40 đề thi thử học kỳ 2 môn: Toán 11 (Có đáp án)

Chia sẻ: Huynh Duc Vu | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:132

Thêm vào BST

Báo xấu

91
lượt xem 19
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm giúp các bạn có thêm tài liệu học tập và ôn thi môn Toán, mời các bạn cùng tham khảo "40 đề thi thử học kỳ 2 môn: Toán 11" dưới đây. Tài liệu cung cấp cho các bạn 40 đề thi giúp các bạn củng cố lại kiến thức đã học và làm quen với dạng đề thi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: 40 đề thi thử học kỳ 2 môn: Toán 11 (Có đáp án)

WWW.TOANCAPBA.NET ĐỀ THI THỬ HK 2Năm học 2012 2013 Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút Đề số 1 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I:(2.0 điểm). Tính các giới hạn sau: 3x + 2 2− x x 2 − x − 1+ 3x d) a) lim+ b) lim c) lim x −1 x +1 x 2 x + 7− 3 x − 2x + 7 x 3 + 1− 1 lim x 0 x2 + x Câu II (1,0 điểm). x −1 khi x > 1 Cho hàm số: f (x ) = x − 1 . Xác địn h a để hàm số liên tục tại điểm x = 3ax khi x 1 1. Câu III:(3.0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA (ABCD) và SA = 2a. 1) Chứng minh (SAC ) ⊥ (SBD ) ; (SCD ) ⊥ (SAD ) 2) Tính góc giữa SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC). 3) Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC)) Câu IV:(1.0 điểm). Chứng minh rằng phương trình sau có it nhất một nghiệm âm: x 3 + 1000x + 0,1= 0 II. PHẦN RIÊNG(3,0 điểm):Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng(phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu Va:(2.5 điểm) 2 1) Tìm đạo hàm các hàm số sau: a) y = x − 2x + 3 b) 2x + 1 sin x + cos x y= sin x − cos x 2) Cho y = sin2x − 2cos x . Giải phương trình y / = 0 . 3) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 − 3x 2 + 2. Tại điểm M ( – 1; –2) Câu VIa (0.5 điểm) Cho cấp số cộng biết tổng 10 số hạng đầu bằng 85 và số hạng thứ 5 bằng 7. Tìm số hạng thứ 100. B. Theo chương trình Nâng cao Câu Vb:(2.5 điểm) 1 WWW.TOANCAPBA.NET
1) Tìm đạo hàm các hàm số sau: a) y = (x + 1) x 2 + x + 1 b) y = 1+ 2tan x 64 60 2) Cho f (x ) = − − 3x + 16 . Giải phương trình f (x ) = 0 . x3 x 3) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 − 3x 2 + 2. Biết tiếp tuyến 1 vuông góc với đường thẳng d: y = − x + 2 . 9 Câu VIb (0.5 điểm) Chứng minh rằng nếu ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng thì ba số x, y, z cũng lập thành một cấp số cộng, với: x = a2 − bc , y = b2 − ca , z = c2 − ab . HẾT Họ và tên: …………………………………………….........Số báo danh:…………………….......... CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM I lim (x + 1) = 0 (2điểm) x −1+ 3x + 2 3x + 2 a) lim+ . Ta có: lim (3x + 1) = −2 < 0 lim =− x −1 x + 1 x +1 + x −1 + x −1 x > −1� x + 1> 0 (2 − x ) ( x + 7 + 3) = lim− ( x + 7 + 3) = −6 2− x b) lim = lim x 2 x + 7− 3 x 2 x −2 x 2 1 1 � 1 1 � x 1− − + 3x x�− 1− − + 3� 2 � x x2 � c) lim x − x − 1 + 3x = lim x x2 = lim � �= 1 x − 2x + 7 x − � 7� x − � 7� 2+ � x� x�2+ � � x� � x� x 3 + 1− 1 x3 x2 d) lim = lim = lim =0 x 0 x2 + x x 0 x ( x + 1) ( 3 x + 1+ 1 ) x 0 ( x + 1) ( x + 1+ 1) 3 II x −1 (1điểm) khi x > 1 f (x ) = x −1 3ax khi x 1 Ta có: f (1) = 3a xlim f (x ) = lim− 3ax = 3a 1− x 1 x −1 11 lim+ f (x ) = lim+ = lim = x 1 x 1 x − 1 x 1+ x +1 2 Hàm số liên tục tại x = 1 f (1) = xlim f (x ) = lim+ f (x ) 3a = 1 � a = 1 1− x 1 2 6 III (3điểm) S 1) BD AC, BD SA BD (SAC) (SBD) (SAC) H CD AD, CD SA CD (SAD) (DCS) (SAD) A B 2 O WWW.TOANCAPBA.NET D C
2) Tìm góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD) SA (ABCD) ﾷ ( SD,(ABCD)) = ﾷSDA SA 2a tanﾷSDA = = =2 AD a Tìm góc giữa SB và mặt phẳng (SAD) AB (ABCD) (ﾷSB,(SAD )) = ﾷBSA AB a 1 tanﾷBSA = = = SA 2a 2 Tìm góc giữa SB và mặt phẳng (SAC). BO (SAC) (ﾷSB,(SAC )) = ﾷBSO . a 2 OB 1 OB = , SO = 3a 2 tanﾷBSO = = 2 2 OS 3 3) Tính khoảng cách từ A đến (SCD) Trong SAD, vẽ đường cao AH. Ta có: AH SD, AH CD AH (SCD) d(A,(SCD)) = AH. 1 1 1 1 1 2a 5 = + = + � AH = d (A,(SCD )) = 2a 5 AH 2 SA2 AD 2 4a2 a2 5 5 Tính khoảng cách từ B đến (SAC) a 2 BO (SAC) d(B,(SAC)) = BO = 2 IV Xét hàm số f (x ) = x 3 + 1000x + 0,1 f liên tục trên R. (1điểm) f (0) = 0,1> 0 � f (−1). f (0) < 0 PT f (x ) = 0 có ít nhất một f (−1) = −1001+ 0,1< 0� nghiệm c �(−1;0) Va x 2 − 2x + 3 3x − 7 (2,5điểm a) y = � y'= ) 2x + 1 (2x + 1)2 x 2 − 2x + 3 b) sin x + cos x � π� 1 � � π� � y= � y = − tan�x + �� y ' = − 1+ tan2 �x + � = −� � sin x − cos x � 4� 2� π � � � 4� � cos �x + � � 4 � y = sin2x − 2cos x � y = 2cos2x + 2sin x sin x = 1 PT y ' = 0 � 2cos2x + 2sin x = 0 � 2sin x − sin x − 1= 0 2 1 sin x = − 2 3 WWW.TOANCAPBA.NET
π x= + k 2π 2 π � x = − + k 2π 6 7π x= + k 2π 6 (C ): y = x 3 − 3x 2 + 2 y = 3x 2 − 6x 1) Tại điểm M(–1; –2) ta có: y (−1) = 9 PTTT: y = 9x + 7 VIa 10(2u1 + 9d ) s10 = = 85 2u1 + 9d = 17 (1) , u5 = u1 + 4d = 7 (2) (0.5điểm 2 ) từ (1),(2) có u1 = −5, d = 3 u100 = −5 + 99.3 = 292 Vb 2 4x 2 + 5x + 3 (2,5điểm a) y = (x + 1) x + x + 1 � y = ) 2 x2 + x + 1 1+ 2tan2 x b) y = 1+ 2tan x � y ' = 1+ 2tan x 64 60 192 60 f (x ) = − − 3x + 16 f (x ) = − + −3 x3 x x4 x2 192 60 4 2 x= 2 PT f (x ) = 0 � − + − 3 = 0 ��x − 20x + 64 = 0 x4 x2 x 0 x= 4 1 Tiếp tuyến vuông góc với d: y = − x + 2 Tiếp tuyến có hệ số góc k = 9 9 . Gọi (x0; y0) là toạ độ của tiếp điểm. 2 2 x = −1 Ta có: y (x0) = 9 3x0 − 6x0 = 9 � x0 − 2x0 − 3 = 0 � x0 = 3 0 Với x0 = −1� y0 = −2 PTTT: y = 9x + 7 Với x0 = 3 � y0 = 2 PTTT: y = 9x − 25 VIb CMR nếu ba số a, b, c lập thành CSC thì ba số x, y, z cũng lập thành (0,5điểm ) CSC, với: x = a2 − bc , y = b2 − ca , z = c2 − ab . a, b, c là cấp số cộng nên a + c = 2b Ta có 2y = 2b2 − 2ca, x + z = a2 + c 2 − b(a + c ) x + z = (a + c)2 − 2ac − 2b 2 = 4b 2 − 2ac − 2b 2 = 2b 2 − 2ac = 2y (đpcm) HẾT * Lưu ý: Nếu học sinh có cách giải khác mà vẫn đúng thì giám khảo cho điểm tối đa từng phần như đáp án trên. 4 WWW.TOANCAPBA.NET
WWW.TOANCAPBA.NET ĐỀ THI THỬ HK 2Năm học 2012 2013 Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút Đề số 2 I. Phần chung: (7,0 điểm) Câu 1: (1.5 điểm) Tìm các giới hạn sau: 4n2 −1 2 4x +1 − 3 1. lim 2. lim x − 4x + 3 3. lim 5 + 2n − 3n2 x 3 x −3 x 2 x − 2 Câu 2: (1,0 điểm) Tìm giá trị của tham số m để hàm số x 2 + 3x + 2 khi x > −1 f ( x) = x +1 liên tục tại x = 1 2mx + 5 khi x −1 Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau: 2x +1 ( ) 10 1. y= 2. y = x 2 + 1+ x x + x−2 2 Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. 1. Chứng minh : ( SBD) ⊥ ( SAC ) . 2. Tính tan góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD). 3. Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh SB . Chứng minh AH ⊥ ( SBC ) . Tính AH. II. Phần riêng(3.0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần( phần cho chương trình chuẩn 5a ,6a ;phần cho chương trình nâng cao 5b, 6b) 1. Theo chương trình Chuẩn Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình x 5 − 3x 4 + 5 x − 2 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (0; 2). Câu 6a: (2,0 điểm) 1. Cho hàm số f (x ) = x 5 + x 3 − 2x − 3. Chứng minh rằng: f (1) + f (−1) = −6. f (0) 2 2. Cho hàm số y = 2 − x + x có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4). x −1 2. Theo chương trình Nâng cao Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình x 5 − 10x 3 + 100 = 0 có ít nhất một nghiệm âm. Câu 6b: (2,0 điểm) a) Cho hàm số y = sin 4 x − cos 4 x + 1 − 2sin 2 x . CMR y’=0 2 b) Cho hàm số y = 2 − x + x có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến x −1 có hệ số góc k = –1. Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:...................................................... Số báodanh:...................... 5 WWW.TOANCAPBA.NET
Chữ kí của giám thị 1:......................................... Chữ kí của giám thị 2:....................... II. Đáp án và thang điểm Câu Ý Nội dung Điểm 1 4− 0,25+0.25 1(1.5) 1 4n − 1 2 n2 = − 4 lim = lim 5 + 2n − 3n 2 5 2 3 + −3 2 n n 2 x 2 − 4x + 3 (x − 3)(x − 1) = lim(x − 1) = 2 0,25+0.25 lim = lim x 3 x 3 x −3 x 3 x −3 3 4x + 1 − 3 4x − 8 lim = lim 0,25 x 2 x−2 x 2 ( x − 2)( 4 x + 1 + 3) 4 2 = lim = 0,25 x 2 4 x +1 +3 3 2(1.0) * f(1) = 2m + 5 0,25 * xlim f ( x) = lim (2mx + 5) = −2m + 5 − − 0.25 −1 x −1 x 2 + 3x + 2 * lim f ( x) = lim = lim ( x + 2) = 1 0.25 x −1 + x −1 x +1 x −1 + + Hàm số f(x) liên tục tại x = 1 khi lim f ( x) = lim f ( x) = f (−1) m=2 0.25 x −1+ x −1− 3(1.0) 1 (2 x + 1)'( x 2 + x − 2) − (2 x + 1)( x 2 + x − 2)' y' = 0.25 ( x 2 + x − 2) 2 −2 x 2 − 2 x − 5 = 0.25 ( x 2 + x − 2) 2 2 y=( + 1+ x ) 10 9� � 2 � 2 � x x � y ' = 10� x + 1+ x �� + 1� 0,25 � �� 2 � x +1 � � 10 10� 2 � � x + 1+ x � 0,25 � y'= � � x2 + 1 1.(1,0 điểm) Hình vẽ 0.25 4(3.0) BD ⊥ SA 0.25+0.25 � BD ⊥ ( SAC ) (1) BD ⊥ AC 0.25 6 WWW.TOANCAPBA.NET
BD ( SBD) (2) Từ (1) và (2) suy ra (SBD) ⊥ (SAC) 0.25 2.(0,75 điểm) SA ⊥ (ABCD) AC là hình chiếu của SC lên (ABCD) 0.25 ﾷ Góc giữa SC và (ABCD) là SCA ﾷ SA 2 0.25 tan SCA = = AC 2 0.25 3.(1,0 điểm) AB ⊥ BC � (SAB) ⊥ BC SA ⊥ BC � AH ⊥ BC (3) 0.25 0.25 mà AH ⊥ SB (4) 0.25 Từ (3) và (4) suy ra : AH ⊥ ( SBC ) 1 a 2 AH = SB = 0.25 2 2 5a(1.0) Đặt f ( x) = x 5 − 3 x 4 + 5 x − 2 Hàm số f(x) liên tục trên IR. Do đó nó liên tục trên các đoạn 0,25 [0;1] và [1;2]. Ta có : f(0) = 2, f(1) = 1 f(0).f(1)
Gọi (x0; y0) là toạ độ tiếp điểm. x 02 − 2x0 − 1 x0 = 0 0,25 y (x0) = 1� = −1� x02 − 2x0 = 0 � (x0 − 1)2 x0 = 2 Nếu x0 = 0 � y0 = −2 � PTTT : y = − x − 2 0,25 Nếu x0 = 2 � y0 = 4 � PTTT : y = − x + 6 0,25 WWW.TOANCAPBA.NET ĐỀ THI THỬ HK 2Năm học 2012 2013 Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút Đề số 3 A – PHẦN CHUNG (6,5 điểm) Bài 1 (1,5 điểm). Tìm các giới hạn sau: x 3 − 27 2x 4 + 4x 2 − 1 � � a) lim b) lim 3) lim � 9x 2 + 3x + 1 − 3x � x 1 x 2 − 5x + 6 x − 3 3+ 5x + x − 4x 4 x + � � Bài 2 (1,5 điểm). 1) Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó: x2 −1 ,x −1 2 f (x ) = x − 2x − 3 1 x +1 , x = −1 2 Bài 3 (1,5 điểm). Tìm đạo hàm của các hàm số sau: 5 sin( 3x + 1) a) y = x2 2x2 + 2x + 1 5 x b) y = (5x − 3) 9x 2 + 1 c) y = 3 cos( 15− 2x ) Bài 4 (2,0 điểm).Cho hình chóp A.BCD có đáy là tam giác BCD vuông tại C , BC = CD = 2a , AB (BCD), AB = a. Gọi M là trung điểm BD a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (AMC) và (BCD) B – PHẦN RIÊNG (Thí sinh được chọn làm một trong hai phần sau) I – PHẦN DÀNH CHO BAN KHTN Bài 5A (2,0 điểm). � � � a) Tính lim �3x �5x + 25x 2 + 1� ��. x − � � �� 2x + 2 b) Cho hàm số y = ⊥ (C1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C 1) biết tiếp x −3 tuyến song song với đường thẳng 2x + y – 12 = 0 và hoành độ của tiếp điểm là một số âm. Bài 6A (1,5 điểm). Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ a) Chứng minh hai mặt chéo của hình lập phương vuông góc với nhau b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BD’ II – PHẦN DÀNH CHO BAN CƠ BẢN Bài 5B (2,0 điểm). 8 WWW.TOANCAPBA.NET
2 a) Tính lim x + 3 − 3x + 1 . 2 x 1 x −1 2x + 1 b) Cho hàm số y = (C2). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C2) tại điểm có x −1 hoành độ x = 2. Bài 6B (1,5 điểm). Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi I là trung điểm của cạnh CD. a) chứng minh (AIB) ⊥ (BCD). b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD. 9 WWW.TOANCAPBA.NET
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂ M 1a ( x − 3) ( x 2 + 3 x + 9 ) x 2 + 3x + 9 0,25x (0,5đ) = lim = lim = 27 2 x 3 ( x − 3) ( x − 1) x 3 x −1 1b � 4 1 � x4 �2+ 2 − 4 � 4 1 0,25x 2+ 2 − 4 (0,5đ) � x x � = lim x x =− 1 2 = xlim− 3 5 1 �3 5 1 � x − + 3 + −4 2 x4 � 4 + 3 + − 4 � 4 �x x x � x x x 1c 9 x 2 + 3x + 1 − 9 x 2 3x + 1 0,25 = xlim+ = lim (0,5đ) 9 x + 3 x + 1 + 3x 2 x + 9 x + 3x + 1 + 3 x 2 1 1 x(3 + ) (3 + ) x x 1 = xlim+ � 3 1 = lim � x + 3 1 = 2 x �9 + + 2 + 3� 9 + + 2 +3 0,25 � x x � x x 2a TXĐ: D = \{3} 0,25 (1,0đ) ∀x ��\{1;3} ta có hàm số phân thức hữu tỉ y = x −1 2 nên liên tục 2 x − 2x − 3 0,25 1 x2 −1 1 Xét tại x= 1 ta có: f(1) = ; lim f ( x) = lim 2 x 1 x − 2x − 3 = 2 x 1 2 Vậy lim x 1 f ( x) = f(1) nên hàm số liên tục tại x = 1 0,25 Kết luận: hàm số liên tục trên \{3} và gián đoạn tại x = 3 0,25 2b Đặt f(x) = 4x – 9x +2x + 2. Ta có f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R 3 2 (0,5đ) f(1)= 13; f(0) = 2; f(1) = 1; f(2) = 2 0,25 khi đó: f(1).f(0) = 26; f(0).f(1) = 2; f(1).f(2) = 2 vậy hàm số có ít nhất ba nghiệm thuộc (1; 2) 0,25 3a 5 0,5 y’ = 5x2 – 4x + 2 (0,5đ) 2 x 3b y’ = (5x 3)’. 9 x 2 + 1 + (5x 3).( 9 x 2 + 1 )’ 0,25 (0,5đ) = 5. 9 x + 12 + (5x 3). ( 9x 2 + 1) ' = 5. 9 x 2 + 1 + (5x 3). 18 x 2 9x2 + 1 2 9x2 + 1 9x 0,25 = 5. 9 x + 1 + (5x 3). 2 9 x2 + 1 3c y’ = � � �'.cos(15 − 2 x) − sin ( 3 x + 1) [ cos(15 − 2 x) ] ' sin ( 3 x + 1) � 0,25 (0,5đ) cos 2 (15 − 2 x) ( 3x + 1) ' cos ( 3x + 1) .cos(15 − 2 x) + (15 − 2 x) 'sin ( 3x + 1) sin(15 − 2 x) = 0,25 cos 2 (15 − 2 x) 3cos ( 3 x + 1) .cos(15 − 2 x) − 2sin ( 3 x + 1) sin(15 − 2 x) = cos 2 (15 − 2 x) 4a Hình vẽ để làm đúng câu a) 0,25 (1,0đ) Vì AB ⊥ (BCD) nên AB ⊥ BC vậy ∆ ABC vuông ở B 0,25 Vì AB ⊥ (BCD) nên AB ⊥ BD vậy ∆ ABD vuông ở B 0,25 10 WWW.TOANCAPBA.NET
AB ⊥CD 0,25 Ta có: BC ⊥CD CD ⊥ (ABC) CD ⊥ AC. Vậy ∆ ACD vuông ở C 4b Kẻ BH ⊥ AM khi đó BH ⊥ (AMC). A (1,0đ) Vậy góc giữa (AMC) và (BCD) là góc giữa AB và BH là ABH 0,25 H D BD 0,25 Ta có AB = a; BM = 2 =a 2 B M BM 0 0,25 cot ABH = tan BAM = = 2 ABH 35 15’52” AB C 0,25 5Aa ( 3 x 25 x 2 − ( 25 x 2 + 1) ) (1,0đ) x − ( = lim 3 x 5 x + 25 x + 1 = lim 2 ) 5 x − 25 x 2 + 1 x − 0,5 −3 x −3 −3 = lim = lim = x − � 1 � x − 1 10 5 + 25 + 2 � x� 5 + 25 + 2 0,5 � x � x 5Ab −8 Gọi tiếp điểm là M0(x0;y0). Ta có y’ = x − 3 2 (1,0đ) ( ) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 2x + y – 1 = 0 nên phương 0,25 trình tiếp tuyến có dạng 2x + y + c = 0 (1) −8 x0 = 7(l ) 0,25 Khi đó hệ số góc tiếp tuyến k = 2 nên x − 3 2 = 2 ( 0 ) x0 = −1 0,25 Với x0 = 1 thì y0 = 0 ta được c = 2. phương trình tiếp tuyến là: 2x + y – 1 = 0 0,25 6Aa Hình vẽ để làm đúng câu a) A B D C (0,75đ) 0,25 0,25 Ta có AC ⊥ BD; A' BB’ ⊥ (ABCD) BB’ ⊥ AC D' B' 0,25 Vậy AC ⊥ (BB’D’D) (AA’C’C) ⊥ (BB’D’D) C' 6Ab Ta có AA’//BB’ AA’//(BB’D’D) 0,25 (0,75đ) Mà BD’ (BB’D’D) nên khoảng cách từ AA’ đến BD’ bằng khoảng cách a 2 0,25 từ AA’ đến (BB’D’D) bằng OA = 2 0,25 5Ba � x 2 + 3 − 3x + 1� � x 2 + 3 + 3x − 1� x 2 + 3− ( 3x − 1) 2 � � � � (1,0đ) = lim � � � � lim =x 1 ( ) ( x −1) ( x + 1) � 2 � x2 −1 � � � x + 3 + 3x − 1� 0,25 x 1 2 � x + 3 + 3x − 1� � � � � � 1� 2 −8( x −1) �x+ � −8x + 6x + 2 � 4� = lim = lim x 1 ( x −1) ( x +1) � � 2 � � x + 3 + 3x −1� � x 1 ( x −1) ( x +1) � � 2 � � x + 3 + 3x −1� � � 1� 0,25x −8�x+ � � 4� 5 2 = lim = x 1 ( x +1) � � 2 � � x + 3 + 3x −1� � 4 11 WWW.TOANCAPBA.NET
0,25 5Bb Gọi tiếp điểm là M0(2;y0) (1,0đ) −3 Ta có y’ = x − 1 2 ; f ’(2) = 3; y0 = 5 ( ) 0,25x Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm M0(2;5) là: y = 3(x 2) + 5 hay y 3 = 3x 1 0,25 6Ba Hình vẽ để làm đúng câu a) A 0,25 (0,75đ) HB 0,25 ∆ ACD cân nên AI ⊥ CD D ∆ BCD cân nên BI ⊥ CD BB 0,25 CD ⊥ (AIB) (BCD) ⊥ (AIB) I C 6Bb Trong (AIB) Kẻ IH ⊥ AB khi đó IH là đường vuông góc chung của AB và 0,25 (0,75đ) CD 2 2 0,25X a 3 �a 3 � �a � a 2 Ta có AI = AB − IB = 2 2 ; IH = AI − AH = � �− � � = 2 2 2 2 � 2 � �2 � 2 � � WWW.TOANCAPBA.NET ĐỀ THI THỬ HK 2Năm học 2012 2013 Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút Đề số 4 A. PHẦN CHUNG (7điểm). (Dành cho tất cả các thí sinh) Câu I(1,5điểm). Tìm các giới hạn sau: 6n3 + n2 + 4 1) lim 2) lim x + 1 − 1 3 x 2 − 3n x 0 x2 + 2x − 3 khi x < 1 Câu II(1điểm). Tìm m để hàm số f ( x) = 1− x liên tục tại x 1. mx − 2 khi x 1 Câu III(1,5điểm). Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1) y = sin 2 x + cos2 x − x 2) y = 2 + 5 x − x 2 Câu IV(3điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều ABC cạnh bằng a. Cạnh bên SB vuông góc mặt phẳng ( ABC ) và SB = 2a . Gọi I là trung điểm của cạnh BC. 1) Chứng minh rằng AI vuông góc mặt phẳng (SBC). 2) Tính góc hợp bởi đường thẳng SI với mặt phẳng (ABC). 3) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAI). B. PHẦN RIÊNG (3điểm). (Thí sinh học chương trình nào thì làm theo chương trình đó) 1. Theo chương trình cơ bản. Câu Va(2điểm). Cho hàm số y = f ( x ) = x 3 − 3x 2 − 4 có đồ thị (C). 12 WWW.TOANCAPBA.NET
1) Giải phương trình f ( x ) = 2. 2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0 = 1. Câu VIa(1điểm). Chứng minh phương trình x3 − 3x + 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( −2; 2 ) . 2. Chương trình nâng cao. Câu Vb(2điểm). 2 1) Cho hàm số y = x + 2x + 2 . Chứng minh rằng: 2y.y − 1= y 2 . 2 1 − 2x 2) Cho hàm số y = f ( x) = có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết x+1 4 tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ∆ có phương trình y = x − 3. 3 Câu VIb(1điểm). ( ) Chứng minh rằng phương trình m 2 − m + 3 .x 2010 − 2 x − 4 = 0 luôn có ít nhất một nghiệm âm với mọi giá trị tham số m. HẾT ĐÁP ÁN CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM 1 4 3 2 + 6+ 6n + n + 4 n n3 lim = lim �0,5 1(0,75đ) 2 − 3n3 2 −3 n3 I = 2 0,25 (1,5đ) x + 1− 1 x lim = lim 2(0,75đ) x 0 x x 0x ( x + 1+ 1 ) �0,5 1 1 = lim = x 0 x + 1+ 1 2 0,25 Ta có lim f ( x ) = lim x2 + 2 x − 3 = lim− ( x − 1) ( x + 3) = −4 x 1 − x 1 − 1− x x 1 1− x �0,5 II và lim+ f ( x ) = lim+ ( mx − 2 ) = m − 2 ; f (1) = m − 2 x 1 x 1 (1đ) Hàm số liên tục tại x = 1 lim f ( x ) = lim+ f ( x ) = f (1) 0,25 x 1− x 1 � m − 2 = −4 � m = −2 0,25 III 1(0,75đ) y ' = 2sin x. ( sin x ) '− sin 2 x. ( 2 x ) '− 1 0,25 (1,5đ) = 2sin x cos x − 2 sin 2 x − 1 0,25 = sin2x1 0,25 13 WWW.TOANCAPBA.NET
y' = ( 2 + 5x − x ) ' 2 0,5 2(0,75đ) 2 2 + 5x − x2 5 − 2x = 2 2 + 5x − x2 0,5 S 0,25 H I C B 1(1đ) A a IV Tam giác ABC đều cạnh a , IB = IC = AI BC (1) 0,25 2 (3đ) SB (ABC) SB AI (2) 0,25 Từ (1) và (2) ta có AI (SBC) 0,25 SB (ABC) BI là hình chiếu của SI trên (ABC) 0,5 SB 0,25 ( SI ,(ABC )) = SIB ﾷﾷ , tanSIB ﾷ = =4 2(1đ) IB Kết luận: 0,25 AI (SBC) (cmt) nên (SAI) (SBC) 0,25 SI = (SAI ) (SBC ) .Trong tam giác SBI, kẻ BH ⊥ SI � BH ⊥ (SAI ) 0,25 3(1đ) � d ( B,( SAI ) ) = BH 0,25 1 1 1 1 4 17 2a 17 2 = 2 + 2 = 2 + 2 = 2 � BH = 0,25 BH MB BI 4a a 4a 17 Chương trình cơ bản y = x 3 − 3x 2 − 4 y = 3x 2 − 6x 0,5 1(1đ) y = 2 � 3x 2 − 6x = 2 � 3x 2 − 6x − 2 = 0 0,25 3 − 15 3 + 15 Va x= ; x= 0,25 3 3 (2đ) Tại x0 = 1 y0 = −6 0,25 2(1đ) Hệ số góc của TT: k = y (1) = −3 0,5 Phương trình tiếp tuyến là y = −3x − 3 0,25 VIa Đặt f(x) = x3 3x + 1. Ta có f(x) xác định, liên tục trên ﾷ nên liên 0,25 (1đ) tục trên các đoạn [2;1], [1;1] và [1;2] Mà f(2). f(1) = 3 < 0 , f(1). f(1) = 3 < 0 và f(1). f(2) = 3 < 0 0,5 Nên pt f(x) = 0 đều có 1 nghiệm thuộc mỗi khoảng (2;1), (1;1) 14 WWW.TOANCAPBA.NET
và (1;2) 0,25 Suy ra phương trình x3 3x + 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt trên (2; 2). Chương trình nâng cao Ta có y ' = x + 1� y " = 1 0,5 1(1đ) 2y.y "− 1= (x 2 + 2x + 2).1− 1= x 2 + 2x + 1= (x + 1)2 = y 2 0,5 −3 TXĐ D = R \ {1}; f '( x) = ( x + 1) 2 �0,5 3 Vb Xác định đúng hệ số góc của TT là: k = − 4 (2đ) Gọi ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm của TT, theo giả thiết ta có: 2(1đ) 1 y0 = − 3 −3 −3 x0 = 1 2 � ( x0 + 1) = 4 � 2 f '( x0 ) = − � = � �0,5 ( x0 + 1) = − 2 4 4 x �0 3 � 7 y0 = − 2 3 1 3 23 Vậy có hai tiếp tuyến y = − x + và y = − x − 4 4 4 4 Xét hàm số f(x) = (m – m + 3)x – 2x – 4 liên tục trên ﾷ 2 2010 Ta có: f(0) = 4 và f(1) = m2 – m + 3 + 2 – 4 = m2 – m + 1 > 0 ﾷ m ﾷ 0,5 VIb 1(1đ) ﾷ . (1đ) 0,25 f(0). f(1)
2 − 2x + x 2 a) y = b) y = 1+ 2tan x x2 −1 Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3 , SD= a 7 và SA ⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. b) Tính góc hợp bởi các mặt phẳng (SCD) và (ABCD). c) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (MND). II. Phần riêng 1. Theo chương trình Chuẩn Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình (1− m 2)x 5 − 3x − 1= 0 luôn có nghiệm với mọi m. Câu 6a: (2,0 điểm) a) Cho hàm số . Tính . b) Cho hàm số có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1. 2. Theo chương trình Nâng cao Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; ). Câu 6b: (2,0 điểm) a) Cho hàm số . Tính . b) Cho hàm số có đồ th ị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: . Hết Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . WWW.TOANCAPBA.NET ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ HK 2Năm học 2012 2013 Môn TOÁN Lớp 11 Đề số Thời gian làm bài 90 phút NỘI DUNG ĐIỂ M I. Phần chung: (7,0 điểm) Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau: a) 1,0 16 WWW.TOANCAPBA.NET
b) 1,0 Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm : = f(2) 0,50 ậy hàm số liên tục tại x = 2 V 0,50 Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 0,50 b) 0,50 Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = , SD= và SA (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. 0,25 a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. 0,25 các tam giác SAB, SAD vuông tại A vuông tại B 0,25 vuông tại D 0,25 b) Tính góc h ợp bởi các mặt phẳng (SCD) và (ABCD). 0,50 , 0,50 c) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (MND). 0,25 0,25 0,25 0,25 II Phần riêng (3 điểm) 1. Theo chương trình chuẩn Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m. Gọi f(x) = f(x) liên tục trên R 0,25 f(0) = –1, f(–1) = 0,50 phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc (–1; 0) 0,25 Câu 6a: (2,0 điểm) 17 WWW.TOANCAPBA.NET
a) Cho hàm số . Tính . 0,50 0,50 b) Cho hàm s ố có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1. 0,25 0,50 Phương trình tiếp tuyến là y = 2x + 1 0,25 2. Theo chương trình Nâng cao Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; ). Gọi liên tục trên R 0,25 0,50 phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc 0,25 Câu 6b: (2,0 điểm) a) Cho hàm số . Tính . Viết lại 0,75 0,25 b) Cho hàm số có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: . hệ số góc của tiếp tuyến là k = 2 0,25 0,50 Gọi là toạ độ của tiếp điểm ng trình tiếp tuyến là y = 2x + 1 phươ 0,25 WWW.TOANCAPBA.NET ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút Đề số 6 I. Phần chung Bài 1: 18 WWW.TOANCAPBA.NET
1) Tìm các giới hạn sau: a) b) c) 2) Cho hàm s ố : . Tính . Bài 2: 1) Cho hàm số . Hãy tìm a để liên tục tại x = 1 2) Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1. Bài 3: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với BC, AD = a và khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC là a . Gọi H là trung điểm BC, I là trung điểm AH. 1) Chứng minh rằng đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (ADH) và DH = a. 2) Chứng minh rằng đường thẳng DI vuông góc với mặt phẳng (ABC). 3) Tính khoảng cách giữa AD và BC. II. Phần tự chọn A. Theo chương trình chuẩn Bài 4a: Tính các giới hạn sau: 1) 2) Bài 5a: 1) Chứng minh phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: . 2) Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy và cạnh bên bằng a. Tính chiều cao hình chóp. B. Theo chương trình nâng cao Bài 4b: Tính giới hạn: Bài 5b: 1) Chứng minh phương trình sau luôn luôn có nghiệm: 2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD) và SA = . Gọi (P) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc (SCD). Thiết diên cắt bởi (P) và hình chóp là hình gì? Tính diện tích thiết diện đó. Hết Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . WWW.TOANCAPBA.NET ĐÁP ÁN ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học Môn TOÁN Lớp 11 Đề số 6 Thời gian làm bài 90 phút 19 WWW.TOANCAPBA.NET
Bài 1: 1) a) b) c) 2) . Bài 2: 1) ục tại x = 1 liên t 2) Với , PTTT: Bài 3: D 1) CMR: BC (ADH) và DH = a. ABC đều, H là trung điểm BC nên AH BC, AD BC BC (ADH) BC DH DH = d(D, BC) = a 2) CMR: DI (ABC). K AD = a, DH = a DAH cân tại D, mặt khác I là trung điểm AH nên DI AH BC (ADH) BC DI A B I DI (ABC) H 3) Tính khoảng cách giữa AD và BC. C Trong ADH vẽ đường cao HK tức là HK AD (1) Mặt khác BC (ADH) nên BC HK (2) Từ (1) và (2) ta suy ra Xét DIA vuông tại I ta có: Xét DAH ta có: S = = Bài 4a: 1) 2) . Vì Bài 5a: 1) Xét hàm số liên tục trên R. PT có ít nhất một nghiệm PT có ít nhất một nghiệm PT có một nghiệm Vì và PT là phương trình b ậc ba nên phương trình có đúng ba nghiệm thực. 2) Bài 4b: Bài 5b: 20 WWW.TOANCAPBA.NET