Bài giảng Toán tài chính - Chương 3: Hàm nhiều biến

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:111

Thêm vào BST

Báo xấu

56
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán tài chính - Chương 3: Hàm nhiều biến" cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm hàm hai biến, tập xác định hàm hai biến, khái niệm hàm ba biến, đồ thị hàm một biến, hàm nhiều biến trong kinh tế,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán tài chính - Chương 3: Hàm nhiều biến

HÀM CHƯƠNG 3 NHIỀU BIẾN
KHÁI NIỆM HÀM HAI BIẾN Định nghĩa: Cho không gian: R2 = {(x , y ) : x , y Î R } va D Ì R2 Ánh xạ: f : D ® R (x , y ) a z = f (x , y ) Được gọi là hàm hai biến xác định trên tập hợp D Mỗi cặp (x,y)∈ tương ứng với một số thực z x, y là các biến độc lập; z là biến phụ thuộc
KHÁI NIỆM HÀM HAI BIẾN Mỗi cặp (x,y)∈ tương ứng với một số thực z x, y là các biến độc lập; z là biến phụ thuộc Tập D là miền xác định (domain) Miền giá trị (range) của hàm f   T  f  x, y   x, y   D
TẬP XÁC ĐỊNH HÀM HAI BIẾN Khái niệm. Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các cặp (x,y) sao cho giá trị biểu thức f(x,y) là số thực. Ví dụ 1. Với D = ¡ 2 và f ( x, y )  x 3  x 2  xy. Miền xác định của hàm số là cả không gian ¡ 2 . Ứng với cặp số ( x, y)  (2, 1)  D , ta có z  f (2, 1)  23  (1)2  2.(1)  5 Ứng với cặp số ( x, y)  (3, 2)  D, ta có z  f (3,2)  33  22  3.2  29. Ví dụ 2. Với mỗi hàm số sau, tìm f(3,2) và miền xác định. x  y 1 a) f  x, y   b) f  x, y   x ln  y 2  x  x 1
TẬP XÁC ĐỊNH HÀM HAI BIẾN A) Ta có: 3  2 1 6 f  3, 2    3 1 2 Tập xác định: D   x, y  x  y  1  0, x  1 b) Ta có: f  3, 2   3ln  22  3  0 Tập xác định: D  x , y  x  y 2 
VÍ DỤ 1 Tìm và vẽ tập xác định của các hàm số sau: a ) f (x , y ) = y - x2 b ) f (x , y ) = ln (2x - y + 1)
KHÁI NIỆM HÀM BA BIẾN Định nghĩa: Cho không gian: R3 = { (x , y , z ) : x , y , z Î R } va D Ì R3 Ánh xạ: f : D ® R (x , y , z ) a u = f (x , y , z ) Được gọi là hàm ba biến xác định trên tập hợp D Mỗi cặp (x,y,z)∈ tương ứng với một số thực u x, y, z là các biến độc lập; u là biến phụ thuộc Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các cặp (x,y,z) sao cho giá trị biểu thức f(x,y,z) là số thực.
ĐỒ THỊ. Định nghĩa. Nếu f là hàm hai biến với miền xác định D thì đồ thị của f là tập hợp tất cả các điểm (x,y,z) sao cho z  f  x, y   x, y   D
ĐỒ THỊ HÀM MỘT BIẾN
ĐỒ THỊ HÀM NHIỀU BIẾN f  x, y   x 2 y  2 y
ĐỒ THỊ HÀM NHIỀU BIẾN f  x, y   x 2  y 2
ĐỒ THỊ HÀM NHIỀU BIẾN f  x, y   x 3  3 x  2 y 2
ĐỒ THỊ HÀM NHIỀU BIẾN  x2  y 2 f  x, y    4 x  1 e 2
HÀM NHIỀU BIẾN TRONG KINH TẾ a) Hàm sản xuất b) Hàm tổng chi phí, tổng doanh thu, tổng lợi nhuận c) Hàm lợi ích d) Hàm cung, hàm cầu
VÍ DỤ 2 Tìm các giới hạn sau 3x2 y a) lim  x , y  0,1 x 2  y 2 b) lim  x , y 1,2  x y  x y 2 3 2  2 xy  3x 2 y 3x 2 y c) lim d ) lim  x , y 1,2  x 2  y 2  x , y  0,0  x 2  y 2 Sinh viên tự tham khảo thêm
GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Định nghĩa. Hàm số hai biến f liên tục tại (a,b) nếu lim f  x, y   f  a, b   x , y   a ,b  Hàm số f liên tục trên D nếu liên tục tại mọi điểm (a,b) trên D. Chú ý. Các hàm đa thức liên tục trên R2 , các hàm hữu tỉ liên tục trên miền xác định của nó.
VÍ DỤ 3. Tìm các khoảng liên tục của hàm số: x2  y2 f  x, y   2 x  y2
ĐẠO HÀM RIÊNG Cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định trên tập D. Xem y như hằng số ta được hàm một biến theo x. Lấy đạo hàm của hàm số này ta được đạo hàm riêng theo biến x. Tương tự ta được đạo hàm riêng theo biến y Ký hiệu: ¶f ¶ ¶z f x¢(x , y ) = f x¢ = = f (x , y ) = = D x f = z 'x ¶x ¶x ¶x ¶f ¶ ¶z fy¢(x , y ) = fy¢= = f (x , y ) = = D y f = z 'y ¶y ¶y ¶y
ĐẠO HÀM RIÊNG Đạo hàm riêng của hàm f(x,y) tại điểm (x0,y0) ¶f f (x , y 0 )- f (x 0 , y 0 ) f 'x = = lim ¶x x® x0 x- x0 ¶f f (x 0 , y )- f (x 0 , y 0 ) f 'y = = lim ¶y y ® y0 y- y0 Lấy đạo hàm riêng theo biến nào thì xem biến còn lại như hằng số và tiến hành lấy đạo hàm như hàm 1 biến.
VÍ DỤ 4. Cho hàm số z = x 3 + 3xy 2 - y 4 Đạo hàm riêng theo x (xem y là hằng số) z 'x = 3x 2 + 3y 2 Đạo hàm riêng theo y (xem x là hằng số) z 'y = 6xy - 4y 3