intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài tập phương trình lượng giác ôn thi đại học

Chia sẻ: Blog 12h | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:19

Thêm vào BST
Báo xấu
2.839
lượt xem 784
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo bài tập phương trình lượng giác 12 có đáp án dành cho các bạn học sinh ôn thi đại học, cao đẳng.

Chủ đề:

Bình luận(2) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập phương trình lượng giác ôn thi đại học

  1. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC Giải các phương trình sau 3π  π   1) 2 2 cos 2 x + sin 2 x cos  x + ÷− 4sin  x + ÷ = 0  4  4 3π π ) − 4sin( x + ) = 0 ⇔ 2 2 cos2x + sin2x cos( x + 4 4 3π 3π π π 2 2 cos2x + sin2 x(cos x.cos − sin x sin ) − 4(sin x cos + cos x sin ) = 0 4 4 4 4 ⇔ 4cos2x-sin2x(sinx+cosx)-4(sinx+cosx)=0 ⇔ (sinx+cosx)[4(cosx-sinx)-sin2x-4]=0 3π Với t=-1 ta tìm được nghiệm x là : x = k2π hoÆ x= + k2π . c 2 π 3π + kπ , x = k2π vµ x= + k2π KL: Họ nghiệm của hệ PT là: x = − 4 2 sinx+cosx=0 (2) π ⇔ + kπ . . PT (2) có nghiệm x = −  4(cosx-sinx)-sin2x-4=0 (3) 4 π Giải (3) : Đặt t = sinx-cosx= 2 sin( x − ), § iÒ kiÖ t ≤ 2 (* ) ⇒ sin2x = 1 − t 2 , thay vào (2) un 4 được PT: t2-4t-5=0 ⇔ t =-1( t/m (*)) hoặc t =5(loại ) 3π Với t =-1 ta tìm được nghiệm x là : x = k2π hoÆ x= + k2π . c 2 π 3π + kπ , x = k2π vµ x= + k2π KL: Họ nghiệm của hệ PT là: x = − 4 2 3 2) Giải phương trình sin x + s inx.cos3 x + cos 3 x = 2 2 4 2  3 1 3 pt ⇔  sinx + cos3 x ÷ + cos 2 3 x =  4 2 4   1 3  sinx + cos3 x ÷ = sin 3 x 2  2 2  32 1 ⇔  sinx + cos3 x ÷ = sin 3 x ⇔    4 2  1 3  sinx + cos3 x ÷ = − sin 3 x   2 2  π 1  3 sin  − 3 x ÷ = sin ( − x ) cos3x − sin 3x = − sinx   6  2 2 ⇔ ⇔  π 1  3 sin  6 + 3 x ÷ = sin ( − x ) cos3x + sin 3 x = − sinx    2 2 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 1
  2. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC π −5π  x = − kπ ; x = − kπ  12 12 ⇔  x = −π + kπ ; x = 5π + kπ   24 2 12 cos 2 x + cos 3 x − 1 cos 2 x − tan x = 2 3) cos 2 x ĐK cosx ≠ 0, pt được đưa về cos 2x − tan 2 x = 1 + cos x − (1 + tan 2 x) ⇔ 2cos 2 x − cos x -1 = 0 Giải tiếp được cosx = 1 và cosx = 0,5 rồi đối chiếu đk để đưa ra ĐS: 2π 2π x = k2π, x = ± + k2π; hay x = k . 3 3 4) 2 cos 3x(2 cos 2x + 1) = 1 Nhận xét x = kπ, k ∈ Z không là nghiệm của phương trình đã cho nên ta có: 2 cos 3x(3 − 4sin 2 x) = 1 ⇔ 2 cos 3x(3sin x − 4sin 3 x) = sin x ⇔ 2 cos 3x sin 3x = sin x ⇔ sin 6x = sin x 2mπ  x = 6x = x + m2π 5 ⇔ ⇔ ;m∈Z 6x = π − x + m2π π 2mπ x = +   7 7 5) : 2( tanx – sinx ) + 3( cotx – cosx ) + 5 = 0 Phương trình đã cho tương đương với : 2(tanx + 1 – sinx) + 3(cotx + 1 – cosx) = 0  sin x   cosx  ⇔ 2 + 1 − sin x ÷+  + 1 − cosx ÷ = 0  cosx   sin x  2 ( sin x + cosx − cosx.sin x ) 3 ( sin x + cosx − cosx.sin x ) ⇔ + =0 cosx sin x 2 3 ÷( cosx + sin x − cosx.sin x ) = 0 ⇔ +  cosx sin x  −3 2 3 + = 0 ⇔ tan x = = tan α ⇔ x = α + kπ • Xét cosx sin x 2 • Xét : sinx + cosx – sinx.cosx = 0 . Đặt t = sinx + cosx với t ∈  − 2; 2  . Khi đó phương trình trở thành:   t −1 2 t− = 0 ⇔ t 2 − 2t − 1 = 0 ⇔ t = 1 − 2 2 π π  1− 2   Suy ra : 2cos  x − ÷ = 1 − 2 ⇔ cos  x − ÷ = = cosβ  4  4 2 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 2
  3. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC π  6) 2 sin  2x − ÷+ 4sin x + 1 = 0.  6 π π 5π   ⇔ sin  x + ÷ = −1 ⇔ x = − + k2π Ta cã : 2 sin  2x − ÷+ 4sin x + 1 = 0. 3  6  6 ⇔ 3 sin2x – cos2x + 4sinx + 1 = 0 7) sin x + cos x = cos 2 x.(2 cos x − sin x) 3 3 ⇔ 3 sin2x + 2sin2x + 4 sinx = 0 ⇔ sinx ( 3 cosx + sinx + 2 ) = 0 π   x = 2 + kπ ⇔ sinx = 0 (1) hoÆc 3 cosx + sinx + 2 = 0 (2)  + (1) ⇔ x = kπ π KQ:  x = − + lπ (k , l , m ∈ ¢ ) 3 1  4 + (2) ⇔ cosx + sin x = −1  2 2  x = arctan 1 + mπ   2 ( ) 8) sin 2 x ( cos x + 3 ) − 2 3cos x − 3 3cos2 x + 8 3 cos x − s inx − 3 3 = 0 3 ⇔ ( 3 cos x − sin x)(−2 cos 2 x − 6 cos x + 8) = 0 π   tan x = 3  x = 3 + kπ , k ∈ Ζ ⇔  3 cos x − sin x = 0   ⇔ 2 ⇔ cos x = 1  x = k 2π cos x + 3 cos x − 4 = 0   cos x = 4(loai )  9) 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8 Phương trình đã cho tương đương với 9sinx + 6cosx – 6sinx.cosx + 1 – 2sin2x = 8  6cosx(1 – sinx) – (2sin2x – 9sinx + 7) = 0  6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) = 0  (1-sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0 1 − sin x = 0  6 cos x + 2 sin x − 7 = 0 (VN ) π x = + k 2π 2 4 + 2sin 2 x 3 + − 2 3 = 2(cotg x + 1) 10) 2 sin 2 x cos x Phương trình đã cho tương đương với: ( )4 3 1 + tg2 x + − 2 3 = 2cotg x sin 2 x 2(sin 2 x + cos 2 x) 2 ⇔ 3tg x + − 3 = 2cotg x sin x cos x ⇔ 3tg2 x + 2tg x − 3 = 0 π   tg x = − 3 x = − + kπ   3 ⇔ 1  tg x =  x = π + kπ   3   6 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 3
  4. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC π π KL: So sánh với điều kiện phương trình có nghiệm : x = + k ; k∈Z 6 2 π 11) sin 4 x + cos 4 x = 4 2 sin ( x + ) −1 4 ⇔ (cos x + sin x) (cos x – sin x) (sin 2x + cos 2x) = 2(sin x + cos x) π  s inx + cos x = 0 x = − + kπ  ⇔ ⇔ 4  (cos x − sinx)(sin 2 x + cos2 x) = 2 cos3 x − sinx = 2 Chứng minh được phương trình cos 3x – sin x = 2 vô nghiệm π + kπ KL: x = − 4 12) 2 cos 6 x + 2 cos 4 x - 3 cos 2 x = sin 2 x + 3 cos x = 0 cos x=0 ⇔ 4cos5xcosx = 2sinxcosx + 2 3 cos x ⇔  cos5x=cos(x- π ) 2  2cos5x =sinx+ 3 cos x  6 π  x = + kπ  2  π kπ ⇔ x = − +  24 2   x = π + k 2π   42 7 x 4cos3xcosx - 2cos4x - 4cosx + tan t anx + 2 13) 2 =0 2sinx - 3 x 3 và cos ≠ 0 và cosx ≠ 0 Điều kiện: s inx ≠ 2 2 cosx = 1 Biến đổi pt về: 4cos x - 4 cos x – cosx + 1 = 0 ⇔  3 2 cosx = ± 1  2 14) 1 + 3 (sinx + cosx) + sin2x + cos2x = 0 Phương trình đã cho tương đương với ( 3 s inx + sin 2 x) +  3 cos x + (1 + cos2 x)  = 0   ⇔ ( 3 s inx + 2s inx.cos x) + ( 3 cos x + 2cos 2 x) = 0 ⇔ s inx( 3 + 2 cos x) + cos x( 3 + 2 cos x) = 0  3 cos x = − ⇔ ( 3 + 2 cos x)(s inx + cos x) = 0 ⇔  2 s inx = − cos x  GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 4
  5. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC  5π  x = ± 6 + k 2π  5π x = ± + k 2π ⇔ ⇔ ,k ∈ Z 6   x = − π + kπ  t anx = −1   4 15) 4sin 3 x.cos3x + 4co s 3 x.sin 3x + 3 3cos4x = 3 Phương trình đã cho tương đương với phương trình : 1. Phương trình : 4 sin 3 x.cos3x + 4co s3 x.sin 3x + 3 3 co s4x = 3 ⇔ 4[(1 − co s 2 x) sin x.cos3x + (1 − sin 2 x)co s x.sin 3x ] + 3 3 co s 4x = 3 ⇔ 4[( sin x.cos3x + co s x.sin 3x) − cos x sin x(co sx.cos3x + sin x.sin 3x)] + 3 3 co s4x = 3   1 1 ⇔ 4[ sin 4x − sin 2x.co s2x ] + 3 3 co s4x = 3 ⇔ 4  sin 4x − sin 4x ÷+ 3 3 co s4x = 3 ⇔ 3sin 4x + 3 3 co s4x = 3 2  4  π π 1 3 1 ⇔ sin 4x + 3 co s4x = 1 ⇔ sin 4x + co s 4x = ⇔ sin(4x + ) = sin 2 2 2 3 6 ππ ππ π π π      4x + 3 = 6 + k2π  4x + 3 = 6 + k2π  4x = − 6 + k2π  x = − 24 + k 2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ (k ∈ Z)  4x + π = 5π + k2π  4x + π = 5π + k2π x = π + k π  4x = π + k2π         36 36 8 2 2 π 16) : sin2x + (1 + 2cos3x)sinx - 2sin 2 (2x+ )=0 4 π sin2x + (1+2cos3x)sinx – 2sin(2x + )=0 4 π ⇔ sin2x + sinx + sin4x – sin2x = 1 – cos(4x + ) ⇔ sinx + sin4x = 1+ sin4x ⇔ sinx = 1 2 π + k2 π , k ∈ Z ⇔x= 2 cos 2 x 1 17) T×m x ∈ (0; π ) tho¶ m·n ph¬ng tr×nh: cot x - 1 = + sin 2 x − sin 2 x . 1 + tan x 2 sin 2 x ≠ 0 sin 2 x ≠ 0 ⇔ §K:  sin x + cos x ≠ 0 tan x ≠ −1 cos x − sin x cos 2 x. cos x + sin 2 x − sin x cos x Khi ®ã pt ⇔ = cos x + sin x sin x cos x − sin x = cos 2 x − sin x cos x + sin 2 x − sin x cos x ⇔ sin x ⇔ cos x − sin x = sin x(1 − sin 2 x) ⇔ (cos x − sin x)(sin x cos x − sin 2 x − 1) = 0 ⇔ (cos x − sin x)(sin 2 x + cos 2 x − 3) = 0 π ⇔ cos x − sin x = 0 ⇔ tanx = 1 ⇔ x = + kπ (k ∈ Z ) (tm) 4 π x ∈ ( 0; π ) ⇒ k = 0 ⇒ x = 4 2 π x x x2 17) 1 + sin sin x − cos sin x = 2 cos  −  2 2  4 2 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 5
  6. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC (1) ⇔ 1+ sin x sinx − cosx sin2 x = 1+ cos π − x  = 1 + sinx   2 2 2  x  x x x x x ⇔ sinx sin − cos sinx − 1 = 0 ⇔ sinx sin − cos .2sin cos − 1 = 0 2 2 2 2 2 2   x  x x ⇔ sinx sin − 1 2 sin2 + 2 sin + 1 = 0  2  2 2  sin x = 0  x = kπ   x = kπ sin x = 1 ⇔ x π ⇔ ⇔ ⇔ x = kπ, k ∈ Z  = + k2π 2  x = π + k4π 2 2  x x 2sin2 + 2sin + 1  2 2 18) 2cos4x - ( - 2)cos2x = sin2x + biết x∈ [ 0 ; π ]. Phương trình đã cho tương đương với 2(cos4x + cos2x) = (cos2x + 1) + sin2x cosx=0 ⇔ 4cos3xcosx=2 3cos 2 x + 2s inxcosx ⇔   2cos3x= 3cosx+sinx π + cosx=0 ⇔ x= + kπ 2 π  3x=x- 6 + k 2π π + 2cos3x= 3cosx+sinx ⇔ cos3x=cos(x- ) ⇔  3x = π − x + k 2π 6   6 π   x = − 12 + kπ π 11π π 13π vì x ∈ [ 0; π ] ⇒ x = , x = ⇔ ,x = ,x =  x = π + kπ 2 12 24 24   24 2 cos x. ( cos x − 1) 2 = 2 ( 1 + sin x ) . 19) sin x + cos x ĐK: sin x + cos x ≠ 0 Khi đó PT ⇔ ( 1 − sin x ) ( cos x − 1) = 2 ( 1 + sin x ) ( sin x + cos x ) 2 ⇔ ( 1 + sin x ) ( 1 + cos x + sin x + sin x.cos x ) = 0 ⇔ ( 1 + sin x ) ( 1 + cos x ) ( 1 + sin x ) = 0 sin x = −1 ⇔ (thoả mãn điều kiện) cos x = −1 π  x = − + k 2π ⇔ ( k , m ∈ Z) 2   x = π + m2π π ( k , m ∈ Z) + k 2π và x = π + m2π Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x = − 2 1 3 sin 2 x + sin 2 x = tan x 20) 2 π * Đk: cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ . 2 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 6
  7. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC s inx PT đã cho ⇔ 3 sin2x + sinxcosx - =0 cos x 1 ⇔ sinx( * 3 sinx + cosx - )=0 cos x s inx = 0 ⇔  3 s inx + cos x − 1 = 0  cosx * Sinx = 0 ⇔ x = k π . 1 1 = 0 ⇔ 3 tanx + 1 - * 3 sinx + cosx - =0 cos 2 x cos x  x = kπ  t anx = 0 ⇔ ⇔ tan x - 3 tanx = 0 ⇔   x = π + kπ 2  t anx = 3  3 π Vậy PT có các họ nghiệm: x = k π , x = + kπ 3 21) 3 sin 2 x.( 2 cos x + 1) + 2 = cos 3 x + cos 2 x − 3 cos x. Pt ⇔ 3 sin 2 x(2 cos x + 1) = (cos 3x − cos x) + (cos 2 x − 1) − (2 cos x + 1) ⇔ 3 sin 2 x (2 cos x + 1) = −4 sin 2 x cos x − 2 sin 2 x − (2 cos x + 1) ⇔ (2 cos x + 1)( 3 sin 2 x + 2 sin 2 x + 1) = 0 π • 3 sin 2 x + 2 sin 2 x + 1 = 0 ⇔ 3 sin 2 x − cos 2 x = −2 ⇔ sin( 2 x − ) = −1 6 π ⇔ x = − + kπ 6 2π   x = 3 + k 2π • 2 cos x + 1 = 0 ⇔  (k ∈ Z )  x = − 2π + k 2π   3 2π 2π π + k 2π và x = − + kπ (k∈ Z ) + k 2π ; x = − Vậy phương trình có nghiệm: x = 3 3 6 2 3 cos 2 x + 2sin 3 x cos x − sin 4 x − 3 =1 22) 3 sin x + cos x ĐK: • Với ĐK trên PT đã cho tương đương với Đối chiếu ĐK ta được nghiệm của pt đã cho là 1 − 2cos 2 x + 2 tan 2 x + cot 3 4 x = 3 23) s inx.cos x +) ÑK: sin4x ≠ 0 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 7
  8. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC +) PT ⇔ cot 3 4x − 4cot 4x − 3 = 0  cot 4x = 1 ⇔  cot 4x = 1 ± 13   2 π  24) tan x = 2 cos x cos  x − ÷  4 ĐK: x ≠ lπ (l ∈ ¢ ) PT ⇔ tanx = cosx(sinx + cosx) ⇔ sinx = cos2x(sinx + cosx) ⇔ sinx(sin2x + cos2x) = cos2x(sinx + cosx) π + kπ (k ∈ ¢ ) (Thoả mãn) ⇔ sin3x = cos3x ⇔ sinx = cosx ⇔ x = 4 (2 − 3 ) cos 2 x − 2 sin 13π   x − 2  25)  4 = −1 4 sin 2 x −1 π 1 Đk 4sin 2 x − 1 ≠ 0 ⇔ cos 2x ≠ ⇔ x ≠ ± + kπ, k ∈ ¢ 2 6 π ( )  Phương trình đã cho tương đương với 2 − 3 cos 2x − 1 + cos  2x − ÷ = 2 cos 2x − 1  2 π π π ⇔ sin 2x − 3 cos 2x = 0 ⇔ tan 2x = 3 ⇔ 2x = + kπ ⇔ x = + k , k ∈ ¢ . 3 6 2 2π   x = 3 + k2π ,k ∈¢ . Kết hợp với điều kiện ta có   x = 5π + k2π   3 ( ) 5sin 2 x − 4 sin 4 x + cos 4 x + 6 26) =0 2 cos 2 x + 3 5π 5π + k 2π ⇔ x ≠ ± + kπ , k ∈ Z Điều kiện: 2cos2 x + 3 ≠ 0 ⇔ 2 x ≠ ± 6 12 ( 1) ⇔ 5sin 2 x − 4 1 − 12 sin 2 x ÷+ 6 = 0  2   ⇔ 2sin x + 5sin 2 x + 2 = 0(2) 2 t = −2 ( loai ) Đặt sin2x=t, Đk: t ≤ 1 ( 2 ) ⇔ 2t + 5t + 2 = 0 ⇔  2 t = − 1 ( TM )   2 π π    x = − 12 + k 2π ( tm )  2 x = − 6 + k 2π Khi t=1/2=>sin2x=-1/2 ⇔  ,k ∈Z ⇔  ,k ∈Z  2 x = 7π + k 2π  x = 7π + k 2π ( l )     6 12 ( ) 27) 2sin x + 2 3 sin x cos x + 1 = 3 cos x + 3 sin x 2 3  1  ( ) 1 3 2 + 3 sin 2 x − cos 2 x = 3 cos x + 3 sin x ⇔1 +   2 sin 2 x − 2 cos 2 x ÷ = 3  2 cos x + 2 sin x ÷ ÷ ÷     GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 8
  9. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC 2π  π π π   2  ⇔ 1 + cos  2 x − ÷ = 3cos  x − ÷⇔ 2 cos  x − ÷ = 3cos  x − ÷  3  3  3  3 π ππ 5π  ⇔ cos  x − ÷ = 0 ⇔ x − = + kπ ⇔ x = + kπ  3 32 6 28) 4cos 4 x − 4 3cos3 x + cos 2 x + 3 sin 2 x + 3 = 0 ( )( ) ⇔ 4 cos 4 x − 4 3 cos 3 x + 3cos 2 x + cos 2 x + 2 3 sin x.cos x + 3sin 2 x = 0 ⇔ ( 2 cos ) + ( cos x + ) 2 2 x − 3 cos x =0 2 3 sin x 2 π ( )  2 ⇔ cos 2 x 2 cos x − 3 + 4 cos  x − ÷= 0  3 cos 2 x = 0   2 π  vo no cos  x − ÷= 0    3  x = ± π + k 2π ⇔  ⇔   6 3  cos x = π x = − + l π  2     6 2 π cos  x −  = 0  ÷   3  π ⇔ x = − + k 2π, k ∈¢ 6 2π x x x2 29) 1 + sin sin x - cos sin x = 2cos  - ÷  4 2 2 2 2π x x x2 1 + sin sin x − cos sin x = 2 cos  −  (1)  4 2 2 2 (1) ⇔ 1+ sin x sinx − cosx sin2 x = 1+ cos π − x  = 1 + sinx   2 2 2     x x x x x x ⇔ sinx sin − cos sinx − 1 = 0 ⇔ sinx sin − cos .2sin cos − 1 = 0 2 2 2 2 2 2   x  x x ⇔ sinx sin − 1 2 sin2 + 2 sin + 1 = 0  2  2 2  sin x = 0  x = kπ   x = kπ sin x = 1 ⇔ x π ⇔ ⇔ ⇔ x = kπ, k ∈ Z  = + k2π 2  x = π + k4π 2 2  x x 2sin2 + 2sin + 1  2 2 1 8 12 30) 2 cos x + cos ( x + 3π ) = + sin 2( x − π) + 3cos( x + 10,5π) + sin x 2 3 3 3 TX§: ¡ ; Trªn ®ã PT đã cho tương đương với PT 6 cos x + cos 2 x = 8 + 3si n 2 x − 9sin x + s in 2 x (1) (1) ⇔ 6 cos x − 6sin x cos x + cos 2 x − sin 2 x + 9sin x − 8 = 0 ⇔ 6 cos x(1 − s inx) + 2 − 2sin 2 x + 9sin x − 9 = 0 ⇔ (1 − sin x)(6 cos x + 2sin x − 7) = 0 π sin x = 1 ⇔ x = + k 2π (k ∈ ¢ ) 2 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 9
  10. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC PT 6cosx + 2sinx - 7 = 0 v« nghiÖm v× 62 + 22 < 72. VËy nghiÖm cña PT ®· cho lµ π x= + k 2π (k ∈ ¢ ) 2 ( ) 31) 8 sin x + cos x + 3 3 sin 4 x = 3 3cos 2 x − 9sin 2 x + 11 6 6 3 ( sin x + cos 6 x ) = 1 − sin 2 2 x (1) 6 4 Thay (1) vµo ph¬ng tr×nh (*) ta cã : 8 ( sin 6 x + cos 6 x ) + 3 3 sin 4 x = 3 3cos 2 x − 9sin 2 x +11 3  ⇔ 8 1 − sin 2 2 x ÷+ 3 3 sin 4 x = 3 3cos 2 x − 9 sin 2 x + 11 4  ⇔ 3 3 sin 4 x − 3 3cos 2 x = 6sin 2 2 x − 9sin 2 x + 3 ⇔ 3 sin 4 x − 3cos 2 x = 2sin 2 2 x − 3sin 2 x + 1 ⇔ 3cos 2 x. ( 2sin 2 x − 1) = (2sin 2 x − 1)(sin 2 x − 1) ( ) ⇔ ( 2sin 2 x − 1) 3cos 2 x − sin 2 x + 1 = 0  2sin 2 x − 1 = 0  2sin 2 x = 1 (2) ⇔ ⇔  3cos 2 x − sin 2 x + 1 = 0 sin 2 x − 3cos 2 x = 1 (3) Π Π    x = 12 + k Π x = + kΠ 4 (k ∈ Z ) (k ∈ Z )   Gi¶i (2) : ; Gi¶i (3)  x = 5Π + k Π 7Π x = + kΠ     12 12 KÕt luËn : 1 + s inx 1 32) sin x + − sin 2 x = cosx 2 cosx 2 ĐK: cosx ≠ 0 . PT ⇔ (1 + sinx + cosx)sin2x = 0 nghiệm x = k π 33) : tan 3 x − 2 tan 4 x + tan 5 x = 0 với x ∈ (0; 2π ) . ĐK: cos 3x ≠ 0;cos 4 x ≠ 0;cos5 x ≠ 0 . Phương trình cho  cos 2 4 x − cos 3 x.cos 5 x  sin 8 x 2sin 4 x ⇔ − =0 ⇔ 2sin 4 x  ÷= 0 cos 3x.cos 5 x cos 4 x  cos 3x.cos 4 x.cos 5 x     1 + cos8 x − cos 2 x − cos8 x  2sin 2 x ⇔ sin 4 x  ÷= 0 ⇔ sin 4 x  ÷= 0  cos 3 x.cos 4 x.cos 5 x   cos 3 x.cos 4 x.cos 5 x  π  sin 4 x = 0 x = k 4 , k ∈¢ ⇔ x = k π , k ∈¢ ⇔ ⇔  sin x = 0 4  x = kπ Do x ∈ (0; 2π ) nên phương trình cho có nghiệm là π 5π 3π 7π x = ;x = π;x = ;x = ;x = 4 4 2 4 ( ) 34) 2sin x + 2 3 sin x cos x + 1 = 3 cos x + 3 sin x 2 3  1  ( ) 1 3 2 + 3 sin 2 x − cos 2 x = 3 cos x + 3 sin x ⇔1 +  sin 2 x − cos 2 x ÷ = 3  cos x + sin x ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 2     GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 10
  11. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC 2π  π π π   2  ⇔ 1 + cos  2 x − ÷ = 3cos  x − ÷⇔ 2 cos  x − ÷ = 3cos  x − ÷  3  3  3  3 π ππ 5π  ⇔ cos  x − ÷ = 0 ⇔ x − = + kπ ⇔ x = + kπ  3 32 6 35) sin 2 x − cos 2 x + 3 sin x + 5 cos x − 4 = 0 +Phong tr×nh ⇔ 2 sin 2 x + 3 sin x − 5 + cos x(2 sin x + 5) = 0 ⇔ (sin x − 1)(2 sin x + 5) + cos x (2 sin x + 5) = 0 ⇔ (2 sin x + 5)(sin x + cos x − 1) = 0 ππ  x + 4 = 4 + k 2π  5 π sin x = − (l ) 1 ⇔ ⇔ sin( x + ) = ⇔ (k ∈ Z ) 2   x + π = 3π + k 2π 4 2 sin x + cos x = 1    4 4  x = k 2π   x = π + k 2π  2 π +VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = kπ ; x = + k 2π 2 2(cos x − sin x) 1 = 36) tan x + cot 2 x cot x − 1 Điều kiện:sinx.cosx ≠ 0 và cotx ≠ 1 Phơng trình tơng đơng 2(cos x − sin x) 1 = sin x cos 2 x cos x + −1 cos x sin 2 x sin x π ⇒ cosx = 2 ⇒ x = ± + k 2π 4 2 π + k 2π Đối chiếu điều kiện pt có 1 họ nghiệm x = − 4 π  − 2 x  + 3 cos 4 x = 4 cos 2 x − 1 2 37) 2 cos  4  π  Phương trình tương đương với ⇔ 1 + cos  − 4 x ÷+ 3 cos 4 x = 4 cos 2 x − 1 2  π  1 3 ( ) ⇔ sin 4 x + 3 cos 4 x = 2 2 cos 2 x − 1 ⇔ sin 4 x + cos 4 x = cos 2 x ⇔ cos  4 x − ÷ = cos 2 x  6 2 2 π   x = 12 + kπ (k∈¢ ) ⇔  x = π + kπ  36 3  π12 1 8 38) 2 cos x + cos (π + x) = + sin 2 x + 3cos( x + ) + sin x 2 3 3 23 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 11
  12. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC 1 8 1 cos 2 x = + sin 2 x − 3s inx+ sin 2 x ⇔ 6cosx+cos 2 x = 8 + 6s inx.cosx-9sinx+sin 2 x ⇔ 2cosx+ 3 3 3 7 ⇔ 6cosx(1-sinx)-(2sin 2 x − 9s inx+7) = 0 ⇔ 6cosx(1-sinx)-2(s inx-1)(s inx- ) = 0 2 1 − s inx=0 (1)  π  ⇔ (1-sinx)(6cosx-2sinx+7) = 0 ⇔  ⇔ x = + k 2π ;(k ∈ Z ) 6cosx-2sinx+7=0(2) 2  (p/t (2) vô nghiệm ) 39) sin 2 x − 2 2(s inx+cosx)=5 ⇒ sin2x = t2 - 1 ⇒ ( I ) Đặt sinx + cosx = t ( t ≤ 2 ). ⇔ t 2 − 2 2t − 6 = 0 ⇔ t = − 2 ) π +Giải được phương trình sinx + cosx = − 2 … ⇔ cos( x − ) = −1 4 5π + k 2π ( k∈ Z ) hoặc dưới dạng đúng khác + Lấy nghiệm Kết luận : x = 4 cos 2 x 1 40) T×m x ∈ (0; π ) tho¶ m·n ph¬ng tr×nh: cot x - 1 = + sin 2 x − sin 2 x . 1 + tan x 2 sin 2 x ≠ 0 sin 2 x ≠ 0 ⇔ §K:  sin x + cos x ≠ 0 tan x ≠ −1 cos x − sin x cos 2 x. cos x + sin 2 x − sin x cos x Khi ®ã pt ⇔ = cos x + sin x sin x cos x − sin x = cos 2 x − sin x cos x + sin 2 x − sin x cos x ⇔ sin x ⇔ cos x − sin x = sin x(1 − sin 2 x) ⇔ (cos x − sin x)(sin x cos x − sin 2 x − 1) = 0 ⇔ (cos x − sin x)(sin 2 x + cos 2 x − 3) = 0 π ⇔ cos x − sin x = 0 ⇔ tanx = 1 ⇔ x = + kπ (k ∈ Z ) (tm) 4 π x ∈ ( 0;π ) ⇒ k = 0 ⇒ x = 4 41) 3 (2cos2x + cosx – 2) + (3 – 2cosx)sinx = 0 Phương trình đã cho tương đương với phương trình : nπ    x = ( −1) 3 + nπ, n ∈ ¢ 3 sin x = ( 2sin x − 3 ) ( ) ⇔ 3 sin x + cos x = 0 ⇔  2  x = − π + kπ , k ∈ ¢  3 sin x + cos x = 0    6 π  42) cos x + cos3x = 1 + 2 sin  2x + ÷  4 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 12
  13. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC π  1. cos x + cos3x = 1 + 2 sin  2x + ÷ ⇔ 2cos x cos 2x = 1 + sin 2x + cos2x  4 ⇔ 2cos x + 2sin x cos x − 2cos x cos 2x = 0 ⇔ cos x ( cos x + sinx − cos 2x ) = 0 2  π  x = + kπ 2 cos x = 0  π   ⇔ cos x ( cos x + sinx ) ( 1 + sinx − cosx ) = 0 ⇔ cos x + sinx = 0 ⇔ x = − + kπ 4 1 + s inx − cosx = 0    π 1 sin  x − 4 ÷ = −   2 π   x = 2 + kπ π  x = + kπ    x = − π + kπ 2   π  4 ⇔ ⇔  x = − + kπ  x − π = − π + k2π 4   x = k2π  4 4   π 5π  x − = + k2π  44 sin 4 2 x + cos 4 2 x = cos 4 4 x 43) π π − x).tan( + x) tan( 4 4 π π +) ĐK: x ≠ + k ,k ∈Z 4 2 π π π π +) tan( − x) tan( + x) = tan( − x) cot( − x) = 1 4 4 4 4 1 11 sin 4 2 x + cos 4 2 x = 1 − sin 2 4 x = + cos 2 4 x 2 22 pt ⇔ 2 cos 4 4 x − cos 2 4 x − 1 = 0 π +) Giải pt được cos24x = 1 ⇔ cos8x = 1 ⇔ x = k và cos24x = -1/2 (VN) 4 π +) Kết hợp ĐK ta được nghiệm của phương trình là x = k ,k ∈ Z 2 2 π x x x2 44) 1 + sin sin x − cos sin x = 2 cos  −  2 2  4 2 π x  x x 1 + sin sin x − cos sin 2 x = 2 cos 2  −  (1)  4 2 2 2 (1) ⇔ 1+ sin x sinx − cosx sin2 x = 1+ cos π − x  = 1 + sinx   2 2 2     x x x x x x ⇔ sinx sin − cos sinx − 1 = 0 ⇔ sinx sin − cos .2sin cos − 1 = 0 2 2 2 2 2 2   x  x x ⇔ sinx sin − 1 2 sin2 + 2 sin + 1 = 0  2  2 2 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 13
  14. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC  sin x = 0  x = kπ   x = kπ x ⇔ x π ⇔ sin = 1 ⇔ ⇔ x = kπ, k ∈ Z  = + k2π 2  x = π + k4π 2 2  x x 2sin2 + 2sin + 1  2 2 2 ( cos x − sin x ) 1 45) = tan x + cot 2 x cot x − 1 cos x.sin 2 x.sin x. ( tan x + cot 2 x ) ≠ 0   cot x ≠ 1  2 ( cos x − sin x ) 1 cos x.sin 2 x = ⇔ = 2 sin x Từ (1) ta có: sin x cos 2 x cos x cos x + −1 cos x sin 2 x sin x ⇔ 2sin x.cos x = 2 sin x π  x = + k 2π  2 4 ( k ∈¢ ) ⇔ cos x = ⇔  x = − π + k 2π 2   4 π + k 2π ( k ∈ ¢ ) Giao với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là x = − 4 46) 1 + tan 2 x = ( sin x − cos x ) 2 cos 2 2 x 47) sin x + sin 2 x + sin 3 x + sin 4 x = cos x + cos 2 x + cos3 x + cos 4 x TXĐ: D =R sin x + sin 2 x + sin 3 x + sin 4 x = cos x + cos 2 x + cos 3 x + cos 4 x sin x − cosx = 0 ⇔ (sin x − cosx).[ 2 + 2(sin x + cosx) + sin x.cosx ] = 0 ⇔   2 + 2(sin x + cosx) + sin x.cosx = 0 π + Với sin x − cosx = 0 ⇔ x = + kπ (k ∈ Z ) 4 + Với 2 + 2(sin x + cosx) + sin x.cosx = 0 , đặt t = sin x + cosx (t ∈  − 2; 2  )    t = −1 được pt : t2 + 4t +3 = 0 ⇔  t = −3(loai ) π   x = 4 + kπ ( k ∈ Z )  x = π + m2π  t = -1 ⇒  (m ∈ Z )  x = π + m2π (m ∈ Z ) π  x = − + m2π  π  2  x = − + m2π  2 48) (2cosx-1)(2sinx+cosx)=sin2x-sinx GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 14
  15. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC ⇔ (2cosx-1)(sinx+cosx)=0  2 cos x − 1 = 0 (1) ⇔ sin x + cos x = 0 (2) π 1 (1) ⇔ cos x = ⇔ x = ± + k .2π 2 3 π (2) ⇔ tan x = −1 ⇔ x = − + kπ (k ∈ Z) 4 π π + k .2π , x = − + kπ (k ∈ Z) Vậy nghiệm cña phương trình lµ x = ± 3 4 π 49) cos x + cos 3 x = 1 + 2 sin( 2 x + ) 4 cos 2 x 1 + sin 2 x − sin 2 x . 50) cotx – 1 = 1 + tan x 2 sin 2 x ≠ 0 sin 2 x ≠ 0 ⇔ ®K:  sin x + cos x ≠ 0 tan x ≠ −1 cos x − sin x cos 2 x. cos x + sin 2 x − sin x cos x PT ⇔ = cos x + sin x sin x cos x − sin x = cos 2 x − sin x cos x + sin 2 x − sin x cos x ⇔ sin x ⇔ ⇔ cos x − sin x = sin x(1 − sin 2 x) (cos x − sin x)(sin x cos x − sin 2 x − 1) = 0 ⇔ (cos x − sin x)(sin 2 x + cos 2 x − 3) = 0 cos x − sinx = 0 π ⇔ (cos x − sinx)( 2 sin(2 x + ) − 3) = 0 ⇔   2 sin(2 x + π ) = 3(voly ) 4  4 π x ∈ ( 0;π ) ⇒ k = 0 ⇒ x = 4 ( )  π 4 4 51) Tìm m để phương trình 2 sin x + cos x + cos 4 x + 2sin 2 x − m = 0 có nghiệm trên 0;  .  2 Do đó ( 1) ⇔ −3sin 2 2 x + 2sin 2 x + 3 = m .  π Đặt t = sin 2 x . Ta có x ∈  0;  ⇒ 2 x ∈ [ 0; π ] ⇒ t ∈ [ 0;1] .  2 Suy ra f ( t ) = −3t 2 + 2t + 3 = m, t ∈ [ 0;1] Ta có bảng biến thiên GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 15
  16. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC  π 10 Từ đó phương trình đã cho có nghiệm trên 0;  ⇔ 2 ≤ m ≤  2 3 1 3 sin 2 x + sin 2 x = tan x 52) 2 π * Đk: cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ . 2 s inx PT đã cho ⇔ 3 sin2x + sinxcosx - =0 cos x 1 ⇔ sinx( * 3 sinx + cosx - )=0 cos x s inx = 0 ⇔  3 s inx + cos x − 1 = 0  cosx ⇔ x = kπ . * Sinx = 0 1 1 = 0 ⇔ 3 tanx + 1 - * 3 sinx + cosx - =0 cos 2 x cos x  x = kπ  t anx = 0 ⇔ ⇔ tan x - 3 tanx = 0 ⇔   x = π + kπ 2  t anx = 3  3 π Vậy PT có các họ nghiệm: x = k π , x = + kπ 3 53) 3 sin 2 x.( 2 cos x + 1) + 2 = cos 3 x + cos 2 x − 3 cos x. Pt ⇔ 3 sin 2 x(2 cos x + 1) = (cos 3x − cos x) + (cos 2 x − 1) − (2 cos x + 1) ⇔ 3 sin 2 x (2 cos x + 1) = −4 sin 2 x cos x − 2 sin 2 x − (2 cos x + 1) ⇔ (2 cos x + 1)( 3 sin 2 x + 2 sin 2 x + 1) = 0 π 3 sin 2 x + 2 sin 2 x + 1 = 0 ⇔ 3 sin 2 x − cos 2 x = −2 ⇔ sin(2 x − ) = −1 6 π + kπ ⇔x=− 6 2π  + k 2π x=  3 • 2 cos x + 1 = 0 ⇔  (k ∈ Z )  x = − 2π + k 2π   3 2π 2π π + k 2π và x = − + kπ (k∈ Z ) + k 2π ; x = − Vậy phương trình có nghiệm: x = 3 3 6 54) 2 cos 5 x. cos 3x + sin x = cos 8 x , (x ∈ R) PT ⇔ cos2x + cos8x + sinx = cos8x 1 ⇔ 1- 2sin2x + sinx = 0 ⇔ sinx = 1 v sin x = − 2 π π 7π + k 2π ; x = − + k 2π ; x = + k 2π , ( k ∈ Z ) ⇔x= 2 6 6 55) cos2x + 2sin x − 1 − 2sin x cos 2x = 0 (1) GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 16
  17. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC ( 1) ⇔ cos2 x ( 1 − 2sin x ) − ( 1 − 2sin x ) = 0 ⇔ ( cos2 x − 1) ( 1 − 2sin x ) = 0 Khi cos2x=1 x = kπ , k ∈ Z π 5π 1 Khi s inx = ⇔ x = + k 2π hoặc x = + k 2π , k ∈ Z 2 6 6 sin 3x − sin x ( 0; 2π ) = sin 2x + cos2x 55) Tìm các nghiệm trên của phương trình : 1 − cos2x • Khi x ∈ ( π; 2π ) th× π sin 3x − sin x  2cos2x.sin x = sin 2x + cos2x (1) ⇔ = 2cos  2x − ÷  4 1 − cos2x 2 sin x sinx < 0 nªn : (1) ⇔ − 2π cos2x = §K : sinx ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ • Khi x ∈ ( 0; π ) th× sinx > 0 nªn : π  2 cos  2x − ÷  4 π  (1) ⇔ 2 cos2x = 2 cos  2x − ÷  4 π kπ ⇔x= + 16 2 π 9π Do x ∈ ( 0; π ) nªn x = hay x = 16 16 π  ⇔ cos ( π-2x ) = cos  2x- ÷  4 5π kπ ⇔x= + 16 2 21π 29π Do x ∈ ( π; 2π ) nªn x = hay x = 16 16 π π   56) 5 cos 3 x +  + 3 cos 5 x −  = 0 6 10    π π   Pt ↔ 5 cos  3 x + ÷ + 3cos  5 x − ÷ = 0 ↔ 5sin 3 x = 3sin 5 x ↔ 2sin 3 x = 3(sin 5 x − sin 3 x)  2  2 sin x = 0 ↔ 2sin x(3cos 4 x + 4sin 2 x − 3) = 0 ↔  3cos 2 x − cos 2 x − 2 = 0 2  x = kπ ↔ ( k ∈Z )  x = ± 1 arccos(− 2 ) + kπ   2 3 17 π xπ 57) sin(2 x + ) + 16 = 2 3.s inx cos x + 20sin 2 ( + ) 2 2 12 Biến đổi phương trình đã cho tương đương với π c os2x − 3 sin 2x + 10c os(x + ) + 6 = 0 6 π π ⇔ c os(2x + ) + 5c os(x + ) + 3 = 0 3 6 π π ⇔ 2c os 2 (x + ) + 5c os(x + ) + 2 = 0 6 6 π π 1 Giải được c os(x + ) = − và c os(x + ) = −2 (loại) 6 2 6 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 17
  18. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC π π 5π 1 *Giải c os(x + ) = − được nghiệm x = + k 2π và x = − + k 2π 6 2 2 6 58) (1 – tanx) (1+ sin2x) = 1 + tanx. π TXĐ: x ≠ + lπ (l ∈ Z ) 2 t = 0  2t  2t (1 − t ) 1 + = 1+ t ⇔  Đặt t= tanx => sin 2 x = 2 , đc pt: 2÷  t = −1  1+ t  1+ t Với t = 0 => x = k π , (k ∈ Z ) (thoả mãn TXĐ) π Với t = -1 => x = − + kπ (thoả mãn TXĐ) 4 π  59) 2sin  x − ÷ = 2sin x − t anx 2 2  4 π π   sinx Đk: cos x ≠ 0 (*) 2sin  x − ÷ = 2sin x − t anx ⇔ 1 − cos  2 x − ÷ = 2sin x − 2 2 2  4  2 cos x ⇔ cos x − sin 2 x.cos x − 2sin 2 x.cos x + sinx ⇔ cos x + sinx − sin 2 x ( cos x + sinx ) = 0 π  cos x ≠ 0 sinx = − cos x → t anx = −1 ⇔ x = − + kπ  π π 4 ⇔ →x= +k sin 2 x = 1 ⇔ 2 x = π + l 2π ⇔ x = π + lπ 4 2   2 4 sin 2 x cos 2 x + = tgx − cot x 60) cos x sin x cos x cosx + sin2xsinx sinx cosx 2 (1) ⇔ = − sinx cosx cosx sinx cos2x − x) sin x − cos x ( 2 2 ⇔ = sinx cosx sinx cosx ⇔ cosx = − cos2x ∧ sin2x ≠ 0 ⇔ 2cos2 x + cosx − 1= 0∧ sin2x ≠ 0 1 ⇔ cosx = (cosx = −1 :loaï vì sinx ≠ 0) i 2 π ⇔ x= ± + k2π 3 2(cos x − sin x) 1 = 61) tan x + cot 2 x cot x − 1 §iÒu kiÖn:sinx.cosx ≠ 0 vµ cotx ≠ 1 Ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng 2(cos x − sin x) 1 = sin x cos 2 x cos x + −1 cos x sin 2 x sin x GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 18
  19. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC π 2⇒ ⇒ cosx = x = ± + k 2π 4 2 π + k 2π §èi chiÕu ®iÒu kiÖn pt cã 1 hä nghiÖm x = − 4  5π  − x ÷sin x = 1 62) 2 2 cos   12   5π 5π  5π    − x ÷sin x = 1 ⇔ 2 sin  2 x − ÷+ sin  = 1 2 2cos   12   12  12  5π  5π π 5π  π 5π   1 ⇔ sin  2 x − ÷+ sin = = sin ⇔ sin  2 x − ÷ = sin − sin =  12   12  12 4 4 12 2 π  π  π = 2 cos sin  − ÷ = sin  − ÷  12   12  3 π 5π π    x = 6 + kπ = − + k 2π 2x − π  5π    12 12 ( k ∈¢ ) ⇔ sin  2 x − ÷ = sin  − ÷ ⇔  ⇔  2 x − 5π = 13π + k 2π  x = 3π + kπ  12   12      12 12 4 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 19
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.05: Bộ 300+ Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2022
304 tài liệu
922 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2