Bài giảng Đổi biến trong tích phân bội ba

Chia sẻ: Sung Sung | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:38

Thêm vào BST

Báo xấu

234
lượt xem 48
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Đổi biến trong tích phân bội ba trình bày về tọa độ trụ; tọa độ cầu; một số mặt cong thường gặp trong tọa độ cầu; giao tuyến của mặt cầu và trụ; đổi biến cho hình cầu tổng quát, ellipsoid.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đổi biến trong tích phân bội ba

ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN BỘI BA
ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN BỘI BA f(x,y,z) xác định trong , đặt x = x(u,v,w) y = y(u,v,w) (x,y,z) (u,v,w) ’ z = z(u,v,w) xu xy xw D( x , y , z) J= = yu yv yw D (u , v , w ) zu zv zw � � �Ω f ( x , y , z)dxdydz = � � � Ω g (u , v ,w ) | J | dudvdw
Áp dụng vào việc xét tính đối xứng của Nếu gồm 2 phần 1 và 2 đối xứng nhau qua mp z = 0 1.f chẵn theo z : � � Ω � f ( x , y , z )dxdydz =2 � � Ω � f ( x , y , z )dxdydz 1 2.f lẻ theo z : � � Ω � f ( x , y , z )dxdydz = 0
Lưu ý: • Mp z = 0 là mp Oxy • Kết quả áp dụng tương tự nếu đối xứng qua mp • y = 0 (tính chẵn lẻ của f xét theo y) • x = 0 (tính chẵn lẻ của f xét theo x)
TỌA ĐỘ TRỤ x = rcos , y = rsin , z = z z z M x r y (r = 2 x +y 2 ) M’ cố định z đổi sang tọa độ trụ hình chiếu D đổi sang tọa độ cực.
TỌA ĐỘ TRỤ x = rcos , y = rsin , z = z J=r � � � Ω f ( x , y , z )dxdydz = � � � Ω f (r cos ϕ , r sin ϕ , z)rdrdϕ dz Điều kiện giới hạn: 1.r 0 2. [0, 2 ] hay [- , ]
TỌA ĐỘ CẦU x = sin cos , z M y = sin sin , z = cos y x J= 2 sin Điều kiện giới hạn: 1. 0 2. [0, 2 ] hay [- , ]
Lưu ý: 2 2 2 ρ = x +y +z x 2 + y 2 = ρ sin θ Tọa độ cầu thường dùng cho miền giới hạn bởi mặt cầu hoặc mặt nón và mặt cầu.
Một số mặt cong thường gặp trong tđ cầu 2 2 x +y +z =R2 2 � ρ =R 0 ρ R 2 2 2 2 x +y +z R � 0 θ π 0 ϕ 2π ρ 2R cosθ 2 2 2 π x + y+ � z� 2Rz 0 θ 2 0 ϕ 2π
2 2 z 1 Nón trên. x + y = � tan θ = a a 2 2 2 R x +y =R � ρ = Trụ tròn. sin θ
VÍ DỤ 1/ Vẽ miền lấy tp và đổi tp sau sang tọa độ trụ 4 4x−x2 2 � � � I = dx 0 0 dy xzdz 0 2 0 x 4 D = hc Ω : Oxy 0 y 4x − x 2 2 x = rcos , y = rsin , z = z :0 r 4cos , 0 0 z 2
z=2 y =0 x2 + y2 = 4x 4 4x−x2 2 z=0 I = dx� 0 � 0 � 0 dy xzdz π 2 4cos ϕ 2 = dϕ dr r cos ϕ .z.rdz 0 0 0
2/ Vẽ miền lấy tp và đổi tp sau sang tọa độ trụ, cầu: 2 4− y 2 0 � I = dy 0 � 0 dx � xzdz − 4− x 2 − y 2
2 4− y 2 0 x = rcos , � � I = dy 0 0 dx � xzdz y = rsin , − 4− x 2 − y 2 z=z π 2 2 0 I= dϕ dr r cos ϕ .z.rdz 0 0 − 4−r 2
2 4− y 2 0 � I = dy 0 � 0 dx � xzdz − 4− x 2 − y 2 π 2 π 2 2 I= dϕ dθ ρ sin θ cos ϕ .ρ cosθ .ρ sin θ d ρ 0 π 2 0
3/ Tính tp sau sử dụng tọa độ trụ và tọa độ cầu: I= � � Ω � zdxdydz 2 2 Là miền bên trong nón z= x +y 2 2 2 và bị chắn bởi mặt cầu x + y + z =2
2 2 2 2 2 x + y + z = 2, z = x + y x = rcos , y = rsin , 1 z=z J=r Giao tuyến: z = 1 2 2 1 x + y =1 2π 1 2−r 2 π I= � � Ω � zdxdydz = dϕ dr z.rdz = 2 0 0 r
z = x + y , x + y + z = 2 x = sin cos , 2 2 2 2 2 y = sin sin , 1 z = cos . J= 2 sin 2π π 4 2 I= dϕ dθ ρ cosθρ 2 sin θ d ρ 0 0 0
4/ Tính tp sau sử dụng tọa độ cầu: I=� � �zdxdydz Ω 2 2 2 2 2 : z x +y , x + y + z 2z
2 2 2 2 2 z x +y , x +y +z 2z Giao tuyến của mặt cầu và trụ 2 2 z= x +y 1 2z 2 = 2z π z =1 4 x2 + y 2 = 1 1