intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Toán cao cấp: Chương 3 - ThS. Nguyễn Phương

Chia sẻ: Vdgv Vdgv | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:37

Thêm vào BST
Báo xấu
325
lượt xem 66
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu chính của chương 3 Hàm nhiều biến nằm trong bài giảng toán cao cấp nhằm trình bày về: định nghĩa về hàm nhiều biến, giới hạn và liên tục của hàm hai biến, đạo hàm riêng và vi phân toàn phần, đạo hàm riêng cấp cao và vi phân toàn phần cao, cực trị địa phương, cực trị có ràng buộc, ứng dụng trong kinh tế.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp: Chương 3 - ThS. Nguyễn Phương

  1. Chương 3: HÀM NHI U BI N Th.S NGUY N PHƯƠNG Khoa Giáo d c cơ b n Trư ng Đ i h c Ngân hàng TPHCM Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com Email: nguyenphuong0122@gmail.com Yahoo: nguyenphuong1504 Ngày 11 tháng 2 năm 2014 1
  2. 1 Đ nh nghĩa hàm nhi u bi n 2 Gi i h n và liên t c hàm hai bi n 3 Đ o hàm riêng và vi phân toàn ph n Đ o hàm riêng Vi phân toàn ph n Đ o hàm riêng c a hàm h p Hàm n 4 Đ o hàm riêng c p cao và vi phân toàn ph n c p cao 5 C c tr đ a phương 6 C c tr có ràng bu c 7 ng d ng trong kinh t Ý nghĩa biên t H s co dãn T i ưu trong kinh t 2
  3. Đ nh nghĩa hàm nhi u bi n Đ nh nghĩa Cho t p D ⊂ R2 , D φ, hàm s f : D → R là m t quy t c cho tương ng m i đi m (x, y) ∈ D v i m t z ∈ R đư c g i là hàm hai bi n th c. Kí hi u: z = f(x, y). Mi n D đây đư c g i là mi n xác đ nh c a f(x, y). N u f(x, y) là m t bi u th c gi i tích theo (x, y) mà không ch rõ mi n xác đ nh thì mi n xác đ nh c a hàm f(x, y) là t p h p nh ng đi m (x, y) làm cho f(x, y) có nghĩa. Ví d x2 + y2 Tìm mi n xác đ nh c a hàm s f(x, y) = . x2 − y2 2 2 Khi đó mi n xác đ nh D là mi n sao cho x − y 0, t c là D = {(x, y)|x y, x, y ∈ R}.
  4. Gi i h n và liên t c hàm hai bi n Đ nh nghĩa Hàm f(x, y) có gi i h n là L ∈ R khi (x, y) → (x0 , y0 ), n u ∀ > 0,∃δ( , (x0 , y0 )) sao cho ∀(x, y) th a 0 < (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ thì |f(x, y) − L| < . Kí hi u: lim f(x, y) = L. (x,y)→(x0 ,y0 ) Hàm s z = f(x, y) có gi i h n là L khi (x, y) d n đ n (x0 , y0 ) có nghĩa là: Khi M(x, y) d n đ n M0 (x0 , y0 ) thì giá tr c a hàm s t i M(x, y) cũng d n đ n L. Các đ nh lý v gi i h n c a hàm hai bi n cũng tương t c a hàm m t bi n.
  5. Gi i h n và liên t c hàm hai bi n Ví d Ch ng minh r ng 1 lim (x2 + y2 ) sin = 0. (x,y)→(0,0) xy Gi i Ta nh n th y r ng 1 −(x2 + y2 ) (x2 + y2 ) sin ≤ (x2 + y2 ). xy Mà lim (x2 + y2 ) = lim (x2 + y2 ) = 0. (x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0) Do đó ta đư c 1 lim (x2 + y2 ) sin = 0. (x,y)→(0,0) xy 5
  6. Gi i h n và liên t c hàm hai bi n Ví d Ch ng minh không t n t i xy lim . (x,y)→(0,0) x2 + y2 Gi i +) V i y = x thì xy x2 1 lim = lim 2 = . (x,y)→(0,0) x2 +y 2 x→0 2x 2 +) V i y = −x thì xy −x2 1 lim 2 + y2 = lim 2 = − . (x,y)→(0,0) x x→0 2x 2 xy Vì giá tr c a hai gi i khác nhau nên gi i h n lim(x,y)→(0,0) không t n x2 + y2 t i. 6
  7. Gi i h n và liên t c hàm hai bi n Đ nh nghĩa Hàm s f : D ⊂ R2 → R đư c g i là liên t c t i đi m (x0 , y0 ) ∈ D n u lim f(x, y) = f(x0 , y0 ) (x,y)→(x0 ,y0 ) . Hàm s z = f(x, y) liên t c t i (x0 , y0 ) có nghĩa là: Khi M(x, y) d n đ n M0 (x0 , y0 ) thì giá tr c a hàm s t i M(x, y) cũng d n đ n giá tr c a hàm s t i đi m M0 (x0 , y0 ). Các tính ch t c a hàm hai bi n gi ng như hàm m t bi n. Ví d Hàm f(x, y) = sin(x2 + xy − y) là hàm liên t c vì f(x, y) là h p c a hai hàm liên t c u(x, y) = x2 + xy − y2 , g(x) = sin(x).
  8. Gi i h n và liên t c hàm hai bi n Ví d Cho hàm s  xy2    khi (x, y) (0, 0); f(x, y) =  x2 + y2   a  khi (x, y) = (0, 0). Tìm a đ f(x, y) là hàm liên t c t i (0, 0). Gi i V i (x, y) (0, 0), ta có: xy2 0≤ ≤ |x| x2 + y2 xy2 Mà lim |x| = 0 nên lim = 0 , suy ra (x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0) x2 + y2 xy2 lim(x,y)→(0,0) = 0. V y f(x, y) liên t c t i (0, 0) khi a = 0. x2 + y2 Đ nh lý (Đ nh lý Weierstrass) Hàm s f liên t c trên m t t p D đóng và b ch n thì f b ch n và đ t giá tr l n nh t và giá tr nh nh t trên D.
  9. Đ o hàm riêng và vi phân toàn ph n Đ o hàm riêng Đ nh nghĩa Cho hàm hai bi n z = f(x, y) xác đ nh trên mi n D và (x0 , y0 ) ∈ D. f(x0 + ∆x, y0 ) − f(x0 , y0 ) i) N u gi i h n lim t n t i và h u h n thì gi i ∆x→0 ∆x h n này đư c g i là đ o hàm riêng theo bi n x c a f(x, y) t i (x0 , y0 ). Kí ∂f(x0 , y0 ) hi u: f x (x0 , y0 ) hay fx (x0 , y0 ) hay . ∂x f(x0 , y0 + ∆y) − f(x0 , y0 ) ii) N u gi i h n lim t n t i và h u h n thì gi i ∆y→0 ∆y h n này đư c g i là đ o hàm riêng theo bi n y c a f(x, y) t i (x0 , y0 ). Kí ∂f(x0 , y0 ) hi u: f y (x0 , y0 ) hay fy (x0 , y0 ) hay . ∂y - Khi tính đ o hàm riêng c a hàm f(x, y) theo bi n x thì ta xem y là h ng s và tính đ o hàm tương t hàm m t bi n. - Khi tính đ o hàm riêng c a hàm f(x, y) theo bi n y thì ta xem x là h ng s và tính đ o hàm tương t hàm m t bi n.
  10. Đ o hàm riêng và vi phân toàn ph n Đ o hàm riêng Ví d Tính đ o hàm riêng c a các hàm s sau: a) z = f(x, y) = x2 y3 − 2x + 3y + 1; tìm fx (1, 0), fy (1, 2). x b) z = y y c) z = x Gi i a) Ta có + fx (x, y) = (x2 y3 − 2x + 3y + 1)x = 2xy3 − 2, suy ra fx (1, 0) = 2.1.03 − 2 = −2., + fy (x, y) = (x2 y3 − 2x + 3y + 1)y = 3x2 y2 + 3, suy ra fy (1, 2) = 3.12 .22 + 3 = 15. 1 x b) zx = , zy = − 2 . y y c) fx (x, y) = yxy−1 , fy (x, y) = xy ln x. 10
  11. Đ o hàm riêng và vi phân toàn ph n Vi phân toàn ph n Đ nh nghĩa (S gia toàn ph n) Cho hàm hai bi n z = f(x, y) xác đ nh trên mi n D ⊂ R2 và (x0 , y0 ) ∈ D. S gia toàn ph n c a f(x, y) t i (x0 , y0 ), kí hi u là ∆z hay ∆f, đư c xác đ nh như sau: ∆z = f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f(x0 , y0 ) Đ nh nghĩa Hàm s z = f(x, y) đư c g i là kh vi t i (x0 , y0 ) n u t n t i hai s A và B sao cho ∆z = A∆x + B∆y + 0(d) v i 0(d) là VCB b c cao hơn so v i d = (∆x)2 + (∆y)2 khi d → 0 (hay khi ∆x → 0 và ∆y → 0) Đ nh lý N u hàm z = f(x, y) trong lân c n c a đi m (x0 , y0 ) có các đ o hàm riêng ∂z ∂z ∂x , ∂y liên t c t i (x0 , y0 ) thì hàm z = f(x, y) kh vi t i (x0 , y0 ) và ∂f(x0 , y0 ) ∂f(x0 , y0 ) = A; = B. ∂x ∂y
  12. Đ o hàm riêng và vi phân toàn ph n Vi phân toàn ph n Đ nh nghĩa N u hàm s z = f(x, y) kh vi t i (x0 , y0 ) thì bi u th c ∂f(x0 , y0 ) ∂f(x0 , y0 ) ∆x + ∆y ∂x ∂y đư c g i là vi phân toàn ph n c a hàm f(x, y) t i đi m (x0 , y0 ), kí hi u là df(x0 , y0 ). ∂f(x0 , y0 ) ∂f(x0 , y0 ) Vì dx = ∆x, dy = ∆y nên df(x0 , y0 ) = dx + dy. ∂x ∂y Ví d 2 Cho hàm s z = e−xy . a) Tìm vi phân toàn ph n t i đi m (x, y); b) Tìm dz(−1, 2). 12
  13. Đ o hàm riêng và vi phân toàn ph n Vi phân toàn ph n T đ nh nghĩa 3.3 và đ nh lý 3.4 ta có công th c tính g n đúng c a hàm hai bi n như sau f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) ≈ f(x0 , y0 ) + df(x0 , y0 ). Ví d Tính g n đúng 1, 023,01 . Gi i Ch n hàm z = xy ta có dz = yxy−1 ∆x + xy .lnx∆y. V i x = 1, ∆x = 0, 02, y = 3, ∆y = 0, 01 ta có dx = 3.1.0, 02 + 1.ln1.0, 01 = 0, 006. Do đó, 1, 023,01 = z(1 + ∆x, 3) + ∆y) = z(1, 1) + dz ≈ 11 + 0, 06 = 1, 06. 13
  14. Đ o hàm riêng và vi phân toàn ph n Vi phân toàn ph n Đ nh lý V i hàm n−bi n z = f(x1 , . . . , xn ) có đ o hàm riêng liên t c t i đi m (x01 , . . . , x0n ) thì vi phân toàn ph n c a z t i (x01 , . . . , x0n ) là df(x01 , . . . , x0n ) = fx1 (x01 , . . . , x0n )dx1 + · · · + fxn (x01 , . . . , x0n )dxn . Ví d Tìm vi phân toàn ph n c a hàm z w = f(x, y, z) = . x2 + y2 xz yz 1 Gi i. Ta có: wx = − ; wy = − 2 ; wz = 2 (x2 + y2 )3 (x + y2 )3 x + y2 xz yz 1 Do đó dw = − 2 dx − 2 dy + 2 dz. (x + y2 )3 (x + y2 )3 x + y2
  15. Đ o hàm riêng và vi phân toàn ph n Đ o hàm riêng c a hàm h p Đ nh lý N u w = f(u1 , u2 ) v i u1 = u1 (x), u2 = u2 (x) thì dw ∂w du1 ∂w du2 = . + . dx ∂u1 dx ∂u2 dx N u w = f(x, u), u = u(x) thì dw du = wx + wu . dx dx T ng quát: N u w = f(u1 , u2 , . . . , um ), ui = ui (x) thì dw du1 du2 dum = wu1 + wu2 + · · · + wum dx dx dx dx Ví d ∂w ∂w Cho w = x2 + y2 , v i x = t2 , y = lnt. Tìm , ∂x ∂t
  16. Đ o hàm riêng và vi phân toàn ph n Đ o hàm riêng c a hàm h p Đ nh lý N u w = f(u1 , u2 ), u1 = u1 (x, y), u2 = u2 (x, y) thì ∂w ∂u1 ∂u2 = wu1 + wu2 ∂x ∂x ∂x ∂w ∂u1 ∂u2 = wu1 + wu2 ∂y ∂y ∂y T ng quát: N u w = f(u1 , u2 , . . . , um ), ui = ui (x1 , x2 , . . . , xn ) thì ∂w ∂u1 ∂u2 ∂um = wu1 + wu2 + · · · + wum ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi Ví d Cho z = u2 v + uv3 v i u = x2 − y2 , v = exy . ∂z ∂z Tìm , . ∂x ∂y 16
  17. Đ o hàm riêng và vi phân toàn ph n Hàm n Đ nh nghĩa Gi s bi n ph thu c y có quan h hàm s v i n bi n đ c l p x1 , x2 , . . . , xn đư c cho trong phương trình F(x1 , x2 , . . . , xn , y) = 0 (1) trong đó F là m t hàm s c a n + 1 bi n s (x1 , x2 , . . . , xn , y). Hàm s y = y(x1 , x2 , . . . , xn ) đư c xác đ nh gián ti p qua phương trình (1) đư c g i là hàm n. ∂F ∂F ∂y + . =0 ∂xi ∂y ∂xi ∂F ∂y ∂x = − ∂Fi ∂xi ∂y ∂F ∂x V i hàm n m t bi n y = y(x) cho b i F(x, y) = 0:yx = − ∂F ∂y 17
  18. Đ o hàm riêng và vi phân toàn ph n Hàm n Ví d Cho hàm s y = y(x) xác đ nh b i ey = x + y. Tìm yx . Gi i Ta có ey = x + y hay F(x, y) = ey − x − y = 0. Đ o hàm hai v theo x ta đư c ∂F ∂x + yx = 0. ∂x ∂y ∂F ∂F Do = −1, = ey − 1 nên ∂x ∂y 1 1 yx = = . ey − 1 x+y−1 18
  19. Đ o hàm riêng và vi phân toàn ph n Hàm n Ví d Cho z = z(x, y) xác đ nh b i xyz = x + y + z. ∂z ∂z Tìm , , dz. ∂x ∂y Gi i Ta có xyz = x + y + z hay F(x, y, z) = xyz − x − y − z = 0. Do đó ∂F ∂F ∂F = yz − 1, = xz − 1, = xy − 1 và ta đư c ∂x ∂y ∂z ∂F ∂z = − ∂x = − yz − 1 ; ∂x ∂F xy − 1 ∂z ∂F ∂z ∂y xz − 1 =− =− ; ∂y ∂F xy − 1 ∂z
  20. Đ o hàm riêng c p cao và vi phân toàn ph n c p cao Đ nh nghĩa ∂f ∂f Cho hàm s z = f(x, y) có các đ o hàm riêng c p 1 , trên t p m ∂x ∂y D ⊂ R2 , đ o hàm riêng c a các đ o hàm riêng c p 1 đư c g i là đ o hàm riêng c p 2.ê Kí hi u các đ o hàm riêng c p 2. ∂2 f ∂2 f ∂x2 = fxx = fxx = (fx )x ∂x∂y = fxy = fxy = (f x )y ∂2 f ∂2 f ∂y∂x = fyx = fyx = (f y )x ∂y2 = fyy = fyy = (fy )y Đ nh lý N u trong m t lân c n nào đó c a đi m (x0 , y0 ), hàm z = f(x, y) có các đ o hàm riêng h n h p f xy , f yx và các đ o hàm này liên t c t i (x0 , y0 ) thì f xy (x0 , y0 ) = f yx (x0 , y0 ). Ví d Cho f(x, y) = x2 y − xy4 . Tính các đ o hàm riêng c p hai c a f(x, y). Gi i.Ta có fx = 2xy − y4 ; fy = x2 − 4xy3 . Do đó, fxx = 2x; fxy = 2x − 4y3 ; fyx = 2x − 4y3 ; fyy = −12xy2 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2