zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Toán cao cấp: Chương 2 - Hoàng Mạng Dũng

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Báo xấu

47
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp - Chương 2: Không gian véc tơ" cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm không gian véc tơ, không gian véc tơ con, độc lập tuyến tính, phục thuộc tuyến tính, hạng của một hệ hữu hạn các véc tơ,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp: Chương 2 - Hoàng Mạng Dũng

CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ  Không gian véc tơ 2.1 KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VÉC TƠ u Khái niệm không gian véc tơ có nguồn       u  (v  w)  (u  v)  w gốc từ vật lý. Ban đầu các véc tơ là những đoạn thẳng có định hướng, với       u 0  0u  u   khái niệm này người ta đã sử dụng để  uv      y u u  ( x, y ) biểu diễn các đại lượng vật lý như: véc v u  (u )  (u )  u  0 tơ vận tốc, lực tác động, lực điện từ ....      x Cuối thế kỷ 17 Descartes đã đề xuất u u v  v u phương pháp tọa độ để giải quyết các bài toán hình học. Với phương pháp    này mỗi véc tơ trong mặt phẳng được (k  h)u  ku  hu z       đồng nhất với một cặp số là hoành độ u u  ( x, y , z ) và tung độ còn véc tơ trong không  k (u  v)  ku  kv y gian được đồng nhất với bộ ba số u    ku (kh)u  k (hu) x Khái niệm không gian véc tơ 4 chiều   được Einstein (Anh-xtanh) sử dụng 1u  u trong thuyết tương đối 10/7/2017 1 10/7/2017 2 CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ 2.1.1. Định nghĩa và các ví dụ V1 (u  v)  w  u  (v  w) V2 Có 0  V sao cho u  0  0  u  u Giả sử V là tập khác , K là tập các số thực hoặc số phức. V3 Với mỗi u V có u V sao cho u  (u )  (u )  u  0 V được gọi là không gian véc tơ trên K nếu có hai phép toán: V4 u v  vu V5 (   )u   u   u  Phép toán trong : V V  V (u , v )  u  v V6  (u  v)   u   v V7 ( )u   (  u )  Phép toán ngoài K V  V V8 1u  u , trong đó 1 là phần tử đơn vị của K . ( , u )   u Khi K   thì V được gọi là không gian véc tơ thực thoả mãn các tiên đề sau với mọi u, v, w  V và ,   K Khi K   thì V thì được gọi là không gian véc tơ phức Các phần tử của V được gọi là các véc tơ 10/7/2017 3 10/7/2017 4 CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ  Ví dụ 2.1 Giả sử  là trường số thực, y  u u  ( x, y, z )   xét  n  x  ( x1,..., xn ) xi  , i  1, n     v  ( x ', y ', z ') Ta định nghĩa: ( x1,..., xn )  ( y1,..., yn )  ( x1  y1,..., xn  yn ) v uv v y’     ( x1,..., xn )  ( x1,..., xn ),    u u  v  ( x  x ', y  y ', z  z ') x x’ Dễ dàng kiểm chứng lại hai phép toán này thoả mãn 8 tiên đề  của không gian véc tơ có véc tơ không là  u  ku  (kx, ky, kz ) 0  (0,...,0)   ku n phÇn tö phần tử đối của x  (x1, … , xn) là  x  (x1,… ,  xn) Vậy ( x, y, z)  ( x ', y ', z ')  ( x  x ', y  y ', z  z ') ta có không gian véc tơ thực n k ( x, y, z)  (kx, ky, kz) 10/7/2017 5 10/7/2017 6 1
CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ x  ( x1,..., xn ); y  ( y1,..., yn ); z  ( z1,..., zn )  K n  ,   K Ví dụ 2.2 v1 x  ( y  z)  ( x1,..., xn )   ( y1,..., yn )  ( z1,..., zn )  Ký hiệu X là tập các hàm số xác định trên tập con X  , X     x1  ( y1  z1 ),..., xn  ( yn  zn )    ( x1  y1)  z1,...,( xn  yn )  zn  Ta định nghĩa phép toán cộng và nhân với số thực như sau:   ( x1,..., xn )  ( y1,..., yn )   ( z1,..., zn )  ( x  y)  z ( f  g )(t )  f (t )  g (t ), (f )(t )  f (t ), t  X v2 x  0  ( x1,..., xn )  (0,...,0)  ( x1,..., xn )  x Với hai phép toán này X có cấu trúc không gian véc tơ thực với véc tơ không là 0(t)  0,  t   v3 ( x1,..., xn )  ( x1,...,  xn )  (0,...,0)  0 Ví dụ 2.3 v4 x  y  ( x1  y1,..., xn  yn )  ( y1  x1,..., yn  xn )  y  x Gọi Pn là tập các đa thức bậc  n, n là số nguyên dương cho trước: v5 (   ) x  (   )( x1,..., xn )   (   ) x1,...,(   ) xn    x   x  Pn  p p  a0  a1t  ...  ant n ; a0 , a1 ,..., an   v6  ( x  y)   ( x1  y1,..., xn  yn )  ( x1   y1,...,  xn   yn )   x   y Ta định nghĩa phép cộng hai đa thức và phép nhân một số với một v7 (  ) x  (  )( x1,..., xn )   (  ) x1,...,( ) xn      x1,...,  xn    ( x) đa thức như phép cộng hàm số và phép nhân một số với hàm số trong Ví dụ 2.2 thì Pn là không gian véc tơ với véc tơ không là đa v8 1x  1( x1,..., xn )  ( x1,..., xn )  x thức 0 10/7/2017 7 10/7/2017 8 CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ Tính chất Ví dụ 2.4 1) Véc tơ 0 là duy nhất Gọi P là tập các đa thức véc tơ đối  u của u với mọi uV là duy nhất P   Pn  p p  a0  a1t  ...  ant n ; a0 , a1,..., an , n  n  2) Có luật giản ước: u  v  u  w  v  w. Ta định nghĩa phép cộng là phép cộng hai đa thức và phép nhân 3) Với mọi u V , 0u  0, (1)u  u . với một số với đa thức theo nghĩa thông thường ở Ví dụ 2.3 thì 4) Với mọi   K , 0  0 . P là không gian véc tơ và Pn  P với mọi n  . 5) Nếu u  0 thì   0 hoặc u  0 . 10/7/2017 9 10/7/2017 10 CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ Từ định nghĩa của không gian véc tơ ta có thể mở rộng các phép 2.2. KHÔNG GIAN VÉC TƠ CON toán sau 2.2.1. Định nghĩa và ví dụ 1) Ta có thể định nghĩa phép trừ hai véc tơ Giả sử tập con W   của V thỏa mãn tính chất: u  v : u  (v)  u, v W: u  v W (2.1) w  u v  u  wv  u W ,   : u W (2.2) 2) Do tính kết hợp của phép cộng nên ta có thể định nghĩa theo qui nạp: n Khi đó có thể xác định 2 phép toán từ không gian V thu hẹp vào W  u k  u1  ...  u n  (u1  ...  u n 1 )  u n : W W  W :  W  W k 1 Tương tự (u , v)  u  v (  , u )  u n   k u k   1u1  ...   n u n  ( 1u1  ...   n 1u n 1 )   n u n Hai phép toán này thỏa mãn các điều kiện V1, V4, V5, V6, V7, V8 k 1 của không gian véc tơ. Ngoài ra vì W   do đó tồn tại ít nhất véc biểu thức này được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các véc tơ tơ u  W, suy ra 0  0u W và  u W : u  (1)u W . u1 ,..., u n 10/7/2017 11 10/7/2017 12 2
CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ V1 (u  v)  w  u  (v  w) Định nghĩa V4 u v  vu Hai phép toán này thỏa mãn các Tập con W   của V thỏa mãn thỏa mãn điều kiện (2.1)-(2.2) V5 (   )u   u   u điều kiện V1, V4, V5, V6, V7, V8 được gọi là không gian véc tơ con của V (hay nói tắt: không gian V6  (u  v)   u   v của không gian véc tơ. con của V ) V7 ( )u   (  u ) Định lý 2.2: V8  u W :1u  u Giả sử tập con W   của V , khi đó W không gian véc tơ con của V khi và chỉ khi: Ngoài ra vì W   do đó tồn tại ít nhất véc tơ u  W, vậy 00uW V2  u W : u  0  u u, v W ,  ,   :  u   v W V3 Với mọi u  W;  u  (1)uW: u +( u)  0 Tập {0} chỉ gồm véc tơ không là không gian véc tơ con nhỏ nhất của V Vậy W thỏa mãn các tiên đề V1 – V8 của không gian véc tơ V là không gian véc tơ con lớn nhất của V 10/7/2017 13 10/7/2017 14 CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ Ví dụ 2.6 2.2.2. Không gian con sinh bởi một hệ véc tơ Định lý 2.3: W1  u  ( x, y,0) x, y   3 Nếu Wi  iI là họ các không gian con của V thì  Wi cũng là không  W2  u  ( x, y, z )  2 x  3 y  4 z  0 3  gian con của V . iI là hai không gian véc tơ con của 3 Từ Định lý 2.3 suy ra rằng với mọi tập con S bất kỳ của V luôn tồn tại không gian con W bé nhất của V chứa S . W3  u  ( x, y,1) x, y   3 W là giao của tất cả các không gian con của V chứa S không là không gian véc tơ con của 3 Định nghĩa Không gian W bé nhất chứa S được gọi là không gian sinh bởi hệ S , ký hiệu W  span S , và S được gọi là hệ sinh của W Khi S hữu hạn thì W được gọi là không gian véc tơ hữu hạn sinh 10/7/2017 15 10/7/2017 16 CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ Định lý 2.4 2) Trường hợp S vô hạn tập W có dạng W  span S bằng tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của S . 1) Trường hợp S hữu hạn: S  v1,..., vn    W  1vi1  ...   nvin 1,..., n ; vi1 ,..., vin  S ; n  1,2,... u W  1,..., n ; vi1 ,..., vin  S : u  1vi1  ...   nvin W  1v1  ...   nvn 1,...,  n  Vậy u W  1,..., n : u  1v1  ...   nvn Ví dụ 2.11 Ta chứng minh W là không gian con bé nhất chứa S Trong không gian vec tơ con vi  S ; vi  0v1  ...  1vi  ...  0vn W  S  W W1  ( x, y,0) | x, y    3  ,   ; u, v W : u  1v1  ...   nvn , v  1v1  ...  nvn u W1  u  ( x, y,0)  x(1,0,0)  y(0,1,0)  xe1  ye2  u   v   (1v1  ...  nvn )   (1v1  ...  nvn )  (1  1)v1  ...  (n  n )vn W Giả sử W’ là không gian con của V chứa S Vậy W1  span e1, e2  u W : u  1v1  ...  nvn W '  W  W ' 10/7/2017 17 10/7/2017 18 3
CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ Ví dụ 2.11 2.3. ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH, PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH  Không gian véc tơ con W2  u  ( x, y, z ) 3 2 x  3 y  4 z  0 có 3  Khái niệm phụ thuộc tuyến tính khái quát hóa từ khái niệm 2 véc tính chất u  ( x, y, z ) W2  2 x  3 y  4 z  0  x  3/ 2 y  2 z tơ cùng phương và 3 véc tơ đồng phẳng 3  y Cho hệ n véc tơ S  {u1, ... , un} của V (các véc tơ này có thể u  ( x, y, z ) W2  u   y  2 z , y, z   (3,2,0)  z (2,0,1) 2  2 trùng nhau) Xét v1  (3,2,0) , v2  (2,0,1) W2 , ta được W2  span v1, v2 . Hệ S  {u1, ... , un} phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi ta có thể Ta cũng có tìm được 1, ... ,  n   không đồng thời bằng 0 sao cho 3  3  1u1     nun  0 u  ( x, y, z ) W2  u   y  2 z, y, z   y  ,1,0   z (2,0, 1) 2  2  Hệ không phụ thuộc tuyến tính được gọi hệ là độc lập tuyến tính 3  Do đó W2  span v '1, v '2  ; v '1   ,1,0  , v '2  (2,0, 1) Vậy hệ S độc lập tuyến tính nếu 2  Như vậy một không gian véc tơ có thể được sinh bởi nhiều hệ 1u1     nun  0,1,..., n  thì 1  ...   n  0 sinh khác nhau 10/7/2017 19 10/7/2017 20 CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ Ví dụ 2.13 e1  (1,0,0), e2  (0,1,0), e3  (0,0,1)  3 Định lý 2.6 Hệ e1, e2 , e3  là độc lập, vì nếu 1e1   2e2  3e3  0 1) Nếu v1 ,..., v n  độc lập tuyến tính và u  1v1  ...   nvn thì cách thì 1 (1,0,0)   2 (0,1,0)  3 (0,0,1)  (1, 2 ,3 )  (0,0,0) viết này là duy nhất.  1   2  3  0 u  1v1  ...   nvn  0  u  u  (1  1)v1  ...  ( n  n )vn  u  1v1  ...   nvn  1  1  ...   n  n  0  1  1,..., n  n Ví dụ 2.14 2) Hệ véc tơ chứa hệ con phụ thuộc tuyến tính là hệ phụ thuộc  Hệ chứa véc tơ 0 là hệ phụ thuộc tuyến tính tuyến tính. Vì vậy, mọi hệ con của hệ độc lập tuyến tính là hệ độc  Hệ hai véc tơ u1, u2  là hệ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi lập tuyến tính chúng tỷ lệ, nghĩa là u1  u2 hoặc u2  u1 Giả sử hệ S  u1,..., um  chứa hệ con u1,..., un  phụ thuộc  Xét các véc tơ u1  (4, 2,8) , u2  (6,3, 12) , u3  (3, 2,5) Khi đó tồn tại 1,..., n  không đồng thời bằng 0 sao cho 1u1  ...   nun  0 Hệ hai véc tơ u1, u2  phụ thuộc tuyến tính ( u2  3/ 2u1) Chọn  n 1  ...  m  0 ta được 1,..., n , n 1,..., m và hệ u1, u3 độc lập tuyến tính không đồng thời bằng 0 thỏa mãn 1u1  ...   nun   n1un1  ...   mum  0 10/7/2017 21 10/7/2017 22 CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ 3) Một hệ véc tơ là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một véc 2.4. HẠNG CỦA MỘT HỆ HỮU HẠN CÁC VÉC TƠ tơ là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ còn lại 2.4.1. Hệ con độc lập tuyến tính tối đại Giả sử hệ S  u1,..., un  phụ thuộc tuyến tính, khi đó tồn tại 1,..., n  Cho hệ S các véc tơ của không gian véc tơ V. Hệ con S của hệ không đồng thời bằng 0 sao cho 1u1  ...   nun  0 S được gọi là độc lập tuyến tính tối đại của S nếu thỏa mãn hai Giả sử 1  0 ta được u1  ( 2 / 1)u2  ...  ( n / 1)un điều kiện sau: 4) Giả sử hệ v1,..., vn  độc lập tuyến tính. Khi đó hệ v1,..., vn , u 1) S là hệ độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi u là tổ hợp tuyến tính của các véc 2) Nếu thêm bất kỳ véc tơ nào của S vào S thì ta có hệ phụ tơ v1,..., vn , khi đó ta có thể biểu diễn duy nhất u  1v1  ...   nvn thuộc tuyến tính (tối đại) (): suy từ 3) (): Giả sử v1,..., vn , u phụ thuộc khi đó tồn tại các số 1,...,  n ,  Nói riêng hệ {v1, … , vn} là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của V không đồng thời bằng 0 sao cho 1v1  ...   nvn   u  0 nếu hệ {v1, … , vn} độc lập và nếu thêm bất kỳ véc tơ khác của V   Vì hệ v1,...,vn  độc lập nên   0 , do đó u   1 v1  ...  n vn ta có hệ mới là phụ thuộc   Cách viết duy nhất suy từ tính chất 1) Hạng 10/7/2017 23 10/7/2017 24 4
CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ Định lý 2.7 Định lý 2.7 1) Nếu S  là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ S thì mọi véc 2) Giả sử {v1, … , vn} là hệ con độc lập tuyến tính của một hệ tơ của S là tổ hợp tuyến tính các véc tơ của S  và cách biểu hữu hạn S. Khi đó ta có thể bổ sung thêm để được một hệ con diễn thành tổ hợp tuyến tính là duy nhất độc lập tuyến tính tối đại của S chứa {v1, … , vn} Đlý 2.6  Giả sử S '  u1,..., uk  là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ Thật vậy, nếu v1,..., vn  không tối đại thì tồn tại một véc tơ của S , ta ký S  u1,..., uk , uk 1,..., un  hiệu vn1 , sao cho hệ v1,..., vn , vn1 độc lập tuyến tính u1  1u1  0u2  ...  0uk u2  0u1  1u2  ...  0uk … uk  0u1  0u2  ...  1uk Lập luận tương tự và vì hệ S hữu hạn nên quá trình bổ sung thêm này   j  k  1,..., n hệ u1,..., uk , u j phụ thuộc và hệ u1,..., uk  độc lập sẽ dừng lại, cuối cùng ta được hệ v1,..., vn , vn1,..., vnk  độc lập tuyến tính tối đại của S Do đó u j  1u1  ...   k uk 10/7/2017 25 10/7/2017 26 CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ Ví dụ 2.15 Tìm hệ con độc lập tuyến tính tối đại hệ véc tơ 2.4.2. Hạng của một hệ hữu hạn các véc tơ u1  (3,1,4), u2  (2, 3,5), u3  (5, 2,9), u4  (1,4, 1) Định lý 2.9: Hai véc tơ u1, u2  độc lập vì không tỉ lệ Mọi hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ hữu hạn S đều có Có thể kiểm tra được: u3  u1  u2 ; u4  u1  u2 số phần tử bằng nhau 3x  2 y  5 3x  2 y  1  x  1  x  1 u3  xu1  yu2   x  3 y  2   u4  xu1  yu2   x  3 y  4   4 x  5 y  9 y 1 4 x  5 y  1  y  1 Định nghĩa   Vậy u1, u2  là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của S Số các véc tơ của một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ S Tương tự có thể kiểm tra được u1, u3, u1, u4 , u2 , u3 , u2 , u4  được gọi là hạng (rank) của S, ký hiệu r(S). cũng là các hệ con độc lập tuyến tính tối đại của S Qui ước hệ chỉ có véc tơ {0} có hạng là 0 10/7/2017 27 10/7/2017 28 CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ Ví dụ 2.12 Hệ véc tơ 2.5. CƠ SỞ, SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ Định nghĩa Mỗi hệ sinh độc lập tuyến tính của V được gọi là u1  (3,1,4), u2  (2, 3,5), u3  (5, 2,9), u4  (1,4, 1) một cơ sở của V Định lý 2.10 Các hệ con độc lập tuyến tính tối đại Giả sử {e1, … , en} là một hệ các véc tơ của V. Các mệnh đề u1, u2 u1, u3 u1, u4 sau là tương đương (i) Hệ  e1 ,..., e n  là một cơ sở của V u2 , u4 u2 , u3 (ii) Hệ  e1 ,..., e n  là hệ độc lập tuyến tính tối đại của V u3 , u4  (iii) Mọi véc tơ u  V tồn tại một cách viết duy nhất Các hệ con độc lập tuyến tính tối đại đều có 2 phần tử u  x1e1  ...  xnen , x1,..., xn   Vậy có hạng bằng 2 (x1, … , xn) được gọi là toạ độ của véc tơ u trong cơ sở {e1, … , en} Ký hiệu  u   ( x1,..., xn ) B   e1,..., en  B 10/7/2017 29 10/7/2017 30 5
CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ Ví dụ 2.16 Hai hệ véc tơ B  {e1, e2}, B   {e1, e2} Định lý 2.11 Giả sử V là không gian hữu hạn sinh và {v1, … , vk} là hệ độc lập với e1  (1, 0) , e2  (0, 1) và e1  (1,1) , e2  (4,3) tuyến tính các véc tơ của V. Khi đó có thể bổ sung thêm để có là hai cơ sở của không gian véc tơ 2 được hệ {v1, … , vk, vk1, vkm} là một cơ sở của V u  ( x, y )  2 Giả sử V có một hệ sinh có n véc tơ u  ( x, y)  ( x,0)  (0, y)  x(1,0)  y(0,1)  xe1  ye2 Nếu S   v1,..., vk  không phải là cơ sở thì S không phải là hệ sinh, do đó tồn tại véc tơ, ta ký hiệu vk 1 , sao cho hệ v1,..., vk , vk 1 độc lập tuyến tính u  ( x, y)  x ' e '1  y ' e '2  x '(1,1)  y '(4,3)  ( x ' 4 y ', x ' 3 y ') Tiếp tục quá trình này cuối cùng ta có hệ v1,..., vk , vk 1,..., vk m  độc lập tuyến tính và là hệ  x ' 4 y '  x  x '  4 y  3x    sinh, k  m  n . Vậy v1,..., vk , vk 1,..., vk m  là một cơ sở cần tìm  x ' 3 y '  y y'  x  y Mọi không gian hữu hạn sinh đều tồn tại cơ sở Vậy  u  B  ( x, y);  u  B '  (4 y  3x, x  y) Số phần tử của mọi cơ sở của đều bằng nhau Chẳng hạn u  (3,1);  u  B '  (5,2) Số véc tơ của một cơ sở của V được gọi là số chiều của V B  {e1, e2} được gọi là cơ sở chính tắc của không gian véc tơ 2 Ký hiệu dim V Quy ước dim{0}  0 10/7/2017 31 10/7/2017 32 CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ Ví dụ 2.12 Trong không gian n hệ véc tơ B   e1,..., en  Chú ý 2.14:  Không gian P   Pn là một ví dụ về không gian véc tơ không hữu e1  (1,0,...,0), e2  (0,1,...,0),..., en  (0,0,...,1) n 1 hạn sinh là một cơ sở của n gọi là cơ sở chính tắc Thật vậy, hệ 1, t, t ,.... có vô hạn véc tơ và độc lập tuyến tính nên 2 Vậy dimn  n không thể là hữu hạn sinh Định lý 2.14 Ví dụ 2.13 Giả sử dimV  n và S  v1 ,..., v m  là hệ m véc tơ của V . Khi đó: Hệ B  {1, t, … , t n} là một cơ sở của Pn (i) Nếu hệ S độc lập tuyến tính thì m  n được gọi là cơ sở chính tắc (ii) Nếu hệ S là hệ sinh của thì m  n Vậy dim Pn  n  1 (iii) Nếu m  n thì hệ S độc lập tuyến tính khi và chỉ khi S là hệ sinh 10/7/2017 33 10/7/2017 34 CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ Định lý 2.16 2) Khi thực hiện một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp sau Giả sử S là hệ hữu hạn các véc tơ của V, S0 là một hệ con của S. lên hệ S: Đặt W  spanS. Khi đó:  Nhân một số khác 0 với một véc tơ của hệ S 1) Hệ S0 là một con độc lập tuyến tính tối đại của S khi và chỉ  Cộng vào một véc tơ của hệ S một tổ hợp tuyến tính các khi S0 là một cơ sở của W, do đó r(S)  dimW. véc tơ khác của S; thì hệ S biến thành hệ S  Giả sử S0 là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của S Đặt W   span S  thì W  W , do đó r(S)  r(S )  dimW. Mọi véc tơ của W biểu diễn được thành tổ hợp tuyến tính các véc tơ của S Vì S  W do đó mọi tổ hợp tuyến tính các véc tơ của S cũng thuộc W, và đồng thời mọi véc tơ của S có thể biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính các véc tơ S0 vậy S’  W do đó W’  W Do đó S0 là một hệ sinh của W, vậy S0 là một cơ sở của W Tương tự cũng có W  W’ Ngược lại nếu S0 là một cơ sở của W thì S0 là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của W, do đó cũng là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của S Vậy W  W’  r (S )  dimW  r (S ') r (S )  số véc tơ của S0  dimW 10/7/2017 35 10/7/2017 36 6

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.