intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

Chia sẻ: Meomeo Ten | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:49

Thêm vào BST
Báo xấu
169
lượt xem 16
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong thực tế chúng ta thường gặp những hiện tượng ngẫu nhiên, tức là những hiện tượng mà mặc dù với mọi khả năng có thể có ta cố gắng giữ cho những điều kiện cơ bản của các lần thí nghiệm về các hiện tượng ấy không thay đổi, nhưng ta vẫn không thể khẳng định được kết quả của từng thí nghiệm riêng lẻ sẽ như thế nào. Sở dĩ như vậy vì ngoài nhóm những điều kiện cơ bản ra còn có rất nhiều các nguyên nhân không lường trước được, gây tác động khác nhau trong...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

  1. Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất  Ch−¬ng 1 BiÕn cè ngÉu nhiªn vμ x¸c suÊt Trong thùc tÕ chóng ta th−êng gÆp nh÷ng hiÖn t−îng ngÉu nhiªn, tøc lµ nh÷ng hiÖn t−îng mµ mÆc dï víi mäi kh¶ n¨ng cã thÓ cã ta cè g¾ng gi÷ cho nh÷ng ®iÒu kiÖn c¬ b¶n cña c¸c lÇn thÝ nghiÖm vÒ c¸c hiÖn t−îng Êy kh«ng thay ®æi, nh−ng ta vÉn kh«ng thÓ kh¼ng ®Þnh ®−îc kÕt qu¶ cña tõng thÝ nghiÖm riªng lÎ sÏ nh− thÕ nµo. Së dÜ nh− vËy v× ngoµi nhãm nh÷ng ®iÒu kiÖn c¬ b¶n ra cßn cã rÊt nhiÒu c¸c nguyªn nh©n kh«ng l−êng tr−íc ®−îc, g©y t¸c ®éng kh¸c nhau trong qu¸ tr×nh tiÕn hµnh c¸c lÇn thÝ nghiÖm, lµm cho kÕt qu¶ cña c¸c lÇn thÝ nghiÖm cã thÓ thay ®æi tõ lÇn nµy sang lÇn kh¸c, khiÕn cho mäi cè g¾ng cña chóng ta ®Ó dù ®o¸n kÕt qu¶ chÝnh x¸c ë mçi lÇn thÝ nghiÖm riªng lÎ ®Òu v« hiÖu. Tuy nhiªn, trªn c¬ së quan s¸t rÊt nhiÒu hiÖn t−îng thùc tÕ ng−êi ta thÊy r»ng nÕu nh− ë mçi thÝ nghiÖm riªng lÎ sù xuÊt hiÖn cña mét sù kiÖn nµo ®ã cßn mang tÝnh chÊt ngÉu nhiªn th× qua mét sè lín lÇn lÆp l¹i cïng thÝ nghiÖm Êy, kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn kh¸ch quan cña sù kiÖn ®ã l¹i biÓu hiÖn kh¸ râ nÐt. V× vËy mét lý thuyÕt to¸n häc ®· ®−îc x©y dùng nªn nh»m nghiªn cøu mét c¸ch chÝnh x¸c tÝnh quy luËt cña c¸c hiÖn t−îng ngÉu nhiªn khi ta lÆp l¹i nhiÒu lÇn cïng c¸c ®iÒu kiÖn c¬ b¶n lµm n¶y sinh ra c¸c hiÖn t−îng ®ã, ®−îc gäi lµ Lý thuyÕt x¸c suÊt. A- C¸c ®Þnh nghÜa vÒ x¸c suÊt I. PhÐp thö vμ kh«ng gian c¸c biÕn cè s¬ cÊp Trong lý thuyÕt x¸c suÊt, khi thùc hiÖn mét nhãm c¸c ®iÒu kiÖn c¬ b¶n nµo ®ã ng−êi ta gäi lµ thùc hiÖn mét phÐp thö. NÕu kÕt qu¶ cña phÐp thö mµ kh«ng thÓ kh¼ng ®Þnh tr−íc ®−îc th× ta cã mét phÐp thö ngÉu nhiªn. Ta sÏ ký hiÖu phÐp thö ngÉu nhiªn lµ G. C¸c kÕt qu¶ cã thÓ x¶y ra trong phÐp thö G sao cho khi G ®−îc thùc hiÖn th× thÓ nµo còng cã mét trong chóng x¶y ra, chóng lo¹i trõ lÉn nhau vµ kh«ng thÓ ph©n chia thµnh 1 Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD
  2. Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất  nh÷ng kÕt qu¶ nhá h¬n th× c¸c kÕt qu¶ nh− vËy ®−îc gäi lµ c¸c biÕn cè s¬ cÊp. Nãi c¸ch kh¸c mét biÕn cè s¬ cÊp lµ mét kÕt qu¶ tèi gi¶n cña phÐp thö. TËp hîp tÊt c¶ c¸c biÕn cè s¬ cÊp ω cña phÐp thö G ®−îc gäi lµ kh«ng gian c¸c biÕn cè s¬ cÊp (kh«ng gian mÉu) víi ký hiÖu lµ Ω . ThÝ dô 1. NÕu phÐp thö lµ “tung mét ®ång xu” th× Ω = { S, N } trong ®ã: ω 1= S = kÕt qu¶ lµ sÊp; ω 2 = N = kÕt qu¶ lµ ngöa. ThÝ dô 2. NÕu phÐp thö lµ “tung mét h¹t xóc s¾c” th×: Ω ={1,2,3,4,5,6} trong ®ã : ω i= i = ®−îc mÆt i chÊm (i= 1,6 ) ThÝ dô 3. NÕu phÐp thö lµ “tung cïng mét lóc hai ®ång xu” th× : Ω ={(S,S), (S,N), (N,S), (N,N)} ThÝ dô 4. NÕu phÐp thö lµ “Tung cïng mét lóc hai h¹t xóc s¾c” th×: Ω ={(x,y): x= 1,6 ;y= 1,6 } ThÝ dô 5. NÕu phÐp thö lµ "tung mét ®ång xu cho tíi khi nµo ®−îc mÆt sÊp th× dõng" th×: Ω = {S, NS, NNS, NNNS,...} ThÝ dô 6. NÕu phÐp thö lµ "®o kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm ch¹m cña viªn ®¹n tíi t©m bia víi b¸n kÝnh cña bia lµ mét ®¬n vÞ ®é dµi th× Ω = [0,1[. NhËn xÐt : a. Sè l−îng c¸c phÇn tö cña Ω trong c¸c thÝ dô 1, 2, 3, 4 lµ h÷u h¹n. b. Sè l−îng c¸c phÇn tö cña Ω trong thÝ dô 5 lµ v« h¹n nh−ng ®Õm ®−îc (tøc lµ ta cã thÓ ®¸nh sè ®−îc ω1 = S, ω 2 = NS, ω3 = NNS,....). C¸c tËp h÷u h¹n hay v« h¹n ®Õm ®−îc gäi lµ c¸c tËp h¬p rêi r¹c. c. Sè l−îng c¸c phÇn tö cña Ω trong thÝ dô 6 (sè c¸c ®iÓm cña ®o¹n [0,1[) lµ v« h¹n nh−ng ®Õm ®−îc. Trong tr−êng hîp nµy ta b¶o Ω cã lùc l−îng continum. II. - ®¹i sè c¸c biÕn cè 1. BiÕn cè ngÉu nhiªn Mét biÕn cè ngÉu nhiªn A lµ mét tËp hîp con cña Ω 2 Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD
  3. Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất  ThÝ dô 1: Gäi A lµ biÕn cè “®−îc mÆt cã sè chÊm lµ béi cña 3” khi tung h¹t xóc s¾c th× A={3,6} ⊂ Ω . Ghi chó a. KÕt qu¶ ω nµo cña G mµ lµm cho A x¶y ra th× kÕt qu¶ ®ã ®−îc gäi lµ kÕt qu¶ thuËn lîi cho A. Nh− vËy biÕn cè A ë thÝ dô võa nªu cã hai kÕt qu¶ thuËn lîi. b. Mçi biÕn cè s¬ cÊp ω còng cã thÓ coi lµ mét biÕn cè ngÉu nhiªn { ω } (gåm mét phÇn tö ). c. Ω ®−îc gäi lµ biÕn cè ch¾c ch¾n. d. TËp hîp trèng φ ®−îc gäi lµ biÕn cè kh«ng thÓ cã. C¸c kh¸i niÖm võa nªu cã thÓ minh häa trong h×nh sau A xx xx x ω Ω 2. Mèi quan hÖ gi÷a c¸c biÕn cè Stone ®· chøng minh ®−îc r»ng: gi÷a c¸c tËp hîp vµ c¸c biÕn cè cã mét sù ®¼ng cÊu. V× vËy ta cã thÓ dïng mèi quan hÖ gi÷a c¸c tËp hîp ®Ó m« t¶ mèi quan hÖ gi÷a c¸c biÕn cè. Cô thÓ: a. NÕu B ⊂ A th× biÕn cè B gäi lµ kÐo theo biÕn cè A. Nh− vËy c¸c phÇn tö ω cña Ω thuéc B còng sÏ thuéc A (H×nh 1.1). Nãi c¸ch kh¸c biÕn cè B x¶y ra còng lµm cho biÕn cè A x¶y ra. A Bx x x x Ω H×nh 1.1 3 Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD
  4. Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất  ThÝ dô 2: Gäi B lµ biÕn cè “®−îc mÆt 3 chÊm” tøc lµ B = {3}. Khi ®ã B ⊂ A = {3, 6} = biÕn cè “®−îc mÆt cã sè chÊm lµ béi cña 3”. b. NÕu B ⊂ A vµ A ⊂ B th× A vµ B gäi lµ hai biÕn cè t−¬ng ®−¬ng vµ ®−îc ký hiÖu lµ A=B. ThÝ dô 3: Gi¶ sö mçi chÊm ®−îc 5 ®iÓm nÕu A lµ biÕn cè “®−îc mÆt 6 chÊm” vµ B lµ biÕn cè “ng−êi tung ®−îc 30 ®iÓm” th× A = B. c. NÕu B = Ω \ A th× B gäi lµ biÕn cè ®èi lËp cña A. Nh− vËy B sÏ x¶y ra khi A kh«ng x¶y * ra (H×nh 1.2) A B Ω H×nh 1.2 ThÝ dô 4: NÕu A ={3, 6}= biÕn cè “®−îc mÆt cã sè chÊm lµ béi cña 3” th× B = Ω \{3, 6}={1, 2, 4, 5} lµ biÕn cè “®−îc mÆt cã sè chÊm kh«ng chia hÕt cho 3”. Ghi chó: BiÕn cè ®èi lËp cña biÕn cè A th−êng ®−îc ký hiÖu lµ A . d. NÕu C = A ∪ B th× C gäi lµ biÕn cè tæng cña hai biÕn cè A vµ B. Nh− vËy C sÏ x¶y ra khi Ýt nhÊt cã mét trong hai biÕn cè A hoÆc B x¶y ra (H×nh 1.3) ta còng cã thÓ ký hiÖu C = A + B A B Ω H×nh 1.3 ThÝ dô 5: NÕu A={3, 6}= BiÕn cè “®−îc mÆt cã sè chÊm lµ béi cña 3” Ω ={1,2,3,4,5,6} * (*)TÊt c¶ c¸c thÝ dô trong môc nµy sÏ ®−îc xÐt trong phÐp thö “ tung mét h¹t sóc s¾c” khi ®ã 4 Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD
  5. Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất  B ={2,4,6} = BiÕn cè “®−îc mÆt cã sè chÊm lµ ch½n ” th× C = A ∪ B ={2,3,4,6}= BiÕn cè “ ®−îc mÆt ch½n hoÆc béi 3 ”. n ∪ A i cña n biÕn cè thµnh phÇn A i T−¬ng tù biÕn cè tæng (i= 1, n ) lµ biÕn cè sÏ x¶y ra i=1 khi Ýt nhÊt cã mét trong c¸c biÕn cè Ai x¶y ra. e. NÕu C = A ∩ B th× C gäi lµ biÕn cè tÝch cña hai biÕn cè A vµ B. Nh− vËy C sÏ x¶y ra khi A vµ B ®Òu x¶y ra. (H×nh 1.4) Ta còng cã thÓ ký hiÖu C = A.B B Ω A H×nh 1.4 ThÝ dô 6: NÕu A ={3,6} = BiÕn cè “®−îc mÆt cã sè chÊm lµ béi cña 3” B ={2,4,6} = BiÕn cè “®−îc mÆt cã sè chÊm lµ ch½n”. th× C = A ∩ B ={6}= BiÕn cè “®−îc mÆt 6 chÊm”( võa lµ ch½n võa lµ béi cña 3) n ∩ A i cña n biÕn cè thµnh phÇn A i lµ biÕn cè sÏ x¶y ra khi tÊt c¶ T−¬ng tù biÕn cè tÝch i =1 c¸c biÕn cè A i ®Òu x¶y ra (i= 1, n ) f. NÕu A ∩ B = φ th× A vµ B gäi lµ hai biÕn cè xung kh¾c. Nh− vËy A vµ B sÏ kh«ng thÓ cïng x¶y ra trong phÐp thö (H×nh 1.5) B A Ω H×nh 1.5 5 Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD
  6. Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất  ThÝ dô 7: NÕu A = {3, 6}= BiÕn cè “®−îc mÆt cã sè chÊm lµ béi cña 3” B ={1, 2}= BiÕn cè “®−îc mÆt cã sè chÊm kh«ng qu¸ 2” th× A ∩ B = φ (kh«ng thÓ võa ®−îc mÆt cã sè chÊm lµ béi cña 3 võa cã sè chÊm nhá h¬n hoÆc b»ng 2). NhËn xÐt 1: Hai biÕn cè A vµ B ë h×nh 1.4 lµ kh«ng xung kh¾c (phÇn giao kh«ng trèng). NhËn xÐt 2: Hai biÕn cè ®èi lËp A vµ A sÏ tho¶ m·n c¶ hai hÖ thøc: ⎧A ∪ A = Ω (1) ⎪ ⎨ ⎪A ∩ A = φ (2) ⎩ Nh− vËy cã thÓ nµo còng cã mét (hÖ thøc 1) vµ chØ mét (hÖ thøc 2) trong hai biÕn cè nµy cïng x¶y ra trong phÐp thö. Ghi chó: C¸c biÕn cè A i (i = 1, n ) gäi lµ xung kh¾c tõng ®«i. NÕu bÊt kú cÆp biÕn cè nµo trong chóng còng lµ hai biÕn cè xung kh¾c. g. C¸c biÕn cè A i (i= 1, n ) gäi lµ mét hÖ ®Çy ®ñ n biÕn cè (hoÆc t¹o nªn mét ph©n ho¹ch cña Ω ) nÕu : ⎧n ⎪∪ A i = Ω (víi i ≠ j ) ⎨ i =1 ⎪A ∩ A = φ ⎩i j Nh− vËy thÓ nµo còng cã mét vµ chØ mét trong c¸c biÕn cè A i (i= 1, n ) x¶y ra trong phÐp thö (H×nh 1.6). An A1 A2 …. Ai …. Ω H×nh 1.6 ThÝ dô 8: NÕu A = {1, 2} = BiÕn cè “®−îc mÆt cã sè chÊm kh«ng qu¸ 2” 6 Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD
  7. Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất  B = {3} = BiÕn cè “®−îc mÆt cã sè chÊm lµ 3” C ={4, 5, 6} = BiÕn cè “®−îc mÆt cã sè chÊm tèi thiÓu lµ 4” th× A, B, C lµ mét hÖ ®Çy ®ñ 3 biÕn cè. NhËn xÐt: Hai biÕn cè ®èi lËp A vµ A lËp thµnh mét hÖ ®Çy ®ñ 2 biÕn cè. Ghi chó: V× gi÷a c¸c tËp hîp vµ c¸c biÕn cè cã sù ®¼ng cÊu nªn c¸c tÝnh chÊt cña c¸c phÐp to¸n vÒ tËp hîp còng ®óng cho c¸c phÐp to¸n vÒ biÕn cè, ch¼ng h¹n c¸c phÐp to¸n hîp vµ giao c¸c biÕn cè cã tÝnh chÊt giao ho¸n vµ kÕt hîp. Cô thÓ ta cã: A∪B=B∪A ( A∪ B ) ∪ C = A∪ (B ∪ C) A ∩ B= B ∩ A ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) V× thÕ víi mét sè h÷u h¹n c¸c biÕn cè s¬ cÊp A i (i= 1, n ) th× c¸c biÕn n n ∪ A i , ∩ A i lµ hoµn toµn x¸c ®Þnh. cè i =1 i =1 Ngoµi ra ta còng cã quy t¾c ®èi ngÉu (quy t¾c De Morgan) nh− sau: ⎧n n ⎪∩ Ai = ∪ Ai ⎪i = 1 i =1 ⎨ ⎪n n ⎪∪ Ai = ∩ Ai ⎩i = 1 i =1 3.  -§¹i sè c¸c biÕn cè Trong thùc tÕ cã nhiÒu tr−êng hîp chóng ta muèn thùc hiÖn v« h¹n lÇn c¸c phÐp to¸n vÒ c¸c biÕn cè vµ kÕt qu¶ vÉn ph¶i ®−îc mét biÕn cè. V× vËy ®èi víi mét hä A c¸c biÕn cè nµo ®ã ®−îc x©y dùng trªn kh«ng gian Ω ta sÏ gi¶ thuyÕt nã tháa m·n c¸c yªu cÇu sau ®©y: a. Ω ∈ A b. NÕu A ∈ A th× A ∈ A 7 Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD
  8. Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất  c. NÕu A i (i = (1, ∞) lµ mét d·y ®Õm ®−îc c¸c biÕn cè thuéc A th×: ∞ ∪A ∈ A i i =1 Hä A c¸c biÕn cè nh− vËy ®−îc gäi lµ mét σ - ®¹i sè ( mét σ tr−êng Borel) c¸c biÕn cè. Tõ ®Þnh nghÜa trªn ta suy ra: α . Φ ∈ A. V× Ω ∈ A nªn Ω = Φ ∈ A. β . NÕu A ∈ A, B ∈ A th× A ∩ B ∈ A. V× A ∈ A nªn A ∈ A; B ∈ A nªn B ∈ A. Do ®ã A ∪ B ∈ A, tøc lµ ∈ A. A∩B Suy ra A ∩ B ∈ A . VËy A ∩ B ∈ A. ∞ ∩ A ∈ A . §iÒu nµy suy γ . §iÒu kiÖn c) t−¬ng ®−¬ng víi ®iÒu kiÖn i i =1 réng kÕt qu¶ ë β ). Tãm l¹i mét - ®¹i sè c¸c biÕn cè sÏ ®ãng kÝn ®èi víi mét d·y h÷u h¹n hoÆc ®Õm A. Nãi c¸ch kh¸c ®−îc c¸c phÐp tÝnh tæng, tÝch hoÆc lÊy ®èi lËp víi c¸c biÕn cè thuéc nÕu A lµ mét - ®¹i sè c¸c biÕn cè th× khi ta thùc hiÖn mét sè h÷u h¹n hay ®Õm ®−îc c¸c phÐp to¸n võa nªu ®èi víi c¸c biÕn cè thuéc A th× kÕt qu¶ l¹i ®−îc mét biÕn cè thuéc A. CÆp ( Ω , A ) ®−îc gäi lµ mét kh«ng gian ®o. Nã dïng ®Ó m« h×nh ho¸ mét phÐp thö ngÉu nhiªn cïng víi c¸c sù kiÖn mµ ta muèn xÐt g¾n víi phÐp thö Êy. ThÝ dô 9: NÕu Ω ={ ω1 , ω 2 ,..., ω n } vµ ta xÐt - ®¹i sè A lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c tËp con cña Ω (kÓ c¶ Ω vµ Φ ) th× ®©y lµ - ®¹i sè lín nhÊt cã thÓ x©y dùng ®−îc tõ Ω vµ gåm 2 n phÇn tö. III. §Þnh nghÜa tiªn ®Ò vÒ x¸c suÊt Nh− ta ®· nªu ë phÇn më ®Çu ch−¬ng, mçi biÕn cè ngÉu nhiªn A cã mét kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn kh¸ch quan. V× thÕ trong lý thuyÕt x¸c suÊt ng−êi ta l−îng ho¸ kh¶ n¨ng xuÊt 8 Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD
  9. Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất  hiÖn kh¸ch quan cña mét biÕn cè A b»ng mét con sè. Con sè nµy gäi lµ x¸c suÊt cña A vµ ®−îc ký hiÖu lµ P(A). §èi víi P(A) cã nhiÒu c¸ch ®Þnh nghÜa kh¸c nhau trong ®ã c¸ch ®Þnh nghÜa theo tiªn ®Ò lµ cã tÝnh tæng qu¸t nhÊt vµ chÆt chÏ nhÊt vÒ mÆt l«-gic. 1. §Þnh nghÜa tiªn ®Ò vÒ x¸c suÊt X¸c suÊt (hoÆc ®é ®o x¸c suÊt) P x¸c ®Þnh trªn - ®¹i sè c¸c biÕn cè A cña kh«ng gian ®o ( Ω , A) lµ mét hµm thùc ¸nh x¹ A vµo R vµ tho¶ m·n c¸c tiªn ®Ò sau ®©y: ∈A . P(A) ≥ 0 víi mäi A (P1). P( Ω ) = 1. (P2). NÕu d·y {A i } (i= 1, ∞ ) tháa m·n ®iÒu kiÖn A i ∩ A j = Φ víi mäi i ≠ j th× (P3). ∞ P( ∪ A i ) = ∑ P (A i ) . ∞ i =1 i =1 Tiªn ®Ò (P3) cßn gäi lµ tÝnh chÊt σ - céng tÝnh cña ®é ®o x¸c suÊt P. Bé ba ( Ω , A, P) ®−îc gäi lµ mét kh«ng gian x¸c suÊt. Ghi chó 1: Tõ tÝnh chÊt - céng tÝnh ta cã thÓ suy ra tÝnh chÊt h÷u h¹n céng tÝnh cña ®é n n ®o x¸c suÊt P, tøc lµ P( ∪ A i ) = ∑ P(A i ) víi A i ∩ A j = Φ (i ≠ j). i =1 i =1 (xem tÝnh chÊt 2 ë môc sau ). Ghi chó 2: HÖ tiªn ®Ò nªu trªn ®· ®−îc Can-m«-g«-rèp ®−a ra vµo n¨m 1933. Ta thÊy hÖ tiªn ®Ò nµy kh«ng m©u thuÉn, cã nghÜa lµ ta cã thÓ x©y dùng nh÷ng m« h×nh tho¶ m·n tiªn ®Ò ®ã. Ch¼ng h¹n gi¶ sö xÐt Ω lµ mét tËp hîp h÷u h¹n c¸c phÇn tö ω i (i = 1, n ) vµ A lµ hÖ tÊt c¶ c¸c tËp hîp con cña Ω (kÓ c¶ Ω vµ Φ ). Nh− ®· nªu, A gåm 2 n phÇn tö. ⎧p i ≥ 0 Ta ®Æt pi = P( ω i ) sao cho: ⎪ n ⎨ (i= 1, n ) ⎪∑ p i = 1 ⎩ i =1 Khi ®ã: 9 Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD
  10. Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất  m a. NÕu A = { ω i1 , ω i2 , ..., ω i m } th× P(A) = ∑ p i ≥0. k k =1 n ∑p b. P( Ω ) = =1. i i =1 c. NÕu A = { ω i1 , ω i2 ,..., ω i m } B = { ω j1 , ω j2 ,... ω js } Trong ®ã: ω i k ≠ ω jl víi mäi k ≠ l th× A∩B = Φ vµ A∪B = { ω i1 , ω i2 ,..., ω i m , ω j1 , ω j2 ,... ω js } P(A∪B) = P{ ω i1 , ω i2 ,..., ω i m , ω j1 , ω j2 ,... ω js } m = ∑ p i + ∑ p jl = P(A) + P(B) n k k =1 l =1 Nh− vËy c¸c tiªn ®Ò cña Can-m«-g«-rèp ®−îc tho¶ m·n. Ghi chó 3: HÖ tiªn ®Ò Can-m«-g«-rèp kh«ng ®Çy ®ñ, tøc lµ víi cïng mét tËp hîp Ω ta cã thÓ x¸c ®Þnh x¸c suÊt P trªn tËp hîp A theo nh÷ng c¸ch kh¸c nhau. Ch¼ng h¹n nÕu ta tung h¹t xóc s¾c th× Ω ={ ω1 , ω 2 , ω 3 , ω 4 , ω 5 , ω 6 }. NÕu h¹t xóc s¾c ®Òu ®Æn vµ ®ång chÊt th×: 1 P( ω1 ) = P( ω 2 ) = P( ω 3 ) = P( ω 4 ) = P( ω 5 ) = P( ω 6 ) = 6 Nh−ng nÕu h¹t xóc s¾c kh«ng ®ång chÊt vµ kh«ng c©n ®èi th× c¸c x¸c suÊt P ph¶i x¸c ®Þnh kh¸c ®i, ch¼ng h¹n ta cã thÓ ®Æt: 1 1 P( ω1 ) = P( ω 2 ) = P( ω 3 ) = P( ω 4 ) = P( ω 5 ) = P( ω 6 ) = ; . 4 12 Nh− vËy tÝnh kh«ng ®Çy ®ñ cña hÖ tiªn ®Ò Can-m«-g«-rèp kh«ng ph¶i lµ mét nh−îc ®iÓm, mµ tr¸i l¹i nã lµ mét −u ®iÓm v× nã cho phÐp ta tuú theo ®iÒu kiÖn cô thÓ cña vÊn ®Ò ®ang xÐt mµ x¸c ®Þnh x¸c suÊt thÝch hîp cho c¸c biÕn cè thuéc  - ®¹i sè A. 2. Mét sè tÝnh chÊt cña x¸c suÊt suy ra tõ ®Þnh nghÜa tiªn ®Ò P( Φ ) = 0. TÝnh chÊt 1: 10 Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD
  11. Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất  Chøng minh: XÐt d·y biÕn cè {A i } (i = 1, 2,...) sao cho A i = Φ víi mäi i. Khi ®ã A i ∩A j = Φ víi i ≠ j ∞ ∪A = φ. vµ i i =1 ∞ ∞ ∑ P(A ) = ∑ n VËy theo tiªn ®Ò (P3) ta cã: P(φ) = P( ∪ A i ) = P(φ) i i =1 i =1 i =1 Râ rµng chØ cã mét sè thùc tho¶ m·n ®¼ng thøc nµy ®ã lµ sè 0. n P( ∪ A i )= ∑ P ( A i ) víi A i ∩ A j =φ (i≠j) n TÝnh chÊt 2: i =1 i=1 Chøng minh: XÐt d·y c¸c biÕn cè {A i } (i=1, 2, ..., n, ...) sao cho A i ∩ A j =φ (víi i ≠ j ) vµ A i = Φ n ∞ ∪ Ai . ∪Ai = khi i > n. Khi ®ã i =1 i =1 Theo tiªn ®Ò (P3) ta cã: ∞ ∞ ∞ n n P( ∪ A i ) = P( ∪ A i ) = ∑ P(A i ) = ∑ P(A i ) + ∑ P(A ) i i =1 i =1 i = n +1 i =1 i =1 n n ∑ P(A i ) + 0 = ∑ P(A ) . = i i =1 i =1 TÝnh chÊt 3: P(A) + P( A ) = 1. Chøng minh: Nh− ®· nªu, A vµ A tho¶ m·n hai hÖ thøc: ⎧A ∪ A = Ω ⎪ (1) ⎨ ⎪A ∩ A = Φ ⎩ (2 ) Tõ (1) ta cã P( A∪ A ) = P( Ω ) = 1 Tõ (2) ta cã P(A∪ A ) = P(A) + P( A ) Tõ ®ã ta suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. 11 Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD
  12. Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất  TÝnh chÊt 4: 0 ≤ P(A) ≤ 1. Chøng minh: ≥0 Theo tiªn ®Ò (P1) ta ®· cã P(A) MÆt kh¸c theo tÝnh chÊt 3 th× P(A) = 1- P( A ) Mµ P( A ) ≥ 0 theo tiªn ®Ò (P1) nªn P(A) ≤ 1. TÝnh chÊt 5: NÕu B ⊂ A th× P(B) ≤ P(A) vµ P(A\B) = P(A) - P(B). Chøng minh: V× B ⊂ A nªn A = B ∪ (A\B). Do B ∩ (A\B) = Φ nªn P(A) = P(B) + P(A\B) (*). Do P(A\B) ≥ 0 nªn P(A) ≥ P(B). KÕt qu¶ thø hai ®−îc suy ra tõ hÖ thøc (*). TÝnh chÊt 6: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B). Chøng minh: Ta cã thÓ ph©n tÝch (xem h×nh 1.7) A ∪ B =A B ∪ AB ∪ A B A B AB AB AB Ω H×nh 1.7 Nh− vËy ta ®· ph©n tÝch tæng cña hai biÕn cè kh«ng xung kh¾c thµnh tæng cña ba biÕn cè xung kh¾c tõng ®«i. Tõ ®ã theo tiªn ®Ò (P3) ta cã: P(A ∪ B) = P(A B ) + P(AB) + P( A B) (1) MÆt kh¸c: Do A = A B +AB nªn P(A) = P(A B ) + P(AB) 12 Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD
  13. Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất  suy ra P(A B ) = P(A) - P(AB) (2) Do B = A B + AB nªn P(B) = P(A B ) + P(AB) suy ra P( A B) = P(B) - P(AB) (3) Thay vµo (2) vµ (3) vµo (1) ta ®−îc P(A ∪ B) = P(A) - P(AB) + P(AB) + P(B) - P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB) Ghi chó: Më réng tÝnh chÊt nµy ta cã: n n n n P( ∪ A i )= ∑ P(A i ) - ∑ P(A i A j ) + ∑ P(A A A ) - ... + i j k i =1 i< j i< j< k i =1 +(-1)n-1 P(A 1 A 2 ...A n ). Chøng minh: 2 Theo tÝnh chÊt 6 ta cã P( ∪ A i ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) - P(A 1 A 2 ) i=1 Gi¶ sö n −1 n −1 n −1 P( ∪ A i ) = ∑ P(A i ) - ∑ P(A i A j ) +...+(-1)n-2 P(A 1 A 2 ..An-1) i =1 i =1 i =1 Khi ®ã: n n −1 ∪ Ai = (∪Ai ) ∪ A n i =1 i=1 n n −1 n −1 P( ∪ A i ) = P( ∪ A i ) + P(A n ) - P(A n ∪ A i ) i =1 i =1 i =1 n −1 n -1 = P( ∪ A i ) + P(A n ) - P( ∪ A i A n ) i =1 i =1 ¸p dông gi¶ thiÕt quy n¹p cho thµnh phÇn thø nhÊt vµ thø ba ë bªn vÕ ph¶i råi ghÐp c¸c tæng l¹i víi nhau ta sÏ ®−îc kÕt qu¶ ph¶i chøng minh. TÝnh chÊt 7: ∞ ∞ ∑ P( A ) P( ∪ A n ) ≤ n n =1 n =1 13 Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD
  14. Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất  Chøng minh: ThËt vËy, nÕu ®Æt B 1 = A 1 B2 = A1∩ A2 ............... B n = A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ A n-1 ∩ A n ............... th× ta cã: Bn ⊆ An ( n ≥ 2) (i ≠ j ) Bi ∩ B j= Φ ∞ ∞ ∪An = ∪B . n n =1 n =1 Do ®ã: ∞ ∞ ∞ ∞ P( ∪ A n ) = P( ∪ B n ) = ∑ P( Bn ) ≤ ∑ P( A ) n n =1 n =1 n =1 n =1 ( V× B n ≤ A n nªn P(B n ) ≤ P(A n )). TÝnh chÊt 8: NÕu P lµ mét ®é ®o x¸c suÊt x¸c ®Þnh trªn  - ®¹i sè A cña kh«ng gian ®o ( Ω , A) th× c¸c ®iÒu kh¼ng ®Þnh sau ®©y lµ t−¬ng ®−¬ng: a. P cã tÝnh chÊt - céng tÝnh. b. P liªn tôc trªn, cã nghÜa lµ víi bÊt kú mét d·y ®¬n ®iÖu t¨ng ∞ A 1 ⊂ A 2 ⊂ .... ⊂ A n ⊂ ... thuéc A sao cho lim A n = ∪ A n ⊂ A th× n →∞ n =1 ∞ lim P (A n ) = P( ∪ A n ). n →∞ n =1 c. P liªn tôc d−íi, cã nghÜa lµ víi bÊt kú mét d·y ®¬n ®iÖu gi¶m A 1 ⊃ A 2 ⊃ A n ⊃ ... ∞ ∩A ∈ thuéc A sao cho lim A n = A th× n →∞ n n =1 14 Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD
  15. Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất  ∞ lim P (A n ) = P( ∩ A n ). n →∞ n =1 d. P liªn tôc t¹i “kh«ng” tøc lµ víi bÊt kú d·y ®¬n ®iÖu gi¶m ∞ ∩A = Φ th× A 1 ⊃ A 2 ⊃ ... ⊃ A n ⊃ ... thuéc A sao cho lim P (A n ) =0. n n →∞ n =1 Ghi chó: TÝnh chÊt d) nµy cßn gäi lµ tiªn ®Ò liªn tôc. Chøng minh: a) => b) V× A 1 ⊂ A 2 ⊂ .... ⊂ A n ⊂ ... nªn ta cã thÓ viÕt: ∞ ∪A = A 1 + (A 2 \A 1 ) + (A 3 \ A 2 ) + ... n n =1 Do c¸c biÕn cè bªn vÕ ph¶i xung kh¾c tõng ®«i nªn theo a) ta cã: ∞ P( ∪ A n ) = P(A 1 ) + P(A 2 \A 1 ) + P(A 3 \ A 2 ) + ... n =1 ∞ ∞ ∪An ⊂ ®· x¸c ®Þnh ®é ®o x¸c suÊt P nªn P( ∪ A n ) tån t¹i. A vµ trªn A Do n =1 n =1 V× thÕ chuçi bªn vÕ ph¶i cña ®¼ng thøc trªn ph¶i héi tô. Do ®ã ta cã: P( ∪ A n ) = lim (P ( A 1 ) + P ( A 2 \ A 1 ) + ...... + P (A n \ A n −1 )) = lim P (A n ) ∞ n →∞ n →∞ n =1 Tãm l¹i P( lim A n ) = lim P (A n ) . n →∞ n →∞ b) => c) V× {A n } lµ d·y ®¬n ®iÖu gi¶m nªn nÕu ta ®Æt A 'n = A 1 \A n th× {A 'n } sÏ lµ mét d·y ®¬n ®iÖu t¨ng. VËy theo b) th×: ∞ ∪A ' ' ' lim P (A ) = P( lim A ) = P( ) n n n n →∞ n →∞ n =1 ∞ lim P(A 1 \ A n ) = P[ ∪ (A 1 \ A n ) ] Tøc lµ n →∞ n =1 MÆt kh¸c do A 1 ⊃ An nªn ta cã thÓ viÕt 15 Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD
  16. Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất  A n = A 1 \(A 1 \A n ) Do ®ã P(A n ) = P(A 1 ) - P(A 1 \A n ) lim P (A n ) = P(A 1 ) - lim P (A n \ A n ) n →∞ n →∞ ∞ = P(A 1 ) - P[ ∪ (A 1 \ A n ) ] n =1 ∞ ∞ ∪ (A1 \ A n ) = A 1 \ ∩ A n Còng do A 1 ⊃ A 2 ⊃ ... ⊃ A n ⊃ ..... nªn n =1 n =1 ∞ VËy : lim P (A n ) = P(A 1 ) - P[A 1 \ ∩ A n ] n →∞ n =1 ∞ ∞ = P(A 1 ) - [ p(A 1 ) - P( ∩ A n )] = P( ∩ A n ). n =1 n =1 Tøc lµ P( lim A n ) = lim P (A n ) . n →∞ n →∞ c) => d) MÖnh ®Ò nµy lµ hiÓn nhiªn, do c¸c kÕt qu¶ trªn ta cã: ∞ lim P (A n ) = P( lim A n ) = P( ∩ A n ) = P( Φ ) = 0 n →∞ n →∞ n =1 d) => a) Tr−íc hÕt ta cã thÓ viÕt n ∞ ∞ ∪Ai = ∪Ai + ∪A i i =1 i = n +1 i =1 Do gi¶ thiÕt c¸c biÕn cè lµ xung kh¾c tõng ®«i vµ vÕ ph¶i coi nh− chØ gåm hai biÕn cè (tr−êng hîp h÷u h¹n) nªn: n ∞ ∞ P( ∪ A i ) = P( ∪ A i ) + P( ∪A ) i i =1 i = n +1 i=1 n ∞ ∞ ∪ A i th× P( ∪ A i ) = P( ∪ A i ) + P(B n +1 ). NÕu ®Æt B n = i=n i =1 i =1 Ta thÊy B n ⊃ B n +1 ⊃ B n +2 ⊃ .... 16 Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD
  17. Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất  MÆt kh¸c nÕu B n x¶y ra th× mét trong c¸c biÕn cè Ai x¶y ra (i ≥ n), do ®ã c¸c biÕn cè A i+1 , A i+2 ,... sÏ kh«ng x¶y ra v× c¸c biÕn cè cña d·y {A i } (i= 1, ∞ ) Theo gi¶ thiÕt lµ xung kh¾c tõng ®«i. Tõ ®ã c¸c biÕn cè B i+1 , B i+2 ,...sÏ lµ kh«ng thÓ ∞ = φ. ∩B cã, v× thÕ i i=n ∞ ∞ ∪Ai ∈ A nªn P( ∪ A Do ) tån t¹i. i i =1 i =1 VËy ta cã thÓ viÕt ∞ ∞ P( ∪ A i ) = lim P( ∪ A lim P(B n +1 ) )+ i n →∞ n →∞ i =1 i =1 n lim ∑ P(A ) + 0 = i n →∞ i =1 ∞ ∑ P(A ) . = i i =1 3. Nguyªn lý x¸c suÊt nhá vµ lín X¸c suÊt P(A) nh»m nªu lªn kh¶ n¨ng x¶y ra cña A chø kh«ng kh¼ng ®Þnh vÒ hiÖn thùc cña biÕn cè ®ã. Tuy nhiªn biÕt ®−îc kh¶ n¨ng x¶y ra cña A ta cã thÓ nhËn ®Þnh ®−îc t×nh h×nh x¶y ra cña A mét c¸ch hîp lý. Cô thÓ qua thùc nghiÖm vµ quan s¸t thùc tÕ ng−êi ta rót ra “nguyªn lý x¸c suÊt nhá” sau ®©y: “Mét biÕn cè cã x¸c suÊt nhá th× thùc tÕ ta cã thÓ coi nã lµ kh«ng thÓ x¶y ra trong mét phÐp thö”. Tuy nhiªn víi møc x¸c suÊt nhá lµ bao nhiªu th× biÕn cè sÏ ®−îc coi lµ “hÇu nh− kh«ng thÓ cã”? §iÒu nµy sÏ do tõng tr−êng hîp cô thÓ quyÕt ®Þnh. VÒ vÊn ®Ò nµy t¸c gi¶ Guy Lefort còng cã ý kiÕn nh− sau: “Trong thùc hµnh ph¶i coi sù kiÖn “rÊt Ýt kh¶ n¨ng x¶y ra” lµ mét sù kiÖn thùc tÕ kh«ng thÓ x¶y ra (nÕu kh«ng th× chóng ta kh«ng bao giê d¸m qua ®−êng v× thùc tÕ cã mét x¸c suÊt, tuy rÊt nhá, nh−ng kh«ng ph¶i lµ sè 0, ®Ó chóng ta bÞ xe c¸n). Nh−ng mét sù kiÖn rÊt Ýt kh¶ n¨ng x¶y ra kh«ng ph¶i lµ kh«ng thÓ x¶y ra vµ nh÷ng quyÕt ®Þnh cña chóng ta khi ¸p dông quy t¾c trªn cã thÓ m¾c nh÷ng sai lÇm mµ chóng ta cÇn l−u ý”. 17 Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD
  18. Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất  Sai lÇm mµ Guy Lefort nãi tíi tÊt nhiªn tuú thuéc vµo viÖc chóng ta quy ®Þnh møc x¸c suÊt nhá (lín) lµ bao nhiªu th× mét biÕn cè trong thùc tÕ sÏ ®−îc coi lµ kh«ng thÓ cã (ch¾c ch¾n). Nh− võa nªu trªn, ®iÒu nµy lµ tuú thuéc tõng hoµn c¶nh cô thÓ. IV. mét sè ®Þnh nghÜa s¬ khai vÒ x¸c suÊt §Þnh nghÜa tiªn ®Ò lµ ®Þnh nghÜa chÆt chÏ nhÊt vÒ mÆt l«-gÝc. Tuy nhiªn tr−íc khi Can- m«-g«-rèp ®−a ra ®Þnh nghÜa nµy th× còng ®· cã nh÷ng ®Þnh nghÜa s¬ khai vÒ x¸c suÊt mµ giê ®©y ta cã thÓ coi chóng lµ nh÷ng tr−êng hîp riªng cña ®Þnh nghÜa tiªn ®Ò. MÆc dï c¸c ®Þnh nghÜa s¬ khai nµy cã nh÷ng nh−îc ®iÓm nhÊt ®Þnh, nh−ng trong nh÷ng tr−êng hîp thÝch hîp chóng vÉn ph¸t huy ®−îc t¸c dông cña m×nh. 1. §Þnh nghÜa cæ ®iÓn vÒ x¸c suÊt Gi¶ sö ®èi víi phÐp thö G ta cã: Ω ={ ω1 , ω 2 ,..., ω n } Víi ω i (i= 1, n ) cã kh¶ n¨ng x¶y ra nh− nhau. Ta lËp -®¹i sè c¸c biÕn cè A lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c tËp con cña Ω (kÓ c¶ Ω vµ φ). §©y lµ - ®¹i sè lín nhÊt cã thÓ x©y dùng ®−îc tõ Ω . Do c¸c ω i (i= 1, n ) lµ ®ång kh¶ n¨ng nªn ta x¸c lËp ®é ®o x¸c suÊt P sao cho 1 P( ω1 ) = P( ω 2 ) = ... = P( ω n ) = n Khi ®ã víi A = { ω i1 , ω i 2 ,... ω i m ) ∈ A P(A) = P( ω i1 ) + P( ω i 2 ) + ... + P( ω i m ) 11 1m = + + ... + = nn n n ë ®©y m chÝnh lµ sè kÕt côc cña G thuËn lîi cho A x¶y ra. Tõ ®ã ta cã ®Þnh nghÜa x¸c suÊt theo quan ®iÓm cæ ®iÓn nh− sau: §Þnh nghÜa: 18 Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD
  19. Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất  Sè c¸ c kÕt côc thuËn lîi cho A x ¶ y ra m P(A) = = Sè kÕt côc ® ång kh ¶ n ¨ ng cña phÐp thö n Râ rµng ®Þnh nghÜa nµy cã nh−îc ®iÓm lµ kh«ng chÆt chÏ vÒ mÆt l«-gÝch khi dùa vµo tÝnh ®ång kh¶ n¨ng ®Ó ®Þnh nghÜa x¸c suÊt (lµ con sè x¸c ®Þnh kh¶ n¨ng x¶y ra cña biÕn cè). Tuy nhiªn ®èi víi nh÷ng hiÖn t−îng cã tÝnh chÊt ®èi xøng vµ sè kÕt côc cña phÐp thö lµ h÷u h¹n th× ®Þnh nghÜa nµy vÉn ph¸t huy ®−îc t¸c dông. ThÝ dô 1: TÝnh x¸c suÊt ®Ó trong k ng−êi kh«ng quen biÕt nhau (2 ≤ k ≤ 365) sÏ cã Ýt nhÊt 2 ng−êi cã ngµy sinh nhËt trïng nhau biÕt r»ng hä ®Òu kh«ng sinh vµo nh÷ng n¨m nhuËn. Bµi gi¶i Víi gi¶ thiÕt lµ bÊt kú mét ngµy nµo ®ã trong 365 ngµy cña n¨m ®Òu cã thÓ lµ ngµy sinh cña mçi ng−êi th× sè kÕt côc ®ång kh¶ n¨ng cña phÐp thö (sè ngµy sinh nhËt cã thÓ cña k ng−êi) sÏ lµ n = 365 x 365 x...x365=365 k Gäi A lµ biÕn cè “tÊt c¶ c¸c ngµy sinh cña k ng−êi lµ kh¸c nhau” th× sè kÕt côc thuËn lîi cho A lµ m = 365(365-1) ... [365 - (k-1)] (365)! k = A 365 = (365 - k )! k A 365 (365)! VËy P(A) = = (365 - k )!(365) k (365) k (365)! Tõ ®ã x¸c suÊt ph¶i t×m lµ : P( A ) = 1- P(A) = 1- (365 − k )!(365) k 2. §Þnh nghÜa thèng kª vÒ x¸c suÊt §Þnh nghÜa nµy dùa vµo tÇn suÊt cña biÕn cè. Cô thÓ nÕu phÐp thö G ®−îc lÆp l¹i K lÇn mµ biÕn cè A xuÊt hiÖn k lÇn th× tÇn suÊt cña A lµ k f(A) = K BÐc-nu-ly ®· chøng minh r»ng víi mäi sè ε > 0 nhá tïy ý ta ®Òu cã: 19 Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD
  20. Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất  P ( f (A ) − P (A ) < ε) = 1 limK→∞ §iÒu nµy cã nghÜa lµ khi K t¨ng v« h¹n th× hÇu nh− ch¾c ch¾n f(A) sÏ nhËn gi¸ trÞ rÊt gÇn víi P(A). V× thÕ nÕu K kh¸ lín th× ta cã thÓ coi f(A) ≈ P(A) Nh− vËy c¸ch x¸c ®Þnh x¸c suÊt theo quan ®iÓm thèng kª nµy mang tÝnh chÊt thùc nghiÖm. MÆt kh¸c muèn x¸c ®Þnh P(A) mét c¸ch t−¬ng ®èi chÝnh x¸c ta ph¶i lÆp l¹i mét sè lín lÇn phÐp thö. §iÒu nµy ®ßi hái nhiÒu c«ng søc vµ ®«i khi kh«ng thùc hiÖn ®−îc, ch¼ng h¹n nh− khi phÐp thö ®ßi ph¶i ph¸ huû c¸c ®¬n vÞ ®−îc ®iÒu tra (thÝ dô nh− khi ta muèn x¸c ®Þnh tû lÖ p c¸c hép háng cña mét kho ®å hép). Sau ®©y lµ mét thÝ dô vÒ c¸ch x¸c ®Þnh x¸c suÊt th«ng qua tÇn suÊt. §Ó x¸c ®Þnh x¸c suÊt sinh con g¸i, ta cã thÓ c¨n cø vµo sè liÖu thèng kª cña Thôy §iÓn vµo n¨m 1935 mµ nhµ to¸n häc H. Cramer ®· cung cÊp nh− sau: Th¸ng 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C¶ n¨m Tæng sè 7280 6957 7883 7884 7892 7609 7585 7393 7203 6903 6552 7132 88.273 sinh Sè con trai 3743 3550 4017 4173 4117 3944 3964 3797 3712 3512 3392 3761 45.682 Sè con g¸i 3537 3407 3866 3711 3775 3665 3621 3596 3491 3391 3160 3371 42.591 TÇn suÊt 0,4825 0,486 0,489 0,490 0,471 0,478 0,482 0,462 0,484 0,485 0,491 0,482 0,473 sinh con g¸i Ta thÊy tÇn suÊt sinh con g¸i dao ®éng quanh gi¸ trÞ 0,482. VËy nÕu gäi A lµ biÕn cè “sinh con g¸i” th× ta cã thÓ coi P(A) ≈ 0,482. TÊt nhiªn, ®èi víi hiÖn t−îng nµy, chóng ta kh«ng thÓ ¸p dông ®Þnh nghÜa cæ ®iÓn ®−îc v× viÖc sinh con trai vµ con g¸i kh«ng ph¶i lµ hai tr−êng hîp ®ång kh¶ n¨ng. Nãi 1 c¸ch kh¸c, x¸c suÊt ®Ó mét bµ mÑ sinh con g¸i kh«ng thÓ lµ . 2 20 Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2