BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ
lượt xem 387
download
BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa: a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ
- BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) u1 CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN lim Sn lim 1 q CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 5. Dãy số dần tới vô cực: 1. Định nghĩa: a) Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (un) có giới un khi n dần tới vơ cực hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu un có n nếu un lớn hơn một số dương bất thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: hạng nào đó trở đi. Kí lim(un)= hay un khi n . hiệu: b) Ta nói dãy số (un) có giới hạn là khi n n lim u 0 hay u n 0 khi n +. n nếu lim un .Ký hiệu: lim(un)= hay un khi n . b) Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un) có giới hạn c) Định lý: là a hay (un) dần tới a khi n dần tới vô cực t hì o Nếu : lim un 0 un 0 ,n ( n ), nếu lim un a 0. Kí hiệu: * n 1 lim un a hay u n a khi n +. lim n un Chú ý: lim un lim un . 1 n o Nếu : lim un thì lim 0 2. Một vài giới hạn đặc biệt. un 1 1 0 , lim k 0 , n * a) lim B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. P n n n 1. Giới hạn của dãy số (un) với un b) lim q 0 với q 1 . n Q n c) Lim(un)=c (c là hằng số) => Lim(un)=limc=c. với P,Q là các đa thức: 3. Một số định lý về giới hạn của dãy số. o Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P a) Định lý 1: Cho dãy số (un),(vn) và (wn) có : là a0, hệ số cao nhất của Q là b0 thì chia tử số vn un wn n * và và mẫu số cho nk để đi đến kết quả : lim vn lim wn a lim un a . a0 lim un . b0 b) Định lý 2: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì: o Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì chia tử và lim un vn lim un lim vn a b mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)=0. o Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)= . lim un .vn lim un .lim vn a.b f n 2. Giới hạn của dãy số dạng: un ,f gn un lim un a lim , vn 0 n ;b 0 * và g là các biển thức chứa căn. vn lim vn b o Chia tử và mẫu cho nk với k chọn thích hợp. o Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp. lim un lim un a , un 0 ,a 0 4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q ,với q 1. BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
- BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) 2 5 3 3 n 3 2 n =lim 1 2 2 Bài tập 3 n 2n 3n3 1 DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN Tính lim n n 3 2 Giải Tính các giới hạn sau : Ta có : 2n 1 2n n3 1 n 3 3 3 3 3 Tính lim 2n 3n3 1 n n n n lim lim Ta có : n n 3 n n2 3 2 3 n 3 3 1 n 2 n n 2n 1 lim n 2 lim 2 1 3 3 n n 2 3n 1 lim n n 3 Tính lim 1 1 2n 1 n Giải 4n n 1 2 Ta có: Tính lim 3 2n 2 1 n3 Giải 3n 1 lim n 3 lim Ta có 2n 1 1 2 n 2 1 1 n2 4 2 n 4n n 1 2 lim n n 2 3n2 2n 5 lim 3 2n 2 3 Tính lim 2 2 n 2 2 7n n 8 n Giải Ta có 3n2 2n 5 25 3 2 3n 2 1 n 3n2 2n 5 n n 3 2 n lim 2 lim lim Tính lim 18 7n n 8 2 7n n 8 7 2 7 1 2n 2 nn 2 n Giải Ta có : 3n 3 2n 5 Tính lim 1 n 3 n 1 2n 3 3n 1 n 2 n lim Giải lim 1 2n 2 1 2n 2 Ta có 1 1 1 2 5 n 3 (3 3) 3 n2 3n 3 2n 5 2 n n Ta có : lim =lim n n n lim 0 1 2n 3 1 n 3 ( 3 2) 1 2 n n2 4n 2 1 n Tính lim 1 2n BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
- BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) giải 1 2n 2 Ta có : 2n n 0 n lim 0 lim 2 n n 1 1 1 1 1 n 4 2 n n 2 1 2 4n 2 1 n n n n lim =lim =lim 1 2n 1 2n 2 3n n 1 3 2 1 4 2 1 Tính lim 1 4n 5 1 n Giải 1 2 2 3 2 n 5 2 1 3 1 2 3n n 1 lim n n 27 n 3 2 lim n 2 1 4n 1 4n 1 5 Tính lim 4 n5 5 4 3n 2 n Giải n 2 1 4n n 2 2n 2 Tính lim n2 1 4n n 2 n 1 2 lim lim 3n 2 3n 2 Giải n Ta có : 1 2 2 1 2 4 n 2 1 2 1 4 5 n n 2n 2 2 lim n n 1 lim lim 2 3 3 2 n 1 2 1 2 2 3 2n 1 n n 2n n 4 2 n 2 3n 7 Tính lim Tính lim(n- ) 2n 4 n 2 1 n 1 Giải giải Ta có : Ta có : 1 4 n 2 3n 7 (n 2 n) (n 2 3n 7) n2 2 2 lim n 2n n 4 2 lim n n 2 n 1 n 1 2 lim 2n n 1 4 2 11 2 n 2 2 4 2 7 2 2n 7 nn n 2 lim lim n 1 1 1 n5 n 2 1 n Tính lim 5 n 2n 3 1 Giải 2n n Tính lim Ta có : n2 n 1 1 1 Giải n5 1 3 5 n n 1 5 2 n n 1 lim lim 5 n 2n 1 2 1 3 n5 1 2 5 n n BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
- BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) 5.2n 3n 5.2n 3n 2 3n n lim n1 n1 lim n Tính lim n 2 3 2.2 3.3n 4 2 n 3 5 1 Giải n 3 1 Ta có : lim 2 2 3n 2 3 n n n 3 n 3n 2 3 lim n lim 0 3 4 4 n cos n 3n 4n 1 Tính lim 3 n2 Tính lim n 4 2 1 n Giải Giải Ta có : Ta có n cos n cos n 1 lim 3 lim 3 3 n n n 3 4 1 n n 2 4 4 3n 4n 1 1 lim Vì lim n 4 2 1 1 1 n n n cos n cos n 1 1 cos n 4n 1 mà lim 0 nên lim 0 2 4 n n n n n n 2 cos5n 5.2n cos5n Tính lim 5 Tính lim n3 2n Giải Giải Ta có : Ta có : cos5n n 2 cos5n cos5n 2n 5 n lim 5 lim 5 5 5.2 cos5n n lim 2 5 n 3 n lim n n 2 2 Vì 7.2n 4n Tính lim n cos5n cos5n 1 1 cos5n mà lim 0 nên lim 0 2.3 4n n n n n n Giải Ta có : Tính lim( n 2 1 n 2 n ) 7 4n n 1 Giải 7.2 4 n n 2 1 lim lim n Ta có : lim( n 2 1 n 2 n ) 2.3 4 3 n n 4n 2 1 ( n 2 1 n 2 n )( n 2 1 n 2 n ) 4 =lim n2 1 n2 n 5.2 3 n n Tính lim 2n1 3n1 Giải Ta có : BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
- BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) 2n 3 2n 3 (n 2 1) (n 2 n) lim lim =lim 2 n 1 n n n 2 2n 3 n 23 2 n 1 2 1 n 1 nn =lim 2 n 1 n n 2 3 2 1 1 2 n lim 1 1 n =lim 11 23 12 1 1 2 1 1 2 1 nn n n n2 n n2 1 Tính lim n2 1 n2 2 Tính lim n Giải Giải Ta có : Ta có : n2 n n2 1 lim n2 1 n2 2 lim n n2 n n2 1 n2 n n2 1 n2 1 n2 2 n2 1 n2 2 n lim lim n2 n n2 1 n2 1 n2 2 1 n 1 n n 2 1 n 2 2 n 1 n 1 lim lim 3n lim lim 2 n n n 1 2 2 1 1 n 1 1 2 n2 1 n2 2 n2 1 n2 2 n n 3n 3 lim 2 2 1 n 1 2 1 2 Tính lim n 2n 3 n 2 n n Giải lim n2 2n 3 n n 2 n 1 4n 2 2 Tính lim n3 n2 2n 3 n n 2 2n 3 n Giải lim Ta có n 2 2n 3 n n 2 n 1 4n 2 2 n2 2n 3 n 2 lim lim n3 n2 2n 3 n n 2 n 1 4n 2 2 n 2 n 1 4n 2 2 lim n 3 n 2 n 1 4n 2 2 n 2 n 1 4n 2 2 lim n 3 n 2 n 1 4n 2 2 BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
- BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) Chứng minh các dãy số có số hạng tổng quát 3n 2 n 1 lim sau đây có giới hạn 0 : n 3 n 2 n 1 4n 2 2 sin n 1 1 un n 2 3 2 n n 1 n n lim 3 Giải 3 2 2 11 n 1 1 2 4 2 Ta có : n nn n sin n sin n 1 sin n n n 1 n n 1 n n n2 1 n2 2 Tính lim n 1 sin n mà lim 0 nên lim 0 Giải n n 1 n Ta có : 1 2 n2 1 n2 2 un n n2 n 1 n 2 lim 2 2 lim n Giải n2 1 n2 2 lim Ta có : n n2 1 n2 2 3n 1 1 mà lim 1 0 nên lim 1 0 2 n n 2 lim n2 1 n2 2 n2 1 n2 2 n2 n2 n n 3n 3 lim 2 1 2 un 1 n 1 2 1 2 n! n n Giải Ta có Tính lim n2 3 n 3 11 1 1 mà lim 0 nên lim 0 n! n n n! Giải lim n2 3 n 3 1 cos n 2 un n 2 n 3 n 2 3 n 2. 3 n 3 n 2 2 3 3 2n 1 lim n 2 2 Giải 3 n 2. 3 n 3 n2 3 n 3 3 Ta có : n2 3 3 1 cos n2 2 1 cos n2 2 1 lim vì nên n 2 2n 1 2 2n 1 2 n 3 n 2. 3 n 3 n2 2n n 3 1 cos n2 1 n2n mà lim 0 nên lim 0 lim 2n 1 n n 2 2 3 n 2. 3 n 3 n2 3 5n un n 2 3 1 lim 0 n 2 2 Giải n 2. n n 2 3 3 3 3 Ta có : BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
- BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) n cos5n n 1 n 5n 5 1 5n n n 1 n n n 3n 1 3n n 3 n cos5n 1 0 nên lim 0 n 5 mà lim 5n n n n 0 nên lim n 0 mà lim n 3 1 3 un 2 n2 1 n n sin 2n un Giải n2 n Ta có : Giải n sin 2n n 1 n2 1 n n2 1 n 1 2 n n 1 n n2 1 n n n 2 2 n2 1 n n sin 2n 2 n2 1 n2 1 mà lim 0 nên lim 2 0 2 2 n n n n2 1 n n2 1 n n2 n 1 sin n 2 cos n n 21 un 23 n 1 2n n 1 Giải Mà lim 0 nên lim2 n2 1 n 0 n Ta có : 1 sin n 2 cos n 1 n 1 1 3 2 un n 1 n 3 3 23 n 1 n n 2n Giải 1 1 sin n2 cos n 0 Ta có : n 1 3 mà lim 0 nên lim n 1 n n 1 n 23 n 1 n n 1 n n 1 n 1 n 1 1 n 1 n un 1 1 2 1 1 2n1 3n1 n 1 n n n 2 n 2 n Giải 1 1 2 Ta có : Mà lim 0 nên lim n 1 n 0 1 n n 1 1 1 1 1 1 n1 n1 n1 n1 n1 n Tìm giới hạn của dãy số un với 2n1 3 2 3 2 2 2 1 1 1 1 1 n un ... n 1 . mà lim 0 nên lim n1 n1 0 n3 1 n3 2 n3 n 2 2 3 Giải Ta có số hạng tổng quát là : n cos5n un 1 1 n k 1,2,..., n uk n n n n3 k n3 1 n3 1 Giải Nên Ta có : BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
- BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) n 1 3 0 uk u2 u1 n3 n 4 2 3 1 3 0 nên lim uk 0 u3 4 u2 4 u1 mà lim n Cho dãy số un xác định bởi ............................ n 1 n 1 1 3 1 3 u1 3 un un1 u1 4 4 4 4 4 un u u n 2 Mà n1 n 2 CMR n 1 1 3 lim 0 1 a) 0 un 1 4 4 4 lim un 0 u 3 b) n1 un 4 Cho dãy số un xác định bởi Từ đó suy ra lim un 0 u1 10 Giải Câu a) SD phương pháp quy nạp un1 un 11 Với n = 1 ta có 0 u1 (đúng) CMR a) un 1 , n 1 44 Giả sử (1) đúng với n k 1 u 1 1 b) un1 1 n Nghĩa là 0 uk (đúng) 2 4 c) Tìm lim un Theo giả thuyết quy nạp ta cần CM (1) đúng Giải với n= k +1. Câu a) SD phương pháp quy nạp Thật vậy, ta có : Với n =1 ta có : u1 10 1(đúng) 2 uk 1 1 1 1 uk 1 uk uk 2 Giả sử (1) đúng với . n k k 1 Nghĩa là 2 16 16 4 16 uk 1 1 31 Vì 0 uk nên 0 uk 1 Theo giả thuyết quy nạp ta cần CM (1) đúng 4 16 4 với n= k+1, hay uk 1 1 Vậy (1) luôn đúng với mọi n. Thật vậy ta có : uk 1 uk màuk 1 nên uk 1 1 Câu b) Ta có : Vậy (1) luôn đúng với mọi n. un un1 un 2 2 1113 un (ĐPCM). Câu b) theo bài ra ta có: un un 2424 3 Vậy un1 un 4 Từ đó suy ra BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
- BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) un1 un 2 2 un1 un 6 un1 18 un 12 3 3 un 1 un 1 2 un1 1 un 1 vn1 un 12 un 1 3 Mặt khác un vn 18 u 1 un 1 n 2 2 Vậy vn1 vn 18 12 vn un 1 2 3 3 Câu c) Vậy vn là CSN lùi vô hạn với công bội Đặt vn un 1 v1 10 1 9 và vn1 un1 1 2 q . Theo câu b ta có : 3 Câu b) 1 vn1 vn 2 2 Vì vn1 vn . Nên Vậy 3 1 2 v2 v1 v2 v1 2 3 2 2 1 2 1 2 v3 2 v2 2 v1 v3 3 v2 3 v1 ............................ ............................. n 1 n 1 n 1 n 1 1 1 2 2 1 2 vn vn1 v1 9 vn vn1 v1 13 2 2 3 3 2 3 Mà Mà n 1 n 1 1 2 lim9 0 nên lim vn 0 lim un 1 0 lim13 0 nên lim vn 0 2 3 lim un 1 lim un 18 Cho dãy số xác định bởi Cho dãy số un xác định bởi u1 2 u1 5 u 1 n 1 un1 n 2 2 un1 3 un 6 Tính lim un . Gọi vn là dãy số xác định bởi vn un 18 Giải Ta nhận xét a) CMR vn là cấp số nhân lùi vô hạn. 3 5 9 17 u1 2, u2 , u3 , u4 , u5 b) Tìm lim un . 2 4 8 16 Giải n 1 2 1 Dự đoán un n1 1 Câu a) theo bài ra ta có: 2 Ta chứng minh dự đoán bằng quy nạp BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
- BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) Kiểm tra với n=1, ta có u1 2 đúng với bài n đúng với mọi n 1 Suy ra un n 1 cho - Giả sử (1) đúng với n k k 1 . Nghĩa là n n Vậy lim un lim lim 1 n 1 1 2k 1 1 n 1 uk k 1 n 2 - Theo giả thuyết quy nạp ta cần CM (1) 11 Tính tổng S 2 2 1 ... 2 1 k 22 đúng với n = k+1.hay uk 1 k Giải 2 - Thật vậy ta có: 11 Dãy số vô hạn 2 2 1 ... là k 1 2 1 22 1 2.2k 1 1 2k 1 uk 1 2k 1 một CSN lùi vô hạn với công bội uk 1 k k 1 2 2 2.2 2 2 1 q 1 1 2n1 1 n1 2 2 2n1 1 2 1 Vậy lim un lim n1 lim u 2 22 2n1 Do đó S 1 2 1 q 1 1 Cho dãy số un xác định bởi 2 1 2 1 u1 2 n 1 1 1 1 1 Tính tổng S 1, , , ,..., ,... 2 4 8 2 1 n 1 un1 Giải 2 un n 1 1 1 1 1 Dãy số vô hạn 1, , , ,..., ,... Tính lim un 2 4 8 2 Giải 1 1 2 3 4 Là 1 CSN lùi vô hạn với q Nhận xét u1 , u2 , u3 , u4 ... 2 2 3 4 5 u 1 2 Nên S 1 n 1 Dự đoán un 1 q 1 1 3 n 1 2 Ta chứng minh dự đoán bằng quy nạp 1 - Với n=1, ta có : u1 (đúng) Tìm dạng tổng quát của CSN lùi vô hạn 2 un . Biết tổng của nó bằng 32 và u2 8 - Giả sử (1) đúng với n k k 1 . Giải k Nghĩa là uk u Theo bài ra ta có : S 1 32 1 k 1 1 q - Theo giả thuyết quy nạp ta cần CM (1) 8 k 1 Mặt khác u2 u1q 8 u1 thế vào (1) đúng với n = k+1. Hay uk 1 q k2 - Thật vậy theo bài ra ta có: k 1 1 1 uk 1 2 uk 2 k k 2 k 1 BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
- BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) ta có Ta có 8 11 lim n2 n 1 lim x 1 2 1 q nn 32 4q 2 4q 1 0 q u1 16 1 q 2 n 1 1 vậy số hạng tổng quát là un 16 Tính lim 2n3 n2 1 2 Giải Ta có : 11 lim 2n3 n 2 1 lim n n 2 n n3 Tính lim n2 n n 1 Giải Ta có : 1 1 lim n2 n n 1 lim n 2 1 n n2 3n n3 Tính lim DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC 2n 15 Giải Tính lim(2n3+3n-1) Ta có : giải 3 n3 2 1 3n n 3 1 3 n 3 3 Ta có lim(2n +3n-1)=lim n (2+ 2 3 )=+ lim lim n n 2n 15 2 15 n3 2 3 n n Tính lim(-2n2+n n -n+4) Vì Giải 3 Ta có : lim(-2n2+n n -n+4) lim n 2 1 1 1 14 =limn2(-2+ ) . n n2 n lim 2 15 0 và 2 15 0 n 2 n3 n 2 n3 Tính lim 3 5n n3 n 2 n 11 Giải Tính lim 3n 2 n 1 Ta có : Giải 5 lim 3 5n n3 lim n 3 2 1 Ta có : n Tính lim n2 n 1 Giải BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
- BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) Giải 1 11 n 2 1 2 n n 11 Ta có : 2 n n lim lim n3 n 2 2 2 2 3 1 3n 2 n 1 lim n lim n2 2 3 1 n 1 n 1 n n 1 2 1 11 n3 1 3 lim 1 n n 2 1 lim n n 3 1 1 vì n 2 3 lim 3 1 1 0 và 3 1 1 0 n n n 2 n3 n 2 n3 Vì 1 2 Tính lim( n 1 n n ) 2 2 lim 1 n n3 1 0 Giải Ta có :lim( n 1 n n ) 2 2 lim 1 1 0 và 1 1 0 n 2 n3 1 1 n 2 n3 =limn( 1 2 1 ) n n n3 2n 1 Tính lim 2 2n n 3 1 Tính lim 2n Giải n n3 2n 1 21 1 2 3 Giải n 2n 1 3 3 lim 2 n n n lim 2 lim 113 2n n 3 2n n 3 Ta có : n n 2 n3 n3 1 11 lim 2n lim2n 1 Vì n n 2n 2 1 lim 1 n 2 n3 1 0 3n3 5n 1 Tính lim lim 1 1 3 0 và 1 3 1 0 n2 4 n n 2 n3 Giải n n3 n 2 Ta có : 2 Tính lim n 2 1 1 n3 3 5 2 3 n 1 3n 5n 1 3 lim n n Giải lim n 4 3 1 4 2 n 3 n3 n 2 2 2 lim n 2 lim n n n 1 n 1 Vì 1 2 1 1 n3 1 3 lim 3 5 n 2 n3 3 0 lim n n 3 1 1 n 2 3 lim 1 4 0 và 1 4 0 n n n n3 n n3 Vì 2 Tính lim n 2 n 1 BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
- BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) 1 2 lim n 2 1 2n 2 1 lim 1 3 1 0 n n n 2 1 2n 2 1 n 2 1 2n 2 1 1 1 lim 11 0 và 2 3 0 lim n 2 n3 n 2 1 2n 2 1 n n 2n 1 1 3n n 2 1 2n 2 1 n2 2 Tính lim lim lim n 7n2 5 33 n 2 1 2n 2 1 n 2 1 2n 2 1 Giải Ta có : 2 n 2 1 2 1 1 2 3 n 2n 1 1 3n lim n n lim 1 2 1 lim 1 n 2 4 2 4 n 7n2 5 2 33 17 5 4 6 3 n n n n 3 nnn Vì vì 2 1 1 lim 1 2 1 0 lim 2 n n 3 6 0 n 11 21 11 21 lim 3 17 5 17 5 lim n2 n4 n2 n4 0 và n2 n4 n2 n4 0 4 6 0 và 3 4 6 0 n3 n n nnn 1 5 n 2.3 n Tính lim Tính lim n n 1 n 4 1 Giải Giải 3 Ta có : 5 n (1 2.( ) n ) 5 n 2.3 n n 1 n 5 Ta có :lim n =lim 1 lim 4 1 lim 4n 1 5 n (( ) n ) n 1 n n 1 n n 1 n 5 5 3 1 2.( ) n n 1 n 1 lim lim n 1 1 5 =lim n 1 n 4 1 n ( )n n 5 5 Tính lim 2n 4n1 1 3 4 1 (vìlim(1+2.( ) n ) 1 >0,lim(( ) n n ) 0 5 5 5 Giải 4n 1 và ( ) n 0 ) Ta có : 5 5 n 4n lim 2 4 1 lim 2 1 n 1 n n 2 1 2n 2 1 Tính lim 4 1 1 Giải n n n 1 lim 4 Ta có : 2 4 4 Vì BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
- BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) lim 4n Tính lim un 1 1 1 1 1 1 Với un 1 ... n n 1 lim 2 4 4 4 0 2 3 n Giải Ta có : 5 2 n 1 là số nhỏ nhất trong n số Tính lim Vì 1 2.2 n n Giải Nên Ta có : 1 1 1 1 1 un ... n. n n 2 5 1 n n n n n n 5n 2 5 Mà lim n lim un lim lim 1 2.2 1 n n 2 5n n 2. 5 5 2n 3n Tính lim n 2n Vì Giải 2 lim 1 n 1 0 n 5 3n 2. n 1 2n 3 n 3 2 lim n n 2 lim lim 2. 1 1 n2 n 2 0 và n 2. 0 n n 5n 5 3n n 5 5 3 3 lim n 0 3n n 2n1 3.5n 3 Vì lim 2. n 1 1 Tính lim 3 3.2n 7.4n n 2 Giải n n n 2 lim n 0 và n 0 3 3 Ta có : 3 3 2 n 1 5n 2. 3 3. n 5 5 2n1 3.5n 3 lim lim 3.2 7.4 2 4 n n n n 5n 3. 7. 5 5 Vì 2 n 1 lim 2. 3 3. n 3 5 5 2 4 n n n n 2 4 lim 3. 5 7. 5 0 và 3. 5 7. 5 0 BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
- BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) x 1 3 1 2 lim x 3 x 2 3 2 5 x3 Tính lim x 1 x 3 Giải x3 0 Ta có : lim x 1 x 3 x2 Tính lim 2x 1 x 3 Giải x 2 2.3 2 8 lim 2 x 1 2.3 1 7 x 3 x2 2 x 3 Tính lim x2 x 3 Giải Ta có : x 2 2 x 3 32 2.3 3 0 lim x2 3 2 x3 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ x2 Tính các giới hạn sau : Tính lim x 4 2 x 4 Giải x2 5 1 Tính lim x2 Ta có : Giải lim x 2 6 0 x 4 Ta có : lim x 4 0 và x 4 0 x 4 2 2 2 x2 5 1 5 1 2 2 lim x 4 x2 x2 Nên lim x 4 2 x 4 x2 5 6 Tính lim x 2 Giải x2 x 5 6 2 5 6 3 Tính lim 2 2 lim x 2 2 x 2 x2 Giải x 1 Ta có : Tính lim x 3 x 2 Giải BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
- BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) lim x 2 4 0 x 1 x 2 Tính lim 2 x x 1 lim x 2 0 và x 2 0 x 2 2 2 Giải x 2 Ta có : x2 Nên lim 11 x 2 2 x 2 x 1 x x2 0 lim lim x5 x x 2 1 1 x 1 2 Tính lim x 3 2 x 3 x Giải 1 1 lim x 5 2 0 1 Tính lim 2 2 x3 x 1 x 0 x lim x 3 0 va x 3 0 x 3 2 2 Giải x3 Ta có : x5 1 1 x2 1 Nên lim 1 1 x 3 2 1 lim 2 2 x 3 lim 2 2 x 1 x 0 x x 1 x 0 x x 1 3 1 x2 1 Tính lim x 2 lim 2 2 lim 2 1 2 x 2 x 0 x x 1 x 0 x 1 Giải x2 1 1 2 x 2 x3 Ta có : lim x3 1 2 1 7 0 3 Tính lim x2 x5 1 x x2 x 2 0 và x 2 0 x 2 Giải 2 2 lim Ta có : x2 1 1 2 x 2 x3 x3 1 Nên lim x 2 lim 2 x 2 x5 1 x Tính lim x3 x 2 2 x 1 1 1 2 x 5 1 2 3 2 2 x lim x x 2 Giải x 1 x Ta có : x5 1 5 lim x3 x 2 2 x 1 x x x2 1 1 2 x x4 3 1 2 1 lim x 1 2 3 Tính lim x6 1 x xx x x Giải Ta có : x2 1 1 2 x x 4 Tính lim x 2 x 1 lim x x6 1 x Giải 1 1 2 Ta có : x 6 1 2 4 3 1 lim x x 2 1 1 lim x 2 x 1 lim x 2 1 2 x 1 x x x x x x 6 1 6 x BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
- BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) Ta có : x2 1 Tính lim lim x x 2 x 1 x x 1 x Giải x x2 x 1 x x2 x 1 Ta có : lim 1 1 x x2 x 1 x x 1 2 1 2 x 1 2 x 2 x 2 x 1 x lim x 1 lim lim x 1 x x 1 1 1 x x lim lim 1 x 1 x x2 x 1 x x x 11 x x x 1 2 xx 1 2 x2 1 x 1 Tính lim x x2 1 x lim x 1 1 2 Giải x 1 1 2 Ta có : x x 1 1 x 2 2 2 2 2 x2 1 x lim x 2 lim Tính lim x 2 x x 2 2 lim x2 2 x 1 2 x x x x 1 Giải x x x2 x x2 2 Tính lim x x 2 x 1 lim x x Giải x2 x x2 2 x2 x x2 2 Ta có : lim x2 1 x2 2 1 1 x lim x x x 1 lim x x 1 2 2 x2 x x2 2 x2 x x x x lim lim x2 1 x2 2 1 1 x x 1 2 x 1 2 x 1 2 lim x 1 1 2 x x x x x 2 x 1 x 1 lim Tính lim x x 2 3x 1 x x 2 1 2 x 1 2 1 2 Giải x x Ta có : 3 1 lim x x 2 3x 1 lim x x 1 2 x2 x x2 2 Tính lim x x x x x Giải 3 1 lim x 1 1 2 Ta có : x x x Tính lim x x 2 x 1 x Giải BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
- BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) 1 1 lim x 2 x x 2 2 x3 2 3 2x x 1 x 3 2 x x lim lim 6 x 3 x 2 x 1 x 6 2 1 x x x 2 x x x 2 4 2 2 2 2 x 3 2 6 lim x x x2 1 x2 2 x 11 x2 x x2 2 2 3 x2 xx lim lim 0 lim x 3 2 1 x 1 x 2 x x 2 2 1 2 x 3 2 6 x 1 2 x 1 2 x x x x 2 x 1 2x 1 x 1 lim Tính lim x 3x x 2 2 3 2 x x 2 1 x 1 2 1 2 Giải x x Ta có : 1 x x 2 1 1 2x 1 x 2 lim x lim x Tính lim 3x x 2 x 3 2 1 2 3 x 1 x 0 x x3 3 1 x x x Giải 2x 3 Ta có : Tính lim x 1 1 2 x2 3 x 1 x 1 x lim x lim 1 Giải lim 1 x 0 1 x x 0 x 1 x 0 1 Ta có : x x 3 x 2 2x 3 lim x 2 2 2x 3 lim 2 x 2 3 x x 2 3 Tính lim x 2 x 1 3 x x Giải Ta có : x4 x2 1 3 x 2 Tính lim x3 1 x 1 2x 3 x 2 x lim lim x 1 3 x x 1 3 Giải x 3 x Ta có : 2x x 1 3 2 1 1 x 4 1 2 4 Tính lim 6 x 3 x 2 x 4 1 x x 1 4 2 x x 1 lim lim x 1 x 1 x x4 1 13 1 1 Giải 3 x Ta có : x x BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
- BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) 3x 1 Giải Tính lim Ta có : x2 1 2x x x 1 x 3 x2 2x 3 Giải lim lim 2 x 1 2 x x 1 1 1 x 1 2 x 1 x x3 2 3x 1 x lim lim x3 x 2 1 2 x x x 1 1 2 x x 4 x 1 lim x 1 1 3 x2 2 x Ta có 2 1 x3 x x2 2 x lim 3 Tính lim x2 1 x x 1 1 x 1 2 2 Giải x Ta có : 14 x x 1 x 2 x2 x 2 Tính lim lim lim x x 1 x x 1 x 1 x 1 2 x 1 2 x 1 Giải x2 3 x 1 14 lim x 1 x 1 x 1 2 14 x x lim lim x x 2 1 x x x 1 1 x 1 x 1 3 2 x Tính lim x 0 x 14 Giải x 1 1 x 1 lim x x 2 3x 3 3 x 0 x 1 lim 3 x 1 2 lim x 1 1 2 x 0 x0 x x x GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH VÀ x3 8 0 Tính lim 2 x 2 x 11x 18 0 Giải GIỚI HẠN MỘT BÊN Ta có : x 2 x2 2x 4 x3 8 x3 lim lim 2 x 2 x 9 Tính lim 2 x 2 x 11x 18 x 2 x 3 x 2 x 3 Giải x 2 2 x 4 12 x 2 lim Ta có : x9 x 2 11 x3 x3 lim lim 2 x 3 x 1 x 3 x 3 x 2 x 3 x 3 27 3 Tính lim 1 1 x 3 lim x 0 x x 3 x 1 4 Giải Ta có : x2 2 x 3 Tính lim 2 x 1 2 x x 1 BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
- BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) x 3 27 lim x3 9 x 2 27 x 27 27 3 lim x2 5 3 x2 5 3 x 0 x 0 x2 5 3 x x lim x x 2 9 x 27 lim x2 x 2 x2 5 3 x 2 x 2 27 x 0 lim x 0 x x 2 x 2 x2 5 9 lim lim 2 x3 5 x 2 2 x 3 x 2 x 2 5 3 x2 x 2 x 2 5 3 x 2 Tính lim 3 x 3 4 x 13 x 2 4 x 3 x2 2 x 2 lim Ta có : x2 5 3 x 2 2 x3 5 x 2 2 x 3 3 lim 3 x 3 4 x 13 x 2 4 x 3 x 3 2 x 2 x 1 2 x 2 x 1 11 x 1 lim lim x3 4 x2 x 1 17 Tính lim x 3 2 x 3 x 3 4 x 2 x 1 x 1 x 3 Giải Ta có : 1 3 x 1 x 3 2 x 1 Tính lim 3 lim x 1 1 x 1 x lim x 3 2 x1 x 3 2 x 3 2 x 1 Giải Ta có : x 1 x 3 2 x 1 x 3 2 1 lim lim 1 3 3 x 1 lim x 1 x 1 x 1 x 1 lim 1 x3 x1 1 x 1 x 1 x x 2 x1 1 x x3 2 2 x 1 1 x x2 3 lim x2 x 2 x 1 lim lim x1 x1 1 x 1 x x2 x 1 1 x 1 x x 2 2 x Tính lim x 1 x 2 lim x 2 1 x 1 x7 3 x 2 lim x1 1 x x2 Giải x 1 x 1 1 x x 2 Ta có : x5 2 x x7 3 Tính lim 2 x x 5 lim x 5 lim x 7 3 x 2 x 7 3 x7 3 x 2 Giải 2 x lim Ta có : x7 3 2 x 5 x 5 lim x 7 3 6 x5 5 x 5 lim x2 x 2 x 2 lim x5 x 5 x 5 x5 x32 Tính lim x 5 3 2 x 1 x 1 Tính lim x2 x 2 Ta có : Ta có : BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số
30 p | 5222 | 419
-
Bài 4: Định nghĩa và một số định lý về giới hạn của hàm số
9 p | 1250 | 230
-
Bài tập: Giới hạn của hàm số hai biến sô
1 p | 1158 | 94
-
Toán học lớp 11: Giới hạn của hàm số (Phần 2) - Thầy Đặng Việt Hùng
4 p | 277 | 75
-
Giáo án Giải tích 11 chương 4 bài 1: Giới hạn của dãy số - Toán giải tích 11
14 p | 934 | 74
-
Toán học lớp 11: Giới hạn của hàm số (Phần 3) - Thầy Đặng Việt Hùng
5 p | 278 | 67
-
Toán học lớp 11: Giới hạn của hàm số (Phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng
2 p | 368 | 63
-
Toán học lớp 11: Giới hạn của hàm số (Phần 4) - Thầy Đặng Việt Hùng
2 p | 201 | 61
-
Bài giảng Giải tích 11 chương 4 bài 2: Giới hạn của hàm số
19 p | 295 | 38
-
Ôn tập giới hạn - GV. Nguyễn Thành Hưng
6 p | 200 | 29
-
Bài giảng Giới hạn của hàm số, hàm số liên tục - Bài 4: Định nghĩa và một số định lí về giới hạn hàm số
18 p | 196 | 17
-
Chương 2: Giới hạn của dãy số
68 p | 133 | 17
-
Giải tích 11: Giới hạn của hàm số
47 p | 112 | 9
-
Bài tập trắc nghiệm Giới hạn dãy số
21 p | 134 | 7
-
Sáng kiến kinh nghiệm: Xây dựng một số phương pháp nhằm nâng cao hiểu biết về giới hạn cho học sinh THPT
25 p | 46 | 4
-
Giáo án Đại số lớp 11: Giới hạn của dãy số
36 p | 15 | 4
-
Bài giảng môn Toán - Chương 4 bài 1: Giới hạn của dãy số
18 p | 14 | 3
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn