Bài giảng Toán cao cấp C1: Chương 3 - Phan Trung Hiếu (2018)

Chia sẻ: A Q | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

121
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp C1 - Chương 3: Đạo hàm và vi phân hàm một biến" cung cấp cho người học các kiến thức: Đạo hàm và vi phân của hàm một biến, đạo hàm và vi phân cấp cao, ứng dụng trong toán học, ứng dụng trong kinh tế. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp C1: Chương 3 - Phan Trung Hiếu (2018)

15/10/2018 Chương 3: Đạo hàm và vi phân hàm một biến GV. Phan Trung Hiếu §1. Đạo hàm và vi phân của hàm một biến §1. Đạo hàm và vi phân của hàm một biến §2. Đạo hàm và vi phân cấp cao §3. Ứng dụng trong toán học LOG §4. Ứng dụng trong O kinh tế 2 I. Đạo hàm cấp một: Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng mở chứa x0. Đạo hàm (cấp một) của hàm số f(x) tại x0, ký hiệu y( x0 )  f ( x0 ) , được tính bởi f ( x)  f ( x0 ) f ( x0 )  lim x  x0 x  x0 nếu giới hạn tồn tại hữu hạn. Chú ý 1.2. Nếu f ( x0 ) tồn tại thì f(x) được gọi là khả vi tại x0. Ví dụ 1.1: Tìm đạo hàm của hàm số  ln(1  x2 ) khi x  0  f ( x)   x 0 khi x  0  tại x0  0. Định nghĩa 1.3 (Đạo hàm bên trái) f ( x0 )  lim x  x0 f ( x )  f ( x0 ) x  x0 Định nghĩa 1.4 (Đạo hàm bên phải) f ( x0 )  lim x  x0 f ( x)  f ( x0 ) x  x0 3 Định lý 1.5: f ( x0 )  L    f ( x0 )  f ( x0 )  L Ví dụ 1.2: Xét sự khả vi của hàm số x  1, 1  x, f ( x)   (1  x)(2  x), x  1 tại x0  1. 5 4 Định lý 1.6: f(x) có đạo hàm tại x0  f(x) liên tục tại x0. Ví dụ 1.3: Tìm m để hàm số e x ( x 2  x) khi x  0 f ( x)   khi x  0 m có đạo hàm tại x0  0. 6 1 15/10/2018 Định nghĩa 1.7 (Đạo hàm trên khoảng, đoạn): Cho hàm số f(x) xác định trên [a,b]. -Hàm f(x) được gọi là có đạo hàm trên (a,b) nếu f(x) có đạo hàm tại mọi điểm x thuộc (a,b). -Hàm f(x) được gọi là có đạo hàm trên [a,b] nếu f(x) có đạo hàm trên (a,b) và có tại mọi điểm x thuộc (a,b). II. Các công thức và quy tắc tính đạo hàm: 2.1. Các công thức tính đạo hàm: Xem Bảng 2. 2.2. Quy tắc tính đạo hàm: Với u  u ( x ), v  v ( x ), ta có (k .u )  k.u (u  v)  u  v (u.v)  u.v  u.v  u  u.v  u.v v  v2   2.3. Đạo hàm của hàm số hợp: Xét hàm số hợp f(x)=y[u(x)]. Khi đó y( x)  u  ( x). y  u ( x )  7 8 Ví dụ 1.4: Tính đạo hàm của các hàm số sau III. Vi phân cấp một: a) y  arctan x Vi phân (cấp một) của hàm số f(x) là b) y  (arcsin x ) 2 df ( x)  f ( x) dx hay c) y  e x arctan e x  ln 1  e 2 x d) y  ( x 2  1) x dy  ydx 3 2 Ví dụ 1.5: Nếu F ( x)  f  g ( x)  , trong đó f (2)  8, f (2)  4, f (5)  3, g (5)  2, g (5)  6. Tìm F (5). 9 Ví dụ 1.6. Tìm vi phân của hàm số y  e x . 10 Định lý 2.3. Nếu u, v là các hàm khả vi thì 1) d (u  v)  du  dv. 2) d (k .u)  k.du. 3) d (u.v)  vdu  udv.  u  vdu  udv 4) d    . v2 v §2. Đạo hàm và vi phân cấp cao Ví dụ 1.7. Tính 3 x a) d ( x  e ) b) d ( x 3e x )  x3  c) d  x  e  11 12 2 15/10/2018 I. Đạo hàm cấp cao: Định nghĩa 2.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm cấp một y thì đạo hàm cấp hai của hàm số y=f(x) là y  f ( x)   f ( x ) Tương tự, ta có đạo hàm cấp n của f(x) là y ( n )  f ( n ) ( x)   f ( n 1) ( x)  Ví dụ 2.1. Tính đạo hàm cấp một, cấp hai, cấp kx ba, cấp bốn, cấp n của hàm số y  e , k  const . 13 Ví dụ 2.2. Cho hàm số y  x sin x. Chứng minh xy  2( y  sin x)  xy  0. Định lý 2.2 (Công thức Leibniz). Giả sử u và v có đạo hàm đến cấp n. Khi đó n (u.v )( n)   Cnk u ( k ) v ( n k ) k 0 Ví dụ 2.3. Tính y (20) của hàm số y  x 2e 2 x . 14 II. Vi phân cấp cao: Định nghĩa 2.3. Giả sử y=f(x) có đạo hàm đến cấp n thì vi phân cấp n của hàm số y=f(x) là   d n y  d d n1 y  y ( n ) dx n §3. Ứng dụng trong toán học Ví dụ 2.4. Cho y  (2 x  3)3. Tính dy, d 2 y, d 3 y. 15 I. Quy tắc L’Hospital khử các dạng vô định: Định lý 3.1. Giả sử các hàm f và g khả vi trong lân cận nào đó của x0 (hoặc có thể trừ x0). Nếu i) lim f ( x)  lim g ( x)  0 hay x x0 x x0 lim f ( x)  lim g ( x)   f ( x) x x0 và lim tồn tại x x0 g ( x ) x x0 thì lim x x0 16 Chú ý 3.2.  Khi tính giới hạn hàm số, quy tắc L’Hospital chỉ dùng để khử dạng vô định 0  hoặc . 0   Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital nhiều lần. f ( x) f ( x)  lim g ( x) x x0 g ( x) 17 18 3 15/10/2018 Ví dụ 3.1. Tính các giới hạn sau x2  5 x  6 a)lim 3 x 2 x  x 2  x  2 c )lim x 0 x  sin x x3 ln 2 x x  x 3 x 0 x2  9  3 x2  x d ) lim x x  e  3 x0 II. Xấp xỉ tuyến tính và vi phân: Phép xấp xỉ f ( x )  f (a )  f (a )( x  a ) (*) được gọi là xấp xỉ tuyến tính hoặc xấp xỉ tiếp tuyến của f tại a. Hàm tuyến tính L ( x)  f (a )  f (a )( x  a ) được gọi là tuyến tính hóa của f tại a. f ) lim  sin x.ln x  e) lim g )lim b)lim 2  4  x2 x0 1  1 1    t an2x  sin x x  h) lim (1  sin4x )cot x x 0 Ví dụ 3.2: Tính gần đúng giá trị của 3,98. 19 Đặt x  x  a . Từ (*), ta có f (a  x)  f (a )  f ( a) x f (a  x )  f (a)  f (a)x y  f  ( a ) x y là lượng tăng hoặc giảm của y khi x tăng hoặc giảm một lượng là x 20 Ví dụ 3.3: Để chuẩn bị cho việc lát gạch nền nhà hình vuông, thầy Hiếu đo chiều dài một cạnh được kết quả là 100m. Giả sử, phép đo của thầy có độ chính xác trong phạm vi 6 mm (sai số cho phép). a) Ước tính sai số diện tích nền nhà theo sai số cho phép nói trên. So sánh kết quả đó với sai số thực sự. b) Nếu mỗi viên gạch có diện tích 1 m2 và một hộp gồm 12 viên gạch có giá là 24$ thì thầy Hiếu nên dự trù chi phí tăng thêm là bao nhiêu để đảm bảo lót đủ gạch cho nền nhà? 21 22 I. Trung bình của hàm: §4. Ứng dụng trong kinh tế Xét hai đại lượng kinh tế x và y có quan hệ hàm với nhau y = f(x). Tỉ số f ( x) Ay  x được gọi là trung bình của y. Ví dụ 4.1: Xét hàm tổng doanh thu R = P.Q. P.Q  P là doanh thu trung bình. Q Ví dụ 4.2: Xét hàm tổng chi phí C = C(Q). Khi đó AR  23 Khi đó AC  C (Q ) là chi phí trung bình. Q 24 4 15/10/2018 II. Tốc độ biến thiên: Xét hai đại lượng kinh tế x và y có quan hệ hàm với nhau y = f(x). Nếu x biến thiên từ x1 đến x2 thì độ thay đổi của x là x  x2  x1 và độ thay đổi tương ứng của y là y  f ( x2 )  f ( x1 ) Tỉ số y f ( x2 )  f ( x1 )  x x2  x1 Tốc độ thay đổi (tức thời) của y tương ứng với x tại x = x1 là lim x  0 y f ( x2 )  f ( x1 )  lim  f ( x1 ) x  x 2 1 x x2  x1 Ví dụ 4.3: Cho D(t) là nợ quốc gia của Mỹ tại thời điểm t. Bảng dưới đây biểu thị các giá trị xấp xỉ của hàm này bằng cách cung cấp các con số ước tính vào cuối năm, đơn vị tính là tỷ USD, từ năm 1980 đến năm 2005. được gọi là tốc độ thay đổi trung bình của y tương ứng với x. 25 a) Tìm mức tăng trưởng trung bình của nợ quốc gia (i) từ năm 1985 đến 1990. (ii) từ năm 1990 đến 1995. b) Ước tính mức tăng trưởng tức thời của nợ quốc gia vào năm 1990 bằng cách lấy trung bình của hai tốc độ biến thiên trung bình. Đơn vị tính của nó là gì? Giải thích ý nghĩa của kết quả đó. 27 26 II. Ý nghĩa kinh tế của đạo hàm: 4.1. Biên tế (Giá trị cận biên-Marginal value): Cho hàm số y = f(x) xác định trên D với x, y là các biến số kinh tế (x là biến đầu vào, y là biến đầu ra). Gọi x0  D. Trong kinh tế, ta thường quan tâm đến sự biến thiên của y như thế nào tại một mức x  x0 khi x tăng lên 1 đơn vị từ x0 lên x0  1 . Gọi y là lượng thay đổi của y tại mức x = x0 khi biến x tăng thêm 1 đơn vị từ x0 lên x0 + 1. Khi đó, y được gọi là giá trị cận biên (Marginal value) hay biên tế của biến y tại mức x0. y  f ( x0  1)  f ( x0 ) 28 Từ định nghĩa f ( x )  f ( x0 ) x  x0 ta đặt x  x  x0 và y  f ( x)  f ( x0 ) , ta có y f ( x0 )  lim x 0 x  y  f ( x0 ).x f ( x0 )  lim x  x0 Khi x  1 thì y  f ( x0 ) . Nghĩa là, f ( x0 ) là xấp xỉ của giá trị cận biên của y tại mức x0. 29 Như vậy, cho hàm số y = f(x) xác định trên D với x, y là các biến số kinh tế, gọi x0  D. Hàm số My  f ( x ) được gọi là hàm biên tế (hàm cận biên) của biến y. Giá trị My ( x0 )  f ( x0 ) được gọi là biên tế (giá trị cận biên) của hàm số f(x) tại điểm x0. 30 5