Đề thi Olympic Toán sinh viên cấp trường ĐH Kinh tế Quốc dân Hà Nội năm 2013 - Kèm Đ.án

Chia sẻ: Van Thien Tuong | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

177
lượt xem 36
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm phục vụ cho quá trình học tập và ôn thi Olympic, đề thi Olympic môn Toán sinh viên cấp trường ĐH Kinh tế Quốc dân Hà Nội năm 2013 sẽ là tư liệu tham khảo hữu ích cho các bạn học sinh thi Olympic Toán sắp tới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi Olympic Toán sinh viên cấp trường ĐH Kinh tế Quốc dân Hà Nội năm 2013 - Kèm Đ.án

Đ thi Olympic toán sinh viên c p trư ng đ i h c Kinh t qu c dân Hà N i năm 2013 Câu 1: √ un2 Cho dãy s {un } xác đ nh như sau u1 = 2 ; un+1 = un + √ ∀n = 1, 2, ... 2011 2 Tìm u1 u2 un lim ( + + ... + ) n→∞ u2 u3 un+1 Câu 2: Cho f : [0, 1] → [0, 1] là hàm s liên t c sao cho f (0) = 0; f (1) = 1 Đ t f ◦ f ◦ f ◦ ... ◦ f fk = k Gi s r ng t n t i s nguyên dương n sao cho fn (x) = x; ∀x [0, 1]. Ch ng minh r ng f (x) = x, ∀x [0, 1] Câu 3: Cho f : R → R là hàm kh vi. có đ o hàm c p 2 không âm. Ch ng minh r ng f (x + f (x)) ≥ f (x), ∀x R Câu 4: Tìm hàm s f : R → R th a mãn f (xf (y) + x) = xy + f (x), ∀x, y R Câu 5: a) Tính tích phân 1 dx x + 1)(x2 + 1) −1 (e x1 + x2 f (x1 ) + f (x2 ) b) Gi s f (x) là hàm liên t c trên [a,b] và th a mãn đi u ki n f ≤ . 2 2 Ch ng minh r ng b a+b f (a) + f (b) f (b − a) ≤ f (x)dx ≤ (b − a) 2 a 2 Câu 6: cho f : [a, b] → (a, b) là hàm liên t c. Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n t n t i s dương α và c (a, b) sao cho n f (c) + f (c + α) + ... + f (c + nα) = (n + 1)(c + α) 2 H t
Đáp án tham kh o đ thi Olympic toán sinh viên c p trư ng đ i h c Kinh t qu c dân Hà N i năm 2013 Câu 1: √ un2 Cho dãy s {un } xác đ nh như sau u1 = 2 ; un+1 = un + √ ∀n = 1, 2, ... 2011 2 Tìm u1 u2 un lim ( + + ... + ) n→∞ u2 u3 un+1 L i gi i √ 1 1 un T công th c xác đ nh dãy ta có: 2011 2 − = un un+1 un+1 u1 u2 uk √ 1 1 √ 1 1 ⇒ + + ... + = 2011 2 − = 2011 2 √ − u2 u3 uk+1 u1 uk+1 2 uk+1 √ Hơn n a un+1 > un ≥ 2, ∀n ∈ N Do đó {un } là dãy đơn đi u. Do đó n u dãy {un } b ch n trên thì nó h i t v a h u h n suy ra u2 n a2 a = lim un+1 = lim un + √ =a+ √ n→+∞ n→+∞ 2011 2 2011 2 √ Suy ra a = 0 vô lý do a ≥ 2 V y {un } không b ch n trên nên lim = +∞ n→+∞ u1 un √ ⇒ lim + ... + = 2011 2 n→+∞ u2 un+1 Câu 2: Cho f : [0, 1] → [0, 1] là hàm s liên t c sao cho f (0) = 0; f (1) = 1 Đ t f ◦ f ◦ f ◦ ... ◦ f fk = k Gi s r ng t n t i s nguyên dương n sao cho fn (x) = x; ∀x [0, 1]. Ch ng minh r ng f (x) = x, ∀x [0, 1] L i gi i V i x, y ∈ [0, 1] sao cho f (x) = f (y) , suy ra fn (x) = fn (y) ⇔ x = y V y f đơn ánh. K t h p gi thi t f liên t c, suy ra f đơn đi u trên [0, 1] Có f (0) = 0 < 1 = f (1) , do đó f đơn đi u tăng . Gi s t n t i x0 ∈ [0, 1] sao cho f (x0 ) < x0 ⇒ fn (x0 ) < fn−1 (x0 ) < ... < f (x0 ) < x0 Mâu thu n ! Tương t v y n u có x0 ∈ [0, 1] sao cho f (x0 ) > x0 thì cũng d n đ n fn (x0 ) > x0 . V y ph i có f (x) = x , ∀x ∈ [0, 1] Câu 3: Cho f : R → R là hàm kh vi. có đ o hàm c p 2 không âm. Ch ng minh r ng f (x + f (x)) ≥ f (x), ∀x R 2
L i gi i N u f (x) = 0 ta có đi u c n ch ng minh. N u f (x) > 0 thì áp d ng đ nh lý Lagrange cho hàm f trên (x; x + f (x)) ta có t n t i c trong kho ng trên sao cho: f (c) .f (x) = f (x + f (x)) − f (x) Vì f ”(x) > 0 nên ta có: f (x) là hàm tăng hay 0 < f (x) < f (c) Suy ra đi u c n ch ng minh. Tương t v i f (x) < 0 Câu 4: Tìm hàm s f : R → R th a mãn f (xf (y) + x) = xy + f (x), ∀x, y R L i gi i Cho x = 1 ⇒ f (f (y) + 1) = y + f (1) y = −f (1) − 1 ⇒ f (f (−f (1) − 1) + 1) = −1 Đ t a = f (−f (1) − 1) + 1 ⇒ f (a) = −1 Thay y = a vào phương trình đ u: f (0) = ax + f (x) V y f (x) = ax + b Thay l i phương trình đ u suy ra f (x) = x ho c f (x) = −x Câu 5: 1 dx a) Tính tích phân −1 x (e + 1)(x2 + 1) x1 + x2 f (x1 ) + f (x2 ) b) Gi s f (x) là hàm liên t c trên [a,b] và th a mãn đi u ki n f ≤ . 2 2 Ch ng minh r ng b a+b f (a) + f (b) f (b − a) ≤ f (x)dx ≤ (b − a) 2 a 2 L i gi i a) B đ : Cho f (x) là hàm s ch n liên t c trên đo n [−a; a] khi đó ta có a 0 a f (x)dx f (x) f (x)dx I= dx = dx + −a mx + 1 −a mx + 1 0 mx + 1 Ch ng minh: Đ t 0 0 a a f (x)d(x) f (−t)d(−t) f (−t)dt mt f (−t)dt x = −t ⇒ I = = = = −a mx + 1 a m−1 + 1 0 1 0 mt + 1 +1 mt a a a a a mx f (−x)dx mx f (x)dx mx f (x) f (x) = = ⇒B= + dx = f (x)dx 0 mx + 1 0 mx + 1 0 mx + 1 0 mx + 1 0 1 dx 1 Đ tI = −1 ; f (x) = 2 là hàm ch n; liên t c trên [−1; 1] nên s d ng b đ (ex + 1)(x 2 + 1) x +1 trên ta có 1 1 1 dx dx π I= x + 1)(x2 + 1) = 2+1 = arctgx = −1 (e 0 x 0 4 3
x1 + x2 f (x1 ) + f (x2 ) b) T gi thi t ∀x1 , x2 ∈ [a, b], f ( )≤ suy ra f là hàm l i trên [a, b] 2 2 Đ i bi n x = (1 − t)a + bt b 1 1 f (a) + f (b) f (x)dx = (b − a) f ((1 − x)a + bx)dx ≤ (b − a) [(1 − x)f (a) + xf (b)]dx ≤ (b − a) a 0 0 2 a+b Đ i bi n x = t + 2 b−a b 2 a+b f (x)dx = −(b − a) f (x + )dx a 2 2 b−a = 2 (f (x + a + b ) + f ( a + b − x))dx 0 2 2 b−a ≥ 2 2f ( a + b )dx = (b − a)f ( a + b ) 0 2 2 Câu 6: cho f : [a, b] → (a, b) là hàm liên t c. Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n t n t i s dương α và c (a, b) sao cho n f (c) + f (c + α) + ... + f (c + nα) = (n + 1)(c + α) 2 L i gi i Ta có: f (a) − a > 0 , f (b) − b < 0 , f (x) liên t c trên [a, b] nên f (x) − x liên t c trên [a, b] , do đó phương trình f (x) = x có nghi m trên (a, b) L i có f (a) > a , f (b) < b, do đó, trong t t c nghi m c a phương trình f (x) = x, ph i có nghi m x0 sao cho t n t i > 0 đ nh (a < x0 − < x0 + < b) đ ∀x ∈ (x0 − , x0 ), f (x) > x và ∀x ∈ (x0 , x0 + ), f (x) < x V i n là s nguyên dương cho trư c, ch n 0 < α < n Xét gn (x) = n [f (x + iα) − (x + iα)] , x ∈ (a, b − nα) i=0 D th y g liên t c trên (a, b − nα) Ch n x1 ∈ (x0 − , x0 − nα) , khi đó ta luôn có x1 + iα ∈ (x0 − , x0 ) , ∀i ∈ {0, ..., n} do đó, f (x1 + iα) > x1 + iα , ∀i ∈ {0, ..., n} n ⇒ [f (x1 + iα) − (x1 + iα)] > 0 i=0 ⇔ g(x1 ) > 0 Ch n x2 ∈ (x0 , x0 + − nα) , khi đó luôn có x2 + iα ∈ (x0 , x0 + ) , ∀i ∈ {0, ..., n} do đó, f (x2 + iα) < x2 + iα , ∀i ∈ {0, ..., n} n ⇒ [f (x2 + iα) − (x2 + iα)] < 0 i=0 ⇔ g(x2 ) < 0 4
V y theo đ nh lý giá tr trung gian, ∃c ∈ (x1 , x2 ) , g(c) = 0 t c n n f (c) + f (c + α) + .. + f (c + nα) = (n + 1)c + iα = (n + 1)(c + α) i=1 2 L i gi i đư c th c hi n b i các thành viên Ispectorgadget, phudinhgioihan, Hoàng Qu c vi t c a di n đàn toán h c VMF - www.diendantoanhoc.net 5