Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 1 - TS. Trịnh Thị Hường

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:54

Thêm vào BST

Báo xấu

12
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 1 cung cấp cho người học những kiến thức như: Các khái niệm cơ bản; định thức; hạng của ma trận; ma trận nghịch đảo. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 1 - TS. Trịnh Thị Hường

HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP 1 CHƯƠNG 1 MA TRẬN – ĐỊNH THỨC Giảng viên: T.S. TRỊNH THỊ HƯỜNG Bộ môn : Toán Email; trinhthihuong@tmu.edu.vn
I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1. Dạng tổng quát Một bảng gồm 𝑚 × 𝑛 số thực 𝑎𝑖𝑗 , được sắp thành m dòng, n cột được gọi là một ma trận cỡ 𝑚 × 𝑛 𝑎𝑖𝑗 là phần tử nằm ở giao của dòng thứ i và cột thứ j.
• Ma trận dòng thứ i: 𝑑𝑖 = (𝑎𝑖1 , 𝑎𝑖2 , … , 𝑎𝑖𝑛 ) 𝑎1𝑗 𝑎2𝑗 • Ma trận cột thứ j: 𝑐𝑗 = ⋮ 𝑎𝑚𝑗 • Ma trận chuyển vị 𝐴′ của ma trận A: Ma trận có các dòng là cột của ma trận A (giữ nguyên thứ tự).  1 − 1  1 2 3   Ví dụ:   2 3   −1 3 4  3 4   
• Ma trận không là ma trận có mọi phần từ bằng 0. Kí hiệu là : 0 • Ma trận đối của ma trận A là – 𝐴 = −𝑎𝑖𝑗 𝑚 ×𝑛 • Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng cỡ và các cặp phần tử tương ứng bằng nhau. … 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚 ×𝑛 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 𝑚 ×𝑛 𝐴 = 𝐵 ⇔ 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 , ∀𝑖, 𝑗
2.Ma trận vuông • Ma trận cỡ 𝑛 × 𝑛 gọi là ma trận vuông cấp n. 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 𝐴= ⋮ 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑛 𝑎11 , 𝑎22 , … , 𝑎𝑛𝑛 : phần tử nằm trên đường chéo chính. 𝑎1𝑛 , 𝑎2 𝑛−1 , … , 𝑎𝑛1 ∶ phần tử nằm trên đường chéo phụ
3. Ma trận tam giác: Ma trận tam giác trên Ma trận tam giác dưới
4. Ma trận chéo: là 0 𝑎11 … 0 ma trận có các phần tử 𝑎22 0 … 0 nằm ngoài đường chéo 𝐴 = ⋮ chính đều bằng 0. 0 … 𝑎𝑛𝑛 0 5. Ma trận đơn vị: là 1 0 … 0 ma trận chéo với các 1 … 0 phần tử trên đường 𝐸= 0 ⋮ chéo chính đều bằng 1. 0 0 … 1 Kí hiệu En
6. Các phép toán ma trận 1. Cộng hai ma trận Các phép tính về ma trận 2. Nhân ma trận với một số 3. Nhân hai ma trận
1. Phép cộng hai ma trận Cho hai ma trận 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚 ×𝑛 và 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 𝑚 ×𝑛 Tổng của hai ma trận trên là: A+B = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 𝑚 ×𝑛 2. Phép nhân ma trận với một số thực k 𝑘𝐴 = 𝑘𝑎𝑖𝑗 𝑚 ×𝑛
3.Phép nhân hai ma trận Cho hai ma trận 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚 ×𝑝 và 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 𝑝×𝑛 Tích hai ma trận A và B (thứ tự A trước B sau), kí hiệu 𝐶 ≔ 𝐴. 𝐵 = 𝑐𝑖𝑗 𝑚 ×𝑛 p cij =  aik bkj , i = 1, m, j = 1, n k =1    b1 j   ...          b2 j  ...  hàng i a i1 a i2 ... a ip   = ... c ij ... (của A)    ...         ...     b pj   ...  cột j (của B)
Ví dụ: Tính 1 3 2 1 3 1+3+6 3-3+4 a. 2 4 7  1 − 1 = 2 + 4 +21 6 – 4 + 14    3 5 6  3 2  3 + 5 + 18 9 – 5 + 12 10 4 = 27 16 26 16 b. 1 2  5 2 − 1  0 1  1 0 − 1   = 2  2  1 0  1 0  2 1 4 1 − 2
Tính chất: Nếu các phép nhân sau đây có thể thực hiện được thì: i. A.(B.C) = (A.B).C ii. A.(B + C) = A.B + A.C iii. (A + B).C = A.C + B.C  iv. A.E = E.A = A (E là ma trận đơn vị cung) Chú ý: Tích của hai ma trận không có tính giao hoán Bài tập về nhà: Bài 1.1 (ý a, d, f) và bài 1.2
II. ĐỊNH THỨC 1. Kí hiệu: Cho ma trận A vuông cấp n 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 𝐴= ⋮ 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑛 Định thức của ma trận A là một số thực kí hiệu : 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 𝐴 hoặc ⋮ 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑛
2. Định thức của ma trận cấp 1, 2, 3. a. Định thức cấp 1: Cho A = (a11) thì |A| = a11 b. Định thức cấp 2: 𝑎11 𝑎12 |A| = 𝑎 21 𝑎22 = 𝑎11 . 𝑎22 − 𝑎12 . 𝑎21 Ví dụ: 1 2 A = = 1.4 − 2.3 = −2 3 4
c. Định thức cấp 3 𝑎11 𝑎12 𝑎13 = 𝑎11 . 𝑎22 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎21 𝑎32 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 −𝑎13 𝑎22 𝑎31 − 𝑎21 𝑎12 𝑎33 − 𝑎32 𝑎23 𝑎11 𝑎31 𝑎32 𝑎33
d. Định thức cấp cao Định nghĩa: Trong thức cấp n, nếu bỏ đi dòng i và cột thứ j, ta nhận được định thức 𝑀𝑖𝑗 cấp n -1. Phần bù 𝑖+𝑗 đại số của phần tử 𝑎𝑖𝑗 là 𝐴𝑖𝑗 = −1 𝑀𝑖𝑗 Công thức khai triển theo dòng thứ i: 𝐴 = 𝑎𝑖1 𝐴𝑖1 + 𝑎𝑖2 𝐴𝑖2 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 𝐴𝑖𝑛 Công thức khai triển theo cột thứ j: 𝐴 = 𝑎1𝑗 𝐴1𝑗 + 𝑎2𝑗 𝐴2𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑗 𝐴𝑛𝑗
VÍ DỤ: Tính định thức 0 1 1 −1 5 0 2 2 1 0 3 4 4 1 0 1
3. Tính chất của định thức i. Định thức của một ma trận vuông A bằng định thức ma trận chuyển vị 𝐴′ của nó |𝐴| = |𝐴′| Theo tính chất này thì các tính chất sau phát biểu cho dòng thì cũng đúng với cột (và ngược lại).
ii. Nếu đổi chỗ hai dòng bất kỳ cho nhau (giữ nguyên vị trí các dòng khác) thì định thức đổi dấu 3 2 −1 1 −1 2 Ví dụ: 1 −1 2 = - 3 2 −1 5 3 4 5 3 4 iii. Nếu nhân một dòng của định thức với một số 𝑘 ≠ 0 thì định thức mới bằng định thức cũ nhân với số k đó Ví dụ: 6 4 −2 3 2 −1 1 −1 2 = 2 1 −1 2 5 3 4 5 3 4
iv. Nhân từng phần tử của một dòng với một số bất kỳ rồi cộng vào từng phần tử tương ứng của một dòng khác thì định thức không đổi. v. Nếu tất cả các phần tử của một dòng bằng 0 thì định thức bằng 0.