x  2 y  4 z  7  0 x  y  z  4  0 x 1 y  2 z và hai đường thẳng d :  và d ’ :   . Viết phương trình mặt phẳng   3 x  y  z  1  0 1 2 2 là tiếp diện của (S) đồng thời song song với d và d’. Đs:  4 x  y  z  7  12 2  0 và  4 x  y  z  7  12 2  0 Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng   / /  P  : 2 x  2 y  z  4  0 và tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình: x 2  y 2  z 2  2 x  2 y  4 z  3  0 Đs: 2 x  2 y  z  17  0 và 2 x  2 y  z  1  0 Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng   / /  P  : x  2 y  2 z  1  0 và tiếp xúc với mặt cầu (S) 2 2 2 có phương trình:  x  2    y  1   z  2   4. Đs: x  2 y  2 z  6  0 và x  2 y  2 z  6  0 Bài 5: Viết phương trình mặt phẳng   tiếp xúc với mặt cầu x 1 y  2 z  S  : x2  y 2  z 2  2x  2 y  4 z  3  0 và vuông góc với đường thẳng d :   1 2 2 Đs: x  2 y  2 z  6  0 và x  2 y  2 z 12  0 x  2 y 1 z Bài 6: Viết phương trình mặt phẳng   song song với d :   , vuông góc với 1 3 1 2 2  P  : 2 x  y  z  1  0 và tiếp xúc với mặt cầu  S  :  x  2    y  1  z 2  9 Đs:  4 x  3 y  5z  11  15 2  0 và  4 x  3 y  5z  11  15 2  0
Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  2 x  2 y  4 z  3  0 x  2 y  2  0 x 1 y z và hai đường thẳng d :  và d ' :   . Viết phương trình mặt phẳng   là tiếp x  2z  0 1 1 1 diện của (S) đồng thời song song với d và d’. Đs: y  z  3  3 2  0 và y  z  3  3 2  0 Bài 8: Trong không gian tọa độ Oxyz, lập phương trình mặt phẳng   đi qua hai điểm A  0; 1; 2  , B 1;0;3  và tiếp xúc với mặt cầu  S  có phương trình: ( x  1) 2  ( y  2)2  ( z  1)2  2 Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng   chứa một đường thẳng  cho trước và thoả mãn điều kiện Loại 1: Viết phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng  và vuông góc với mặt phẳng    Phương pháp:     1. Tìm VTPT của    là n và VTCP của  là u       2. VTPT của mặt phẳng   là: n  n  u 3. Lấy một điểm M trên  4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT Chú ý: Thực chất đây là bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với một mặt phẳng Loại 2: Viết phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng  và song song với  ’ (  ,  ’ chéo nhau) Phương pháp:    1. Tìm VTCP của  và  ’ là u và u '      2. VTPT của mặt phẳng   là: n  u  u ' 3. Lấy một điểm M trên  4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT Chú ý: Thực chất đây là bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và song song với một đường thẳng Loại 3: Viết phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng  và 1 điểm M Phương pháp:     1. Tìm VTCP của  là u , lấy 1 điể m N trên  . Tính tọa độ MN       2. VTPT của mặt phẳng   là: n  u  MN 3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT Chú ý: Thực chất đây là bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt cho trước Loại 4: Viết phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng  và tạo với mặt phẳng    (hoặc đường thẳng d ) một góc  Loại 5: Viết phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng  và cách một điểm M không thuộc  một khoảng h Bài tập giải mẫu: Bài 1: (SBT – Ban Nâng Cao T125) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng P a. Đi qua điểm M o  2;1; 1 và qua giao tuyến của hai mặt phẳng  Q  và  R  có phương trình lần lượt là: x – y  z – 4  0 và 3 x – y  z – 1  0
b. Qua giao tuyến của hai mặt phẳng   : 3 x – y  z – 2  0 và    : x  4 y – 5  0 đồng thời vuông góc với mặt phẳng    : 2 x – z  7  0 Giải: a. Cách 1: Gọi  là giao tuyến của (Q) và (R)  có phương trình x  y  z  4  0  :  3 x  y  z  1  0  3 11   3 11  chọn hai điểm M  ; ;0  và N  ; 0;     2 2   2 2 Mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của (Q) và (P)  mặt phẳng (P) chứa giao tuyến   mặt phẳng (P) đi qua ba điểm Mo; M và N        165 77  77   11  (P) đi qua điểm Mo và có vtpt n P = [ M 0 M , M 0 N ] =  ; ;  15;7;7 (với  4 4 4  4    M 0 M và M 0 N không cùng phương )  mặt phẳng (P) có phương trình là : 15(x – 2) – 7(y – 1) + 7(z + 1) = 0 hay  P  : 15 x – 7 y  7 z – 16  0 Cách 2: Gọi  là giao tuyến của  Q  và  R    có phương trình x – y  z – 4  0 : 3 x – y  z – 1  0  3 11   3 11  Chọn hai điểm M   ;  ; 0  và N   ;0;     2 2   2 2 Giả sử mặt phẳng  P  có dạng : Ax  By  Cz  D  0  A2  B 2  C 2  0    mặt phẳng  P  có vtpt nP   A; B; C   3 11   3  11  - Mặt phẳng  P  đi qua M   ;  ; 0   A.     B.     C.0  D  0 1  2 2   2  2  3 11   3 11 - Mặt phẳng  P  đi qua N   ;0;   A.     B.0  C .  D  0  2   2 2  2 2 - Mặt phẳng  P  đi qua M o  2;1; 1  A.2  B.1  C .  1  D  0  3 Giải hệ (1), (2) và (3) ta được A  15, B  7, C  7, D  16   P  : 15 x – 7 y  7 z – 16  0 Cách 3: Sử dụng phương pháp chùm (tham khảo phần sau) Nhận xét: Thực chất bài toán này chính là bài toán này chính là bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm (trong đó hai điểm còn lại thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng) b. Cách 1: Gọi  là giao tuyến của   và (  )   có phương trình 3 x  y  z  2  0 :  x  4 y  5  0 Chọn hai điểm M  5; 0; 13 và N(1;1;0)   Mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng (  ),    và vuông góc với mặt phẳng     mặt phẳng (P) chứa giao tuyến  và vuông góc với mặt phẳng         mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vtpt n P = [ MN , n ] =  1; 22; 2   mặt phẳng (P) có phương trình là : – 1(x – 5) + 22(y – 0 ) – 2(z + 13) = 0 hay (P) : x – 22y + 2z + 21 = 0