zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Kỹ Thuật - Công Nghệ

» Kiến trúc - Xây dựng

Bài giảng chuyên đề Phương pháp tính Phần 7

Chia sẻ: Leslie Nguyen | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Báo xấu

128
lượt xem 39
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhiều bài toán khoa học kỹ thuật có phương trình chỉ đạo là (hệ) phương trình vi phân thường cùng với điều kiện biến và điều kiện ban đầu. Nghiệm đúng của chúng thường chỉ áp dụng cho một số lớp bài toán rât hạn chế; đa số các bài toán là phải tìm nghiệm gân đúng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng chuyên đề Phương pháp tính Phần 7

Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t Chương 6 NGHI M G N ÚNG C A H PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯ NG SOLVING THE ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS 6.1 M u Nhi u bài toán khoa h c k thu t có phương trình ch o là (h ) phương trình vi phân thư ng cùng v i i u ki n biên và i u ki n ban u. Nghi m úng c a chúng thư ng ch áp d ng cho m t s l p bài toán r t h n ch ; a s các bài toán là ph i tìm nghi m g n úng. Có hai lo i bài toán là: (i) Bài toán Cauchy hay còn g i là bài toán giá tr ban u, bao g m (h ) phương trình vi phân và i n ki n ban u c a bài toán. (ii) Bài toán biên, bao g m (h ) phương trình vi phân và i u ki n biên gi i g n úng các bài toán n y có hai phương pháp là: (a) Phương pháp gi i tích: tìm nghi m g n úng dư i d ng bi u th c như phương pháp x p x liên ti p Picard, phương pháp chu i nguyên, phương pháp tham s bé,… (b) Phương pháp s : tìm nghi m g n úng b ng s t i các i m r i r c; nó còn chia ra phương pháp m t bư c (như phương pháp Euler, Runghe- Kutta,…) và phương pháp a bư c (Adams,…); V i phương pháp m t bư c tính nghi m g n úng yi thông qua yi-1 còn v i phương pháp a bư c yi tính ư c thông qua nhi u bư c trư c ó: yi-1, yi-2, yi-3,… 6.2 Nghi m g n úng c a bài toán Cauchy i v i phương trình vi phân thư ng y ' = f ( x , y ) Gi s ta c n gi i bài toán Cauchy:  (6.2.1) y( x 0 ) = y 0  Gi s r ng trong mi n ta xét, hàm f(x,y) có các o hàm riêng liên t c n c p n, khi ó nghi m c n tìm s có các o hàm riêng liên t c n c p n + 1, và do ó ta có th vi t : ∆y 0 = y ( x 0 ) − y 0 = ( x − x0 ) y , o + ( x − x0 ) 2 ( x − x 0 ) n +1 ( n +1) n +1 y"0 +...... + y 0 + θ ( x − x0 ) (6.2.2) 2! (n + 1)! Ký hi u x - x0 = h, v i h bé ta có th b qua 0(|x – x0|n+1). θ ( x − x0 ) n + 1 Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 48
Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t T (6.2.2) ta có: ∆y0 = y(x0+h) - y0 + hy’0 + h2 h n +1 ( n +1) y"0 +.......... + y0 (6.2.3) 2! (n + 1)! tính (6.2.3) ta l n lư t tính t (6.2.1): ∂f 0 ∂f y’0 = f(x0,y0) = f0 , y”0 = + f0 0 , ∂x ∂y m  ∂ ∂  n ∂mu  ∂x + f ∂y  u = ∑ Cm f ∂x m−K ∂y K Nói chung ta có:  K K    K =0 n hK V y ta tính ư c: y(x) ≅ ∑ y (x 0 ) (K ) K =0 K! Trong th c t cách tính n y ít dùng vì c ng k nh; ta s xét các phương pháp gi i khác ơn gi n hơn. 6.2.1 Phương pháp x p x liên ti p Pica M t trong nh ng phương pháp gi i tích gi i g n úng phương trình vi phân (6.2.1) là phương pháp x p x liên ti p Pica. M c ích c a phương pháp này là xây d ng nghi m c n tìm là y= y(x) x x x T (6.2.1) ta có: ∫ dy = ∫ f (t, y )dt x0 x0 ⇒ y( x ) − y( x 0 ) = ∫ f ( t , y )dt x0 x Hay: y( x ) = y 0 + ∫ f ( t , y)dt (6.2.4) x0 ∂f Gi s f(x,y) là hàm liên t c theo x,y và < K. ∂y tìm x p x liên ti p, trong (6.2.4) thay y b ng y0, ta có x p x th nh t: x y1 = y 0 + ∫ f ( t, y 0 )dt , x0 x Tương t có x p x th hai: y 2 = y 0 + ∫ f ( t, y1 )dt x0 x T ng quát, ta có: y n = y 0 + ∫ f ( t , y n−1 )dt , v i n = 1,2,3,… x0 Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 49
Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t x Như v y ta s có: y(x ) ≈ y n (x ) = y 0 + ∫ f ( t , y n−1 )dt x0 lim y n ( x ) = y ( x ) n →∞ M ( KC ) n Sai s : y n (x ) − y( x ) ≤ , trong ó f (x , y ) = M K .n!  b V i: x − x 0 < a ≤ ∞, y − y 0 < b ≤ ∞ , thì C = min  a,   M Ta có: ∂f (i) > 0 và f(x,y0) > 0 thì: y0 < y1 < y2 < . . . < yn < y(x) ∂y ∂f (ii) > 0 và f(x,y0) < 0 thì: y0 > y1 > y2 > . . . > yn > y(x) ∂y Trong hai trư ng h p n y ta có dãy x p x 1 phía. ∂f (iii) < 0 các x p x Pica l p thành các x p x 2 phía. ∂y Ví d : Tìm 2 nghi m x p x liên ti p theo phương pháp Pica c a phương trình vi phân: y’ = x2+y2 cho y(0)=0 6.2.2 Phương pháp Euler y y=f(x) A3 A2 ` A1 Ao x O xo x1 x2 x3 Trư c h t chia an [xo, X] thành n an nh : xi=xo+ih, v i i = 0,1,2,....,n Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 50
Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t (X − x o ) h= n i xây d ng công th c, dùng khai tri n Taylor hàm y=f(x) t i xi ta có: y′′(ci ) y(x) = y(x i ) + y′(x i ).(x - x i ) + ( x − xi ) 2 2! V i: ci = xi + θ(x - xi), 0 < θ < 1 Thay x = xi+1 = xi + h, và y’(xi) = f(xi,y(xi)) y′′(ci ) Ta có: y(x i +1 ) = y(x i ) + h.f(xi , y(x i )) + h2 . 2! Khi bư c chia h khá bé, s h ng cu i ≅ 0, khi thay y(xi) b ng ui ta ư c: ui+1 = ui + hi.f(xi,ui) Bi u th c n y cho phép tính ui+1 khi bi t ui, v i i u ki n ban u ư c cho là: uo = η ánh giá sai s : ∂f nh lý: G a s ≤ L và y '' ≤ K , trong ó L, K là nh ng h ng s , khi ó ∂y phương pháp Euler h i t và sai s là ei = ui - y(xi) có ánh giá: ei = ui − y(x i ) ≤ M ( e0 + αh) K M = eL ( x −x ) , α = i 0 2 Ví d : Dùng phương pháp Euler gi i phương trình vi phân: xy dy/dx= V i 0 ≤ x ≤ 1 Cho y(0) =1. 2 6.2.3 Phương pháp Runghe - Kutta b c 4 Xét phương trình vi phân: u’ = f(x , u) k 1 = h.f ( x i , ui ) k = h.f ( x + 0.5h, u + 0.5k )  2 i i 1 1  ⇒ ui +1 = ui + (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) k 3 = h.f ( x i + 0.5h, ui + 0.5k 2 ) 6 k 4 = h.f ( x i + h, ui + k 3 )  Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 51
Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t V i sai s : ui − Y ( x i ) = 0( h 4 ) Ví d 1: Cho PTVP y y’ = − y 2 x y(1) =1; h=0,2. Tính trong kho ng [1;1,4] Runge-kuta y f(x,y) = − y2 x i x y k=hf(x,y) ∆y 0 1 1 0 0 1,1 1 -0,018 -0,036 1,1 0,991 -0,0186 -0,162 1,2 0,984 -0,039 -0,079 1 y1 = y0 + (k1+2k2 +2k3+k4) 6 1 = 1+ (0+2(-0.018)+2(-0,081)-0,079 = 0,954 6 i x y k=hf(x,y) ∆y 0 1,2 0,954 -0,058 -0,115 1,3 0,925 -0,02 -0.046 1,3 0,940 -0,032 -0,064 1,4 +0,938 -0,042 -0,042 1 y2 = y1 + (k1+2k2 +2k3+k4) 6 1 = 0,954+ (-0,058+2(-0,02)+2(-0,032)+(-0,042) 6 Ví d 2: Tìm nghi m g n úng c a phương trình: y’= x+y 0 ≤ x ≤ 0,5 , y(0) =1, h=0,1 B ng phương pháp Runghe - Kutta 6.2.4 Phương pháp Adam Gi s c n gi i phương trình vi phân: Y’ = f(x , y), v i i u ki n ban u: y(x0) = y0 Cho bi n s thay i b i bư c h nào ó; xu t phát t i u ki n ban u Y(x0) = Y0 b ng phương pháp nào ó (ví d : phương pháp Runghe-Kutta b c 4), ta tìm ư c 3 giá tr ti p theo c a hàm c n tìm y(x): Y1 = Y(x1) = Y(x0+h), Y2 = Y(x0+2h), Y3 = Y(x0 + 3h) . Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 52
Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t Nh các giá tr x0 , x1 , x2 , x3 và Y0 , Y1 , Y2 , Y3 , ta tính ư c q0, q1, q2, q3. Trong ó: q0 = h.Y0’ = h.f(x0 , y0), q1 = h.f(x1 , y1), q2 = h.f(x2 , y2), q3 = h.f(x3 , y3), sau ó ta l p b ng sai phân h u h n c a các i lư ng y và q x y ∆y q ∆q ∆2q ∆3q ------- xo yo qo ∆yo ∆q0 x1 y1 q1 ∆2q0 ∆y1 ∆q1 ∆3q0 x2 y2 q2 ∆2q1 -------- ∆y2 ∆q2 -------- x3 y3 q3 ------- --------- --------- --------- --------- --------- --------- --------- ------- --- - - - -- - Bi t các s ư ng chéo dư i, ta tìm ∆y3 theo công th c Adam như sau: 1 5 3 ∆y 3 = q 3 + .∆q 2 + .∆2q1 + .∆3 .q 0 2 12 8 Ti p ó ta có: Y4 = Y3 + ∆Y3 → q4 = h.f(x4, Y4) Sau ó vi t ư ng chéo ti p theo như sau: ∆q3 = q4 - q3 , ∆2q2= ∆q3 - ∆q2 , ∆3q1 = ∆2.q2 - ∆2.q ư ng chéo m i cho phép ta tính ∆Y4 : ∆Y4 = q4 + 1/2∆q3 + 5/12∆2q2 + 3/8∆3q1 Vì v y ta có: Y5 = Y4 + ∆Y4 . . . . . Ví d : Gi i l i ví d 1 b ng phương pháp Adam. Tìm x4 =1,8 → y4 = ? x5 =2,0 → y5 = ? Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 53
Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t x y ∆y q ∆q ∆2q ∆3q 1 1 0 -0,016 -0,030 1,2 0,984 -0,030 0,016 -0,038 -0,014 -0,008 1,4 0,946 -0,044 0,008 -0,046 -0,006 -0,001 1,6 0,900 -0,05 0,007 -0,053 0,001 0,388 1,8 0,847 -0,049 0,395 -0,02 0,396 2 0,827 0,347 1 5 3 ∆y3 =q3 + ∆q2 + ∆2 q1 + ∆3q0 =-0,050+1/2.(-0,006)+5/12.(0,008)+3/8.(-0,008) 2 12 8 1 5 3 ∆y4 =q4 + ∆q3 + ∆2 q2 + ∆3q1 =-0,049+1/2.0,001+5/12.0,07+3/8.(-0,001)= -0,02 2 12 8 Câu h i: 1. Hãy cho ví d c th v bài toán phương trình vi phân thư ng: Bài toán Cauchy (hay còn g i là bài toán giá tr ban u) và bài toán biên ? 2. T i sao phương pháp Pica ư c g i là phương pháp gi i tích g n úng ? 3. T i sao phương pháp Euler cho sai s l n, nhưng các sách v phương pháp tính u ph i ưa phương pháp n y vào ? 4. T i sao các sách v phương pháp tính thư ng trình bày phương pháp Runghe – Kutta b c 4 gi i phương trình vi phân thư ng mà không trình bày phương pháp n y có b c cao hơn ho c th p hơn (b c 3, b c 5… ) ? 5. T i sao phương pháp Adam ư c g i là phương pháp a bư c ? Bài t p: 1) Tìm nghi m g n úng c a phương trình y’=x+y2 th a mãn i u ki n ban u y(0) =1, b ng phương pháp x p x liên ti p pica( n x p x th hai) 2) Tìm nghi m úng c a bài toán vi phân y’=x+y, y(0) =0 trên mi n x ≥ 0 b ng phương pháp dãy pica. 3) Tìm nghi m g n úng c a phương trình y’=2xycos(x2) th a mãn i u ki n y(0)=1 b ng phương pháp dãy pica. 4) B ng phương pháp ơle(công th c ơle), tìm nghi m g n úng c a bài toán côsi y’(y+x)=y-x; y’(0)=1, l y h=0,1(tìm b n giá tr u tiên c a y). 5) Tìm nghi m g n úng c a bài toán côsi Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 54
Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t ( x + y )(1 − xy ) y’ = y(0)=1 trên [0;1] b ng công th c ơle, l y h=0,2. x + 2y 6) Tìm nghi m g n úng c a bài toán côsi y y’=y2+ y(2)=4, h=0,1. x 2x 7) Tìm các giá tr c a hàm s y=y(x) là nghi m c a bài toán Côsi y’=y- ; y(0)=1 y b ng công th c d ng Runghe-Kutta b c 4 trên o n [0;1] v i h=0,2 (Tính hai giá tr y1=y(0,2); y2 = y(0,4). So sánh v i nghi m úng y= 2 x + 1 . 8) B ng phương pháp Runghe-Kutta b c 4 tìm nghi m g n úng c a bài toán côsi. x y’= +0,5y; y(0)=1 l y v i h=0,1; Tính y(0,5). y 9) Cho bài toán côsi y’=x2+y2; y(0)=-1. Tìm nghi m g n úng c a y4 = y(0,4) b ng công th c n i suy Adam. 10) Tìm nghi m g n úng c a bài toán côsi y’=x2+y2; y(0)=0 theo công th c n i suy Adam, t i i m x=0,4(l y h=0,1) áp s : 1) Ch n x p x u y0=y(0)=1 x2 X p x th nh t y1=1+x+ 2 3 2 1 1 5 X p x th 2 y2 =1+x+ x2+ x3+ x4+ x 2 3 4 20 2) Ch n x p x u y0=y(0)=0, ư c dãy pica. Dãy ó h i t t i nghi m x k +1 n úng c a bài toán: y=e -x-1 và yn(x)= ∑ x k =1 ( k + 1)! n k 2 sin ( x ) 3) yn(x)= ∑ 2 ; nghi m úng y(x)=e sin( x ) . k =1 k! 4) x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 y(x) 1 1,1 1,18 1,25 1,31 5) x 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 y(x) 1 1,1 1,18 1,24 1,27 1,27 Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 55
Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t 6) x 2 2,1 2,2 2,3 2,4 y(x) 4 5,8 9,44 18,78 54,86 7) x 0 0,2 0,4 y(x) 1 1,1832 1,1346 8) x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 y(x) 1 1,05 1,12 1,20 1,29 1,39 9) y4 =y(0,4) ≈ −0,69 10) y4 = y(0,4) ≈ 0,02 TÀI LI U THAM KH O 1. Ph m Kỳ Anh, Gi i tích s , NXB HQG, Hà N i 1996 2. T Văn ĩnh, Phương pháp tính, NXBGD, 1997 3. Phan Văn H p và các tác gi khác, Cơ s phương pháp tính, NXB H- THCN, Hà N i 1970. 4. Nguy n Th Hùng, Giáo trình Phương pháp s , i h c à N ng 1996. 5. inh Văn Phong, Phương pháp s trong cơ h c, NXB KHKT, Hà N i 1999. 6. Lê ình Th nh, Phương pháp tính, NXB KHKT, Hà N i 1995. 7. Lê Tr ng Vinh, Gi i tích s , NXB KHKT, Hà N i 2000. 8. BURDEN, RL, & FAIRES, JD, Numerical Analysis, 5th ed., PWS Publishing, Boston 1993. 9. CHAPRA S.C, Numerical Methods for Engineers, McGraw Hill, 1998. 10. GURMUND & all, Numerical Methods, Dover Publications, 2003. 11. HOFFMAN, J., Numerical Methods for Engineers scientists, McGrawHill, Newyork 1992. 12. JAAN KIUSAALAS, Numerical Methods in Engineering with Mathlab, Cambridge University Press, 2005. 13. OWEN T. et al., Computational methods in chemical engineering, Prentice Hall, 1995. 14. STEVEN T. KARRIS, Numerical Analysis, Using Matlab and Excell, Orchard Publications, 2007. Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 56
Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t Website tham kh o: http://ocw.mit.edu/index.html http://ebookee.com.cn http://dspace.mit.edu http://ecourses.ou.edu http://www.dbebooks.com The end Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 57

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí

65 tài liệu

2418 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.