Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 2 - Hoàng Văn Thắng

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:230

Thêm vào BST

Báo xấu

290
lượt xem 66
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 2 trình bày các kiến thức về ma trận – định thức như các khái niệm cơ bản về ma trận, các dạng ma trận, các phép biến đổi ma trận.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 2 - Hoàng Văn Thắng

Chương 2: MA TRẬN – ĐỊNH THỨC Bài 1. Các khái niệm cơ bản về ma trận I. Các khái niệm cơ bản về ma trận 1. Khái niệm ma trận 2. Đẳng thức ma trận 3. Ma trận không và ma trận đối
II. Các dạng ma trận 1. Ma trận vuông 2. Ma trận tam giác 3. Ma trận đường chéo và ma trận đơn vị III. Các phép biến đổi ma trận 1. Các phép biến đổi sơ cấp 2. Phép chuyển vị ma trận
I. Các khái niệm cơ bản về ma trận 1) Ma trận là gì? 5 1 −1 2 3 −4 A= , = 2 −3 4 5 1 0 1 0 2 (A và B là các ví dụ về ma trận.) Tại sao phải có ma trận?
Đối với hệ: + = 7 3 − =5 Dễ dạng nhận thấy nghiệm: = 3, = 4. Đối với hệ kích thước lớn hơn, chẳng hạn: + − 2 = 7 2 − − 4 = 2 5 + 4 + 10 = 1 3 − − 6 = 5 Ma trận sẽ giúp bạn…
Định nghĩa: Ma trận là một bảng số được xếp theo dòng và cột. Một ma trận có m dòng, n cột được gọi là ma trận cấp × Dạng tổng quát là:
 a11 a12  a1n  Dấu a a 22  a 2n  ngoặc A 21  đơn        a m1 a m2  a mn  mn  a11 a12  a1n  Dấu a a 22  a 2n  ngoặc A 21  vuông       a m1 a m2  a mn  mn Có thể Ký hiệu dạng thu gọn: = ×
Trong đó là phần tử nằm ở dòng i, cột j của ma trận A. Ví dụ 1: Cho ma trận: 1 −2 3 −4 = 4 −3 5 2 1 −1 0 −1 × ⟶ = 5, = −2, = −1
Ví dụ 2: Lập ma trận = cho biết: × 1 nếu i + j chẵn a = 2 nếu i + j lẻ Giải: a a a a 1 =? =? 2 1 2 =? =? 2 1 2 1 = 1 2 1 2 2 1 2 1
2. Đẳng thức ma trận Định nghĩa: Hai ma trận được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng cấp và các phần tử ở vị trí tương ứng đôi một bằng nhau. Tức là, A = a ,B = b × × a = b Thì: A = B ⟺ ∀i = 1,2, … , m; j = 1,2, … , n
1 2 Ví dụ: Cho = , = 3 4 5 6 =1 =2 =3 Khi đó, = ⟺ =4 =5 =6
3. Ma trận không và ma trận đối Định nghĩa 1: Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử bằng không. Ký hiệu: 0 × 0 0  0 0 0  0 0 m n           0 0  0  mn
Định nghĩa 2: Ma trận đối của một ma trận A là ma trận cùng cấp mà mỗi phần tử của nó là số đối của các phần tử tương ứng của ma trận A. Ký hiệu: ma trận đối của A là – A. Như vậy, = ⟶− = − × ×
Ví dụ: Lập ma trận đối của ma trận sau:  4 0   4 0  5 2    A   5 2  A    7 4  7 4      II. Các dạng ma trận 1. Ma trận vuông Định nghĩa: Ma trận vuông là ma trận có số dòng bằng số cột.
Một ma trận có số dòng và số cột đều bằng n được gọi là ma trận vuông cấp n. Ma trận vuông cấp n có dạng tổng quát:  a11 a12  a1n  a a 22  a 2n  A 21  Đường     chéo   chính  a n1 a n 2  a nn 
Chú ý: Đối với ma trận vuông: = người ta gọi tổng các × phần tử trên đường chéo chính là vết của ma trận đó: ế ( ) = + + ⋯+
2. Ma trận tam giác: Định nghĩa: Ma trận tam giác là ma trận vuông có các phần tử nằm về một phía của đường chéo chính bằng 0. Có hai loại ma trận tam giác:
a11 a12  a1n    Ma trận a 22  a 2n tam      giác dưới    a mn   a11  a  Ma trận a 22 tam  21     giác   trên a m1 a m2  a mn 
3. Ma trận đường chéo và ma trận đơn vị Định nghĩa: Ma trận đường chéo là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính bằng 0. Ma trận đường chéo cấp n có dạng:  a11     7 0 0  a 22   A   0 4 0         0 0 9 a nn    
Định nghĩa: Ma trận đơn vị là ma trận vuông có tất cả các phần tử trong đường chéo chính bằng 1, nằm ngoài đường chéo chính bằng 0. 1 0  0 0 1  0 1 0 0 0 1 0 E  En    E3        0 0 1     0 0  1
1. Các phép biến đổi sơ cấp Định nghĩa: Các phép biến đổi sau đây đối với một ma trận được gọi là các phép biến đổi sơ cấp. Phép 1: Đổi chỗ hai dòng (cột) của ma trận cho nhau.