intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài tập phương trình lượng giác (có đáp án)

Chia sẻ: Blog 12h | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:9

Thêm vào BST
Báo xấu
3.002
lượt xem 650
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo bài tập phương trình lượng giác 12 có đáp án dành cho học sinh ôn thi đại học, cao đẳng

Chủ đề:

Bình luận(2) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập phương trình lượng giác (có đáp án)

  1. BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC  Giải phương trình: 3π  π   1) 2 2 cos 2 x + sin 2 x cos  x + ÷− 4sin  x + ÷ = 0 .  4  4 π 3π HD: (sin x + cos x) [ 4(cos x − sin x) − sin 2 x − 4 ] = 0 ⇔ x = − + kπ ; x = k 2π ; x = + k 2π 4 2 2) sin 2 3 x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x kπ  x = 2 HD: sin 2 3 x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x ⇔ cos x(cos 7 x − cos11x) = 0 ⇔  kπ x =  9 π 3π   π 2 x  2 3) 4sin  π − ÷− 3 sin  − 2 x ÷ = 1 + 2cos  x − ÷ với x ∈  0; ÷  2  2 2   4 5π 2π   x = 18 + k 3 (k ∈ Z ) (a ) π π  π 5π    HD: sin  2 x − ÷ = sin  − x ÷ ⇔  Vì x ∈  0; ÷ nên x = . 5π 2   2  3 18 x = + l 2π (l ∈ Z ) (b)  6 1 1 4) sin 2 x + sin x − − = 2cot 2 x 2sin x sin 2 x − cos 2 2 x − cos x cos 2 x = 2cos 2 x π π ⇔ cos2x = 0 ⇔ x = + k HD: Ta có  sin 2 x ≠ 0 4 2 3sin 2 x − 2sin x =2 5) sin 2 x.cos x 2(1 − cos x)sin x(2cos x − 1) = 0 π ⇔ 2cosx – 1 = 0 ⇔ x = ± + k 2π HD:  sin x ≠ 0, cos x ≠ 0 3 6) cos 2 x + 5 = 2(2 − cos x)(sin x − cos x) π HD: (cos x − sin x) 2 − 4(cos x − sin x) − 5 = 0 ⇔ x = + k 2π ∨ x = π + k 2π 2 1 + log 1 x ≥ 0 7) Tìm các nghiệm thực của phương trình sau thoả mãn : 3 sin x.tan 2 x + 3(sin x − 3 tan 2 x) = 3 3 π π HD: (sin x − 3)(tan 2 x + 3) = 0 ⇔ x = − + k ; k ∈ Z 6 2 π 5π Kết hợp với điều kiện ta được k = 1; 2 nên x = ; x = 3 6 2+3 2 8) cos3 x cos3 x − sin 3 x sin 3 x = 8 π π 2 ⇔ x=± + k HD: cos 4 x = 16 2 2 9) 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 1 “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
  2. BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC π HD: (1– sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0 ⇔ 1– sinx = 0 ⇔ x = + k 2π 2 10) Tìm nghiệm của phương trình: cos x + cos x + sin x = 2 thoả mãn : x − 1 < 3 2 3 HD: (cos x − 1)(cos x − sin x − sin x.cos x + 2) = 0 ⇔ x = k 2π . Vì x − 1 < 3 ⇔ −2 < x < 4 nên nghiệm là: x = 0 (sin 2 x − sin x + 4) cos x − 2 =0 11) 2sin x + 3 (2cos x − 1)(sin x cos x + 2) = 0 π  HD: ⇔  ⇔ x = + k 2π 2sin x + 3 ≠ 0 3  12) sin x − cos x + 4sin 2 x = 1 π HD: Đặt t = sin x − cos x , t ≥ 0 . PT ⇔ 4t 2 − t − 3 = 0 ⇔ x = k . 2 3sin 2 x − 2sin x =2 13) sin 2 x.cos x π 2(1 − cosx )(sin2 x − sin x ) = 0 ⇔ x = ± + k 2π HD:  sin x ≠ 0, cosx ≠ 0 3 1 3x 7 14) 4 cos 4 x − cos 2 x − cos 4 x + cos = 2 42  x = kπ cos 2 x = 1   3x m8π (k ; m ∈ ¢ ) ⇔ x = 8nπ HD: cos2x + cos = 2 ⇔  ⇔ 3x x = 3 cos 4 = 1 4   cos x. ( cos x − 1) 2 = 2 ( 1 + sin x ) 15) sin x + cos x π HD: ĐK: sin x ≠ − cos x ⇔ x ≠ − + mπ 4 Pt tương đương (1 + sin x)(1 − sin x)(cos x − 1) = 2(1 + sin x)(sin x + cos x) π  1 + sin x = 0 1 + sin x = 0 x = − + k 2π ⇔ ⇔ ⇔ (nhận) 2 ( 1 + sin x ) ( cos x + 1) = 0  x = π + k 2π sin x + cos x + sin x cos x + 1 = 0    2π x x x2 16) 1 + sin sin x − cos sin x = 2cos  − ÷  4 2 2 2  x = kπ  x  x 2x ⇔ x = kπ HD: PT ⇔ sin x  sin − 1÷ 2sin + 2sin + 1÷ = 0 ⇔   x = π + k 4π  2  2 2 sin 3 x.sin 3 x + cos 3 x cos3 x 1 =− π  π  17) 8 tan  x − ÷tan  x + ÷  6  3 π  π  π  π  HD: Điều kiện: sin  x − ÷sin  x + ÷cos  x − ÷cos  x + ÷ ≠ 0  6  3  6  3 π  π π  π    Ta có tan  x − ÷tan  x + ÷ = tan  x − ÷cot  − x ÷ = −1  6  3  6 6  GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 2 “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
  3. BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC 1 PT ⇔ sin 3 x.sin 3 x + cos3 x cos3 x = 8 1 − cos 2 x cos 2 x − cos 4 x 1 + cos 2 x cos 2 x + cos 4 x 1 ⇔ × + × = 2 2 2 2 8 π   x = 6 + kπ (l) 1 1 1 ⇔ 2(cos 2 x + cos 2 x cos 4 x) = ⇔ cos3 2 x = ⇔ cos 2 x = ⇔   x = − π + kπ 2 8 2   6 π Vậy phương trình có nghiệm x = − + kπ , (k ∈ Z) 6 18) sin 3 x.(1 + cot x) + cos3 x(1 + tan x) = 2sin 2 x kπ HD: ĐKXĐ: x ≠ sao cho sin 2 x ≥ 0 . 2 Khi đó, VT = sin 3 x + cos3 x + sin 2 x cos x + cos 2 x sin x = (sin x + cos x)(sin 2 x − sin x cos x + cos 2 x) + sin x cos x(sin x + cos x) = sin x + cos x sin x + cos x ≥ 0 PT ⇔ sin x + cos x = 2sin 2 x ⇔  (sin x + cos x) = 2sin 2 x (1) 2 π π (1) ⇔ 1 + sin 2 x = 2sin 2 x ⇔ sin 2 x = 1( > 0) ⇔ 2 x = + 2kπ ⇔ x = + kπ 2 4 π + 2 kπ Để thoả mãn điều kiện sin x + cos x ≥ 0 , các nghiệm chỉ có thể là: x = 4 π π   19) sin  3 x − ÷ = sin 2 x sin  x + ÷  4  4 HD: PT ⇔ sin 3 x − cos 3 x = sin 2 x(sin x + cos x) sin x + cos x = 0  tan x = −1 ⇔ (sinx + cosx)(sin2x − 1) = 0 ⇔  ⇔ sin 2 x − 1 = 0 sin 2 x = 1 π   x = − 4 + kπ π ⇔ x = ± + kπ ⇔  x = π + kπ 4   4 1 20) cos3 x − cos 2 x + cos x = 2 x HD: Nếu cos = 0 ⇔ x = π + k 2π , k ∈ Z , phương trình vô nghiệm. 2 x x • Nếu cos ≠ 0 ⇔ x ≠ π + k 2π , k ∈ Z , nhân hai vế phương trình cho 2cos ta được: 2 2 x x x x tích thành tông 7x 2cos cos3 x − 2cos cos 2 x + 2cos cos x = cos ¬  cos =0 → 2 2 2 2 2 π 2π ⇔ x= +k , k ∈ ¢ , đối chiếu điều kiện: k ≠ 3 + 7m, m∈Z . 7 7 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 3 “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
  4. BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC π  π  21) tan  x − ÷tan  x + ÷.sin 3 x = sin x + sin 2 x  6  3  π  π HD: Điều kiện: cos  x − ÷.cos  x + ÷ ≠ 0  6  3 π  π  sin  x − ÷sin  x + ÷  6  3 PT ⇒ sin 3 x = sin x + sin 2 x ⇒ – sin3x = sinx + sin2x π  π  cos  x − ÷cos  x + ÷  6  3 kπ  sin 2 x = 0 x = 2 ⇔ sin2x(2cosx + 1) = 0 ⇔  ⇔ cos x = − 1  x = ± 2π + k 2π  2   3 kπ  x = 2 Kết hợp điều kiện, nghiệm của phương trình là:   x = − 2π + 2kπ   3 21π  1 2  1 8 22) 2cos x + cos 2 ( x + 3π ) = + sin 2( x − π ) + 3cos  x + ÷+ sin x  2 3 3 3 1 − sin x = 0 HD: PT ⇔ (1 − sin x)(6cos x + sin x − 8) = 0 ⇔  ⇔ 1 − sin x = 0 6cos x + sin x − 8 = 0 1 1 23) sin 2 x + sin x − − = 2cot 2 x 2sin x sin 2 x HD: PT ⇔ − cos22x − cosxcos2x = 2cos2x và sin2x ≠ 0 π π π + kπ ⇔ x = + k ⇔ cos 2 x = 0 ∨ 2cos 2 x + cos x + 1 = 0(VN ) ⇔ cos2x = 0 ⇔ 2 x = 2 4 2 π  2 sin  − x ÷ 4  (1 + sin 2 x) = 1 + tan x 24) cos x π HD: Điều kiện cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ , k ∈ ¢ . 2 cos x − sin x cos x + sin x ( cos x + sin x ) = 2 ⇔ (cos x + sin x)(cos 2 x − 1) = 0 Ta có PT ⇔ cos x cos x π  cos x + sin x = 0 x = − + mπ ⇔ ⇔ ,m∈¢ . 4  cos 2 x − 1 = 0   x = mπ 25) tan 2 x − tan 2 x.sin 3 x + cos3 x − 1 = 0 π HD: ĐK: x ≠ = kπ . PT ⇔ tan 2 x(1 − sin 3 x) − (1 − cos3 x) = 0 2 (1 − cos x)(1 − sin x)(sin x − cos x)(sin x + cos x + sin x cos x) = 0 ⇔ GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 4 “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
  5. BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC π π π ⇔ x = k 2π ; x = + kπ ; x = + α + k 2π ; x = − α + k 2π 4 4 4 26) 2cos3 x + 3 sin x + cos x = 0 π π π kπ   HD: PT ⇔ cos  x − ÷= − cos3 x ⇔ cos  x − ÷= cos(π − 3 x) ⇔ x = +  3  3 32 sin x + cos x 1 6 6 = tan 2 x 27) cos 2 x − sin 2 x 4 π kπ HD: Điều kiện: cos 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠ + (k ∈ ¢ ) 42 3 1 PT ⇒ 1 − sin 2 2 x = sin 2 x ⇒ 3sin22x + sin2x – 4 = 0 4 4 π ⇒ sin2x = 1 ⇒ x = + kπ ( không thoả). Vậy phương trình vô nghiệm 4 2 28) cos3 x cos3 x + sin 3 x sin 3 x == 4 π π 2 HD: cos 4 x = ⇔ x = ± + k ,k ∈ Z 2 16 2 29) cot x + 3 + tan x + 2cot 2 x = 3 π HD: Điều kiện: sin x cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ k . 2 cos x − sin x 2 2 cos 2 x Ta có: 2cot 2 x = 2 =2 = cot x − tan x . sin 2 x 2sin x cos x cot x ≤ 3 π ⇔ cot x = 1 ⇔ x = + kπ , k ∈ ¢ PT ⇔ 3 + cot x = 3 − cot x ⇔  cot x − 7 cot x + 6 = 0 2 4 π  30) 2cos 2  − 3 x ÷− 4cos 4 x − 15sin 2 x = 21 4  π + kπ HD: PT ⇔ sin 3 2x − 2sin 2 2x + 3sin 2x + 6 = 0 ⇔ sin 2 x = −1 ⇔ x = − 4 1 31) (1 − 4sin 2 x) sin 3 x = 2 HD: Nhận xét: cosx = 0 không phải là nghiệm của PT. Nhân 2 vế của PT với cosx, ta được: PT ⇔ 2sin 3 x(4cos 3 x − 3cos x) = cos x ⇔ 2 sin 3 x.cos3 x = cos x π  ⇔ sin 6x = sin  − x÷ 2  π k 2π π k 2π ⇔x= + ∨ x= + 14 7 10 5 1 32) sin x + sin 2 x = 1 + cos x + cos 2 x 2 π HD: PT ⇔ (sin x − 1)(sin x + cos x + 2) = 0 ⇔ sin x = 1 ⇔ x = + k 2π . 2 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 5 “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
  6. BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC 3sin x + 3tan x − 2cos x = 2 33) tan x − sin x { cos x ≠ 0 2π 1 HD: Điều kiện: sin x ≠ 0 . PT ⇔ cos x = − ⇔ x = ± + k 2π . 3 2 2(cos x − sin x) 1 = 34) tan x + cot 2 x cot x − 1 sin x ≠ 0 π  2 HD: Điều kiện: cos x ≠ 0 . PT ⇔ cos x = ⇔ x = − + k 2π . 4 2 cot x ≠ 1  x π π  3x π  π   35) cos  − ÷+ cos  − x ÷+ cos  − ÷+ sin  2 x − ÷ = 0  2 2 2 6 3   6 x π x π x π x π xπ HD: PT ⇔ cos  − ÷+ cos 2  − ÷+ cos3  − ÷+ cos 4  − ÷ = 0 Đặt t = − , 2 6 2 6 2 6 2 6 26  t cos 2 = 0 t 5t = 0 ⇔ cos t = 0 ⇔ PT trở thành: cos t + cos 2t + cos3t + cos 4t = 0 ⇔ 4cos .cos t.cos  2 2 cos 5t = 0   2 t = (2m + 1 π ) π t = + lπ 2  π 2kπ t = +   5 5 π • Với t = (2m + 1)π ⇒ x = + (4m + 2)π 3 π 4π • Với t = + lπ + 2lπ ⇒x= 2 3 π 2kπ 11π 4kπ • Với t = + ⇒x= + 5 5 15 5 36) 2 − 3 cos 2 x + sin 2 x = 4cos 2 3 x 5π π  x = +k  5π −3  1 − 2 x ÷ = cos 6 x ⇔  48π 4π cos 2 x + sin 2 x = cos 6 x ⇔ cos  HD: PT ⇔ 5 6  2 2 x = − +l  24 2 (1 − 2sin x) cos x =3 37) (1 + 2sin x)(1 − sin x) π   x ≠ − 6 + m 2π { 1 + 2sin x ≠ 0  7π  + n 2π HD: Điều kiện: 1 − sin x ≠ 0 ⇔  x ≠ 6   x ≠ π + p 2π   2 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 6 “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
  7. BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC cos x − 2sin x.cos x = 3 ⇔ cos x − sin 2 x = 3(sin x + cos 2 x) PT ⇔ 1 − sin x + 2sin x − 2sin 2 x π π   3 1 1 3 sin x ⇔ cos  2 x − ÷ = cos  x + ÷ cos 2 x + sin 2 x = cos x − ⇔  6  3 2 2 2 2  π  x = 2 + k 2π (loaï ) i π 2π . Vậy PT có nghiệm: x = − +k ⇔ .  x = − π + k 2π 18 3 (nhaä )n  18 3 π  38) 2 sin  2 x + ÷ = 3sin x + cos x + 2  4 HD: PT ⇔ ( sin x + cos x + 1) ( 2cos x − 3) = 0 π  x = − + k 2π π  1 ⇔ ⇔ sin x + cos x = −1 ⇔ sin  x + ÷ = − 2 .   4 2  x = π + k 2π π KL: nghiệm PT là x = − + k 2π ; x = π + k 2π . 2 π  39) 2sin  2 x + ÷+ 4sin x = 1  6 HD: PT ⇔ 3 sin 2 x + cos 2 x + 4sin x − 1 = 0 ⇔ 2 3 sin x cos x − 2sin 2 x + 4sin x = 0 . π  ( ) sin  x − 3 ÷ = 1 sin x − 3 cos x = 2 ⇔ 2 3 cos x − sin x + 2 sin x = 0 ⇔  ⇔   sin x = 0 x = kπ  5π  + k 2π x= ⇔ 6  x = kπ  40) cos3 x + sin 2 x = 3 ( sin 3 x + cos 2 x ) HD: PT ⇔ cos 3 x − 3 sin 3 x = 3 cos 2 x + sin 2 x 1 3 3 1 ⇔ cos 3 x − sin 3 x = cos 2 x + sin 2 x 2 2 2 2 π  x = − + k 2π π  π   6 ⇔ cos  3 x + ÷ = cos  2 x − ÷ ⇔   x = − π + k 2π  3  6   10 5 4cos 2 2 x π π   41) tan  2 x − ÷.tan  2 x + ÷ = 4  tan x − cot x  4  GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 7 “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
  8. BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC π π   cos  2 x − ÷ ≠ 0; cos  2 x + ÷ ≠ 0 ( *) HD: Điều kiện   4  4 sin 2 x ≠ 0; tan x − cot x ≠ 0  Để ý rằng: π π π π π π       tan  2 x − ÷.tan  2 x + ÷ = − tan  − 2 x ÷.tan  2 x + ÷ = − cot  2 x + ÷.tan  2 x + ÷ = −1  4  4 4   4  4  4 4cos 2 2 x ⇔ cot x − tan x = 4cos 2 2 x Khi đó PT trở thành: −1 = tan x − cot x 2 1 − tan x 1 2 4 ⇔ ( tan 2 x − 1) = 0 2 ⇔ =4 ⇔ = 2 2 1 + tan 2 x tan 2 x 1 + tan 2 x tan x π π π ⇔ tan 2 x = 1 ⇔ 2 x = + mπ ⇔ x = + k ( k ∈ Z) : Không thoả điều kiện (*). Vậy 4 8 2 phương trình đã cho vô nghiệm. 42) 2sin 2 x + 3 sin 2 x + 1 = 3 sin x + cos x HD: PT ⇔ ( 3 sin x + cos x ) = 3 sin x + cos x ⇔ ( 3 sin x + cos x ) ( 3 sin x + cos x − 1) = 0 2  π 3   tan x = − x = − + kπ   3 sin x + cos x = 0 3 6 ⇔ ⇔ ⇔  x = k 2π ; x = 2π + k 2π π π   3 sin x + cos x − 1 = 0  sin  x + 6 ÷ = sin 6   3   cos x + cos x − 1 2 3 43) cos 2 x − tan 2 x = cos 2 x HD: Điều kiện: cos x ≠ 0 . PT ⇔ cos 2 x − tan x = 1 + cos x − (1 + tan x) ⇔ 2cos x − cos x − 1 = 0 2 2 2  x = k 2π cos x = 1 1⇔ ⇔ 2π (thoả đk) + k 2π x = ± cos x = −   3 2 π  5π   44) 5cos  2 x + ÷ = 4sin  − x ÷– 9  3 6  π π π π    HD: PT ⇔ 10sin 2  x + ÷+ 4sin  x + ÷− 14 = 0 ⇔ sin  x + ÷ = 1 ⇔ x = + k 2π .  6  6  6 3 sin x + cos x + 2 tan 2 x + cos 2 x = 0 45) sin x − cos x HD: Điều kiện: cos 2 x ≠ 0 . PT ⇔ −(sin x + cos x) 2 + 2sin 2 x + cos 2 2 x = 0 ⇔ sin 2 2 x − sin 2 x = 0 π sin 2 x = 0 ⇔ sin 2 x = 1 (loaïi ) ⇔ x = k .  2 π  46) 2sin 2  x − ÷ = 2sin 2 x − tan x  4 π HD: Điều kiện: cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ + k .π (*). 2 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 8 “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
  9. BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC π sin 2 x = 1  2 PT ⇔ 1 − cos  2 x − ÷ = 2sin x − tan x ⇔ 1– sin 2 x = tan x(sin 2 x –1) ⇔   tan x = −1  2 π π    2 x = 2 + k .2π  x = 4 + k .π π π ⇔ x = + k . . (Thỏa mãn điều kiện (*) ). ⇔ ⇔ π π 4 2  x = − + l.π  x = − + l.π   4 4  5π  − x ÷sin x = 1 47) 2 2 cos   12  5π  5π   5π  5π π  1 HD: PT ⇔ 2 sin  2 x − ÷+ sin  = 1 ⇔ sin  2 x − 12 ÷+ sin 12 = 2 = sin 4    12  12  5π  π 5π π  π  π  ⇔ sin  2 x − ÷ = sin − sin = 2 cos sin  − ÷ = sin  − ÷  12   12   12  4 12 3 π 5π π   x = + kπ = − + k 2π 2x −   5π   π  6 ( k ∈¢ ) 12 12 ⇔ sin  2 x − ÷ = sin  − ÷ ⇔  ⇔ 5π 13π 3π  12   12  x = 2 x − + k 2π + kπ =   12 12 4 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 9 “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.05: Bộ 300+ Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2022
304 tài liệu
922 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2