Nhằm phục vụ cho quá trình học tập và ôn thi Olympic, đề thi Olympic môn Toán lớp 6, 7 của phòng Giáo dục và Đào tạo Thanh Oai trường THCS Thanh Văn sẽ là tư liệu tham khảo hữu ích cho các bạn học sinh lớp 6, 7.
Nội dung Text: 2 Đề thi Olympic Toán - THCS Thanh Văn (Kèm Đ.án)
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH OAI
TRƯỜNG THCS THANH VĂN
ĐỀ THI OLYMPIC
MÔN: TOÁN 6
(N¨m häc 2013-2014)
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 ( 4điểm):
a) Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số 25 ; 28 ; 35 thì được
các số dư lần lượt là 5 ; 8 ; 15.
x 3 1
b) Tìm các số tự nhiên x, y sao cho:
9 y 18
Bài 2 ( 5điểm): Cho S= 1 – 3 + 32 – 33 + ... + 398 – 399.
a) Chứng minh rằng S là bội của -20.
b) Tính S, từ đó suy ra 3100 chia cho 4 dư 1.
10 n 3
Bài 3 (2 điểm ): Tìm số tự nhiên n để phân số B đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá
4 n 10
trị lớn nhất đó.
Bài 4 ( 4 điểm): Ba máy bơm cùng bơm vào một bể lớn, nếu dùng cả máy 1 và máy 2
thì sau 1 giờ 20 phút sẽ đầy bể, dùng cả máy 2 và máy 3 thì sau 1 giờ 30 phút sẽ đầy bể,
còn nếu dùng máy 1 và máy 3 thì sau 2 giờ 24 phút bể sẽ đầy. Hỏi nếu mỗi máy bơm
được dùng 1 mình thì sau bao lâu bể sẽ đầy?
Bài 5 (5 điểm): Cho góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù. Biết góc BOC bằng năm
lần góc AOB.
a) Tính số đo mỗi góc.
b) Gọi OD là tia phân giác của góc BOC. Tính số đo góc AOD.
c) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thêm n tia phân
biệt (không trùng với các tia OA;OB;OC;OD đã cho) thì có tất cả bao nhiêu góc?
Duyệt của BGH Người ra đề
Nguyễn Thị Hoàn
ĐÁP ÁN ĐỀ THI OLYMPIC
MÔN TOÁN 6.
Câu 1
a) Gọi số tự nhiên phải tìm là x.
- Từ giả thiết suy ra (x 20) 25 và (x 20) 28 và (x 20) 35 x+ 20 là bội
chung của 25; 28 và 35. (0,5 đ)
- Tìm được BCNN (25; 28; 35) = 700 suy ra (x + 20) = k.700 k N . (0,5 đ)
- Vì x là số tự nhiên có ba chữ số suy ra x 999 x 20 1019 k = 1 (0,5 đ)
x + 20 = 700 x = 680. (0,5 đ)
x 3 1 3 x 1 2x 1
b) Từ ta có: (x,y N)
9 y 18 y 9 18 18
(0,5điểm)
Suy ra: y(2x-1) = 54 do đó y Ư(54) = 1; 2; 3; 6; 9;18; 27; 54 , vì 54 là số chẵn mà 2x-1 là
số lẻ nên y là ước chẵn của 54. Vậy y 2; 6;18; 54
(0,5điểm)
Ta có bảng sau:
y 2 6 18 54
2x-1 27 9 3 1
x 14 5 2 1 (0,5 điểm)
Vậy (x;y) (14;2); (5;6);(2;18); (1;54) (0,5điểm)
Bài 2 ( 5 điểm) :
a) Tổng S có 100 số hạng chia thành 25 nhóm , mỗi nhóm có 4 số hạng :
S= 1 – 3 + 32 – 33 + ... + 398 – 399
= (1 – 3 + 32 – 33) + (34 – 35 + 36 – 37) +...+(396 – 397 + 398 – 399) (1 điểm)
= ( - 20 ) + 34( - 20 ) +...+ 396( - 20 ) -20 (1 điểm)
Vậy S -20
b) S= 1 – 3 + 32 – 33 + ... + 398 – 399
3S= 3 – 32 + 33 – 34 +...+399 – 3100 1 điểm)
Cộng từng vế của 2 đẳng thức ta được :
1 3100
3S + S = ( 3+1 ) S = 4S = ( 1 điểm)
4
S là một số nguyên nên 1 – 3100 4 hay 3100 – 1 4 3100 chia cho 4 dư 1 (1 điểm)
Bài 3 (2 điểm):
10n 3 5(2n 5) 22 5 22 5 11
a) B ( 1 điểm)
4n 10 22n 5 2 2( 2n 5) 2 2n 5
11
B đạt giá trị lớn nhất khi đạt giá trị lớn nhất. Vì 11>0 và không đổi nên
2n 5
11
đạt giá trị lớn nhất khi:2n - 5> 0 và đạt giá trị nhỏ nhất 2n - 5 = 1 n = 3
2n 5
( 0,5điểm)
5
Vậy:B đạt giá trị lớn nhất là 11 13,5 khi n = 3 (0,5điểm)
2
Bài 4( 4 điểm )
4
Máy một và máy hai bơm 1 giờ 20 phút hay giờ đầy bể nên một giờ máy một và hai
3
3
bơm được bể . (0,5đ)
4
3
Máy hai và máy ba bơm 1 giờ 30 phút hay giờ đầy bể nên một giờ máy hai và ba
2
2
bơm được bể. (0,5đ)
3
12
Máy một và máy ba bơm 2 giờ 24 phút hay giờ đầy bể nên một giờ máy một và ba
5
5
bơm được bể. (0,5 )
12
3 2 5 11
Một giờ cả ba máy bơm : 2 bể. (0,5đ)
4 3 12 12
11 3 1
Một giờ:máy ba bơm được bể Máy ba bơm một mình 6 giờ đầy bể (0,5đ)
12 4 6
11 2 1
máy một bơm được bể Máy một bơm một mình 4 giờ đầy bể (0,5đ)
12 3 4
11 5 1
máy hai bơm được bể Máy hai bơm một mình 2 giờ đầy bể (0,5đ )
12 12 2
Kết luận (0,5đ)
Bài 5 ( 5 điểm )
Vẽ hình đúng
a)Vì góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù nên: AOB + BOC =1800
(0,5điểm)
mà BOC = 5.AOB nên:6 AOB = 1800 (0,5điểm)
0 0 0 0
Do đó: AOB = 180 : 6 = 30 ; BOC = 5. 30 = 150
(1điểm) b)Vì OD là tia phân giác của góc
1
BOC nên BOD = DOC = BOC = 750. (0,5điểm) Vì góc AOD và góc DOC là
2
hai góc kề bù nên: AOD + DOC =1800 (0,5điểm)
0 0 0 0
Do đó AOD =180 - DOC = 180 - 75 = 105
(0,5điểm) c) Tất cả có n+4 tia phân biệt. Cứ 1 tia trong n+4 tia đó
tạo với n+4 - 1= n+3 tia còn lại thành n+3 góc.Có n+4 tia nên tạo thành (n+4)(n+3) góc,
( n 4)( n 3)
nhưng như thế mỗi góc được tính hai lần .Vậy có tất cả góc
2
(1 điểm)
*Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó.
PHÒNG GD & ĐT THANH OAI Đề THI OLYMPIC TOÁN 7
Trường THCS Thanh Văn Năm học 2013-2014
(Thời gian 120 phút )
Câu 1. (5điểm )
1. Cho c2=ab Chứng minh rằng:
a2 c2 a
a;
b2 c2 b
b2 a2 ba
b; 2 2
=
a c a
213
2. Ba phân số có tổng bằng , các tử của chúng tỉ lệ vối 3;4;5, các
70
mẫu của chúng tỉ lệ vối 5;1;2 .Tìm ba phân số đó.
Câu 2. (6 điểm )
1. Cho đa thức:
f(x) = x17- 2000x16 + 2000x15 - 2000x14 +….+ 2000x – 1
Tính giá trị của đa thức tại x = 1999.
2. Chứng minh rằng nếu m và n là các số tự nhiên thì số:
A = (5m + n + 1) (3m – n + 4) là số chẵn.
Câu 3.(2 điểm ).
7x 8
Tìm số tự nhiên x để phân số có giá trị lớn nhất.
2x 3
Câu 4. (7 điểm ).
1. Cho tam giác ABC cân tại A, B = 500.Gọi K là điểm trong tam giác
sao cho KBC =100, KCB = 300.
a, Chứng minh BA=BK
b, Tính số đo BAK
2. Cho xAy = 600 có tia phân giác Az. Từ điểm B trên Ax kẻ BH
vuông góc với Ay tại H, kẻ BK vuông góc với Az và Bt song song với Ay
,Bt cắt Az tại C. Từ C kẻ CM vuông góc với Ay tại M. Chứng minh :
a, K là trung điểm của AC
b, KMC là tam giác đều
c, Cho BK = 2 cm . Tính các cạnh AKM
- Hết-
Duyệt của BGH Người ra đề
Nguyễn Thị Lan Hương
1
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM OLYMPIC
Môn: Toán 7( Năm 2013-2014)
Câu 1 . (5đ)
a c a 2 c 2 a 2 c 2 a 2 a.b a a b a
1.(2đ) a, Từ c2=a.b 2 2 2 .
c b c b c b 2 a.b b 2 ba b b
2
a 2 c2 a b2 c2 b
b, Theo câu a ta có 2
2
c2 b2 b a c2 a
b2 c2 b b2 c2 b b2 a2 b a
2 1 1 .... 2
a2 c2 a a c2 a a c2 a
213
2 .(3 đ) Gọi các phân số phải tìm là : a ; b ; c ta có : a+b+c =
70
3 4 5
Và a : b : c = : : = 6 : 40 : 25 ……….
5 1 2
9 12 15
Suy ra a= ; b= ; c=
35 7 14
Câu 2.(6điểm )
1. (3đ)
f(x) =x17 – 1999x16 – x16 + 1999x15 + x15 – 1999x14 - x14+…+1999x + x – 1
f(1999) = 199917 - 199917 - 199916 + 199916 + 199915 - 199915-
199914+…+19992+1999 – 1
= 1999 – 1 = 1998.
2.(3đ)
Ta xét hiệu (5m + n +1) – (3m – n + 4) = ….. = 2m + 2n – 3
Với m, n N thì 2m + 2n - 3 là một số lẻ . Do đó trong hai số
5m + n +1 và 3m – n +4 phải có một số chẵn.
Suy ra tích của chúng là một số chẵn .Vậy A là số chẵn.
Câu 3 . (2 đ)
7 x 8 2(7 x 8) 7(2 x 3) 5 7 5
.Đặt A=
2 x 3 2(2 x 3) 2(2 x 3) 2 2(2 x 3)
5
Đặt B= Thì A lớn nhất khi và chỉ khi B lớn nhất
2(2 x 3)
……GTLN của A=6 khi và chỉ khi x=2
Câu 4;(7 đ)
1.(4đ)
2
a,-vẽ tia phân giác ABK cắt CK ở I …. .Ta có IBC cân nên IB=IC
….. BIA CIA (ccc)
…nên BIA CIA =120o
Do đó BIA BIK (gcg) BA BK
b, ……..Từ phần a ta tính được BAK 70 o
2.(3đ)
V ẽ h ình , GT _ KL
a, ABC cân tại B do CAB ACB( MAC ) và BK là đường cao BK là
đường trung tuyến
K là trung điểm của AC
b, ABH = BAK ( cạnh huyền + góc nhọn )
1
BH = AK ( hai cạnh t. ư ) mà AK = AC
2
1
BH = AC
2
1
Ta có : BH = CM ( t/c cặp đoạn chắn ) mà CK = BH = AC CM = CK
2
MKC là tam giác cân ( 1 )
Mặt khác : MCB = 900 và ACB = 300
0
MCK = 60 (2)
Từ (1) và (2) MKC là tam giác đều
c) Vì ABK vuông tại K mà góc KAB = 300 => AB = 2BK =2.2 = 4cm
Vì ABK vuông tại K nên theo Pitago ta có:
AK = AB 2 BK 2 16 4 12
1
Mà KC = AC => KC = AK = 12
2
KCM đều => KC = KM = 12
Theo phần b) AB = BC = 4
AH = BK = 2
HM = BC ( HBCM là hình chữ nhật)
=> AM = AH + HM = 6
3
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
