Các công thức xấp xỉ của vận tốc sóng Rayleigh truyền trong vật liệu đàn hồi có biến dạng trước

Các công thức xấp xỉ của vận tốc sóng Rayleigh<br /> truyền trong vật liệu đàn hồi có biến dạng trước<br /> On the approximate fomulas for Rayleigh wave velocities in pre-strained elastic materials<br /> Phạm Thị Hà Giang<br /> <br /> Tóm tắt 1. Giới thiệu<br /> <br /> Mục đích chính của bài báo là thiết lập các Sóng mặt Rayleigh truyền trong môi trường đàn hồi đẳng hướng nén được mà<br /> Rayleigh [1] tìm ra hơn 130 năm trước vẫn đang được nghiên cứu một cách mạnh<br /> công thức xấp xỉ của vận tốc sóng Rayleigh<br /> mẽ vì những ứng dụng to lớn của nó trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học<br /> trong các môi trường đàn hồi có biến dạng<br /> và công nghệ như địa chấn học, âm học, địa vật lý, công nghệ truyền thông và khoa<br /> trước khác nhau. Phương pháp được sử<br /> học vật liệu. Có thể nói rằng những nghiên cứu của Rayleigh về sóng mặt truyền<br /> dụng trong bài báo là phương pháp bình trong bán không gian đàn hồi có ảnh hưởng sâu rộng đến cuộc sống hiện đại. Nó<br /> phương tối thiểu. Các công thức xấp xỉ đạt được sử dụng để nghiên cứu động đất, thiết kế mobile phone và nhiều thiết bị điện<br /> được được so sánh với các công thức chính tử cực nhỏ,.., như Adams và các cộng sự [2] đã nhấn mạnh.<br /> xác trong một số ví dụ số để chứng minh<br /> Đối với sóng Rayleigh, vận tốc của nó là đại lượng cơ bản được các nhà nghiên<br /> tính đúng đắn của công thức đưa ra. Các<br /> cứu trong các lĩnh vực khoa học khác nhau quan tâm. Tất cả các sách chuyên khảo<br /> công thức này có ý nghĩa trong khoa học về sóng âm truyền trong các vật thể đàn hồi đều có nghiên cứu về vận tốc sóng<br /> ứng dụng đặc biệt là việc đánh giá biến Rayleigh vì nó liên quan đến hàm Green trong nhiều bài toán động lực học của bán<br /> dạng trước bằng phương pháp không phá không gian đàn hồi, và là một công cụ thuận lợi cho đánh giá không phá hủy các<br /> hủy. ứng suất trước của kết cấu trước và trong khi chịu tải. Do vậy, các công thức giải<br /> Keywords : Sóng Rayleigh, vận tốc sóng tích của vận tốc sóng Rayleigh có ý nghĩa đặc biệt quan trọng về cả phương diện<br /> Rayleigh, vật liệu biến dạng trước, bình phương lý thuyết lẫn ứng dụng thực tế.<br /> tối thiểu, xấp xỉ tốt nhất Mặc dù sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình tán sắc của sóng<br /> Rayleigh đã được chứng minh nhưng qua hơn 100 năm công thức nghiệm của<br /> phương trình này vẫn chưa được tìm ra do tính chất phức tạp và bản chất siêu việt<br /> Abstract của nó, như đã nhấn mạnh trong [3].<br /> The main purpose of the paper is to establish<br /> Năm 1995, Rahman and Barber [4] đã tìm được công thức chính xác đầu tiên<br /> the approximative formulas for Rayleigh wave<br /> cho vận tốc sóng Rayleigh truyền trong vật rắn đàn hồi đẳng hướng nén được bằng<br /> velocities in different pre-strained elastic cách sử dụng lý thuyết phương trình bậc ba. Tuy nhiên công thức này được biểu<br /> environments. The method used in the paper diễn bằng hai biểu thức khác nhau tùy thuộc vào dấu biệt thức phương trình bậc ba<br /> is the least squares method. Some numerical nên không thuận tiện khi sử dụng.<br /> examples are performed to demonstrate the<br /> Sử dụng lý thuyết bài toán Riemann, Nkemzi [5] đã dẫn ra công thức cho vận tốc<br /> validity of the formula given. These formulas<br /> sóng Rayleigh, nó là một hàm liên tục của γ = µ ( λ + 2µ ) với λ, μ là các hằng số<br /> are useful in applied science especially the<br /> Lame. Công thức đó khá là phức tạp và kết quả cuối cùng trong bài báo của Nkemzi<br /> evaluation of material parameters by non- là không chính xác [6].<br /> destructive methods.<br /> Malischewsky [6] đã tìm được công thức biểu diễn vận tốc sóng Rayleigh bằng<br /> Keywords: Rayleigh waves, Rayleigh wave cách sử dụng công thức Cardan, công thức lượng giác của nghiệm phương trình<br /> velocity, pre-strained elastic material, Approach bậc ba và MATHEMATICA. Tuy nhiên Malischewsky không chứng minh được công<br /> of least squares, The best approximation thức này.<br /> Đến năm 2004, Vinh và Ogden [7] đã chứng minh một cách chặt chẽ công thức<br /> của Malischewsky, và tìm ra được một công thức khác. Đối với vật liệu trực hướng,<br /> không nén được, Ogden và Vinh [7] đã đưa ra được công thức dạng hiện dựa trên<br /> lý thuyết phương trình bậc ba. Sau đó, Vinh và Ogden [8, 9] đã tìm được các công<br /> thức dạng hiện cho vận tốc sóng Rayleigh trong môi trường đàn hồi trực hướng, nén<br /> được. Sử dụng phương pháp này, tác giả Vinh đã thiết lập được các công thức vận<br /> tốc sóng Rayleigh cho các môi trường có biến dạng trước [10-12].<br /> Như đã nói ở trên sóng Rayleigh có ảnh hưởng sâu rộng trong các ngành khoa<br /> học khác nhau. Nhưng có thể nói rằng, ứng dụng của sóng Rayleigh thực sự trở<br /> nên bùng nổ kể từ 1965 khi White và Voltmer [13] chế tạo thành công thiết bị IDT<br /> ThS. Phạm Thị Hà Giang<br /> (Interdigital Transducer). Với thiết bị này, sóng Rayleigh được tạo ra dễ dàng trong<br /> Bộ môn Cơ học lý thuyết, Khoa Xây dựng các vật liệu. Do vậy từ thời điểm này, sóng Rayleigh trở thành một công cụ vô cùng<br /> Email: hagiang813@gmail.com<br /> tiện lợi trong đánh giá không phá hủy các đặc trưng cơ học, phát hiện các vết nứt,<br /> ĐT: 0945164695<br /> khuyết tật của các cấu trúc trước và trong quá trình sử dụng. Ngày nay, vật liệu mới<br /> được tạo ra thường xuyên và việc giám định kết cấu của các cấu trúc (như cánh<br /> máy bay,...) trong quá trình sử dụng là hết sức cần thiết, nên ứng dụng của sóng<br /> Ngày nhận bài: 27/4/2017 Rayleigh trong công nghệ hiện đại là rất lớn. Gần đây, sóng Rayleigh được tạo ra dễ<br /> Ngày sửa bài: 15/5/2017 dàng hơn bằng một thiết bị lade [14] nên phạm vi ứng dụng của nó càng mở rộng.<br /> Ngày duyệt đăng: 05/10/2018<br /> Trong đánh giá không phá hủy (có sử dụng sóng Rayleigh), người ta cần công<br /> <br /> <br /> S¬ 32 - 2018 49<br />  KHOA H“C & C«NG NGHª<br /> <br /> <br /> thức giải tích của vận tốc sóng để giải bài toán ngược.<br /> Nhưng những công thức giải tích chính xác của vận tốc sóng<br /> Rayleigh đã tìm được cho các môi trường đàn hồi khác nhau<br /> có biểu thức cồng kềnh và khá phức tạp [7-12]. Những công<br /> thức xấp xỉ với độ chính xác cao là một lựa chọn tốt hơn<br /> trong đánh giá không phá hủy vì so với các công thức chính<br /> xác thì chúng có dạng đơn giản hơn nhiều.<br /> Từ khi công thức xấp xỉ đầu tiên cho vận tốc sóng<br /> Rayleigh trong môi trường đàn hồi đẳng hướng [16] được<br /> thiết lập cho đến nay, đã có rất nhiều công thức xấp xỉ cho<br /> vận tốc sóng Rayleigh được thiết lập nhằm cải thiện độ chính<br /> xác [17-25] .<br /> Hình 1: Biến dạng kéo nén (thể tích) của hình lập<br /> Tuy nhiên, đối với các môi trường đàn hồi có biến dạng<br /> phương<br /> trước chưa có một công thức xấp xỉ nào được thiết lập cho<br /> vận tốc sóng Rayleigh.<br /> Bài báo này thiết lập các công thức xấp xỉ cho vận tốc<br /> sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi có biến<br /> dạng trước dựa trên phương pháp bình phương tối thiểu đã<br /> được trình bày trong [22].<br /> <br /> 2. Bán không gian đàn hồi có biến dạng trước<br /> Xét bán không gian đàn hồi ở trạng thái tự nhiên (không<br /> biến dạng) chiếm miền X2≥0 trong hệ tọa độ Đề-Các<br /> (0,X1,X2,X3) cố định với các véc tơ đơn vị dọc theo các trục<br /> tọa độ là i, j, k. Mật độ năng lượng biến dạng trên mỗi đơn vị<br /> thể tích là hàm W độ khối lượng là ρ. Đặt tải P1, P2, P3 theo<br /> hướng véc tơ đơn vị ở xa vô cùng vào bán không gian đàn<br /> hồi để làm cho nó bị biến dạng ở trạng thái tĩnh. Các độ giãn<br /> chính theo các hướng của các vec tơ đơn vị i, j, k lần lượt là<br /> λ1, λ2, λ3. Lúc này các hạt vật chất có tọa độ ban đầu (khi vật<br /> liệu ở trạng thái tự nhiên không biến dạng) X1,X2,X3 sẽ có tọa Hình 2: Đường cong chính xác (đường gạch-gạch) và<br /> độ mới là x1 = λ1 X1, x2 = λ2 X2, x3 = λ3 X3. hai đường cong xấp xỉ (đường liền và đường gạch<br /> Gradient biến dạng được cho bởi công thức [16] chấm) của vận tốc sóng Rayleigh trên δ3 Є[1,2]<br /> F= λ1i ⊗ i + λ2 j ⊗ j + λ3k ⊗ k<br /> Hàm thế năng biến dạng W(λ1, λ2, λ3) là một hàm đối<br /> xứng của λi tức là giá trị của nó không thay đổi khi hoán vị<br /> vòng quanh λ1, λ2, λ3.<br /> <br /> 3. Xấp xỉ tốt nhất của hàm x3 trong các không gian<br /> L2[0,1] và C[0,1]<br /> Để có thể thiết lập được công thức xấp xỉ của vận tốc<br /> sóng Rayleigh trong các phần tiếp theo, ta phải tìm hàm xấp<br /> xỉ tốt nhất của x3 trong các không gian L2[0,1] và C[0 ,1].<br /> Về mặt toán học, trong trường hợp tổng quát, bài toán<br /> trên được phát biểu như sau:<br /> Cho một không gian định chuẩn X và tập con của X là<br /> V. Cho trước hàm f € V, xác định một phần tử g € V sao cho<br /> Hình 3: Đường cong chính xác (đường gạch-gạch)<br /> ║f-g║≤║f-h║ với mọi hàm h € V . và hai đường cong xấp xỉ (đường liền và đường gạch<br /> Ở đây, ký hiệu ║f║ là chuẩn của f € V. Nếu bài toán trên chấm) của vận tốc sóng Rayleigh trên đoạn a0[0.1<br /> tồn tại một nghiệm thì phần tử g tìm được được gọi là xấp xỉ 0.3].<br /> tốt nhất của f trong V.<br /> Các không gian thường được sử dụng trong thực hành || ϕ ||= max | ϕ (ν ) |, ϕ ∈ C[0,1]<br /> là L2[0,1] và C[0,1], với L2[0,1] là không gian các hàm mà ν ∈[0,1]<br /> <br /> bình phương của hàm đó khả tích theo nghĩa Lebesgue trên<br /> Đối với hai không gian này, bài toán tìm hàm xấp xỉ tốt<br /> [0 1], và C[0 1] là không gian các hàm liên tục trên [0 1]. Đây<br /> nhất đã phát biểu ở trên luôn tồn tại một nghiệm.<br /> là hai không gian định chuẩn, và chuẩn trong hai không gian<br /> này được định nghĩa như sau: Trong bài báo này, ta sử dụng hai xấp xỉ tốt nhất của x3<br /> 1/ 2<br /> trong các không gian L2[0,1] và C[0,1] lần lượt là [24]<br /> <br /> 1<br />  p1 ( x) = 1.5 x 2 − 0.6 x + 0.05. <br /> || ϕ ||=  ∫ ϕ 2 (x) dx  , ϕ ∈ L [0,1]<br /> 2<br /> (1)<br />  0  2<br /> p2 ( x ) =<br /> 1.5 x − 0.5625 x + 0.03125.<br /> Và (2)<br /> <br /> <br /> 50 T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C - XŸY D¼NG<br /> 4. Công thức xấp xỉ của vận tốc sóng Rayleigh trong<br /> môi trường đàn hồi không nén được có biến dạng N1ic + N12ic − M 1ic Q1ic<br /> xic1 = .<br /> trước M 1ic<br /> (15)<br /> Trong các bài toán truyền sóng, để thiết lập được công<br /> Thay xic trong phương trình (9) bằng p2(xic) ta có phương<br /> 3<br /> thức vận tốc sóng Rayleigh, ta phải thiết lập được một<br /> trình xấp xỉ của (11) là:<br /> phương trình với ẩn chính là vận tốc sóng. Phương trình đó<br /> được gọi là phương trình tán sắc. M 2ic xic2 − 2 N 2ic xic + Q2ic =<br /> 0, (16)<br /> Xét sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi trong đó,<br /> nén được có biến dạng trước theo hướng x1 và tắt dần theo<br /> hướng x2. Phương trình tán sắc trong trường hợp này là [10] M=<br /> 2 ic<br /> − ( A1ic − 0.5625 A3ic ) / 2,<br /> A2ic + 1.5 A3ic , N 2ic =<br /> 1 Q= A0ic + 0.03125 A3ic . <br /> γ (α − ρ c 2 ) + (2β + 2γ − 2σ 2 − ρ c 2 )[γ (α − ρ c 2 )] 2 =<br /> γ *2 (3)<br /> 2 ic (17)<br /> Trong đó, c là vận tốc song Rayleigh, ρ là mật độ khối Dễ dàng chỉ ra rằng nghiệm của phương trình (18) tương<br /> lượng, các tham số còn lại được xác định như sau: ứng với sóng Rayleigh là:<br /> <br /> α = B1212 , γ = B2121 , 2β = B1111 + B2222 − 2 B1122 − 2 B1221 , N 2ic + N 22ic − M 2ic Q2ic<br /> xic 2 = .<br /> (4) M 2ic<br /> γ *= γ − σ 2 (18)<br /> Với Bijkl là các tensor đàn hồi của vật liệu được xác định Để kiểm tra độ chính xác của các công thức thu được, ta<br /> như sau xét một trường hợp cụ thể với các tham số δ1=1, δ2=2 và<br /> δ10[1 2] Trước tiên, ta thực hiện giải số phương trình tán<br /> ∂ 2W sắc (9) để thu được các giá trị chính xác của vận tốc sóng<br /> Biijj = λi λ j ,<br /> ∂λi ∂λ j Rayleigh không thứ nguyên xic, sau đó ta tính các giá trị xấp<br /> (5)<br /> xỉ của nó thu được từ công thức (15) và (18). Các kết quả<br />  ∂W ∂W  λ 2 này được thể hiện trong hình vẽ 2. Nhìn vào hình vẽ 2 ta thấy<br />  λi − λj  i<br /> (i ≠ j , λi ≠ λ j ), các đường cong xấp xỉ và chính xác dường như trùng nhau<br />  ∂λi ∂λ j  λi2 − λ j2 hoàn toàn. Điều này chứng tỏ công thức xấp xỉ đạt độ chính<br /> Bijij = <br /> 1  ∂W  xác rất cao.<br />  2  Biiii − Biijj + λi ∂λ  (i ≠ j , λi = λ j ),<br /> 5. Công thức xấp xỉ của vận tốc sóng Rayleigh trong<br />   i <br /> (6) môi trường đàn hồi nén được có biến dạng trước<br /> ∂W Phương trình tán sắc của sóng Rayleigh truyền theo<br /> Bijji = Bijij λi<br /> B jiij =− (i ≠ j ).<br /> ∂λi hướng x1 và tắt dần theo hướng trong môi trường đàn hồi<br /> (7)<br /> nén được có biến dạng trước [11]<br /> Trong các công thức trên ta không lấy tổng theo i, j. σ2 là<br /> ứng suất Cauchy theo hướng x2. (α11 − ρ c 2 )[γ 2 (γ 1 − ρ c 2 ) − γ *2 ]<br /> Ta đưa vào các đại lượng không thứ nguyên sau: γ2<br /> xic = c ρ=<br /> 2<br /> / α , δ1 γ=<br /> / α , δ 2 β / α , δ3 = γ * / α . <br /> + [α 22 (α11 − ρ c 2 ) − α122 ] α11 − ρ c 2 γ 1 − ρ c 2 =<br /> 0<br /> (8) α 22<br /> (19)<br /> Sau một vài phép biến đổi ta có thể đưa phương trình Trong đó c là vận tốc sóng, ρ là mật độ khối lượng, các<br /> trên về một đa thức bậc ba như sau: tham số còn lại được xác định như sau:<br /> ( xic ) A3ic xic3 + A2ic xic2 + A1ic xic + A0ic = 0, <br /> F= α= JA1111 , α= JA2222 , α= α= JA1122 ,<br /> (9) 11 22 12 21<br /> <br /> Các hệ số trong đa thức trên là =γ 1 JA<br /> =1212 , γ 2 JA<br /> =2121 , γ * JA2112 , (20)<br /> δ1 A2ic =<br /> A3ic = δ − 4δ1δ 2 − 4δ1δ 3 − δ1 , <br /> 1<br /> 2<br /> (10) trong đó J=λ1 λ2 λ3 và Aijkl là tensor đàn hồi của vật liệu<br /> được xác định như sau:<br /> A1ic= 2δ1 ( −δ1 + 2δ 22 + δ 2 (4δ 3 + 2) + δ 3 (3δ 3 + 2) ) ,<br /> (11) ∂ 2W<br /> JAiijj = λi λ j<br /> A0ic =δ − 2δ1 ( 2δ + 4δ 2δ 3 + 3δ<br /> 2 2 2<br /> )+δ 4<br /> . ∂λi ∂λ j<br /> 1 2 3 3<br /> (12) (21)<br /> <br /> Chú ý rằng trong tài liệu tham khảo [10], tác giả Vĩnh đã <br /> ) 2λi 2 , (i ≠ j, λi ≠ λ j ),<br /> 2<br /> ∂W ∂W<br /> khẳng định 0≤ xic ≤1. Vì vậy, ta có thể thay xic3 trong phương (λi − λj<br /> trình (11) bằng p1(xic), khi đó ta có phương trình bậc hai:  ∂λi ∂λ j λi − λ j<br /> Aijij = <br /> M 1ic x 2 − 2 N1ic x + Q1ic =<br /> 0, (13)  1 ( JA − JA + λ ∂W ), (i ≠ j , λi =λ j ),<br /> 2 iiii iijj i<br /> ∂λi<br />  (22)<br /> Trong đó<br /> A2ic + 1.5 A3ic , N1ic =<br /> M 1ic = −( A1ic − 0.6 A3ic ) / 2, Q1ic ∂W<br /> JAijji = JAijij − λi<br /> JAjiij = (i ≠ j ),<br /> = A0ic + 0.05 A3ic . ∂λi<br /> (14) (23)<br /> <br /> Không khó để chỉ ra rằng nghiệm của phương trình (13) Ta đưa vào các đại lượng không thứ nguyên sau:<br /> tương ứng với sóng Rayleigh là: xc = ρ c 2 / γ 1 ,<br /> <br /> <br /> <br /> S¬ 32 - 2018 51<br />  KHOA H“C & C«NG NGHª<br /> <br /> <br /> γ2 α α α 2 γ1 N 2 c + N 22c − M 2 c Q2 c<br /> 1− * , b =<br /> a= 11 22<br /> ,d =<br /> 1 − 12 ,θ = . xc 2 =<br /> γ 1γ 2 γ 1γ 2 α11α 22 α11 (24) M 2c<br /> (32)<br /> Sau khi chuyển vế và bình phương hai vế phương trình trong đó<br /> (21), ta thu được phương trình bậc ba sau:<br /> M=<br /> 2c A2 c + 1.5 A3c ,<br /> ( xc ) A3c xc3 + A2 c xc2 + A1c xc + A0 c = 0,<br /> F= (25) −( A1c − 0.5625 A3c ) / 2, Q2 c =<br /> N 2c = A0 c + 0.03125 A3c .<br /> (33)<br /> trong đó:<br /> Bây giờ, ta sẽ thực hiện khảo sát số trong trường hợp<br /> A3c = bθ 2 − θ , A2 = 2aθ − 2bdθ − bθ 2 + 1, còn b=0.4, d=0.8; θ=0.5 còn a0[0.1, 0.3]. Thay các giá trị số<br /> (26)<br /> này vào phương trình tán sắc (27) và giải phương trình đó, ta<br /> A1c =bd + 2bdθ − a θ − 2a,<br /> 2 2 2<br /> A0 c =a − bd . 2<br /> thu được các giá trị chính xác của vận tốc sóng Rayleigh xc.<br /> (27)<br /> Sau đó tiếp tục thay b=0.4, d=0.8; θ=0.5 và a0[0.1, 0.3] vào<br /> Tương tự như phần trên, ta có thể thay thế xc bằng hai 3<br /> các công thức xấp xỉ vận tốc sóng (30) và (32). Các kết quả<br /> xấp xỉ bậc hai tốt nhất của nó. Nếu thay thế xc3 bởi p1(xc) ta<br /> thu được được thể hện trên hình vẽ 3. Trong hình vẽ 3, các<br /> thu được công thức xấp xỉ của vận tốc sóng Rayleigh là<br /> đường cong khá gần nhau, điều này cho thấy các công thức<br /> N1c + N12c − M 1c Q1c xấp xỉ đạt được trong trường hợp này là khá tốt.<br /> xc1 = ,<br /> M 1c 6. Kết luận<br /> (28)<br /> trong đó Các công thức xấp xỉ cho vận tốc sóng Rayleigh truyền<br /> trong các môi trường đàn hồi có biến dạng trước thu được<br /> A2 c + 1.5 A3c , N1c =<br /> M 1c = −( A1c − 0.6 A3c ) / 2, trong bài báo là đơn giản và có độ chính xác khá tốt. Chúng<br /> Q= A0 c + 0.05 A3c . có thể được dùng để thay thế các công thức chính xác cho<br /> 1c (29) việc giải các bài toán ngược trong đánh giá không phá hủy.<br /> Nếu thay thế xc bởi p2(xc), ta thu được công thức xấp<br /> 3<br /> Đóng góp của bài báo tuy nhỏ nhưng rất có ý nghĩa trong<br /> xỉ vận tốc sóng là khoa học ứng dụng./.<br /> <br /> <br /> T¿i lièu tham khÀo 14. [14] Peter Hess, Alexey M. Lomonosov, Andreas P. Mayer, Laser-<br /> based linear and nonlinear guided elastic waves at surfaces (2D)<br /> 1. [1] Rayleigh L., (1885), On waves propagating along the plane and wedges (1D), Ultrasonics ,Volume 54, Issue 1, January 2014,<br /> surface of an elastic solid, Proc. R. Soc. Lond. A,17, pp. 4-11. Pages 39–55.<br /> 2. [2] Adams S. D. M., Craster R. V., Williams D. P., (2007), 15. [15] Pham C. V. and Malischewsky P. G. (2007), An approach for<br /> Rayleigh waves guided by topography, Proc. R. Soc. Lond A, 463, obtaining approximate formulas for the Rayleigh wave velocity,<br /> pp. 531-550. Wave Motion, 44, pp.549-562.<br /> 3. [3] Voloshin V., (2010), Moving load on elastic structures: passage 16. [16] Bergmann L., (1948), Ultrasonics and their scientific and<br /> through the wave speed barriers, PhD thesis, Brunel University. technical applicationse Jonh Wiley Sons, New York.<br /> 4. [4] Rahman M., Barber J. R., (1995), Exact expression for the roots 17. [17] Achenbach J. D., (1973), Wave propagation in Elastic Solids,<br /> of the secular equation for Rayleigh waves, ASME J. Appl. Mech., North-Holland, Amsterdam.<br /> 62, pp.250-252.<br /> 18. [18] Brekhovskikh L. M., (1990) Acoustics ò layered media: plane<br /> 5. [5] Nkemzi D., (1997), A new formula for the velocity of Rayleigh and quasi-plane waves, Springer-Verlag, Berlin.<br /> waves, Wave Motion, 26, pp. 199-205.<br /> 19. [19] Briggs G. A. D., (1992) Acoustic microscopy, Clarendon Press,<br /> 6. [6] Malischewsky, P. G. (2000), Comment to “ A new formula for Oxford.<br /> velocity of Rayleigh waves “ by D.Nkemzi [Wave Motion 26 (1997)<br /> 199 - 205], Wave Motion,31, pp. 93 - 96. 20. [20] Nesvijski, E. G., (2001), On Rayleigh Equation and Accuracy<br /> of Its Real Roots Calculations, J. Thermo. Plast. Compt. Mater, 14,<br /> 7. [7] Pham C. V., Ogden R. W., (2004), On formulas for the Rayleigh pp. 356-364.<br /> wave speed, Wave Motion, 39, pp. 191-197.<br /> 21. [21] Pham C. V. and Malischewsky, P., (2006), Explanation for<br /> 8. [8] Pham C. V., Ogden R. W., (2004), Formulas for the Rayleigh Malischewsky’s approximate expression for the Rayleigh wave<br /> wave speed in orthotropic elastic solids, Ach. Mech., 56 (3), pp. velocity. Ultrasonics, 45, pp. 77-81.<br /> 247-265.<br /> 22. [22] Pham C. V. and Malischewsky P. G. (2007), An approach for<br /> 9. [9] Pham C. V., Ogden R. W.,(2005), On a general formula for the obtaining approximate formulas for the Rayleigh wave velocity,<br /> Rayleigh wave speed in orthotropic elastic solids, Meccanica , 40, Wave Motion, 44, pp.549-562.<br /> pp. 147-161.<br /> 23. [23] Pham C. V. and Malischewsky, P., (2007). An improved<br /> 10. [10] Pham C. V.,(2010), On formulas for the velocity of Rayleigh approximation of Bergmann’s form for the Rayleigh wave velocity,<br /> waves in pre-strained incompressible elastic solids, ASME J. Appl. Ultrasonic, 47, pp. 49-54.<br /> Mech., 77, 9 pages.<br /> 24. [24] Pham C. V. and Malischewsky, P., (2008), Improved<br /> 11. [11] Pham C. V., (2011), On formulas for the Rayleigh wave Approximations of the Rayleigh Wave Velocity, J. Thermoplast.<br /> velocity in pre-stressed compressible solids, Wave Motion, 48, pp. Comp. Mater., 21, pp. 337-352.<br /> 613-624.<br /> 25. [25] Pham C. V. and Malischewsky, P.(2008), Improved<br /> 12. [12] Pham C. V., Pham T. H. G, (2010), On formulas for the Approximations for the Rayleigh Wave Velocity in [-1. 0.5],<br /> Rayleigh wave velocity in pre-strained elastic materials subject to Vietnam Journal of Mechanics, 30, pp. 347-358.<br /> an isotropic internal constraint. Int. J. of Eng. Sci. 48 , pp. 275-289.<br /> 26. [26] Destrade M., Scott N. H., (2004), Surface waves in a<br /> 13. [13] White, R.M., Voltmer, F.M. (1965), Direct piezoelectric deformed isotropic hyperelastic material subject to an isotropic<br /> coupling to surface elastic waves, Appl. Phys. Lett. 7, pp. 314-316. internal constraint, Wave Motion, 40, pp. 347-357.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 52 T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C - XŸY D¼NG<br />