zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

» Toán học - Thống kê

Chuyên đề ôn thi Cao học 2012 Hàm số và cực trị - TS. Nguyễn Hữu Thọ

Chia sẻ: Ngo Tuan Anh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Báo xấu

116
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuyên đề ôn thi Cao học 2012 Hàm số và cực trị do TS. Nguyễn Hữu Thọ biên soạn giúp cho các bạn biết cách khảo sát tính biến thiên, cực đại cực tiểu; khảo sát tính lồi lõm, điểm uốn của đồ thị hàm số; khái niệm, điều kiện đủ cực trị của hàm hai biến; đạo hàm theo hướng và gradient.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề ôn thi Cao học 2012 Hàm số và cực trị - TS. Nguyễn Hữu Thọ

TS. Nguyễn Hữu Thọ - Bộ môn Toán Trường Đại học Thủy Lợi 2012 Chuyên đề: HÀM SỐ A. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT 1. Khảo sát tính biến thiên, cực đại cực tiểu - Tìm miền xác định - Tính đạo hàm cấp 1 - Xét dấu đạo hàm cấp 1 rồi lập bảng biến thiên rồi suy ra kết luận. 2. Khảo sát tính lồi lõm, điểm uốn của đồ thị hàm số - Tính đạo hàm cấp 2 - Lập bảng xét dấu của đạo hàm cấp 2 rồi suy ra kết quả. B. MỘT SỐ BÀI TẬP Bài số 1. Xác định tính biến thiên của hàm số; khoảng lồi lõm, điểm uốn của đồ thị 1) .. 2) .. (a, b> 0) 4x 2 12 12 3) y = 4) y = − x2 + 3 x2 x x3 x 5) y = 6) y = x +1 (x + 1)2 16 3 1 4(x 2 - 1) 7) y = x + 8) y= 3 x x2 4(x - 1) 16 9) y = 10) y = x 2 + 2 x2 x 5x 2 + 2 5x 2 - 20x + 21 11) y = 12) y = x2 + 1 x2 - 4x + 5 2 2 13) . y = x 2 (x -4)3 . 14) y = x + -2 2 x x x3 15) y = 16) y = (a > 0) x +1 2 x 2 + 3a 2 1 5 17) y = 3 18) y = 4 x +1 3x + 5 x3 8 2 19) y = 20) y = − (x − 1)2 x 3 x 1
TS. Nguyễn Hữu Thọ - Bộ môn Toán Trường Đại học Thủy Lợi 2012 b Bài số 2. Tìm a và b sao cho y = a x + có (1,4) là điểm uốn. x C. MỘT SỐ ĐỀ THI GẦN ĐÂY 1(1997). a) Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị (C) của hàm số sau: 1−x y= 1 + x2 b) Chứng tỏ rằng các điểm uốn của (C) thẳng hang. 2(1999) a) Tìm cực trị của hàm số: y = x 2 − ln(1 + 2x ) . x2 b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số: y = . 2 x −1 x2 3(2000) Cho hàm số: y = f (x ) = có đồ thị (‫)ܥ‬. Tìm các tiệm cận, khoảng lồi, lõm và 1 + x2 điểm uốn của (‫)ܥ‬. 4  1 + x  4(2001) Cho hàm số y = f (x ) =   có đồ thị (‫)ܥ‬. Tìm các tiệm cận, cực trị, khoảng lồi,  1 − x  lõm, điểm uốn của (‫)ܥ‬. 1 5(2002) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = . 1 − ex x3 6(2003) Khảo sát cực trị của hàm số: y = ; (a > 0) . (x − a ) 7(2004) Khảo sát sự biến thiên, tìm tiệm cận, cực trị, khoảng lồi lõm, điểm uốn của đồ thị hàm số: y = 1 + xe 2x . 8(2006) Khảo sát chiều biến thiên, tìm cực trị, khoảng lồi, lõm, điểm uốn của đồ thị hàm số: y = 2x (x + 4)3 . 9(2007) Khảo sát chiều biến thiên, tìm tiệm cận, khoảng lồi, lõm, điểm uốn của đồ thị hàm số 1 − x +1 y = f (x ) = e . 2
TS. Nguyễn Hữu Thọ - Bộ môn Toán Trường Đại học Thủy Lợi 2012 10(2008) Khảo sát chiều biến thiên, tìm cực trị của hàm số: x 2 + 2x + 1 y= . 2x 2 − 2x 11(2009) Tìm khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số 1 + 3x y= . 2 4+x 12(2010-I) Chứng minh rằng đồ thị hàm số: 2x + 1 y = f (x ) = 2 x +x +1 có ba điểm uốn thẳng hang. Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm uốn đó. 13(2010-II) Khảo sát chiều biến thiên, tìm cực trị, khoảng lồi lõm, các điểm uốn của đồ thị hàm số: x y= 2 . x +1 1 1 − x2 14(2011-I) Xét tính lồi, lõm và tìm các điểm uốn của đường cong: y = e 2 . 2π 15.(2011-II) Tìm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến, khoảng lồi lõm, điểm uốn của đồ thị hàm số sau: ‫ ݔ = ݕ‬ହ/ଷ − 5‫ ݔ‬ଶ/ଷ. 16. (2012-I) Khảo sát chiều biến thiên, tìm cực trị của hàm số: y = x 1 − 2 x 2 3
TS. Nguyễn Hữu Thọ - Bộ môn Toán Trường Đại học Thủy Lợi 2012 Chuyên đề: CỰC TRN HÀM NHIỀU BIẾN A. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT 1. Một số khái niệm Định nghĩa 1: Cho hàm số z = f (x, y ) xác định trong lân cận của P0 (x 0 , y 0 ) . a) Nếu f (x , y ) < f (x 0 , y 0 ) với mọi (x , y ) trong lân cận của P0 (x 0 , y 0 ) trừ đi điểm đó, đồng thời f (x , y ) = f (x 0 , y 0 ) thì ta nói rằng hàm số z = f (x, y ) đạt cực đại tại P0 (x 0 , y 0 ) và (x 0 , y 0 ) gọi là điểm cực đại của hàm số, z 0 = f (x 0 , y 0 ) gọi là giá trị cực đại của hàm số đó. b) Nếu f (x , y ) > f (x 0 , y 0 ) với mọi (x , y ) trong lân cận của P0 (x 0 , y 0 ) trừ đi điểm đó, đồng thời f (x , y ) = f (x 0 , y 0 ) thì ta nói rằng hàm số z = f (x, y ) đạt cực tiểu tại P0 (x 0 , y 0 ) và (x 0 , y 0 ) gọi là điểm cực tiểu của hàm số, z 0 = f (x 0 , y 0 ) gọi là giá trị cực tiểu của hàm số đó. Nếu hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại (x 0 , y 0 ) thì ta gọi chung đó là điểm cực trị của hàm số và giá trị của hàm số lúc này gọi là cực trị của hàm số đó. 2. Điều kiện cần cực trị của hàm hai biến. Định lý: Nếu hàm số z = f (x, y ) đạt cực đại hoặc cực tiểu tại điểm (x 0 , y 0 ) , và tại đó hàm số có  f (x , y ) = 0 đạo hàm cấp một thì  x 0 0 .  fy (x 0 , y 0 ) = 0  4
TS. Nguyễn Hữu Thọ - Bộ môn Toán Trường Đại học Thủy Lợi 2012 3. Điều kiện đủ cực trị của hàm hai biến. Định lý: Nếu f (x , y ) có đạo hàm đến cấp hai liên tục trong một lân cận của điểm tới hạn (x , y ) và nếu số D 0 0 (gọi là biệt số) xác định bởi: 2 D = fxx (x 0 , y 0 ) fyy (x 0, y 0 ) −  fxy (x 0, y 0 ) (2)   ( ) thì x 0 , y 0 là i) Điểm cực đại nếu D>0 và fxx x 0 , y 0 < 0 ; ( ) ii) Điểm cực tiểu nếu D>0 và fxx x 0 , y 0 > 0 ;( ) iii) Điểm yên ngựa nếu D0 0 >0 Cực tiểu
TS. Nguyễn Hữu Thọ - Bộ môn Toán Trường Đại học Thủy Lợi 2012 B. MỘT SỐ BÀI TẬP Tìm các giá trị cực đại và cực tiểu địa phương và các điểm yên ngựa của các hàm số sau. 1. f ( x, y ) = 2 x3 + xy2 + 5 x2 + y2 2. f ( x, y ) = y x − y2 − x + 6 y x2 y2 − 8 x + y 3. f ( x, y ) = xy (1 − x − y ) 4. f ( x, y ) = xy 1 5. f ( x, y ) = x2 + y2 + 6. f ( x, y ) = ex cos y x2 y2 7. f ( x, y ) = (2 x − x2 )(2 y − y2 ) 8. f ( x, y ) = x sin y ( x + y + 1)2 9. f ( x, y ) = 10. f ( x, y ) = x2 − xy + y2 + 9 x − 6 y + 10 x2 + y2 + 1 y 11. f ( x, y ) = 3xy − x2 y − xy2 12. f ( x, y ) = ( x2 + y )e 2 C. MỘT SỐ ĐỀ THI GẦN ĐÂY 1(1999). Tìm cực trị của hàm hai biến sau: z = z (x , y ) = 3x 2y + y 3 − 12x − 15y. 2(2000). Tìm cực trị của hàm hai biến z = f (x , y ) = x 4 + y 4 − 2x 2 + 4xy − 2y 2 , trên miền phẳng ‫ ݕܱݔ‬bỏ đi điểm ܱ(0,0). 3(2001). Tìm cực trị của hàm hai biến u = f (x , y ) = (x + y )4 − (x 4 + y 4 ). 4(2002). Tìm cực trị của hàm hai biến sau z = f (x , y ) = x 4 + y 4 − (x + y )3 . 5(2003). Tìm cực trị của hàm hai biến sau: z = 2x 3 − xy 2 + 5x 2 + y 2 . 6(2004). Tìm cực trị của hàm hai biến sau 6
TS. Nguyễn Hữu Thọ - Bộ môn Toán Trường Đại học Thủy Lợi 2012 1 x y  z = z (x , y ) = xy + (47 − x − y ) +  . 2  3 4  7(2006). Tìm cực trị của hàm hai biến sau: xy z = z (x , y ) = 2 2 . x y + 8(x + y ) 8(2007). Tìm cực trị của hàm hai biến sau z = z (x , y ) = 16x 4 + y 4 − 8xy + 1. 9(2008). Tìm cực trị của hàm hai biến sau z = z (x , y ) = e x (x + y 2 ). 10(2009). Tìm cực trị của hàm hai biến sau z = x + y − xe y . 11(2010-I). Tìm cực trị của hàm hai biến sau z = z (x , y ) = x 3 − y 3 + 3xy. 12(2010-II). Tìm cực trị của hàm hai biến sau z = z (x , y ) = 16x 4 + y 4 − 8xy + 1. 13(2011-I). Tìm cực trị của hàm hai biến sau 1 x y  z = z (x , y ) = xy + (47 − x − y ) +  . 2  3 4  14(2011-II). Tìm cực trị tự do của hàm hai biến: z (x , y ) = 1 − x 2 − y 2 15(2012-I). Tìm cực trị tự do của hàm hai biến: z (x , y ) = 4x − x 3 − xy 2 . 7
TS. Nguyễn Hữu Thọ - Bộ môn Toán Trường Đại học Thủy Lợi 2012 Chuyên đề: ĐẠO HÀM. ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG VÀ GRADIENT A. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT I. Đạo hàm cấp một, cấp cao của hàm số nhiều biến, đạo hàm hàm !n, hàm ngược II. Đạo hàm theo hướng. 1. Gradient của một hàm số Gradient của hàm số ..là một vec tơ, ký hiệu là grad f , được xác định bởi : ∂f ∂f ∂f grad f = i+ j+ k. (1) ∂x ∂y ∂z 2. Đạo hàm theo hướng Cho hàm số w = f (x , y, z ) xác định trong một miền D. Xét điểm P = (x , y, z ) và : R = xi + yj + zk là véc tơ chỉ vị trí của P, một hướng xác định bởi véc tơ v. Khi đó đạo hàm theo hướng củahàm f (x , y, z ) tại điểm ܲ theo hướng của véc tơ v được xác định bởi công thức: df = (grad f )P .u ds v trong đó u là véc tơ đơn vị cùng hướng với véc tơ v, tức là u = ; v df hay là: = grad f cos θ ds P trong đó θ là góc giữa grad f và u. 3. Một số tính chất: df Tính chất 1: Đạo hàm theo hướng theo một hướng nào đó cho trước là tích vô hướng của grad f ds và véc tơ đơn vị theo hướng đó Tính chất 2: Hướng của véc tơ grad f trùng với hướng mà theo hướng đó hàm f tăng nhanh nhất. Tính chất 3 : Độ dài của véc tơ grad f là tốc độ tăng lớn nhất của f. 8

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.