Bộ đề thi môn Toán: Số 23 (Có đáp án)

Chia sẻ: Megabookchuyengiasachluyenthi Megabookchuyengiasachluyenthi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

72
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn cùng tham khảo nội dung "Bộ đề thi môn Toán - Số 23" dưới đây để nắm bắt được nội dung và đáp án của 9 câu hỏi. Với các bạn đang học và ôn thi Đại học, Cao đẳng thì đây là tài liệu tham khảo hữu ích.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bộ đề thi môn Toán: Số 23 (Có đáp án)

BỘ ĐỀ MEGABOOK SỐ 23 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y  x3  3x2   m  2  x  3m (C). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  C  khi m  2 . b) Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị của hàm số  C  đã cho vuông góc với đường thẳng d : x – y  2  0 . 1  cos 2x  2 Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình sin 2 x  2cos 2 x . 2sin 2 x 1 x3  1  x Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân I   dx . 0 x3 Câu 4 (1,0 điểm). a) Tìm số phức z thỏa mãn phương trình  i  z 1  2i   1  iz  3  4i   1  7i . b) Cho tập hợp A tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0. Hỏi có thể lấy được bao số tự nhiên từ tập A mà số đó chỉ có mặt ba chữ số khác nhau. x  4 y  3 z 1 Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :   ; d2 3 1 2 là giao tuyến của hai mặt phẳng    : x  y  z  2  0 và   : x  3y  12  0 . Mặt phẳng Oyz  cắt hai đường thẳng d1 , d2 lần lượt tại các điểm A, B . Tính diện tích tam giác MAB , biết M 1; 2; 3 . Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh a , BD  a . Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM  2 AM . Biết rằng hai mặt phẳng SAC  và SDM  cùng vuông góc với mặt phẳng  ABCD  và mặt bên SAB  tạo với mặt đáy một góc 600 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a và cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng OM và SA . Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn S  : x2  y 2  2x  6 y  15  0 ngoại tiếp tam giác ABC có A  4;7  . Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết H  4; 5  là trực tâm của tam giác.   x  x2  4 y  y 2  1  2  Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình   x, y  .  12 y 2  10 y  2  2 3 x 3  1  Câu 9 (1,0 điểm). Cho các số thực dương x , y , z bất kỳ. Chứng minh rằng x1 y 1 z 1 x y z      . y 1 z1 x1 y z x ..................HẾT.................. 1 http://megabook.vn/
HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1.a. Với m  2 , hàm số trở thành y  x3  3x2  6 . - Tập xác định: D  R . - Sự biến thiên: x  0 + Chiều biến thiên: y '  3x2  6x ; y '  0   . x  2 y '  0, x   ; 0   2;   , suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 0  và  2;   . y '  0, x   0; 2  , suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng  0; 2  . + Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x  0; yCD  6 . Hàm số đạt cực tiểu tại x  2; yCT  2 . + Giới hạn: lim y  ; lim y   . x  x  + Bảng biến thiên x  0 2  y'  0  0  y 6   2 - Đồ thị: + Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm  0; 6  . + Đồ thị hàm số nhận điểm uốn I 1; 4  làm tâm đối xứng. + Đồ thị hàm số đi qua các điểm  1; 2  ,  3; 6  . - Vẽ đồ thị: Câu 1.b. Ta có y '  3x2  6x  m  2 . Tiếp tuyến  tại điểm M thuộc  C  có hệ số góc k  3x2  6x  m  2  3  x  1  m  5  m  5 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi x  1 . Suy ra kmin  m  5 tại điểm M 1; 4m – 4  Tiếp tuyến   d  (m  5).1  1  m  4 . Kết luận: m  4 . Nhận xét: Dạng bài toán đường thẳng tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước. Ta tìm hệ sô góc của tiếp tuyến và hệ số góc của đường thẳng còn lại cho thỏa mãn tính chất vuông góc. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: 2 http://megabook.vn/
- Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm A  xA , y A  thuộc đồ thị hàm số y  f  x  là k  f '  xA  . Hai đường thẳng có hệ số góc lần lượt là k1 , k2 vuông góc với nhau khi và chỉ khi k1 .k2  1 . -Biểu thức P  a2  b  b . Dấu bằng xảy ra  a  0 . Áp dụng cho bài toán : - Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là k  y '  3x2  6x  m  2  3  x  1  m  5  m  5 . Suy ra hệ số góc tiếp 2 tiếp nhỏ nhất là k  m  5 . - Tiếp tuyến vuông góc đường thẳng d : x  y  2  0 có hệ số góc kd  1 nên theo tính chất hai đường thẳng vuông góc ta có phương trình  m  5  .1  1  m  4 . Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự: a. Cho hàm số y  x3  2x2   m  1 x  2m . Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất vuông góc 11 với đường thẳng d : y  2x  1 . Đáp số: m  . 6 x  1 b. Cho hàm số y  . Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số biết tiếp tuyến vuông góc 2x  1 đường thẳng  : x  9 y  1  0 . Đáp số: y  9x  1; y  9x  7 .  Câu 2. Điều kiện x  k ; k  . 2 Phương trình tương đương với 1  cos2 x  4cos4 x 4sin x cos x   2 2cos2 x  1  cos3 x cos x 3   5cos2 x  3  0  5  0 (do cos x  0 ). sin x sin x cos2 x    cot x  5  3 1  tan 2 x  0  3tan 2 x  1 tan x  2  0  3tan 3 x  2 tan x  1  0      tan x  1 3tan 2 x  3tan x  1  0  tan x  1  x    k, k  . 4  Phương trình có nghiệm: x    k; k  . 4 Nhận xét: Để giải phương trình lượng giác ta sử dụng công thức hạ bậc , mối quan hệ sin x với cos x , tanx với cot x , phân tích nhân tử. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: -Sử dụng các công thức biến đổi sin2 x  1  cos2 x,1  cos2x  2cos2 x thu được phương trình: cos 3 x  5cot 3 x  3  0 . sin x cos x 3 -Do cos x  0 không là nghiệm của phương trình , chia 2 vế cho cos2 x ta có 5  0. sin x cos2 x 1 cos x 1 -Thay 2  1  tan 2 x , có phương trình theo ẩn tanx . cos x sin x tanx - Giải phương trình theo tan x thu được x , kiểm tra điều kiện ta có đáp án. Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự: a. Giải phương trình: 4cos2 x 1  sin x   2 3 cos x cos 2x  1  2sin x .  5 5 2 Đáp số: x    k; x    k 2; x  k . 3 6 18 3 3 http://megabook.vn/
b. Giải phương trình: 1  sin 2 x  2 3 sin 2 x    3  2 sin x  cos x  0 .(Thi thử THPT Phan Đăng  7  Lưu). Đáp số: x    k 2; x   k 2; x    k 2; x    k 2 . 6 6 3 x3  27  27  1  x 1 1x   1 1 1 27 Câu 3. Ta có I   dx   x2  3x  9 dx   dx   dx 0 x3 0 0 x3 0 x3 1 1 3  1 1 1 x 47 4 1 1 x   x3  x2  9 x   27 ln x  3   dx   27 ln   dx . 3 2 0 0 0 x3 6 3 0 x3 1 1 x Tính A   dx . 0 x3 x  0  t  1 Đặt t  1  x  x  1  t 2 ; dx  2tdt . Khi  . x  1  t  0 t2 1t 4  4 2 2 0 1 t 1 1 dt Suy ra A  2  dt  2 0 4  t 2 dt  2 0 4  t 2 dt   20 dt  80  2  t  2  t  1 4  t2 1  11 1  2t  2  2    dt  2  2ln  2  2ln 3 . 0 2t 2t  2t  0 59 Vậy I   27 ln 4  25ln 3 . 6 Nhận xét: Từ biểu thức dưới dấu tích phân ta có thể sử dụng ngay đổi biến số t  1  x , tuy nhiên đổi biến số ngay từ đầu sẽ dẫn tới một tích phân mới sử dụng phép chia đa thức. Để đơn giản ta sử dụng kĩ thuật phân tích đa thức cơ sở. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: - Sử dụng phân tích tử biểu thức dưới dấu tích phân ta có: x3  1  x  x3  27  27  1  x chuyển tích phân thành 3 tích phân nhỏ. x n 1 1 - Tính  0  x 2  3x  9 sử dụng công thức  xndx  n1 C . 1 27 u' - Tính  x  3 dx bằng sử dụng công thức  u du  ln u  C . 0 1 1 x - Tính A   0 x3 dx bằng phương pháp đổi biến số t  1  x . 1 1 dt Tách thành hai tích phân  2 dt  8 0   2  t  2  t  . 0 Sử dụng khai triển dạng ln tính được 1 1 dt 2t 80  2  t  2  t   2ln 2t 0 . Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự: 4 x3  x x  x 19 a. Tính tích phân I   1 x 2 dx . Đáp số: I  2  ln 4 . 6 1 3 1 b. Tính tích phân I   2x  1  2 4x  1 dx . Đáp số: I  ln  2 12 . Câu 4.a. Phương trình tương đương với i  2  1  2i  z  3  4i   4  3i  z  1  7 i 4 http://megabook.vn/
  5  5i  z  10i 2i 2i 1  i  z   1  i 1 i 2 Vậy phương trình có nghiệm: z  1  i . Nhận xét: Bài toán giải số phức cơ bản với các phép biến đổi tương đương. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: a  bi  a  bi  c  di  ac  bd bc  ad -Số phức z    2  i. c  di c 2  d2 c  d2 c 2  d2 -Khai triển biểu thức  i  z 1  2i   1  iz  3  4i   1  7i được  5  5i  z  10i  z  12ii  1  i . Lưu ý: Ta có thể đặt z  a  bi thay vào biểu thức để tìm z . Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự: a. Tìm số phức z  x  yi thỏa mãn x  2  3i    2 y  11  i   35  50i . Đáp số: z  5  2i . 2 3 b. Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện  2  3i  z  z  i  4    1  3i  . Đáp số: z  2  5i . 2 Câu 4.b. Số cách chọn 3 chữ số phân biệt a, b, c từ 9 chữ số thập phân khác 0 là C 93 . Chọn 2 chữ số còn lại từ 3 chữ số đó, có 2 trường hợp sau đây: Trường hợp 1. Cả 2 chữ số còn lại cùng bằng 1 trong 3 chữ số a, b, c: có 3 cách; mỗi hoán vị từ 5! hoán vị của 5 chữ số (chẳng hạn) a, a, a, b, c tạo ra một số tự nhiên n; nhưng cứ 3! hoán vị của các vị trí mà a, a, a 5! chiếm chỗ thì chỉ tạo ra cùng một số n, nên trong trường hợp này có tất cả 3.  60 số tự nhiên. 3! Trường hợp 2. Một trong 2 chữ số còn lại bằng 1 trong 3 chữ số a, b, c và chữ số kia bằng 1 chữ số khác trong 3 chữ số đó: có 3 cách; mỗi hoán vị từ 5! hoán vị của 5 chữ số (chẳng hạn) a, a, b, b, c tạo ra một số tự nhiên n; nhưng cứ 2! hoán vị của các vị trí mà a, a chiếm chỗ và 2! hoán vị của các vị trí mà b, b chiếm 5! chỗ thì chỉ tạo ra cùng một số n, nên trong trường hợp này có tất cả 3.  90 số tự nhiên. 2!2! Vậy có 150 số. Nhận xét: Bài toán tìm số các số có 5 chữ số thỏa mãn điều kiện chỉ có mặt 3 chữ số khác nhau. Để giải dạng toán này ta chia các trường hợp cụ thể, sau đó lấy tổng các trường hợp để được đáp án. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: -Tìm số cách chọn 3 chữ số phân biệt a, b, c từ 9 chữ số khác 0. Chọn 2 chữ số còn lại từ 3 chữ số đó. - Trường hợp 1: Cả 2 chữ số còn lại cùng bằng 1 trong 3 chữ số a, b, c có 3 cách , mỗi hoán vị của 5 chữ số tạo ra số tụ nhiên n. - Trường hợp 2 : Một trong 2 chữ số còn lại bằng một trong các chữ số a, b, c và số còn lại bằng 1 chữ số khác trong 3 số đó. Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự: a. Một tổ gồm 8 nam và 6 nữ. Cần lấy một nhóm 5 người trong đó có 2 nữ, hỏi có bao nhiêu cách chọn. Đáp số: 840. b. Với 6 chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt trong đó mỗi số đều phải có mặt số 6. Đáp số: 1630. Câu 5. Vì A, B  Oyz  nên xA  xB  0 . 0  4 yA  3 zA  1 5 5  5 5 Do A  d1 nên    y A   ; z A    A  0;  ;   . 3 1 2 3 3  3 3 5 http://megabook.vn/
  y  zB  2  0  y  4 B  d2 nên  B  B  B  0; 4; 2  . 3 yB  12  0   zB  2   11 14   11 17  MA   1;  ;   ; MB   1; 2; 1   MA; MB   13; ;   .  3 3     3 3  1 1 SMAB   MA; MB  1931 (đvdt). 2   6 Nhận xét: Để tính diện tích một tam giác trong không gian 3 chiều Oxyz ta lập tọa độ 2 vector hai cạnh kề nhau rồi sử dụng công thức tính diện tích. Với bài toán ta tìm các đỉnh M , A, B với giải phương trình cơ bản. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: 1 - Diện tích tam giác MNP trong hệ trục tọa độ Oxyz cho bởi công thức : SMNP   MN.MP  . 2  - Mặt phẳng Oyz  có phương trình x  0 . Thay hoành độ các điểm A, B vào phương trình  d1  ,  d2  tính được A, B . - Tính vector MA, MB   MA; MB .   1 - Sử dụng công thức tính diện tích tam giác SMAB  MA; MB . 2  Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự: x 1 y 1 z a. Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 5;0  , B  3; 3;6  và đường thẳng d :   . 2 1 2 Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho diện tích tam giác MAB nhỏ nhất. Đáp số: M 1;0; 2  . x  1  t  b. Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A  0;1; 3 và đường thẳng d :  y  2  2t . Hãy tìm các điểm z  3  B, C thuộc đường thẳng d sao cho tam giác ABC đều.  6 3 82 3  6 3 82 3  B ; ; 3  ,C  ; ; 3   5 5   5   5   Đáp số:  .  6 3 82 3  6 3 82 3   B  5 ; 5 ; 3  ,C    5 ; 5 ; 3       Câu 6. Gọi H  AC DM vì SAC    ABCD  , SDM    ABCD  , suy ra SH   ABCD  . Từ H kẻ HK ⊥ AB  SK  AB , suy ra là góc giữa hai mặt phẳng SKH  600 là góc giữa hai mặt phẳng SAB  và  ABCD  . HA AM 1 1 AO Do AM / /CD     AH  AC  . HC CD 3 4 2 Mà ABD đều, AO là đường cao. a 3 a 3 1 a 3 3a Suy ra AH   HK  AH.sin HAK  .   SH  HK.tan600  . 4 4 2 8 8 6 http://megabook.vn/
1 1 3a a 3 3 a 3 3 Vậy VS. ABCD  SH.SABCD  . .  3 3 8 2 16 OM.HA Ta có cos  AM ; SA   . OM SA   Mà OM.SA  OA  AM SH  HA  AO.AH  AM.AH  1 2 AO 2  AM.AH.cos 300 2 1  a 3  a a 3 3 a2     . .  . 2  2  3 4 2 4 a2 Vậy cos  OM ; SA   4 12  . a 13 a 21 273 6 8 Nhận xét: Yếu tố hình học lớp 11 về góc giữa hai mặt phẳng , tính chất hai mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng khác được khai thác triệt để trong bài toán. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: -Hai mặt phẳng    ;   cùng vuông góc với mặt phẳng           d    . - Gọi H  AC DM  SH   ABCD  . -Dựng góc tạo bởi SAB  ,  ABCD  :Kẻ HK  AB  SKH  600 . 1 - Tính thể tích khối chóp:Tính SH ,áp dụng công thức tính thể tích khối chóp VS. ABCD  SH.SABCD . 3 OM.HA - Tính cosin giữa hai đường thẳng OM , SA :Sử dụng phương pháp vector cos  AM ; SA   . OM . SA   Mặt khác OM.SA  OA  AM SH  HA  cos OM; SA  .  Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự: a. Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  SC  CA  CB  a, AB  a 2 . Tính thể tích khối chóp S.ABC a3 2 và cosin góc giữa hai măt phẳng SAC  ,  SBC  . Đáp số: VS. ABC  (đvtt) và 12 c osinSAC , SBC   1 . 3 b. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  , SC  a . Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng SCB  và  ABC  trong trường hợp thể a3 . Đáp số:  SCB, ABC   arcsin 1 tích khối chóp VS. ABC  . 9 3 3 Câu 7. Gọi A '  2; 1 là điểm đối xứng với A qua tâm I 1; 3  của  S  . Khi đó A' C / / BH , A’B / /CH  A ' BHC là hình bình hành. Gọi M là giao điểm của BC với A’H  M  2;1 . Suy ra đường thẳng qua M vuông góc với AH  0; 2  là đường thẳng BC có phương trình y – 2  0 . 7 http://megabook.vn/
Giao điểm của đường thẳng y  2 với đường tròn  S  là hai điểm B, C có tọa độ là nghiệm của hệ y  2  y  2  y  2  phương trình  2  2   x  1  2 6 .  x  y  2 x  6 y  15  0  x  2 x  23  0  2   x  1  2 6    Vậy B 1  2 6; 2 và C 1  2 6; 2 .  Nhận xét: Để giải bài toán ta cần chú ý tới tính chất đường tròn ngoại tiếp tam giác, trực tâm của tam giác. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: -Đường tròn  S  ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I là giao của 3 đường trung trực nên IA  IB  IC .  -Phương trình tổng quát đường thẳng  d  qua M  a; b  nhận n  ;   2  2  0 làm một vector pháp  tuyến:   x  a     y  b   0 . -Tính chất song song với các trục Ox , Oy . Áp dụng cho bài toán: - Gọi A ' là điểm đối xứng của A qua tâm I  A ' . Ta có A' C / / BH , A' B / /CH  A ' BHC là hình bình hành. --Gọi M  BC A ' H  M . Vector AH vuông góc với vector chỉ phương của BC hay BC nhận AH làm một vector pháp tuyến, suy ra phương trình BC .  B, C  BC -Tọa độ các điểm B, C là nghiệm của hệ phương trình  .  B, C   S  Lưu ý: Từ vector AH   0; 2  ta dẫn tới phương trình BC . Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự: a. Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A 1; 0  , B  0; 2  và giao điểm của hai đường chéo là I thuộc đường thẳng y  x . Tìm tọa độ đỉnh C , D . 5 8 8 2 Đáp số: C  ;  , D  ;  hoặc C  1;0  , D  0; 2  . 3 3 3 3 b. Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đường phân giác từ A , trung tuyến từ B , đường cao kẻ từ C phương trình lần lượt là x  y  3  0; x  y  1  0; 2x  y  1  0 . Tìm tọa độ các  12 39   32 49   8 6  đỉnh tam giác. Đáp số: A  ;  , B  ;  , C   ;  .  17 17   17 17   17 17   2 y   4   2 y  . 2 Câu 8. Phương trình thứ nhất tương đương với x  x2  4  8 http://megabook.vn/
Xét hàm số y  f  t   t 2  4  t trên . t2  4  t t t Ta có f '  t   1  , suy ra f  t  là đồng biến trên ℝ. t    o , t  t2  4 t2  4 t2  4 Nhận thấy f  x   f  2 y   x  2 y là nghiệm duy nhất của phương trình. Thế x  2 y vào phương trình thứ hai, ta được  3x2  5x  2  2 3 x3  1   x  1  2  x  1  x3  1  2 3 x3  1 . 3  Xét hàm số y  g  s   s  2s trên 3 . Ta có g '  s   3s2  2  0, s  , suy ra g  s  là đồng biến trên ℝ. Nhận thấy g  x  1  g  3  x3  1  x  1  3 x3  1 là nghiệm duy nhất của phương trình.  x  1  y  2 x  1  3 x 3  1  3x 2  3x  0   . x  0  y  0 Hệ phương trình có nghiệm:  1; 2  ,  0;0  . Nhận xét: Phương pháp dùng hàm đặc trưng tìm ra mối quan hệ giữa x , y giải hệ phương trình. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: -Hàm số f  x  đồng biến(nghịch biến ) trên D  f  u  f  v   u  v . - Sử dụng nhân liên hợp phương trình thứ nhất của hệ. Nhận thấy cùng dạng t  t 2  4 . Xét hàm số f  t   t  t 2  4; t  R . Ta có hàm f  t  đồng biến trên R nên f  x   f  2 y   x  2 y . - Thay vào phương trình thứ hai suy ra phương trình 3x2  5x  2  2 3 x3  1 . Tới đây thêm bớt ra hàm đặc trưng với hàm g  s   s3  2 s đồng biến trên R . Giải phương trình vô tỉ cơ bản ta được nghiệm của hệ. Bài tập tương tự: a. Giải phương trình 2 x   x2  x  1  x  x  1 . Đáp số: x  1; x  1  33 16 . b. Giải hệ phương trình    x  4 y2  1  x  4  y y  x  3     . Đáp số:  x; y    0;1 , 1; 2  ,  3;0  .    x 2 y 2  1  2 x  1  3 x2  6 y 2  17    x  x2  1 y  y 2  1  1   5 5  5 5 c. Giải hệ phương trình  y 35 . Đáp số:  x ; y    ;   , ;   . y   3 3 4 4  x 1 2 12 x1 x y 1 y z 1 z yx zy xz Câu 9. Bất đẳng thức tương đương      0   0 y 1 y z 1 z x1 x y( y  1) z( z  1) x( x  1) Giả sử x  maxx , y , z . xy xy yz yz  Nếu y  z thì  và  . x  x  1 y  y  1 x  x  1 z  z  1 xz xy yz yx zy xz Suy ra       0 (điều phải chứng minh). x  x  1 y  y  1 z  z  1 y  y  1 z  z  1 x  x  1 zy zy xz xz  Nếu y  z thì  và  . z  z  1 y  y  1 x  x  1 y  y  1 9 http://megabook.vn/
zy xz xy yx zy xz Suy ra       0 (điều phải chứng minh). z  z  1 x  x  1 y  y  1 y  y  1 z  z  1 x  x  1 Nhận xét: Bài toán chứng minh bất đẳng thức sử dụng các phép so sánh của tập số thực R . Nhắc lại kiến thức và phương pháp: yx zy xz - Biến đổi bất đẳng thức đã cho, phân tích ta được   0. y  y  1 z  z  1 x  x  1 Giả sử x  maxx , y , z . xy xy yz yz + Nếu y  z   ,  (Sử dụng phép so sánh cơ bản). x  x  1 y  y  1 x  x  1 z  z  1 z y z y x z x z z y x z x y + Nếu y  z ta có  ,     . Chuyển vế ta có z  z  1 y y  1 x x 1 y y 1 z z 1 x x 1 y y 1 yx zy xz   0. y  y  1 z  z  1 x  x  1 Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự: a. Cho các số x , y , z không âm. Chứng minh rằng 2  x  y  z   9xyz  7  x  y  z  xy  yz  zx  3 (England-1999). a b c a b c b. Cho a, b, c  0 . Chứng minh rằng      . ab bc ca bc c a a b ..................HẾT.................. Megabook chúc các em học tốt Các em có thể xem thêm rất nhiều bộ đề thi hay tại Megabook.vn http://megabook.vn/ 10